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Enseñanza de la factorización a partir de la relación entre álgebra y geometría Deison Fernando Rivera Quintero Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Medellín, Colombia 2020
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Enseñanza de la factorización a partir de la
relación entre álgebra y geometría
Deison Fernando Rivera Quintero
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias
Medellín, Colombia
2020
Enseñanza de la factorización a partir de la
relación entre álgebra y geometría
Deison Fernando Rivera Quintero
Tesis final de maestría presentado como requisito parcial para optar al título de:
Magister en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales
Director (a):
Rubén Darío Henao Ciro
Doctor en Educación U de A
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias
Medellín, Colombia
2020
III
Agradecimientos
Un reconocido músico decía “la gratitud se da cuando la memoria se almacena en el
corazón y no en la mente” (Lionel Hampton) y desde mi perspectiva en mi corazón siempre estarán
aquellos hechos que nos retan como persona, pero nos dejan huellas como individuos de una
sociedad.
Es por ello que una vez finalizado este peldaño de mi carrera profesional, la gratitud hacia
mi círculo social cercano tiene una connotación de amor, alegría y admiración:
Amor por la enseñanza y toda acción que lleve al mejoramiento continuo del proceso de
enseñanza-aprendizaje.
Alegría por poder compartir este proceso con mi esposa y mi familia, quienes
pacientemente comprendieron mis ausencias durante el proceso, fueron mi voz de aliento en
puntos álgidos y el prisma que me reflejaban la otra cara, cuando se culmina una meta después de
un arduo camino.
Admiración y gratitud infinita por mi asesor Doctor Rubén Darío Henao Ciro, quien de
manera generosa compartió su conocimiento y respetuosamente me condujo a un mejor camino,
para obtener el resultado que en el presente documento se materializa.
IV
Resumen
Enseñanza de la factorización a partir de la relación entre álgebra y geometría
El presente trabajo de investigación nace de la reflexión del quehacer docente, donde al
abordar el concepto de factorización con los estudiantes, se evidencia que este sea convertido en
la implementación de algoritmos, por ende, en la búsqueda de fortalecer este proceso, se propone
el diseño de una estrategia didáctica para la enseñanza de la factorización desde la relación entre
álgebra y geometría, mediante la utilización del álgebra geométrica como recurso didáctico y
basado en la teoría del aprendizaje significativo crítico de Moreira (2005); donde los estudiantes
del grado octavo del Colegio Parroquial San Francisco de Asís, del municipio de Bello, participen
activamente en la construcción del conocimiento, haciendo que este sea significativo para ellos.
Los resultados obtenidos evidencian que este tipo de propuestas son realmente
significativas, debido a que los estudiantes le encuentran significado a los diferentes conceptos
algebraicos y geométricos, lo que indica que el relacionar conceptos permite obtener resultados
positivos, dado que, el estudiante analiza, argumenta e interpreta los conocimientos.
Palabras claves: Factorización, álgebra, geometría, álgebra geométrica y aprendizaje
significativo crítico.
V
Abstract
The teaching of factorization from the relationship between algebra and geometry
The present reserch work was done contemplating the professor day to day task, where
approach the concept of factorization with the students, it is clear that it has become in the
implementation of the algorithms, thereby, in view of strenghten these process, the disign of
strategy didactic is proposed, as a way of factorization learning, from the relation betwing the
algebra and geometry. Applying the geometry algebra as a didactic resource, base on the critical
sognificant learning of Moreira (2005), where the students of Colegio Parroquial San Franciscode
Asis, Bello. Participate in the shapping of knowledge, in a way it is significative for themselves.
The obtained results evidence that thet these type of proposals are really signicant, due to
the students finding meaning to the different algebraic and geometric concepts which show, that
listing concepts allow obtaining positive results, given the student analizing and interprets the
knowlwdge.
Keywords: Fcatorization, Algebra, Geometry, geometry algebra and critical significative
learning.
VI
Contenido
Introducción ................................................................................................................... 10
1. Capítulo I. Diseño Teórico ...................................................................................... 12
1.1 Selección y Delimitación del Tema ............................................................................. 12
1.2 Planteamiento del Problema ........................................................................................ 14 1.2.1 Descripción del problema. .............................................................................. 14
1.2.2 Antecedentes. ................................................................................................. 15 1.2.3 Formulación de la pregunta. ........................................................................... 18
1.3 Justificación ................................................................................................................ 19 1.4 Objetivos .................................................................................................................... 20
1.4.1 Objetivo general. ............................................................................................ 20 1.4.2 Objetivos específicos. ..................................................................................... 20
2. Capítulo II. Marco Referencial .............................................................................. 21
2.1 Marco Teórico ............................................................................................................ 21
2.2 Marco Conceptual-Disciplinar..................................................................................... 24 2.3 Marco Legal ................................................................................................................ 26
2.4 Referente Espacial ...................................................................................................... 29
3. Capítulo III. Diseño Metodológico ......................................................................... 31
3.1 Enfoque ...................................................................................................................... 31
3.2 Método ....................................................................................................................... 31 3.3 Instrumento de Recolección ........................................................................................ 32
3.4 Población y Muestra.................................................................................................... 33 3.5 Impacto Esperado........................................................................................................ 33
3.6 Cronograma de Actividades ........................................................................................ 33
4. Capítulo IV. Análisis de los Resultados.................................................................. 36
4.1 Conocimientos previos ................................................................................................ 36
4.2 Interacción social ........................................................................................................ 39 4.3 Cómo relacionan la medida del álgebra y geometría .................................................... 42
4.4 Utilización del álgebra geométrica .............................................................................. 43 4.5 Representaciones ........................................................................................................ 45
4.6 Conocimiento como lenguaje ...................................................................................... 50
5. Capítulo V. conclusiones y Recomendaciones ........................................................ 55
5.1 Conclusiones ............................................................................................................... 55
5.2 Recomendaciones ....................................................................................................... 56
Referencias ..................................................................................................................... 57
Anexos ............................................................................................................................ 61
VII
A. Anexo: Paradigmas Psicopedagógicos ......................................................................... 61 B. Anexo: Prueba Diagnóstica ......................................................................................... 64
C. Anexo: Unidad Didáctica ............................................................................................ 66
VIII
Lista de figuras
Pág.
Ilustración 1. Estudiantes recortando el material .................................................................. 37
Ilustración 2. Respuestas de los estudiantes ........................................................................... 38
Ilustración 3. Representación de una variable ....................................................................... 38
Ilustración 4. Ejercicio de razonamiento cuantitativo ........................................................... 39
Ilustración 5. Clasificación de polígonos ................................................................................ 40
Ilustración 6. Estudiantes tomando la medida de la altura del prisma ................................. 41
Ilustración 7. Relación entre álgebra y geometría ................................................................. 42
Ilustración 8. Volumen de los prismas.................................................................................... 43
Ilustración 9. Respuestas de los estudiantes ........................................................................... 44
Ilustración 10. Solución geométrica de la expresión x^2+bx+c ............................................. 45
Ilustración 11. Representación correcta ................................................................................. 45
Ilustración 12. Representación incompleta ............................................................................ 46
Ilustración 13. Representación que puede mejorar ............................................................... 47
Ilustración 14. Medidas de la caja .......................................................................................... 48
Ilustración 15. Construcción de la caja .................................................................................. 49
Ilustración 16. Representaciones con el álgebra geométrica ................................................. 50
IX
Lista de tablas
Pág.
Tabla 1. Causas y efectos del problema de investigación ....................................................... 13
Tabla 2. Normograma ............................................................................................................. 27
Tabla 3. Planificación de actividades...................................................................................... 34
Tabla 4. Cronograma de actividades ...................................................................................... 35
10
Introducción
Una de las principales dificultades en el proceso de enseñanza-aprendizaje de las
matemáticas, es la poca relación que se llega a establecer entre los diferentes conceptos, haciendo
que estos se trabajen de forma fragmentada y predomine el aprenderse el algoritmo de solución,
donde el proceso es llevado de forma mecánica, sin que exista ningún tipo de aprehensión por
parte del estudiante.
Por ello, el presente trabajo nace de la reflexión del quehacer docente, donde se evidencia
que el concepto de factorización es complejo para los estudiantes, esto en gran medida por las
metodologías y estrategias implementas, donde el docente ha dejado el establecer relaciones con
otros conceptos, el uso de material concreto y la relación de estos con el contexto, lo cual, ha
ocasionado que el estudiante pierda la motivación y el deseo por aprender.
Por lo tanto, se propone el diseño de una estrategia didáctica con el fin de fortalecer el
concepto de factorización a partir de su relación con la geometría, haciendo uso del álgebra
geométrica y basado en el aprendizaje significativo crítico de Moreira (2005), donde el estudiante
es un agente activo en la construcción del conocimiento.
Este trabajo se encuentra organizado en cinco capítulos; en el primer capítulo se presenta
el estado del arte respecto a la enseñanza de la factorización a partir de su relación con la geometría,
además se dan a conocer la descripción del problema, la pregunta, justificación y objetivos a
desarrollar.
En el segundo capítulo se presenta el referente teórico, en el cual hace referencia al
aprendizaje significativo crítico, el marco disciplinar fundamentado desde el pensamiento
11
variacional y espacial, el marco legal se presenta un resumen de las principales normas, leyes y
decretos que sustentan la pertinencia del trabajo y en el marco especial se exponen algunas
generalidades del colegio donde se llevó a cabo la propuesta.
En el tercer capítulo se aborda lo concerniente a la estructura del diseño metodológico,
como es el enfoque, método, instrumento de recolección de la información, población, impacto
esperado y el cronograma de actividades implementado durante propuesta.
En el cuarto capítulo se presenta el análisis de los resultados obtenidos durante la
implementación de la estrategia didáctica y el análisis realizado a partir de los principios del
aprendizaje significativo crítico.
En el capítulo cinco se presentan las conclusiones que emergieron de la estrategia didáctica
y las recomendaciones para una futura aplicación y mejora de esta estrategia didáctica. Y, por
último, se encuentran las referencias y anexos respectivos.
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1. Capítulo I. Diseño Teórico
1.1 Selección y Delimitación del Tema
La presente investigación nace de la reflexión del quehacer docente, donde al abordar la
factorización, se evidencia la poca claridad en la relación que los estudiantes establecen entre lo
algebraico y lo geométrico en la aplicación de los conceptos de la factorización, lo cual implica
que en el proceso de enseñanza-aprendizaje exista falta de aprehensión por parte de los estudiantes,
debido a que resuelven ejercicios de una forma mecánica sin realizar ningún tipo de análisis.
Además, se observa que los estudiantes replican la información, debido a que clasifican los
conceptos de la factorización como caso 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7, donde a partir de esta categorización
resuelven ejercicios convencionales sin articularlos al contexto o sin desarrollar las competencias
establecidas por el MEN (2006), dado que, existe una separación entre las instituciones educativas
y el entorno de los estudiantes.
La separación de la escuela con las dinámicas sociales ha generado qué el docente entre en
un estado de confort, y por ende, omita las tres fases del trabajo docente propuesta por Linares
(1991, citado por MEN 1998), como es la fase previa donde el docente realiza una planificación
de lo que enseña y cómo lo enseña, para crear en los educandos una conceptualización a través de
la creación de unidades didácticas; en una segunda fase el docente ejecuta lo propuesto en la
anterior, que lo convierte en un actor que no solo enseña sino que a partir de la interacción maestro-
alumno y alumno-conocimiento se convierte en una experiencia de aprender a partir de las
dificultades que se presentan en el proceso de enseñanza-aprendizaje; y en la tercera fase entrar a
un estado de reflexión y evaluación de lo planificado, que le permita aprender de la propia
experiencia y así mejorar para una nueva aplicación.
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Cabe señalar que los planes de estudio se plantean sin tener un objetivo claro sobre qué se
pretende que el estudiante alcance, obteniendo como resultado que el proceso de enseñanza-
aprendizaje se dé como transmisión y repetición de información y no como un conocimiento que
posibilite la aprehensión del saber para la solución de situaciones problemas en matemáticas y su
vida cotidiana. Adicionalmente, la falta de planificación de las clases por parte de los docentes ha
ocasionado en los estudiantes la falta de motivación hacia el conocimiento, lo cual se manifiesta
en la poca importancia que les dan a las matemáticas, y esto genera que las clases sean teóricas,
descontextualizadas y rutinarias; sin propiciar experiencias de aprendizaje significativo. Estas
problemáticas se ilustran en la tabla 1.
Tabla 1. Causas y efectos del problema de investigación
Dificultad en la
relación entre los
saberes previos y
construcción de
conocimientos
nuevos.
Dificultad para
interpretar y
analizar
situaciones
problema.
Enseñanza
orientada hacia
los contenidos
y la
priorización de
la memoria.
Poca
motivación
por parte de
los estudiantes
hacia la
materia.
Ausencia de
experiencias
significativas
.
Efecto
s
Relación algebraica y geométrica en la enseñanza de la factorización
Desconocimiento
de las
competencias que
se desean alcanzar
con los
estudiantes.
Priorización de la
solución
algorítmica de
cada uno de los
casos de
factorización, por
lo cual, se omite la
relación existente
entre la teoría y la
realidad
Relatividad del
tiempo en el
proceso
educativo.
Desconocimie
nto de
métodos.
Carencia de
profundizaci
ón respecto
al tema a
enseñar.
Cau
sas
Fuente: Elaboración propia.
14
En consecuencia, se aspira a transformar aquellos aspectos de la práctica susceptibles de
mejora, desarrollando estrategias que posibiliten fortalecer la labor docente y propiciar
experiencias significativas que permitan a los estudiantes adquirir competencias, además de
reflexionar sobre los planes de clase implementados en el Colegio Parroquial San Francisco de
Asís, en el área de matemáticas.
De acuerdo con lo anterior, se pretende que en el proceso de enseñanza-aprendizaje se
establezca la relación entre álgebra y geometría, mediante la construcción de poliedros, a través
de material concreto donde el estudiante llegue a proponer su propia construcción.
1.2 Planteamiento del Problema
1.2.1 Descripción del problema.
El tema elegido para esta investigación es el concepto de factorización debido al alto nivel
de complejidad que este ha representado para los estudiantes del grado octavo del Colegio
Parroquial San Francisco de Asís; donde el proceso de enseñanza-aprendizaje se basa en la
reproducción de algoritmos de solución, lo que ha ocasionado que los estudiantes se sientan
desmotivados y se limiten a la memorización “que lleva al engaño del profesor, quien cree que
ellos están comprendiendo” (Henao, 2005, p.18);
Dejando de lado, las relaciones con otros conceptos matemáticos, la utilización de material
concreto y de situaciones de razonamiento cuantitativo, que le permitan al estudiante apropiarse
del lenguaje matemático y propiciar así, un aprendizaje significativo. Por ello, dentro del quehacer
docente es necesario proponer estrategias didácticas que posibiliten mejorar el proceso de
enseñanza-aprendizaje.
15
1.2.2 Antecedentes.
A continuación, se encuentran los aportes realizados por diferentes autores tanto a nivel
local, nacional e internacional sobre la factorización, que permitirá realizar una contextualización
de los diferentes panoramas que se han abordado respecto al tema.
Algunos trabajos plantean las problemáticas que pueden surgir en el proceso de enseñanza-
aprendizaje de la factorización. Así, para Monge, Orozco, Gonzáles, & Salguera (2013), las
principales dificultades en el proceso de enseñanza-aprendizaje de los casos de factorización
radican en primera instancia a la falta de planificación por parte del docente, la cual ocasiona
abordar los conceptos de factorización de una forma inmediata, y no permite a su vez, una
interacción maestro-estudiante y estudiante-objeto de estudio, así mismo señalan que, la
metodología implementada en la presentación de los contenidos se realiza de una forma poco
innovadora, lo que produce en los estudiantes un desinterés por aprender debido a que estos no
muestran su aplicación en el contexto. Además, mencionan que estas dificultades se presentan por
diferentes factores que afectan el proceso, como la cantidad de estudiantes por grupos que no
permite una interacción personal, los diferentes niveles de aprendizaje, la poca profundización en
el tema, y la escasez de recursos para preparar una clase.
Ardila (2008) plantea que, uno de los principales problemas en la comprensión del lenguaje
algebraico radica en abordarlo de forma unitaria sin apoyarse en otros tipos de lenguajes que
influyen en la aprehensión de este por parte de los estudiantes. Por ende, menciona que al trabajar
el lenguaje algebraico en determinada situación se está utilizando el lenguaje común, geométrico
o aritmético, lo cual va a permitir una generalización por parte del estudiante.
16
Otros trabajos apuntan directamente a las estrategias empleadas en el aula, apoyados en el
uso de herramientas tecnológicas las cuales propician un aprendizaje significativo; para Mejía
(2012), el uso de las calculadoras simbólicas (CAS) en la enseñanza de la factorización de
polinomios, posibilita generar nuevas situaciones de aprendizaje, las cuales establecen vínculos
entre los conceptos de la factorización con otros conceptos matemáticos e incluso de otras áreas
de conocimiento y a su vez, las CAS reducen el proceso desarrollado con lápiz/papel, el cual se
centra en la ejercitación de procedimientos. Por su parte, Wagner, Giraldo, Hoyos & Gutiérrez
(2014), abordan la factorización y productos notables a partir de material concreto y de
herramientas tecnológicas como el software “geometría de polinomios” lo que permite establecer
la relación entre el álgebra y la geometría, donde el estudiante visualice, experimente, reconozca
y describa características del objeto de estudio. En este sentido, Daza (2012) propone interpretar
la factorización a partir de la geometría, mediante la utilización de artefactos tecnológicos que
posibilitan la mediación entre lo geométrico y algebraico a partir del software “Geogebra”, lo cual
propicia un aprendizaje significativo por parte de los estudiantes en relación a los procesos
cognitivos de visualización, interpretación y representación, debido a la construcción gráfica de
las expresiones algebraicas.
Por su parte, Valderrama (2015) considera que la implementación de las TIC en el proceso
de enseñanza-aprendizaje y en especial en la factorización de polinomios, posibilita la creación de
ambientes de aprendizajes diferentes, donde el docente es un orientador del proceso y el estudiante
es un agente activo en la construcción de su conocimiento, puesto que, la implementación del
software “baldosas algebraicas” y en general el uso de las TIC motiva y atrae el interés hacia el
objeto de estudio, mejorando el rendimiento académico de los estudiantes.
Cabe señalar que, Valderrama (2015) en su trabajo menciona que:
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Las TIC son una herramienta que el docente tiene a su disposición para apoyarse en el proceso de
enseñanza aprendizaje de las matemáticas u otras áreas, y generar ambientes diferenciado en el aula, esto debido a que por sí solas no son agentes de cambio en la enseñanza de las matemáticas.
(p.110)
Es por esto que, para la implementación de las TIC, Valderrama (2015) señala que es
necesario que el docente tenga un buen dominio, porque de ello depende la utilidad e importancia
que el estudiante le brinde a la herramienta y en especial, el éxito en el desarrollo de la clase. No
obstante, Daza (2012) menciona que en la utilización de artefactos tecnológicos como mediadores
del proceso de enseñanza-aprendizaje, se deben tener presentes las dificultades que van desde la
manipulación de la herramienta por parte del estudiante hasta la funcionalidad del software.
En consecuencia, Wagner et al. (2014) sustentan que el implementar estrategias didácticas
permite que el estudiante se vuelva un agente activo en el proceso de enseñanza-aprendizaje,
debido a que el uso de estas aumenta el interés por aprender, lo cual ocasiona que el estudiante
explore, razone, reflexione y saque conclusiones sobre el objeto de estudio, permitiéndole una
mayor apropiación de los conceptos matemáticos. Así mismo, Clavijo (2010) menciona que la
elaboración de guías permitirá que el estudiante sea un constructor de su propio conocimiento
desde el saber hacer; al explorar, argumentar y validar desde el contexto, para que exista una
apropiación del conocimiento y así generar un aprendizaje significativo.
También, Flores-Medina, Pastrana, & Flores (2017) sostienen que la evaluación de los
aprendizajes debe conducir el quehacer docente a una profundización de su conocimiento,
verificando la comprensión y apropiación en el aprendizaje de los estudiantes. Además, involucra
no solo la reflexión por parte del maestro, el cual debe propiciar espacios de participación por
medio de recursos didácticos y tecnológicos, que posibilitan comprender los algoritmos de la
factorización, sino que debe permitir al estudiante visualizar sus aciertos y errores con el fin de
18
mejorar sus debilidades para que exista una aprehensión, allí el estudiante pasa hacer un agente
activo dentro del proceso enseñanza-aprendizaje.
Como puede verse en los trabajos mencionados, la constante evolución de la sociedad
requiere un cambio en la manera de desarrollar el proceso de enseñanza-aprendizaje, de tal forma
que el conocimiento no sea algo teórico y rutinario, sino que por el contrario, aplicando diversas
estrategias se pueda crear un ambiente práctico, en el cual los estudiantes adquieran mayor
motivación por aprender y sean partícipes en la construcción de su propio conocimiento,
generando así un aprendizaje significativo.
Por lo tanto, en este trabajo de investigación se quiere mirar cómo a partir de la
construcción de poliedros el estudiante logra una aprehensión de la factorización a partir de la
relación algebraica y geométrica fortaleciendo el razonamiento de los estudiantes.
1.2.3 Formulación de la pregunta.
La presente investigación responde a una preocupación que se evidencia en el proceso de
enseñanza-aprendizaje en el tema de factorización en el grado octavo del Colegio Parroquial San
Francisco de Asís, donde existe una brecha entre lo algebraico y lo geométrico, ocasionado por los
diferentes factores mencionados anteriormente.
Con el fin de dar respuesta a esta problemática se busca abordar la factorización desde la
relación algebraica y geométrica a partir de la construcción de poliedros, para ello se plantea la
siguiente pregunta de investigación.
¿Qué estrategia didáctica contribuyen al desarrollo de competencias del razonamiento
cuantitativo en la enseñanza de la factorización a partir de la construcción de poliedros?
19
1.3 Justificación
A partir de la revisión de la literatura se puede evidenciar que existen diversos trabajos que
apuntan a la creación de estrategias didácticas para ser desarrolladas en el proceso de enseñanza-
aprendizaje, respecto al tema de factorización, mediante la relación del álgebra y la geometría.
Estas alternativas apuntan a la implementación de calculadoras, software y geometrización del
álgebra, entre otras, donde el estudiante interactúa con el objeto de estudio.
Sin embargo, son escasas las investigaciones donde se implementa el uso del material
concreto realizado por los estudiantes; es decir, donde no solo interactúa con el material concreto,
sino que lo construye y por ende, adquiere significado. Cabe señalar que las alternativas
anteriormente mencionadas podrán ser utilizadas en el proceso de enseñanza-aprendizaje, sin
olvidar que el centro de la investigación es la construcción de poliedros que potencialice el
razonamiento cuantitativo.
Es menester, aclarar la importancia del razonamiento cuantitativo en este tipo de trabajos
puesto que, además de ser necesario en el fortalecimiento de la ejercitación, se subsume claramente
en las relaciones que se pretende establecer entre el álgebra y la geometría.
En conclusión se pretende, a través de la construcción y manipulación de material concreto,
romper con el paradigma de que las matemáticas son rutinarias y solo se basan en la ejercitación,
y así generar un aprendizaje significativo, donde se visualice la importancia de trabajar el tema de
factorización por medio de la geometría, creando espacios de aprendizaje donde el estudiante
analice, argumente e interprete los conocimientos, además de evidenciar la aplicación del tema de
la factorización.
20
1.4 Objetivos
1.4.1 Objetivo general.
Diseñar una estrategia didáctica para la enseñanza de la factorización desde la relación
entre álgebra y geometría, mediante la construcción de poliedros y el aprendizaje significativo
crítico, en los estudiantes del grado octavo del Colegio Parroquial San Francisco de Asís.
1.4.2 Objetivos específicos.
Identificar los conceptos y creencias acerca de la factorización y su relación con la
geometría en los estudiantes del grado octavo.
Analizar el sentido que le otorgan los estudiantes del grado octavo a los conceptos
algebraicos y geométricos.
Implementar una estrategia didáctica en el grado octavo que permitan relacionar el tema
de la factorización con la construcción de poliedros a través del razonamiento cuantitativo.
Verificar la puesta en escena de la estrategia didáctica en la enseñanza de la factorización
desde su relación con la geometría, con los estudiantes del grado octavo del Colegio Parroquial
San Francisco de Asís.
21
2. Capítulo II. Marco Referencial
2.1 Marco Teórico
En el transcurrir de los años cada generación deja su legado, el cual es susceptible a ser
cambiado, refutado o mejorado, es así como se constituye el avance en la educación donde grandes
pensadores según su época y regidos por el orden moral y ético tienen como objeto de estudio los
procesos de enseñanza-aprendizaje. En este sentido, los paradigmas en la educación (Ver anexo
A) corresponden a enfoques; es decir, una visión sobre el aprendizaje, lo cual permite comprender,
explicar y resolver problemáticas en cuanto a los procesos de enseñanza-aprendizaje. Cabe señalar
que, de los paradigmas se derivan teorías y con ello modelos, para comprender y mejorar la práctica
educativa, lo cual implica a su vez que emanen propuestas para ser implementadas en el aula.
Por ende, el presente trabajo se aborda desde el paradigma constructivista, el cual asume
que el conocimiento es una construcción mental, resultado de la actividad cognitiva del sujeto que
aprende, donde se propician situaciones de aprendizaje individual o grupal, que permite descubrir
y construir el conocimiento, que surge de las comprensiones obtenidas a través de los fenómenos
que buscan conocer.
En este contexto, se adopta la perspectiva del Aprendizaje Significativo Crítico de Marcos
Moreira (2005), el cual, se basa en los planteamientos de Ausubel (1969) del aprendizaje
significativo y la enseñanza como actividad subversiva de Postman y Weingartner (1969). Para
Ausubel (1963), el aprendizaje significativo es el proceso mediante el cual, el nuevo conocimiento
se relaciona con la estructura cognitiva del estudiante de manera no arbitraria y sustantiva, no
literal. Por consiguiente, se propone desarrollarlo bajo dos condiciones: la primera es que el
material debe ser potencialmente significativo, es decir que guarde relación con el conocimiento
22
que se enseña y con la estructura cognitiva del estudiante; la segunda condición tiene que ver con
la disposición del estudiante frente al proceso de enseñanza-aprendizaje, donde el que aprende
debe estar dispuesto a aprender significativamente.
Por su parte, Postman y Weingartner (1969) realizan una crítica al sistema educativo,
puesto que la escuela enseñaba conceptos fuera de foco, lo que ocasiona que el estudiante no
trascienda en su conocimiento y en su forma de ver el mundo, como por ejemplo los conceptos de
verdad absoluta, certeza, entidades aisladas, estados y cosas fijos, causalidad simple, diferencias
dicotómicas y conocimiento transmitido; obteniendo como resultado estudiantes pasivos,
dogmáticos, conservador, intolerantes, autoritario y con miedo a cuestionar, por lo tanto, proponen
una educación subversiva donde se debe preparar al estudiante para vivir en una sociedad que está
en constante cambio, cada vez más rápido, de conceptos, valores y tecnologías, por lo tanto se
requiere de una educación que tenga presente el contexto en el cual están inmersos los estudiantes
y del cual son parte activa.
Con base al anterior planteamiento, Moreira (2005) reafirma la postura de que la educación
en la actualidad aún se encuentra fuera de foco y propone la perspectiva del aprendizaje
significativo crítico, que permita al estudiante comprender el concepto de forma significativa y de
igual modo, generar una postura crítica frente al mismo, donde puede abordar la incertidumbre ,
la relatividad, la probabilidad, la diferencia, entre otros, basándose en que el conocimiento es una
construcción del hombre y que apenas representa el mundo, la cual se consolida a partir de
determinados principios, los cuales se describen a continuación y son referentes para el desarrollo
del presente trabajo.
23
Principio del conocimiento previo. Aprendemos a partir de lo que ya sabemos. Se plantea
que para ser crítico de un conocimiento o enunciado el estudiante tiene que aprenderlo
significativamente y para que ello suceda, su conocimiento previo es la variable más importante
en el proceso enseñanza-aprendizaje, puesto que, solo aprendemos en relación a lo que ya sabemos;
por ende, debe considerarse el conocimiento previo como punto de partida de todo aprendizaje y
el docente preparar la clase en relación de lo que ya saben.
Principio de interacción social y del cuestionamiento. Enseñar/aprender preguntas en
lugar de respuestas. Plantea que el acto de enseñanza implica la interacción social, entre el docente
y el estudiante propiciando una negociación de significados a partir del material educativo, donde
el proceso de enseñanza-aprendizaje se basa en el intercambio de preguntas, el cual propicia en el
estudiante un aprendizaje significativo crítico. Además, cuando un estudiante aprende a formular
una pregunta, se evidencia el uso de conocimientos previos y de un aprendizaje significativo, el
cual es esencial para la adquisición de nuevos conocimientos de forma crítica.
Principio de la no centralización en el libro de texto. Del uso de documentos, artículos
y otros materiales educativos. De la diversidad de materiales educativos. Se propone la utilización
de diversos materiales educativos para realizar el proceso de enseñanza-aprendizaje, puesto que,
en la mayoría de los casos los docentes tienen el libro como la única fuente de conocimiento, por
ende, se proponen artículos científicos, cuentos, poesías, crónicas, relatos, obras de arte, entre otros
tantos materiales educativos que permiten al docente y estudiante tener diferentes visiones de cómo
se llegó a la construcción de ese conocimiento.
Principio del conocimiento como lenguaje. El lenguaje está inmerso en todas nuestras
formas de percibir la realidad, por ende, el lenguaje es conocimiento, es una manera de ver el
24
mundo, un modo de conocer, y todo lo que se conoce es una disciplina, donde se relacionan
palabras, signos, instrumentos y procedimientos de forma sustantiva y no arbitraria. Por lo tanto,
aprender de forma crítica es percibir ese nuevo lenguaje como una nueva forma de percibir el
mundo.
El implementar estrategias didácticas desde el aprendizaje significativo crítico posibilita el
desarrollar competencias de razonamiento cuantitativo, donde el estudiante es capaz de resolver
situaciones de su contexto, sea “social, cultural, político, administrativo, económico, educativo y
laboral.” (Icfes, 2015b, p.15), a partir de los conocimientos matemáticos, lo cual, le permite ser
parte activa y generar posiciones críticas frente al mismo. Por tanto, “enseñar a razonar le da
sentido a la educación matemática dado que razonar es una actividad mental que enfrenta quien
desee resolver una situación.”(Henao, s.f, p.2)
2.2 Marco Conceptual-Disciplinar
Desde los lineamientos curriculares en matemáticas se propone el desarrollo de cinco
pensamientos: numérico, variacional, espacial, métrico y aleatorio, los cuales se deben abordar en
la educación básica primaria, secundaria y media. El presente trabajo se enfatiza en el pensamiento
variacional relacionado con el sistema algebraico y analítico, y el pensamiento espacial
relacionado con el sistema geométrico. Desde el módulo de pensamiento variacional y
razonamiento algebraico (2006) se expone que:
El pensamiento variacional se entiende como una forma específica de pensar matemáticamente,
orientada a la construcción de estructuras conceptuales que fundamentan el estudio de la variación
y el cambio. Por su parte, el razonamiento algebraico alude al conjunto de procesos, procedimientos y esquemas que dan forma y sentido al pensamiento variacional. (Posada, F & Otros, p.16)
25
Para el desarrollo de este trabajo el pensamiento variacional y en el especial el tema de
factorización, debe ser entendido como el proceso escribir expresiones algebraicas aditivas en
multiplicativas, sin embargo, este proceso resulta complejo, debido a que se enseñanza finalizando
el grado séptimo. Por ende, desde MEN (1998) se propone trabajarlo desde el inicio de la
educación básica, donde se les proponga a los estudiantes actividades en las cuales sean capaces
de describir regularidades y patrones, que evidencien el intento de construir argumentos sobre
estructuras generales, que les permita transcender de lo aritmético a lo algebraico, sin generar un
conflicto en la estructura cognitiva del estudiante.
Ese proceso de lo aritmético a lo algebraico no se da de forma inmediata puesto que el
proceso de generalizar no es fácil, debido a que no solo es ir de lo particular a lo general, es también
ir en el sentido opuesto, el cual permite establecer diferentes relaciones, para poder ir alcanzando
diferentes grados en el proceso de generalidad; teniendo presente que el primer acercamiento a la
generalización se presenta por el uso del lenguaje natural, además este proceso está determinado
por la observación de las invariantes a partir de lo que varía o cambia.
En este sentido, el trabajar el pensamiento algebraico desde los primeros años de educación
básica permite construir el concepto de variable, la relación de igualdad, el concepto de parámetro
y ecuación, en determinadas situaciones, a la vez que relaciona el pensamiento variacional con
otros pensamientos, en particular con el pensamiento espacial, que posibilitad establecer la
relación del concepto de factorización con el área, perímetro y volumen de diferentes figuras
geométricas, lo cual es determinante en este proceso, ya que permite que el estudiante aprenda a
deducir los procesos de factorización a partir de figuras geométricas.
26
Los conceptos de geometría como área, perímetro y volumen se establecen en el MEN
(2006) en todos los grados escolares, a partir de aproximaciones a ellos de una manera paulatina,
a medida que va variando gradualmente la estructura conceptual de los estudiantes en complejidad
y en nivel de abstracción. Por ende, este trabajo busca implementar una estrategia didáctica para
consolidar en los estudiantes el concepto de factorización a partir del área, perímetro y volumen
de figuras y cuerpos geométricos, además el uso del lenguaje matemático apropiado para que
expresen sus ideas, potenciando el pensamiento variacional y espacial, con el propósito de que sea
implementado en la solución de problemas.
Por ende, es importante definir los conceptos geométricos de perímetro, área y volumen
que serán abordados en la implementación de la estrategia didáctica, para una adecuada
interpretación del concepto de factorización desde su relación con la geometría.
El perímetro de una figura geométrica es el conjunto de segmentos que conforman el
contorno de una figura; sus unidades de medida se expresan en unidades lineales; el área es la
superficie o región que se encuentra delimitada por el perímetro y sus unidades de medida se
expresan en unidades cuadradas, denominadas unidades de superficie y el volumen es el espacio
que ocupa un cuerpo geométrico de tres dimensiones y sus unidades de medida se expresa en
unidades cúbicas. La medida de un figura y cuerpo geométrico se puede obtener al relacionar los
lados de la figura; por ejemplo en el área de un rectángulo se pueden realizar subdivisiones, donde
se relaciona el área total de rectángulo con las subdivisiones, de tal forma que permite obtener
patrones y así, la expresión algebraica que la representa en el conjunto de los números reales.
Las relaciones que se establecen entre las figuras y cuerpos geométricos con las expresiones
algebraicas permiten que el proceso de enseñanza-aprendizaje de la factorización puede darse a
27
partir de dos maneras relacionadas entre sí, una de tipo matemático que se debe entender no solo
como el construir casos de factorización para determinadas expresiones algebraicas que
usualmente son de segundo grado, sino que permitan comprender el teorema fundamental del
álgebra. Por otro lado, desde lo fenomenológico, la factorización tiene sentido en la medida que
permite encontrar la solución a dos funciones polinómicas, que pueden plantearse como
situaciones del contexto.
2.3 Marco Legal
En las siguientes tablas se enmarca de manera sintética la legalidad de este proyecto de
investigación en los ámbitos: internacional, nacional, regional y local.
Tabla 2. Normograma
ÁMBITO INTERNACIONAL
INSTANCIA NORMATIVIDAD NORMATIVIDAD
Pacto
Internacional de
Derechos
Económicos,
Sociales y
Culturales.
“Los Estados Partes en el presente
Pacto reconocen el derecho de toda
persona a la educación. Convienen en
que la educación debe orientarse hacia
el pleno desarrollo de la personalidad
humana y del sentido de su dignidad, y
debe fortalecer el respeto por los
derechos humanos y las libertades
fundamentales” (Artículo 13- 1)
Se establece que la educación
debe promover una formación
integral donde el estudiante, se
forme no solo como un sujeto
que adquiere conocimiento,
sino que además, esté en
capacidad de vivir en
comunidad.
ÁMBITO NACIONAL
INSTANCIA NORMATIVIDAD NORMATIVIDAD
Constitución
Política de
Colombia 1991.
(Actualizada con
los Actos
Legislativos a
2016).
“La educación es un derecho de la
persona y un servicio público que tiene
una función social; con ella se busca el
acceso al conocimiento, a la ciencia, a
la técnica, y a los demás bienes y
valores de la cultura” (Artículo 67)
Con el presente trabajo, se
pretende acerca al estudiante al
conocimiento por medio
proyecto de aula el cual incite al
docente y estudiante a
investigar; y así generar nuevas
estrategias de aprendizaje, las
cuales garanticen la motivación
y participación de los mismos.
28
Los fines de la educación
colombiana es brindar una
educación integral, capaz de
formar un ser capacitado para
vivir en sociedad, ene l cual se
le garantice el acceso al
conocimiento científico y
social.
Derechos básicos
de aprendizaje-
matemáticas 2016
“Su importancia radica en que plantean
elementos para construir rutas de
enseñanza que promueven la
consecución de aprendizajes año a año
para que, como resultado de un
proceso, los estudiantes alcancen los
EBC propuestos por cada grupo de
grados” (p.6)
Con el presente proyecto de
aula se busca que los
estudiantes alcancen los EBC,
donde el proceso de enseñanza-
aprendizaje forme un ser con
conocimientos, habilidades y
destrezas.
Ley 115 de 1994 “El desarrollo de las capacidades para
el razonamiento lógico, mediante el
dominio de los sistemas numéricos,
geométricos, métricos, lógicos,
analíticos, de conjuntos de operaciones
y relaciones, así como para su
utilización en la interpretación y
solución de los problemas de la ciencia,
de la tecnología y los de la vida
cotidiana.”(p.7)
Se busca promover una
educación donde se fomente el
desarrollo de los pensamientos
matemáticos, a partir de un
proyecto de aula donde el
estudiante sea un agente activo
en la construcción de su
conocimiento, el cual le permita
desenvolverse en sociedad.
ÁMBITO REGIONAL
INSTANCIA NORMATIVIDAD NORMATIVIDAD
Plan de desarrollo
de Antioquia
“Antioquia piensa
en grande” 2016-
2019
“La educación no se queda contenida
en un solo espacio, discurre por todos
los ámbitos de la sociedad y de la vida.
Las escuelas ya no se siembran, sino
que navegan, no son casas sino barcos.
Una escuela que fluye e influye. No son
lugares para la repetición, sino espacios
para la inspiración. La formación es
cada vez menos un acto solitario y cada
vez más acciones solidarias” (p.312)
Promueve una educación donde
se generen diferentes espacios
de aprendizaje, que posibilite a
los estudiantes compartir sus
enseñanzas y sean a su vez
formadores de sus propios
compañeros.
ÁMBITO LOCAL
Proyecto
Educativo
Institucional
(PEI). Colegio
La institución educativa asume la
concepción de la pedagogía integral
que concibe al maestro como un
facilitador del desarrollo de procesos
del alumno y a este, como el sujeto
Desde la institución se pretende
que el estudiante sea un agente
activo en la construcción de su
conocimiento, es así como este
proyecto de aula busca que el
29
Parroquial San
Francisco de Asís.
activo de su propio aprendizaje, capaz
de construir saberes y ejercer su
autonomía para crear, inventar, innovar
y decidir, pudiendo transferir los
aprendizajes en un proceso de
trasformación de su propia realidad.
estudiante tal como lo plantea
en el PEI sea capaz de crear,
inventar, innovar y decidir en la
construcción de su
conocimiento.
2.4 Referente Espacial
El Colegio Parroquial San Francisco de Asís, se encuentra ubicado en el barrio la cabaña
del municipio de Bello, Antioquia; es una institución educativa privada de la Arquidiócesis de
Medellín, la cual ofrece formación académica desde preescolar hasta la media. Su población está
conformada principalmente por estudiantes de estratos socio-económicos 3 y 4. Además, es
reconocida por su nivel educativo el cual tiene como propósito la formación humana integral.
Desde el PEI se asume una pedagogía integral, que busca formar en el desarrollo de competencias
a partir del análisis de la realidad, mediante una metodología activa y flexible, así entonces concibe
al maestro como un facilitador del desarrollo de procesos del alumno y a este, como el sujeto activo de su propio aprendizaje, capaz de construir saberes y ejercer su autonomía para crear, inventar,
innovar y decidir, pudiendo transferir los aprendizajes en un proceso de transformación de su propia
realidad (P.E.I, 2018, p.25).
Es por ello, que el maestro debe propiciar el acercamiento de los estudiantes con las
matemáticas y el contexto, con el propósito de que el estudiante resuelva situaciones en diversos
espacios y se vuelva un actor activo y crítico en el proceso de enseñanza-aprendizaje.
Cabe señalar que, en la Institución se establece como visión “para el año 2020, el Colegio
Parroquial San Francisco de Asís, será una institución líder en la orientación de procesos de
formación humana integral, con reconocimiento social por consolidar en sus estudiantes
competencias ciudadanas, comunicativas tecnológicas e investigativas” (PEI, 2018, p.5).
Por ende, la implementación de esta propuesta en la Institución Educativa es importante en
la medida de lograr un balance entre los diversos niveles de complejidad de ejercicios matemáticos
30
y el desarrollo de habilidades que permiten resolver problemas en su entorno utilizando diferentes
estrategias.
31
3. Capítulo III. Diseño Metodológico
3.1 Enfoque
Este trabajo se desarrolla bajo la metodología de la investigación cualitativa y el enfoque
de investigación-acción, orientado hacia la transformación del quehacer educativo, donde el
docente es un investigador de las dificultades que se presentan en un aula de clase, que le permite
reflexionar, comprender, analizar y mejorar las estrategias pedagógicas, por ende, la investigación-
acción se puede concebir como una nueva forma de entender y realizar el quehacer docente.
Kemmis McTaggart (1998) citado por Bausela (2002), propone el desarrollo de cuatro fases
en el proceso de investigación-acción. En la primera fase, se debe realizar un diagnóstico de la
situación que se va a estudiar, en la segunda fase se implementa un plan de acción, que permita
mejorar la situación; en la tercera fase, se implementa el plan de acción y se realiza una observación
de lo que está sucediendo, y en la cuarta fase se realiza una reflexión en torno a lo observado para
una nueva planificación.
3.2 Método
Para el desarrollo de la propuesta se tuvo en cuenta las cuatro fases expuestas en el enfoque
de investigación –acción.
Fase de diagnóstico, en la cual se identificó el tema a trabajar, a partir de las necesidades
que presentaban los estudiantes del grado octavo del Colegio Parroquial San Francisco de Asís,
luego se realizó un estado del arte que permitió formular la pregunta problema, el objetivo general
y los objetivos específicos de la de la propuesta a desarrollar.
32
Fase de elaboración de un plan de acción, en el cual se propone la realización de acciones
y actividades de la propuesta de enseñanza, además de las actividades evaluativas, que buscan dar
solución a las dificultades encontradas en el diagnóstico. Para ello, se propone el diseño de una
estrategia didáctica, en la cual se relacione el tema de la factorización con la geometría.
Fase de acción y observación, se implementa la unidad didáctica para la enseñanza de la
factorización en relación con la geometría, a partir del uso del material concreto, propiciando un
ambiente adecuado para su manipulación y observación, con la cual se busca dar solución a las
dificultades encontradas en el diagnóstico.
Fase de evaluación y reflexión, se realiza un análisis global de toda la propuesta a partir
de los datos recogidos, que permita identificar si los objetivos (general y específicos) de la
propuesta se cumplen a cabalidad y determinar el avance de los estudiantes frente al tema de la
factorización.
3.3 Instrumento de Recolección
Para la obtención de la información se implementó los siguientes instrumentos de
recolección:
Prueba diagnóstica, tiene como propósito determinar las fortalezas y debilidades que
tienen los estudiantes del grado octavo uno, respecto a los conocimientos previos sobre el
pensamiento variacional y espacial. Además la aplicación de esta prueba determino el punto de
partida para la implementación de la unidad didáctica.
33
Unidad didáctica, permite realizar un seguimiento del trabajo realizado por los estudiantes
para determinar fortalezas, debilidades y aprendizajes referentes a la propuesta de intervención en
el aula, además, de facilitar la validación en cuanto a los avances logrados por los estudiantes.
Diario de campo, tiene como propósito el registrar por escrito las observaciones que se
realizan dentro de la intervención en el aula, de tal manera que la información suministrada
contribuya al análisis de los resultados obtenidos, en las diferentes actividades de intervención.
3.4 Población y Muestra
La propuesta de investigación se desarrolla en el Colegio Parroquial San francisco de Asís
del municipio de Bello, la cual es una institución de carácter privado que cuenta con una población
de 1250 estudiantes desde preescolar hasta el grado once, donde se tendrá como muestra 23
estudiantes del grado 8°1.
3.5 Impacto Esperado
Se espera que con el desarrollo de la propuesta de intervención se fortalezca el pensamiento
variacional y espacial, a partir de la enseñanza de la factorización en relación con la geometría, de
tal manera que pueda ser usada de forma correcta en la solución de situaciones matemáticas y del
contexto.
3.6 Cronograma de Actividades
A continuación, se muestra la planificación de las actividades para el desarrollo de la
propuesta.
34
Tabla 3. Planificación de actividades
FASE OBJETIVOS ACTIVIDADES
Fase 1:
Diagnóstico
Seleccionar y delimitar
el tema de factorización.
Formulación e
identificación de la
problemática a trabajar
en el proceso de
enseñanza-aprendizaje
de la factorización.
Elaboración de los
objetivos de la propuesta
de enseñanza.
1.1. Revisión bibliográfica sobre el aprendizaje
significativo para la enseñanza del concepto de
factorización.
1.2. Revisión bibliográfica sobre la enseñanza de la
factorización a partir de su relación con la geometría.
1.3. Revisión bibliográfica de los documentos del
MEN enfocados a los estándares en la enseñanza del
concepto de la factorización en el grado octavo.
1.4. Revisión bibliográfica sobre herramientas
didácticas útiles para la enseñanza de la factorización.
Fase 2: Diseño
Elaboración de una
unidad didáctica para
desarrollar la
intervención en el aula.
2.1 Diseño y construcción de actividades para
diagnosticar los conceptos previos de los estudiantes.
2.2 Diseño y construcción de la unidad didáctica para
la enseñanza de la factorización a partir de su relación
con la geometría, la cual implica la construcción de
primas
2.3 Construcción y aplicación de actividades
evaluativas durante la implementación de la unidad
didáctica propuesta.
Fase 3:
Intervención en
el aula.
Desarrollar la unidad
didáctica en el grupo 8°1
del Colegio Parroquial
San Francisco de Asís.
3.1. Implementación de la unidad didáctica de
enseñanza propuesta.
Fase 4:
Evaluación
Evaluar la incidencia de la
unidad didáctica, en los proceso de enseñanza-
aprendizaje de la
factorización a partir de su relación con la geometría,
desde la perspectiva del
referente teórico adoptado.
4.1. Construcción y aplicación de una actividad evaluativa
de carácter global sobre la propuesta, al finalizar la implementación de la unidad didáctica.
4.2. Realización del análisis de los resultados obtenidos al implementar la unidad didáctica en los estudiantes del grado
8° del Colegio Parroquial San Francisco de Asís.
Fase 5:
Conclusiones y
recomendaciones
Determinar el alcance de
la propuesta a partir de
los objetivos planteados.
5.1 Elaboración de las conclusiones y
recomendaciones de lo observado y evaluado durante
el desarrollo de la unidad didáctica.
35
Tabla 4. Cronograma de actividades
Actividades
MESES
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Actividad 1.1
Actividad 1.2
Actividad 1.3
Actividad 1.4
Actividad 2.1
Actividad 2.2
Actividad 2.3
Actividad 3.1
Actividad 4.1
Actividad 4.2
Actividad 5.1
Semestre 1. Agosto, Septiembre, Octubre, Noviembre 2018
Semestre 2. Mayo, Junio, Julio, Agosto 2019
Semestre 3. Septiembre, Octubre; Noviembre de 2019 y Enero, Febrero y Marzo de 2020
36
4. Capítulo IV. Análisis de los Resultados
El análisis de los resultados se sustenta con base a la información obtenida en los diarios
de campo, en la prueba diagnóstica (Ver anexo B) y en la unidad didáctica (Ver anexo C), en
relación al aprendizaje significativo crítico.
4.1 Conocimientos previos
En el análisis del principio de conocimiento previo, se evidenciaron momentos en la
intervención donde los estudiantes relacionan su conocimiento previo con el nuevo conocimiento
haciendo que este fuera significativo para ellos.
Para la construcción del álgebra geométrica se le entregó a cada grupo la unidad didáctica
(Ver anexo C) y el material necesario para su realización como se evidencia en la ilustración 1,
allí la mayoría de los grupos lograron construirlo de forma satisfactoria, debido a sus habilidades
de motricidad fina para cortar el material, al uso adecuado de la regla como instrumento de medida
de una magnitud y la correcta construcción de un cuadrilátero.
Sin embargo, hubo un grupo que no logró realizar la construcción material, puesto que
iniciaban la medida de la magnitud a partir de uno, lo que evidencia falencias en el manejo del
instrumento de medida y en el concepto de medidas de longitud, esto se presenta por la falta de
estudio del pensamiento métrico y porque la regla no es empleada como un instrumento de medida
sino que se utiliza para realizar líneas rectas, ocasionando que el material no quedará con las
dimensiones requeridas y tuviera que construirse nuevamente. Por ende, antes de que se iniciará
de nuevo la construcción del material se realizó una intervención en este grupo respecto a
37
conceptos del pensamiento métrico y frente al adecuado uso del instrumento de medida, que les
permitió realizar la construcción de forma satisfactoria y así superar las dificultades presentadas.
Es de resaltar que la construcción del álgebra geométrica es una actividad en la cual el
estudiante es un agente activo en la construcción de su conocimiento, puesto que se evidencia la
participación, motivación y el deseo por aprender, donde todos trabajan con el propósito de obtener
un resultado positivo.
Ilustración 1. Estudiantes recortando el material
En la solución del punto 3, los estudiantes debían expresar el área de las figuras que
conforman el álgebra geométrica a partir de la longitud de sus lados, con el objetivo de que fueran
identificadas por la medida de su área; lo cual realizaron correctamente como se evidencia en la
ilustración 2; esto debido a que los estudiantes tienen interiorizado el concepto de área de figuras
geométricas al asociarlo con la longitud de los lados, además del concepto de variable, unidad y
unidad cuadrada, sin embargo en las soluciones planteadas se observa dos tipos de soluciones
respecto a la figura de color amarillo y negro, ya que en algunos grupos hicieron uso de la
propiedad modulativa en los números reales, al expresar que 1𝑎 = 𝑎 y 1𝑏 = 𝑏. Así mismo, se
percibe cómo los estudiantes comenzaron a establecer relaciones entre las diferentes figuras a
partir de la longitud de sus lados, lo que permitió establecer la relación entre álgebra y geometría
a partir del concepto de términos semejantes.
38
Ilustración 2. Respuestas de los estudiantes
Al desarrollar los ejercicios del 4 al 9 (Ver anexo C) sobre construcción de rectángulos y
prismas, los estudiantes lo realizan en su mayoría sin ninguna dificultad, lo que demuestra el
dominio del concepto de rectángulo y prisma, a partir del desarrollo del pensamiento espacial, así
mismo, hacen uso de cualquier letra del abecedario para representar una variable como se refleja
en la ilustración 3, lo que da a entender que los estudiantes tienen interiorizado el concepto de una
expresión algebraica desde su conformación.
Ilustración 3. Representación de una variable
Sin embargo, un grupo presentó inconvenientes al no comprender porque obtenían como
respuesta un cuadrado en lugar de un rectángulo, de donde se infiere que los estudiantes poseen
falencias en cuanto a las propiedades y características de los paralelogramos, debido a que en
ocasiones los docentes nos dedicamos a escribir definiciones que no son significativas para los
estudiantes, omitiendo las construcciones geométricas que permiten establecer relaciones entre los
diferentes tipos de paralelogramos o simplemente se estudian las matemáticas de forma
fragmentada.
39
En el ejercicio de razonamiento cuantitativo como se observa en la ilustración 4, los grupos
llegan a la solución correcta sin mayores contratiempos. Al dialogar con ellos sobre lo que
posibilitó la solución de este de forma instantánea, todos concluyen que el haber trabajado
situaciones con estas características en la prueba diagnóstica sirvió como conocimiento previo para
la solución del ejercicio, por ende se puede analizar la importancia que tiene trabajar y socializar
dentro del aula de clase cualquier tipo de actividad, además este tipo de situaciones permiten
establecer relaciones entre lo algebraico y lo geométrico, en lo algebraico al realizar la solución y
en lo geométrico lo que concerniente al dibujo, dándole significado a las dos. Lo anterior se logra
porque los estudiantes logran relacionar el lenguaje común con el aritmético, el algebraico y el
geométrico, así mismo se refleja claridad en el concepto de magnitudes directamente
proporcionales en el cálculo del costo del envío.
Ilustración 4. Ejercicio de razonamiento cuantitativo
4.2 Interacción social
Moreira (2005) plantea que, el acto de enseñanza implica la interacción social, entre el
docente y el estudiante propiciando una negociación de significados a partir del material educativo,
basado en el intercambio de preguntas que propicia un aprendizaje significativo crítico.
En la intervención se presentaron diferentes momentos que permitieron evidenciar el
transcurrir del principio, es el caso del punto 4 (Ver anexo C), donde los estudiantes debían formar
rectángulos a partir de unir dos o más figuras del álgebra geométrica y expresar el área del nuevo
40
rectángulo a partir de sus dimensiones. En la solución se presentó que la figura obtenida era un
cuadrado lo cual según los estudiantes no correspondía con lo solicitado en el punto, lo que originó
un intercambio de significados entre el docente y los estudiantes, a partir de preguntas como ¿por
qué está malo?, ¿cuáles son las características de un rectángulo?, ¿cuáles son las características de
un cuadrado?, ¿qué cuadriláteros identificas?, ¿por qué todo cuadrado es un rectángulo?, ¿por qué
no todos los rectángulos son un cuadrado?. Este intercambio de significados respecto a las
propiedades y características de los cuadriláteros posibilitó abordar las concepciones y creencias
de los estudiantes frente al concepto, donde se pudo observar que para la mayoría de los estudiantes
cuando se les menciona la palabra cuadrilátero lo asocian solo con el cuadrado y unos cuantos con
el rectángulo, omitiendo los diferentes tipos de cuadriláteros (paralelogramos, rombos, trapecios y
trapezoides), evidenciando la falta de aprehensión del concepto, lo que da a entender que estos se
abordan de forma separada sin establecerse ningún tipo de relación a partir de sus características
y propiedades; además se percibe que el concepto de cuadrado es empleado de forma equivoca al
relacionarse con cualquier tipo de figura de cuatro lados, esta idea se sustenta en la implementación
de la prueba diagnóstica (Ver anexo B) donde realizaron una clasificación de polígonos y al
polígono de cuatro lados en su mayoría lo clasifican como un cuadrado como se refleja en la
ilustración 5, aquí se puede inferir que los estudiantes no hicieron un análisis del polígono
presentado para su clasificación respecto a las características y propiedades del mismo, sino, que
simplemente se dejaron llevar de sus creencias y percepciones.
Ilustración 5. Clasificación de polígonos
41
Así mismo, en la solución del punto 4 se presentó un nuevo intercambio de significados
entre estudiantes, en cuanto a la forma correcta de expresar la longitud de un lado, al unir dos o
más figuras del álgebra geométrica, debido a que lo expresaban como el producto de 𝑎 𝑥 𝑏, siendo
esto incorrecto, por ende se dio una negociación de significados respecto a lo que significa
adicionar o multiplicar, obtenido como aprendizaje que la adición en este caso del álgebra
geométrica es la medida de la longitud de un lado y la operación de multiplicar esta relaciona con
la medida del área. Lo cual, se origina por la falta de contextualización del pensamiento
variacional, ya que este se ha trabajado de forma abstracta basada en la reproducción de algoritmos,
lo que dificultad establecer relaciones con otros pensamientos, en este caso en el espacial.
En el cálculo del volumen de los prismas, se observó que los estudiantes estaban teniendo
dificultades para hallar la medida de la altura, sin embargo esta no tuvo mayor relevancia puesto
que se orientó la solución de la misma a partir de un intercambio de significados entre los
estudiantes y el docente, llegando a la conclusión que para la medida de la altura se hacía necesario
la utilización de un instrumento de medida, en este caso la regla como se observa en la ilustración
6, dado que esta no se podía establecer en términos de una variable de 𝑎 ó 𝑏, como sucedida en el
área de las figuras del álgebra geométrica, al ser una magnitud exacta.
Ilustración 6. Estudiantes tomando la medida de la altura del prisma
42
4.3 Cómo relacionan la medida del álgebra y geometría
El uso de material concreto facilitó la comprensión del concepto de factorización a partir
de su relación con la geométrica, debido a que los estudiantes relacionan las variables de una
expresión algebraica con el perímetro, el área o el volumen de figuras geométricas como se
evidencia en la ilustración 7, lo que permitió dar significado a lo que realizaban operativamente
siguiendo determinados procedimientos. Además, el uso de material concreto les posibilita
interactuar y compartir significados con sus compañeros respecto a lo obtenido, al ser el estudiante
un agente activo en la construcción de su conocimiento, permitiendo una mayor comprensión del
mismo.
Ilustración 7. Relación entre álgebra y geometría
En el cálculo del volumen de un prisma formado al sobreponer figuras del mismo tamaño
del álgebra geométrica, se evidencia que todos los grupos obtienen respuestas correctas, a partir
del producto entre el ancho, el largo y la altura. En la medida del ancho y el largo del prisma todos
los grupos obtienen las mismas respuestas, ya que estas se expresan a partir de las dimensiones de
las figuras del álgebra geométrica en términos de a, b y la unidad; sin embargo, la altura por el
contrario varía en los diferentes grupos como se observa en la ilustración 8, esto se pudo presentar
por diferentes factores, uno de ellos, es que al ser una medida de unidades tan pequeña como son
los milímetros los estudiantes contaban las líneas y no los espacios entre cada milímetro, segundo
43
por el mal uso del instrumento de medida, puesto que, al ser una altura de poca magnitud los
estudiantes ubican la regla de forma vertical omitiendo que en la mayoría de reglas su inicio de
construcción no es exactamente el inicio de medida y por último, temas relacionados con la
consistencia del material, el cual al ser papel fomi y al generar algún tipo de presión hace que este
pierde altura.
Ilustración 8. Volumen de los prismas
4.4 Utilización del álgebra geométrica
La utilización del álgebra geométrica, teniendo en cuenta lo expresado por los estudiantes
y lo observado durante la implementación de la unidad didáctica como recurso, posibilita la
comprensión por parte de los estudiantes del concepto de factorización desde su relación con la
geometría, dándole significado a lo que ellos realizan de forma “mecánica” al implementar un caso
de factorización.
Además, la comprensión sobre la utilización del material concreto les resultó de muy fácil
acceso para los estudiantes, puesto que en un primer acercamiento a su utilización se les propuso
como actividad encontrar el área de los seis rectángulos que conforman el álgebra geométrica y
luego formar tres rectángulos empleando dos o más figuras, donde debían calcular el área del
nuevo rectángulo a partir de sus dimensiones, obteniendo resultados positivos frente a la
manipulación del material y la solución de los ejercicios planteados como se observa en la
ilustración 9.
44
Es de resaltar que en esta parte de la unidad no se les había explicado cómo se utilizaba el
álgebra geométrica, lo que hace más significativo el trabajo realizado por estudiantes, debido a
que este tipo de actividades promueven la curiosidad, la indagación e interés por adquirir el
conocimiento por sí solos mediante la orientación del docente.
Ilustración 9. Respuestas de los estudiantes
En la solución del punto 6, la utilización del álgebra geométrica permitió que todos los
grupos llegarán a la solución correcta a partir de la representación, al unir las áreas de los cuatro
tipos de flores, en un solo rectángulo como se evidencia en la ilustración 10, realizando el proceso
de solución de un trinomio de la forma 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 de forma geométrica, sin la necesidad de
implementar procedimientos abstractos, además se puede inferir que los estudiantes comprenden
que una expresión algebraica puede ser entendida como la medida de un área, al relacionar el
álgebra con la geometría. Así mismo, la utilización de material permitió que todos los estudiantes
realizarán ejercicios de factorización sin ninguna dificultad a partir de la construcción de
rectángulos.
45
Ilustración 10. Solución geométrica de la expresión x^2+bx+c
4.5 Representaciones
En el análisis de las representaciones realizadas por los estudiantes se pueden percibir tres
tipos de soluciones en lo referente al punto 10 (Ver anexo C); en una primera solución los
estudiantes logran representar satisfactoriamente lo propuesto, una segunda solución los que
logran resolver una parte y por último están los que no logran representar de la mejor manera lo
propuesto.
Ilustración 11. Representación correcta
46
En la anterior representación se puede observar cómo los estudiantes relacionan el lenguaje
aritmético, algebraico y geométrico para dar una solución, de lo cual se puede inferir que los
estudiantes del grupo tienen claridad en conceptos relacionados con el pensamiento variacional y
espacial, al realizar correctamente la gráfica con sus diferentes dimensiones.
Ilustración 12. Representación incompleta
En esta representación se evidencia que los estudiantes hacen uso del lenguaje geométrico
y aritmético para representarlo de forma correcta; sin embargo, omiten la utilización del lenguaje
algebraico para expresar las dimensiones del prisma, esto pudo haber sucedido porque se olvidaron
de colocar las medidas de las longitudes o por el hecho de que no lograron relacionar la
construcción geométrica con lo algebraico.
47
Ilustración 13. Representación que puede mejorar
En la anterior representación se evidencia falta de dominio del pensamiento espacial para
la construcción de figuras tridimensionales, lo cual se puede presentar por la falta de construcción
por parte de los estudiantes, debido a que estas figuras son presentadas en el aula de clase
con el único objetivo de calcular el volumen, sin darle mucha relevancia a su construcción, sin
embargo se percibe que los estudiantes tienen dominio sobre el pensamiento variacional al
interpretar la altura como una variable en términos de 𝑥, al no poderse determinar la cantidad
exacta de libros.
En la solución del punto 9 (Ver anexo C) se logra evidenciar cómo los estudiantes
relacionan el álgebra con la geometría de forma correcta, al expresar y calcular el volumen de una
caja en términos de una variable x, siendo x el valor de una magnitud como se refleja en la
ilustración 14, además se infiere que los grupos comprendieron el concepto de volumen a partir de
la construcción del prima, al calcularlo como una expresión algebraica, así mismo los estudiantes
suman, restan y multiplican términos algebraicos correctamente, lo que demuestra el dominio del
pensamiento variacional en relación al pensamiento espacial.
48
Ilustración 14. Medidas de la caja
Luego, en relación a la construcción de la caja, se les propone construir una, en medio
pliego de cartón paja, donde se puede determinar que los diseños obtenidos tienen diferentes
dimensiones tanto en su ancho, largo y altura, como se evidencia en la ilustración 15, debido a que
las medidas las establece cada grupo, además se observa como hacen uso del instrumento de
medida de forma correcta, lo que destaca la implementación de la unidad didáctica frente a un
concepto que se daba por dominado. Es de resaltar la participación de todos los estudiantes en la
construcción de la caja, puesto que, este tipo de actividades les resulta ser motivante a la hora de
aprender, además les permite compartir conocimientos entre ellos mismo respecto al objeto de
estudio.
49
Ilustración 15. Construcción de la caja
Durante las representaciones realizadas por los estudiantes a partir de unir dos o más figuras
del álgebra geométrica y obtener como resultado un rectángulo, se observa que aunque todos los
grupos llegan a la solución, al principio de la utilización del material no asociaban los lados
semejantes como se evidencia en la ilustración 16 en la imagen 1, puesto que los lados del
rectángulo rojo no los asocian con los lados semejantes de los rectángulos verdes como se muestra
en la imagen 2, esto pudo suceder porque obtuvieron la respuesta correcta sin necesidad de
relacionar los lados semejantes.
50
Ilustración 16. Representaciones con el álgebra geométrica
4.6 Conocimiento como lenguaje
Moreira (2005) plantea que, aprender un conocimiento de forma significativa es aprender
su lenguaje, el cual se encuentra mediado por el intercambio de significados, donde se relacionan
palabras, signos, instrumentos y procedimientos, que posibilitan una nueva percepción del mundo;
estas percepciones se logran cuando los estudiantes expresan sus ideas ya sea hablando,
escribiendo o por medio de una representación, que evidencia la compresión de un concepto
matemático, a partir de la implementación de diferentes actividades que hacen que el proceso de
enseñanza-aprendizaje no se desarrolle de forma memorística, donde los conceptos son un
conjunto de fórmulas sin sentido. Sobre este particular, Moreira indica: “Ese tipo de aprendizaje,
bastante estimulado en la escuela, sirve para "pasar en las evaluaciones", pero tiene poca retención,
no requiere comprensión y no da cuenta de situaciones nuevas”. (Moreira, 2005, p.5)
En el uso del álgebra geométrica, se observó cómo los estudiantes comunican sus ideas y
conceptos haciendo uso del lenguaje matemático, el cual, era significativo en la medida que
solucionaban la unidad didáctica y la negociación de significados era cada vez mayor entre
estudiantes y el docente, este tipo de “diálogo consciente que permita al profesor, y al mismo
51
estudiante, conocer el nivel de entendimiento logrado mediante el trabajo realizado.” (Henao,
2005, p.19)
La utilización del lenguaje matemático se evidenció durante toda la unidad didáctica, sin
embargo, se destacan momentos donde los estudiantes hacen uso de este para expresar el nivel de
aprehensión, es el caso del cálculo del área de los rectángulos, donde nombran las dimensiones de
los rectángulos como base y altura, en la cual, la base es relaciona con el lado de mayor longitud
y así, se evidencia durante las construcciones realizadas.
Además, el asociar la longitud de los lados de los rectángulos como una variable, permitió
que los estudiantes comprendieran que el concepto de factorización se relaciona con el perímetro
y el área de los rectángulos formados, donde se sienten sorprendidos por la solución porque no
tuvieron la necesidad de reproducir un algoritmo de solución.
Por otro lado, en la solución de los ejercicios de razonamiento cuantitativo los estudiantes
hacen uso del lenguaje común y del lenguaje matemático, donde se observa un dominio en cuanto
al concepto de área y volumen en términos de una variable, que les permitió a la mayoría de los
grupos dar soluciones algebraicas y geométricas a las situaciones planteadas, destacándose la
construcción final de la caja, a lo cual manifiesta que ninguna había quedado con las mismas
dimensiones, porque tanto el ancho, el largo y la altura eran variables en las cuales, no se había
proporcionado una medida exacta, lo que ocasionó que todas las representaciones realizadas por
los grupos fueran diferentes, en este sentido Henao (2005), expresa que:
En la medida en que los estudiantes van resolviendo problemas ganan confianza en el uso de las
matemáticas, desarrollan una mente inquisitiva y perseverante, aumentan su capacidad de comunicarse matemáticamente y su capacidad para utilizar procesos de pensamiento de más alto
nivel. (p.57)
52
Para el desarrollo de la unidad fue fundamental fortalecer los espacios de comunicación,
donde los estudiantes evidenciaron el uso del lenguaje común y matemático como instrumento
mediador en la adquisición de conocimiento dado que “la efectividad de una clase de matemáticas
se mide según la capacidad final del estudiante para comunicar lo aprendido y resolver problemas
cotidianos o científicos, prácticos o teóricos en los cuales aplique el saber adquirido”. (Henao,
2005, p.74)
Para concluir, la implementación de la unidad didáctica y el uso del álgebra geométrica
permitieron obtener resultados satisfactorios, respecto a la relación que los estudiantes lograron
establecer entre álgebra y geometría, evidenciando que este tipo de propuestas son realmente
significativas para ellos, debido a que le encontraban significado a las expresiones algebraicas, al
establecer patrones de regularidad en el perímetro, área y volumen de las figuras obtenidas.
Además, se identificó que gran parte los estudiantes abordaron los conceptos matemáticos de
forma fragmentada, puesto que manifiestan no conocer la relación existente entre álgebra y
geometría.
Así mismo, el trabajo en equipo posibilitó que el aula de clase se convirtiera en un espacio
donde todos aportan en la construcción del conocimiento, aspecto fundamental para la obtención
de un aprendizaje significativo crítico, a lo cual Moreira afirma que: “el aprendiz debe presentar
una predisponían para aprender”(2005, p.6), haciendo uso de sus conocimientos previos, los cuales
les permitían compartir y negociar significados frente al nuevo conocimiento, desde el lenguaje
común y matemático; donde la negociación era cada vez más significativa en la medida que se
desarrollaba la unidad. Según Moreira, Caballero y Rodríguez Palermo (2004), citados por Moreira
(2005), “sabemos igualmente que el aprendizaje significativo es progresivo, es decir, los
53
significados van siendo captados e internalizados y en este proceso el lenguaje y la interacción
personal son muy importantes” (p. 5).
Esto se logró gracias a que en el aula de clase había un ambiente de tranquilidad,
compromiso, respeto, escucha y deseo por aprender a partir del material, que les resultaba
interesante y diferente a la manera como venían trabajando las matemáticas, por ende “la
utilización de materiales diversificados, y cuidadosamente seleccionados, en lugar de la
centralización en libros de texto es también un principio facilitador del aprendizaje significativo
crítico”. (Moreira, 2005, p.10).
Los estudiantes logran comprender que 𝑥2 no es simplemente un término algebraico, que
en muchos casos relacionan erróneamente como 𝑥 + 𝑥, sino que es el área de un cuadrado; esto
es, logran visualizar la representación geométrica del cuadrado de lado 𝑥, que se esconde en la
expresión 𝑥2, Esto, sin duda es una muestra del lenguaje como conocimiento.
Es preciso entender que el aprendizaje es significativo cuando nuevos conocimientos (conceptos,
ideas, proposiciones, modelos, fórmulas) pasan a significar algo para el aprendiz, cuando él o ella es capaz de explicar situaciones con sus propias palabras, cuando es capaz de resolver problemas
nuevos, en fin, cuando comprende. (Moreira, s,f, p.1)
Al establecer la relación entre álgebra y geometría a partir del concepto de variable
asociado a la medida del perímetro, área y volumen, los estudiantes llegan a comprender que la
medida de una magnitud no siempre es exacta, sino que, por el contrario, esta puede tomar
diferentes valores y que para ello, se expresa en términos de una variable, lo que permitió potenciar
los conocimientos previos de los estudiantes, y la solución de los ejercicios de razonamiento
cuantitativo.
El aprendizaje significativo se caracteriza por la interacción entre el nuevo conocimiento y el
conocimiento previo. En ese proceso, que es no literal y no arbitrario, el nuevo conocimiento
54
adquiere significados para el aprendiz y el conocimiento previo queda más rico, más diferenciado,
más elaborado en relación con los significados ya presentes y, sobre todo, más estable. (Moreira, 2005, p.4)
Los estudiantes podían resolver de forma mecánica la expresión algebraica de 𝑎2 + 𝑎𝑏, al
hacer uso de algoritmos de solución, los cuales no les permitía establecer y comprender lo que
estaban realizando (nota del diario de campo), sin embargo, el uso del álgebra geométrica permitió
que los estudiantes lograran comprender que está expresión algebraica era la unión de dos
rectángulos, en donde 𝑎2 es la media del área de un rectángulo de lado “𝑎” y 𝑎𝑏 es la medida del
área de un rectángulo donde su base y altura son “𝑎” y “𝑏”; rectángulos que se relacionan entre sí,
al tener el lado 𝑏 en común, logrando así visualizar la representación geométrica del factor común,
según Moreira: “El uso de diferentes perspectivas y planteamientos didácticos que impliquen la
participación activa del estudiante y, de hecho, promuevan una enseñanza centrada en el alumno
es fundamental para facilitar un aprendizaje significativo crítico.” (Moreira, 2005, p.18)
55
5. Capítulo V. conclusiones y Recomendaciones
5.1 Conclusiones
Luego del diseño, aplicación y análisis de la estrategia didáctica para la enseñanza de la
factorización a partir de la relación entre álgebra y geometría, se puede concluir que:
Los resultados de la prueba diagnóstica evidencian que a los estudiantes se les dificulta
establecer relaciones entre lo algebraico y lo geométrico, debido a que los conceptos
matemáticos se han trabajado de forma fragmentada y abstracta. Además, el identificar estas
concepciones previas en los estudiantes fue el punto de partida para diseño de la unidad
didáctica.
Al analizar el sentido que le otorgan los estudiantes a los conceptos algebraicos y geométricos,
se evidencia que estos se limitan a la reproducción de algoritmos por imitación, los cuales no
les permitía 3399comprender lo que están desarrollando.
El diseñar una estrategia didáctica mediante situaciones de razonamiento cuantitativo,
posibilita que los estudiantes visualicen la importancia de las matemáticas, en la solución
de situaciones de su contexto, facilitando la comprensión y apropiación de los mismos.
La implementación de la estrategia didáctica a partir de los principios del aprendizaje
significativo critico de Moreira (2005) y de la utilización del álgebra geométrica permitió
obtener resultados satisfactorios, respecto a la relación que los estudiantes lograron establecer
entre álgebra y geometría, evidenciando que este tipo de propuestas son realmente
significativas, debido a que los estudiantes le encuentran significado a los diferentes conceptos
algebraicos y geométricos desarrollados durante la intervención, lo que indica que el relacionar
conceptos permite obtener resultados positivos, debido a que el estudiante analiza, argumenta
e interpreta los conocimientos.
56
El uso del álgebra geométrica permite que los estudiantes sean agentes activos en la
construcción de su conocimiento, donde comunicaban sus ideas y conceptos haciendo uso del
lenguaje matemático, el cual era más significativo en la medida que los estudiantes
desarrollaban la unidad didáctica. Además, posibilita el trabajo en equipo, logrando valiosos
niveles de participación y compromiso por parte de los estudiantes.
5.2 Recomendaciones
Incluir dentro de la estrategia didáctica más situaciones de razonamiento cuantitativo que les
permitan a los estudiantes relacionar los conceptos matemáticos con su contexto, debido a que
esto les causa curiosidad y deseo por aprender.
Se recomienda que las falencias identificadas con la implementación de la prueba diagnóstica
se aborden antes de la implementación de la unidad didáctica lo cual evite que, en la solución
de esta, se deban hacer pausas para esclarecer los conocimientos previos de los estudiantes, los
cuales son necesarios para obtención de un aprendizaje significativo crítico.
Implementar dentro de las estrategias didácticas no solo el uso de conceptos matemáticos, sino,
que estás posibiliten una transversalidad con otras áreas del conocimiento, desarrollando así
competencias de razonamiento cuantitativo y pensamiento crítico en los estudiantes.
Es necesario que los conceptos matemáticos no se aborden de forma fragmentada, para que
estos sean significativos para los estudiantes y así cambiar la creencia que las matemáticas
consisten en la implementación de algoritmos sin sentido.
57
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61
Anexos
A. Anexo: Paradigmas Psicopedagógicos
Desde el libro “Estrategias didácticas del aprendizaje cooperativo” (Ferreiro, 2003) se
establecen los paradigmas psicopedagógicos, teniendo en cuenta que en el transcurrir de los años
cada generación deja su legado, el cual es susceptible a ser cambiado, refutado o mejorado, es así
como se constituye el avance en la educación donde grandes pensadores según su época y regidos
por el orden moral y ético tienen como objeto de estudio los procesos de enseñanza-aprendizaje.
Ferreiro (2003) señala que los paradigmas cumplen con el propósito de explicar y resolver una
situación que cause problemática en el ámbito científico, psicológico y educativo; condicionado
por las dinámicas sociales; además de contribuir con propuestas educativas mediante metodologías
y teorías.
A continuación, se describen los diferentes paradigmas psicopedagógicos, establecidos en
el libro “Estrategias didácticas del aprendizaje cooperativo” (Ferreiro, 2003).
El conductismo para Ferreiro (2003) se basa en la relación estímulo-respuesta, donde el
estímulo determina la respuesta, la cual se encuentra condicionada por el ambiente, así mismo el
conductismo tiene como objetivo la enseñanza y el aprendizaje mediado por la programación del
docente, allí la evaluación es el elemento esencial, puesto que es observable, medible y
cuantificable, y permite comprobar los objetivos planteados. Aportando además al movimiento de
la tecnología educativa.
El humanismo para Ferreiro (2003) se centra en el sujeto como una totalidad dinámica en
relación con su contexto, por ende, tiene en cuenta que los ritmos de aprendizaje son diferentes y
se deben adaptar de acuerdo a sus intereses, necesidades y capacidades, con el objetivo de propiciar
la autonomía en los estudiantes y crear ambientes de enseñanza-aprendizaje orientados hacia el
62
respeto y la cooperación, de tal manera que propicia una educación personalizada al considerar
que cada persona es única y diferente.
El cognitivo desde Ferreiro (2003) se encuentra orientado hacia la representación mental y
a las categorías de orden cognitivo como lo son la atención, percepción, memoria, lenguaje, y
pensamiento, enfocado hacia el aprendizaje significativo a través de la relación entre el
conocimiento previo y el nuevo aprendizaje. Cabe señalar que, el aprendizaje significativo se da a
partir de la coherencia en el material por aprender, la intención para aprender por parte del
estudiante y el maestro como mediador, cuya finalidad “está en enseñar a pensar o, dicho de otra
manera, en aprender a aprender, desarrollando toda una serie de habilidades como procesadores
activos, independientes y críticos del conocimiento” (Ferreiro, 2003, p.21), de tal forma que la
enseñanza no se reduce a conceptos, sino que involucra habilidades de aprendizaje que permiten
solucionar problemas de acuerdo al esquema mental, entonces, dicho paradigma contribuye
programas de enseñar a pensar y aprender a aprender.
Para Ferreiro (2003) el sociohistórico o sociocultural, es una síntesis integradora y
coherente de los conocimientos científicos sobre el desarrollo humano, el papel de la educación y
las condiciones sociales de vida en el desarrollo de las nuevas generaciones, lo cual implica que el
acto educativo está mediado por las dinámicas sociales y por la relación bidireccional sujeto-
objeto, donde el sujeto se construye como un ser social activo y provoca a su vez una
internalización progresiva. Así entonces, el desarrollo del aprendizaje se da a través de la ZDP,
donde la educación se realiza de forma desarrolladora.
El constructivismo plateado por Ferreiro (2003) busca dar respuesta a cómo se adquiere el
conocimiento y que este no debe ser considerado como una simple información, sino que debe
63
responder a una formación integral, la cual pueda trascender a categorías del pensamiento racional.
Además, el constructivismo propicia el aprendizaje significativo por medio de situaciones de
aprendizaje individual o grupal cooperativo, donde descubre y construye conocimiento
propiciando la internalización. Allí el proceso de enseñanza-aprendizaje está orientado hacia el
desarrollo, el cual está condicionado por el ambiente y hacia la dirección mediatizada, donde el
docente guía a los estudiantes al aprendizaje autónomo.
En consecuencia y desde la experiencia pedagógica se observa que el paradigma
predominante en la actualidad es el conductismo, donde se transmiten contenidos con el fin de
dotar a cada sujeto de un rol en la sociedad de acuerdo al grupo social que pertenece, lo cual adapta
relaciones de producción a partir de medios como los libros (editoriales), herramientas
tecnológicas y medios de comunicación, por mencionar solo algunos.
Es por ello que la escuela debe verse como constructora y no como reproductora, sin olvidar
que las esferas sociales (económica, política, cultural, religiosa, militar) están ligadas con las
instituciones educativas, dado que los sistemas educativos están permeados por lo que acontece en
estas esferas, así mismo cada una repercute en las demás, entonces es un error pensar que dichas
instituciones son independientes de lo que sucede en el exterior de las aulas, es por ello que el
paradigma elegido para esta investigación es el constructivista social y el cognitivo, lo cual implica
que la transformación docente se da de acuerdo a la estructura de la clase, la cual propicia el
desarrollo del pensamiento crítico y creativo en concordancia con los contenidos.
64
B. Anexo: Prueba Diagnóstica
Docente: Deison Rivera Quintero
Nombre: ___________________________________________Fecha:______ Grado: 8°1
Objetivo
Determinar las fortalezas y debilidades que tienen los estudiantes del grado 8°1 respecto a los
conocimientos previos sobre el pensamiento variacional y espacial.
Responde en los espacios según lo pedido. Si es necesario, realiza los procedimientos detrás de la
hoja
1. Defina con sus propias palabras los siguientes términos:
a. Factorización:_________________________________________________________________
b. Área:________________________________________________________________________
c. Poligono:_____________________________________________________________________
d. Prisma:_______________________________________________________________________
2. A los diez días de vida, un elefante comió 5 caramelos. A partir de entonces su apetito creció y
cada día comió dos veces el número de caramelos que comió el día anterior. Encuentra una
expresión para determinar el número de caramelos que el elefante comería el enésimo (día número
n): ____________________________________________________________________
3. Factoriza el polinomio 6𝑎𝑥 + 12𝑥2𝑦 − 4𝑎 − 8𝑥𝑦:_____________________________________
4. Clasifica los siguientes polígonos de la figura 1.
Enseñanza de la factorización a partir de la relación entre
álgebra y geometría
Prueba Diagnóstica
65
5. El perímetro de la figura 2 es:_______________________________________________
6. El área de la figura 2 es:___________________________________________________
7. El área del rectángulo está dada por la expresión que lo acompaña, encuentra una expresión
algebraica para sus lados:________________________________________________
8. ¿Cuál es el volumen de un cubo cuyo lado está representado con la expresión 2x + 2y?:
___________________________________________________________________________
66
C. Anexo: Unidad Didáctica
Docente: Deison Rivera Quintero
Nombres: ___________________________________________Fecha:______ Grado: 8°1
Objetivo:
Relaciona el concepto de factorización de expresiones algebraicas con la resolución de
problemas de áreas y volúmenes, empleando el álgebra geométrica.
Estándares:
- Construyo expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada.
- Resuelvo problemas y simplifico cálculos usando propiedades y relaciones de los números
reales y de las relaciones y operaciones entre ellos.
- Uso representaciones geométricas para resolver y formular problemas en las matemáticas y en
otras disciplinas.
- Generalizo procedimientos de cálculo válidos para encontrar el área de regiones planas y el
volumen de sólidos.
- Selecciono y uso técnicas e instrumentos para medir longitudes, áreas de superficies,
volúmenes y ángulos con niveles de precisión apropiados.
- Conjeturo y verifico propiedades de congruencias y semejanzas entre figuras bidimensionales y
entre objetos tridimensionales en la solución de problemas.
DBA:
Enseñanza de la factorización a partir de la relación entre
álgebra y geometría
Unidad Didáctica
67
- Reconoce los diferentes usos y significados de las operaciones (convencionales y no
convencionales) y del signo igual (relación de equivalencia e igualdad condicionada) y los utiliza
para argumentar equivalencias entre expresiones algebraicas y resolver sistemas de ecuaciones.
- Describe atributos medibles de diferentes sólidos y explica relaciones entre ellos por medio del
lenguaje algebraico.
- Utiliza y explica diferentes estrategias para encontrar el volumen de objetos regulares e
irregulares en la solución de problemas en las matemáticas y en otras ciencias
- Identifica relaciones de congruencia y semejanza entre las formas geométricas que configuran
el diseño de un objeto.
Evidencias
- Usa el conjunto solución de una relación (de equivalencia y de orden) para argumentar la
validez o no de un procedimiento.
- Utiliza lenguaje algebraico para representar el volumen de un prisma en términos de sus aristas.
- Estima, calcula y compara volúmenes a partir de las relaciones entre las aristas de un prisma o
de otros sólidos.
- Interpreta las expresiones algebraicas que representan el volumen y el área cuando sus
dimensiones varían.
- Identifica la posibilidad del error en la medición del volumen haciendo aproximaciones
pertinentes al respecto.
- Compara figuras y argumenta la posibilidad de ser congruente o semejantes entre sí.
1. Conceptos básicos de álgebra y geometría
a. Factorización: Es el proceso consistente en escribir expresiones algebraicas aditivas en forma
multiplicativa.
b. Perímetro: Es la suma de las medidas de los lados que conforman el contorno de una figura;
sus unidades de medida se expresan en unidades lineales.
68
c. Área: Es la medida de una superficie o región que se encuentra delimitada por el perímetro y
sus unidades de medida se expresan en unidades cuadradas.
d. Polígono: Es una figura bidimensional cerrada, formada por líneas rectas.
e. Prisma: Es una figura tridimensional con dos bases paralelas e iguales, cuyas caras laterales
son paralelogramos.
Presentación del material: El álgebra geométrica es un recurso didáctico el cual se compone de
diferentes figuras divididas en tres cuadrados y en tres rectángulos de diferentes medidas, que
permiten relacionarse entre sí, a partir de la relación entre la medida de los lados. Con la
implementación de material se pueden establecer relaciones entre las figuras formando un solo
rectángulo, donde la medida del perímetro y el área expresan el concepto de factorización.
Materiales: Tijeras, hoja de papel fomi de color azul, rojo, verde, amarillo, negro y rosado.
2. Construcción del algebra geométrica, recortar las figuras que se indican.
4 cuadrados de 9 cm * 9 cm de color azul.
4 cuadrados de 5 cm * 5 cm de color rojo.
4 rectángulos de 9 cm * 5 cm de color verde.
15 rectángulos de 9 cm * 2cm de color amarillo.
15 rectángulos de 5 cm * 2cm de color negro
70 cuadrados de 2cm * 2cm de color rosado.
3. El área de las seis figuras es:
69
Figura de color azul: _________
Figura de color rojo: _________
Figura de color verde: ________
Figura de color amarillo: ______
Figura de color negro: ________
Figura de color rosado: _______
4. Utilizando el álgebra geométrica forma tres rectángulos empleando dos o más figuras del
algebra geométrica y calcular el área.
Representación Área
Rectángulo 1
Rectángulo 2
Rectángulo 3
5. Utilizando el álgebra geométrica, forma los rectángulos correspondientes al unir las áreas que
se indica y escribe su área final.
Representar
Áreas Base Altura Área final
𝑎2, 𝑎𝑏
𝑎2, 8𝑎, 16
2𝑎𝑏, 𝑏2, 𝑎2
2𝑎, 𝑎2, 1
𝑎2, −2𝑎, −3
70
6. En el jardín de Nando, se sembraron cuatro tipos de flores, Nando sabe que:
Las orquídeas tienen un área de 𝑥2
Los girasoles tienen un área de 4x
Las rosas tienen un área de 2x
Los pétalos tienen un área de 8
Utilizando el álgebra geométrica, representa el jardín de Nando y encuentra una expresión
para sus dimensiones: __________________________________
7. Juan está cortando el césped de su patio, el cual tiene forma cuadrada, si Juan cortó la parte
comprendida por el área sombreada, la medida de la superficie que le falta por podar está dada
por la expresión1:___________________
8. Utilizando el álgebra geométrica, forma los prismas que se indican al sobreponer las figuras
del mismo tamaño y escribe su volumen.
Representar
Figuras Ancho Largo Altura Volumen
4 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑎2
4𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑎2, 8 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑎, 4 veces la unidad
3 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑏2
1 Tomado de: www.intruimos.com
71
4 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑎2 𝑦 4 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑎𝑏
3 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑎2, 3 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑎𝑏, 3 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑎, 3 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑏
9. Julio quiere construir una caja para empacar un regalo para su nieto a partir de una lámina de
cartón, como se muestra en la figura
De cada esquina se corta un cuadrado de x cm de lado y se hacen dobleces en forma de
rectángulos para formar una caja, el volumen de la caja resultante es:
10. Néstor compra x libros por internet, cada uno con un valor de $30 dólares. El costo del envío
de cada libro es el 10% del valor de este.
a. Encuentra una expresión para determinar el costo total de compra y envió para x libros
b. Dibuja el paquete que recibirá Néstor, sabiendo que cada libro tiene 20 cm de largo y 15 de
ancho.
