Enseñanza de la Matemática mediante Recorridos de Estudio e Investigación (REI) mono disciplinares en la escuela secundaria

Viviana Carolina Llanos María Rita Otero

vcllanos@exa.unicen.edu.ar rotero@exa.unicen.edu.ar Núcleo de Investigación en Educación en Ciencia y Tecnología (NIECyT), Universidad Nacional del

Centro de la Provincia de Buenos Aires (UNCPBA). Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas (CONICET).

Tandil, Argentina

El REI y las preguntas

Q0: ¿Cómo operar con curvas cualesquiera si solo se dispone de la representación gráfica de las mismas y de la unidad en los ejes?

PREGUNTAS

§  ¿Qué organizaciones matemáticas es posible reencontrar?

§  ¿Qué caracteriza la actividad matemática? ¿Qué característ icas t iene la OM efect ivamente reconstruida por la clase, con relación a la actividad matemática que se lleva a cabo?

METODOLOGÍA

•  Se   han   realizado   6   implementaciones   durante   tres  años  consecu5vos.    

•  Las   implementaciones   fueron   realizadas   por   los  inves5gadores   en   dos   cursos   en   paralelo   por   cada  año,   seleccionados   intencionalmente   en   un   mismo  Establecimiento  Educa5vo.  

•  El  REI  dura  dos  años.    •  Han  par5cipado  (N=163)  estudiantes  de  4to  y  5to  Año  

de  la  Secundaria.    •  Durante   las   implementaciones   se   obtuvieron   los  

protocolos   escritos   de   los   estudiantes   en   todas   las  clases,   se   tomaron   registros   de   audio   de   la   clase   y  también  se  registraron  notas  de  campo.  

ESTUDIO DE FUNCIONES

Qii: multiplicación Qiii: cociente Qiv: potencia

Funciones Algebraicas

Qi: suma / resta

Operaciones con curvas

OM asíntotas

OM funciones racionales OM funciones polinómicas de segundo

grado

Construcción geométrica de cualquier curva

Q0: ¿Cómo operar con curvas cualesquiera si solo se dispone de la representación gráfica de las mismas y de la unidad en los

ejes?

Qv: raiz

OM funciones potenciales

OM funciones radicales

OM funciones a tramos

OM funciones polinómicas de primer

grado

OM funciones constantes

OM límite

Operación geométrica, gráfica y funcional.

OM semejanza de triángulos OM Teorema de Tales

OM funciones trigonométricas

OM funciones logarítmicas

Funciones Trascendentes

Operación algebraica Ecuaciones e inecuaciones en cada función algebraica y

OM operaciones con funciones

OM función valor absoluto

OM función signo

OM funciones polinómicas

OM función parte entera

OM funciones simétricas y antisimétricas

OM funciones exponenciales

OM funciones homográficas

La  OMR  

Las  OMER  

OMFPD OMFP OMFQ

Q1: ¿Cómo multiplicar dos funciones afín, si sólo se conoce su representación gráfica y la unidad en los

ejes?

Q2: ¿Cómo multiplicar más de dos rectas o rectas y

parábolas o parábolas, si sólo se conoce su

representación gráfica y la unidad en los ejes?

Q3: ¿Cómo realizar el cociente entre

funciones polinómicas, si sólo se conoce su

representación gráfica y la unidad en los ejes?

OMFP Funciones

polinómicas

OMFPot. Funciones potenciales

OMFL Funciones

afin

OMFQ Funciones racionales

OMFP Funciones polinómicas

de grado dos

OMOGC Operaciones geométricas con cualquier curva

OMFC Funciones constantes

Q0: ¿Cómo operar con curvas cualesquiera, si sólo se conoce su representación gráfica y la unidad en los ejes?

Q1:  La  OM  de  las  funciones  polinómicas  de  grado  dos  Situación 1 a 3

Las funciones f y g están dadas por los gráficos de las Figuras. Todas las rectas A//B//C//D, son perpendiculares al eje x. La función h=f.g

a) ¿Cuál podría ser la gráfica más razonable para h? ¿Qué características de la gráfica de h podrías justificar? b) Para todo xa y xb equidistantes de los ceros de cada función, CA=BD. ¿Es verdad que h(xa)=h(xb) ? ¿Podrías justificar? c) ¿Qué triángulos tendrías que construir para calcular la multiplicación entre f y g en el eje de simetría, utilizando como lado de uno de los triángulos, la unidad?

Situación 4

Las gráficas de las funciones f y g se cortan en (3;2). La función f interseca al eje x en (-1;0) y g en (5;0). Sea h=f.g ∀ x ∈ R a) Obtengan todas las fórmulas posibles y la representación cartesiana para h. b) ¿Cuál es el valor de h para la abscisa de la mediatriz? c) Si xa y xb son dos abscisas cualesquiera ubicadas a igual distancia respecto de cada cero de h es h(xa)=h(xb) como hemos demostrado en las situaciones anteriores. Verifiquen con la fórmula que han obtenido para h, al menos 3 casos y representen los valores gráficamente.

•  Se describen las características de las funciones didácticas topogénesis, cronogénesis y mesogénesis en cada año:

ESTUDIO II: La gestión del REI1

Implementación Nivel

Año I Implementaciones 1 y 2

Año II Implementaciones 3 y 4

Año III Implementaciones 5 y 6

Nivel Mesogenético

Nivel Topogenético

Nivel Cronogenético

Sintesis REI1 (Situaciones 1 a 3)

MARCO GEOMÉTRICO, GRÁFICO Y FUNCIONAL

Implementación Niveles

Año I Implementaciones 1 y 2

Año II Implementaciones 3 y 4

Año III Implementaciones 5 y 6

Nivel Mesogenético

Se obtiene una curva aproximada para h: � los signos, ceros y unos. � se realiza la prueba por la simetría de la curva, se construye el eje y se identifican los puntos simétricos. � La gráfica para h que se obtiene es razonable.

+ Se construyen: �  algunos múltiplos de la unidad, �  la técnica del vértice, � u n a g r á f i c a b i e n aproximada de h.

+ � Se analiza la generalidad en la prueba por la simetría, � se construyen múltiplos de la unidad y otros puntos a partir de los triángulos semejantes en cualquier abscisa � se obtiene una gráfica muy precisa para h.

Protocolo correspondiente al alumno A122. Implementación 1 (Año 1)

AÑO 1 - Implementaciones 1 y 2

Protocolo correspondiente al alumno A356. Implementación 3 (Año 2)

AÑO 2 - Implementaciones 3 y 4

Protocolo correspondiente a A5129 (Año 5)

Año 3. Implementaciones 5 y 6

Sintesis REI1 (Situaciones 4 a 10)

MARCO ANALÍTICO, GRÁFICO, FUNCIONAL (GEOMÉTRICO)

Implementación Niveles Año I

Implementaciones 1 y 2 Año II

Implementaciones 3 y 4 Año III

Implementaciones 5 y 6

Nivel Mesogenético

Se construyen: • las expresiones analíticas para h, • la representación gráfica a partir de puntos obtenidos analíticamente. • se recuperan: ceros, unos, signos, para la grafica de h. • Se construye la conjetura: “ n o t o d a p a r á b o l a p r o v i e n e d e l a multiplicación de rectas”

+ • S e r e t o m a n l a s características construidas en e l m a rc o g e o m é t r i c o (técnica del vértice) • se reconstruye el problema de las rectas que permiten generar la misma h.

+ • se verifican las técnicas del marco geométrico en el analítico, • se construye la conjetura “infinitos pares de rectas pueden generar una misma h”, • se recupera el problema de las rectas para obtener l a r e p r e s e n t a c i ó n fac tor izada dada la polinómica.

Protocolo correspondiente al alumno A230. Implementación 2 (Año 1)

AÑO 3 Implementaciones 1 y 2

Situación 4

Protocolo correspondiente al alumno A5127. Implementación 5 (Año 3)

AÑO 3 Implementaciones 5 y 6

Situación 4

Con relación a la OMER de las funciones polinómicas de grado dos, se desatacan algunos resultados: §  La justificación del vértice y la simetría de la parábola. §  El papel que adquieren los puntos seguros cuando solo se dispone de la unidad

en los ejes. §  El análisis de los signos, tarea que los estudiantes realizan en acto desde el

inicio porque necesitan hipotetizar una curva, y en este análisis la relación entre los ceros y el cambio o no de signo.

§  Tampoco “caen del cielo” las posibles formas de representar algebraicamente la

función, porque la forma factorizada ingresa desde el comienzo como la consecuencia del planteo del producto. las formas polinómica y canónica.

§  Es también importante que recuperando nociones geométricas se arribe al marco

funcional y analítico funcional

Algunos  resultados  

Algunos  resultados  Con relación a la gestión del REI:

•  Un obstáculo importante para el profesor es resistir la incertidumbre de la clase, cuando no “aparece” una vía de solución. Es duro vencer la tentación de “tomar la tiza” e invadir el topos del alumno.

•  La cronogénesis en una enseñanza por REI, dilata el tiempo didáctico y es un

obstáculo “cumplir con el programa” •  La modificación de contrato que se introduce altera el proceso de topogénesis.

Un obstáculo importante pero difícil para los alumnos es que el profesor ya no explica! Y por otro lado, ellos también son los responsables de introducir las cuestiones que podrían orientar el recorrido.

•  Las decisiones adoptadas en el nivel topogenético parecen “fijar” la suerte del REI debido a su estrecha vinculación con el proceso mesogenético: ¿qué es lo que se modificó entre las implementaciones en los diferentes años, al punto de lograr la generación de un medio más rico y de respuestas más elaboradas por los alumnos?

Otras cuestiones estudiadas en el REI

Q2: La OM de las funciones polinómicas Q2: ¿Cómo multiplicar más de dos rectas o rectas y parábolas o parábolas, si

sólo se conoce su representación gráfica y la unidad en los ejes? Las funciones f, y h están dadas por el gráfico de la Figura. La función p = f.h ¿Cuáles son los puntos seguros y los signos de p? a) ¿Cuál podría ser la gráfica más razonable para p? ¿Qué características de la gráfica de p podrías justificar?

• Identificación de los “puntos seguros” y los signos • Generalización de la técnica construida para el vértice

Q3: ¿Cómo realizar el cociente entre funciones polinómicas, si sólo se conoce su representación gráfica y la unidad en los ejes?

Las funciones f, y g están dadas por el gráfico de la Figura. La función (a) ¿Cuál podría ser la gráfica más razonable para q? (b) ¿Qué características de la gráfica de q podrías justificar? (c) ¿Es q una función?

gfq =

Q3: La OM de las funciones racionales

• Identificación de los “puntos seguros” y los signos • Generalización de la técnica construida para el vértice, ahora para el cociente. • Asíntotas

Conclusiones  y  perspec5vas  

Reconocemos limitaciones para ir más allá de un REI finalizado como el que se propone en este trabajo.

Se advierte una modificación positiva en las actitudes de los estudiantes con relación a la pedagogía de la investigación.

La realización de una enseñanza basada en preguntas ha sido posible y positiva y la construcción de respuestas por parte de los estudiantes muy contundente.

Surgen como consecuencia otras preguntas relativas a la investigación:

§  ¿Qué modificaciones son necesarias para permitir una mayor apertura en el REI?

§ ¿Qué instrumentos de análisis permiten describir las modificaciones en las actitudes básicas de la pedagogía de la investigación y del cuestionamiento del mundo, en un estudio longitudinal?

¡Muchas Gracias!

Este trabajo se desarrolla en el NIECyT (Núcleo de Investigación en Educación en Ciencia y Tecnología) de la Facultad de Ciencias Exactas de la UNCPBA (Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires) con financiamiento del CONICET (Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Tecnológicas). Los integrantes del equipo son: Marcelo Arlego, Ana Córica, Ana Inés Cocilova, Viviana Costa, Ángel don Vito, Mariana Elgue, Inés Elichiribehety, María de los Ángeles Fanaro, María Paz Gazzola, Carolina Llanos, María Rita Otero, Verónica Parra, Diana Patricia Salgado, Patricia Sureda.