21 – 01 – 2010

•Un sistema está en equilibrio mecánico cuando la suma de fuerzas y

momentos, sobre cada partícula del sistema es cero.

•Un sistema está en equilibrio mecánico si su posición en el espacio de

configuración es un punto en el que el gradiente de energía potencial es

cero.

La alternativa (2) definición de equilibrio que es más general y útil

(especialmente en mecánica de medios continuos).

:

El equilibrio mecánico es una situación estacionaria en la que se cumplen

una de estas dos condiciones:

Como consecuencia de las leyes de la mecánica, una partícula en

equilibrio no sufre aceleración lineal ni de rotación, pero puede estar

moviéndose a velocidad uniforme o rotar a velocidad angular uniforme.

Esto es ampliable a un solido rígido.

Las ecuaciones necesarias y suficientes de equilibrio mecánico son:

•Una partícula o un solido rígido está en equilibrio de traslación cuando: la

suma de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo es cero.

•En el espacio se tienen tres ecuaciones de fuerzas, una por dimensión;

descomponiendo cada fuerza en sus coordenadas resulta:

•Y como un vector, es cero, cuando cada una de sus componentes es

cero, se tiene:

Un sólido rígido está en equilibrio de traslación cuando la suma de las

componentes de las fuerzas que actúan sobre él cuerpo es cero.

•Un sólido rígido está en equilibrio de rotación, si la suma de momentos

sobre el cuerpo es cero.

•En el espacio tiene las tres ecuaciones una por dimensión; por un

razonamiento similar al de las fuerzas:

Resultando:

•Un sólido rígido está en equilibrio de rotación cuando la suma de las

componentes de los momentos que actúan sobre él es cero.

Un sólido rígido está en equilibrio si está en equilibrio de traslación y de

rotación.

Se distingue un tipo particular de equilibrio mecánico llamado equilibrio

estático que correspondería a una situación en que el cuerpo está en

reposo, con velocidad cero: una hoja de papel sobre un escritorio estará en

equilibrio mecánico y estático.

La definición del principio de este artículo es de poca utilidad en mecánica

de medios continuos, puesto que esa definición no es fácilmente

generalizable a un medio continuo.

Además, dicha definición no proporciona información sobre uno de los

aspectos más importantes del estado de equilibrio, y estabilidad.

El análisis de la estabilidad del equilibrio puede llevarse a cabo estudiando

los mínimos y máximos locales (extremos locales) de la función de energía

potencial.

Equilibrio meta-estable,

inestable y estable.

Un resultado elemental del analices matemático dice una condición

necesaria para la existencia de un extremo local de una función

diferenciable es que todas las derivadas primeras se anulen en algún

punto.

Un punto es de equilibrio inestable, si la segunda derivada de la

energía potencial es < 0 y por tanto la energía potencial tiene un

máximo local. Si el sistema sufre un desplazamiento de su posición

de equilibrio, por pequeño que este sea, entonces se alejara mas y

mas de el.

Un punto es de equilibrio indiferente o neutral, si la segunda derivada es = 0, entonces se encuentra una región donde la energía no varía.

Un punto es de equilibrio estable si la segunda derivada es > 0, y por tanto la energía potencial tiene un mínimo local.

Para problemas bidimensionales y tridimensionales, la discusión

anterior de la estabilidad se hace más complicada y requiere examinar la

forma cuadrática Q(x1,..., xn) definida por la matriz de la energía

potencial.

Equilibrio estable, se da cuando la forma cuadrática Q(x1,..., en) es

definida positiva y, por tanto, todos sus autovalores son números

positivos.Equilibrio totalmente inestable, se da cuando la forma cuadrática

Q(x1,..., en) es definida negativa, por tanto, todos sus autovalores son

negativos.

Equilibrio mixto inestable, se da cuando la forma cuadrática Q(x1,..., en)

es no es definida positiva y alguno de sus autovalores es negativo.Esto implica que según ciertas direcciones puede haber estabilidad

unidimensional pero según otras habrá inestabilidad unidimensional

En Matemáticas, Física y las Ciencias Aplicadas la teoría de la

estabilidad estudia las soluciones de ecuaciones diferenciales y sistemas dinámicos, es decir, examina como difieren las soluciones bajo pequeñas

modificaciones de las condiciones iníciales.

Estabilidad de ecuaciones diferenciales

Debido a que toda ecuaciones diferenciales puede reducirse a un sistema

de ecuaciones diferenciales de primer orden equivalente, el estudio de la

estabilidad de las soluciones de ecuaciones diferenciales puede reducirse

al estudio de la estabilidad de los sistemas de ecuaciones diferenciales. Consideremos por ejemplo un sistema de ecuaciones autónomo no lineal

dado por:

Donde es el vector de estado del sistema, un conjunto abierto que contiene al origen y . una función continua. Sin

pérdida de generalidad, podemos asumir que el origen es un punto de

equilibrio.

Estabilidad numérica

La estabilidad numérica técnicamente no forma parte de la teoría de la

estabilidad, puesto que no analiza la estabilidad de soluciones de un sistema de evolución temporal, sino la estabilidad del algoritmo usado para

encontrar una de las soluciones de dicho sistema.

Estabilidad de sistemas dinámicos

La estabilidad de los sistemas dinámicos se refiere a que pequeñas

perturbaciones en las condiciones iníciales o en alguna de las variables

que intervienen en la ecuación del movimiento produzca un

comportamiento suficientemente similar al comportamiento sin dichas

perturbaciones.

•Estabilidad de Lyapunov

•En Matemáticas, la noción de estabilidad de Lyapunov se da en el

estudio de los sistemas dinámicos. De manera sencilla, si todas las soluciones de un sistema dinámico descrito por una función X(t) que se

encuentre cerca de un punto de equilibrio Xo en una vecindad acotada por , entonces las trayectorias de la función X(t) son estables según

Lyapunov. •De manera fuerte, si la solución comienza en la vecindad de X(0) y

converge a Xo, entonces X(t) es asintóticamente estable en el sentido de

Lyapunov.

•Estabilidad estructural

Se define como un conjunto de elementos combinados entre sí con el

objeto de resistir con seguridad las cargas a la que es sometida y

transmitirla al terreno de fundación.

•Macizas, es cuando están formadas por volúmenes macizos de material;

laminares formadas por elementos constitutivos; también se las puede

llamar lineales formadas por piezas esbeltas y largas.

•La estática, se ocupa de las condiciones de equilibrio de los cuerpos

sometidos a la acción de fuerzas; la dinámica estudia el movimiento de los

cuerpos ambas componen la mecánica que se encuentra dentro de las

fuerzas físicas.

Fuerza: es la acción de un cuerpo sobre el otro que tiende a alterar el

estado de reposo o de movimiento del cuerpo, como magnitud vectorial y

hay dos tipos de magnitudes Escalares, quedan definidas mediante

números y unidades por ejemplo la distancia y el tiempo. Vectoriales,

requieren dirección de modulo y sentido, se pueden sumar gráficamente.

En una función de varias variables, si el gradiente en un punto se anula,

puede haber un máximo, mínimo ó un punto de silla, que no es ni

máximo ni mínimo. Es un punto en el que la función en una dirección

crece, y en otra decrece.

Su nombre se debe a que las funciones en estos puntos tienen forma de

silla de montar.

Un ejemplo típico es el paraboloide hiperbólico

, la función en R3:

Para determinar sus extremos relativos, calculamos su

derivada parcial respecto a x:

En el punto donde esta derivada valga cero, puede ser un extremo

relativo:

En el punto x = 0 puede haber un extremo relativo, calculando su

derivada segunda vemos:

Que es un mínimo, esto es siguiendo el eje de las x, en el punto x = 0 la

función presenta un mínimo relativo.

Veamos esto mismo en la dirección del eje de las y, su derivada parcial

primera es:

Cuando esta derivada primera valga cero, puede presentar un extremo

relativo:

En el punto y = 0, se da esta circunstancia, si vemos su derivada

segunda, tenemos:

Que toma valor negativo, luego este punto y = 0, es un máximo relativo, el

punto x = 0, y = 0, es un punto de silla, dado que en la dirección de las x

es mínimo y en la dirección de las y es un máximo.