Error de Estado Estacionario

Cálculo de errores de estado estacionario

Tipo de sistema y error de estado estacionario Ejemplo: Encontrar los requerimientos de error de estado estacionario

El error de estado estacionario se define como la diferencia entre la entrada y la salida de un sistema en el límite cuando el tiempo tiende a infinito (e.d. cuando la respuesta

ha alcanzado el estado estacionario). El error de estado estacionario dependerá del

tipo de entrada (escalón, rampa, etc.) y de (tipo del sistema) que el sistema sea del tipo 0, I, II,... .

Nota: el análisis del error de estado estacionario sólo es útil para sistemas

estables. Es responsabilidad suya verificar que el sistema sea estable antes de

desarrollar un análisis del error de estado estacionario. Muchas de las técnicas

que se presentan devolverán una respuesta aún cuando el sistema es inestable;

obviamente esta respuesta carece de sentido para un sistema inestable.

Cálculo de errores de estado estacionario

Antes de exponer acerca de las relaciones entre error de estado estacionario y tipo del sistema, se mostrará cómo calcular el error sin importar el tipo del sistema o la entrada

empleada. Entonces, derivaremos las fórmulas a aplicar en el análisis de error de estado estacionario. El error de estado estacionario puede calcularse de la función de

transferencia a lazo cerrado o abierto para sistemas con realimentación unitaria. Por

ejemplo, digamos que tenemos el siguiente sistema:

el cual es equivalente al siguiente sistema:

Podemos calcular el error de estado estacionario para este sistema ya sea de la función

de transferencia a lazo cerrado o abierto mediante el teorema del valor final (recuerde que este teorema solo puede aplicarse si el denominador no tiene polos en el

semiplano derecho):

Ahora, introduzcamos las transformadas de Laplace de las diferentes entradas para hallar las ecuaciones que nos permitan calcular los errores de estado estacionario a

partir de las funciones de transferencia a lazo abierto frente a diferentes entradas:

Entrada Escalón (R(s) = 1/s):

Entrada Rampa (R(s) = 1/s^2):

Entrada Parabólica (R(s) = 1/s^3):

Cuando se diseña un controlador, normalmente se quiere compensar el sistema frente

a perturbaciones. Digamos que tenemos el siguiente sistema con una perturbación :

podemos encontrar el error de estado estacionario para una entrada perturbación de un

escalón con la siguiente ecuación:

Finalmente, podemos calcular el error de estado estacionario para sistemas con

realimentación no unitaria:

Manipulando los bloques, podemos modelar el sistema como sigue:

Ahora, simplemente aplique las ecuaciones que mencionáramos arriba.

Tipo del sistema y error de estado estacionario

Si se refiere de nuevo a las ecuaciones para el cálculo de errores de estado

estacionario para sistemas con realimentación unitaria, hallará que tenemos definidas

ciertas constantes ( conocidas como las constantes estáticas de error). Estas constantes son la constante de posición (Kp), la constante de velocidad (Kv), y la constante de

aceleración (Ka). Sabiendo el valor de estas constantes además del tipo del sistema,

podemos predecir si el sistema va a tener un error de estado estacionario finito.

Primero, hablemos de el tipo sistema. el tipo del sistema se define como la cantidad de

integradores puros en un sistema. Esto es, el tipo del sistema es igual a el valor de n cuando el sistema se representa de la siguiente forma:

Por lo tanto, un sistema puede ser de tipo 0, de tipo 1, etc. Ahora, observemos cómo

se relaciona un error de estado estacionario con el tipo de los sistemas:

sistemas de tipo 0

Entrada Escalón Entrada Rampa Entrada Parabólica

Formula de error de estado estacionario 1/(1+Kp) 1/Kv 1/Ka

Constante Estática del Error Kp = constante Kv = 0 Ka = 0

Error 1/(1+Kp) infinito infinito

sistemas de tipo 1

Entrada Escalón Entrada Rampa Entrada Parabólica

Formula de error de estado estacionario 1/(1+Kp) 1/Kv 1/Ka

Constante Estática del Error Kp = infinito Kv = constante Ka = 0

Error 0 1/Kv infinito

sistemas de tipo 2

Entrada Escalón Entrada Rampa Entrada Parabólica

Formula de error de estado estacionario 1/(1+Kp) 1/Kv 1/Ka

Constante Estática del Error Kp = infinito Kv = infinito Ka = constante

Error 0 0 1/Ka

Pinche en el Tipo de sistema para ver los ejemplos

Ejemplo: Encontrar los requerimientos de error de estado

estacionario

Dado el siguiente sistema,

donde G(s) es:

K*(s + 3)(s + 5)

--------------------------

s (s + 7)(s + 8)

encontrar el valor de K de modo que hay un error de estado estacionario a lazo abierto

del 10% . Ya que este sistema es de tipo 1, no habrá error de estado estacionario frente a entrada escalón y un error infinito frente a entrada parabólica. La única entrada que

arrojará un error de estado estacionario finito en este sistema es un entrada rampa.

Observemos la respuesta frente a entrada rampa para una ganancia de 1: num = conv( [1 5], [1 3]);

den = conv([1,7],[1 8]);

den = conv(den,[1 0]);

[clnum,clden] = cloop(num,den); t = 0:0.1:50;

u = t;

[y,x] = lsim(clnum,clden,u,t);

plot(t,y,t,u)

xlabel('Tiempo(seg)')

ylabel('Amplitud')

title('entrada-magenta, salida-amarillo')

El error de estado estacionario para este sistema es muy largo, ya que podemos ver que la entrada en el tiempo = 20 proporciona una salida con amplitud de

aproximadamente 16. Hablaremos de esto con mayores detalles en seguida.

Sabemos por lo que establece nuestro problema que el error de estado estacionario

debe ser 0.1. Por lo tanto, podemos resolver el problema siguiendo estos pasos:

Veamos la respuesta frente una entrada rampa para K = 37.33:

k =37.33 ;

num =k*conv( [1 5], [1 3]);

den =conv([1,7],[1 8]);

den = conv(den,[1 0]);

[clnum,clden] = cloop(num,den); t = 0:0.1:50;

u = t;

[y,x] = lsim(clnum,clden,u,t); plot(t,y,'y',t,u,'m')

xlabel('Tiempo (seg)')

ylabel('Amplitud')

title('entrada-magenta, salida-amarillo')

Para obtener una mejor visión, debemos agrandar la respuesta. Elegimos para acercar entre 40 y 41 seg. porque seguramente que para entonces el sistema habrá alcanzado

su estado estacionario y además podremos obtener una buena apreciación de la

entrada y la salida.

axis([40,41,40,41])

La amplitud es 40 en t = 40 para nuestro entrada, y para nuestra salida en t = 40.1 . Sin embargo, como estas son línea paralelas en estado estacionario, podemos decir

también que cuando t = 40 la salida tiene una amplitud de 39.9, dándonos un error de estado estacionario de 10%. Magnifiquemos más esta figura y confirmemos esa

aseveración:

axis([39.9,40.1,39.9,40.1])

Ahora modifiquemos el problema un poco más y digamos que nuestro sistema se ve como sigue:

Nuestro G(s) es el mismo, pero ahora queremos error de estado estacionario cero frente a entrada rampa.

De las tablas, sabemos que un sistema de tipo 2 nos da error de estado estacionario

cero frente a entrada rampa. Por lo tanto, podemos tener error de estado estacionario cero simplemente agregando un integrador (un polo en el origen). Veamos la

respuesta frente a entrada rampa unitaria si agregamos un integrador y usamos una ganancia unitaria:

num =conv( [1 5], [1 3]);

den =conv([1,7],[1 8]);

den = conv(den,[1 0]); %un integrador...

den = conv(den,[1,0]); % más el otro

%(pudiera haber puesto conv(den,[1 0 0]) una sola vez...)

[clnum,clden] = cloop(num,den); t = 0:0.1:250;

u = t;

[y,x] = lsim(clnum,clden,u,t); plot(t,y,t,u)

xlabel('Tiempo (seg)')

ylabel('Amplitud')

title('entrada-purple, salida-yellow')

% N. del T.:colores válidos para la versión 4.2

como puede ver, la respuesta no es de las más deseables (podemos ver oscilaciones a

los 100 seg., pero debería hacer zoom in para verlo). Sin embargo, en estado estacionario tenemos error cero. Magnifiquemos en la zona de los 240 seg. (confíe, no

se había llegado al estado estacionario hasta entonces):

axis([239.9,240.1,239.9,240.1])

como puede ver, el error de estado estacionario es cero. Siéntase libre para acercar en

diferentes áreas del diagrama y observe cómo la respuesta se aproxima al estado estacionario.