Reglaspara expresar una medida y su errorToda medida debe de ir seguida por la unidad, obligatoriamente del Sistema Internacional de Unidades de medida.Cuando un fsico mide algo debe tener gran cuidado para no producir una perturbacin en el sistema que est bajo observacin. Por ejemplo, cuando medimos la temperatura de un cuerpo, lo ponemos en contacto con un termmetro. Pero cuando los ponemos juntos, algo de energa o "calor" se intercambia entre el cuerpo y el termmetro, dando como resultado un pequeo cambio en la temperatura del cuerpo que deseamos medir. As, el instrumento de medida afecta de algn modo a la cantidad que desebamos medirAdems, todas las medidas est afectadas en algn grado por un error experimental debido a las imperfecciones inevitables del instrumento de medida, o las limitaciones impuestas por nuestros sentidos que deben de registrar la informacin.1.-Todo resultado experimental o medida hecha en el laboratorio debe de ir acompaada del valor estimado del error de la medida y a continuacin, las unidades empleadas.Por ejemplo, al medir una cierta distancia hemos obtenido2972 mm.De este modo, entendemos que la medida de dicha magnitud est en alguna parte entre 295 mm y 299 mm. En realidad, la expresin anterior no significa que se estsegurode que el valor verdadero est entre los lmites indicados, sino que hay ciertaprobabilidadde que est ah.Una medida de una velocidad expresada de la forma6051.7830 m/ses completamente ridcula, ya que la cifra de las centenas puede ser tan pequea como 2 o tan grande como 8. Las cifras que vienen a continuacin 1, 7 y 8 carecen de significado y deben de ser redondeadas. La expresin correcta es605030 m/sUna medida de 92.81 con un error de 0.3, se expresa92.80.3Con un error de 3, se expresa933Con un error de 30 se expresa90302.-Los errores se deben dar solamente con una nica cifra significativa.nicamente, en casos excepcionales, se pueden dar una cifra y media (la segunda cifra 5 0).3.-La ltima cifra significativa en el valor de una magnitud fsica y en su error, expresados en las mismas unidades, deben de corresponder al mismo orden de magnitud (centenas, decenas, unidades, dcimas, centsimas). Expresiones incorrectas por la regla 2245672928 m23.4630.165 cm345.203.10 mm Expresiones incorrectas por la regla 3.245673000 cm430.06 m345.23 m Expresiones correctas240003000 m23.50.2 cm3453 m43.000.06 mMedidas directasUn experimentador que haga la misma medida varias veces no obtendr, en general, el mismo resultado, no slo por causas imponderables como variaciones imprevistas de las condiciones de medida: temperatura, presin, humedad, etc., sino tambin, por las variaciones en las condiciones de observacin del experimentador.Si al tratar de determinar una magnitud por medida directa realizamos varias medidas con el fin de corregir los errores aleatorios, los resultados obtenidos sonx1, x2, ... xn se adopta como mejor estimacin del valor verdadero, el valor medio, que viene dado por

El valor medio, se aproximar tanto ms al valor verdadero de la magnitud cuanto mayor sea el nmero de medidas, ya que los errores aleatorios de cada medida se va compensando unos con otros. Sin embargo, en la prctica, no debe pasarse de un cierto nmero de medidas. En general, es suficiente con 10, e incluso podra bastar 4 5.Cuando la sensibilidad del mtodo o de los aparatos utilizados es pequea comparada con la magnitud de los errores aleatorios, puede ocurrir que la repeticin de la medida nos lleve siempre al mismo resultado; en este caso, est claro que el valor medio coincidir con el valor medido en una sola medida, y no se obtiene nada nuevo en la repeticin de la medida y del clculo del valor medio, por lo quesolamente ser necesario en este caso hacer una sola medida.De acuerdo con la teora de Gauss de los errores, que supone que estos se producen por causas aleatorias, se toma como la mejor estimacin del error, el llamadoerror cuadrticodefinido por

El resultado del experimento se expresa comoxy la unidad de medida4.-La identificacin del error de un valor experimental con el error cuadrtico obtenido denmedidas directas consecutivas, solamente es vlido en el caso de que el error cuadrtico sea mayor que el error instrumental, es decir, que aqul que viene definido por la resolucin del aparato de medida.Es evidente, por ejemplo, tomando el caso ms extremo, que si el resultado de lasnmedidas ha sido el mismo, el error cuadrtico, de acuerdo con la formula ser cero, pero eso no quiere decir que el error de la medida sea nulo. Sino, que el error instrumental es tan grande, que no permite observar diferencias entre las diferentes medidas, y por tanto, el error instrumental ser el error de la medida.Ejemplos:El siguiente applet se puede utilizar para calcular el valor medio de una serie de medidas y el error cuadrtico. Se introduce cada una de las medidas en el control rea de texto del applet, y se pulsa RETORNO, de este modo las medidas aparecen en una columna. A continuacin, se pulsa el botn tituladoCalcular. El botn tituladoBorrar limpia el rea de texto y lo prepara para la introduccin de otra serie de medidas.1. Si al hacer una medida de la intensidad con un ampermetro cuya divisin o cifra significativa ms pequea es 0.01 A, la lectura es 0.64 A, y esta lectura es constante (no se observan variaciones al medir en diferentes instantes), tomaremos 0.64 como el valor de la medida y 0.01 A como su error. La medida se expresar as0.640.01 A2. Supongamos que hemos medido un determinado tiempo,t, cuatro veces, y disponemos de un cronmetro que permite conocer hasta las dcimas de segundo. Los resultados han sido: 6.3, 6.2, 6.4 y 6.2 s. De acuerdo a lo dicho anteriormente, tomaremos como valor medido el valor medio:El error cuadrtico ser

Este error se expresa con una sola cifra significativa, (regla 2),t=0.05 s. Pero el error cuadrtico es menor que el error instrumental, que es 0.1 s, por lo que debemos tomar este ltimo como el error de la medida, y redondear en consecuencia el valor medio, (regla 3) por lo que el resultado final de la medida est=6.30.1 s3. Consideremos un ejemplo similar al anterior, pero en que los valores obtenidos para el tiempo estn ms dispersos: 5.5, 5.7, 6.2 y 6.5 s. Se encuentra que el valor medio es 5.975, y el error cuadrtico 0.2286737. El error cuadrtico es en esta caso mayor que el error instrumental, por lo que debemos tomarlo como el error de la medida. Siguiendo la regla 2, lo debemos redondear a 0.2 (una sola cifra significativa). Y de acuerdo con la regla 3 (la medida y el error con el mismo nmero de decimales), expresamos la medida finalmente comot=6.00.2 sError absoluto y error relativoLos errores de los que hemos estado hablando hasta ahora son los errores absolutos. El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor medio. Es decirdondese toma en valor absoluto, de forma queees siempre positivo.El error relativo es un ndice de la precisin de la medida. Es normal que la medida directa o indirecta de una magnitud fsica con aparatos convencionales tenga un error relativo del orden del uno por ciento o mayor. Errores relativos menores son posibles, pero no son normales en un laboratorio escolar.Medidas indirectasEn muchos casos, el valor experimental de una magnitud se obtiene, de acuerdo a una determinada expresin matemtica, a partir de la medida de otras magnitudes de las que depende. Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir de los errores de las magnitudes medidas directamente.Funciones de una sola variableSi se desea calcular el ndice de refraccinnde un vidrio midiendo el ngulo crtico, tenemos quen=1/sen. Si medimos el nguloes fcil calcular el ndice de refraccin n. Pero si conocemos el error de la medida del ngulo, necesitamos conocer el error del ndice de refraccin.Sea una funciny=y(x). Como se aprecia en la figura, si el error xes pequeo. El error yse calcula del siguiente modo

y=tanxPero tanes la pendiente de la recta tangente a al curva en el punto de abscisax

Como la pendiente puede ser positiva, si la funcin es creciente o negativa si la funcin es decreciente, en general tendremos que

Seay=cosxSeax=203 ,y=cos20=0.9397El error x=0.05 rady=|sen20|0.05=0.02y=0.940.02Un ejemplo importante y frecuente en el laboratorio sobre las medidas indirectas es el siguiente:4. Supongamos que queremos medir el periodoPde un oscilador, es decir, el tiempo que tarda en efectuar una oscilacin completa, y disponemos de un cronmetro que aprecia las dcimas de segundo, 0.1 s. Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones, por ejemplo 4.6 s, dividiendo este tiempo entre 10 resultaP=0.46 s, que es el periodo "medio".

Obtenemos para el errorP=0.01 s.Por tanto, la medida la podemos expresar comoP=0.460.01 sEs evidente, que podemos aumentar indefinidamente la resolucin instrumental para medirPaumentando el nmero de periodos que incluimos en la medida directa det. El lmite est en nuestra paciencia y la creciente probabilidad de cometer errores cuando contamos el nmero de oscilaciones. Por otra parte, el oscilador no se mantiene con la misma amplitud indefinidamente, sino que se para al cabo de un cierto tiempo.Funcin de varias variablesLa magnitudyviene determinada por la medida de varias magnitudesp, q, r, etc., con la que est ligada por la funciny=f(p, q, r ...).El error de la magnitudyviene dado por la siguiente expresin.

Casos ms frecuentes

5. La medida de los lados de un rectngulo son 1.530.06 cm, y 10.20.1 cm, respectivamente. Hallar el rea del rectngulo y el error de la medida indirecta.El rea esz=1.5310.2=15.606 cm2El error relativo del reaz/zse obtiene aplicando la frmula del producto de dos magnitudes.

El error absoluto con una sola cifra significativa es 0.6. De acuerdo con la regla 3, la medida del rea junto con el error y la unidad se escribir como15.60.6 cm2Funciones de dos variablesQueremos calcular la aceleracin de la gravedadg, midiendo el periodoPde un pndulo de longitudl El periodo de un pnduloLa expresin del error gde la variable dependienteg

Supongamos que medimos el periodoPy la longitudldel pnduloP=1.3960.004 sl=92.950.1 cmCalculamos la aceleracin de la gravedad y el errorg=979.035 cm/s2g=4.28Expresamos correctamente la medida y el error deg9794 cm/s2 Ley de Snell de la refraccinClculo del error en la medida del ndice de refraccinn.

Seai=201 yr=131 Se calcula el ndice de refraccin y el errorn=1.52n=0.136Expresamos correctamente la medida y el error den ; n=1.50.1BalanzaLa balanza es un instrumento bsico en el laboratorio de Fsica. Hay muchos tipos de balanzas, la que simularemos en el programa interactivo es una de las ms sencillas de manejar.Para pesar un determinado objeto, se desplazan masas calibradas a lo largo de cuatro rieles y se fijan en posiciones etiquetadas. Las divisiones en los cuatro rieles de las balanzas del laboratorio de Fsica de la E.U.I.T.I. de Eibar son las siguientes: de 100 g hasta 200 g de 10 g hasta 100 g de 1 g hasta 10 g de 0.1 g hasta 1 g.

Medida de la masa de un cuerpoEn el programa interactivo la balanza solamente aprecia gramos, el error que se comete en una medida es1 g. Por ejemplo, si se ha pesado un cuerpo y de la lectura de los indicadores de la balanza se ha obtenido la cifra de 234. La medida del peso de dicho cuerpo se expresa como2341 g

Vase lasreglas para expresar una medida y su errorMedida del volumen de un cuerpo irregularPara medir la densidad de un cuerpo es necesario conocer su masa y su volumen.Si el cuerpo es irregular, no podemos calcular su volumen de forma directa. Pero podemos calcularlo indirectamente aplicando elprincipio de Arqumedes."Todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje igual al peso del volumen de lquido desalojado"Sumergiendo completamente el cuerpo en agua, el peso del cuerpo disminuye debido al empuje. Lo que nos marca la balanzaFes igual a la diferencia entre el pesoPy el empujeE.F=P-E.

Si el fluido es agua, cuya densidad es la unidad, el peso en gramos coincide numricamente con el volumen medido en centmetros cbicos.El empuje es igual a la diferenciaF-Fentre lo que marca la balanza antes y despus de sumergir el cuerpo en agua e igual numricamente al volumen del cuerpo en centmetros cbicos.V=F-FError en la medida del volumen.De las frmulas de loserrores en las medidas indirectasse obtiene que el error de una diferencia

ComoF=F=1 , se obtiene queV=1.41 cm3. Expresando el error con una sola cifra significativa (regla 2),V=1 cm3Clculo de la densidad del cuerpo slidoSe define la densidad como el cociente entre la masa y el volumen de un cuerpo.

De las frmulas de loserrores en las medidas indirectas,se obtiene que el error de un cociente

dondem=V=1.Una vez obtenidas las medidas demy deV, se calcula, mediante la frmula anterior.Ejemplo:Se va a medir la densidad del cobre1. Pulsando el botn tituladoPeso, se genera una pieza hecha de cobre de masa y volumen desconocido.

Con la balanza medimos su masa:m=4101 g.2. Pulsamos el botn tituladoVolumeny el cuerpo se sumerge en agua

Efectuamos una nueva medida con la balanzam=364 gEl volumen es numricamente igual al empuje, la diferencia entre ambas medidas.V=410-364=461 cm33. Clculo de la densidad

4. La densidad se expresa=8.90. 2g/cm3Finalmente, comparamos el valor calculado con el proporcionado por el programa interactivo pulsando el botn tituladoRespuesta.Vernier o CalibreEl calibre es un aparato empleado para la medida de espesores y dimetros interiores y exteriores. Consta de una regla provista de un nonius.El nonius es un aparato destinado a la medida precisa de longitudes o de ngulos. El empleado para la medida de longitudes consta de una regla dividida en partes iguales, sobre la que desliza una reglilla graduada (nonius) de tal forma quen-1divisiones de la regla se dividen ennpartes iguales del nonius.SiDes la longitud de una de las divisiones de la regla, la longitud de una divisin de nonius esd=D(n-1)/nSe llama precisinpa la diferencia entre las longitudes de una divisin de la regla y otra del nonius. Su valor es:

As, si cada divisin de la regla tiene por longitud un milmetro, y se han dividido nueve divisiones de ella en diez del nonius, la precisin es de 1/10 de mm (nonius decimal).En la figura, se muestra una imagen del calibre, y el nombre de sus componentes. En el programa interactivo se mostrar la parte marcada en rojo, para que el lector pueda practicar con este importante instrumento de medida del laboratorio de Fsica.