Errores Fısica General UNAH

Universidad Nacional Autonoma de Honduras

Facultad de CienciasEscuela de Fısica

Obtencion de errores y analisis de datos experimentales

Introduccion

Todas las medidas experimentales vienen afectadas de una cierta imprecision inevitabledebida a las imperfecciones del aparato de medida, o a las limitaciones impuestas por nuestrossentidos que deben registrar la informacion. El principal objetivo de la denominada teorıade errores consiste en acotar el valor de dichas imprecisiones, denominadas errores experi-mentales. Dado que el valor de las magnitudes fısicas se obtiene experimentalmente por lamedida (bien directa de la magnitud o bien indirecta, por medio de los valores medidos deotras magnitudes ligadas con el problema mediante una formula fısica) debe admitirse comopostulado fısico el hecho de que resulta imposible llegar a conocer el valor exacto de ningunamagnitud, ya que los medios experimentales de comparacion con el patron correspondienteen las medidas directas, viene siempre afectado de imprecisiones inevitables. De este modo,aunque es imposible encontrar en la practica el valor “cierto” o “exacto”de una magnituddeterminada, no hay duda de que existe, y nuestro problema es establecer los lımites dentrode los cuales se encuentra dicho valor.

Clasificacion de los errores

El error se define como la diferencia entre el valor verdadero y el obtenido experimen-talmente. Los errores no siguen una ley determinada y su origen esta en multiples causas.Atendiendo a las causas que los producen, los errores se pueden clasificar en dos grandesgrupos, errores sistematicos y errores accidentales.

1. Error sistematico

Se denomina error sistematico a aquel que es constante a lo largo de todo el proceso demedida y, por tanto, afecta a todas las mediciones de un modo definido y es el mismopara todas ellas. Estos errores tienen un signo determinado y las causas probablespueden ser las siguientes:

a) Errores instrumentales (de aparatos). Por ejemplo; el error de calibrado esde este tipo.

b) Error personal. Este es, en general, difıcil de determinar y es debido a limitacio-nes de caracter personal. Un ejemplo de este serıa una persona con un problemade tipo visual.

1

Errores Fısica General UNAH

c) Error de la eleccion del metodo. Corresponde a una eleccion inadecuada delmetodo de medida de la magnitud. Este tipo de error puede ponerse de manifiestocambiando el aparato de medida, el observador, o el metodo de medida.

2. Error accidental

Se denominan errores accidentales a aquellos que se producen en las pequenas varia-ciones que aparecen entre observaciones sucesivas realizadas por un mismo operador.Las variaciones no son reproducibles de una medicion a otra, y no presentan mas quepor azar la misma magnitud en dos mediciones cualesquiera del grupo. Las causas deestos errores son incontrolables para un observador.

Los errores accidentales son en su mayorıa de magnitud muy pequena y para un grannumero de mediciones se obtienen tantas desviaciones positivas como negativas. Aunquecon los errores accidentales no se pueden hacer correcciones para obtener valores masconcordantes con el real, si se emplean metodos estadısticos se puede llegar a algunasconclusiones relativas al valor mas probable en un conjunto de mediciones.

Conceptos de exactitud, precision y sensibilidad

En lo que respecta a los aparatos de medida, hay tres conceptos muy importantes quevamos a definir exactitud, precision, y sensibilidad.

La exactitud se define como el grado de concordancia entre el valor verdadero y el expe-rimental. De modo que, un aparato es exacto si las medidas realizadas con el son todas muyproximas al valor “verdadero”de la magnitud medida.

La precision hace referencia a la concordancia entre una medida y otras de la misma mag-nitud, realizadas en condiciones sensiblemente iguales. De modo que, un aparato sera precisocuan do la diferencia entre diferentes medidas de una misma magnitud sea muy pequena.La exactitud implica normalmente precision, pero la afirmacion inversa no es cierta, ya quepueden existir aparatos muy precisos que posean poca exactitud debido a los errores sis-tematicos tales como error de cero, etc. En general, se puede decir que es mas facil conocerla precision de un aparato que su exactitud.

La sensibilidad de un aparato esta relacionada con el valor mınimo de la magnitud que escapaz de medir. Por ejemplo, decir que la sensibilidad de una balanza es de 5mg significa quepara masas inferiores a la citada, la balanza no presenta ninguna desviacion. Normalmente,se admite que la sensibilidad de un aparato viene indicada por el valor de la division maspequena de la escala de medida. En muchas ocasiones, de un modo erroneo, se toman comoidenticos los conceptos de precision y sensibilidad, aunque hemos visto ya que se trata deconceptos diferentes.

2

Errores Fısica General UNAH

Error absoluto y relativoSi medimos una cierta magnitud fısica cuyo valor “verdadero” es x0, obteniendo un valor dela medida x, llamaremos error absoluto en dicha medida, a la diferencia:

∆x = x− x0

Donde en general se supone que |∆x| � |x0|

El error absoluto nos da una medida de la desviacion, en terminos absolutos respecto alvalor ”verdadero”. No obstante, en ocasiones nos interesa resaltar la importancia relativa deesa desviacion. Para tal fin, se usa el error relativo. El error relativo se define como el cocienteentre el error absoluto y el valor “verdadero”:

ε =∆x

x0

En forma porcentual se expresara multiplicado por cien. Cuando indiquemos el valor de unamedida de una magnitud, tendremos que indicar siempre el grado de incertidumbre de lamisma, para lo que acompanaremos el resultado de la medida del error absoluto de la misma,expresando el resultado en la forma:

x±∆x

Cifras Significativas

Las cifras significativas son aquellas que estan medidas con precision, segun el instrumentoutilizado; o tambien, si se realizan calculos a partir de los valores medidos, son las cifras delresultado en las que podemos tener confianza de que son precisas. Para saber cuantas cifrassignificativas hay en un resultado se pueden utilizar ciertas reglas que veremos a continuacion.

1. Los ceros a la izquierda no son significativos. Por lo tanto, el numero 103 tiene tres cifrassignificativas, y el 0.000000103 tambien. Esto se debe a que los ceros a la izquierda no leanaden precision a la medicion, sino que solamente sirven para establecer la posicion delpunto decimal. Generalmente es mejor hacer esto utilizando la notacion exponencial;ası, los numeros mencionados se convertirıan en 1.03×102 y 1.03×10−7. Entonces, paracontar las cifras significativas se parte del primer dıgito distinto de cero y se cuentantodos los dıgitos a partir de este.

2. Los ceros a la derecha sı son significativos. Esto es muy importante: los ceros a laderecha deben escribirse si y solamente si son una parte verdadera de la medicion.Por lo tanto, no es lo mismo decir que algo pesa 1 kg que decir que pesa 1.00 kg.La primera magnitud implica que la medicion se realizo con una balanza graduada enkilogramos. La segunda medicion fue realizada en una balanza graduada en centesimasde kilogramo. La segunda medicion es cien veces mas precisa que la primera; la primeratiene una cifra significativa y la segunda tiene tres cifras significativas. Por ello esextremadamente importante no olvidar escribir los ceros a la derecha cuando se sabeque son significativos. Por ejemplo, en una balanza analıtica que tiene precision dediezmilesimas de gramo, si la balanza marca 0.5700 g es necesario registrar el numerocon los dos ceros a la derecha, y no como 0.57 g.

3

Errores Fısica General UNAH

Determinacion de los errores cometidos en las medidas directas

Cuando realicemos la medida de cualquier magnitud deberemos indicar siempre una es-timacion del error asociado a la misma. Dado que no conocemos el valor “verdadero” de lamagnitud que deseamos medir, se siguen ciertos procedimientos para hacer una estimaciontanto del valor “verdadero” de la magnitud, como de una cota de error, que nos indique laincertidumbre en la determinacion realizada. Distinguiremos tres casos bien diferenciados:

1. Caso en el que se realiza una unica medida de una magnitud.En este caso consideramos que el error absoluto coincide con el valor de la sensibilidaddel aparato utilizado para realizar la medida. De este modo el resultado de una medidalo indicaremos en la forma:

x±∆x

donde ∆x es la sensibilidad.

2. Caso en el que se realizan varias medidas de una misma magnitud.Con el fin de alcanzar cierta validez estadıstica en los resultados de las medidas, es muyconveniente repetir varias veces la determinacion del valor de la magnitud problema.Los resultados de las medidas individuales pueden presentarse poco o muy dispersas,en funcion de esta dispersion sera conveniente aumentar o no, el numero de determi-naciones del valor de la magnitud. Para decidir el numero de determinaciones del valorde una magnitud fısica que deseamos medir seguiremos el siguiente procedimiento: Serealizan N medidas de la magnitud, se calcula el valor medio de estas N medidas, dadopor:

x =1

N

N∑i=1

xi

y se halla la dispersion total D de las mismas, es decir, la diferencia entre los valores ex-tremos de las medidas (valor maximo de las medidas obtenidas menos el valor mınimo)y finalmente se obtiene el tanto por ciento de dispersion, T , que viene dado por:

T =D

x× 100 %

Si el valor de la dispersion total D no es mayor que el valor de la sensibilidad del apa-rato de medida, D ≤ S, en este caso se toma como estimacion del valor “verdadero”de la magnitud el valor medio de las tres medidas x y como error absoluto la sensibili-dad. Ahora bien, si el valor de la dispersion total D es mayor que el de la sensibilidaddel aparato, D > S, procedemos a aumentar el numero de medidas de la magnitud.El criterio a seguir en este aumento viene condicionado por el valor del porcentaje dedispersion T del modo indicado en la tabla adjunta. Una vez realizadas las medidasnecesarias se toma como valor verdadero de la magnitud, el valor medio de la mismacalculado sobre el numero total de medidas realizadas.

4

Errores Fısica General UNAH

T en las tres primeras medidas Cantidad de medidas necesariasT ≤ 2 % Bastan las 3 medidas realizadas

2 % < T ≤ 8 % Hay que hacer 3 medidas mas, hasta un total de 68 % < T ≤ 15 % Hay que hacer un total de 15 medidas

15 % < T Hay que hacer 50 medidas como mınimo

El error estadıstico de un conjunto de N medidas de una misma cantidad correspondea la desviacion estandar de la media, para el caso de un conjunto de medidas realizadasla dispersion la medimos con la desviacion estandar

σ(x) =

√√√√ 1

N

N∑i=1

(xi − x)2

Sin embargo el valor medido tambien variara de un conjunto de medidas a otro porlo que podemos definir la desviacion estandar de la media el cual corresponde al errorestadıstico de un conjunto de N medidas

σ(x) =σ(x)√N

Ejemplo numerico

Asuma que en un experimento se hacen 5 mediciones consecutivas de la altura de uncilindro, los resultados de tales mediciones se presentan en la tabla.

Medicion Valor (cm)1 712 723 734 725 71

Ahora se encuentra x =1

5

5∑i=1

xi = 71.8 cm, se tabulan los demas calculos:

Dato |xi − x| (cm) (xi − x)2 (cm2)1 0.8 0.642 0.2 0.43 1.2 1.444 0.2 0.45 0.8 0.64

Ahora se tiene5∑

i=1

(xi − x)2 = 3.52 cm2

5

Errores Fısica General UNAH

σ(x) =

√√√√1

5

5∑i=1

(xi − x)2 =

√1

5(3.52 cm2) = 0.84 cm

σ(x) =σ(x)√N

=0.84 cm√

5= 0.4 cm

Quedando expresado comox = (71.8± 0.4) cm

Determinacion del error de una magnitud medida indirectamente

La medida indirecta de una magnitud se alcanza por aplicacion de una formula a unconjunto de medidas directas, (variables independientes o datos), que las relacionan con lamagnitud problema. Mediante dicha formula se obtiene tambien el error de la medida segunpasamos a explicar. Antes de continuar, debemos indicar que si en dicha formula aparecennumeros irracionales tales como π, e, etc, debemos elegir el numero de cifras significativascon que deben tomarse a la hora de realizar los calculos correspondientes, de modo que loserrores cometidos al aproximar estos numeros irracionales no afecten a la magnitud del errorabsoluto de la magnitud que queremos determinar.

Supongamos que la magnitud F es funcion de otras magnitudes fısicas, estando relaciona-da con ellas por F = f(x, y, z, ...). Supongamos ademas, que se han realizado medidas de lascitadas variables, x, y, z, ... y se han determinado su valor y su error. Para realizar el calculodel error absoluto de F , en funcion de los errores absolutos cometidos en las determinacionesdirectas de x, y, z, ... se procedera de la siguiente forma:En primer lugar se obtiene la diferencial total de F en funcion de las diferenciales de lasvariables x, y, z, ... mediante:

dF =∂F

∂xdx+

∂F

∂ydy +

∂F

∂zdz + ...

A continuacion asimilamos las diferentes diferenciales a los errores absolutos, y ademasconsideramos que en el calculo del error de F debemos ponernos en el caso mas desfavorable,es decir, error mayor, para lo cual tomaremos los valores absolutos de las derivadas parciales,con el fin de tener una suma de terminos positivos, obteniendo para el valor del error absolutode F el resultado:

∆F =

∣∣∣∣∂F∂x∣∣∣∣∆x+

∣∣∣∣∂F∂y∣∣∣∣∆y +

∣∣∣∣∂F∂z∣∣∣∣∆z + ... = σx + σy + σz + ...

La ecuacion anterior representa una sobre estimacion del error de la variable dependienteF , en donde cada termina de la sumatoria representa una incertidumbre independiente, porlo que la incertidumbre adecuada o no sobreestimada de la medida indirecta F correspondea la suma cuadratica de las incertidumbres independientes.

∆F =√σx2 + σy2 + σz2 = |F0|

√(∆x

x

)2

+

(∆y

y

)2

+

(∆z

z

)2

+ ...

6

Errores Fısica General UNAH

Donde F0 es la medida indirecta de los mejores valores medidos de las variables independien-tes o medidas directas.

Nota: para el error propagado el analisis de errores se llevara a cabo con la expresionadecuada para la incertidumbre y no con la sobreestimacion

∆F =√σx2 + σy2 + σz2 = |F0|

√(∆x

x

)2

+

(∆y

y

)2

+

(∆z

z

)2

+ ...

Ejemplo numerico del calculo de errores

Suponiendo que se pretende medir la aceleracion de la gravedad g midiendo el periodo Tde un pendulo de longitud L, la expresion que relaciona las tres variables es

g =4π2L

T 2

Previamente se determinaran L y T a traves de medidas directas.Sean L0 ± ∆L y T0 ± ∆T los resultados de las mediciones. Ahora se calcula la diferencialtotal de g tomando a L y a T como variables

∆g =

∣∣∣∣ ∂g∂L∣∣∣∣ dL+

∣∣∣∣ ∂g∂T∣∣∣∣ dT =

4π2

T02 dL+

8π2L

T03 dT = σL + σT

Finalmente se sustituyen las variables por sus valores medidos, los diferenciales por los erro-res y se da signo positivo a todos los sumandos. Con todas las consideraciones anteriorescalculamos el error adecuado para g

εg = ∆g =√σL2 + σT 2 = g0

√(∆L

L0

)2

+

(2

∆T

T0

)2

Construccion de graficas

La representacion grafica de los fenomenos fısicos que estudiemos debe ajustarse a lassiguientes normas:

1. Graficas en papel milimetrado con los ejes bien trazados, y en cuyo centro indicaremosla magnitud representada, en las unidades en que ha sido medida (con letra grande yclara). El tıtulo de la grafica ser claro y vendra indicado en la parte superior.

2. La variable independiente del fenomeno debe ir representada en abscisas y la depen-diente en ordenadas.

3. Las escalas, sobre ambos ejes, han de permitir una lectura rapida y sencilla. Para ellose elegiran las escalas con intervalos de 1, 2, 5, 10, 20 ,... etc. unidades (poniendo pocosnumeros).

7

Errores Fısica General UNAH

4. Las escalas deben abarcar todo el intervalo de medidas realizadas y solo el citadointervalo.

5. Sobre los ejes solo se indican los valores correspondientes a las divisiones enteras de laescala (que han de quedar ası uniformemente espaciadas). Nunca se senalan los valorescorrespondientes a las medidas realizadas.

6. Los valores medidos se representan sobre el papel milimetrado por el punto corres-pondiente a sus dos coordenadas (punto experimental) y rodeado por el denominadorectangulo de error, cuya base abarca desde x−∆x hasta x+ ∆x y cuya altura se ex-tiende desde y−∆y hasta y+∆y, siendo (x, y) las coordenadas del punto experimental.En el caso de que x o y sean despreciables en comparacion con la escala utilizada, elrectangulo de error queda reducido a un simple segmento vertical u horizontal, segunsea el caso.

7. Las graficas han de ser lıneas finas “continuas” nunca quebradas, que han de pasarpor todos los rectangulos de error, aunque para ello, dejen muchas veces de pasar porlos puntos experimentales que pueden quedar a derecha o izquierda de la grafica. Si alhacer esta operacion, alguno de los rectangulos de error, queda excesivamente alejadode la forma continua de la grafica, es prueba de que esa medida es falsa por algunacausa accidental, y debe repetirse.

Ajuste de la recta de regresion por el metodo de mınimos cuadrados

Con frecuencia, se plantea el problema de encontrar una expresion matematica del tipoy = f(x), de la ley fısica que rige el comportamiento de un determinado fenomeno, a partirde una serie de N medidas (xi, yi), de las magnitudes x e y que lo caracterizan.

Cuando la representacion grafica del fenomeno estudiado proporciona una distribucion delos puntos experimentales en forma practicamente lineal, es conveniente determinar la ecua-cion de la recta que sera expresion de la ley fısica que rige el fenomeno estudiado, utilizandopara ello el metodo de mınimos cuadrados.

Dicha recta debe cumplir la condicion de que los puntos experimentales, queden distri-buidos simetricamente a ambas partes de la misma, y ademas, lo mas proximos posible. Estacondicion se cumple si se obliga a que la recta de ecuacion:

y = ax+ b

cumpla con la expresion:

c =N∑i=1

(yi − axi − b)2

Donde c corresponde a un parametro de desviacion entre la recta y los valores discretos.

8

Errores Fısica General UNAH

Las condiciones para que c tenga un valor mınimo se calculan derivando respecto a “a” y“b”, y anulando ambas derivadas, tras una serie de operaciones se obtiene

a =NSxy − SxSy

NSxx − SxSx

b =NSxy − SxSy

NSxx − SxSx

donde

Sxx =N∑i=1

xi2 Syy =

N∑i=1

yi2 Sxy =

N∑i=1

xiyi Sx =N∑i=1

xi Sy =N∑i=1

yi

Para efectuar la estimacion de la incertidumbre de los parametros, es decir cual es el errorde a y b, se utiliza la varianza de los datos, obteniendo

ε(a) = ∆a =

√Nχ2(a, b)

(NSxx − SxSx) (N − 2)ε(b) = ∆b =

√Sxxχ2(a, b)

(NSxx − SxSx) (N − 2)

donde

χ2(a, b) =N∑i=1

(yi − axi − b)2

Ademas de los valores de la pendiente y la ordenada en el origen, es interesante obtenerel denominado coeficiente de correlacion lineal “r”, que nos da una medida del grado decorrelacion entre los valores de las variables x e y, es decir, hasta que

’punto x e y estan

relacionadas mediante una funcion lineal. La expresion de “r”es

r =NSxy − SxSy√

NSxx − SxSx

√NSyy − SySy

el cual varıa entre 0 (no existe correlacion) y ±1 (correlacion completa).

9