Espacio-Tiempo curvo

8/4/2019 Espacio-Tiempo curvo

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ESPACIO-TIEMPO CURVO

Est realmente curvado el espacio-tiempo? No es concebible que elespacio-tiempo sea realmente plano, pero que los relojes y las reglas con losque lo medimos yque consideramos perfectosson, en realidad, elsticos? Nopodran incluso los relojes ms perfectos atrasarse o adelantarse, ylas reglasms perfectas contraerse o dilatarse, cuando las llevamos de un punto a otro ocambiamos sus orientaciones? No haran tales distorsiones de nuestrosrelojes y reglas que un espacio-tiempo realmente plano pareciese estarcurvado? La respuesta es s.

Centrmosnos en el ejemplo concreto de la medida de circunferencias yradiosen torno a un agujero negro sin rotacin. Supongamos un diagrama deinsercin para el espacio curvado del agujero. El espacio est curvado en estediagrama porque hemos acordado definir las distancias como si nuestras reglasno fueran elsticas, como si siempre mantuvieran sus longitudes constantesindependientemente de dnde las coloquemos yde cmo las orientemos. Lasreglas muestran que el horizonte del agujero tiene una circunferencia de 100kilmetros.

Alrededor del agujero se ha dibujado un crculo de dos veces estacircunferencia, es decir, 200 kilmetros, yla distancia radial desde el horizontea dicho crculo se ha medido con una regla perfecta; el resultado es 37kilmetros. Si el espacio fuera plano, la distancia radial debera ser el radio del


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crculo exterior, 200/2p kilmetros, menos el radio del horizonte, 100/2pkilmetros; es decir, tendra que ser de 200/2 p 100/2 p = 16 kilmetros(aproximadamente). Para acomodar la distancia radial mucho mayor, de untamao de 37 kilmetros, la superficie debe tener la forma curvada de tipopabelln de trompeta mostrada en el diagrama.

Si el espacio es realmente plano en torno al agujero negro pero nuestras reglasperfectas son elsticas y, por ello, nos confunden al hacernos creer que elespacio est curvado, entonces la geometra real del espacio debe ser como laque se muestra a la derecha de la figura y la verdadera distancia entre elhorizonte y el crculo debe ser 16 kilmetros, como exigen las leyes de Euclidesde la geometra plana. Sin embargo, la relatividad general insiste en quenuestras reglas perfectas no miden esta verdadera distancia.

Tmese una regla y extindase a lo largo de una circunferencia en torno alagujero justo fuera del horizonte (trazo negro grueso curvado con marcas deregla en la parte derecha de la figura. Cuando la regla se orienta de este modoa lo largo de la circunferencia, mide correctamente la distancia verdadera.Crtese la regla a 37 kilmetros de longitud: ahora abarca el 37 por 100 de lalongitud en torno al agujero. A continuacin grese la regla de modo que quedeorientada radialmente.

A medida que la regla gira, la relatividad general requiere que se contraiga.Cuando apunta en direccin radial, su longitud verdadera debe habersecontrado hasta 16 kilmetros, de modo que llegar exactamente desde elhorizonte hasta el crculo externo. Sin embargo, la escala que figura en su


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superficie contrada debe afirmar que su longitud es an de 37 kilmetros y, porlo tanto, que la distancia entre el horizonte y el crculo es de 37 kilmetros.

Las personas como Einstein que no son conscientes de la naturaleza elsticade la regla, y por ello confan en su medida imprecisa, concluyen que el

espacio est curvado. Sin embargo, quienes sean conscientes de suelasticidad, saben que la regla se ha contrado y que el espacio es realmenteplano. Qu podra hacer que la regla se contraiga cuando cambia suorientacin? La gravedad, por supuesto.

En el espacio plano de la mitad derecha de la figura existe un campogravitatorio que controla los tamaos de las partculas elementales, los ncleosatmicos, tomos, molculas, etc., y las obliga a todas a contraerse cuando seextienden en direccin radial. La magnitud de la contraccin es grande cercade un agujero negro, y ms pequea lejos de l, debido a que el campogravitatorio que controla la contraccin est generado por el agujero, y su

influencia disminuye con la distancia.

El campo gravitatorio que controla la contraccin tiene otros efectos. En elmomento en que un fotn o cualquier otra partcula pasa junto al agujero, estecampo lo atrae y desva su trayectoria. La trayectoria se curva alrededor delagujero; est curvada, tal como se mide en la autntica geometra espacio-temporal plana del agujero. Sin embargo, las personas como Einstein, que setoman en serio las medidas de sus relojes y de sus reglas elsticas, consideranque el fotn se mueve a lo largo de una lnea recta a travs del espacio-tiempocurvo.

Cul es la verdad real y autntica? Es el espacio-tiempo realmente plano,como sugieren los prrafos anteriores, o est realmente curvado? Esta es unapregunta sin inters porque no tiene consecuencias fsicas. Ambos puntos devista, espacio-tiempo curvo y espacio-tiempo plano, dan exactamente lasmismas predicciones para cualquier medida realizada con reglas y relojesperfectos, y tambin las mismas predicciones para cualquier medida realizadacon cualquier tipo de aparato fsico.

Por ejemplo, ambos puntos de vista coinciden en que la distancia radial entre elhorizonte y el crculo en la figura medida por una regla perfecta, es de 37

kilmetros. Discrepan respecto a si dicha distancia medida es la distanciareal, pero tal discrepancia es una cuestin de filosofa, no de fsica. Puestoque los dos puntos de vista coinciden en los resultados de todos losexperimentos, ambos son fsicamente equivalentes. Qu punto de vista nosdice la verdad real es irrelevante para los experimentos; es una cuestin adebatir por los filsofos, no por los fsicos. Adems, los fsicos pueden, y as lohacen, utilizar los dos puntos de vista de forma intercambiable cuando tratan dededucir las predicciones de la relatividad general.

Los procesos mentales con los que trabaja un fsico terico estn bellamentedescritos por el concepto de paradigmade Thomas Kuhn. Kuhn, que recibi su

ttulo de doctor en fsica por Harvard en 1949 y luego se convirti en uneminente historiador y filsofo de la ciencia, introdujo el concepto de paradigma


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en su libro de 1962 La estructura de las revoluciones cientficas, uno de loslibros ms inspirados que se han escrito.

Un paradigma es un conjunto completo de herramientas que utiliza unacomunidad de cientficos en su investigacin sobre un tema, as como para

comunicar los resultados de su investigacin a los dems. El punto de vista delespacio-tiempo curvo de la relatividad general es un paradigma; el punto devista del espacio-tiempo plano es otro.

Cada uno de estos paradigmas incluye tres elementos bsicos: un conjunto deleyes de la fsica formuladas matemticamente; un conjunto de imgenes(imgenes mentales, imgenes verbales, dibujos sobre un papel) que nos danideas sobre las leyes y nos ayudan a comunicarnos con los dems; y unconjunto de ejemplos, esto es, clculos anteriores y problemas resueltos, bienen los libros de texto o en los artculos cientficos publicados, que la comunidaddeexpertos en relatividad coincide en que estn hechos correctamente y son

interesantes, y que utilizamos como patrones para nuestros clculos futuros.

El paradigma del espacio-tiempo curvo se basa en tres conjuntos de leyesformuladas matemticamente: la ecuacin de campo de Einstein, que describecmo la materia genera la curvatura del espacio-tiempo; las leyes que nosdicen que las reglas perfectas y los relojes perfectos miden las longitudes y lostiempos del espacio-tiempo curvo de Einstein; y las leyes que nos dicen cmose mueven la materia y los campos a travs del espacio-tiempo curvo, porejemplo, que los cuerpos que se mueven libremente viajan en lneas rectas(geodsicas).

El paradigma del espacio-tiempo plano tambin se basa en tres conjuntos deleyes: una ley que describe cmo la materia, en el espacio-tiempo plano,genera el campo gravitatorio; leyes que describen cmo dicho campo controlala contraccin de reglas perfectas y la dilatacin de las marchas de relojesperfectos; y leyes que describen cmo el campo gravitatorio controla tambinlos movimientos de partculas y campos a travs del espacio-tiempo plano.

Las imgenes en el paradigma del espacio-tiempo curvo incluyen losdiagramas de insercin y las descripciones verbales de la curvatura delespacio-tiempo alrededor de los agujeros negros (por ejemplo, el remolino en

forma de tornado en el espacio que rodea a un agujero negro giratorio). Lasimgenes en el paradigma del espacio-tiempo plano incluyen la mitad derechade la figura, con la regla que se contrae cuando se gira desde una orientacintangente a la circunferencia hasta una orientacin radial, y la descripcin verbalde un campo gravitatorio que controla la contraccin de las reglas.

Los ejemplos del paradigma del espacio-tiempo curvo incluyen el clculo, quese encuentra en la mayora de los libros de texto de relatividad, mediante elcual se deriva la solucin de Schwarzschild a la ecuacin de campo deEinstein, y los clculos mediantes los cuales Israel, Carter, Hawking y otrosdedujeron que un agujero negro no tiene pelo. Los ejemplos del espacio-

tiempo plano incluyen los clculos de los libros de texto acerca de cmocambia la masa de un agujero negro u otro cuerpo cuando captura ondas


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gravitatorias, y los clculos de Clifford Will, Thibault Damour y otros acerca decmo generan ondas gravitatorias (ondas de campo productor de contraccin)las estrellas de neutrones que orbitan una en torno a otra.

Cada elemento de un paradigma sus leyes, sus imgenes y sus ejemplos

es crucial para los procesos mentales de los investigadores. Las imgenes(mentales y verbales tanto como las dibujadas sobre el papel) actan como unabrjula. Hacen intuir cmo se comporta probablemente el Universo; se lasmanipula, junto con garabatos matemticos, en bsqueda de nuevasintuiciones interesantes.

Si se encuentran, a partir de las imgenes y los garabatos, una idea digna deseguirse, se trata entonces de verificarla o refutarla mediante cuidadososclculos matemticos basados en las leyes de la fsica matemticamenteformuladas del paradigma. Se estructuran los clculos detallados de acuerdocon los ejemplos del paradigma.

Ellos dicen qu nivel de precisin de clculo es probablemente necesario paratener resultados fiables. (Si la precisin es demasiado pobre, los resultados

pueden ser falsos; si la precisin es demasiado alta, los clculos puedenconsumir innecesariamente un tiempo valioso.)


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Los ejemplos dicen tambin qu tipo de manipulaciones matemticas esprobable que lleven al a travs del amasijo de smbolos matemticos. Lasimgenes guan tambin los clculos; ayudan a encontrar atajos y evitar loscallejones sin salida. Si los clculos verifican o al menos hacen plausible lanueva idea, entonces se comunica a los expertos en relatividad mediante una

mezcla de imgenes y clculos.

Las leyes de la fsica del paradigma del espacio-tiempo plano puedenderivarse, matemticamente, a partir de las leyes del paradigma del espacio-tiempo curvo, y recprocamente. Esto significa que los dos conjuntos de leyesson diferentes representaciones matemticas de los mismos fenmenosfsicos, en el mismo sentido, en cierto modo, en que 0,001 y 1/1.000 sondiferentes representaciones matemticas del mismo nmero. Sin embargo, lasfrmulas matemticas para las leyes tienen un aspecto muy diferente en lasdos representaciones, y las imgenes y ejemplos que acompaan los dosconjunto de leyes tienen un aspecto muy diferente.

A modo de ejemplo, en el paradigma del espacio-tiempo curvo la imagen verbalde la ecuacin de campo de Einstein es el enunciado de que la masa generala curvatura del espacio-tiempo. Cuando se traduce al lenguaje del paradigmadel espacio-tiempo plano, esta ecuacin de campo se describe mediante laimagen verbal la masa genera el campo gravitatorio que gobierna lacontraccin de las reglas y la dilatacin de la marcha de los relojes. Aunquelas dos versiones de la ecuacin de campo de Einstein son matemticamenteequivalentes, sus imgenes verbales difieren profundamente.

En la investigacin en relatividad resulta extraordinariamente til conocerambos paradigmas. Algunos problemas se resuelven ms fcil y rpidamenteutilizando el paradigma del espacio-tiempo curvo; otros, utilizando el espacio-tiempo plano. Los problemas de agujeros negros (por ejemplo, eldescubrimiento de que un agujero negro no tiene "pelo") son ms tratablesmediante tcnicas del espacio-tiempo curvo; los problemas de ondasgravitatorias (por ejemplo, el clculo de las ondas producidas cuando dosestrellas de neutrones orbitan una en torno a la otra) son ms tratablesmediante las tcnicas del espacio-tiempo plano.

A medida que maduran, los fsicos tericos van ganando poco a poco en

intuicin acerca de qu paradigma ser mejor para cada situacin, y aprendena conmutar sus mentes de un paradigma a otro cuando es necesario. Puedenconsiderar el espacio-tiempo curvado el domingo, cuando piensan sobreagujeros negros, y plano el lunes, cuando piensan sobre ondas gravitatorias.

Puesto que las leyes que subyacen a los dos paradigmas sonmatemticamente equivalentes, podemos estar seguros de que, cuando seanaliza la misma situacin fsica utilizando ambos paradigmas, las prediccionespara los resultados de los experimentos sern idnticamente iguales. Por ellosomos libres para utilizar el paradigma que mejor nos convenga en cadasituacin dada. Esta libertad implica poder. Por esto es por lo que los fsicos no

estaban contentos con el paradigma del espacio-tiempo curvo de Einstein, yhan desarrollado el paradigma del espacio-tiempo plano como un suplemento


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al mismo. La descripcin de la gravedad de Newton es tambin otro paradigma.Considera el espacio y el tiempo como absolutos, y la gravedad como unafuerza que acta instantneamente entre dos cuerpos.

El paradigma newtoniano de la gravedad noes, por supuesto, equivalente al

paradigma del espacio-tiempo curvo de Einstein; los dos dan prediccionesdiferentes para los resultados de experimentos. Thomas Kuhn utiliza laexpresin revolucin cientfica para describir la lucha intelectual mediante lacual Einstein invent su paradigma y convenci a sus colegas de que daba unadescripcin ms aproximadamente correcta de la gravedad que el paradigmanewtoniano. La invencin de los fsicos del paradigma del espacio-tiempo planonofue una revolucin cientfica en este sentido kuhniano, porque el paradigmadel espacio-tiempo plano y el paradigma del espacio-tiempo curvo danexactamente las mismas predicciones.

Cuando la gravedad es dbil, las predicciones del paradigma newtoniano y del

paradigma del espacio-tiempo curvo de Einstein son casi idnticas, y enconsecuencia los dos paradigmas son muy aproximadamente equivalentesmatemticamente. Por esto es por lo que, al estudiar la gravedad en el SistemaSolar, los fsicos a menudo van y vienen con impunidad entre el paradigmanewtoniano, el paradigma del espacio-tiempo curvo, y tambin el paradigma delespacio-tiempo plano, utilizando en cualquier instante cualquiera de ellos quevenga a su imaginacin o parezca ms intuitivo.

A veces, las personas recin llegadas a un campo de investigacin tienenmenos prejuicios que los veteranos. Esto fue lo que sucedi en los aossetenta, cuando nuevas personas tuvieron ideas que llevaron a un nuevoparadigma para los agujeros negros, el paradigma de la membrana.

En 1971 Richard Hanni, un estudiante de licenciatura en la Universidad dePrinceton, junto con Remo Ruffini, repararon en que el horizonte de un agujeronegro puede comportarse de una forma en cierto modo similar a una esferaelctricamente conductora.

Para entender este comportamiento peculiar, recordemos que una pequeabola de metal cargada positivamente transporta un campo elctrico que repelea los protones y atrae a los electrones. El campo elctrico de la bola puede

describirse mediante lneas de campo, anlogas a las de un campo magntico.

Las lneas de campo elctrico apuntan en la direccin de la fuerza que ejerce elcampo sobre un protn (y en direccin opuesta a la fuerza que ejerce sobre unelectrn), y la densidad de lneas de campo es proporcional a la intensidad dela fuerza. Si la bola est sola en el espacio-tiempo plano, sus lneas de campoelctrico apuntan hacia afuera en direccin radial (vase la figura de msabajo).

Correspondientemente, la fuerza elctrica sobre un protn apunta radialmentehacia afuera de la bola y, puesto que la densidad de lneas de campo decrece

de forma inversamente proporcional al cuadrado de la distancia a la bola, la


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fuerza elctrica sobre un protn tambin decrece de forma inversamenteproporcional al cuadrado de la distancia.

Acerquemos ahora la bola a una esfera metlica. La superficie metlica de laesfera est constituida por electrones que pueden moverse libremente sobre la

esfera, y de iones positivamente cargados que no pueden hacerlo. El campoelctrico de la bola atrae a cierto nmero de electrones de la esfera hacia lavecindad de la bola, dejando un exceso de iones en cualquier otra regin de laesfera; en otras palabras, polarizala esfera.

En 1971 Hanni y Ruffini, e independientemente Robert Wald de la Universidadde Princeton y Jeff Cohen del Institute for Advanced Study de Princeton,calcularon las formas de las lneas de campo elctrico producidas por una bolacargada cerca del horizonte de un agujero negro sin rotacin. Sus clculos,basados en el paradigma estndar del espacio-tiempo curvo, revelaron que lacurvatura del espacio-tiempo distorsiona las lneas de campo del modomostrado en la figura siguiente.

Hanni y Ruffini, notando la similaridad con las lneas de campo de la figuraanterior, sugirieron que podemos considerar el horizonte de un agujero negro


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de la misma forma que consideramos una esfera metlica; es decir, podemosconsiderar el horizonte como si fuera una fina membrana compuesta departculas cargadas positiva y negativamente, una membrana similar a lasuperficie metlica de la esfera.

Normalmente hay el mismo nmero de partculas positivas y negativas encualquier parte de la membrana, es decir, no hay carga neta en ninguna reginde la membrana.

Sin embargo, cuando la bola se acerca al horizonte, un exceso de partculasnegativas se mueve hacia la regin situada debajo de la bola, dejando unexceso de partculas positivas en las otras partes de la membrana; de estemodo, la membrana del horizonte queda polarizada; y el conjunto total delneas de campo producido por las cargas de la bola y las cargas del horizontetoma la forma del diagrama.

La relatividad general insiste en que, si uno cae en un agujero negro, noencontrar nada en el horizonte excepto curvatura espacio-temporal. Uno nover membrana ni partculas cargadas. Por ello, la descripcin de Hanni-Ruffinide por qu las lneas de campo elctrico de la bola estn curvadas no podatener ninguna base en la realidad. Era pura ficcin.

La causa de la curvatura de las lneas de campo era la curvatura espacio-temporal y nada ms: las lneas de campo se curvan hacia el horizonte en eldiagrama solamente debido a que la gravedad de marea las atrae, y no porqueestn siendo atradas hacia alguna carga de polarizacin en el horizonte. Elhorizonte no puede tener ninguna carga de polarizacin semejante... pero estaafirmacin era equivocada.

Cinco aos despus, Roger Blandford y un estudiante licenciado, RomnZnajek, en la Universidad de Cambridge descubrieron que los camposmagnticos pueden extraer la energa de rotacin de un agujero negro yutilizarla para suministrar potencia a los chorros (el llamado proceso Blanriford-Znajek).

Blandford y Znajek encontraron tambin, mediante clculos en el espacio-tiempo curvo, que, a medida que se extrae la energa, fluyen corrientes

elctricas hacia el horizonte cerca de los polos del agujero (en forma departculas cargadas positivamente que caen hacia adentro), y salen corrientesdel horizonte cerca del ecuador (en forma de partculas cargadasnegativamente que caen hacia adentro). Era como si el agujero negro formaraparte de un circuito elctrico.

Los clculos mostraban, adems, que el agujero se comportaba como sihubiera un generador de voltaje en el circuito. Este generador de voltaje delagujero negro impulsaba la corriente hacia fuera desde el ecuador delhorizonte, luego sta suba por las lneas de campo magntico a una grandistancia del agujero, continuaba a travs del plasma (gas elctricamente

conductor caliente) hasta otras lneas de campo prximas al eje de giro del


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agujero, y luego descenda por dichas lneas de campo y entraba en elhorizonte.

Las lneas de campo magntico eran los cables de un circuito elctrico, elplasma era la carga que extrae energa del circuito, y el agujero giratorio era la

fuente de energa.

Desde este punto de vista, es la energa transportada por el circuito la queacelera el plasma para formar chorros. Desde otro punto de vista, son las

lneas de campo magntico en rotacin, dando vueltas una y otra vez, las queaceleran el plasma. Los dos puntos de vista son simplemente formas diferentesde mirar lo mismo. En ambos casos, la energa procede en ltima instancia dela rotacin del agujero. El que uno considere que la energa es transportada porel circuito o que es transportada por las lneas de campo giratorias es unacuestin de gusto.

La descripcin de circuito elctrico, aunque se basa en las leyes de la fsica delespacio-tiempo curvado estndar, era totalmente inesperada, y el flujo decorriente a travs del agujero negro hacia adentro cerca de los polos y haciaafuera cerca del ecuador pareca muy peculiar. Durante 1977 y 1978, Znajek

e, independientemente, Thibault Daniour (tambin un estudiante licenciado,aunque en Pars yno en Cambridge) se interrogaron sobre esta peculiaridad.


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Mientras trataban de entenderla, tradujeron independientemente lasecuaciones del espacio-tiempo curvo, que describen el agujero giratorio y suplasma y campo magntico, a una forma poco familiar con una interpretacingrfica intrigante: cuando llega al horizonte, la corriente no entra en el agujero.

En lugar de ello, se fija al horizonte, donde es conducida por el tipo de cargasdel horizonte imaginadas anteriormente por Hanni y Ruffini. Esta corriente dehorizonte fluye desde el polo al ecuador, desde donde sale hacia las lneas decampo magntico. Adems, Znajek y Damour descubrieron que las leyes quegobiernan la carga y corriente del horizonte son versiones elegantes de lasleyes de la electricidad y el magnetismo en el espacio-tiempo plano: son la leyde Gauss, la ley de Ampre, la ley de Ohm y la ley de la conservacin de lacarga.

Znajek y Damour no afirmaban que un ser que cayese en el agujero negroencontrara un horizonte tipo membrana con cargas y corrientes elctricas. Loque afirmaban, ms bien, era que si uno desea imaginar cmo se comportan laelectricidad, el magnetismo y los plasmas fuera de un agujero negro, es tilconsiderar el horizonte como una membrana con cargas y corrientes.

Znajek y Damour, y Hanni y Ruffini antes que ellos, haban descubierto las

bases de un nuevo paradigma para los agujeros negros. El paradigma erafascinante. Las leyes de la fsica de los agujeros negros, escritas en este


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paradigma de la membrana, son completamente equivalentes a las leyescorrespondientes del paradigma del espacio-tiempo curvo, siempre y cuandouno restrinja su atencin al exterior del agujero.

En consecuencia, los dos paradigmas dan exactamente las mismas

predicciones para los resultados de todos los experimentos u observacionesque cualquiera pudiera hacer fuera de un agujero negro, incluyendo todas lasobservaciones astronmicas hechas desde la Tierra.

Cuando se piensa sobre astronoma y astrofsica, es til tener a mano ambosparadigmas, el de la membrana y el del espacio-tiempo curvo, y hacer saltosmentales tipo Escher entre uno y otro. El paradigma del espacio-tiempo curvo,con sus horizontes hechos de espacio-tiempo vaco curvo, puede ser til eldomingo, cuando se piensa en las pulsaciones de los agujeros negros.

El paradigma de la membrana, con horizontes hechos de membranas

elctricamente cargadas, puede ser til el lunes, cuando se piensa en laproduccin de chorros de un agujero negro. Y puesto que est garantizado quelas predicciones de los dos paradigmas son las mismas, se pueden utilizarsegn el da aquella que ms convenga a las necesidades.


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No sucede as en el interior de un agujero negro. Cualquier ser que caiga en unagujero descubrir que el horizonte noes una membrana dotada de carga, yque en el interior del agujero el paradigma de la membrana pierdecompletamente su poder.

Sin embargo, los seres en cada hacia un agujero negro pagan un precio muyalto por descubrir esto: no pueden publicar su descubrimiento en las revistascientficas del Universo exterior.

Javier de Lucas

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