ALGUNOS EJEMPLOS MOTIVADORES SOBRE ESPACIOS MÉTRICOS

UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCHEZ CARRIÓN Página 1

Facultad de Ciencias e Ingeniería Lic. JORGE LUIS ROJAS PAZ

Docente del curso de introducción a la topología

Espacios métricos Una de las ideas más importantes de la matemática es la de continuidad la misma que

esta relacionada directamente con los conceptos de convergencia y límites, sin

embargo tales conceptos no tendrían significado alguno si los conjuntos sobre los

cuales son desenvueltos no poseen la estructura necesaria para poder hablar de

proximidad de puntos, tales conjuntos son llamados espacios topológicos. La forma de

decidir cuando dos puntos pertenecientes a un conjunto M están mas próximos de un

tercero, involucra la noción de distancia ya previamente definida en el conjunto en

mención, tales conjuntos son llamados espacios métricos. Este concepto y otros más

fueron introducidos por Maurice Fréchet en el año 1906 en su famosa tesis tornándose

clásicos en el estudio de la topología.

Definición: (Métrica)

Sea M un conjunto no vacío. Una métrica en el conjunto M es una

función d: M x M R, tal que satisface los axiomas siguientes:

A1.- d(x, y) = 0 sii x = y, d(x, y)>0; x, y M.

A2.- d(x, y) = d (y, x); x, y M.

A3.- d(x, z) d (x, y)+ d (y, z); x, y, z M.

Si M es un conjunto y d una métrica en M, a la pareja (M, d) le llamaremos

Espacio Métrico. Como ejemplos motivadores de Espacios Métricos presentamos:

1.-Si M es el conjunto de los números reales R, la función d: R x R R definida por

d(x, y) x y es una métrica en R, llamada la métrica usual de R.

En efecto: Es claro que el axioma 1 se verifica inmediatamente dada la definición

en R de valor absoluto . Así mismo como x y y x , x, y R se

sigue d(x, y) = d (y, x), verificándose el axioma 2.

Finalmente de x y x z z y x z + z y , x, y, z R ; se

tiene

d (x, z) d (x, y)+ d (y, z),

lo que demuestra el axioma 3.

2.-Si M es el conjunto nR , la función d: nR x nR R definida como:

d (( 1x ,…, nx ),( 1y ,…, ny )) 2

1

( )n

i ii

x y

es una métrica, llamada la métrica Euclidiana. ¡Ejercicio!

3.-Sea 0,1C el conjunto de funciones reales continuas definidas sobre el

intervalo 0,1 . La función d: 0,1C x 0,1C R definida por

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d (f, g) = 1

0

( )f x g x dx es una métrica en 0,1C .

En efecto: Dado que la función ( ) ( )f x g x es no negativa en el intervalo 0,1 se

Sigue que 1

0

( )f x g x dx 0, y por consiguiente se verifica el axioma 1.

Por otro lado, sabemos que ( ) ( )f x g x = ( ) ( )g x f x , x 0,1 por

consiguiente de1 1

0 0

( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx g x f x dx se sigue d (f, g) d (g, f), lo que

demuestra el axioma 2.

La desigualdad triangular se deduce fácilmente del siguiente razonamiento:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x h x h x g x , h 0,1C ,

Además es claro que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x h x h x g x , x 0,1 .

y puesto que las funciones ( ) ( )f x g x y ( ) ( ) ( ) ( )f x h x h x g x son

continuas en el intervalo 0,1 y por lo tanto integrables en dicho segmento

se tendrá 1 1 1

0 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x h x dx h x g x dx

lo que prueba el axioma 3.

4.-La Métrica del Ascensor.

Consideremos la función d: 2R x 2R R, definida de la siguiente manera:

donde: 1 2( , )x x x e 1 2( , )y y y .

“d(x, y)” así definida constituye una métrica en 2R , llamada la Métrica del

Ascensor.

En efecto: Sólo demostraremos la desigualdad triangular dejando al lector

interesado las otras dos demostraciones restantes.

Consideremos para ello el primer caso donde los puntos x e y se encuentran en el

plano y sobre una misma recta vertical, situación para la cual hemos previsto un

gráfico elaborado con el software winplot

x

y

Para este caso consideramos los puntos que se observan sobre la

recta vertical donde

2 2d x,y y x , la cual

satisface la desigualdad triangular

como es obvio pues si z es otro punto sobre la misma vertical

entonces se tendrá

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2y x y z z x y z z x

Lo que corrobora lo afirmado.

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Para el segundo caso consideremos dos punto x e y situados en rectas verticales

diferentes 1 2 1 2x ,x , )x e y y y donde 1 2x x .

Sea 1 2z ,zz un tercer punto ubicado en el plano y sobre alguna recta vertical

x = 1z entonces se tiene:

2 1 1 2( , )d x y x y x y

2 1 1 1 1 2x y z z x y 2 1 1 1 1 2x y z z x y

y como 2 2 2 2 2 2 2x x z z x z z , además 2 2 2 2x z x z se

concluye que

2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2( , )d x y x y z z x y x z x z y z y z es decir ( , ) ( , ) ( , )d x y d x z d z y que es lo que esperábamos.

x

y

Figura 1

Otros ejemplos interesantes de espacios métricos sólo serán citados a continuación,

invitando al lector entusiasta a realizar la demostración pertinente.

5.-La Métrica de Correos

La distancia entre dos puntos distintos es la suma de las distancias euclídeas de

ambos puntos al origen.es decir dados dos puntos x e y se tiene:

d( , ) ( ,0) ( , )x y d x d y o

donde ( ,0) ( , )d x y d y o son las distancias euclídeas de los puntos x e y al origen o

de coordenadas.

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6.-La Métrica del taxi

La distancia entre dos puntos de coordenadas 1 2 1 2( , ); ( , )p x x q y y está dada por la

suma de los valores absolutos de las diferencias de sus coordenadas, esto es:

1 2 1 2 1 1 2 2d(( , );( , ))x x y y x y x y

En el siguiente grafico se aprecian dos puntos de coordenadas P (-4,-2) y Q (3,2) y la

distancia entre ellos utilizando la métrica del taxi indicándose como 11

x

y

Mérica del Taxi

P

Q

d(P,Q)=11

Figura 02

Este nombre de métrica del taxi se debe a la interpretación que se hace de la distancia

de un punto a otro, como en la figura mostrada, y que correspondería a la longitud

que es recorrida por un taxi, que en una ciudad cuadriculada va desde un punto P

hasta otro punto Q realizando un solo giro de volante.

BIBLIOGRAFÍA

JUAN MONTERDE, Espacios Métricos y Geometría Riemanniana,

Universitat de Valencia.

ELON LAGES LIMA, Espaços Métricos, 2a.edición, Projeto Euclides

1983.

ELON LAGES LIMA, Curso de Análise, vol.1 Coleçao Projeto Euclides,

CNPq, 1976.

ELON LAGES LIMA, Elementos de Topologia Geral, Ao Livro Tecnico,

Rio, 1970