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Vectores.

Aparicio De la Rosa Athena.

26/10/2015

Actuaría. Álgebra Superior.

Para hablar de “espacios vectoriales” es necesario

entender algunos conceptos, primero que nada necesitamos saber que los espacios vectoriales tendrán lugar en el plano cartesiano real, es decir, en el producto cartesiano de R X R y que las parejas

ordenadas (x, y), donde x, y ϵ R, serán los elementos representados como puntos en el plano cartesiano (R2).

A los elementos de R2, o sea, a los puntos en el plano cartesiano, los conoceremos como vectores y a los números que pertenecen a R, los llamaremos escalares. Para entender el comportamiento de los vectores tenemos ciertas operaciones definidas, la “suma de vectores” y el “producto de un escalar por un vector”.

La “suma de vectores” es del tipo:

(a, b) + (x, y) = (a + x, b + y) donde (a, b) (x, y) ϵ R2.

Mientras que el “producto de un escalar por un vector” se representa de la siguiente forma:

c * (x, y) = (c * x, c * y) donde c ϵ R y (x, y) ϵ R2.

A continuación, veremos cómo se representa gráficamente cada una de las operaciones.

Como en “conjuntos”, estas operaciones están acompañadas de ciertas propiedades que ayudan a que se puedan realizar de mejor manera en forma algebraica.

1. Suma de Vectores.

2. Producto de Escalar por vector.

Siendo x, y y z vectores en el plano, y sean a y b escalares, tenemos que:

1. x + y es un vector en el plano. Cerradura bajo la adición.

2. x + y = y + x. Conmutatividad de la adición.

3. (x + y) + z = x + (y + z). Asociativa de la adición.

4. x + 0 = x. Idéntico aditivo.

5. x + (-x) = 0. Inverso aditivo

6. c*u es un vector en el plano. Cerradura bajo la multiplicación

escalar

7. c*(x + y) = c*x + c*y. Distributiva

8. (c + d)*x = c*x + d*x. Distributiva

9. c*(d*x) = (c*d)*x. Asociativa de la multiplicación.

10. 1*(x) = x. Idéntico multiplicativo.

“ESPACIO VECTORIAL EN Rn”

Para generalizar la información acerca de los espacios vectoriales, hablaremos de un “espacio vectorial en Rn” el cual consta del conjunto de todas las colecciones

ordenadas de “n” números reales (x1, x2,…, xn) y de las operaciones: ~ (x1, x2,…, xn) + (y1, y2,…, yn) = (x1+y1, x2+y2,…, xn+yn) [Suma de vectores] ~ c*(x1, x2,…, xn) = (c*x1, c*x2,…, c*xn) [Multiplicación de escalar por vector] dónde “(x1, x2,…, xn)” y “(y1, y2,…, yn)” serán llamados vectores y “c” será cualquier número real al que llamaremos escalar.

Al igual que en R2, las operaciones en Rn anteriormente mencionadas, cumplen con las siguientes propiedades:

Siendo A, B y D vectores en Rn, tenemos que:

1. A + B = B + A. Conmutatividad de la adición.

2. (A + B) + D = A + (B + D). Asociativa de la adición.

3. A + 0 = A. Idéntico aditivo.

4. A + (-A) = 0. Inverso aditivo

7. c*(A + B) = c*A + c*B. Distributiva

8. (c + e)*A = c*A + e*A. Distributiva

9. c*(e*A) = (c*e)*A. Asociativa de la multiplicación.

10. 1*(A) = A. Idéntico multiplicativo.

11. 1*(-A) = -A. Idéntico multiplicativo.

12. 0*(A) = 0. Inverso multiplicativo.

13. c*(A) = 0. Implica que c = 0 ó A = 0.

“SUBESPACIOS VECTORIALES” Para que un subconjunto M ϵ Rn, sea un subespacio vectorial de Rn debe cumplir

con 3 importantes propiedades:

1. El vector 0 ó “nulo” de Rn debe pertenecer a M.

2. Si A y B son vectores de M, su suma (A + B) debe pertenecer a M también.

3. Si A ϵ M y “c” es un escalar arbitrario, entonces (A*c) debe pertenecer a M.

“COMBINACIONES LINEALES. DEPENDENCIA E INDEPENDECIA LINEAL”

Cuando hablamos del espacio vectorial Rn, debemos saber que existen combinaciones lineales de vectores. Es decir, una combinación lineal es aquel

nuevo vector que es igual a la sumatoria de los productos de un conjunto de escalares por “n” cantidad de vectores.

Para ser un poco más claros, podemos representar una combinación lineal de la siguiente forma:

G = c1*A1 + c2*A2 + … + cn*An.

donde, “G” es el nuevo vector, (c1, c2,…, cn) son escalares y (A1, A2,…, An) son vectores.

Por ejemplo, el vector 0 {0,0,…, 0} es combinación lineal de cualquier conjunto de vectores, es decir:

0 = 0*A1 + 0*A2 + … + 0*An 0 = 0 + 0 + … + 0

0 = 0

Subespacio vectorial generado por un conjunto de vectores.

El conjunto de todas las combinaciones lineales de un conjunto {A1, A2, …, Ar} de vectores de Rn, es un subespacio vectorial de Rn; a este subespacio se le llama subespacio generado por A1, A2, …, Ar, es decir, un subespacio

vectorial M (subconjunto de Rn) está generado por los vectores A1, A2, …, Ar de Rn si M consta de todas las combinaciones lineales de estos vectores.

Dependencia e independencia lineal.

Para que un vector “G” sea linealmente dependiente debe cumplir con ciertas características: ~ La primera de ellas dice que para que el conjunto G dependa linealmente del conjunto de vectores {A1, A2, …, Ar}, G debe ser un combinación lineal {A1, A2, …, Ar}, es decir que G ϵ al subespacio vectorial M generado por {A1, A2, …, Ar}. ~ La segunda dice que un conjunto {A1, A2, …, Ar} de vectores de Rn, es linealmente dependiente si al menos uno de ellos es combinación lineal de los restantes. - Por último, sea el conjunto {A1, A2, …, Ar} de vectores de Rn linealmente dependiente, si y sólo si, existe una combinación lineal de ellos igual a cero, es decir: {c1*A1 + c2*A2 + ... + cr*Ar = 0}

Por el contrario, un conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno de ellos es combinación lineal de los restantes, por lo que tenemos una propiedad importante que estos vectores deben cumplir: -Teniendo el conjunto {A1, A2, …, Ar} de vectores es linealmente independiente si la relación {c1*A1 + c2*A2 + ... + cr*Ar = 0} solamente es posible cuando c1 = c2 = ... = cr = 0.

“BASES Y DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL” Los términos "base" y "dimensión" están sumamente relacionados, pues necesitamos de uno para entender el otro, en nuestro caso, si queremos entender lo qué es "dimensión", primero necesitamos saber ¿Qué es? y ¿cómo funciona? una base.

Como primera instancia, un conjunto {A1, A2, …, Ar} de vectores de Rn es una base de un subespacio vectorial M de Rn si cumple con dos características:

1. {A1, A2, …, Ar} es linealmente independiente.

2. {A1, A2, …, Ar} genera a M.

Es decir, una base permite expresar todos los vectores {A1, A2, …, Ar} como combinación lineal de ella de una manera única para cada vector.

Nota: Base canónica. En Rn, los vectores

E1 = (1,0,0,...,0)

E2 = (0,1,0,...,0)

E3 = (0,0,1,...,0)

..........................

En = (0,0,0,...,1)

forman una base de Rn conocida como "base canónica"

Por su parte, y de manera más sencilla, la "dimensión" de un espacio vectorial es

el número de elementos de cualquier base de M, sabiendo que todas las bases de un subespacio M de Rn tienen el mismo número de elementos.

Por ejemplo, Rn es de dimensión “n” puesto que la base canónica tiene “n” vectores; la recta R1 = R es de dimensión 1, el plano R2 es de dimensión 2 y R3 es un espacio tridimensional.

Bibliografía

Cárdenas, Lluis, Raggi, & Tomás. (1995). Álgebra Superior. Trillas.

Presentación. Unidad 4.