ESPECIALIDADES: CIENCIAS DE LA … · Los distintos tipos de números se inventaron para cumplir...

MATEMÁTICA

Mg. Sc. José A. Chiroque Baldera Mg. Mat. Juan C. Damián Sandoval

ESPECIALIDADES: CIENCIAS DE LA COMUNICACIÓN, TURISMO, HOTELERÍA Y

PSICOLOGÍA

ASIGNATURA: MATEMÁTICA

DOCENTES: Mg. Sc. José A. Chiroque Baldera

Mg. Mat. Juan C. Damián Sandoval

UNIDAD I: SISTEMA DE NÚMEROS REALES

1.- Introducción:

Explorando los saberes previos:

Una agencia de turismo realiza una encuesta entre 5 000 personas para ver las

preferencias en materia de viajes a Cuzco, Iquitos, y Trujillo; 2 400 personas desean viajar

por lo menos al Cuzco, 3 000 por lo menos a Trujillo, 2 100 por lo menos a Iquitos, 1 000

a Trujillo e Iquitos, 800 al Cuzco y a Iquitos, 1 500 a Trujillo y el Cuzco y 500 están

dispuestos a realizar tres excursiones, se pregunta:

a) ¿Cuántos indicaron que no realizan ningún viaje?

b) ¿Cuántos no mostraron interés por el viaje a Iquitos?

c) ¿Cuántos desean hacer dos excursiones siempre que ninguna sea el Cuzco?

d) ¿Cuántos están dispuestos a realizar dos viajes diferentes?

e) ¿Cuántos viajarán al Cuzco si y sólo si no lo harían a Iquitos ni a Trujillo?

Solución:

En esta sección haremos una revisión breve sobre la teoría de conjuntos para luego

estudiar los conjunto numéricos, en particular estudiar los números reales. La noción del

objeto matemático conjunto es fundamental en matemática, sin embargo es una noción

que no está definida. Es una noción básica o primitiva desarrollada recién a finales del

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siglo XIX por el matemático George Cantor. La teoría desarrollada por este matemático

ha tenido una enorme influencia en el avance de las matemáticas durante el siglo XX ,

pues ha dado origen al estudio sistemático de otros objetos matemáticos como por

ejemplo: par ordenado, producto cartesiano, números reales, relación, función, etc. El

estudio de las matemáticas es de trascendental importancia en la vida profesional de cada

estudiante, pues resultan ser las ideas más útiles para modelar e interpretar el mundo

real.

Conjunto: Es una colección de objetos bien definidos, y estos objetos se denominan

elementos del conjunto.

Si A es un conjunto, la notación a A significa que a es un elemento que pertenece a A

, y b A quiere decir que b no es un elemento de A . Por ejemplo, “ A es el conjunto de

todos los enteros positivos menores que 7”, se puede escribir de una manera más técnica

o matemática, como: / 0 7A x x es un entero y x o también nombrando a cada uno

de sus elementos, así: 1,2,3,4,5,6A . De esta manera se puede afirmar que: 6 A ,

pero 7 A . El orden en el cual se enumeran los elementos del conjunto es irrelevante, y

los elementos se consideran una sola vez.

Definir un conjunto es describir de una manera precisa, sin ambigüedades, cuales son los

elementos de dicho conjunto, es decir, diremos que un conjunto está bien definido, si

podemos conocer todos los elementos del conjunto. Existen dos maneras de determinar

un conjunto dado: por extensión y comprensión.

Por extensión: Cuando se nombran uno a uno, a cada uno de sus elementos.

Por comprensión: Cuando existe una propiedad que caracteriza a cada uno de sus

elementos.

Conjuntos Finitos e Infinitos: Un conjunto es finito si consta de un determinado número

de elementos distintos. En caso contrario, el conjunto es infinito.

El conjunto Universal (U ) es un conjunto de referencia del cual se toman otros

conjuntos. Si A y B son conjuntos, entonces la unión A B es el conjunto que consta

de todos los elementos que están en A o en B o en ambos. La intersección de A y de

B es el conjunto A B que consiste en todos los elementos que están tanto en A como

en B . En otras palabras, A B es la parte que es común a A y a B . El conjunto vacío,

denotado por es el conjunto que no tiene elementos.

La diferencia de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos

que pertenecen a A , pero no a B .

Si A y B son conjuntos de U , tales que A B , se define el complemento de A con

respecto a B , a la diferencia B A . En particular, si B U , el complemento de A con

respecto a U , se define como el conjunto de elementos que no pertenecen a A .

La diferencia simétrica de los conjuntos A y B se define por los elementos que

pertenecen a A o, a B , pero no a ambos.

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Inclusión: Se dice que un conjunto A está incluido en otro conjunto B , cuando todos los

elementos de A pertenecen también a B . Se denota por A B . En particular: Un

conjunto A es propio de B sí A B y A B .

Igualdad de Conjuntos: Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos.

Conjuntos Disjuntos: Dos conjuntos A y B son disjuntos si no tienen elementos en

común, es decir; A B .

Cardinalidad: Si un conjunto A tiene una cantidad finita de elementos, diremos que es

un conjunto finito y llamaremos cardinal de A al número de elementos de A . El cardinal

del conjunto vacío es 0, y si el conjunto tiene una cantidad no finita de elementos diremos

que es un conjunto infinito y que su cardinal es infinito.

Nota: Si A es finito entonces ( ) ( )Card A n A .

El conjunto de Partes o conjunto Potencia: El conjunto de partes de un conjunto A es

el conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A . Lo denotamos ( )P A .

Por ejemplo:

Si 1,2,3A entonces ( ) , 1 , 2 , 3 , 1,2 , 1,3 , 2,3 , 1,2,3P A . Se observa

que: ( ) 3n A y 3 3 3 3 3

0 1 2 3( ) 8 2n P A C C C C .

En general, si ( )n A k , entonces: 0 1 2( ) 2 ... ...k k k k k k

r kn P A C C C C C , donde:

k

rC representa el número de subconjuntos de A , con r elementos.

Conjuntos Numéricos:

Los distintos tipos de números se inventaron para cumplir con necesidades específicas:

Por ejemplo, los números naturales se necesitan para contar, los números negativos para

describir deudas temperaturas por abajo de cero grados, los números racionales para

conceptos como “medio litro de leche”, y los números irracionales para medir ciertas

distancias como la diagonal de un cuadrado.

El Conjunto de los Números Naturales: 0,1,2,3,4,5,6,...

El Conjunto de los Números Enteros: ..., 3, 2, 1,0,1,2,3,...

El Conjunto de los Números Racionales: / , 0m

m n nn

El Conjunto de los Números Irracionales: Está formado por los números decimales infinitos no periódicos.

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3 3..., , ..., - 5, ..., - 2, ..., ,..., 3, ..., e, ..., , ... '

2I

Donde: = 3,14159....... e = 2,718281.........

El conjunto de los Números Reales: I , I

1 , ..., - , ..., - 5,..., -e,..., -1,..., 0, ..., ,...,1,..., , ..., 7, ..., 4e, ...,

2

El conjunto de los Números Complejos: / , , 1a bi a b i

2.- Sistema de los Números Reales

A continuación haremos un estudio básico sobre los números reales, ecuaciones y el

plano coordenado. Es útil hacer este estudio para ver cómo estas ideas trabajan juntas

para resolver problemas y modelar, o describir, situaciones del mundo cotidiano.

Por ejemplo, Suponga que le pagan 40 soles por hora en su trabajo. Nos interesa saber

cuánto dinero gana en un mes. Para describir su salario usamos los números reales.

Usamos los números reales todos los días, por ejemplo, para describir cuál es nuestra

estatura, cuánto dinero tenemos, que tanto frío o calor hace, etc. En álgebra, expresamos

las propiedades de los números reales mediante letras que representan números. Una

propiedad importante es la propiedad distributiva, que es una operación combinada:

( )a b c ac bc

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Considerando que le pagan 40 soles por hora de trabajo y desea calcular su salario

cuando trabaja 6 horas en un día y 5 horas en el siguiente. El salario de los dos días se

puede determinar de dos maneras distintas: 40(6+5) o bien 40(6)+40(5), ambos

procedimientos dan la misma respuesta. Es decir, 40(6+5)=440=40(6)+40(5). Este cálculo

es una aplicación directa de la propiedad distributiva y es aquí donde tiene sentido el

estudio de los números reales.

También podemos modelar el salario para cualquier número de horas mediante una

fórmula. Si usted trabaja x horas, entonces su salario es y soles, donde y se encuentra

mediante la fórmula algebraica:

40y x

Entonces, si trabaja 10 horas, el salario será: 40(10) 400y soles.

Una Ecuación es un enunciado escrito en el lenguaje del álgebra que expresa un hecho

con respecto a una cantidad desconocida x . Por ejemplo, ¿Cuántas horas necesitaría

trabajar para obtener 180 soles? Para resolver esta pregunta es necesario resolver la

ecuación:

180 40x

Aplicamos las reglas del álgebra para encontrar x , así: 180

4.540

x horas.

El plano coordenado permite trazar una gráfica de una ecuación de dos variables.

Por ejemplo, al graficar la ecuación 40y x podemos “ver” cómo se incrementa el salario

al aumentar las horas de trabajo.

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Geométricamente, la solución de la ecuación 180 40x significa la intersección de las

graficas de 40y x y 180y .

En esta sección, mostraremos cómo trabajan juntos los números reales, ecuaciones y

plano coordenado en la solución de problemas de la vida cotidiana.

Definición Axiomática del Sistema de los Números Reales:

El sistema de los números reales, es el conjunto , provisto de una relación de Igualdad,

de dos operaciones: Adición y Multiplicación, y de una relación de orden: mayor que, y

que satisface los siguientes axiomas:

AXIOMAS DE LA IGUALDAD

1I ) Ley Reflexiva: ;a a a

2I ) Ley Simétrica: , ;a b si a b b a

3I ) Ley Transitiva: , , ;a b c a b b c a c

AXIOMAS DE LA ADICIÓN

1A ) Ley de Clausura o cerradura: La suma de dos números reales es otro número real;

En forma simbólica: Si a y b ; a b .

2A ) Ley Conmutativa: , ;a b a b b a

3A ) Ley Asociativa: , , ; ( ) ( )a b c a b c a b c

4A ) Existencia y unicidad del Elemento Neutro Aditivo: !0 , : 0a a a

5A ) Existencia y Unicidad del Elemento Inverso Aditivo: , !( ) : ( ) 0a a a a

AXIOMAS DE LA MULTIPLICACIÓN

1M ) Ley de Clausura o cerradura: El producto de dos números reales es otro número real

En forma simbólica: Si a y b ; ab .

2M ) Ley Conmutativa: , ;a b ab ba

3M ) Ley Asociativa: , , ; ( ) ( )a b c ab c a bc

4M ) Existencia y unicidad del Elemento Neutro Multiplicativo: !1 , : .1a a a

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5M ) Existencia y Unicidad del Elemento Inverso Multiplicativo:

1 10, , ! : 1a a a aa , donde 1 1a

a

Leyes Distributivas: Operaciones Combinadas

1D ) Distributividad por la Izquierda: , , : ( )a b c a b c ab ac

2D ) Distributividad por la Derecha: , , : ( )a b c b c a ba ca

Diferencia de dos Números Reales: La diferencia de dos números reales a y b es igual

a la suma de a con el opuesto de b , es decir: , ; ( )a b a b a b

La División de dos Números Reales: La división de a entre b es igual al producto de a

por el inverso de b , es decir: ,a b , con 0b ; 1a

abb

.

Potencia de Exponente Entero: Si a es un número real diferente de cero y m es un

número natural, definimos:

0

1

1

. ...

.

m

m veces

m m

a

a a a a

a a a

Además: 1( )m ma a y

00 no está definido.

AXIOMAS DE ORDEN:

1O ) Ley de Tricotomía: Para dos números reales a y b , uno y sólo uno de los

siguientes enunciados es verdadero:

" "a es menor que b

a b , " "a es igual a b

a b , " "a es mayor que b

a b

2O ) Ley Transitiva: Si a b y b c , entonces a c

3O ) Leyes de Monotonía:

a) Si :a b c a c b c

b) Si: 0a b y c ac bc

c) Si: 0a b y c ac bc

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4O ) Existe un conjunto , tal que

, llamado conjunto de los números reales

positivos, el cuál satisface las siguientes propiedades:

a) Si a y b , entonces a b y ab

b) Para cada 0a : a ó a , pero no ambos.

c) 0

El AXIOMA DEL SUPREMO:

Si S es un conjunto no vacío de elementos de superiormente acotado, entonces S

tiene un supremo en .

Este último axioma nos garantiza que los números reales incluyen a los números

racionales y se puede establecer una correspondencia biunívoca entre los puntos de

una recta y los números reales.

LA RECTA NUMÉRICA REAL:

La recta real, geométricamente, se traza del siguiente modo, dibujar una recta horizontal:

Elegir una “unidad de medida” y dividir la recta en tantas veces como se pueda, luego

poner el cero en el centro y a la derecha colocar sucesivamente los números enteros

positivos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, … y a la izquierda colocar los opuestos: -1, -2, -3, -4, -5, -6, …,

etc.

Cada punto de la recta representa, intuitivamente, un número real. Como los números

reales son ordenados, establecemos una correspondencia uno a uno entre los puntos de

la recta y los números reales. Es decir, a cada número real le corresponde un único punto

de la recta, y a cada punto de la recta le corresponde un único número real, así:

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/x x x I

Los otros números reales se ubican fácilmente entre los números enteros. Por ejemplo,

para ubicar el número real 2 , se traza un segmento vertical de longitud 1, por el punto

1; luego se traza el segmento OA como la hipotenusa de un triángulo rectángulo de

longitud 2 , y se gira el segmento OA , generando un círculo de radio 2 , que corta a la

recta justo en el punto 2 , obteniendo así la ubicación exacta de la 2 .

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES:

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RADICALES

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INTERVALOS:

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EXPRESIONES ALGEBRAICAS:

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FACTORIZACIÓN:

ECUACIONES: Una ecuación es un enunciado en el que se establece que las

expresiones matemáticas son iguales. Los valores de la incógnita que hacen que la

ecuación sea verdadera se llaman soluciones o raíces de la ecuación, y el proceso para

determinar las soluciones se llama resolución de una ecuación.

Dos ecuaciones con exactamente las mismas soluciones se llaman ecuaciones

equivalentes.

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ECUACIÓN

Es una igualdad en la que hay una o varias cantidades

desconocidas llamadas incógnitas y que sólo se verifica o

es verdadera para determinados valores de las incógnitas.

CLASIFICACIÓN

Con respecto a los coeficientes

de las incógnitas.

Ecuaciones Numéricas

Ecuaciones Literales

Con respecto a su forma

Ecuaciones racionales

Ecuaciones irracionales

E.R. Enteras

E.R. Fraccionarias

Con respecto al número de

incógnitas

Pueden ser de una, dos, tres o más incógnitas.

Con respecto al grado

Con respecto a sus soluciones

Pueden ser de primer grado, segundo

grado, tercer grado o enésimo grado.

La ecuación puede ser

Compatibles Determinadas

Indeterminadas

Incompatibles

Ejemplo

Ecuación

Términos

Raíces

Conjunto solución

8 12 4 24x x

8 , 12,4x x y 24

9x

9cs

2 15 56x x

2 ,15x x y 56

1 8x , 2 7x

8, 7cs

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Ecuación: 0ax b Valores de: a y b Solución Tipo de ecuación

ax b 0

0

a

b

bx

a

Ecuación Compatible determinada.

ax b 0

0

a

b

0x

Ecuación Compatible determinada.

ax b 0

0

a

b

0. 0x

Ecuación Compatible indeterminada.

ax b 0

0

a

b

0.x b

Ecuación Incompatible o absurda.

EJEMPLO

Para resolver la ecuación de primer grado con una variable, seguimos los siguientes pasos: Resolver:

3 72 1 4 2

5 2x x x

1.-Si la ecuación contiene fracciones, simplificar multiplicando ambos miembros de la ecuación por el mcm de los denominadores

10mcm

6 2 1 35 4 10 2x x x

2.-Eliminar los símbolos de agrupación 12 6 140 35 20x x x

3.-Simplificar la expresión algebraica, reduciendo los términos que sean semejantes, para luego obtener una ecuación de la forma:

ax b

67 134x

4.-Encontrar el valor de la variable 2x

5.-Verificar en la ecuación original

3 72 2 1 4 2 2 2

5 2

3 7 4 3

6.-Escribir el conjunto solución . 2c s

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DISCRIMINANTE 2 4b ac

Analisis de la solución Raíces o conjunto solución

> 0

Las raices son reales y diferentes.

2 24 4,

2 2

b b ac b b accs

a a

0

Las raices son reales e iguales

2

bCS

a

< 0

No tienen raices reales(las raices son complejas y conjugadas)

CS

ECUACIONES CUADRÁTICAS: Una ecuación cuadrática es una ecuación

de la forma 2 0ax bx c donde ,a b y c son números reales con 0a .

METODOS DE SOLUCIÓN

Propiedad del Producto Nulo:

0AB si y sólo si 0A o bien, 0B

La Formula Cuadrática: Las raíces de la ecuación cuadrática 2 0ax bx c ,

donde 0a , son:

2

2

4

2

b b acx

a

2

1

4

2

b b acx

a

DISCUSIÓN DE LAS RAÍCES DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

El Discriminante de la ecuación cuadrática general 2 0ax bx c , 0a es:

2 4b ac

Es

Resolución de una ecuación cuadrática simple:

Las raíces de:2 , 0x c c son x c y x c

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Deducción de la Fórmula:

Formar un trinomio cuadrado perfecto

(Completando cuadrados) en la ecuación:

2 0, 0ax bx c a

1. Si 0a , multiplicar por 1

a 2 0

b cx x

a a

2. Asociar los términos que contienen a: 2x y x

2 ...b c

x xa a

3. Elegir el coeficiente de x b

a

4. Dividir entre 2

2

b

a

5. Elevar al cuadrado 2

b

a

22

2( )2 4

b b

a a

6. Sumar 2

24

b

aen ambos miembros de (2)

2 22

2 24 4

b b b cx x

a a a a

7. Formar el cuadrado perfecto en el primer miembro y operar el segundo.

22

2

4( )

2 4

b b acx

a a

8. Extraer la raíz cuadrada en ambos miembros

2

2

4

2 4

b b acx

a a

9. Despejar la variable x 2

2

4

2 4

b b acx

a a

10. Simplificando se obtiene las raíces: 2 4

2

b b acx

a

Geométricamente las raíces de una ecuación cuadrática 2 0ax bx c , con 0a , son

las intersecciones de la gráfica de la parábola con el Eje X .

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Raíces 2

1

4

2

b b acx

a

2

2

4

2

b b acx

a

Si 0a la parábola se abre

hacia arriba:

Si 0a la parábola se abre

hacia abajo:

Si 2 4 0b ac , las

raíces son reales y diferentes. Entonces la

parábola corta al Eje X en

1x y 2x

0a y 0

0a y 0

Si 2 4 0b ac , las

raíces son reales e iguales. Entonces la parábola corta

al Eje X en 1 2x x

0a y 0

0a y 0

Si 2 4 0b ac , las

raíces no son reales. Entonces la parábola no

corta al Eje X .

0a y 0

0a y 0

Ejemplos: Resolver las ecuaciones cuadráticas, y luego haga un análisis de sus raíces,

así como construya la gráfica.

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Ecuación Discriminante

acb 42

Análisis de las Raíces Gráfica

22 3 1 0x x

2 0a

3b

1c

2( 3) 4(2)( 1)

17

17 0

1

3 17

4x

2

3 17

4x

Las raíces son reales y

diferentes.

29 6 1 0x x

9 0a

6b

1c

2( 6) 4(9)(1)

0

1

6 1

2(9) 3x

1 2

1

3x x

Tiene sólo una raíz real

2 1 0x x

1 0a

1b

1c

2(1) 4(1)(1)

3

3 0

1

1 3

2x

2

1 3

2x

No tiene raíces reales.

21 2 0x x

1 0a

2b

1c

2(2) 4( 1)(1)

8

8 0

1 1 2x

2 1 2x

Las raíces son reales y

diferentes.

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DESIGUALDADES:

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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS Y TRES VARIABLES: Es la

reunión de dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas.

La solución de un sistema de ecuaciones es un conjunto de valores de las incógnitas que

satisfacen todas las ecuaciones del sistema.

MÉTODO DE IGUALACIÓN: Consiste en despejar la misma incógnita en cada una de las

ecuaciones del sistema e igualar las expresiones que resultan. Esto equivale a encontrar

los puntos de intersección de las gráficas de las ecuaciones.

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NOTA: Algunas de estas notas de clase han sido tomadas del texto PRE CÁLCULO,

quinta edición, de James Stewart. Matemáticas para el cálculo.

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PRÁCTICA: PROBLEMAS APLICATIVOS

1. Indique cuáles de los siguientes conjuntos son finitos o infinitos

a) El conjunto de las letras de nuestro alfabeto. b) El conjunto de todas las personas que habitan en la tierra. c) El conjunto de todos los números enteros positivos. d) El conjunto de los múltiplos de 3.

2. Determinar por comprensión los siguientes conjuntos:

a) 1,1, 3, 5, 7A

b) 3, 8,15, 24, 35, 48,...B

3. Determinar por extensión los siguientes conjuntos:

a) /A x x es un dia de la semana

b) / " "B x x es una letra de la palabra Matematica

c) / 785432C x x es una cifra del numero

d) 2/ 6 0D x x x

4. En un concesionario de una empresa, 68 obreros se sirven desayuno, 40 se sirven

el almuerzo y 16 obreros se servirán desayuno y almuerzo. ¿Cuántos obreros sólo

se servirán desayuno?

5. De 50 alumnos del Programa Ciencias de la Comunicación se sabe que: 33

estudian el curso Matemática, y 13 estudian Matemática y Comunicación

simultáneamente. Determinar:

a) ¿Cuántos estudian el curso Comunicación?

b) ¿Cuántos estudian solo Matemática?

c) ¿Cuántos estudian solo uno de los cursos?

6. De un grupo de empleados de una sección que van de paseo, 23 llevan comida,

37 bebidas y 22 golosinas. De ellos 11 llevan comida y bebidas, 10 bebidas y

golosinas, 9 comida y golosinas, 5 las tres cosas. ¿Cuántos llevaron solamente

comida, bebidas y golosinas?

7. Determine los subconjuntos de los conjuntos dados, que son:

a) Números naturales

b) Números enteros

c) Números racionales

d) Números Irracionales

322 10; 10; ; 0.538; 7; 1.23; ; 2

7 3X

13 151.001; 0.333...; ; 11; 11; ; 16; 3.14;

15 3Y

8. Efectúe las operaciones indicadas:

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a) 3 4

10 15 d)

5 11

8 6 g)

8 10.25( )

9 2

b) 2 3

(6 )3 2

e)

1

121 1

8 9

c) 1 4

(3 )(1 )4 5

f)

2

2 32 2

3

h)

2 1

5 21 3

10 15

9. Diga de cada desigualdad, si es verdadero o falso:

a) 6 10 e) 2 1.41

b) 10 12

11 13 f)

11

2

c) 3 g) 0.67 0.67

d) 1.1 1,1 h) 1.001 1.0001

10. Escriba cada enunciado en términos de desigualdades:

a) x es positiva.

b) t es menor que 4.

c) a es mayor que o igual a .

d) x es menor que 1

3 y es mayor que 5

e) La distancia desde p hasta 3 es cuándo mucho 5.

f) z es mayor que 1.

g) b es cuánto más 8.

h) w es positiva y es menor o igual a 17.

i) y está por lo menos a dos unidades desde .

11. Ubicar en la recta numérica real, los siguientes números reales: 2 , 3 , 5 , 7

, 8 , 3 2 y 3 2 , con sus respectivos opuestos en la recta numérica real.

12. Escribe en notación científica la cantidad indicada en cada inciso:

a) Un año Luz, es la distancia que la Luz recorre en un año, es de casi 9 460 800

000 000 km.

b) Una gota de agua contiene más de 33 trillones de moléculas.

c) La distancia de la Tierra al Sol es de casi 150 millones de kilómetros.

d) La masa de una molécula de oxígeno es de casi: 0.

00000000000000000000000053 g.

e) La masa de la Tierra es de casi: 5 970 000 000 000 000 000 000 000

13. La velocidad de la luz es de casi 300 000 km/s. Determinar cuánto tarda un rayo

de luz en llegar a la Tierra desde el Sol.

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14. Complete las tablas. ¿Qué sucede con el tamaño de la fracción 1

x cuando x se

incrementa? ¿Y cuando disminuye?

x 1

x

1

2

10

100

1000

15. Sean a , b y c números reales con 0a , 0b y 0c . Determine el signo de

cada expresión:

a) a f) 3( )b a k)

5b

b) b g) 10b l) abc

c) bc h) 2 3ab c m)

2ab

d) a b i) ab ac n) a bc

e) c a j)

3 3

6 6

a c

b c ñ)

4( )b a

16. En Noviembre del 2004, la población de Estados Unidos era de 82.949 10 , y la

deuda nacional era de 127.529 10 dólares. ¿Cuánto debe cada persona?

17. Se tiene un millón (610 ) de dólares en una valija y usted gasta mil (

310 ) dólares

cada día, ¿cuántos años tardaría en gastarse todo el dinero? Si gasta lo mismo,

¿cuántos años tardaría en vaciar la valija llena con mil millones (910 ) de dólares?

18. Un fabricante de ropa determina que el costo de producción de x camisas es: 2500 6 0.01x x dólares.

a) Explique la razón de que el costo promedio por camisa esté dado por la

expresión racional: 2500 6 0.01x x

Ax

b) Complete la tabla siguiente con el cálculo del costo promedio por camisa para

los valores dados de x .

x Costo Promedio

10

20

50

100

200

500

1000

x 1

x

1.0

0.5

0.1

0.01

0.001

MATEMÁTICA


19. Resolver las ecuaciones lineales:

a) 16 7 5 11 3x x x x

b) 5 6 81 7 102 65y y y y

c) 8 15 30 51 53 31 172x x x x x x

d) 3 5 ( 3) 8 ( 5 9)x x x x x

e) 9 (5 1) 2 8 (7 5) 9 0x x x x x

f) 7 5

(5 1) 110

xx x

g) 3 1 5 4 2 2 3 1

2 3 8 5 10

x x x x

h) 10 1 16 3

4 46 4

x xx

20. El número de días que ha trabajado Pedro es 4 veces el número de días que ha

trabajado Enrique. Si Pedro hubiera trabajado 15 días menos y Enrique 21 días

más, ambos habrían trabajado igual número de días. ¿Cuántos días trabajó cada

uno?

21. Antonio tiene 1 400 nuevos soles en dos bolsas. Si de la bolsa que tiene más

dinero saca 200 nuevos soles y los pone en la otra bolsa, ambas tendrían igual

cantidad de dinero. ¿Cuánto tiene cada bolsa?

22. Un fabricante de pequeños instrumentos encuentra que la Ganancia P (en

dólares) generada por la producción de x hornos de microondas por semana está

dada por la fórmula 1

(300 )10

P x x siempre que 0 200x ¿Cuántos hornos

se tienen que fabricar en una semana para generar una ganancia de 1250

dólares?

23. Una Ejecutiva de una compañía de ingeniería tiene un salario mensual más un

bono para la Navidad de 8 500 dólares. Si gana un total de 97 300 dólares al año,

¿Cuál es su salario mensual?

24. Un grupo de amigos decide comprar una casa para ir de vacaciones de 120 000

dólares, para lo que compartirán los gastos en partes iguales. Si pueden encontrar

una persona más que se les una, cada uno contribuirá con 6 000 dólares

¿Cuántas personas forman el grupo?

25. Carla y Juan comparten una ruta de entrega de periódicos. Carla tarda 70 minutos

en entregar todos los periódicos, y Juan se tarda 80 minutos. ¿Cuánto se tardan

los dos cuando trabajan en forma conjunta?

26. Resolver las siguientes ecuaciones:

a) 2 6 0x x d)

22 3 2 0x x

b) 26 2 0x x e)

2 4 13 0x x

c) 216 16 3 0x x f)

2 4 4 0x x

27. Una gasolinera vende gasolina regular a 2.20 dólares cada galón y gasolina

Premium a 3.00 dólares el galón. Al final de un día de trabajo se vendieron 280

MATEMÁTICA


galones de gasolina y se recibieron un total de 680 dólares. ¿Cuántos galones de

cada tipo de gasolina se vendieron?

28. Una mujer invierte un total de 20 000 dólares en dos cuentas, una da 5% y la otra

8% de interés simple por año. Su interés anual es 1 180 dólares. ¿Cuánto invirtió a

cada tasa?

29. En un zoológico hay aves y bestias. Si el zoológico contiene 60 cabezas y 200

patas, ¿Cuántas aves y cuántas bestias viven en él?

30. Una tienda de helados vende solo helados con soda y malteadas. Se pone 1 onza

de jarabe y 4 onzas de helado en un helado con soda y 1 onza de jarabe y 3 onzas

de helado en una malteada. Si la tienda usa 4 galones de helado y 5 cuartos de

jarabe en un día. ¿Cuántos helados con soda y cuántas malteadas vende?

Sugerencia: 1 cuarto = 32 onzas, 1 galón = 128 onzas.

31. Resolver los siguientes sistemas:

a) 3 2 2

5 8 60

x y

x y

c)

3456

14119

yx

yx f)

2 5 15

6 15 10

x y

x y

b) 6 27

7 3 9

x y

x y

d)

1463725

3263113

yx

yx

c)

2587

85

yx

yx e)

475)73(4

)92(5)9(3

yyx

yxyyxx

32. 5 trajes y 3 sombreros cuestan 4 180 nuevos soles, y 8 trajes y 9 sombreros 6 940

nuevos soles. Hallar el precio de un traje y de un sombrero.

33. Pedro le dice a Juan si me das S/. 15 tendré 5 veces lo que tú tendrías y Juan le

dice a Pedro: si tú me das S/. 20 tendré 3 veces lo que tu tendrías. ¿Cuánto tiene

cada uno?

34. Resolver los siguientes sistemas:

a)

722

133

11

zyx

zyx

zyx

c)

276

38523

35437

zyx

zyx

zyx

b)

213510

3749

12236

zyx

zyx

zyx

d)

3 12

8 80

2 10

x y z

x y z

x y z

35. Pagué $. 582 por cierto número de sacos de azúcar y de frijoles. Por cada saco de

azúcar pagué $5 y por cada saco de frijoles $6. Si el número de sacos de frijoles

es el triple del número de sacos de azúcar más 5, ¿cuántos sacos de azúcar y

cuantos de frijoles compré?

36. Un cartel tiene una superficie impresa de 100 por 140 cm y una franja de ancho

uniforme alrededor de los cuatro lados. El perímetro del cartel es de 1

12

veces el

perímetro del área impresa. ¿Cuál es el ancho de la franja en blanco y cuáles son

las dimensiones del cartel?

MATEMÁTICA


37. Un actor de Cine, decidido a no revelar su edad, le dijo el siguiente acertijo a un

periodista de espectáculos: “Hace siete años, yo tenía once veces la edad de mi

hija, Ahora tengo cuatro veces la edad de ella”. ¿Cuántos años tenía el actor?

38. Determinar el costo mínimo C (en dólares) dado que:

1.75 2.5 5( 25)C C 39. Determinar la ganancia máxima P (en dólares) dado que:

6( 2500) 4( 2400)P P

40. Resolver:

a)

2 3

2

8 120

7 6

x x x

x x

b)

2

2

3 7 52

3 2

x x

x x

c)

2

32 4

4 2 2

x

x x x

d) 4 4

24 4

x

x x

e) ( 9)( 3)( 7)( 5) 385x x x x

41. La publicidad indica que cierto auto rinde 20 millas por galón en la ciudad y 27

millas por galón en la carretera y que la capacidad del tanque de gasolina es de

18.1 galones. ¿Entre qué distancia podrá recorrer el auto con el tanque lleno?

42. La compañía de publicidad EL ECO, determina que el costo de publicar cada

ejemplar de una cierta revista es de $ 1.20. El ingreso recibido de los distribuidores

es de $ 1.10 por revista. El ingreso por publicidad es de 10% del ingreso recibido

de los distribuidos por todos los ejemplares vendidos por arriba de 5000. ¿Cuál es

el número mínimo de revistas que deben ser vendidas de modo que la compañía

obtenga utilidades?

43. Un científico tiene una data sobre la temperatura ( º )T en C durante un periodo de

24 horas. Si t denota el tiempo en horas y 0t corresponde a las 0.00 horas,

encontrar un polinomio de cuarto grado que satisfaga la información de la

siguiente data:

t (horas) 0 5 12 19 24

( º )T en C 0 0 10 0 0

ESPECIALIDADES: CIENCIAS DE LA … · Los distintos tipos de números se inventaron para cumplir...

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