Espectro Discreto
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ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DE CHIMBORAZO NOMBRE: Cristhian Fajardo FECHA: 01 - 06 - 2015 CURSO: 4 to “A” EIE-CRI CODIGO: 577 ANÁLISIS DE SEÑALES ESPECTRO DISCRETO El desarrollo en serie de Fourier se puede utilizar para dos clases de señales: (a) Para representar una señal aperiódica x(t) en un intervalo finito, por ejemplo (0, T); en este caso la serie de Fourier converge para una extensión de una señal x(t) fuera del intervalo (0, T), por ejemplo, para x(t) = x(t + nT) con n = ±1, ±2,… (b) Se puede emplear también el desarrollo en serie de Fourier para representar una señal periódica XT(t) en cualquier intervalo de interés. Este es el tipo de aplicación de las Series de Fourier de más utilización en ingeniería eléctrica. Pero la interpretación que más nos interesa del desarrollo en serie de Fourier de una señal periódica es que se está descomponiendo la señal en términos de sus armónicas, es decir, sus diferentes componentes frecuenciales. Si XT(t) es una señal periódica de período T, entonces, ella contiene componentes de frecuencia a las frecuencias armónicas nf 0 , con n = ±1, ±2,.. Donde f 0 = 1/T. El conjunto o colección de estas componentes de frecuencia que conforman XT(t) se denomina “Espectro de Frecuencia de XT(t)” o simplemente “Espectro de XT(t)”. En el caso de una señal periódica este espectro es discreto, es decir, es cero para n ≠ nf 0 , con n = ±1, ±2,… y estará formado por “rayas o líneas” de amplitud |Xn| en las frecuencias ± nf 0 . El espectro discreto es la representación de una señal periódica XT(t) en el dominio de la frecuencia, y, dado el espectro, se puede especificar XT(t). Se dispone ahora de dos formas para especificar una señal periódica XT(t): definir XT(t) en el dominio del tiempo mediante la descripción (gráfica o analítica) de su forma de onda, o especificar XT(t) en el dominio de la frecuencia mediante el espectro de frecuencias. PROPIEDADES DEL ESPECTRO DISCRETO 1. Las líneas espectrales están igualmente espaciadas en fo, puesto que todas las frecuencias están relacionadas armónicamente con la frecuencia fundamental fo. 2. La componente continua corresponde a la frecuencia cero y es el valor promedio de la señal. En efecto, para n = 0, Xo puede ser positiva, negativa o cero. 3. Si XT(t) es real, el espectro de amplitudes es simétrico (par en nf o) y el espectro de fase es antisimétrico (impar en nf o ), es decir, |X-n |=|Xn | y Φ-n = −Φn (Simetría hermítica)
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ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DE CHIMBORAZO
NOMBRE: Cristhian Fajardo FECHA: 01 - 06 - 2015 CURSO: 4to A EIE-CRI CODIGO: 577
ANLISIS DE SEALES ESPECTRO DISCRETO
El desarrollo en serie de Fourier se puede utilizar para dos clases de seales: (a) Para representar una seal aperidica x(t) en un intervalo finito, por ejemplo (0, T); en este caso la serie de Fourier converge para una extensin de una seal x(t) fuera del intervalo (0, T), por ejemplo, para x(t) = x(t + nT) con n = 1, 2, (b) Se puede emplear tambin el desarrollo en serie de Fourier para representar una seal peridica XT(t) en cualquier intervalo de inters. Este es el tipo de aplicacin de las Series de Fourier de ms utilizacin en ingeniera elctrica.
Pero la interpretacin que ms nos interesa del desarrollo en serie de Fourier de una seal peridica es que se est descomponiendo la seal en trminos de sus armnicas, es decir, sus diferentes componentes frecuenciales. Si XT(t) es una seal peridica de perodo T, entonces, ella contiene componentes de frecuencia a las frecuencias armnicas nf0, con n = 1, 2,.. Donde f0 = 1/T. El conjunto o coleccin de estas componentes de frecuencia que conforman XT(t) se denomina Espectro de Frecuencia de XT(t) o simplemente Espectro de XT(t). En el caso de una seal peridica este espectro es discreto, es decir, es cero para n nf0, con n = 1, 2, y estar formado por rayas o lneas de amplitud |Xn| en las frecuencias nf0.
El espectro discreto es la representacin de una seal peridica XT(t) en el dominio de la frecuencia, y, dado el espectro, se puede especificar XT(t). Se dispone ahora de dos formas para especificar una seal peridica XT(t): definir XT(t) en el dominio del tiempo mediante la descripcin (grfica o analtica) de su forma de onda, o especificar XT(t) en el dominio de la frecuencia mediante el espectro de frecuencias.
PROPIEDADES DEL ESPECTRO DISCRETO
1. Las lneas espectrales estn igualmente espaciadas en fo, puesto que todas las frecuencias estn relacionadas armnicamente con la frecuencia fundamental fo.
2. La componente continua corresponde a la frecuencia cero y es el valor promedio de la seal. En efecto, para n = 0,
Xo puede ser positiva, negativa o cero.
3. Si XT(t) es real, el espectro de amplitudes es simtrico (par en nfo) y el espectro de fase es antisimtrico (impar en nfo), es decir, |X-n|=|Xn| y -n = n (Simetra hermtica)
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(a) Si XT(t) es real y par, el espectro de amplitudes ser enteramente real y la fase ser 0 . Entonces,
(b) Si XT(t) es real e impar, el espectro de amplitudes es enteramente
imaginario y la fase ser /2 . Entonces,
4. Si XT(t) tiene un desarrollo en serie de Fourier, entonces el desarrollo en
serie de Fourier de XT(t to) ser
Estas relaciones indican que el espectro de amplitudes || de XT(t to) es idntico al espectro de amplitudes |Xn| de XT(t). Las frecuencias armnicas son tambin idnticas. Sin embargo, el espectro de fase ha cambiado; en efecto, el desplazamiento en el tiempo de to segundos, produce un desfase de 2nfoto radianes en la armnica n-sima. Un desplazamiento en el tiempo no afecta al espectro de amplitudes, pero s al espectro de fase en un ngulo o desfase dado.
ESPECTRO DE AMPLITUD
El espectro discreto se representa grficamente mediante el llamado Espectro de Amplitudes o de Lneas, en el cual la amplitud de cada armnica o componente frecuencial se representa con una lnea vertical de longitud proporcional a la amplitud de la armnica, y localizada en el eje de frecuencia a las frecuencias f0, 2f0, ... ; es la grfica |Xn| vs nf0 para todo n entero. Si XT(t) contiene una componente continua, sta se localiza como una lnea de amplitud X0 a la frecuencia cero (origen).
El espectro de lneas es entonces un grfico de lneas igualmente espaciadas con longitudes proporcionales a las amplitudes de las diferentes componentes de frecuencia contenidas en XT(t).
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ESPECTRO DE FASE
Obsrvese que la fase de cada armnica se puede representar en la misma forma; en este caso se tiene el Espectro de Fase que es la grfica n vs nfo para todo n entero. En estas figuras se hace |X-n|=|Xn| y -n = n. El espectro de lneas de seales peridicas prcticas puede no contener lneas en algunas de las frecuencias. Esto lo veremos a continuacin.
