2.5-Esperanza Matemática o Valor Esperado

En el recurso de aprendizaje RA2: Esperanza Matemática, encontrarás conceptos, explicaciones y cálculos de Esperanza Matemática para que, de una forma sencilla, puedas fomentar tu capacidad de análisis y obtener una comprensión óptima de los objetivos planeados en esta unidad.Este documento fue elaborado por la Prof. María Adelaida Herasme Cuevas, con base en las siguientes fuentes:Custodio, Carlos (2007) Estadística Básica, 4ta. Edición, Editora Búho, República Dominicana.Johnson, Robert; Kuby, Patricia (2008) Estadística Elemental, Lo esencial, Edición 1, Editorial: Cengage Learning, Argentina.Pea, Daniel(2008),Fundamentos de Estadística, 2da. Edicion, Editorial: Alianza, España.Richard I. Levin &David S. Rubin (2004), Estadística para Administradores, 7ma. Edición, Editorial Printice Hall, México.Weiers, Ronad M. (2006) Introducción a la Estadística para Negocios, 5ta.  Edición, Editorial Thomson, México.El estudio del contenido de este documento te será de utilidad para desarrollar las Actividades de Aprendizaje, así como para responder las preguntas que aparecen en la evaluación de unidad.Esperanza Matemática o Valor Esperado

Esperanza Matemática o Valor Esperado de una variable aleatoria surge con los juegos de azar, por lo que podemos decir que:

Es el valor medio de un fenómeno aleatorio. Es el producto de la cantidad que un jugador puede ganar y la

probabilidad de ganar en el juego. Por ejemplo:

Un jugador de lotería nacional juega un número cuyo premio es 1,500 pesos., como son 100 números, la probabilidad de ganar es de 1/100, entonces La Esperanza Matemática es 1500×1/100=15 pesos, esto quiere decir que el jugador sólo deberá pagar 15 pesos por cada número jugado. Pero si es 1,500.00 en el primer premio, 300.00 en el segundo y 100.00 en el tercer premio, entonces decimos que la Esperanza Matemática es 1500+300+100=1900x1/100=19.00 es decir, debe pagar 19.00 por cada número jugado.

La Esperanza Matemática o Valor Esperado también la podemos definir como la sumatoria de los productos obtenidos al multiplicar la cantidad que se gana en cada jugada (variable aleatoria) por la probabilidad correspondiente. Veamos:

Si X es la variable aleatoria (la cantidad ganada) y P(x) el valor de la probabilidad de X, entonces la Esperanza Matemática E(x) es:

E(x)¿XP(X) y si el juego se repite varias veces, la Esperanza Matemática es:

E(x)¿∑i=1

i=n

X iP(x i¿)¿

Veamos otros ejemplos:

1.- En una tómbola se tienen 1,000 boletos con los números del 1 al 1,000, para rifar una computadora valorada en 25,800.00 pesos en el primer premio, en el segundo premio un celular de 5,500.00 y en el tercer premio una calculadora con un valor de 1,500.00. Cuál es la Esperanza Matemática o Valor Esperado.

Las variables aleatorias X i son: X1=25,800, X2=5,500, X3=1,500 ,

Como los sucesos son dependientes, para el primer intento es con el total de boletos (1000), ya para el segundo es 999 y para el tercero solo quedan 998 boletos, por lo tanto la probabilidad de las variables aleatorias es:

P (X1 ¿ = 11000

; P (X2 ¿ =1999

y para P (X3 ¿ = 1998

E(x)¿∑i=1

i=n

X iP(x i¿)¿

E(x)=25,800x1/1000 + 5,500x1/999 + 1,500x1/998E(x) = 25.8 +5.5+1.5 =$32.80 E(x)= $ 32.80 quiere decir, que se deben pagar $32.80 por cada boleto2.- En una canasta se tiene 10 bolas; 5 verdes, 3 azules y 2 blanca. El juego consiste en sacar una bola que paga $85 si es verde, $180.00 si es azul y $500.00 si es la blanca. ¿Cuál es la Esperanza Matemática?

E(x)¿∑i=1

i=n

X iP(x i¿)¿

X1=85.00, lo que se paga por si sale verde y la probabilidad de que salga verde es: P(X1)=5/10; P(X1)=0.5X2= 180.00, lo que se paga por si sale azul y la probabilidad de que salga azul es: P(X2)=3/10; P(X2)=0.3X3= 500.00 lo que se paga si sale blanca la probabilidad de que salga blanca es: P(X3)=2/10; P(X1)=0.2, por lo que la Esperanza Matemática será:E(x)=85x0.5+180x0.3+500x0.2E(x) =42.5 + 54 + 100E(x)=196.5Quiere decir, que el jugador sólo debe pagar $196.5 por cada jugada, gana si sale la bola blanca, no le favorece si sale la bola verde o la azul.

Otra forma, es construir una distribución de probabilidades discretas

Xi P(Xi) Xi P(Xi)85.00 5/10 =0.5 42.5 180.00 3/10 =0.3 54500.00 2/10 =0.2 100

∑i=1

i=n

¿196.5

E(x) =196.5

Puedes notar que el denominador de P(x) es fijo, esto sucede porque se va a sacar sólo una del total de las bolas (10).

3.- En una canasta se tiene 8 canicas, 6 rojas y 2 negras. El juego consiste en sacar una canica que pierde 50 pesos si es roja y gana 285 pesos si sale negra. ¿Cuál es la Esperanza Matemática?

E(x)¿∑i=1

i=n

X iP(x i¿)¿

X1=-50; P(X1) =6/8; P(X1) =0.75

X2=285; P(X2) =2/8; P(X2) =0.25

Xi P(Xi) Xi P(Xi)-50 6/8=0.75 -37.75285 2/8=0.25 71.25

∑i=1

i=n

¿33.5

E(x) =33.5