Estabilidad estática y frecuencia de Brunt-Vaisala
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Estabilidad est´ atica y frecuencia de Brunt-Vaisala Mois´ es Carrera N´ u˜ nez e-mail: [email protected] n un oc´ eano estratificado estable, el agua que es desplazada desde su posici´ on de equilibrio sentir´ a una fuerza de restituci´ on que es proporcional a la magnitud del desplazamiento. Asociada con esta esta fuerza de restituci´ on est´ a una frecuencia natural de oscilaci´ on conocida como frecuencia de Brunt-Vaisala 1 N 2 = - g ρ ∂ρ ∂z en donde N es la frecuencia de Brunt-Vaisala, g es la aceleraci´ on debida a la gravedad y ρ es la densidad del elemento de agua desplazada. Derive esta ecuaci´ on para N 2 notando que el valor de ρ puede ser reemplazado por la densidad media del oc´ eano para la mayor´ ıa de los casos. Soluci´ on: Figura 1 Considerando una parcela de agua de volumen V que es desplazada vertical y adiab´ aticamente en un fluido estratificado, como se lo muestra en la Figura 1. La fuerza restauradora F en el nivel 2 sobre la parcela desplazada est´ a dada por F = fuerza de flotabilidad - peso de la parcela del principio de Arqu´ ımides se tiene que la fuerza de flotabilidad es igual al peso del fluido despla- zado, es decir, V gρ 2 donde g es la aceleraci´ on de la gravedad y ρ 2 es la densidad de las aguas circundantes. Entonces F = V gρ 2 - V gρ = Vg(ρ 2 - ρ ) de la segunda ley de newton F = ma la aceleraci´ on de la parcela debe ser a = F m = Vg(ρ 2 - ρ ) Vρ = g(ρ 2 - ρ ) ρ (1) 1 Brunt-V¨ ais¨ all¨ a
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En un oc´eano estratificado estable, el agua que es desplazada desde su posici´on deequilibrio sentir´a una fuerza de restituci´on que es proporcional a la magnitud deldesplazamiento
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Estabilidad estatica y frecuencia deBrunt-Vaisala
Moises Carrera Nuneze-mail: [email protected]
En un oceano estratificado estable, el agua que es desplazada desde su posicion de
equilibrio sentira una fuerza de restitucion que es proporcional a la magnitud del
desplazamiento. Asociada con esta esta fuerza de restitucion esta una frecuencia
natural de oscilacion conocida como frecuencia de Brunt-Vaisala1
N2 = −g
ρ
∂ρ
∂z
en donde N es la frecuencia de Brunt-Vaisala, g es la aceleracion debida a la gravedad y ρ es
la densidad del elemento de agua desplazada.
Derive esta ecuacion para N2 notando que el valor de ρ puede ser reemplazado por la densidad
media del oceano para la mayorıa de los casos.
Solucion:
Figura 1
Considerando una parcela de agua de volumen V
que es desplazada vertical y adiabaticamente en
un fluido estratificado, como se lo muestra en la
Figura 1. La fuerza restauradora F en el nivel 2
sobre la parcela desplazada esta dada por
F = fuerza de flotabilidad− peso de la parcela
del principio de Arquımides se tiene que la fuerza
de flotabilidad es igual al peso del fluido despla-
zado, es decir, V gρ2 donde g es la aceleracion de
la gravedad y ρ2 es la densidad de las aguas circundantes. Entonces
F = V gρ2 − V gρ′ = V g(ρ2 − ρ′)
de la segunda ley de newton F = ma la aceleracion de la parcela debe ser
a =F
m=
V g(ρ2 − ρ′)
V ρ′ =g(ρ2 − ρ′)
ρ′ (1)
1Brunt-Vaisalla
Fısica del oceano Moises Carrera Nunez 2
Podemos hacer una expansion en serie de Taylor para las densidades ρ2 y ρ′ como sigue
ρ2 = ρ +
(∂ρ
∂z
)agua
δz + · · · ≈ ρ +
(∂ρ
∂z
)agua
δz (2)
ρ′ = ρ +
(∂ρ
∂z
)parcela
δz + · · · ≈ ρ +
(∂ρ
∂z
)parcela
δz (3)
sustituyendo las Ecs. (2) y (3) en la Ec. (1) se obtiene
a = g
ρ +
(∂ρ
∂z
)agua
δz − ρ−(
∂ρ
∂z
)parcela
δz
ρ +
(∂ρ
∂z
)parcela
δz
a = g
[(∂ρ
∂z
)agua
−(
∂ρ
∂z
)parcela
]δz
ρ
[1 +
1
ρ
(∂ρ
∂z
)parcela
δz
] (4)
expandiendo el denominador en una serie de potencias:
1[1 +
1
ρ
(∂ρ
∂z
)parcela
δz
] = 1− 1
ρ
(∂ρ
∂z
)parcela
δz + · · · ≈ 1− 1
ρ
(∂ρ
∂z
)parcela
δz
sustituyendo esta ultima expresion en la Ec. (4)
a =g
ρ
{[(∂ρ
∂z
)agua
−(
∂ρ
∂z
)parcela
]δz
}[1− 1
ρ
(∂ρ
∂z
)parcela
δz
]
=g
ρ
{[(∂ρ
∂z
)agua
−(
∂ρ
∂z
)parcela
]δz −
[(∂ρ
∂z
)agua
−(
∂ρ
∂z
)parcela
]1
ρ
(∂ρ
∂z
)parcela
(δz)2
}
Ahora, para desplazamientos muy pequenos, podemos ignorar el termino proporcional a (δz)2
a =g
ρ
[(∂ρ
∂z
)agua
−(
∂ρ
∂z
)parcela
]δz
Definiendo E ≡ −a/(gδz) como la estabilidad de la columna de agua, se tiene que:
E = −1
ρ
[(∂ρ
∂z
)agua
−(
∂ρ
∂z
)parcela
](5)
En el kilometro superior del oceano (z < 1 000 m) la estabilidad es muy grande, y el primer
termino en (5) es mucho mayor que el segundo, pues el primer termino es proporcional a la tasa
de cambio de la densidad de la columna de agua y el segundo es proporcional a la compresibilidad
Fısica del oceano Moises Carrera Nunez 3
del agua de mar. Despreciando, entonces, el segundo termino podemos escribir la ecuacion de
estabilidad
E = −1
ρ
∂ρ
∂z(6)
Y como N2 ≡ (gE) finalmente obtenemos la ecuacion buscada:
N2 = −g
ρ
∂ρ
∂z(7)
por lo tanto
N =
√−g
ρ
∂ρ
∂zFrecuencia de Brunt-Vaisala. (8)
Esta frecuencia puede ser interpretada como la frecuencia vertical excitada por un desplaza-
miento vertical de una parcela de fluido. Ası, N es la maxima frecuencia de la ondas internas
del oceano.
BibliografıaRobert H. Stewart. Introduction To Physical Oceanography. Texas A & M University, 2005.
