Desv iac ión med ia

La desv iac ión respecto a la media es l a di ferencia ent re cada va lor de la var iab le es tad í s t i ca y la media ari tmét ica . D i = x - x La desv iac ión media es l a media ari tmét ica de lo s va lores absolutos de las desv iac iones respecto a la media .

La desv iac ión media se representa po r

E jemplo Ca lcu la r l a desv iac ión media de la d i s t r ibuc ión: 9 , 3 , 8 , 8 , 9 , 8 , 9 , 18

De sv ia c i ón me d ia par a da t os ag ru pados

S i l o s da tos v ienen agrupados en una tab la de f recuencias , l a exp res ión de la desviac ión media e s :

Ejemplo Ca lcu la r l a desviac ión media de la d i s t r ibuc ión:

x i f i x i · f i |x - x| |x - x| · f i

[10 , 15) 12 .5 3 37 .5 9 .286 27 .858

[15 , 20) 17 .5 5 87 .5 4 .286 21 .43

[20 , 25) 22 .5 7 157.5 0 .714 4 .998

[25 , 30) 27 .5 4 110 5 .714 22 .856

[30 , 35) 32 .5 2 65 10 .714 21 .428

21 457.5

98 .57

Desviación estándar La desv iac ión estándar o desviac ión t íp ica es l a ra íz cuadrada de la var ianza . Es dec i r , l a r a í z cuadrada de la med ia de los cuadrados de las puntuac iones de desv iac ión . La desv iac ión estándar se r epresenta po r σ .

Desviac ión estándar para datos agrupados

Para s imp l i f i ca r e l cá l cu lo vamos o u t i l i za r l as s igu ientes expres iones que son equ iva lentes a las ante r io res .

Desviac ión estándar para datos agrupados

E jerc ic ios Ca lcu la r l a desviac ión estándar de la d i s t r ibuc ión:9 , 3 , 8 , 8 , 9 , 8 , 9 , 18

Ca lcu lar la desv iac ión t íp ica de la d i s t r ibuc ión de la tab la:

Pr op ie dades de l a de sv iac i ón e s tá ndar

1 La desviac ión estándar será s iempre un va lor pos it ivo o cero , en e l caso de que las puntuac iones sean igua les . 2 S i a todos lo s va lores de la var iab le se les suma un número l a desv iac ión estándar no var ía . 3 S i todos lo s valores de la var iab le se mult ip l i can po r un número l a desv iac ión estándar queda mult ip l i cada por d i cho número . 4 S i tenemos var ias d i s t r ibuc iones con la misma media y conocemos sus respec t ivas desv iac iones estándar se puede ca l cu la r l a desviac ión estándar tota l . S i todas las mues tras t i enen e l m ismo tamaño:

S i l as mues t ras t i enen d i s t in to tamaño:

Observaciones sobre desv iac ión la estándar 1 La desviac ión estándar , a l i gua l que la med ia y la var ianza , es un índ i ce muy sens ib le a las puntuac iones ex t remas . 2 En lo s casos que no se pueda ha l lar la media tampoco se rá pos ib le

ha l l a r l a desv iac ión estándar . 3 Cuanta más pequeña sea la desv iac ión estándar mayor se rá la concentrac ión de datos a l rededor de la media .

V ar i an za

La var ianza es l a media ar i tmét ica del cuadrado de las desv iac iones respecto a la media de una d i s tr ibuc ión es tad í s t i ca .

La var ianza se rep resenta por .

Var ianza para datos agrupados

Para s imp l i f i ca r e l cá lcu lo de la var ianza vamos o u t i l i za r l as s igu ientes expres iones que son equ iva lentes a las ante r io res .

Var ianza para datos agrupados

Ejerc ic ios de varianza Ca lcu lar la varianza de la d i s t r ibuc ión: 9 , 3 , 8 , 8 , 9 , 8 , 9 , 18

Calcu lar la varianza de la d i s t r ibuc ión de la tab la:

Pr op ie dades de l a va r ia nza

1 La var ianza se rá s iempre un va lor pos i t ivo o cero , en e l caso de que las puntuac iones sean igua les . 2 S i a todos lo s va lores de la var iab le se les suma un número l a var ianza no var ía . 3 S i todos lo s valores de la var iab le se mult ip l i can po r un número l a var ianza queda mult ipl i cada por e l cuadrado de d i cho número . 4 S i tenemos var ias d i s t r ibuc iones con la misma media y conocemos sus respec t ivas var ianzas se puede ca l cu la r l a var ianza tota l .

S i todas las mues tras t i enen e l m ismo tamaño:

S i l as mues t ras t i enen d i s t in to tamaño:

Observaciones sobre la var ianza

1 La var ianza , a l i gua l que la med ia , es un índ i ce muy sens ib le a las puntuac iones ex t remas. 2 En lo s casos que no se pueda ha l lar la media tampoco se rá pos ib le ha l l a r l a var ianza . 3 La var ianza no v iene expresada en las mismas un idades que lo s da tos , ya que las desv iac iones es tán e levadas a l cuadrado .

E sper an za m at emá t i ca

La esperanza matemát ica o va lor esperado de una var iab le a lea tor ia d i s c re ta es la suma de l produc to de la probab i l i dad de cada suceso por e l va lo r de d i cho suceso .

Los nombre de esperanza matemát ica y valor esperado t i enen su o r igen en lo s juegos de azar y hacen re fe renc ia a la gananc ia p romed io esperada po r un jugador cuando hace un g ran número de apues tas . S i l a esperanza matemát ica es cero , E (x ) = 0 , e l juego e s equi tat ivo , es dec i r , no ex i s te venta ja n i para e l jugador n i para la banca . Ejemplos S i una per sona compra una pape le ta en una r i f a , en la que puede ganar de 5 .000

€ ó un segundo premio de 2000 € con probab i l i dades de: 0 .001 y 0 .003 . ¿Cuá l se r ía e l prec io jus to a pagar po r l a pape le ta? E(x ) = 5000 · 0 .001 + 2000 · 0 .003 = 11 € Un jugador lanza dos monedas . Gana 1 ó 2 € s i aparec en una o dos caras . Po r o t ra par te p ierde 5 € s i no aparece cara . De te rminar l a esperanza matemát ica de l juego y s i és te es favorab le . E = { (c ,c ) ; (c ,x ) ; (x ,c ) ; (x ,x )} p (+1) = 2 /4 p (+2) = 1 /4 p(−5) = 1 /4 E (x )= 1 · 2 /4 + 2 · 1 /4 - 5 · 1 /4 = −1/4. Es desfavorable

V ar i a b l e e s t ad í s t i ca

Una var iab le estad íst ica es cada una de las caracter íst icas o cua l idades que poseen lo s indiv iduos de una poblac ión .

V a r i a b l e c u a l i t a t i v a

Las var iables cual i tat ivas se re f i eren a caracter ís t icas o cua l idades que no pueden se r med idas con números . Podemos d i s t ingu i r dos t ipos :

Var iab le cua l i ta t iva nomina l Una var iab le cua l i tat iva nomina l presenta modal idades no numéricas que no admi ten un cr i ter io de orden . Po r e jemp lo : E l es tado c iv i l , con las s igu ientes moda l idades: so l te ro , casado , separado, d ivor c iado y v iudo .

Var iab le cua l i ta t iva ord inal o var iab le cuasicuant i tat iva Una var iab le cual i tat iva ord ina l presenta modal idades no númericas , en las que ex i s te un orden . Por e jemp lo :

La no ta en un examen: suspenso , ap robado , no tab le , sob resa l i en te .

Pues to consegu ido en una prueba depor t iva: 1º , 2º , 3º , . . . Meda l las de una prueba depor t iva: oro , p la ta , b ronce . V a r i a b l e c u a n t i t a t i v a

Una var iab le cuant itat iva es l a que se expresa med iante un número , po r tanto se pueden rea l i za r o peraciones ar i tmét icas con e l l a . Podemos d i s t ingu i r dos t ipos :

Var iab le d iscreta Una var iab le d iscreta es aque l la que toma va lores a is lados , es dec i r no admi te va lores intermedios ent re dos va lores espec í f i cos . Por e jemp lo :

E l número de hermanos de 5 amigos: 2 , 1 , 0 , 1 , 3 . Var iab le cont inua

Una var iab le cont inua es aque l la que puede tomar va lores comprendidos entre dos números . Po r e jemp lo : La a l tu ra de lo s 5 amigos : 1 .73 , 1 .82 , 1 .77 , 1 .69 , 1 .75 . En la p rác t i ca med imos la a l tu ra con dos dec ima les , pero tamb ién se podr ía dar con t res dec ima les .

V a r ia b le a le a t o r ia

Se l l ama var iab le a leator ia a toda función que asocia a cada e lemento del espacio muestra l E un número real . Se u t i l i zan le t ras mayúscu las X , Y , . . . para des ignar var iab les a lea to r ias , y l as r espec t ivas minúscu las (x , y , . . . ) para des ignar va lores concre tos de las

mismas . Var iab le a leator ia d iscreta

Una var iab le a leatoria d iscreta es aquel la que só lo puede tomar va lores enteros . E jemp los E l número de h i j o s de una f ami l i a , l a puntuac ión ob ten ida a l l anzar un dado .

Var iab le a leator ia cont inua Una var iab le a leator ia cont inua es aque l la que puede tomar todos los va lores pos ibles dentro de un c ierto interva lo de la r ec ta rea l . E jemp los La a l tu ra de lo s a lumnos de una c lase , l as ho ras de durac ión de una p i l a .

Var iab le a leator ia b inomial

La var iab le a leator ia b inomia l , X , exp resa e l número de éx i tos obtenidos en cada p rueba de l exp er imento . La var iable b inomia l es una variable a leator ia d iscreta , só lo puede tomar lo s va lores 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , . . . , n supon iendo que se han rea l i zado n p ruebas . E jemp lo k = 6 , a l l anzar una moneda 10 veces y obtener 6 caras .

Var iab le a leator ia normal

Una var iable a leator ia cont inua , X , s igue una dist r ibución normal de media μ y desv iac ión t íp ica σ , y se des igna por N(μ, σ) , s i se cump len las s igu ientes cond ic iones:

1 . La var iab le puede tomar cua lqu ie r va lor : ( -∞, +∞ ) 2. La función de dens idad , es l a expres ión en té rminos de ecuac ión matemát i ca de la curva de Gauss .

Distribución binomial

Una distribución binomial o de Bernoulli tiene las siguientes características:

1. En cada prueba del experimento sólo son posibles dos

resultados: éxito y fracaso.

2.La probabilidad de éxito es constante , es decir, que no varía de una prueba

a otra. Se representa por p.

3.La probabilidad de fracaso también es constante, Se representa por q,

q = 1 − p

4.El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados

obtenidos anteriormente.

5.La variable aleatoria binomial , X, expresa el número de éxitos

obtenidos en las n pruebas. Por tanto, los valores que puede tomar X son: 0, 1, 2, 3,

4, ..., n.

La distribución bimomial se expresa por B(n, p)

Cálculo de probabilidades en una distribución binomial

n es el número de pruebas.

k es el número de éxitos.

p es la probabilidad de éxito.

q es la probabilidad de fracaso.

El número combinatorio

Ejemplo

La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el

80% de los lectores ya la han leido. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura:

1. ¿Cuál es la probabilidad de que el grupo hayan leido la novela 2 personas?

n = 4

p = 0.8

q = 0.2

B(4, 0.8)

2.¿Y al menos 2?

Parámetros de la distribución binomial Media

Varianza

Desviación típica

Ejemplo

La probabilidad de que un artículo producido por una fabrica sea defectuoso es

0.02. Se envió un cargamento de 10.000 artículos a unos almacenes.

Hallar el número esperado de artículos defectuosos, la varianza y la

desviación típica.

Esperanza matemática

La esperanza matemática o valor esperado de una variable aleatoria discreta es la suma del producto de la probabilidad de cada suceso por el valor de dicho suceso.

Los nombre de esperanza matemática y valor esperado tienen su origen en los juegos de azar y hacen referencia a la ganancia promedio esperada por un jugador cuando hace un gran número de apuestas.

Si la esperanza matemática es cero, E(x) = 0, el juego es equitativo, es decir, no existe ventaja ni para el jugador ni para la banca.

Ejemplos

Si una persona compra una papeleta en una rifa, en la que puede ganar de 5.000 € ó un segundo premio de 2000 € con probabilidades de: 0.001 y 0.003. ¿Cuál sería el precio justo a pagar por la papeleta?

E(x) = 5000 · 0.001 + 2000 · 0.003 = 11 €

Un jugador lanza dos monedas. Gana 1 ó 2 € si aparecen una o dos caras. Por otra parte pierde 5 € si no aparece cara. Determinar laesperanza matemática del juego y si éste es favorable.

E = {(c,c);(c,x);(x,c);(x,x)}

p(+1) = 2/4

p(+2) = 1/4

p(−5) = 1/4

E(x)= 1 · 2/4 + 2 · 1/4 - 5 · 1/4 = −1/4. Es desfavorable