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ESTADÍSTICA ACTUARIAL VIDA


ÍNDICE

Introducción

1. El modelo biométrico

1.1 Variables biométricas

1.2 Tanto instantáneo de fallecimiento

1.3 Tablas de vida, cohortes.

1.4 Esperanza de vida

1.5 Otras medidas

1.6 Hipótesis para edades no enteras

1.7 ejercicios

2. Probabilidades para más de una vida

2.1 Probabilidades para dos vidas


2.3 Grupos de 3 cabezas

2.4 Grupos de n cabezas

2.5 ejercicios

3. Modelos de supervivencia

3.1 Ley de Moivre

3.2 Ley de Dormoy

3.3 Ley de Gormpetz

3.4 Leyes de Makeham

3.5 Ley de Sang

3.6 Teorema de Quiquet

3.7 Ley de envejecimiento uniforme

3.8 Tablas y gráficas

3.9 ejercicios

4. Interpolación y ajustes

4.1 Graduación de la mortalidad

4.2 Interpolación polinómica

4.3 Procedimientos de ajuste

5. Tablas seleccionadas de mortalidad

5.1 Los efectos de la selección de cartera

5.2 Construcción y lectura de una tabla seleccionada

5.3 Tantos anuales de mortalidad

5.4 Obtención de las principales funciones biométricas

5.5 Ejemplo

5.6 ejercicios

6. Múltiples causas de salida

6.1 Grados de invalidez

6.2 Orden y efectivo

6.3 Probabilidades dependientes e independientes

6.4 Modelo práctico de invalidez

6.5 Generación de probabilidades

6.6 Modelo racional de invalidez

6.7 Generación de probabilidades

6.8 ejercicios


INTRODUCCIÓN

El objetivo es dominar la nomenclatura y el método para calcular probabilidades de supervivencia o

fallecimiento de los individuos, necesario y fundamental luego en cualquier cálculo de valoración actuarial.


TEMA 1. EL MODELO BIOMÉTRICO

1.1 Variables biométricas

1.

Introducción

Se denomina “X” la variable aleatoria edad de fallecimiento de un individuo. Evidentemente se trata de una

variable continua, a pesar de que los datos censales se presentan siempre en edades enteras y los cálculos

relacionados con años no enteros serán aproximaciones. “x” será la variable edad actual de un individuo.

Propiedades de la variable aleatoria X:

1. Homogeneidad, si es la v.a. edad de fallecimiento del individuo “i”, y es la v.a. edad de fallecimiento

del individuo “j”, se supone que ambos se comportan probabilísticamente igual.

2. Independencia, la muerte de un individuo no condiciona la muerte de otro; no existe contagio.

3. Estacionariedad, las probabilidades son respecto a la edad del individuo, no respecto a su fecha de

nacimiento. Se supone la misma probabilidad de un individuo nacido el 1960 que otro nacido el 2010 (a

pesar de que realmente la calidad de vida evoluciona y la probabilidad es diferente). Pero es esencial

suponer que se da esta estacionariedad.

El rango de la variable X va desde el nacimiento en t=0, hasta la máxima edad registrada, y por lo tanto

máxima edad humanamente posible, denominada infinito actuarial, t=w.

La vida residual de un individuo serán los años que restan por vivir desde su edad actual, x, hasta la edad de

fallecimiento X. Se denomina T(x) a la variable aleatoria vida residual de un individuo de edad x.

Se lee como: Ya que X es una variable aleatoria (desconocida), entonces T, que está en función de la edad

conocida x, también es una variable aleatoria.

Función de fallecimiento

La función de distribución F(x) será la función de la probabilidad acumulada de que la edad de fallecimiento

X sea inferior o igual a una edad x:

Y se lee, como ejemplos: probabilidad de que un individuo fallezca en x o antes; probabilidad de que un

individuo fallezca al cumplir 30 o antes:

Ya se puede ver que, por ejemplo, si se resta las probabilidades de fallecer antes de los 30 y antes de los 40,

se obtendrá la probabilidad de fallecer entre los 30 y los 40 años

Propiedades de la función de distribución de la v.a. edad de fallecimiento:

1. En el nacimiento la probabilidad de fallecer es 0

2. En el infinito actuarial la probabilidad acumulada de haber fallecido suma 1


se interpreta como que ya se han dado todas las posiciones posibles de supervivencia.

3. F(x) es una función no decreciente y habitualmente creciente.

4. F(x) es una función continua por la derecha.

Ejemplo:

Si se tiene que

verificar que cumple la 4 condiciones para ser función de distribución de la v.a. edad de fallecimiento

1.

2.

3. Si la primera derivada es positiva, la función es creciente

4.para cualquier x positiva y con tendencia al infinito, la función es continua por la derecha.

Función de densidad de probabilidad: Si se tiene una función de distribución, donde se expresan los valores

acumulados de la variable aleatoria en cada punto, su derivada será la función de densidad, donde se tienen

los valores de la intensidad de probabilidad en cada punto. Por ejemplo, una función de densidad de una

distribución normal es

y su función de distribución es


Para el caso de la distribución de la variable aleatoria edad de fallecimiento, la función de densidad suele

tener una forma convergente con la normal,

Este gráfico presenta la probabilidad de sobrevivir hasta una edad, y tiene en cuenta que al principio de la

vida fallecen pocos individuos, va creciendo la cantidad de fallecimientos, y finalmente pocos individuos

llegan vivos hasta las edades superiores.

Y su función de distribución reflejará la probabilidad de fallecer en cada punto, en la juventud es poco

probable fallecer, pero año a año esta probabilidad crece, hasta que en las edades superiores es

probabilísimo fallecer.

La distribución de probabilidad de la vida residual de x se denomina y es la probabilidad de que la vida

residual de un individuo sea inferior o igual a un tiempo = t. Y por lo tanto es una probabilidad

condicionada; la probabilidad de que un individuo fallezca antes de x+t condicionado a que el fallecimiento

sea por encima de la edad actual x de un individuo (no haber fallecido antes de x).

Y su función de densidad será

Función de supervivencia

El valor complementario de la función de fallecimiento será la función de supervivencia. Es la probabilidad

de que la variable aleatoria “X” tome un valor superior a la edad x;


Propiedades:

1. La probabilidad de que la edad de fallecimiento sea una edad superior a la edad cero cuando se nace es =1

2. En el infinito actuarial no es posible una edad de fallecimiento superior a la edad máxima posible

3. S(x) es una función no creciente y habitualmente decreciente; la probabilidad de sobrevivir decrece a

medida que la variable x crece.

4. S(x) es una función continua por la derecha

2.

Probabilidades de supervivencia o fallecimiento para un individuo de edad x

Se denomina a la probabilidad de que un individuo de edad x fallezca entre x y x+t

Y a su complementario será la probabilidad de que un individuo sobreviva entre las edades x y x+t

Para una edad x=0 estaremos en el caso más sencillo, donde se mide la probabilidad de que el individuo

sobreviva o fallezca entre su nacimiento, edad cero, y una edad determinada, por ejemplo 30:

Propiedad de escindibilidad:

La probabilidad de supervivencia verifica ser escindible. Algo fundamental para calcular entonces

probabilidades diferidas en el tiempo:

Lo que se tiene es que la probabilidad de sobrevivir entre x y x+n supone que se sobrevive cada uno de los

periodos entre x y x+n, esto es; sobrevivir a x y sobrevivir a x+1 y sobrevivir a x+2,…, y sobrevivir a x+n-1.

Así se cumple llegar vivo hasta x+n.

Ejemplo:

Sobrevivir a X>32 implica que se vive el 32º año entero y que se llegará hasta el 33 cumpleaños, y a partir de

aquí ya se puede fallecer cuando uno guste.

Esto permite entonces “agrupar” probabilidades de la siguiente forma:

donde se puede eliminar P(X>x+k) del numerador y denominador, verificando así la igualdad.


La probabilidad de fallecimiento no es escindible. Pero sí se puede “partir” una probabilidad de fallecimiento

en una suma de probabilidades: o falleces en el primer tramo o sobrevives tal primer tramo y falleces en el

segundo:

Probabilidades diferidas

Suponen que se sobrevive durante un periodo de m años para estudiar luego la probabilidad de fallecimiento

en tramos superiores.

Se lee= la probabilidad de, teniendo x años, sobrevivir m+x y fallecer entre x+m y x+m+n

Ejemplo:

La probabilidad de, teniendo 30 años, fallecer entre los 40 y los 50, será sobrevivir los primeros 10 años y

luego fallecer entre 40 y 50:

Se puede jugar con las probabilidades y alcanzar el mismo resultado de diversas formas:

Cuando n=1 nos ahorramos el número:

Y se lee: probabilidad de, teniendo 30 años, sobrevivir hasta los 40 y fallecer el siguiente año; después de

cumplir 40 años y antes de cumplir los 41.

Una probabilidad temporal de fallecimiento se puede escribir como suma de probabilidades diferidas:

fallecer entre x y x+1, o sobrevivir entre x y x+1 y fallecer entre x+1 y x+1+1, o sobrevivir entre x y x+2 y

fallecer entre x+2+1,…, o sobrevivir entre x y x+n-1 y fallecer entre x+n-1 y x+n



Las probabilidades anteriores miden qué sucede de un año a otro. ¿Pero cómo se calcula la probabilidad de

que un individuo cumpla 30 años y muera en ese instante (no a lo largo del 30º año de vida, que sería )?

Si cogemos la función de distribución de la probabilidad y calculamos el incremento que experimenta la

probabilidad en un intervalo muy pequeñito de tiempo, tendremos el valor de la intensidad de la

probabilidad en ese intervalo, o la fuerza de mortalidad (o en inglés, hazard rate). Esto es, la derivada.

Lo que se obtiene es el tanto instantáneo de fallecimiento. Y dicho de otro modo, es la probabilidad de,

teniendo una edad x, fallecer justo en ese instante.

Ejemplo:

Calcular el tanto instantaneo de fallecimiento a los 20 años si se sabe que para 0≤x≤100 la f(x) es

entonces

Habrá primero que encontrar el valor de F(x) a partir de f(x),

Por lo tanto

Si

y finalmente

Otras formas de presentar el tanto instantáneo de fallecimiento

Si cogemos y lo dividimos por Δt se obtiene que;

cuando Δt=0 es la

derivada de la función

de distribución, F(x)

o lo mismo:

la función de densidad


Y para conseguir relacionar la función de distribución con el tanto instantáneo, podemos buscar la cantidad

de probabilidad que acumula el tanto instantáneo de fallecimiento

y por lo tanto

Y también se puede relacionar con la supervivencia si

y por lo tanto

Por decirlo de otra forma; el tanto instantáneo de fallecimiento es una función de distribución de

probabilidad que se inicia en la edad x. Y desde esta edad x hasta el infinito actuarial w, la probabilidad =1

Evidentemente, la probabilidad de, teniendo x, fallecer entre x y w es total = 1.

El tanto instantáneo de fallecimiento es, en definitiva, la intensidad de fallecimiento a lo largo de un

intervalo, condicionado a una edad.

También se relaciona el tanto instantáneo de fallecimiento con la función de densidad de la vida residual:

Y ya que

entonces


1.3 Tablas de vida. Cohortes

Para calcular las probabilidades anteriores se usan los datos que se obtienen del censo y que se han

trasladado a las tablas de vida, o cohortes, donde se tiene la evolución de un grupo inicial de individuos a lo

largo de todos los años y hasta la muerte del último individuo. La variable l(x) será el tamaño de la cohorte

para cada edad x;

Así, ¿cuál es la probabilidad de que un individuo alcance los 30 años?

Así, L(x) será la función de la evolución del tamaño de la cohorte en el tiempo, y cumple que

Se lee: el valor esperado de la cohorte a una edad x será el valor del tamaño original por la probabilidad de

sobrevivir hasta ese año.

A partir de las cohortes también se puede encontrar el número de fallecidos en un intervalo de edades

Y también se relaciona con el tanto instantáneo de fallecimiento,

A partir del número de fallecimientos y tamaño de cohorte también aparece una relación con la probabilidad

de fallecimiento:

y para el caso de probabilidades diferidas;

1. función censal de supervivencia

La función censal de supervivencia da el promedio de individuos vivos en x a lo largo del año hasta llegar al

siguiente, equivalentemente se interpreta como número total de años que viven los individuos que viven

entre x y x+1. Si además a(x) es una función que mide el número medio de años vividos entre x y x+1 por

los supervivientes de x que fallecen antes de x+1, se puede encontrar que:

¿cuántos? Promedio de años de vida Total años Fallecen a(x) Sobreviven 1 año


Ejemplo para verlo claro:

a) Si tenemos un individuo con 35 años, que sabemos que vive hasta los 36 años, ¿cuál es el promedio de

individuos que sobreviven los 35 años? ¿cuál es el número de años que vive este individuo entre los 35 y los

36 años?

Ya que sólo tenemos 1 individuo, si vive de los 35 a los 36, de promedio vive 1 individuo. Y el número total

de años que ha vivido entre 35 y 36 años son = 1 año.

b) Si tenemos una cohorte donde sólo existen 2 individuos de 35 años ( ) y sólo uno de ellos alcanza

los 36 años… según la función censal de supervivencia ¿cuál es el promedio de individuos vivos a los 35

años? ¿cuál es el número total de años que viven los individuos que viven entre 35 y 36 años?

Entre los 35 y 36 años, si 2 cumplen 35 años pero sólo uno cumple 36: en promedio viven 1,5 individuos.

Alternativamente, entre los 35 y los 36 años se vive, en total de años, 1,5 años.

De vuelta a la teoría:

Se trata de ver cómo evoluciona la cohorte a lo largo del año (de inicio del año = 0 a fin de año = 1). Esto es:

Como no se disponen de los datos intranuales la variable promedio de individuos vivos entre x y x+1 será

una aproximación. Existen diversas aproximaciones, pero la más sencilla es suponer que todos fallecen a

mitad de año, y por lo tanto, a(x)=1/2 y así:

Se lee: el promedio de individuos vivos entre x y x+1 será los vivos en x, menos el 50% de los que mueren

ese año. Ya que suponemos que la mitad de individuos fallecen en la primera mitad del año, y el resto en la

segunda mitad.

También se puede expresar como

La función censal de supervivencia en un plazo superior al año, será el promedio de individuos vivos en ese

plazo temporal:


2. Tanto central de mortalidad

El tanto central de mortalidad será el número de fallecidos con la población superviviente a mitad de año:

Y ahora desarrollando,

si se multiplica y divide por

Si se aplica complementarios;

Aproximaciones discretas al tanto instantáneo de mortalidad

La μ(x) es una variable continua que usa la función de densidad en su cálculo. Pero no siempre se tendrá el

conocimiento de la evolución en continuo y habrá que hacer una aproximación.

1. aproximación suponiendo un desarrollo de Taylor

La serie de Taylor supone la convergencia hacia f(x) dentro de un intervalo de las sumas de las sucesivas

derivadas de la función

Si se concreta para n=1 y n=-1, y se desprecian los terminos de mayor orden de derivación, se resume que

2. usando cohortes

Se puede encontrar una aproximación más efectiva para cada caso (1, y 2), incorporando términos más

alejados de la edad x (ampliar la perspectiva).


1.4 Esperanza de vida

El objetivo es medir la edad potencial de un individuo, es decir, la edad aproximada de fallecimiento X, y por

lo tanto cuántos años faltan para ese momento. Que ya se ha visto al inicio de este tema que es

Su función de distribución es

Y se observa que coincide con la probabilidad de fallecimiento.

Derivando

Se lee: la probabilidad de fallecer en t de un individuo de edad x es = la probabilidad de, teniendo x,

sobrevivir hasta t, y justo fallecer en ese instante.

Por lo tanto, el valor esperado de T(x) será la esperanza de años por vivir: la esperanza de vida

Esta esperanza se calcula como la probabilidad de supervivencia que hay acumulada desde la edad actual

hasta el infinito actuarial; (x, w) o lo que es lo mismo (0, w-x)

Si se sustituye por

y ya que

entonces

Donde es la cantidad de existencia: el número de años totales que viven el conjunto de los individuos

vivos en x y hasta el fin de la cohorte. Por lo tanto, la esperanza de vida es el número de años totales que

quedan por vivir repartidos por los individuos vivos en x. Se supone que los años se reparten igual entre

todos los individuos.


A su vez, se relaciona con la función censal de supervivencia, ya que la función censal de supervivencia

informa alternativamente o bien del promedio de individuos vivos entre x y x+1, pero también de la

cantidad de años que se viven entre x y x+1 por los individuos vivos en x:

En teoría esta es la esperanza de vida más acertada porque hemos estudiado la evolución de la cohorte en

continuo. Se le conoce como esperanza de vida, pero no siempre será posible de calcular. Para completar un

cálculo adecuado de la esperanza de la vida residual, toca encontrar la varianza de la vida residual:

Aproximaciones a la esperanza de vida

Como se acaba de decir, es habitualmente imposible poder calcular la cohorte en plano continuo, y hay que

volver a hacer una aproximación sobre el valor de la función censal. Según el tipo de aproximación, la

esperanza de vida y su varianza serán diferentes.

Se conoce la esperanza de vida como vida media completa cuando usamos la aproximación de distribución

uniforme de los fallecimientos a lo largo del año. Esto supone que la mitad fallece la pimera mitad del año, y

la segunda mitad de los fallecidos fallecen en la segunda mitad del año, por lo tanto ahora

Por lo tanto

Por lo tanto la esperanza de vida media es, y ya que


Otra aproximación es la de la vida media abreviada, , que interpreta que los individuos viven el año entero

y fallecen al final del intervalo anual; al final de x y x+1. Esto es:

Y por lo tanto

Y así, la vida media abreviada es

Resumen de la esperanza de vida y relaciones entre vidas medias

Como se puede observar, la esperanza de vida o vida media se entiende como el número de años esperados

que vivirá un individuo, y que en el caso de disponer de todos los datos será

Cuando no disponemos más que de los datos discretos, nos encontramos con un caso “abreviado” de lo

anterior, la vida media abreviada:

Cuando suponemos una distribución uniforme de los fallecimientos, ganamos una mitad de año. Estamos en

la vida media completa:

Se pueden relacionar facilmente,

Además, ya que

Se lee: o bien que la esperanza de vida en x años es = sobrevivir ese año + la esperanza de vida de x+1

O bien que la probabilidad de sobrevivir entre x y x+1 es una relación entre la esperanza de vida cuando se


tienen x años, y la esperanza de vida que se tiene si se garantiza que se sobrevive hasta x+1 más la

esperanza de vida a partir de ese momento.

Respecto a la vida media completa:

Para interpretarlo mejor: ¿cuál es la esperanza de vida entre x y x+1 si se garantiza que el individuo

efectivamente sobrevive?

Es decir, la esperanza de vida en realidad es la suma de proporciones de año que se espera vivir hasta el

infinito actuarial.

Ejemplo para verlo claro:

Un individuo de 35 años vende su alma y tiene garantizado (100%) que vivirá este año completo, un 75% de

posibilidades de vivir 2 años, un 50% de vivir 3, un 25% de 4, y nada más. ¿cuál es la esperanza de vida

abreviada?

¿Cuál es la esperanza de vida completa? esto es: se supone que tiene un 50% de probabilidades de sobrevivir

la primera mitad del año en que fallezca, vivirá medio año más:

Vida media diferida

Se puede calcular la vida media a partir de una edad futura. Lo que habrá que incorporar a los cálculos

anteriores es la probabilidad de sobrevivir a lo largo del diferimiento. La vida media abreviada será:

Se lee: la vida media esperada dentro de m años para un individuo que tiene x años, es = probabilidad de

sobrevivir, teniendo x años, hasta m, y luego por la vida media esperada que tendrá un individuo de edad

x+m

Lo mismo pero respecto la vida media completa quedará:

La vida media completa se relacionará con la abreviada añadiendo “el probable” medio año que se vivirá de

más (por esto no será un ½ completo):


Vida media temporal

Antes se ha medido la vida media desde la edad actual hasta el infinito actuarial, pero puede interesar

calcular la vida media sólo dentro de un intervalo, es decir: la vida media temporal (entre x y x+n).

Se lee: el número de años que vivirá de media una persona de edad x es = número de años desde x hasta el

infinito que vive la gente de edad x menos número de años que se viven desde x+n hasta el infinito.. y en

relación al número de individuos en x.

Ya que la cantidad T se aproxima, se tendrá diversas vida media temporales:

La vida media temporal completa sigue con la interpretación de una distribución uniforme de los

fallecimientos a lo largo del año:

La vida media abreviada no tiene que añadir “medios años”, y simplemente será

La relación entre ambas vidas medias

Vida media temporal y diferida; vida media mixta

Recoge las ideas de los dos puntos anteriores; diferimiento y temporalidad de la vida media.

Ahora la vida media diferida y temporal completa será


O lo mismo

Y la vida media diferida y temporal abreviada será

o lo mismo

Y la relación entre ambas


1.5 Otras medidas-resumen para la vida residual

La vida residual probable

Consiste en encontrar la edad futura en donde la probabilidad de supervivencia y de fallecimiento son

iguales, y por lo tanto 0,5 cada una. Es la mediana de T(x), y se conoce como tiempo de vida residual a esta

edad;

Si era la función de distribución de la variable vida residual T(x), el objetivo de la vida residual

probable es encontrar el momento en que

En esa edad se cumple que

Y expresado en cohortes, la edad es la edad en la que una cohorte se reduce a la mitad:

Duración residual más probable de la vida

Si el punto anterior era la mediana de T(x), entonces su moda será el valor más repetido; la edad más

probable de supervivencia. Volviendo a la función de densidad de la vida residual la moda será el valor

máximo de esta función de densidad.

Una aproximación es encontrar la edad donde se maximiza la probabilidad diferida de fallecimiento , o

bien la edad donde se maximizan las defunciones anuales . Al número de años obtenidos se le sumará 1,

por entender que los fallecimientos suceden al final del año.

Vida media residual de los fallecidos en un intervalo temporal

El objetivo es encontrar la cantidad de años que viven, de promedio, los individuos que sobreviven a una

edad x y fallecen antes de x+n. Esto será la esperanza de la variable T en el intervalo x, x+n:

También se puede calcular como

Se lee: la esperanza de años vividos por cada individuo = duración total de años que se viven entre x y x+n

menos la cantidad de años que viven los que sobreviven a x+n, y repartido entre los que fallecen en el

intervalo x, x+n.


1.6 Hipótesis para edades no enteras

Frente a los cálculos basados en continuo nos encontramos que los datos reales (las cohortes) son datos

discretos anuales. Será necesario hacer aproximaciones para encontrar probabilidades dentro del año.

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