TEMA:

INTEGRANTES:

Ayala Zamora Johnny Cercado Reyes Nixon Chacho Yoza Miguel Chávez Briones Nazlhyn Pozo Ronquillo Krystel

2013-2014

TEOREMA DE BAYES

UNIVERSIDAD DE GUAYAQUIL

FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS

Catedrático: Ing. Luis Fajardo

Curso: 3/82

PROYECTO DE ESTADISTICA

ESTADISTICA

HISTORIA:

Thomas Bayes nació en Londres, Inglaterra, en 1702 y murió el 7 de abril de 1761 , ministro presbiteriano y matemático, dedicó su vida al estudio de las causas de los hechos. Fue el primero en utilizar la probabilidad inductivamente y establecer una base matemática para la inferencia probabilística ( la manera de calcular, a partir de la frecuencia con la que un acontecimiento ocurrió, la probabilidad de que ocurrirá en el futuro).

En el año 1973 después de la muerte de Thomas Bayes, se publicó una memoria en la que aparece , por ser primera, la determinación de la probabilidad de las causas a partir de los efectos que han podido ser observados.

El origen del concepto de la obtención de probabilidades posteriores con información limitada se atribuye al respetable Thomas Bayes. La fórmula para la probabilidad condicional en circunstancias de dependencia se conoce como teorema de Bayes.

TEOREMA DE BAYES

El Teorema de Bayes viene a seguir el proceso inverso al que hemos visto en el Teorema de la probabilidad total:

Teorema de la probabilidad total: a partir de las probabilidades del suceso A (probabilidad de que llueva o de que haga buen tiempo) deducimos la probabilidad del suceso B (que ocurra un accidente).

Teorema de Bayes: a partir de que ha ocurrido el suceso B (ha ocurrido un accidente) deducimos las probabilidades del suceso A (¿estaba lloviendo o hacía buen tiempo?).

La fórmula del Teorema de Bayes es:

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ESTADISTICA

PROBABILIDADES “A POSTERIORI”: TEOREMA DE BAYES.

En una experiencia compuesta, si A es una suceso de la primera experiencia y S un suceso de la segunda, ¿tiene sentido la probabilidad condicionada P(A|S)? Se puede llegar al suceso S habiendo pasado primero por A, o bien por otros sucesos (B, C,....) de la primera experiencia:

Si sabemos que finalmente ha ocurrido el suceso S, ¿cuál es la probabilidad de que haya ocurrido así, pasando previamente por el suceso A? O sea, de las distintas causas que han podido provocar como efecto el suceso S, ¿en qué proporción del total de veces que sucede S, la causa ha sido A? Este es el significado de P(A|S), llamada probabilidad “a posteriori” de A, sabiendo que ha ocurrido S. (También llamada probabilidad de las causas)

ESTADÍSTICA BAYESIANA

La estadística bayesiana es aquella que se utiliza para calcular la probabilidad de la valides de un proposición tomando como bases la estimación de la probabilidad previa y las evidencias relevantes más recientes.El Teorema de Bayes, lo que permite es calcular una especie de probabilidad condicionada inversa, es muy utilizada en las finanzas para evaluar escenarios. Del mismo modo permite reevaluar las probabilidades, conociendo nueva información condicionante. Supongamos que deseas evaluar la relación entre el índice de una Bolsa de Valores, y la relación entre el PIB (o GDP). Esto sería un cálculo de probabilidad X, BAYES aplica si desearas ver el comportamiento del PIB cuando la Bolsa de valores sube o baja. 

LA PROBABILIDAD P(A/B) recibe el nombre de probabilidad A POSTERIORI.

LA PROBABILIDAD P(Ai) recibe el nombre de probabilidad A PRIORI. Son las probabilidades que conocemos antes de realizar el experimento.

VEROSIMILITUD: es la probabilidad de encontrar los datos dados cierto parámetro y describe los datos encontrado cuando se ha considerado un modelo con ciertos parámetros.

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ESTADISTICA

Ejercicio 1: El parte meteorológico ha anunciado tres posibilidades para el fin de semana:

a) Que llueva: probabilidad del 50%.

b) Que nieve: probabilidad del 30%

c) Que haya niebla: probabilidad del 20%.

Según estos posibles estados meteorológicos, la posibilidad de que ocurra un accidente es la siguiente:

a) Si llueve: probabilidad de accidente del 20%.

b) Si nieva: probabilidad de accidente del 10%

c) Si hay niebla: probabilidad de accidente del 5%.

Resulta que efectivamente ocurre un accidente y como no estábamos en la ciudad no sabemos qué tiempo hizo (nevó, llovió o hubo niebla). El teorema de Bayes nos permite calcular estas probabilidades:

Las probabilidades que manejamos antes de conocer que ha ocurrido un accidente se denominan "probabilidades a priori" (lluvia con el 50%, nieve con el 30% y niebla con el 20%).

Una vez que incorporamos la información de que ha ocurrido un accidente, las probabilidades del suceso A cambian: son probabilidades condicionadas P (A/B), que se denominan "probabilidades a posteriori".

Vamos a aplicar la fórmula:

a) Probabilidad de que estuviera lloviendo:

La probabilidad de que efectivamente estuviera lloviendo el día del accidente (probabilidad a posteriori) es del 71,4%.

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ESTADISTICA

b) Probabilidad de que estuviera nevando:

La probabilidad de que estuviera nevando es del 21,4%.

c) Probabilidad de que hubiera niebla:

La probabilidad de que hubiera niebla es del 7,1%.

Ejercicio 2: 

El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y

otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan

un puesto directivo y el 50% de los economistas también,

mientras que los no ingenieros y los no economistas

solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la

probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea

ingeniero?

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ESTADISTICA

Ejercicio 3 :

La fábrica Omixa S.A. tiene 5 maquinas la primera produce 1000 cajas por día y 50 salen en mal estado, la segunda produce el doble que la primera y la misma proporción de desperfectos que la cuarta, la tercera produce la mitad que la quinta y el 2 % sale en mal estado, la cuarta produce el triple que la primera y la misma proporción de desperfectos que la tercera, la quinta produce el cuádruple que la primera y ninguna en mal estado. El lote que la fábrica envió a Colombia fue la producción total del mes pasado.La máquina 1 trabajo los 30 días, la maquina dos y tres 25 días, la maquina 4 trabajo 20 días y la maquina 5 trabajo 22 días.A) ¿De cuántas cajas contó el lote de sodas?b) Si un cliente se quejó de que una caja estaba en mal estado, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido producida por la 4ta maquina?c) Si una caja está en buen estado, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido producida por la 3era maquina?

Desarrollo:

NO. MAQUINAS

UNIDADES DIARIAS PRODUCIDAS

% DESPERFECTOS

% OPTIMOS

DÍAS QUE ELABORÓ CADA MAQUINA

PRODUCCIÓN TOTAL

P(XI)

1 1000 0,05 0,95 30 30.000 0,10792 2000 0,02 0,98 25 50.000, 0,17993 2000 0,02 0,98 25 50000,00 0,17994 3000 0,02 0,98 20 60000,00 0,21585 4000 0 1 22 88000,00 0,3165

Total producción

278000,00

a) Total de cajas que se enviaron a Colombia fueron 27.8000

b) Si un cliente se quejó de que una caja estaba en mal estado, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido producida por la 4ta maquina?

A bMAQUINAS %

DESPERFECTOS% OPTIMOS

0,107913669 1 0,05 0,950,179856115 2 0,02 0,980,179856115 3 0,02 0,980,215827338 4 0,02 0,980,316546763 5 0 1

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ESTADISTICA

(0,02 ) .(0,2158)(0,05 ) .(0,1079)+(0,1799 ) .(0,02)+(0,02 ) .(0,1799)+(0,02 ) .(0,2158)+(0 ) .(0,3165)

0,00430,0169

=0,2543=25 ,43%

R./ SI SE SABE QUE UNA CAJA ESTA EN MAL ESTADO, LA PROBABILIDAD DE QUE ESA CAJA HAYA SIDO PRODUCIDA POR LA MAQUINA 4, ES DE UN 25,43 %

c) Si una caja está en buen estado, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido producida por la 3era maquina?

A bMAQUIN

AS% DESPERFECTOS

% OPTIMOS

0,107913669

1 0,05 0,95

0,179856115

2 0,02 0,98

0,179856115

3 0,02 0,98

0,215827338

4 0,02 0,98

0,316546763

5 0 1

(0,98 ) .(0,1798)(0,95 ) .(0,1079)+(0,1799 ) .(0,98)+(0,98 ) .(0,1799)+(0,98 ) .(0,2158)+ (1 ) .(0,3165)

0,17630,9831

=0,1793=17 ,93%

R/. SI HAY UNA CAJA EN BUEN ESTADO, ESTA TIENE LA PROBABILIDAD DE HABER SIDO FABRICADA POR LA MAQUINA 3.

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ESTADISTICA

EJERCICIO 4

1) Una compañía de transporte público tiene tres líneas en una ciudad, de forma que el 45% de los autobuses cubre el servicio de la línea 1, el 25% cubre la línea 2 y el 30% cubre el servicio de la línea 3. Se sabe que la probabilidad de que, diariamente, un autobús se averíe es del 2%, 3% y 1% respectivamente, para cada línea.

a) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús sufra una averíab) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús no sufra una averíac) ¿De qué línea de transporte es más probable que un autobús sufra una avería?

Solución:

a) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús sufra una avería

Empleando la fórmula de probabilidad total se obtiene:

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ESTADISTICA

b) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús no sufra una avería

Empleando la fórmula de probabilidad total se obtiene:

c) ¿De qué línea de transporte es más probable que un autobús sufra una avería?Se debe calcular las tres probabilidades a posteriori empleando el Teorema de Bayes

La probabilidad de que sea de la línea 1, sabiendo que sufre una avería es:

La probabilidad de que sea de la línea 2, sabiendo que sufre una avería es:

La probabilidad de que sea de la línea 3, sabiendo que sufre una avería es:

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ESTADISTICA

Entonces, sabiendo que el autobús sufre una avería, lo más probable es que sea de la línea 1, ya que esta probabilidad

EJERCICIO 5

Una empresa que fabrica camisetas posee tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las piezas producidas en la fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3%, 4% y 5% respectivamente. a. Tomamos, al azar, una camiseta y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de haber sido producida por la máquina B. b. ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido una camiseta defectuosa?

SOLUCIÓNa. Debemos calcular P(B/D). Por el teorema de Bayes,

b. Calculamos P(A/D) y P(C/D), comparándolas con el valor de P(B/D) ya calculado. Aplicando el teorema de Bayes, obtenemos:

La máquina con mayor probabilidad de haber producido una camiseta defectuosa es A

EJERCICIO 6

El parte meteorológico ha anunciado tres posibilidades para el fin de semana en la ciudad de Tulcán:

a) Que llueva: probabilidad del 50%.b) Que nieve: probabilidad del 30%c) Que haya niebla: probabilidad del 20%.

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MAYOR PROBABILIDAD

ESTADISTICA

Según estos posibles estados meteorológicos, la posibilidad de que ocurra un accidente es la siguiente:

a) Si llueve: probabilidad de accidente del 20%.b) Si nieva: probabilidad de accidente del 10%c) Si hay niebla: probabilidad de accidente del 5%.

Resulta que efectivamente ocurre un accidente y como no estábamos en la ciudad no sabemos qué tiempo hizo (llovió, nevó o hubo niebla). El teorema de Bayes nos permite calcular estas probabilidades:Las probabilidades que manejamos antes de conocer que ha ocurrido un accidente se denominan "probabilidades a priori" (lluvia con el 50%, nieve con el 30% y niebla con el 20%).Una vez que incorporamos la información de que ha ocurrido un accidente, las probabilidades del suceso A cambian: son probabilidades condicionadas P (A/B), que se denominan "probabilidades a posteriori".Vamos a aplicar la fórmula: 

a) Probabilidad de que estuviera lloviendo: 

La probabilidad de que efectivamente estuviera lloviendo el día del accidente (probabilidad a posteriori) es del 71,4%.

b) Probabilidad de que estuviera nevando: 

La probabilidad de que estuviera nevando es del 21,4%.

c) Probabilidad de que hubiera niebla: 

La probabilidad de que hubiera niebla es del 7,1%

2do Parcial

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ESTADISTICA

EJERCICIO 7

El gerente de mercadotecnia de una compañía fabricante de juguetes estudia el lanzamiento de un juguete nuevo. En el pasado, el 40% de los juguetes introducidos por la compañía han tenido éxito y 60% han fracasado.

Antes de lanzar el nuevo juguete se realiza un estudio de mercado y se hace un informe, ya sea favorable o desfavorable. En el pasado, 80% de los juguetes con éxito tenían un informe favorable y 30% de los juguetes que fracasaron tenían un informe favorable. El gerente de mercadotecnia quiere conocer la probabilidad de que el juguete tenga éxito si recibe un reporte favorable

La aplicación del teorema de bayes indica que se busca la probabilidad de que un juguete sea un éxito, siendo que el dictamen que se tiene es favorable; el enunciado es el siguiente:

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=P (Favorable /Éxito )P ( Éxito)

P( Favorable / Éxito) P( Éxito)+P( Favorable /Fracaso ) P( Fracaso )

ESTADISTICA

La probabilidad de éxito favorable al lanzar un nuevo juguete es del 64 %.

BIBLIOGRAFIA

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http://www.monografias.com/trabajos89/probabilidad-total-y-teorema-bayes/probabilidad-total-y-teorema-bayes.shtmlhttp://razonesyfalacias.blogspot.com/2013/01/calculo-de-probabilidades-posteriori.html

http://nutriserver.com/cursos/bioestadistica/Teorema_Bayes.htmlhttp://www.slideshare.net/luiselipehernandez/ejemplos-del-teorema-de-bayes

=(0 .8 )(0. 4 )

( 0.8 )(0 .4 )+(0 .3 )(0 .6)

=(0 .32)

( 0.32)+(0 .18 )

=0 .320 .5

=0.64