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Tema 6: Modelos de probabilidad.

6.1 Modelos discretos.

(a) Distribucion uniforme discreta:

La variable aleatoria X tiene una distribucion uniforme discreta de parametro n,que denoteramospor U(n), si su ley de probabilidad viene dada por:

SX = {x1, x2, . . . , xn}

p(X = xi) =1n, para cada i = 1, 2, . . . , n.

(b) Distribuciones definidas sobre un experimento de Bernouilli

Un experimento aleatorio se denomina de Bernouilli si verifica las tres condiciones siguientes:

1 El experimento consiste en observar elementos de una poblacion y clasificarlos en dos cate-goras: exito y fracaso (que denominaremos E y F).

2 Llamaremos p a la probabilidad de que un elemento este en E y q = 1 p a la probabilidadde que este en F.

3 Las observaciones son independientes.

Sobre los experimentos de Bernouilli se pueden definir varios modelos de variables aleatorias:

Distribucion de Bernouilli.La variable aleatoria X que modeliza la clasificacion de un elemento observado en un ex-perimento de Bernouilli como E o F, tiene una distribucion que llamaremos Bernouilli deparametro p. Lo denotaremos por X ; B(p). Su ley de probabilidad viene dada por:

SX = {0, 1}

p(X = 1) = p, p(X = 0) = 1 pSus medidas principales son:

E(X) = p V ar(X) = pq.

Distribucion binomial.La variable aleatoria X que modeliza el numero de elementos, entre n observados que tienenla caracterstica E, tiene una distribucion que llamaremos binomial de parametros n y p. Lodenotaremos por X ; B(n, p); su ley de probabilidad viene dada por:

SX = {0, 1, . . . , n}

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p(X = k) =

(n

k

)pk(1 p)nk

Sus medidas principales son:

E(X) = np V ar(X) = npq.

Propiedades 1 i. Si X ; B(n, p), entonces X es la suma de n variables de Bernouilliindependientes y de parametro p.

ii. Si X1, X2, . . . , Xk son variables binomiales independientes de parametros ni y p, i =1, 2, . . . , k, entonces X1 + . . .+Xk tiene distribucion B(n1 + . . .+ nk, p).

iii. Si X ; B(n, p) entonces Y = nX ; B(n, 1 p).iv. La distribucion es simetrica si y solo si p = 12 . Si p 50 y nN 0.1.

(d) Distribuciones discretas definidas sobre un proceso de Poisson.

Un proceso de Poisson es un experimento en el que se observa la aparicion de sucesos puntualessobre un soporte continuo (intervalo de tiempo, de longitud, superficie, etc) y que cumple lassiguientes condiciones:

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1 El numero de resultados que ocurren en un intervalo de tiempo o region especfica es indepen-diente del numero que ocurre en cualquier otro intervalo disjunto, es decir, no depende delnumero de resultados que ocurren fuera de el.

2 La probabilidad de que un suceso ocurra en un intervalo o region muy pequena es proporcionala la longitud del intervalo o area de la region.

3 La probabilidad de que ocurra mas de un resultado en un intervalo corto es despreciable.

Como consecuencia de las propiedades anteriores el promedio de sucesos por unidad de soportese mantiene constante y lo denotaremos por .

Distribucion de Poisson.La variable aleatoria X que modeliza el numero de sucesos en una unidad de soporte, en unproceso de Poisson, tiene una distribucion que llamaremos de Poisson de parametro . Ladenotaremos por X; P(). Su ley de probabilidad viene dada por:

SX = {0, 1 . . .}

p(X = k) =()ke

k!Sus medidas principales son:

E(X) = V ar(X) = .

Observacion 4 Si Y es la variable que modeliza el numero de sucesos en t unidades desoporte (t > 0), la variable Y es tambien de Poisson y su parametro es t, pues por laspropiedades de los procesos de Poisson se deduce que el numero medio de sucesos en t unidadesde soporte es t.

Proposicion 1 Si X1, . . . , Xk son variables aleatorias independientes, con distribucion de

Poisson, con parametros i, i = 1, 2, . . . , k entonces la variable aleatoria X =ki=1

Xi tiene

distribucion de Poisson de parametro =ki=1

i.

Teorema 1 Teorema de PoissonSea {Xn}n=1 una sucesion de v. a., tales que Xn ; B(n, pn). Si limn7npn = y X es unav.a. con distribucion P(), se tiene que:

limn7 p(Xn x) = p(X x), para cada x IR.

Observacion 5 Este ultimo resultado se utiliza en la practica para aproximar las probabili-dades relativas a una variable B(n, p) con n grande y p peque o por probabilidades relativasa una variable de Poisson de parametro = np. Utilizaremos esta aproximacion cuandon 25 y p < 0.01.

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6.2 Modelos continuos.

(a) Distribucion exponencial

La variable aleatoria T que en los procesos de Poisson modeliza el tiempo entre la ocurrencia dedos sucesos consecutivos, tiene una distribucion que llamaremos exponencial de parametro > 0;la denotaremos por T; Exp(). Su ley de probabilidades es:

SX = (0,)

f(t) =

{0 si t < 0et si t 0

Su funcion de distribucion viene dada por:

F (t) = 1 et

Sus medidas principales son:

E(X) = 1 V ar(X) =12.

Es el ejemplo mas simple de las distribuciones utilizadas en fiabilidad.

Proposicion 2 Propiedad de perdida de memoria de la distribucion exponencial.

Si X es una v.a. con distribucion Exp(), entonces

p(X x+ h/(X > x)) = p(X h)para cada x, h 0.

Demostracion

Para cada x > 0 y cada h 0,

p(X x+ h/(X > x)) = p(X x+ h)p(X > x)

=

=e(t+h)

et= eh = p(X h)

1. Distribucion uniforme continua

La variable aleatoria X tiene una distribucion uniforme continua de parametros a y b, que denotaremospor U(a, b), si su ley de probabilidades es:

SX = [a, b] (o (a, b], [a, b), (a, b); denotaremos al intervalo por I)

f(x) =

{1

ba si x I0 en otro caso

Sus medidas principales son:

E(X) =a+ b2

V ar(X) =(b a)2

12.

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2. Distribucion normal

La variable aleatoria X tiene una distribucion normal de parametros y , X ; N (, ) si su ley deprobabilidades es:

SX = IR

f(x) =1

2pi

exp

{12

(x

)2}, para cada x IR.

Propiedades 2 (a) E(X) =

(b) V ar(X) = 2

(c) Es simetrica respecto de media, mediana y moda, que coinciden con .

(d) La funcion de densidad tiene puntos de inflexion en .(e) La funcion de densidad tiende asintoticamente a 0 en .(f) Q1 = 0.675, Q3 = + 0.675 y por tanto, el IRQ es 1.35.(g) En 2 se encuentra el 95.5% de la distribucion y en 3 se encuentra el 99.7% de la

misma.

(h) Si X ; N (, ), entonces la variable estandarizada, Z = X tiene distribucion N (0, 1).(i) Dos distribuciones normales cualesquiera estan relacionadas mediante una transformacion lineal.

(j) Si X1, X2, . . . , Xn son variables aleatorias independientes, tales que Xi ; N (i, i), i = 1, . . . , n,entonces la v.a. X =

ni=1

Xi tiene distribucion N (ni=1

i,

ni=1

2i ).

6.3 Teorema Central del Lmite.

El modelo normal es uno de los utilizados mas frecuentemente, debido a que en muchas situaciones, losresultados de un experimento son consecuencia de multiples causas de pequea incidencia individual,pero cuyos efectos se suman, dando lugar a los resultados del experimento (por ejemplo, los erroresde medida, en muchas situaciones); en estas situaciones, el modelo normal suele aproximar bien elcomportamiento de los resultados del experimento. El siguiente teorema explica el buen funcionamientodel modelo normal:

Teorema 2 Sea {Xn}n=1 una sucesion de variables aleatorias independientes con E(Xi) = i yV ar(Xi) = 2i . Entonces la sucesion de variables aleatorias definida por:

Zn =

ni=1

Xi ni=1

i(ni=1

2i

)1/2converge asintoticamente a una variable aleatoria con distribucion N (0, 1), es decir, si Fn es la funcionde distribucion de la variable Zn, n = 1, 2, . . ., y es la funcion de distribucion de una variable N (0, 1),entonces para cada x IR,

limn 7Fn(x) = (x).

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Tambien se dice queni=1

Xi es asintoticamente una variable N (ni=1

i,

ni=1

2i )

Observacion 6 Si {Xn}n=1 una sucesion de variables aleatorias independientes e identicamente dis-tribuidas, todas ellas tendran la misma media () y la misma desviacion tpioca (), y en ese caso, la

variableni=1

Xi es asintoticamente una variable N (n,n)

Si aplicamos el teorema anterior a una sucesion de variables con distribucion B(p) (Bernouilli deparametro p), se obtiene el siguiente resultado:

Teorema 3 Teorema de De Moivre

Sea {Xn}n=1 una sucesion de variables aleatorias independientes con distribucion B(n, p). EntoncesXn es asintoticamente normal, con parametros = np y =

npq.

Correccion de continuidad

Como la distribucion binomial es discreta y la normal es continua, para que la aproximacion de lavariable X ; B(n, p) por la variable Y ; N (np,npq) resulte mas precisa se utiliza la llamadacorreccion de medio punto o de continuidad, que asigna, si b IN: p(X b) ' p(Y b+0.5), es decirFX(b) ' FY (b+0.5). Esta misma correccion se aplica cada vez que se aproxima una variable aleatoriadiscreta, cuyo soporte sean los numeros naturales, por una variable con distribucion normal.

Observacion 7 La aproximacion de una binomial por una normal no es adecuada para valores enlas colas de la distribucion binomial. En concreto, para valores fuera de un intervalo np3npq.

Tampoco es, en general, adecuada la aproximacion para valores p < 1n+1 o p > nn+1 . Si p es proximo a 0.5, con n > 10 la aproximacion es satisfactoria. Como consecuencia del teorema de Poisson y del teorema de De Moivre, se puede demostrarque una distribucion de Poisson de parametro se puede aproximar por medio de una variablealeatoria N (,). Generalmente, esta aproximacion es satisfactoria si > 5.

6.3 Otras distribuciones continuas.

Distribucion gamma:La variable aleatoria X tiene una distribucion gamma de parametros y (ambos positivos) sisu ley de probabilidades es:

SX = (0,)

f(x) =

0 si x 0()(x)

1ex si x > 0

Su funcion de distribucion viene dada por:

F (t) = 1r1i=0

ex(x)i

i!

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Sus medidas principales son:

E(X) = V ar(X) =2.

En general, esta variable se utiliza para modelizar el tiempo hasta el fallo en distintos componen-tes.

En el caso particular de que = 1, entonces la distribucion gamma es una exponencial deparametro .

En el caso particular de que sea un numero natural, la variable X es suma de v. a. indepen-dientes con distribucion exponencial, de parametro

Distribucion de Weibull.La variable aleatoria X tiene una distribucion de Weibull de parametros y (ambos positivos)si su ley de probabilidad es:

SX = (0,)

f(x) =

0 si x 0 exp

[(x

)]si x > 0

Su funcion de distribucion viene dada por:

F (t) = 1 exp[(x

)]Sus medidas principales son:

E(X) = (1 + 1

)V ar(X) = 2

((1 + 2

)

(1 + 1

)2)En general, esta variable se utiliza para modelizar el tiempo hasta el fallo en distintos componen-tes.