Estadistica

Estadstica Notas de clase 1

Andrs Mauricio Grisales Aguirre Matemtico. www.matematiquemonos.blogspot.com

En la vida diaria los diversos fenmenos de orden

econmico, social, poltico, educacional e incluso

biolgico, aparecen, se transforman y finalmente

desaparecen.

Para tan abundante y complejo material, es preciso

tener un registro ordenado y continuo a fin de

conseguir en un momento dado, los datos necesarios

para el estudio de lo que ha sucedido, sucede o podr

suceder.

La estadstica es una herramienta que permite

realizar este tipo de tareas de una manera sistemtica

y organizada.

Estadstica: sistema o mtodo utilizado en la

recoleccin, organizacin, anlisis y

descripcin numrica de la informacin.

Tambin se puede decir que la estadstica

estudia el comportamiento de los fenmenos

de grupo.

La estadstica descriptiva tiene como finalidad

colocar en evidencia aspectos caractersticos

(promedios, variabilidad de los datos, etc.), que

sirven para efectuar comparaciones sin pretender

sacar conclusiones de tipo ms general.

La estadstica analtica busca dar explicaciones al

comportamiento de un conjunto de observaciones,

probar la significacin o validez de los resultados,

intenta descubrir las causas que lo originan, logrando

de esta manera, conclusiones que se extienden ms

all de las muestras estadsticas mismas.

Con estos elementos las finalidades de la estadstica

pueden ser:

a. Conocer la realidad de una observacin o

fenmeno.

b. Determinar lo tpico o normal de esa

observacin.

c. Determinar los cambios que presenta el

fenmeno.

d. Relacionar dos o mas fenmenos.

e. Determinar las causas que originan el

fenmeno.

f. Hacer estimativos sobre el comportamiento

futuro del fenmeno.

g. Obtener conclusiones de un grupo menor

(muestra) para hacerlas extensivas a un

grupo mayor (poblacin).

DEFINICIONES BASICAS INICIALES

1. POBLACION: Es un conjunto de medidas o

el recuento de todos los elementos que

presentan una caracterstica comn.

2. MUESTRA: Es un subconjunto de la

poblacin a los que se les aplica

directamente el estudio estadstico.

3. CARACTERISTICA: Rasgos, cualidades o

propiedades que poseen los elementos que

constituyen la poblacin o la muestra.

Algunos son numerables (cuantitativos)

otros son cualificables (cualitativos).

4. PARAMETROS: Son todas aquellas

medidas que describen numricamente la

caracterstica de una poblacin.

ELEMENTOS BASICOS DE MATEMATICAS

A. CONJUNTOS NUMERICOS

Los nmeros Naturales. Los nmeros surgieron de la necesidad de contar

pertenencias, objetos, personas, etc. Cuando

contamos objetos se inicia con 1, luego 2, 3, 4, etc.

Qu tan grande es este conjunto de nmeros? El

conjunto de los nmeros naturales es un conjunto

infinito, esto quiere decir que no tiene fin. Los

nmeros naturales se representan con la letra N y su

notacin de conjunto es:

1,2,3,...N

Los nmeros Enteros. Estos son conocidos como nmeros deudos, dado

que nacen como una necesidad de representar

deudas. Estos son usados para ubicar posiciones de

objetos con respecto a un punto de referencia, como

por ejemplo, cuando se quiere ubicar un objeto por

encima o debajo del nivel del mar. Al igual que los

nmeros naturales, estos no tienen fin, tanto hacia la

derecha como a la izquierda.

..., 3, 2 1,0,1,2,3,...Z

Los nmeros Racionales. Los nmeros racionales se expresan como el

cociente de dos nmeros enteros, de ah que se le

denomine con la letra Q por quotient, que significa

cociente. El trmino racional proviene de

razn.

Al nmero racional se le conoce como fraccin,

porque puede ser expresado con numerador y

denominador de nmeros enteros, a excepcin del

cero como denominador. Por ejemplo:

3 3 2, , , 6,0, .

2 7 5etc

La estructura bsica de una fraccin es la siguiente:



As que al generalizar la definicin en su forma de

fraccin de los nmeros racionales, tendramos que

expresarlo de la siguiente forma:

Tambin se sabe que cuando tenemos un nmero

fraccionario podemos realizar la divisin entre el

numerador y el denominador, como en los

siguientes ejemplos.

Los nmeros Irracionales. Los antiguos griegos notaron que la recta no estaba

completa con los nmeros Racionales, al identificar

ciertos puntos en ella a los cuales slo se podan

aproximar con fracciones. Hasta el siglo XVI fue

cuando consideraron llamar nmero irracional a los

nmeros con desarrollo decimal infinito no

peridico. Algunos de ellos se pueden encontrar al

resolver un problema. Como por ejemplo.

Como se observa en los ejemplos, el desarrollo

decimal que presentan estos nmeros es infinito no

peridico y con base a la definicin planteada en los

nmeros racionales, no podramos expresarlos como

un cociente de dos nmeros enteros.

Analizando todos los conjuntos que se mencionaron

anteriormente, se observa que los Naturales estn

incluidos en los nmeros Enteros, y stos a su vez

estn incluidos en los Racionales. Pero ellos no

tienen ninguna relacin con los Irracionales, pues

bien, todos ellos forman parte de los nmeros

Reales, como se muestra en el siguiente diagrama.

B. OPERACIONES CON NUMEROS

ENTEROS

Suma de enteros.

Para sumar enteros consideramos los siguientes

casos:

Caso 1: Que los enteros tengan el mismo signo. En

este caso sumamos los valores absolutos de

las cantidades dadas y el resultado lleva el

signo de las cantidades.

Ejemplo.

a. ( 3) ( 5) ( 8) 3 5 8 16

b. ( 7) ( 12) ( 8) 7 12 8 27

Caso 2: Que los enteros tengan distinto signo: En

este caso restamos el entero de mayor valor

absoluto con el de menor valor absoluto y

el resultado lleva el signo de la cantidad

con mayor valor absoluto.

Ejemplo

a. ( 3) ( 12) 12 3 9 9

b. ( 20) ( 43) 23

Puede suceder que una expresin contenga trminos

de diversas clases, en este caso procedemos como en

el ejemplo.



Ejemplo

a.

( 5) 8 ( 10) 12 ( 8)

12 8 ( 5) ( 10) ( 8)

20 ( 23) 3

b. 120 ( 25) ( 40) ( 1)

120 ( 66) 54

Multiplicacin y divisin de enteros.

Para multiplicar o dividir nmeros enteros,

multiplicamos o dividimos (cuando sea posible) los

valores absolutos de las cantidades dadas como si

fueran naturales y aplicamos la siguiente ley para los

signos de los resultados.

Ejemplo

Hallar el resultado de cada una de las

operaciones:

a. ( 5) ( 3) (10) ( 30)

b. 6312

12

Solucin

Aplicando la ley de los signos, tenemos:

a. ( 5) ( 3) (10) ( 30) 4500

b.

6312526

12

C. OPERACIONES CON NMEROS

RACIONALES

Adicin o suma de racionales.

Se consideran diferentes situaciones:

Caso 1igual denominador: En este caso se deja el

mismo denominador y se suman o restan los

numeradores.

Ejemplo

1. 4 9 4 9 13

7 7 7 7

2. 3 11 3 11 8

5 5 5 5

3. 5 2 5 2 7

3 3 3 3

Caso 2 Distinto denominador: En este caso se halla

el comn denominador por el mtodo del

mnimo comn mltiplo y se multiplica por

la respectiva fraccin.

Ejemplos

a.

14 9 7 514 57 9 7 9

126 35 91

63 63

b. 4 1 3 51 5 4 15 11

6 8 24 24 24

Multiplicacin de nmeros racionales.

Se multiplica numerador con numerador y

denominador con denominador, para obtener el

numerador y el denominador respectivamente.

Ejemplo

1. 3 93 9 27

5 8 5 8 40

2. 4 94 9 36 9

5 8 5 8 40 10

Divisin de nmeros racionales

En el caso de la divisin de dos fracciones, se cruzan

las multiplicaciones.

Ejemplo

2 7 2 3 6

5 3 5 7 35

D. POTENCIACION DE NUMEROS

ENTEROS

Cuando realizamos operaciones con nmeros

naturales, por ejemplo una suma, en donde el

numero que se suma es el mismo varias veces, ej.



6 veces el 2

2 2 2 2 2 2

para no escribir de manera extensa, simplemente

escribimos:

6 veces el 2

2 2 2 2 2 2 2 6

Si ahora en lugar de sumar buscamos multiplicar,

tendramos:

6

6 veces el 2

2 2 2 2 2 2 2

Esta operacin se conoce como potenciacin, en ella

se reconocen los siguientes elementos:

Propiedades

1. 0 1,a a R

Ejemplos

0

00 75 1; 3 1; 15

2. 1

, , 0

n

na a R aa

Ejemplos

a.

4

4 1 133 81

b. 2

2 1 112

12 144

c.

3

3 35 1 3

53 5

3

3. , , . ,n m n ma a a a b R n m Z

Ejemplos

a. 4 5 4 5 23 3 3 3 9

b. 3 2 3 2 52 2 2 2

c.

3 7 102 2 2

3 3 3

4. , . , .m

n n ma a a R n m Z

Ejemplos

a. 6

32 2 3 6 13 3 3

3

b. 4

3 3 4 122 2 2

c.

42 2 4 8

7 7 7

8 8 8

5. , , . .n n na b a b a b R n Z

Ejemplos

a. 2 223 2 3 2 9 4 36

b. 4 4 44 7 4 7

c.

2 27 7

3 98 8

6. , , . 0. .

n n

n

a aa b R b n Z

b b

Ejemplos

a.

33

3

22 8

5 5 125

b.

2 2

2

3 3 9

2 2 4

7. , , 0. , .m

m n

n

aa a R a m n Z

a

Ejemplos

a.

44 2 2

2

55 5 25

5

b.

33 5 2

5

7 17 7

7 49

c.

7

7 6

6

6

6 65

5 56

5



8. , . , .m

n mna a a R m n Z

Ejemplo

a. 1

2 19 9 3

b. 232

2 23 38 8 8 2 4

c.

35

3

57 7

6 5

Ejemplo simplificacion de exresiones

a. Simplifique la expresion aplicando propiedades de los exponentes: 5

8 124 81a b .

Aplicando las propiedades estudiadas, se sigue:

1 1 14 4 4

84 124 4 4

55 158 12 8 12 8 124 44

54 8 12

5

52 3

5 10 15

81 81 81

3

3

3

3

a b a b a b

a b

a b

a b

a b

b. Reducir la expresion

4 2 320 15 6

2 3 5

Descomponemos los enteros en sus factores primos y simplificamos:

4 2 34 2 3

4 2 32

8 4 2 2 3 3

11 6 5

10 5 4

4 5 3 5 2 320 15 6

2 3 5 2 3 5

2 5 3 5 2 3

2 3 5

2 5 3 5 2 3

2 3 5

2 5 3

2 3 5

2 5 3

Logaritmos y radicales Cuando estamos calculando una potencia nos preguntamos por su resultado, es decir, el resultado de la

multiplicacin; pero en muchas ocasiones necesitaremos preguntarnos por cul debe ser el exponente para que el

resultado sea un valor dado, por ejemplo, ya hemos visto que 34 es igual a 81, en algn momento nos

preguntaremos cul debe ser el exponente para que 3? = 81.

Como en la potenciacin, usaremos una notacin para representar los logaritmos, la cual tiene mucha relacin con

la usada en la potenciacin y que es la siguiente:



Ejemplos

a. 2log 8 3 porque 32 8 .

b. 4log 16 2 porque

24 16 .

c. 51log 2

25 porque 2

15

25

d. 9log 1 0 porque

09 1

Propiedades de los logaritmos

Supondremos que a, b y c son nmeros reales positivos y r un nmero real cualquiera.

1. log 1a a 5. log log loga a abc b c

2. log 1 0a 6. log log loga a ab

b cc

3. log ra a r 7. log logr

a ab r b

4. loga ba b 8.

loglog

log

ca

c

bb

a



Ejercicios de Practica 1

A. Resolver cada una de las operaciones:

a. 5475 + 668 + 56 567

b. 4 + (8) (4) + 48 (5)

(8) + (5)

c. 10 (10) + (10) (10) + 10 +

10 10

d. 4 (5) + 7 9 + (18) + 6-13 + 4

e. 244 + (568) + 5465 5258

(295)

f. (55) + 65 (656) + 44 25 +

78

g. 885 + 7989 + (1268) + 4587

567 + 587

h. 24 19 + 78 + (49) (73) + 46

i. 259 89 + 46 47 + 78 235

j. 78 + 92 29 + 76 37 (78) +

(73)

B. Efectuar cada una de las multiplicaciones:

a. 469( 68) g. ( 82)6

b. 5( 4) h. 33 56 12

c. 7 25 i. 4( 98)( 1)

d. 13( 17)( 2) j. ( 15)( 6)( 5)

e. 9( 21) k. ( 5687)( 69)

f. 7( 19) l. 65( 67)( 56)

C. Resolver cada uno de los siguientes problemas, haciendo el proceso que lleva a la solucin en cada caso:

a. En una mquina de golosinas slo se pueden depositar monedas de $5 y de $10, si hay 100 monedas

que suman $720 cuntas monedas de cada denominacin hay en la mquina?

b. Una computadora cost $12,000. Cul es el precio de venta si el margen de utilidad es el 20% de

dicho precio?

c. Un carnicero mezcla 2 clases de carne molida, una de $52 el kilo y otra de $35 el kilo. Si la

combinacin pesa 5 kilos y la vende a $46 el kilo Cuntos kilos de cada clase forma la mezcla?

d. La base de una pintura al leo rectangular es de 5 pulgadas menor que el doble de su altura, y el

permetro es de 62 pulgadas. Qu dimensiones tiene el cuadro?

e. En un bus iban cuatro excursionistas, los hombres pagaron $40 000 y las mujeres $25 000, los pasajes

costaron en total $145 000. Cuntos excursionistas eran hombres y cuantos eran mujeres?

f. Cul es el nmero que sumado con su duplo da 261?

g. La suma de dos nmeros es 124 y su diferencia es 22. Encuentre los dos nmeros.

D. Resolver cada una de las operaciones indicadas:

1. 3 7

11 11

2. 7 9

5 8

3. 3 1 2

35 8 3

4. 3 5 3

20 8 4

5. 2 4 3

150 75 225

6. 3 5

8 2

7. 3 9

11 22

8. 5 11

4 10

9. 5 4 1

54 6 15

10.

2

312

13

2

312

13



E. Resolver cada una de las siguientes situaciones:

1. Sonia tena 8 tazas de harina para hornear pastel, si tiene que echar 3 1 2 tazas en un recipiente y

2 1 3 en otro. Cuntas tazas de harina le quedan?

2. Se presentaron aspirantes a 3 carreras en la universidad para realizar el examen de admisin, 25 46 de

ellos quieren ingresar a Ingeniera Industrial en Sistemas (IIS), 10 23 de ellos desean ingresar a

Ingeniera Industrial Administrador (IIA) y los 60 restantes que representan 1 46 quieren ingresar a

geologa.

a) Cuntos alumnos en total se presentaron al examen?

b) Cuntos alumnos aspiran a las carreras de IIS e IIA?

3. El profesor de deporte requiere sustituir los balones de futbol por estar en mal estado, si hay 10

balones nuevos ms que los viejos, y estos 10 son 1 4 del total, Cuntos balones viejos haba?

4. Diego prometi estudiar 8 horas en la semana de exmenes, si hasta ahora ha estudiado 32 3 .

Cuntas horas ms tiene que estudiar?

5. El profesor Moncada buscando el intercambio humanitario se propuso caminar de Bogot Pasto (760

Km. Aprox.). Para cumplir dicho propsito, recorri inicialmente 1/38 de la distancia, al da siguiente

recorri 1/37, al tercer da 1/36 de la distancia que le faltaba y as sucesivamente, si nunca recorri

menos de 15 Km. diarios, en cuntos das cumpli su propsito?

6. Si se venden los 3/4 de 12 litros de leche a 0,9 , cunto se obtiene de la venta?

7. En una granja hay 480 ovejas entre blancas y negras. Un cuarto del total tiene la lana negra. Calcula el

nmero de ovejas que hay de cada color.

8. Cosme tiene 60 aos y su hijo menor un tercio de su edad. Cuntos aos suman entre el padre y el

hijo?

9. Halla los 2/4 de la mitad de 12.000 litros de aceite.

10. Tenemos tres tartas iguales y de cada una de ellas tomamos 1/5 , 1/3 y 1/7 respectivamente. Qu trozo de

tarta es mayor?

F. Calcular cada una de las races utilizando las propiedades:

a. 9 4 i. 3 27 64 p. 3 27 18

b.

3

62

643

j.

225

324 q.

21

813

c. 36 100 k. 6 9 33 3 2 4 r. 64 36

d. 3 125 216 l.

8

412

2

3 s.

3

31

84

e. 9 64 81 36 169 m. 15 5

5 6 6 t. 81 64

f. 48 80

5 2 n. 6

1729

64 u.

1169

36

g.

12

64

7292

.

10 1215 15 v. 4 69 5 7



h. 25 144 o. 6 9 33 3 2 4 w. 1

33 512

G. Calcular los siguientes logaritmos:

a. 9

1log

729 i. 1

4

log 16 p. 31

log 8127

b. log100 j. 5log 1953125 q. 2log 8 16

c. 3log 3125 k. 2log 512 r. 2log 64 1024

d. 7log 49 l. 3

4

27log

64 s. 3

2

log 1

e. 5

25log

125 m. 10log 10 100 t. 3log 19683

f. 8log 512 n. 9log 81 729 u. 8

64log

512

g. 6

1log

216 . 4log 256 16

h. 4log 4096 o. 25

4 2log

25 5

H. Determinar el valor de los logaritmos:

a. 10000

log10

d. 8

5log 125 g. 21

log 93

j.

3

2log 16

b. 4

3log 9 e. 42 8

log8 8

h.

2

25log 625 k.

12

1log 4

16

c. 31

log 381

f.

3log100 i. 2256

log32

l. 6

2log 128

I. Use los valores dados para estimar los logaritmos:

6 8 5 8log 7 1,086; log 10 1,1073; log 20 1,8614; log 5 0,77398

a. log64 c. 20log 625 e. 512log 10

b. 7log 216 d. 64log 10 f. 25log 20

J. Simplificar las expresiones dadas:

a. 1

33 278log 8 8

b. 2 386 6 6log 36 216 log 1296 log 36

c. 2

2716

log 1024

109 5 6 7 2 9log log 25 log 36 log 49 log 64 log 9

d. 7

13

2log 343

56log 216



e. 2

3

log 2567 128

1005log log10 log 10

f.

60

8

25 4 39

5

log 16

log 25

g.

12

5

3log1001

321

4 9

h.

2

2

2

2

42

53

64

7

i. 3

3 3 3 3 33

3

74 1024

3 2 1 343 5 1 8125 216 27 64 6 12534 5 3 512 6 5

274

j.

3

2718

log 6561

89 5 6 7 2 9log log 125 log 216 log 343 log 512 log 81

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