Estadistica

Tema 5

Tratamiento de la

incertidumbre

Orgenes de la estadstica.

Uso actual

La civilizacin china (1000 aos a. C.)

La Biblia (Nmeros, nacimiento de Jess)

En el imperio romano, los censos eran ya

una institucin el siglo IV a.C.

La proliferacin de tablas numricas

permiti el descubrimiento de leyes

estadsticas (Halley en 1687rentas vitalicias

para compaas de seguros).

Necesidad de una educacin Estadstica

La Estadstica es parte de la educacin general deseable para los futuros adultos.

Es til para la vida posterior, ya que se necesita en muchas profesiones.

Su estudio ayuda al desarrollo personal, fomentando un razonamiento crtico, basado en la

valoracin de la evidencia objetiva.

Ayuda a comprender los dems temas del currculo de cualquier nivel.

Uso actual

Estadstica descriptiva tiene como fin presentar

resmenes de un conjunto de datos y poner de

manifiesto sus caractersticas, mediante

representaciones grficas (no se plantea el

extender las conclusiones).

Estadstica inferencial tiene como inters

principal es predecir el comportamiento de la

poblacin, a partir de los resultados de la

muestra.

LOS CONTENIDOS CURRICULARES

Conceptos

La representacin grfica

Las tablas de datos

Tipos de grficos estadsticos: bloques de barras, diagramas lineales, etc.

Carcter aleatorio de algunas experiencias

Exploracin sistemtica, descripcin verbal e interpretacin de los elementos significativos de grficos sencillos relativos a fenmenos familiares.

Recogida y registro de datos sobre objetos, fenmenos y situaciones familiares utilizando tcnicas elementales de encuesta, observacin y medicin.

Elaboracin de grficos estadsticos con datos poco numerosos relativos a situaciones familiares.

Expresin sencilla del grado de probabilidad de un suceso experimentado por el alumno.

Procedimientos

Actitud crtica ante las informaciones y mensajes transmitidos de forma grfica y tendencia a explorar

todos los elementos significativos.

Valoracin de la expresividad del lenguaje grfico como forma de representar muchos datos.

Sensibilidad y gusto por las cualidades estticas de los grficos observados o elaborados.

Actitudes

Realizar, leer e interpretar representaciones grficas de un conjunto de datos relativos al entorno.

Hacer estimaciones basadas en la experiencia sobre el resultado de juegos de azar sencillos y comprobar

dicho resultado.

Criterios de evaluacin

Proyecto de trabajo de aula

Cmo son los alumnos de la clase?

SEXO: HACES DEPORTE? (Nada, poco, mucho):

PESO (kg.):

ALTURA (cm.):

LONGITUD DE LOS BRAZOS EXTENDIDOS

EN CRUZ (cm.):

NUMERO DE CALZADO:

DINERO QUE LLEVA EN ESTE MOMENTO EN

EL BOLSILLO:

Tipos de estudios

Poblacin, individuo, variable.

Censos

Muestras

Tamao de la muestra

Mtodos de muestreo

Condiciones para la inferencia

Variables estadsticas

Cualitativas

Cuantitativas (discretas y continuas)

Tablas de frecuencias (frecuencia absoluta y relativa)

Tablas de frecuencias (frecuencias absolutas y relativas acumuladas)

Grficos estadsticos

Pictogramas

Diagrama de barras. Polgono de

frecuencias

Grfico de sectores

Histogramas

Grfico del tronco

PICTOGRAMAS Los pictogramas o ideogramas pueden ser de la misma forma y tamao o no.

Es frecuente tomar un dibujo estndar y repetirlo un nmero de veces proporcional a la frecuencia.

Suelen causar dificultad las partes fraccionarias, por ejemplo, el nmero de habitantes de un pas:

Ciudades Nm. habitantes

San Sebastin de la Gomera 5321

Santa Cruz de Tenerife 151361

Las Palmas de Gran Canaria 287038

Santa Cruz de la Palma 13163

Pictograma con dibujo de tamao proporcional a la frecuencia.

CARTOGRAMA

Es la representacin sobre mapas del carcter

estudiado. Usualmente las distintas modalidades que

adopta este carcter se representan con colores de

distinta intensidad, rayitas, punteos, etc.

DIAGRAMA DE BARRAS

0 10 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0

1er trim.

2do trim.

3e r trim.

4 to trim.

Norte

Oeste

Este

PIRMIDE DE POBLACIN

POLGONO DE FRECUENCIAS

Comparacin del peso (en Kg.) de dos individuos a lo largo de

cinco aos.

GRFICO DE SECTORES

NOTAS CURSO

suspensos

30%

aprobados

20%

notables

25%

sobresalientes

10%

no

presentados

15%

suspensos

aprobados

notables

sobresalientes

no presentados

Histogramas (frecuencias absolutas y relativas)

Histogramas (frecuencias acumuladas)

Nmero de dientes perdidos por los nios de la clase:

Nmero de dientes perdidos 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Nmero de nios 1 0 2 3 6 5 5 4 3

Nmero

de nios x

x x x

x x x x

x x x x x x

x x x x x x x

x x x x x x x x

0 1 2 3 4 5 6 7 8 Nmero de dientes perdidos

GRFICO DE LNEA DE PUNTOS

Peso en kilogramos de los alumnos del curso:

44 45 46 46 47 48 49 50 50 50 52 52 52 52 53

53 53 54 54 54 55 55 55 55 56 56 56 57 60 60

60 60 60 61 61 62 62 63 64 64 64 65 65 65 66

67 68 68 68 70 70 70 70 71 72 72 74 75 80 93

4 4 5 6 6 7 8 9

5 0 0 0 2 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 7

6 0 0 0 0 0 1 1 2 2 3 4 4 4 5 5 5 6 7 8 8 8

7 0 0 0 0 1 2 2 4 5

8 0

9 3

donde 9 3 significa 93

GRFICO DE TRONCO Y HOJAS

4* 4

4. 5 6 6 7 8 9

5* 0 0 0 2 2 2 2 3 3 3 4 4 4

5. 5 5 5 5 6 6 6 7

6* 0 0 0 0 0 1 1 2 2 3 4 4 4

6. 5 5 5 6 7 8 8 8

7* 0 0 0 0 1 2 2 4

7. 5

8* 0

9. 3

donde 7* 0 significa 70 y 7. 5 sig. 75

Grfico de Tronco extendido del peso en kilogramos

para chicos y chicas de los alumnos del curso:

4* 4 4. 5 6 6 7 8 9

5* 0 0 0 2 2 2 2 3 3 3 4 4 4

5 5. 5 5 5 6 6 6 7

4 4 2 2 1 0 0 6* 0 0 0 1 3 4

8 8 6 5 5 6. 5 7 8

4 2 2 1 0 0 0 0 7*

5 7.

0 8*

3 9.

Donde 4. 5 significa que hay una chica que pesa 45 kg

Y 5 6. Significa que un chico pesa 65 kg

Medidas de tendencia central

La media aritmtica

La moda

La mediana

La media aritmtica

Es el nmero que se obtiene sumando todos los valores de la variable estadstica (xi) y dividiendo por el nmero de valores (N). Si un valor aparece varias veces debe ponderarse por su frecuencia (fi).

Simblicamente,

1) La media es un valor comprendido entre los extremos de la distribucin.

2) El valor medio es influenciado por los valores de cada uno de los datos.

3) La media no tiene por qu ser igual a uno de los valores de los datos. Incluso puede no tener "sentido" para los datos considerados

4) Hay que tener en cuenta los valores nulos en el clculo de la media.

5) La media es un "representante" de los datos a partir de los que ha sido calculada.

6) La media se expresa en las mismas unidades de medida que los datos.

La moda

Es el valor de la variable que tiene mayor frecuencia.

En una distribucin puede haber ms de una moda. Si existe una sola moda se llama unimodal, si existen dos bimodal, si hay ms de dos se llama multimodal

Es la nica caracterstica de valor central que podemos tomar para las variables cualitativas.

Su clculo es sencillo

No se tienen en cuenta todos los datos en el clculo

La mediana

Se llama mediana al nmero tal que existen tantos valores de la variable superiores o iguales como inferiores o iguales a l

Si suponemos ordenados de menor a mayor todos los valores de una variable estadstica, la mediana es el valor que queda en medio.

Para calcular la mediana a partir de una tabla de frecuencias o de un polgono de frecuencias acumuladas, observamos que la frecuencia relativa acumulada que corresponde a la mediana es exactamente igual a 1/2 .

No se ve afectada por los valores extremos de las observaciones

Se puede aplicar con variables estadsticas ordinales

Cuantiles

Se conoce con el nombre genrico de cuantiles

a un grupo de medidas de posicin, que dividen

la poblacin en partes iguales; dependiendo

del nmero de partes que produzcan se llaman:

Cuartiles: si la dividen en 4 partes iguales,

Deciles: si la dividen en 10 partes iguales,

Centiles o percentiles: si la dividen en 100

partes iguales, etc.

Cuartiles:

Q1 corresponde a una frecuencia absoluta acumulada de N/4

Q2 " " " " " " " N/2

Q3 " " " " " " " 3N/4

Deciles:

D1 corresponde a una frecuencia absoluta acumulada de N/10

...

D9 " " " " " " " 9N/10

Percentiles:

P1 corresponde a una frecuencia absoluta acumulada de N/100

...

P99 " " " " " " " 99N/100

El clculo de las medidas de posicin para las variables estadsticas discretas se obtiene directamente de la tabla de frecuencias acumuladas.

Para el caso de las variables continuas su clculo se realiza mediante una interpolacin.

Medidas de dispersin

Recorrido (o rango) es la diferencia entre el

valor mayor y el menor de la distribucin de

frecuencias,

Desviacin tpica (s) es la raz cuadrada de la

suma de los cuadrados de la diferencia entre

cada valor y la media dividida dicha suma por el

nmero de valores; su cuadrado recibe el

nombre de varianza y viene dada, por tanto, por

la siguiente expresin:

Medidas de dispersin Rango intercuartlico.

Es la diferencia entre el mayor y el menor de los cuartiles.

RI = Q3 - Q1

Esta medida nos da la diferencia entre los valores que acotan al 50%

central de la poblacin que, generalmente, es el ms representativo de la

misma.

Q1 Q3

50%

Medidas de dispersin Resumen de los cinco nmeros.

Para describir una poblacin se suele usar un resumen en cinco medidas

que nos dan la informacin ms importante. Esto se conoce como el

resumen de los cinco nmeros, stos son: el valor mnimo, el primer

cuartil, la mediana, el tercer cuartil, y el valor mximo.

Con la informacin que facilita el resumen de los cinco nmeros se

construye el grfico de la caja.

Q1 Me Q3 Mn Mx

Ejemplos de grficos de la caja

Desarrollo cognitivo y progresin en el

aprendizaje

Apenas hay estudios evolutivos sobre el desarrollo de los

conceptos estadsticos. El nico es realizado por Watson en

Australia con 2200 nios desde el curso 3 de Primaria para

analizar como progresan en la comprensin de las medidas

centrales.

Diferencia las siguientes etapas:

I. Uso coloquial de las palabras media, mediana y moda.

II. Estructuras mltiples para los conceptos resolviendo

problemas simples.

IV. Aplicacin progresiva a la resolucin de problemas,

incluyendo medias ponderadas o comparacin de grupos.

Identificacin progresiva de las medidas de tendencia central

a partir de la representacin grfica de los datos.

III. Representacin de los conceptos: conocen los algoritmos y

los asocian a las ideas de media, mediana y moda.

Reconocen que representan al conjunto de datos, pero no

las usan para comparar dos conjuntos de datos, ni son

capaces de estimarlas a partir de una grfica. Se

concentran en los datos aislados, pero no en las

tendencias.

Situaciones y recursos

Involucrar a los nios en el desarrollo de proyectos sencillos en donde tengan que recoger sus propios datos a

partir de la observacin, encuesta y medida.

Concienciar a los nios de que cada dato aislado es parte de un todo.

Concienciar a los nios de las tendencias y variabilidad de los datos y como stas pueden usarse para responder

preguntas sobre los datos.

Visualizar progresivamente que los datos recogidos son una muestra de una poblacin y sobre cuales son las

condiciones para que sea representativa.

Animar a los nios a representar sus datos en tablas y grficos; advertir de la facilidad con que un grfico puede

ser engaoso.

Proyectos

La Estadstica es una materia interdisciplinar. Los

proyectos estn concebidos para introducir en la clase

una filosofa exploratoria y participativa.

Deseable sera que los alumnos eligiesen el tema y

elaborasen proyectos en grupos de dos o tres alumnos.

Esto no ocurre, y resulta una materia aburrida para ellos.

Pero pueden interesarse por temas diferentes y llegar a

valorar la Estadstica como instrumento de investigacin

de problemas que les gustara resolver.

Los proyectos en la clase de Estadstica se conciben como

verdaderas investigaciones asequibles al nivel de los

alumnos. Planteamos unos objetivos y preguntas que el

alumno debe tratar de contestar. Para ello el alumno necesita

recoger datos

Tipos de datos en los proyectos

Procedencia de los datos Variables estadsticas incluidas

Anuarios estadsticos Cualitativa

Encuestas Cuantitativa pocos datos

Experimento de clase Cuantitativa necesidad de agrupar

Internet Tcnica de recogida de datos

Prensa Observacin

Simulacin Encuesta

Medida

Datos y fuentes de datos

Comprensin de los grficos

Segn Godino y Batanero (2002), distinguen cuatro

niveles de comprensin, aplicables a tablas y a grficos

estadsticos:

1. Lectura literal ( Leer los datos): No se realiza interpretacin

alguna.

2. Interpretacin de datos (Leer dentro de los datos): Incluye

la integracin e interpretacin de los datos en el grfico;

requiere la habilidad para comparar cantidades y el uso de

otros conceptos y destrezas matemticas.

3. Hacer una inferencia (Leer ms all de los datos):

Requiere que el lector haga predicciones e inferencias

sobre informaciones que no se reflejan directamente en el

grfico.

4. Valorar los datos (Leer detrs de los datos): Supone

valorar la fiabilidad y completitud de los datos, haciendo un

juicio sobre su funcionalidad.


1. Lectura literal ( Leer los datos): No se realiza interpretacin

alguna.

Mara ha representado el nmero de veces que ha ayudado cada da de la semana en

las tareas de la casa. Di cuntas veces ha ayudado cada da.

Comprensin de los grficos 2. Interpretacin de datos (Leer dentro de los datos): Incluye

la integracin e interpretacin de los datos en el grfico;

requiere la habilidad para comparar cantidades y el uso de

otros conceptos y destrezas matemticas.

Cuntos animales hay de cada clase? Cuenta y representa los datos.

De qu clase hay ms animales?

De qu clase hay menos animales?


3. Hacer una inferencia (Leer ms all de los datos): Requiere

que el lector haga predicciones e inferencias sobre

informaciones que no se reflejan directamente en el grfico. En el grfico hemos representado qu actividad deportiva prefieren los nios de

3 y 4 para las actividades extraescolares del ao prximo.

1. Cuntos nios de 3B prefieren hacer natacin? Y atletismo?

2. Cuntos nios de 4A prefieren hacer natacin? Y atletismo?

3. Cul es el curso en el que prefieren natacin ms nios?

4. Cul es el curso en el que prefieren atletismo ms nios?


4. Valorar los datos (Leer detrs de los datos): Supone valorar

la fiabilidad y completitud de los datos, haciendo un juicio sobre

su funcionalidad.

En la tabla y en la grfica anot el tiempo que hizo en mi pueblo, el ao pasado, durante

el mes de noviembre. Teniendo esos datos en cuenta, el tiempo ms probable en

noviembre es ________________.

Errores y dificultades

Segn Godino y Batanero (2002), cuando los alumnos tratan de

hacer grficos, los errores ms comunes que suelen cometer

son:

Eleccin incorrecta del tipo de grfico; como usar polgonos de frecuencias con variables cualitativas.

La eleccin de las escalas de representacin son poco adecuadas, o bien omitir las escalas en alguno de los ejes o en

ambos.

No especificar el origen de coordenadas.

No proporcionar suficientes divisiones en las escalas de los ejes.

No respetar los convenios como, obtener un diagrama de sectores en los que stos no son proporcionales a las frecuencias.

Mezclar datos que no son comparables en un grfico, como comparar 20 mesas y 30 kg. de fruta.

Errores en las noticias con informacin estadstica:

Noticias no cuestionadas/no verosmiles

2 3 cardenales con una posibilidad de ser elegidos del 50% (La Voz de Galicia, 5/4).

"Construir una vivienda de 30 metros cuadrados cuesta un 37% ms que una de 90" (El Pas, 15/4)

Los nios ven 670 homicidios semanales en televisin (Epoca, 25/3)

Espaa tiene un 40% menos de enfermeras que la media europea (El Mundo, 30 de Abril)

8 de cada 10 nios salen de casa sin desayunar (ABC, 17/10)

Errores en las noticias con informacin estadstica:

Grficos engaosos


Moda: Tomar la mayor frecuencia absoluta, en lugar

del valor de la variable.

Mediana: No ordenar los datos para calcular la

mediana; calcular el dato central de las frecuencias

absolutas ordenadas de forma creciente; calcular la

moda en vez de la mediana; equivocarse al calcular el

valor central.


Media: Hallar la media de los valores de las frecuencias; no tener en cuenta la frecuencia absoluta de cada valor en el clculo de la media.

Confundir la media general con la media de las medias.

No reconocer la variabilidad de los datos.

Hay 10 personas en un ascensor, 4 mujeres y 6 hombres. El peso medio de las mujeres

es 65 kilos y el de los hombres 90. Cul es el peso medio de las 10 personas?

En una clase de 6 se ha preguntado el nmero de hermanos a cada nio y se encontr

que la media es 1. Jorge es uno de los alumnos de esta clase Cmo podramos saber,

en forma exacta o aproximada, el nmero de hermanos que tiene Jorge?


Un error frecuente es ignorar la dispersin de los

datos cuando se efectan comparaciones entre dos o

ms muestras o poblaciones.

Imagnate dos ciudades, Esparta y Abundia, con la misma mediana y media de ingresos

familiares de 35.939. La siguiente figura muestra las dos distribuciones de los

ingresos. Tienen sistemas econmicos parecidos las dos ciudades? Por qu? Es

suficiente con observar la media y la mediana? Por qu?

Definiciones de los trminos aleatorio, azar, casualidad e

imprevisto.

Aleatorio, ria. (Del lat. aleatorus, propio del juego de dados). 1. adj. Perteneciente o relativo al juego de azar.

2. adj. Dependiente de algn suceso fortuito.

Azar. (Del r. hisp. *azzahr, y este del r. zahr, dado, literalmente

'flores').

1. m. Casualidad, caso fortuito.

2. m. Desgracia imprevista.

Casualidad.(De casual).

1. f. Combinacin de circunstancias que no se pueden prever ni

evitar.

Imprevisto, ta.

1. adj. No previsto.

2. m. pl. En la Administracin, gastos con los que no se contaba

y para los cuales no hay crdito habilitado.

Pensamiento estocstico

El pensamiento estocstico bsico se produce cuando los trminos

anteriores se utilizan dentro de uno de los cuatro siguientes

contextos:

1. Identificacin de situaciones aleatorias (Eleccin de miembros

de una mesa electoral).

2. Cuantificacin del grado de incertidumbre en situaciones

aleatorias (Si no lo veo no lo creo, qu te apuestas?).

3. Bsqueda y obtencin de informacin (qu amigos van a venir

a mi cumple) .

4. Resumen y sntesis de la informacin (muy alto para su edad o la ms lista ).

5. Realizar inferencias (casi seguro que cae en el examen ).

Conceptos de Probabilidad

Probabilidad clsica.

Probabilidad frecuencialista.

Probabilidad formal.

Probabilidad subjetiva o bayesiana.

Probabilidad clsica.

Est ligada a los juegos de azar e interpretaba

originalmente los resultados de la probabilidad en

trminos de expectativas de ganar. La culminacin de

este resultado es la definicin dada por Laplace. En esta

interpretacin, la probabilidad de que ocurra un suceso

es la proporcin o cociente entre el nmero de

resultados que forman el suceso y nmero total de

resultados posibles.

Lanzamiento de un dado. El espacio muestral est compuesto por los sucesos de la figura. En un dado no

cargado, la probabilidad de obtener cualquiera de ellos es

igual, es decir, hay equiprobabilidad. Esta probabilidad es

1/6.

Probabilidad frecuencialista . El estudio de fenmenos naturales permite la

observacin de situaciones en las que no es necesaria o

la equiprobabilidad. En estos casos, las repeticiones de

los sucesos en los experimentos proporcionan una

forma de determinar probabilidades. Mediante el uso de

la llamada ley de los grandes nmeros

Disponemos de una caja de chinchetas de la

misma forma y tamao. Sabemos la cantidad total

de chinchetas, las vaciamos sobre una mesa y

contamos el nmero de chinchetas que han cado

con el pincho hacia arriba y el nmero de

chinchetas con el pincho hacia abajo. Segn ello

podemos establecer una frecuencia relativa de

ambos hechos y emitir un juicio probabilstico

acerca de la probabilidad de caer con el pincho

hacia arriba.

Probabilidad formal.

Esta formalizacin de la probabilidad que se

logr en el siglo XX, establece un conjunto de

tres axiomas necesarios que ha de cumplir

una funcin para considerarse una funcin de

probabilidad. Los tres axiomas de

Kolmogorov permiten dar un rigor matemtico

al concepto de probabilidad aunque no dice

cmo determinar las probabilidades de los

sucesos elementales.

Probabilidad subjetiva o bayesiana

Basndose en la propia experiencia, una

persona puede asignar una probabilidad a

un suceso. Este es el principio de la

probabilidad subjetiva, en el que el grado

de creencia personal influye en la

probabilidad, de manera que personas

diferentes pueden asignar probabilidades

distintas o, incluso considerar aleatorio o

no aleatorio el mismo experimento.

Componente psicolgica Estudios recientes muestran que los preescolares hacen uso de nociones bsicas

de probabilidad: posible, imposible o espacio de sucesos

Las investigaciones de Piaget proporcionan razones para retrasar las acciones del

profesor dentro de la enseanza de la estadstica, hasta la etapa de las operaciones

concretas. Su comprensin completa llegara entre los 12 y 14 aos, cuando el

escolar desarrolla su pensamiento combinatorio.

Para Fischbein, se centra en la bsqueda de fundamentos intuitivos que sirvan de

base para generar un conocimiento probabilstico y analizar el efecto de la

instruccin en el proceso de aprendizaje. Sus conclusiones defienden que la

distincin entre fenmeno aleatorio y determinista (lo que el denomina intuicin

primaria) aparece antes de los 7 aos y que se desarrolla de forma progresiva con

la edad.

En esta lnea intuitiva, Bruner propone que en el aula los escolares deben ser

animados a adivinar, hacer hiptesis y predicciones y correr el riesgo de

equivocarse.

Otros autores advierten que hay que tener cuidado con la intuicin y entrenarla,

puesto que la probabilidad suele presentar ejemplos contraintuitivos incluso desde

los primeros aos de enseanza. Estas intuiciones errneas pueden generar

dificultades de aprendizaje que persistirn incluso en los niveles educativos

superiores.

Ejemplo. El palillo ms corto

Un ejemplo de intuicin errnea lo proporciona el

siguiente juego: varios jugadores eligen un palillo de

entre varios. stos estn colocados de forma que todos

parecen de igual longitud, aunque ex iste uno ms corto.

La eleccin se realiza por turnos y cada vez que se

escoge un palillo, el jugador se lo queda hasta que todos

hayan elegido uno. En ese momento se comprueba

quin eligi el ms corto.

El hecho de que el primer jugador pueda elegir entre todas las opciones y

el resto no tengan esa oportunidad, induce a pensar, equivocadamente, que tiene

ms probabilidad de ganar. Lo cierto es que todos los jugadores tienen la misma

probabilidad de sacar el palillo ms corto.

Se detecta en las personas una tendencia a despreciar el impacto del azar en la resolucin de las situaciones aleatorias.

Es fcil creer por ejemplo que los nmeros bajos

son nmeros ms difciles de obtener en un nmero de lotera.

El sujeto cree controlar los fenmenos aleatorios.

Ejemplo: el lanzamiento de un dado es algo que muchas personas creen que pueden controlarlo segn la posicin, fuerza y forma de lanzarlo.

Materiales y recursos

Ruletas.

Barajas de cartas.

Dados, monedas, fichas bicolores o cualquier objeto que tenga un nmero finito de posiciones.

Bolas en urnas o cualquier coleccin de objetos que se pueda mezclar antes de meterlo en una bolsa o urna.

Recursos digitales

- La Web Educativa del Instituto de Estadstica de Catalua

(http://aprenestadistica.gencat.cat

- El Instituto de Estadstica y Cartografa de Andaluca

(http:/www.juntadeandalucia.es/institutodeestadisticaycartografia)

- El Proyecto Gauss es otro recurso digital que forma parte de las

acciones del Programa Escuela 2.0

- http://recursostic.educacion.es/gauss.

- La Biblioteca Nacional de Manipuladores Virtuales de la Utah State

University

- http://nlvm.usu.edu/es/nav/vlibrary.html)

Bibliografa Azcrate, P. y Cardeoso, J.M. (2001). Probabilidad. En Castro, E. (Ed) Didctica de la

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