Estadística inferencial

EPE

TTULO : Material de enseanza FECHA : Abril del 2015

CURSO : Estadstica Inferencial CODIGO : MA148, CE29 REA : Ciencias CICLO : 2015 - 01

2

INDICE 0. INTRODUCCION: CONCEPTOS PRELIMINARES

3

1. PRUEBA DE HIPTESIS PARA UN PARMETRO

9

1.1 Conceptos generales 10 1.2 1.3

Pruebas de Hiptesis para Una Media Poblacional Pruebas de Hiptesis para Una Proporcin Poblacional

13 18

2. PRUEBA DE HIPTESIS PARA DOS PARMETROS

23

2.1 Pruebas de Hiptesis para Dos varianzas Poblacionales 24 2.2 2.3

Pruebas de Hiptesis para Dos Medias Poblacionales: muestras independientes Caso 1: Varianzas Homogneas Caso 2: Varianzas Heterogneas Pruebas de Hiptesis para Dos Medias Poblacionales: muestras relacionadas

29 29 35 43

2.4 Pruebas de Hiptesis para Dos Proporciones Poblacionales 46 3. PRUEBAS DE HIPTESIS USANDO LA DISTRIBUCION CHI-CUADRADO

52

3.1 Prueba de Independencia 53 3.2 Prueba de Homogeneidad de proporciones 59 3.3 Pruebas de Bondad de Ajuste 62

4. ANLISIS DE VARIANZA DE UN FACTOR

69

4.1 Conceptos Bsicos 70 4.2 Diseos Completamente Aleatorizado 72 4.3 Pruebas de comparacin: Prueba DMS 74 5. ANLISIS DE REGRESIN

78

5.1 Regresin lineal simple 79 5.2 Anlisis de regresin no lineal 90 5.3 Regresin lineal mltiple 94

3

Introduccin.

La Estadstica estudia los mtodos cientficos para recoger, organizar, resumir y analizar datos,

as como para sacar conclusiones vlidas y tomar decisiones razonables basadas en el anlisis.

La Estadstica es una ciencia que estudia la recoleccin, anlisis e interpretacin de datos, ya

sea para ayudar en la toma de decisiones o para explicar condiciones regulares o irregulares de

algn fenmeno o estudio aplicado, de ocurrencia en forma aleatoria o condicional.

IMPORTANCIA DE LA ESTADISTICA EN LA ADMINISTRACION

La Estadstica es de gran importancia en las diferentes empresas, enfocadas desde cualquier

rea profesional ya que:

Ayuda a lograr una adecuada planeacin y control apoyados en los estudios de

pronsticos, presupuestos etc.

Incrementan la participacin de los diferentes niveles de la organizacin, cuando existe

motivacin adecuada.

Obliga a mantener un archivo de datos histricos controlables.

Facilita a la administracin la utilizacin ptima de los diferentes insumos.

Facilita la coparticipacin e integracin de las diferentes reas de la compaa.

Obliga a realizar un auto anlisis peridico.

Facilita el control administrativo.

Ayuda a lograr una mayor efectividad y eficiencia en las operaciones.

A travs de los pronsticos, se pueden prever las perdidas en los resultados de los

estados financieros futuros, y de esta manera se pueden tomar decisiones bien sea la

reduccin de costos y gastos, planear estrategias que ayuden al mejoramiento de la

empresa, y que se cumpla con el objetivo de toda empresa que es obtener utilidades

Por ltimo nos ayuda a tomar decisiones objetivas como:

Qu clientes les generan los mayores beneficios?

Qu zonas o regiones son las que generan mayores ventas?

Cul es el nivel de satisfaccin de sus clientes?

Cul es el nivel de rotacin o permanencia de clientes?

Las estadsticas son fundamentales tanto para la administracin financiera, como para la

administracin de operaciones, las ventas, el marketing, las cobranzas, la logstica y la gestin

de personal entre otras reas y actividades de toda corporacin.

Definiciones

Poblacin: Es el conjunto de todos los elementos que se desean analizar y que presentan

una o varias caractersticas en comn. Dependiendo del nmero de elementos que lo

conforman, una poblacin puede ser finita o infinita.

4

Muestra: Es un subconjunto representativo de elementos provenientes de una poblacin.

La muestra es seleccionada de acuerdo a un plan de muestreo, con el fin de que la muestra

represente adecuadamente a la poblacin.

Unidad Elemental: Es cada una de las personas, animales u objetos de las que se requiere

informacin. Estos elementos estn afectados por las caractersticas que se desea estudiar.

Constituye la unidad ms pequea de la poblacin y de las muestra.

Variable: Es todo factor o caracterstica que se desea evaluar de las unidades elementales.

Las variables pueden ser cualitativas (nominal jerrquicas) cuantitativas (discreta

continua).

Por ejemplo: Si nuestra poblacin est conformada por todos los clientes de una gran

tienda comercial que realizan cambios devoluciones de algn producto, la muestra sera

un nmero determinado de clientes elegidos bajo algn esquema de muestreo. Las variables

a estudiar pueden ser las que se muestran parcialmente en la siguiente base de datos:

Par

Variable

cuantitativa

continua

Variable

cuantitativa

continua

Variable cualitativa

nominal

Variable cualitativa

nominal

Variable

cualitativa

nominal

Variable

cuantitativa

discreta

Medidas

de

resumen

Edad promedio

de los clientes de la tienda.

Monto promedio

de la devolucin.

Proporcin

de clientes que son del

Sur

Proporcin de

clientes que son del sexo

femenino.

Proporcin de

devoluciones que son por defecto

de fbrica.

Nmero promedio de

das hasta la devolucin.

5

Pmetro: Es una medida que resume la informacin de la(s) caracterstica(s) de inters de

la poblacin.

Caractersticas:

Es un valor nico.

Generalmente desconocido.

Para hallar su valor se necesita de todos los elementos de la poblacin.

Estadgrafo: Es una medida que resume la informacin de la(s) caracterstica(s) de inters

de la muestra..

Caractersticas:

No es un valor nico si no variable. Su valor cambia de muestra a muestra.

Para hallar su valor se necesita slo de los elementos de la muestra.

Tambin se le conoce como estimador puesto que estima al parmetro poblaiconal.

Las notaciones utilizadas para un parmetro y su respectivo estimador puntual son las

siguientes:

Parmetro Estimador puntual

x

2 s2

p p

Nota: Tanto el parmetro como el estadgrafo son medidas de resumen, la diferencia radica

en que el parmetro usa los datos de todos los elementos de la poblacin mientras que el

estadgrafo usa los datos de una muestra.

Ramas de Estadstica:

Estadstica Descriptiva

Es la rama de Estadstica que se ocupa de la recoleccin, clasificacin y simplificacin de

la informacin. La informacin recolectada se resume en cuadros (tablas) y grficos los

cuales deben describir en forma apropiada el comportamiento de la informacin

recolectada.

6

Estadstica Inferencial

Es la rama de Estadstica que se ocupa de los procesos de estimacin (puntual y por

intervalos), anlisis y pruebas hiptesis. La finalidad de la estadstica inferencial es llegar

a conclusiones que brinden una adecuada base cientfica para la toma de decisiones,

considerando la informacin muestral recolectada.

En otras palabras la estadstica inferencial se ocupa del anlisis, interpretacin de los

resultados y de las conclusiones a las que se puede llegar a partir de la informacin obtenida

de una muestra con el fin de extender sus resultados a la poblacin bajo estudio. La

generalizacin de las conclusiones obtenidas en una muestra a toda la poblacin esta sujeta

a riesgo por cuanto los elementos de la muestra son obtenidos mediante un muestreo

probabilstico.

La estadstica inferencial provee los procedimientos para efectuar la inferencia inductiva y

medir la incertidumbre de las conclusiones que se van a generalizar. Los problemas ms

importantes en este proceso son:

Estimacin Puntual: Es la estimacin del valor del parmetro por medio de un nico

valor obtenido mediante el clculo o evaluacin de un estimador para una muestra

especfica.

Por ejemplo: Si se quiere determinar en cul de las ciudades, Lima o Arequipa, el

sueldo semanal promedio de un empleado es mayor

7

Estimacin por intervalos: Es la estimacin del valor de un parmetro mediante un

conjunto de valores contenidos en un intervalo. Para la obtencin de intervalos de

confianza se debe considerar el coeficiente de confianza que es la probabilidad de que

el intervalo contenga al parmetro poblacional.

Prueba de Hiptesis: Es el procedimiento estadstico de comprobacin de una

afirmacin y se realiza a travs de las observaciones de una muestra aleatoria.

El objetivo de la inferencia estadstica es realizar inferencias acerca de los parmetros de

una poblacin basada en la informacin contenida en una muestra. Ahora considerando que

las poblaciones estn caracterizadas por medidas descriptivas numricas llamadas

parmetros, a la inferencia estadstica le corresponde inferir sobre los parmetros

poblacionales.

A continuacin se muestra la notacin de dos parmetros con sus respectivos estimadores

puntuales.

Parmetro Estimador puntual

21 21 xx 21 xx estima puntualmente a 21

2

2

2

1 / 222

1 / ss 2

2

2

1 / ss estima puntualmente a 2

2

2

1 /

p1 - p2 21 pp 21 pp estima puntualmente a p1 - p2

8

CAPTULO I

PRUEBA DE HIPTESIS

PARA UN PARMETRO

9

La planificacin de una investigacin estadstica usualmente tiene por propsito

verificar si los supuestos que se tienen sobre la poblacin en estudio se pueden aceptar

como vlidos o deben ser considerados falsos.

Esta seccin tiene como finalidad presentar los conceptos y aplicaciones de las

principales pruebas de hiptesis.

1.1 Conceptos generales

Hiptesis estadstica: Es cualquier afirmacin o conjetura que se hace acerca de la

distribucin de una o ms poblaciones. Por ejemplo: la longitud media de un tipo de

objeto es de 20 centmetros, es decir, = 20; afirmar que el porcentaje de objetos defectuosos producidos por cierto proceso sea menor al 4%, es decir, 0,04p .

Hiptesis nula (Ho): A partir de la informacin proporcionada por la muestra se

verificar la suposicin sobre el parmetro estudiado. La hiptesis que se contrasta se

llama hiptesis nula

Hiptesis alterna (H1): Es la hiptesis que debe ser aceptada si se rechaza la hiptesis

nula. Es la conclusin a la que se llegara si hubiera sufuciente evidencia en la

informacin de la muestra para decidir que es improbable que la hiptesis nula sea

verdadera. El hecho de no rechazar la hiptesis nula no implica que sta sea cierta,

significa simplemente que los datos de la muestra son insuficientes para inducir un

rechazo de la hiptesis nula.

Tipos de errores: Cuando usamos los datos de una muestra para tomar decisiones

acerca de un parmetro existe el riesgo de llegar a una conclusin incorrecta. De hecho

se pueden presentar dos tipos diferentes de error cuando se aplica la metodologa de la

prueba de hiptesis.

Decisin estadstica

Condicin de la poblacin No rechazar H0 Rechazar H0

H0 verdadera Decisin correcta Error de tipo I

H0 falsa Error de tipo II Decisin correcta

= P(Error de tipo I) = P(Error de tipo II)

10

Ejemplo:

Un investigador cree haber descubierto una vacuna contra el SIDA. Para verificar su

hallazgo har una investigacin de laboratorio. De acuerdo con el resultado, se decidir

lanzar o no la vacuna al mercado. La hiptesis nula que propone es: La vacuna no es efectiva

a) Segn el enunciado propuesto, redacte en qu consiste el error de tipo I y tipo II.

Ocurre cuando se rechaza una hiptesis H0 que es verdadera. La probabilidad de error tipo I viene a ser la probabilidad de rechazar H0 cuando sta es cierta. Se denota por .

El valor es fijado por la persona que realiza la investigacin , por lo general es 5% y vara entre 1% a 10%

Error Tipo I

Ocurre cuando no se rechaza una hiptesis H0 que es falsa, la probabilidad de error tipo II es la probabilidad de aceptar H0cuando sta es falsa.

Debido a que el valor real del parmetro es desconocido este error no puede ser fijado.

Error Tipo II

11

b) Cul sera el error ms grave de cometer? Sustente su respuesta.

Pasos a seguir en una Prueba de Hiptesis

Paso 1 Plantear lashiptesis

Paso 2 Fijar el nivel de significacin

Paso 3Calcular el

estadstico de la prueba

Paso 4 Graficar las regiones crticas

Paso 5Aplicar los

criterios de decisin

Paso 6 Concluir

12

Supuestos para las pruebas de hiptesis:

Para las diferentes pruebas de hiptesis se deben cumplir los siguientes supuestos:

Para pruebas de hiptesis para una media poblacional ( )

La muestra es aleatoria. La muestra proviene de una distribucin normal o el tamao de muestra es grande.

Prueba de hiptesis para una proporcin ( p ) La muestra es aleatoria. El tamao de muestra es grande.

Para pruebas de hiptesis para la diferencia de medias poblacionales 1 2 y razn

de variancias poblacionales 2

2

2

1

Las muestras son aleatorias. Las muestras provienen de distribuciones normales. Las poblaciones son independientes

Prueba de hiptesis para la diferencia de proporciones ( p1 p2 ) Las muestras son aleatorias. Los tamaos de muestras son grandes. Las poblaciones son independientes

Prueba de hiptesis para datos pareados muestras relacionadas La muestra es aleatoria. La diferencia de las primeras observaciones con respecto a las segundas

observaciones (o viceversa) provienen de una distribucin normal.

13

1.2 Prueba de hiptesis para una media poblacional ()

Cuando la muestra proviene de una poblacin normal y la varianza poblacional (2) es desconocida

Procedimiento para realizar la prueba de hiptesis:

1. Plantear las hiptesis

01

00

01

00

01

00

:

:

:

:

:

:

H

H

H

H

H

H

2. Fijar el nivel de significacin:

3. Calcular el valor del estadstico de prueba:

nS

oxt

4. Graficar las regiones crticas

Bilateral

Unilateral

Izquierda

Unilateral

Derecha

H1: < 0

H1: > 0

H1: 0

El estadstico tiene una distribucin

t con (n1) grados de libertad.

14

5. Aplicar los criterios de decisin: Rechazar Ho o No rechazar Ho.

6. Concluir.

Sobre el estadstico de prueba

x Es la media muestral.

0 Es el valor supuesto de la media poblacional en la hiptesis nula.

S Es la desviacin estndar de la muestra.

N Es el tamao de la muestra.

t(n-1) Denota la distribucin t de Student con n 1 grados de libertad.

es el nivel de significacin de la prueba

El VALOR CRTICO divide la grfica en zona de rechazo y no rechazo. Para hallar su valor en EXCEL, usaremos la siguiente funcin:

INV.T(rea a la izquierda, grados de libertad)

INV.T(0.05,15) INV.T(0.95,15)

15

Ejemplo 1

Una empresa que embotella yogurt cuenta con una mquina programada para llenar botellas de

1180 ml. Sin embargo, debido a variacin natural y desgaste, el volumen medio por botella

puede cambiar en cualquier momento, razn por la cual se implementa el siguiente sistema de

control: Seleccionar una muestra de 20 botellas, obtener de dicha informacin el volumen

medio y la desviacin estndar, luego, parar la produccin y revisar la mquina si se encuentra

evidencia en la muestra de que el volumen medio de llenado es inferior a 998 ml. Con los datos

que se muestran a continuacin, y con un nivel de significacin de 2%, cul ser su decisin?

Asuma que el contenido de las botellas se distribuye normalmente.

Solucin:

X: Volumen de llenado

1. Hiptesis

H0: 998

H1: < 998

2. Nivel de significacin: = 0.02

3. Clculo del valor del estadstico de prueba: Procesando la informacin con Excel:

Media 999.4465

Error tpico 15.44193147

Mediana 984.275

Moda 938.74

Desviacin estndar 69.05841694

Varianza de la muestra 4769.06495

Cuenta 20

0937.020/0584.69

9984465.999

Ct (Este valor se ubica en la zona de no rechazo)

4. Regin crtica:

1074.27 938.74 979.68 938.74 986.9 966.59 1010.9 934.64 1096.88 1160.43

953.17 1040.01 940.42 931.83 998.72 981.65 1038.48 1109.49 897.59 1009.8

-2,2047

0,02

16

5. Decisin: No se rechaza Ho

6. Conclusin: No existe suficiente evidencia estadstica, con un nivel de significacin del 2%, para afirmar que el volumen medio de llenado es inferior a 998 ml. Con este resultado, no

se proceder a parar la mquina para revisin.

Ejemplo 2

Star Amrica es una lnea area de capital compartido (peruano-americano) que tiene ms de

10 aos laborando en el Per. El gerente de marketing desea realizar un estudio considerando

como segmentos de inters a los pasajeros nacionales y extranjeros. Para realizar dicho estudio

se seleccionaron al azar muestras aleatorias e independientes de los registros de pasajeros

peruanos y extranjeros. Algunas de las caractersticas que desea analizar el gerente son las

siguientes:

Origen del pasajero: peruano o extranjero.

Gnero: masculino o femenino.

Opinin sobre el servicio de la aerolnea en el ltimo viaje: Psima, Mala, Regular, Buena o Muy Buena.

Edad del pasajero (en aos)

Peso del equipaje en el ltimo viaje (en kg).

Parte de la informacin se presenta a continuacin:

Origen Gnero Opinin Edad Peso

Extranjero Mujer Regular 17 18.1

Extranjero Hombre Regular 62 17.9




Extranjero Hombre Mala 44 21.3


Extranjero Mujer Mala 37 18.8

Extranjero Mujer Muy buena 25 17.8

Extranjero Hombre Muy buena 7 16.3


Peruano Mujer Mala 29 24

Peruano Hombre Buena 56 16.2

Peruano Hombre Muy buena 44 19.4


Peruano Hombre Regular 51 22.2

17

a) Usando la base de datos completa y un nivel de significacin del 7%, es posible afirmar que el peso promedio del equipaje es menor de 21 Kg?

Solucin

Sea X: ...

1. Hiptesis

........................ :

........................ :

1

0

H

H

2. Nivel de significacin: = .

3. Clculo del valor del estadstico de prueba:

4. Regiones crticas:

5. Decisin:

18

6. Conclusin:

b) Usando la base de datos completa y un nivel de significacin del 6%, se puede afirmar que el peso promedio de los equipajes de los turistas de origen extranjero es mayor a los 19 Kg?

Solucin

Sea X: ...

1. Hiptesis

........................ :

........................ :

1

0

H

H




5. Decisin:

19

6. Conclusin:

Ejercicio

A&C Comunicaciones es una empresa que presta servicios de Internet a hogares de Lima

Metropolitana. El gerente est preocupado por el reciente incremento del nmero de quejas de

sus usuarios y ha decidido realizar un estudio cuyo objetivo principal es disminuir la cantidad

de reclamos. Una de las variables registradas en el estudio fue el tiempo en dar respuesta a un

reclamo. Si el tiempo supera las seis horas en promedio, se tomar la decisin, en primera

instancia, de capacitar al personal tcnico que atiende las quejas. Una muestra aleatoria de 12

reclamos present los siguientes resultados, en horas:

6,8 5,5 7,3 8,5 8,4 9,1 4,4 6,7 8,3 5,7 6,2 5,2

Con un nivel de significacin del 4% el gerente tomar la decisin, en primera instancia, de

capacitar al personal tcnico?

Solucin

Sea X: ...

1. Hiptesis

........................ :

........................ :

1

0

H

H



20


5. Decisin:

6. Conclusin:

21

1.3 Pruebas de hiptesis para una proporcin poblacional (p)

Esta prueba se realiza para verificar una suposicin que se hace sobre una proporcin

poblacional. En este caso se utilizar la distribucin Z para realizar la inferencia.

1. Planteamiento de las hiptesis

01

00

01

00

01

00

:

:

:

:

:

:

ppH

ppH

ppH

ppH

ppH

ppH


3. Calcular el valor del estadstico de prueba

n

pp

ppZ

oo

o

)1(

4. Graficar las regiones crticas

5. Aplicar los criterios de decisin: Rechazar Ho o No rechazar Ho.

6. Concluir.

Bilateral

Unilateral

Izquierda

Unilateral

Derecha

H1 : p < p0

H1 : p > p0

H1 : p p0

22

Sobre el estadstico de prueba

P Es la proporcin muestral.

0p Es el valor supuesto de la proporcin poblacional en la hiptesis nula.

S Es la desviacin estndar de la muestra.

N Es el tamao de la muestra.

Z Denota la distribucin normal estndar.



INV.NORM.ESTAND(rea a la izquierda)

INV.NORM.ESTAND(0.03) INV.NORM.ESTAND(0.99)

23

Ejemplo 1

1. Un programa que se transmite en cable encontr el ao pasado que el 40% de las denuncias que reciban sus investigadores por correo electrnico eran por estafa. En el presente ao se

realiz un estudio similar, en el que al seleccionar una muestra de 420 mensajes electrnicos

se encontr que en 188 de ellos eran denuncias por estafas. A un nivel de significacin del

5%, usted afirmara que aument la proporcin de denuncias por estafa?

Solucin

1. Hiptesis

40,0:

40,0:

1

0

pH

pH



9913,1

420

)60,0(40,0

40,04476,0

Z

4. Regiones crticas

5. Decisin: Se rechaza Ho

6. Conclusin: Con 5% de nivel de significacin se puede afirmar que ms del 40% de los

investigadores reciben denuncias por estafa va correo electrnico; por lo tanto, la

afirmacin es verdadera.

24

Ejemplo 2

Star Amrica es una lnea area de capital compartido (peruano-americano) que tiene ms de

10 aos laborando en el Per. El gerente de marketing desea realizar un estudio considerando

como segmentos de inters a los pasajeros nacionales y extranjeros. Para realizar dicho estudio

se seleccionaron al azar muestras aleatorias e independientes de los registros de pasajeros

peruanos y extranjeros. Algunas de las caractersticas que desea analizar el gerente son las

siguientes:






Parte de la informacin se presenta a continuacin:

Origen Gnero Opinin Edad Peso






Extranjero Hombre Mala 44 21.3


Extranjero Mujer Mala 37 18.8

Extranjero Mujer Muy buena 25 17.8

Extranjero Hombre Muy buena 7 16.3


Peruano Mujer Mala 29 24


Peruano Hombre Muy buena 44 19.4


Peruano Hombre Regular 51 22.2

a) Usando la base de datos completa y un nivel de significacin del 2% la proporcin de pasajeros que consideran el servicio muy bueno, es inferior al 27%?

Solucin

Sea X: ...

25

1. Hiptesis

........................ :

........................ :

1

0

H

H




5. Decisin:

6. Conclusin:

26

b) Con la informacin muestral y usando un nivel de significancia del 4%, es posible afirmar que la proporcin de pasajeros de origen nacional y que consideran el servicio de la aerolnea

como muy bueno es menor al 15%?

Solucin

Sea X: ...

1. Hiptesis

........................ :

........................ :

1

0

H

H




5. Decisin:

27

6. Conclusin:

Ejercicios

1. A&C Comunicaciones es una empresa que presta servicios de Internet a hogares de Lima Metropolitana. El gerente est preocupado por el reciente incremento del nmero de quejas

de sus usuarios y ha decidido realizar un estudio cuyo objetivo principal es disminuir la

cantidad de reclamos. Una de las variables registrada en el estudio fue el tiempo en dar

respuesta a un reclamo. Si el porcentaje de quejas, con un tiempo de atencin mayor a seis

horas, supera el 40%, se tomar la decisin, en primera instancia, de capacitar al personal de

atencin al cliente. Una muestra aleatoria de 150 quejas arroj que 64 de ellas tenan un

tiempo de atencin mayor a seis horas. Con un nivel de significacin del 8%, A&C

Comunicaciones tomar la decisin, en primera instancia, de capacitar al personal de

atencin al cliente?

Solucin

Sea X: ...

1. Hiptesis

........................ :

........................ :

1

0

H

H



28


5. Decisin:

6. Conclusin:

2. Con el propsito de identificar los hbitos de compra de un Centro Comercial recientemente inaugurado en la ciudad de Trujillo, una empresa de investigacin de mercado llev a cabo

un estudio en enero del presente ao. Algunas caractersticas de inters fueron:

Edad: Edad del cliente

Forma de pago: Tarjeta de crdito, Tarjeta de dbito, Efectivo.

Monto de compra (en nuevos soles).

Opinin sobre el servicio: Psimo, Regular, Bueno o Muy Bueno.

Al seleccionar una muestra aleatoria de clientes que realizaron compras en una visita al

centro comercial se obtuvieron los siguientes resultados:

Forma de pago Total

Efectivo 28

Tarjeta Crdito 33

Tarjeta. Dbito 34

Total 95

29

De comprobarse que el porcentaje de clientes que pagan en efectivo supera el 25%, el centro

comercial promocionar una tarjeta especial de bonificacin para millas de viaje. Se llevar

a cabo dicha promocin? Use un nivel de significacin de 0,05

Solucin

Sea X: ...

1. Hiptesis

........................ :

........................ :

1

0

H

H




5. Decisin:

30

6. Conclusin:

Ejercicios de Aplicacin.

TEMA: Prueba de Hiptesis para un parmetro.

1. La directora de mercadotecnia de A&B Cola est preocupada porque el producto no atrae a suficientes consumidores jvenes. Para probar su hiptesis, encuesta aleatoriamente a 100

consumidores de A&B Cola. Se obtuvo como resultado una media de 35 aos con una

desviacin estndar de 10 aos. Al nivel de significacin del 5%, estos hechos son

suficientes para concluir que los consumidores de A&B Cola posen una edad promedio

mayor a 32 aos?

Respt: Prueba unilateral derecha, Tcal = 3.00, Tcrit = 1.6604, Decisin: RHo

2. Star Amrica es una lnea area de capital compartido (peruano-americano) que tiene ms de 10 aos laborando en el Per. El gerente de marketing de aerolneas Star Amrica desea

realizar un estudio considerando como segmentos de inters a los pasajeros nacionales y

extranjeros. Para realizar dicho estudio se seleccionan al azar muestras aleatorias e

independientes de los registros de pasajeros peruanos y extranjeros. Algunas de las

caractersticas que desea analizar el gerente son las que se muestran en la siguiente tabla:






31

Con la informacin presentada y usando un nivel de significacin del 5% responda lo

siguiente:

a) La edad promedio del pasajero extranjero es superior a 32 aos? b) La proporcin de equipajes que pesan menos de 17 kg , excede al 12%?

3. El fabricante de la motocicleta Ososki anuncia en una propaganda de televisin que su vehculo posee un rendimiento promedio de 87 millas por galn en viajes largos. Los

millajes (recorrido en millas) observados en ocho viajes prolongados fueron: 88, 82, 81, 87,

80, 78, 79, y 89. Al nivel de significacin del 5% el millaje medio es menor que el

anunciado?

Respt: Prueba unilateral izquierda, Tcal = -2.61, Tcrit = -1.895, Decisin: RHo

4. En una encuesta aleatoria de 1000 hogares realizada en Lima, se encontr que 90 de los hogares tenan al menos un miembro de familia con educacin superior. Este resultado

refuta la aseveracin de que en los hogares de Lima esta proporcin es al menos 12%? Use

un nivel de significacin del 5%.

Respt: Prueba unilateral izquierda, Zcal = -2.919, Zcrit = -1.6449, Decisin: RHo

Origen Genero Opinion Edad Peso

extranjero mujer regular 17 18.1

extranjero hombre regular 62 17.9




extranjero hombre mala 44 21.3


extranjero mujer mala 37 18.8

extranjero mujer muy buena 25 17.8

extranjero hombre muy buena 7 16.3


peruano mujer mala 29 24.0

peruano hombre buena 56 16.2

peruano hombre muy buena 44 19.4


peruano hombre regular 51 22.2

peruano hombre mala 41 18.0



peruano mujer regular 30 18.0




peruano mujer muy buena 8 20.7




peruano mujer buena 43 21.3


32

5. Se realiz una investigacin de mercadotecnia para estimar la proporcin de amas de casa que pueden reconocer la marca de un producto de limpieza con base a la forma y color del

recipiente. De las 1400 amas de casa, 420 fueron capaces de identificar la marca del

producto. Se puede afirmar, a un nivel de significacin del 5%, que la proporcin de amas

de casa que reconocen la marca del producto, es superior al 25%?

Respt: Prueba unilateral derecha, Zcal = 4.32, Zcrit = 1.64485, Decisin: RHo

33

CAPTULO II

PRUEBA DE HIPTESIS DE

DOS PARMETROS

PRUEBA DE HIPTESIS PARA DOS VARIANZAS

PRUEBA DE HIPTESIS PARA DOS PROMEDIOS

PRUEBA DE HIPTESIS PARA DOS

PROPORCIONES

34

2.1 Prueba de hiptesis para dos varianzas

Para esta prueba de hiptesis solo desarrollaremos el caso bilateral debido a que esta

prueba indicar si dos muestras independientes provienen de poblaciones con varianzas

homogneas o heterogneas lo que ser necesario saber al realizar prueba de hiptesis

para dos promedios.

Procedimiento para realizar la prueba de hiptesis:

1. Plantear las hiptesis:

2

2

2

10 :H

2

2

2

11 :H

2. Fijat el nivel de significacin:


2

2

2

1calculado

S

SF

4. Graficar las regiones crticas y valores crticos:

5. Decidir: Se Rechaza Ho si el valor calculado del estadstico de prueba cae en la zona de

rechazo, de lo contrario, No se rechaza Ho

6. Concluir.

Sobre el estadstico de prueba:

2

1S Es la varianza de la muestra de la poblacin 1

2

2S Es la varianza de la muestra de la poblacin 2

1,1 21 nnF Representa la distribucin F con n1 1 y n2 1 grados de libertad

n1: Es el tamao de la muestra proveniente de la poblacin 1

El estadstico tiene distribucin F de Fisher

con grados de libertad: (n1-1) y (n2-1)

35

n2 Es el tamao de la muestra proveniente de la poblacin 2.

Es el nivel de significacin de la prueba


INV.F.CD(rea a la derecha, grados de libertad 1, grados de libertad 2)

Ejemplo:

Se est realizando un estudio comparativo sobre tiempo de atencin en dos restaurantes. Se han

registrado los tiempos que demora en ser atendidos algunos pedidos, los cuales se muestran:

Se puede afirmar que los tiempos de atencin en ambos restaurants no tienen la misma

variabilidad? Use un nivel de significacin del 6%.

Solucin

1. Hiptesis

2

2

2

11

2

2

2

10

:H

:H



4866.12882.0

4284.02

2

2

1 S

SF


A (1) 6,15 5,63 5,58 6,91 4,63 5,53 5,05 5,45 5,03 6,09

B (2) 4,96 5,04 4,75 4,61 4,47 5,02 5,35 3,6 5,26 5,41 5,42

36

0.2677

0.03

3.570

0.03

Valor crtico inferior: INV.F.CD(0.96; 9, 10) = 0.2677

Valor crtico superior: INV.F.CD(0.04; 9, 10) = 3.570

5. El valor calculado del estadstico de prueba cae en la zona de No Rechazo Decisin: No se rechaza Ho

6. Conclusin: Con un nivel de significacin del 6%, puede afirmar que los tiempos

de atencin en ambos restaurants no tienen la misma variabilidad.

Resultados en Excel: Datos, Anlisis de datos, Prueba F para varianzas de dos muestras.

Obtenemos:

Prueba F para varianzas de dos muestras

A (1) B (2)

Media 5.6050 4.8991

Varianza 0.4284 0.2882

Observaciones 10 11

Grados de libertad 9 10

F 1.4866

P(F

37

Solucin

1. Hiptesis

2

2

2

11

2

2

2

10

:H

:H


3. Clculo del valor del estadstico de prueba: 0806.25625.7

7343.152

2

2

1 S

SF


0.3925

0.04

2.548

0.04



5. El valor calculado del estadstico de prueba cae en la zona de No Rechazo Decisin: No se rechaza Ho

6. Conclusin: No existe suficiente evidencia estadstica, con un nivel de significacin del

8%, para concluir que las varianzas son diferentes.

Por lo tanto, se puede afirmar que las varianzas son homogneas.

Resultados en Excel:

Datos, Anlisis de datos, Prueba F para varianzas de dos muestras:

38


COBRE PLOMO

Media 68.33125 24.2125

Varianza 15.7342917 7.5625

Observaciones 16 16


F 2.08056749

P(F

39

2

2

2

10 :H 2

2

2

11 :H

2. Nivel de significacin: 06.0


2.32

2

2

2

2

1calculado

S

SF




5. Decisin: No se Rechaza Ho

6. Conclusin: No existe suficiente evidencia estadstica, con un nivel de significacin del 5%, para afirmar que las varianzas son diferentes. Es decir, existe homogeneidad

de varianzas.

Ejercicios 1. Una empresa fabrica polos deportivos y compra los hilos de dos proveedores (Proveedor 1

y 2). Para verificar la conveniencia de comprar a uno de ellos, compara la resistencia

promedio de los hilos adquiridos de estos proveedores. Se toma muestras de piezas de cada

clase de hilo y se registra la resistencia en condiciones similares. Los datos en kilogramos,

se muestran en la siguiente tabla.

Usando un nivel de significacin del 4%, se puede afirmar que no existe homogeneidad entre las varianzas?

Proveedor 1 Proveedor 2

59 84

75 83

82 86

74 79

64 83

58 87

69 86

70 85

0,3618

0,030,03

3,0010

0.025

40

Solucin

1. Hiptesis

........................ :

........................ :

1

0

H

H




5. Decisin:

6. Conclusin:

41

Ejercicio:

Una empresa grande de corretaje de acciones desea determinar qu tanto xito han tenido sus

nuevos ejecutivos de cuenta en la consecucin de clientes. Despus de haber terminado su

entrenamiento, los nuevos ejecutivos pasan varias semanas haciendo llamadas a posibles

clientes, tratando de conseguir prospectos para abrir cuentas con las empresas. Los datos

siguientes dan el nmero de cuentas nuevas que fueron abiertas durante las primeras dos

semanas por diez ejecutivas y ocho ejecutivos de cuenta escogidos aleatoriamente.

Ejecutivas 12 11 14 13 13 14 13 12 14 12

Ejecutivos 13 10 11 12 13 12 10 12

A un nivel del 5%, Se puede afirmar que la variabilidad en el nmero de cuentas nuevas

abiertas durante las primeras emanas difieren?

Solucin

1. Hiptesis

........................ :

........................ :

1

0

H

H




42

5. Decisin:

6. Conclusin:

43

2.2 Pruebas de hiptesis para la diferencia de dos medias poblacionales

(1-2): muestras independientes

Cuando las muestras provienen de poblaciones Normales, las varianzas poblacionales 21 , 2

2

son desconocidas y adems:

Caso 1: Varianzas Iguales ( 21 = 2

2 )

1. Hiptesis:

210 :H 210 :H 210 :H

211 :H 211 :H 211 :H



21

2

21c

11

nnS

XXT

p

4. Regin de Rechazo: representada por la zona sombreada

Prueba Unilateral de extremo

izquierdo

Prueba Bilateral Prueba Unilateral de extremo

derecho

5. Decidir: Se Rechaza Ho si el valor calculado del estadstico de prueba cae en la zona de rechazo.

6. Concluir.


211

21

2

22

2

112

nn

SnSnS p

1X , 2X media de la muestra 1 y 2 respectivamente

2

1S , 2

2S : varianza de la muestra 1 y 2 respectivamente

2

pS Es la varianza muestral ponderada

n1, n2 Es el tamao de la muestra 1 y 2 respectivamente

221 nnt Es el valor de la distribucin t de Student con n1 + n2 2 g de l.

44


NOTA: Si la hiptesis nula propone alguna diferencia especfica entre los promedios poblacionales sometidos a prueba, y denotamos esta diferencia por k, entonces el

estadstico de prueba ser:

21

2

21c

11

nnS

kXXT

p

El VALOR CRTICO y el VALOR CALCULADO del estadstico de prueba los hallaremos usando EXCEL con la siguiente funcin:

DATOS, ANLSIS DE DATOS; Prueba t para dos muestras suponiendo varianzas iguales

Ejemplo:

Se est realizando un estudio comparativo sobre tiempo de atencin en dos restaurantes, A y

B. Se ha registrado, aleatoriamente, los tiempos que demora en ser atendidos algunos pedidos,

los cuales se muestran:

A (1) 6.15 5.63 5.58 6.91 4.63 5.53 5.05 5.45 5.03 6.09

B (2) 4.96 5.04 4.75 4.61 4.47 5.02 5.35 3.6 5.26 5.41 5.42

Asumiendo homogeneidad de las varianzas, se puede afirmar que el restaurante A es ms

eficiente que el restaurante B? Use un nivel de significacin del 6%.

Solucin

1. Hiptesis

BA1

BA0

:H

:H


45

3. Clculo del valor del estadstico de prueba: T = 2.7132


-1.628

0.06

5. Decisin: No se rechaza Ho

6. Conclusin: Con un nivel de significacin del 6%, puede afirmar que los tiempos de

atencin en ambos restaurants no tienen la misma variabilidad.


Datos, Anlisis de datos, Prueba t para dos muestras suponiendo varianzas iguales

A (1) B (2)

Media 5.605 4.8990909

Varianza 0.428383333 0.2881691

Observaciones 10 11

Varianza agrupada 0.354586364

Diferencia hipottica de las medias 0

Grados de libertad 19

Estadstico t 2.713154062

P(T

46

Se puede afirmar que el local 1 tiene ingresos promedio mayores que los del local 2. Asuma

que el consumo mensual tiene distribucin normal. Use un nivel de significacin del 6%.

Solucin:

Sean X1: Ingreso mensual del local 1

X2: Ingreso mensual del local 2

Dado que las varianzas poblacionales son desconocidas, el primer paso consiste en

realizar una prueba de hiptesis para determinar si las varianzas son homogneas o no.

En Excel: Datos, Anlisis de datos, Prueba F para varianzas de dos muestras

1. Hiptesis:

22

2

10 :H 2

2

2

11 :H

2. Nivel de significaci: = 0.06


8333.42832

2

2

1calculado

S

SF

4. Regin crtica y valores crticos:



5. Decisin: No se Rechaza Ho

6. Conclusin: No existe suficiente evidencia estadstica, con un nivel de significacin del 6%,

para afirmar que las varianzas son diferentes. Con este resultado afirmamos que existe

homogeneidad de varianzas.

Habiendo probado que las varianzas son homogneas, ahora pasamos a probar si el local

1 tiene ingresos promedio mayores que los del local 2

1. Hiptesis:

210 :H

211 :H

0,2677

0,03

0,03

3,5702

47


3. Clculo del valor del estadstico de prueba: calculadoT = 2.7132

4. Regin crtica y valor crtico:

5. Decisin: Se Rechaza Ho

6. Conclusin: Existe suficiente evidencia estadstica, con un nivel de significacin del 6%, para afirmar que el local 1 tiene en promedio, mayores ingresos mensuales que el local 2.


Herramientas, Anlisis de datos, Prueba t para dos muestras suponiendo varianzas iguales:


LOCAL 1 LOCAL 2

Media 260.5 189.909091

Varianza 4283.83333 2881.69091

Observaciones 10 11


F 1.48656933

P(F

48

Prueba t para dos muestras suponiendo varianzas iguales

LOCAL 1 LOCAL 2

Media 260.5 189.909091

Varianza 4283.83333 2881.69091

Observaciones 10 11

Varianza agrupada 3545.86364




P(T

49

Caso 2: Varianzas Diferentes ( 21 2

2 )

1. Hiptesis:

210 :H 210 :H 210 :H

211 :H 211 :H 211 :H


2

2

2

1

2

1

21c

n

S

n

S

XXT

3. Regin de Rechazo: representada por la zona sombreada:


izquierdo


derecho

4. Decidir: Se rechaza Ho si el valor calculado del estadstico de prueba cae en la zona de rechazo.

5. Concluir:

Sobre el estadstico de prueba,

11 2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

2

2

2

1

2

1

n

n

S

n

n

S

n

S

n

S

v

1X , 2X media de la muestra 1 y 2 respectivamente

2

1S , 2

2S : varianza de la muestra 1 y 2 respectivamente

n1, n2 Es el tamao de la muestra 1 y 2 respectivamente

vt Es la distribucin t de Student con v grados de libertad


50

NOTA: Si la hiptesis nula propone alguna diferencia especfica entre los promedios poblacionales sometidos a prueba, y denotamos esta diferencia por k, entonces el


2

2

2

1

2

1

21c

n

S

n

S

kXXT

El VALOR CRTICO y el VALOR CALCULADO del estadstico de prueba los hallaremos usando EXCEL con la

siguiente funcin: DATOS, ANLSIS DE DATOS; Prueba t para dos muestras suponiendo varianzas desiguales

Ejemplo:

Una empresa fabrica polos deportivos y compra los hilos de dos proveedores (Proveedor 1

y 2). Para verificar la conveniencia de comprar a uno de ellos, compara la resistencia

promedio de los hilos adquiridos de estos proveedores. Se toma muestras de piezas de cada

clase de hilo y se registra la resistencia en condiciones similares. Los datos en kilogramos,

se muestran en la siguiente tabla.

Usando un nivel de significacin del 4% y asumiendo heterogeneidad en las varianzas, se

puede decidir por el proveedor 2?

Proveedor 1 Proveedor 2

59 84

75 83

82 86

74 79

64 83

58 87

69 86

70 85

Solucin:

51

1. Hiptesis:

210 :H

211 :H


3. Clculo del valor del estadstico de prueba, calculadoT = 2.7132

4. Regin crtica y valor crtico

5. El valor calculado del estadstico de prueba cae en la zona de rechazo. Decisin: Se Rechaza Ho

6. Conclusin: Existe suficiente evidencia estadstica, con un nivel de significacin del 6%, para afirmar que el local 1 tiene en promedio, mayores ingresos mensuales que el local 2.

Ejemplo

Una empresa fabrica, en sus dos plantas situadas en Atlanta y Dallas, impresoras y faxes. Con

el fin de medir los conocimientos que tienen los empleados de estas plantas acerca de la calidad

de los productos producidos, se toma una muestra aleatoria de empleados de cada fbrica y se

les aplica una evaluacin de calidad. Los resultados se muestran en el siguiente cuadro. Se

puede afirmar que la puntuacin promedio obtenida en el examen de calidad no es la misma

para las dos fbricas? Use =0.05

Atlanta 78,0 75,0 80,0 76,0 74,0 82,0 80,0 76,0 74,0

Dallas 91,0 95,0 73,0 74,0 73,0 82,0 73,0 74,0 73,0 76,0

Solucin:

Sean X1: puntaje obtenido por los trabajadores en la primera planta.

X2: puntaje obtenido por los trabajadores en la segunda planta.

Dado que las varianzas poblacionales son desconocidas, el primer paso consiste en

realizar una prueba de hiptesis para determinar si las varianzas son homogneas o no:

Resultados hallados con Excel:

0,06

1,6280

52

1. Hiptesis:

22

2

10 :H 2

2

2

11 :H


3. Clculo del valor del estadstico de prueba: 2

2

2

1calculado

S

SF

Reemplazando datos: 6.67

4444.8calculado F = 0.1249


Valor crtico inferior:

INV.F.CD(0.975; 8, 9) = 0.2295

Valor crtico superior:

INV.F.CD(0.025; 8, 9) = 4.1020

5. Decisin: Se Rechaza Ho 6. Conclusin: Existe suficiente evidencia estadstica, con un nivel de significacin del 5%,

para afirmar que las varianzas son heterogneas.

Habiendo probado que las varianzas no son iguales, ahora pasamos a probar si la puntuacin

promedio es la misma:

1. Hiptesis:

210 :H

211 :H


3. Clculo del valor del estadstico de prueba es calculadoT = -0.4245

4. Regin crtica y valores crticos

Atlanta Dallas

Media 77,2222222 Media 78,4

Desviacin estndar 2,90593263 Desviacin estndar 8,22192192

Varianza de la muestra 8,44444444 Varianza de la muestra 67,6

Curtosis -1,24720518 Curtosis 0,69896971

Cuenta 9 Cuenta 10

0,025

4,1020

0,025

0,2295

0.025

53

5. Decisin: No se Rechaza Ho 6. Conclusin: No existe suficiente evidencia estadstica, con un nivel de significacin del 5%,

para afirmar que los promedios son diferentes. Es decir, el puntaje promedio es el mismo.


NOTAS:

-2,2001

0,025

2,2001

0,025

Prueba t para dos muestras suponiendo varianzas desiguales

Atlanta Dallas

Media 77,22222222 78,4

Varianza 8,444444444 67,6

Observaciones 9 10



Estadstico t -0,424489294

P(T

55

Ejercicio Una empresa grande de corretaje de acciones desea determinar qu tanto xito han tenido sus

nuevos ejecutivos de cuenta en la consecucin de clientes. Despus de haber terminado su

entrenamiento, los nuevos ejecutivos pasan varias semanas haciendo llamadas a posibles

clientes, tratando de conseguir prospectos para abrir cuentas con las empresas. Los datos

siguientes dan el nmero de cuentas nuevas que fueron abiertas durante las primeras dos

semanas por diez ejecutivas y ocho ejecutivos de cuenta escogidos aleatoriamente.

Ejecutivas 12 11 14 13 13 14 13 12 14 12

Ejecutivos 13 10 11 12 13 12 10 12

A un nivel del 5%, Parece que las mujeres son ms efectivas que los hombres para conseguir

nuevas cuentas?

PRUEBA DE HIPTESIS PARA DETERMINAR SI EXISTE HOMOGENEIDAD EN

LAS VARIANZAS

1. Hiptesis

........................ :

........................ :

1

0

H

H



4. Regiones crticas

56

5. Decisin

6. Conclusin:

PRUEBA DE HIPTESIS DE LA DIFERENCIA DE MEDIAS

1. Hiptesis

........................ :

........................ :

1

0

H

H




57

5. Decisin

6. Conclusin:

58

2.3 Pruebas de hiptesis para la diferencia de dos medias poblacionales (D): muestras relacionadas

Considere dos poblaciones relacionadas con medias y variancias desconocidas desde las

cuales se extrae una muestra aleatoria bivariada de tamao n 1 1,X Y , 2 2,X Y , ,

, .n nX Y Defina la variable i i iD X Y . Entonces esta prueba se reduce a la prueba para una media considerando a la variable D.

1. Hiptesis: H0: d 0 H0: d = 0 H0: d 0 H1: d < 0 H1: d 0 H1: d > 0

2. Fijar el nivel de significacin

3. Clculo del valr del estadstico de prueba: nS

dT

d /c

4. Regin de Rechazo: Representada por la zona sombreada


izquierdo


derecho

5. Decidir: Se Rechaza Ho si el valor calculado del estadstico de prueba cae en la zona de

echazo

6. Conlcuir.

Sobre es estadstico de prueba:

D Es la media muestral de las diferencias

SD Es la desviacin estndar muestral de las diferencias

n Es el tamao de la muestra

t(n-1):

Es la distribucin t de Student con n 1 grados de libertad


59

NOTA: Si la hiptesis nula propone alguna diferencia especfica entre las proporciones poblacionales sometidas a prueba, y denotamos esta diferencia por k, entonces el


nS

kdT

d /c

Ejemplo

El gerente de un gimnasio afirma que un nuevo programa de ejercicio reducir la medida de la

cintura de una persona en un perodo de cinco das. Las medidas de cinturas de seis hombres

que participaron en este programa de ejercicios se registraron antes y despus del perodo de

cinco das en la siguiente tabla:

Hombres

1 2 3 4 5 6

Medida de cintura antes 90,4 95,5 98,7 115,9 104,0 85,6

Medida de cintura despus 91,7 93,9 97,4 112,8 101,3 84,0

La afirmacin del gimnasio es vlida al nivel de significacin de 5%? Suponga que la

distribucin de las diferencias de medidas de cintura antes y despus del programa es

aproximadamente normal.

Solucin:

Sea X1: Medida de cintura antes (cm.), X2: Medida de cintura despus (cm.)

d = antes despus

1. Hiptesis: H0: d 0 H1: d > 0


3. Clculo del valor del estadstico de prueba: nS

dT

d /c = 2.3817

4. Regin crtica y valor crtico: + 2.015

5. El valor del estadstico de prueba cae en la zona de rechazo.

60

Decisin: Se Rechaza Ho

6. Conclusin: Existe suficiente evidencia estadstica, con un nivel de significacin del 5%,

para afirmar es cierto lo que afirma el gerente del gimnasio.


Prueba t para medias de dos muestras emparejadas

Medida antes

Medida despus

Media 98.35 96.85

Varianza 114.787 94.971

Observaciones 6 6 Coeficiente de correlacin de Pearson 0.993095074




P(T

61

2.4 Prueba de hiptesis para la diferencia de dos proporciones poblacionales (p1-p2).

1. Hiptesis:

0 1 2H : p p 0 1 2H : p p 0 1 2H : p p

1 1 2H : p p 1 1 2H : p p 1 1 2H : p p



21

21

11)1(

nnPP

PPZC

4. Zona de rechazo: Representada por la zona sombreada:


izquierdo Prueba Bilateral


derecho

5. Decidir: Se rechaza Ho si el valor calculado del estadstico de prueba cae en la zona de

rechazo. 6. Concluir-

Sobre es estadstico de prueba, 1 1 2 2

1 2

n P n PP

n n

, adems:

1P Es la proporcin de la muestra 1

2P Es la proporcin de la muestra 2

n1 Es el tamao de la muestra 1

n2

Es el tamao de la muestra 2

NOTA: Si la hiptesis nula propone alguna diferencia especfica entre las proporciones

poblacionales sometidas a prueba, y denotamos esta diferencia por k, entonces el estadstico de

prueba ser:

2

22

1

11

21

n

qp

n

qp

K)pp(z

62

Ejemplo

Un patrocinador de un programa especial de televisin afirma que el programa representa un atractivo mayor para los televidentes hombres que para las mujeres. Si una muestra aleatoria de 300 hombres y otra de 400 mujeres revel que 120 hombres y 120 mujeres estaban viendo el programa especial de televisin. Al nivel de significacin del 5%, se podra decir que el patrocinador tiene la razn?

1. Hiptesis

........................ :

........................ :

1

0

H

H




5. Decisin:

6. Conclusin:

63

Ejemplo

En una prueba de preferencia de dos comerciales de televisin se pas cada uno en un rea de

prueba seis veces, durante un perodo de una semana. La semana siguiente se llev a cabo una

encuesta telefnica para identificar a quines haban visto esos comerciales. A las personas que

los vieron se les pidi definieran el principal mensaje en ellos. Se obtuvieron los siguientes

resultados:

Comercial Personas que lo vieron Personas que recordaron el mensaje principal

A

B

150

200

63

60

Use = 0.06 para probar la hiptesis de que no hay diferencia en las proporciones que recuerdan los dos comerciales.

Solucin:

Sean

p1: Proporcin de personas que recordaron el mensaje principal del comercial A.

p2: Proporcin de personas que recordaron el mensaje principal del comercial B.

1. Hiptesis: H0: P1 = P2

H1: P1 P2 2. Fijar el nivel de significacin: 06.0


21

21

11)1(

nnPP

PPZC

Reemplazando datos: 3514.0,30.0200

60,42.0

150

63

21 Ppp

3271.2

200

1

150

1*)3514.01(*3514.0

30.042.0

CZ


0.025

64

5. Decisin: Se Rechaza Ho

6. Conclusin: Existe suficiente evidencia estadstica, con un nivel de significacin del 5%, para afirmar que las proporciones de recordacin son diferentes.

Ejercicio

Una empresa realiza un estudio para determinar si el ausentismo de los trabajadores en el turno

de da es diferente al de los trabajadores en el turno nocturno. Se realiza una comparacin de

100 trabajadores de cada turno. Los resultados muestran que 27 trabajadores diurnos han

faltado por lo menos cinco veces durante el ao anterior, mientras que 49 trabajadores

nocturnos han faltado por lo menos cinco veces.

Con un nivel de significacin del 2%, existen diferencias significativas entre las proporciones

de trabajadores de los turnos que faltaron cinco veces o ms al ao?

1. Hiptesis

........................ :

........................ :

1

0

H

H




-1,8808

0,03 0,03

1,8808

65

5. Decisin:

6. Conclusin:

Respuestas: Prueba bilateral, Zcal = - 3.2051, Zcrit = 2.3263, Decisin: R Ho

Ejercicios Propuestos.

1. Se llev a cabo una encuesta entre los miembros del Club del libro del mes, para determinar si pasan ms tiempo viendo televisin que leyendo. Suponga que en una muestra de 12

encuestados se obtuvieron las horas semanales que se dedican a ver televisin y las que se

dedican a la lectura. Con un nivel de significacin del 5%, se puede llegar a la conclusin

de que los miembros del Club del libro del mes pasan ms tiempo, en promedio, viendo

televisin que leyendo? Asuma Normalidad de las variables en estudio.

Encuestado 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Televisin 11 19 8 5 16 8 4 12 10 14 15 18

Leyendo 6 10 3 10 5 8 7 14 14 8 10 10

Respt: Prueba unilateral derecha, Tcal = 1.847, Tcrit = 1.79588, Decisin: RHo

2. Star Amrica es una lnea area de capital compartido (peruano-americano) que tiene ms de 10 aos laborando en el Per.

El gerente de marketing de aerolneas Star Amrica desea realizar un estudio considerando

como segmentos de inters a los pasajeros nacionales y extranjeros.

66

Para realizar dicho estudio se seleccionan al azar muestras aleatorias e independientes

de los registros de pasajeros peruanos y extranjeros. Algunas de las caractersticas que

desea analizar el gerente son las siguientes:


Gnero: masculino o femenino. Opinin sobre el servicio de la aerolnea en el ltimo viaje: Psima, Mala, Regular,

Buena o Muy Buena.



Con la informacin que se muestra y usando un nivel de significacin del 6% responda lo

siguiente:

a. Verifique el supuesto de homogeneidad de varianzas en la edad para las personas de gnero femenino y masculino.

Respt: Prueba bilateral, Fcal = 0.4494, Fcrit = 0.3185 y 2.8052, Decisin: No RHo

Origen Genero Opinion Edad Peso






extranjero hombre mala 44 21.3


extranjero mujer mala 37 18.8

extranjero mujer muy buena 25 17.8

extranjero hombre muy buena 7 16.3







peruano hombre mala 41 18.0







peruano mujer muy buena 8 20.7




peruano mujer buena 43 21.3


67

b. Existen diferencias significativas entre los pesos promedio de los equipajes de ambas gneros?

Respt: Prueba bilateral, Fcal = 0.4494, Fcrit = 0.3185 y 2.8052, Decisin: No RHo

c. Se puede afirmar, que el porcentaje de viajeros de gnero femenino que opinan que el servicio es malo es diferente al porcentaje de viajeros de gnero masculino

con tal opinin?

3. Se realiza un estudio en la North Central University para medir el efecto del cambio ambiental en estudiantes extranjeros. Uno de los aspectos del estudio es una comparacin

del peso de los alumnos al ingresar a esa universidad, un ao despus se midi el peso de

los estudiantes. Se sospecha que los alimentos estadounidenses ms nutritivos provocan

aumento de peso. Los datos para una muestra de estudiantes se dan a continuacin.

Nombre Peso al inicio Peso un ao despus

Nassar 124 142

OToole 157 157

Oble 98 96

Silverman 190 212

Kim 103 116

Gross 135 134

Con 1% de nivel de significacin, los alimentos estadounidenses ms nutritivos

provocan aumento de peso?

68

CAPTULO III

PRUEBAS NO

PARAMTRICAS: PRUEBAS

JI-CUADRADO

PRUEBA DE INDEPENDENCIA DE VARIABLES

PRUEBA DE HOMOGENEIDAD DE PROPORCIONES

PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE

69

Introduccin

Como se ha visto en la seccin anterior uno de los supuestos en el que se basa muchas de las

pruebas estadsticas (conocidas como pruebas paramtricas) es el supuesto de normalidad.

Una parte de esta seccin contempla el desarrollo de una prueba para verificar la normalidad

de un conjunto de datos que se encuentra agrupado en una tabla de frecuencia.

Las pruebas a desarrollar son conocidas como pruebas no paramtricas. Estn desarrolladas

sobre la base de un estadgrafo que no hace referencia a ningn parmetro poblacional.

Este tipo de tcnicas no utiliza directamente la informacin muestral recogida sobre la variable

objeto de estudio, sino ms bien la frecuencia con que aparecen dichos valores en la muestra.

Las pruebas a estudiar en esta seccin son:

Prueba de Independencia

Prueba de Homogeneidad de proporciones.

Tabla de Contingencia

Es una tabla de frecuencia simple de dos vas (bidireccional). Sus r filas y columnas se

usan para resumir y anotar los resultados de datos recolectados y jerarquizados de dos

variables.

Variable 2

Columna 1 Columna 2 . . . Columna c

V

ari

ab

le 1

Fila 1 f11 f12 f1c

Fila 2 f11 f11 f11 .

.

.

Fila r fr1 fr1 frc

3.1 Prueba de independencia

Una de las pruebas donde se utiliza la distribucin Ji Cuadrada es cuando se desea

probar que dos variables categricas son independientes entre s. Estas variables

categricas reciben el nombre de factores. El factor 1 o factor fila tiene r categoras y el factor 2 o factor que se muestra en la columna tiene c categoras. En la prueba de independencia se prueba la hiptesis nula de que la variable fila y la

variable de columna de una tabla de contingencia no estn relacionadas. (La hiptesis

nula es la proposicin de que las variables de filas y de columna son independientes)

70

Por ejemplo, para determinar si existe una relacin entre el aprovechamiento de un empleado

en el programa de capacitacin y su rendimiento real en el trabajo, se tom una muestra de

400 registros y se obtuvo las frecuencias observadas que se presentan en la siguiente tabla

de contingencia:

Rendimiento

(calificacin del

empleador)

Aprovechamiento en el programa de capacitacin

Debajo del

promedio Promedio

Sobre el

promedio Total

Deficiente 23 60 29 112

Promedio 28 79 60 167

Muy bueno 9 49 63 121

Total: 60 188 152 400

Las variables involucradas en el anlisis son:

Variable 1: Calificacin del rendimiento real en el trabajo, con 3 categoras:

Deficiente, promedio y muy bueno.

Variable 2: Calificacin en el programa de entrenamiento, con 3 categoras: Debajo

del promedio, promedio o sobre el promedio.

La prueba de Independencia compara las frecuencias observadas, frente a otras llamadas

frecuencias esperadas.

Para calcular las frecuencias esperadas se utiliza la siguiente frmula:

totalGran

rengln)del(Totalcolumna)lade(Total

esperada

Frecuencia

La siguiente tabla muestra: frecuencias observadas y esperadas (entre parntesis) para la

informacin presentada en el ejemplo propuesto.

Rendimiento en el trabajo (calificacin del

empleador)


Debajo del promedio

Promedio Sobre el promedio

Total

Deficiente 23

(16,80) 60

(52,64) 29

(42,56) 112

Promedio 28

(25,05) 79

(78,49) 60

(63,46) 167

Muy bueno 9

(18,15) 49

(56,87) 63

(45,98) 121

Total: 68 188 152 400

71

Pasos para realizar la prueba de Independencia de variables

1. Formular las hiptesis Ho: Existe independencia entre las variables

H1: No existe independencia entre las variables

2. Fijar el nivel de significacin 3. Calcular el valor del estadstico de prueba:

r

i

c

j ij

ijij

ce

eO

1 1

2

2)(

4. Graficar la regin crtica:

REGIN DE RECHAZO

5. Aplicar los criterios de decisin: Rechazar Ho si el valor calculado del estadstico de prueba cae en la zona de rechazo.

6. Concluir.


2 Representa la distribucin Chi-cuadrado

Oij Representa las frecuencias observadas

eij Representa las frecuencias esperadas

2

c El valor crtico se calcula con )1)(1( cr grados de libertad, donde r esl el nmero

de filas y c el nmero de columnas.

NOTA: El tamao de muestra n total general debe ser suficientemente grande para asegurar

que las frecuencias esperadas eij sean mayores o iguales a 5. Esto Asegura que la aproximacin

en la prueba sea buena.

Ejemplo:

Para determinar si existe una relacin entre el aprovechamiento de un empleado en el programa

de capacitacin y su rendimiento real en el trabajo, se tom una muestra de 400 registros y se

obtuvo las frecuencias observadas que se presentan en la siguiente tabla de contingencia:


72

Rendimiento

(calificacin del

empleador)

Debajo del

promedio Promedio

Sobre el

promedio Total


Promedio 28 79 60 167

Muy bueno 9 49 63 121

Total: 60 188 152 400

Con el nivel de significacin 0,01, La calificacin del rendimiento del trabajador est

asociada con la calificacin en aprovechamiento del programa de capacitacin?

Solucin

1. Planteamiento de hiptesis: H0: La calificacin del rendimiento real de un empleado en el trabajo es independiente

del aprovechamiento en el programa de capacitacin.

H1: La calificacin del rendimiento real de un empleado en el trabajo no es

independiente del aprovechamiento en el programa de capacitacin.

2. Nivel de significacin: = 0,01 3. Clculo del valor del estadstico de prueba:

4(gl)1)-1)(3-(3con ~)(

2

01,0

1 1

2

2

r

i

c

j ij

ijij

ce

eO

18,2098,45

)98,4563(...

5,25

)05,2528(

80,16

)80,1623( 2222

c

4. Regin crtica:

5. Decisin:

Como el valor calculado2 > 13,277, se rechaza H0

6. Conclusin: Con nivel de significacin 0,01 existe evidencia estadstica para afirmar que la

calificacin del rendimiento real de un empleado en el trabajo no es independiente de la

calificacin en el programa de entrenamiento.

Nota:

En Excel se puede hacer uso de la funcin PRUEBA.CHICUAD donde se debe ingresar las frecuencias observadas y las frecuencias esperadas. El resultado de la

13.277

0.01

73

aplicacin de esta funcion es el p-valor el cual es comparado directamente con el nivel

de significacin para dar las conclusiones.

(Correccin de Yates)

Cuando la muestra es menor de 50, o cuando algunas o todas las frecuencias esperadas

son menores que 5, o cuando el grado de libertad es igual a 1, es recomendable aplicar

la correccin de Yates; entonces el estadstico de prueba es el siguiente:

c

j

cr

i

iir

i e

eo

1

2

),1)(1(

2

1

25.0

Ejemplo:

El jefe de una planta industrial desea determinar si existe relacin entre el rendimiento en el

trabajo y turno laboral del empleado. Se tom una muestra aleatoria de 382 empleados y se

obtuvo las frecuencias observadas que se presentan en la siguiente tabla de contigencia:

Rendimiento en el Trabajo

Turno laboral

Total Maana Tarde Noche


Promedio 26 77 58 161

Muy bueno 7 47 61 115

Total 54 182 146 382

Con un nivel de significacin del 0.01, la calificacin del rendimiento del trabajador est

asociada con el turno en el que labora el empleado?

Solucin

1. Hiptesis: Ho: El rendimiento en el trabajo, es independiente del turno laboral del trabajador.

H1: El rendimiento en el trabajo, no es independiente del turno laboral del trabajador.

2. Nivel de significacin: = 0,01 3. Clculo del valor del estadstico de prueba:

4(gl)1)-(3).13(libertaddeGrados

691.21)(

1 1

2

2

r

i

c

j ij

ijij

ce

eO

4. Regin crtica:

74

5. Decisin:

Como el valor calculado 21.691 > 13,277, se rechaza H0

6. Conclusin: Con nivel de significacin 0,01 existe evidencia estadstica para afirmar que el rendimiento

en el trabajo no es independiente del turno laboral.

Clculos en Excel

13.277

0.01

75

El valor crtico (13,277), puede calcularse con la funcin INV.CHICUAD e ingresar (1-)

o con la funcin INV.CHICUAD.CD, e ingresar ().

Ejemplo:

De acuerdo con una encuesta de participacin en los deportes de la Asociacin Nacional del

Deporte de Estados Unidos, publicada en American Demographics, las actividades deportivas en las que participa la gente est relacionada con el gnero. La siguiente tabla

proporciona los resultados de una encuesta que inclua a 767 personas, clasificados por

actividad deportiva (que practican con regular frecuencia) y por sexo. La evidencia que

proporcionan estos datos es suficiente para inferir que el sexo y la actividad deportiva estn

relacionados? Use =0,05

Actividad deportiva

Sexo Ciclismo Aerbicos Caminata Natacin

76

Hombres 85 28 60 179

Mujeres 81 138 106 90

1. Hiptesis

........................ :

........................ :

1

0

H

H



4. Regin crtica:

5. Decisin:

6. Conclusin:

77

Ejemplo

Un estudio de usuarios y no usuarios de cinturn de seguridad produjo los datos de muestra

aleatoria que se resumen en la tabla adjunta. Pruebe la aseveracin de que la cantidad de

cigarrillos fumados es independiente del uso de cinturn de seguridad. Una teora verosmil es

que las personas que fuman ms se preocupa menos por su salud y seguridad y, por tanto, tiene

una menor inclinacin a usar cinturn de seguridad.Los datos de muestra apoyan esta teora?

Nmero de cigarrillos fumados al da

0 1-14 15-34 35 o ms

Usan cinturn de seguridad 175 20 42 6

No usan cinturn de seguridad 149 17 41 9

a) Realice la prueba respectiva, con un nivel de significacin del 5%, usando el enfoque clsico

b) Realice la prueba respectiva, con un nivel de significacin del 5%, usando el enfoque del valor p.

1. Hiptesis

........................ :

........................ :

1

0

H

H



4. Regin crtica:

78

5. Decisin:

6. Conclusin:

3.2 Prueba de homogeneidad de proporciones (o subpoblaciones)

Es una prueba estadstica aproximada que se usa para determinar si las frecuencias

esperadas en una fila son proporcionales a las frecuencias esperadas de cada uno de las

otras filas de la tabla de contingencia o si las frecuencias en una columna son

proporcionales a las frecuencias esperadas de las otras columnas de la tabla de

contingencia.

Una caracterstica de esta aplicacin es que se requiere la seleccin de una muestra por

cada grupo de anlisis.

Ejemplo:

La enfermera de un colegio llev a cabo un experimento para determinar el grado de alivio

proporcionado por tres remedios para la tos. Cada remedio se suministr a 50 estudiantes y se

registraron los siguientes datos:

Efecto Remedio para la tos

NyQuil Robitussin Triaminic

Sin alivio 11 13 9

Cierto alivio 32 28 27

Alivio total 7 9 14

Pruebe la hiptesis, con un nivel de significacin del 5%, que los tres remedios para la tos son

igualmente efectivos.

79

1. Hiptesis

........................ :

........................ :

1

0

H

H



4. Regin crtica:

5. Decisin:

6. Conclusin:

Ejemplo

80

Muestras de tres tipos de materiales, sujetos a cambios extremos de temperatura, produjeron

los resultados que se muestran en la siguiente tabla:

Material A Material B Material C Total

Desintegrados 41 27 22 90

Permanecieron intactos 79 53 78 210

Total 120 80 100 300

Use un nivel de significancia de 0.05 para probar si, en las condiciones establecidas, la

probabilidad de desintegracin es la misma para los tres tipos de materiales.

Solucin

1. Hiptesis:

H0: La probabilidad de desintegracin es la misma para los tres tipos de materiales.

H1: La probabilidad de desintegracin no es la misma para los tres tipos de materiales.

2. Nivel de significacin: 0,05

3. Estadstico de prueba

(gl)21)-1)(3-(2 :libettaddeGrados,)( 2

2

ij

ijij

ce

eO

575,470

)7078(...

84

)8479(

36

)3641( 2222

c

4. Regin crtica:

5. Decisin: Como el valor calculado 4.575 < 5.991, No se rechaza Ho

6. Conclusin: Con nivel de significacin 0,05 no existe evidencia estadstica para afirmar que la

probabilidad de desintegracin no es la misma para los tres tipos de materiales.

Clculos de valores esperados:

Material A Material B Material C Total

Desintegrados 41 (36) 27 (24) 22 (30) 90

5.991

0.05

81

Permanecieron intactos 79 (84) 53 (56) 78 (70) 210

Total 120 80 100 300

Nota:

En Excel existe la funcin PRUEBA.CHICUAD que permite obtener el p-valor de la

prueba estadstica. Solo se requiere de la tabla de valores observados y valores

esperados.

Ejercicio:

Se realiz una encuesta para saber si existe una brecha de gnero en la confianza que la gente tiene en la polica. Los resultados de muestra se listan en la tabla adjunta. Use un nivel de

significacin del 0,05 para probar la afirmacin de que s existe una relacin entre el gnero y

la confianza en la polica.

Gnero Confianza en la polica

Mucha Regular Muy poca o ninguna

Hombres 115 56 29

Mujeres 175 94 31

195,22 c

1. Hiptesis

........................ :

........................ :

1

0

H

H



4. Regin crtica:

82

5. Decisin:

6. Conclusin:

Ejercicios Propuestos:

1. En un estudio de los sistemas lectores de cajas registradoras, se usaron muestras de compras para comparar los precios ledos con los precios anunciados. En la tabla adjunta se resumen

los resultados para una muestra de 819 artculos. Cuando las tiendas usan lectores para

registrar las compras, las tasas de error son las mismas para los artculos a precio normal

y los artculos en oferta?Cmo podra cambiar la conducta de los consumidores si creen

que ocurre un nmero desproporcionado de cobros de ms con los artculos en oferta? Use

un nivel de significacin del 6%

Artculos normales Artculos en oferta

Cobro de menos 20 7

Cobro de ms 15 29

Precio correcto 384 364

004,0ValorP;814,102 c

2. Se realiza un estudio para determinar la relacin entre el tipo de crimen y siel criminal es un extrao o no. La tabla adjunta lista los resultados de una encuesta practicada a una

muestra aleatoria de vctimas de diversos crmenes. Con un nivel de significacin de 0,05,

pruebe la Hiptesis respectiva.

Homicidio Asalto Agresin

83

El criminal era un extrao 12 379 727

El criminal era un conocido o pariente 39 106 642

0000,0ValorP;330.1192 c

3. Un estudio de accidentes automovilsticos seleccionados al azar y conductores que usan telfonos celulares proporcion los datos de muestra adjuntos. Se desea saber si existe

alguna relacin entre la ocurrencia de accidentes y uso de telfonos celulares. Con base en

estos resultados, realice la prueba correspondiente con un nivel de significacin del 5%.

Tuvo accidente el

ao pasado

No tuvo accidente el ao

pasado

Usa telfono celular 23 282

No usa telfono celular 46 407

220,0ValorP;505,12 c

4. La tabla adjunta lista datos de muestra que el estadstico Karl Pearson us en 1909. Cree usted que el tipo de delito est relacionado con el hecho de que el criminal beba o se

abstenga? Hay delitos aparentemente asociados al hbito de beber?

Incendio provocado Violacin Violencia Robo Falsificacin Fraude

Bebedor 50 88 155 379 18 63

Abstemio 43 62 110 300 14 144

000,0ValorP;731,492 c

5. Una de las preguntas de un estudio de suscriptores de 1996 de Bussiness Week fue: Durante los ltimos 12 meses, en viajes de negocios, qu tipo de boleto de avin compr con ms frecuencia? Las respuestas obtenidas se muestran en la siguiente tabla:

Tipo de vuelo

Nacional Internacional

Tip

o d

e

bole

to Primera clase 29 22

Clase de negocios o ejecutiva 95 121

Clase econmica 518 135

Usando nivel de significacin 0,05, pruebe la independencia del tipo de vuelo y tipo

de boleto. 000,0ValorP;434,1002 c

6. En el estudio de un taller, se obtuvo un conjunto de datos para determinar si la proporcin de artculos defectuosos producidos por los trabajadores era la misma durante el da, la tarde

o la noche. Se encontraron los siguientes resultados:

Condicin TURNO

Da Tarde Noche

84

Defectuosos 45 55 70

No defectuosos 905 890 870

Utilice un nivel de significacin del 2,5% para determinar si la proporcin de artculos

defectuosos es la misma para los tres turnos.

044,0ValorP;234,62 c

7. La enfermera de un colegio llev a cabo un experimento para determinar el grado de alivio proporcionado por tres remedios para la tos. Cada remedio se suministr a 50 estudiantes y

se registraron los siguientes datos:

Efecto Remedio para la tos

NyQuil Robitussin Triaminic

Sin alivio 11 13 9

Cierto alivio 32 28 27

Alivio total 7 9 14

Pruebe la hiptesis, con un nivel de significacin del 5%, que los tres remedios para la

tos son igualmente efectivos.

432,0ValorP;810,32 c

8. Durante las primeras 13 semanas de la temporada de televisin, se registraron las audiencias de sbado por la noche, de 8:00 p.m. a 9:00 pm. Como sigue: ABC 29%, CBS 28%, NBC

25% y otros 18%. Dos semanas despus, una muestra de 300 hogares arroj los siguientes

resultados de audiencia: ABC 95 hogares, CBS 70 hogares, NBC 89 hogares y otros 46

hogares. Pruebe, con nivel de significacin 0,05, si han cambiado las proporciones de

telespectadores.

9. Suponga que los investigadores desean determinar si el patrn de distribucin del ingreso familiar en el Per, ha cambiado significativamente durante los ltimos cinco aos. Se sabe

que hace cinco aos la distribucin del ingreso familiar para las distintas clases de ingreso

era la siguiente:

Clase de Ingreso ($) % de todas las familias en

la clase

(1) menos de 3000 9

(2) de 3000 a menos de 5000 11

(3) de 5000 a menos de 7000 12

(4) de 7000 a menos de 10000 22

(5) de 10000 a menos de 15000 27

(6) de 15000 a menos de 25000 15

(7) de 25000 a mas 4

TOTAL 100

Se elige una muestra aleatoria de 1000 familias y se obtiene la siguiente distribucin:

85

Clase de Ingreso ($) 1 2 3 4 5 6 7

Nmero de familias 70 100 110 200 300 170 50

Con = 0,05, el patrn actual de distribucin del ingreso familiar es significativamente distinto al de hace cinco aos?

86

3.3 Prueba de bondad de ajuste Caso 1: Poblacin multinomial

El procedimiento de prueba para los experimentos multinomiales es bastante semejante al

descrito para el caso de independencia y homogeneidad, el mayor cambio viene con el

planteamiento de la hiptesis nula. Puede ser un planteamiento verbal.

El valor critico es determinado por el nivel de significacin asignado () y el numero de grados de libertad es una unidad menos que el nmero de clases o categoras (k) en

que se dividen los datos. (gl = k 1).

Cada frecuencia esperada ei se determina al multiplicar el nmero total de ensayos n por la probabilidad correspondiente ei = n pi

Poblacin multinomial: cuando cada elemento de una poblacin se asigna a una y slo una

de varias categoras.

La distribucin multinomial de probabilidad se puede concebir como una ampliacin de la

distribucin binomial para el caso de tres o ms categoras de resultados.

2)1(

1

2

2 ~

k

k

i i

ii

ce

eo

Donde:

oi: frecuencia observada para la categora i.

ei: frecuencia esperada para la categora i.

k: Nmero de categoras.

Nota: Las ei deben ser cinco o ms para todas las categoras.

Ejemplo:

A continuacin se presentan las prefer

Estadística inferencial

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