Estadistica sem 9

Estadstica

Profesor Juan Narro

1

Diplomatura de Estudio en

Gestin de Operaciones

Curso de Estadstica

Sesin 9 y 10:

Estimacin de Parmetros Estimacin Puntual

La estadstica es una ciencia segn la cual todas las mentiras se vuelven grficos

Estadstica

Profesor Juan Narro

2

Sumario

1. Muestreo aleatorio simple.

2. Estimadores puntuales.

3. Distribuciones muestrales: Distribuciones de la

media y proporcin muestral.

4. Teorema del Lmite Central.

Por qu muestrear la poblacin?

Naturaleza destructiva de algunas pruebas (vino, resistencia de acero, semillas)

Imposibilidad fsica de revisar todos los integrantes de la poblacin.

El costo de estudiar a todos los integrantes de la poblacin normalmente es prohibitivo.

Lo adecuado de los resultados de la muestra.

Tiempo requerido para entrevistar a toda la poblacin.

Estadstica

Profesor Juan Narro

3

Tipos de Muestreo

Muestreo

No Probabilstico Probabilstico

Seleccin a juicio o criterio

del encuestador

Seleccin de modo que cada

integrante de la poblacin tenga

una probabilidad conocida de ser

incluido en la muestra.

Muestreo Probabilstico

No hay un mejor mtodo para seleccionar una

muestra probabilstica.

Objetivo: permitir que el azar determine los

integrantes que contendr la muestra.

Muestreo Aleatorio

Simple Sistemtico Estratificado Racimo

Estadstica

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4

Muestreo Aleatorio Simple

Cada elemento de la poblacin tiene la misma

probabilidad de ser incluido en la muestra.

Uso de nmeros aleatorios.

Lista de Clientes

Muestreo Aleatorio Simple

Muestra Aleatoria

Estadstica

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5

Tabla de Nmeros Aleatorios

1581922396 2068577984 8262130892

0928105582 7295088579 9586111652

4112077556 3440672486 1882412963

7457477468 5435810788 9670852913

0099520858 3090908872 2039593181

Tabla de

Nmeros

Aleatorios

ESTADSTICA PARA LA

ADMINISTRACIN

Oscar de Azambuja D.

Diapositiva 14

Estadstica

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6

Tcnicas de conteo y el muestreo aleatorio simple

Puede ser con reemplazo o sin reemplazo (con orden y sin orden).

Cantidad de muestras con reemplazo (nN) : Nn

Sin reemplazo con orden (nN) :

Sin reemplazo sin orden (nN):

Fraccin de la muestra f = n/N

=!

( )!

=!

! ( )!


En una zona industrial existen 20 fabricas. Si para cierto estudio se desea tener una muestra aleatoria

de 5 fabricas, Cuntas muestras aleatorias

posibles se pueden formar con cada una de las

formas de seleccin de muestreo aleatorio simple?

Cantidad de muestras con reemplazo :

Nn =205 = 3200,000 muestras

Sin reemplazo con orden:

=!

( )!

20 5 =20!

(20 5)!= 1860,480

Estadstica

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7


Sin reemplazo sin orden:

Cantidad de muestras con reemplazo: 3200,000

Sin reemplazo con orden: 1860,480

Sin reemplazo sin orden: 15,504

=!

! ( )!

20 5 =20!

5! (20 5)!= 15,504

Muestreo Aleatorio Sistemtico

Los integrantes de la poblacin se ordenan.

Se selecciona al azar un punto de inicio.

Seleccin dentro de un intervalo uniforme medido con respecto al tiempo, orden o al espacio.

Cada elemento tiene igual oportunidad de ser seleccionado.

No debe emplearse si hay un patrn determinado en la poblacin.

Estadstica

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8

1 26 51 76

2 27 52 77

3 28 53 78

4 29 54 79

5 30 55 80

6 31 56 81

7 32 57 82

8 33 58 83

9 34 59 84

10 35 60 85

11 36 61 86

12 37 62 87

13 38 63 88

14 39 64 89

15 40 65 90

16 41 66 91

17 42 67 92

18 43 68 93

19 44 69 94

20 45 70 95

21 46 71 96

22 47 72 97

23 48 73 98

24 49 74 99

25 50 75 100

N = 100

Se desea una muestra n = 20

N/n = 5

Escoger un nmero aleatorio de 1-5:

Seleccionado: 4

Empezar con el 4 y escoger cada

quinto nmero

Muestreo Sistemtico

Muestreo Sistemtico

6 7 18 19

5 8 17 20

4 9 16 21

3 10 15 22

2 11 14 23

1 12 13 24

Seleccin cada tres comenzando en el 1.

Rotacin lenta

(aros, culatas)

Rotacin moderada

(neumticos, faros)

Rotacin rpida

(grasas, pintura)

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9

Muestreo Aleatorio Estratificado

La poblacin es dividida en grupos relativamente homogneos (estratos)

Seleccin aleatoria de elementos del estrato.

Cantidad proporcional al estrato con pesos.

Cada grupo tiene una pequea variacin dentro de si mismo, pero hay una amplia variacin entre los

grupos.

POBLACIN

ESTRATOS

MUESTRA

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10

Muestreo Aleatorio de Racimo

La poblacin se divide en racimos (clusters)

Seleccionamos una muestra aleatoria de estos racimos.

Hay una variacin considerable dentro de cada grupo, pero los grupos son esencialmente

similares entre si.

POBLACIN

RACIMOS

MUESTRA

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11

Distribucin Muestral de Medias

Media

ErrorEstandar

n

N n

N

S

n

N n

N

x

x

xS

1

1

Distribucin que consta de una lista de todas las medias muestrales posibles de un tamao de muestra dado ( de una poblacin) y la probabilidad asociada con cada media muestral.

Si n/N

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12

Edad

18

20

22

24

Probabilidad

0.25

0.25

0.25

0.25

VARIABLE

ALEATORIA PROBABILIDAD

Variable Aleatoria: Variable X = Edad de las personas Valores de la Variable X x (18, 20, 22, 24). P(X=x) o f(x) Probabilidad de que la V.A. X tome el valor x P(X=18) = 0.25 f(18) = 0.25 P(X=20) = 0.25 f(20) = 0.25 P(X=22) = 0.25 f(22) = 0.25 P(X=24) = 0.25 f(24) = 0.25

1

2

1

18 20 22 2421

4

2.236

N

i

i

N

i

i

X

N

X

N

Distribucin Uniforme

.3

.2

.1

0

A B C D

(18) (20) (22) (24)

P(X)

X

Parmetros de la Poblacin


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13

1a 2

da Observacin

Obs 18 20 22 24

18 18,18 18,20 18,22 18,24

20 20,18 20,20 20,22 20,24

22 22,18 22,20 22,22 22,24

24 24,18 24,20 24,22 24,24

Todas las muestras posibles de tamao n=2

16 Muestras CON reemplazo

Media de cada muestra

1a 2da Observacin

Obs 18 20 22 24

18 18 19 20 21

20 19 20 21 22

22 20 21 22 23

24 21 22 23 24


Variable Frecuencia Probabilidad

18 1 0,0625

19 2 0,125

20 3 0,1875

21 4 0,25

22 3 0,1875

23 2 0,125

24 1 0,0625

16


Estadstica

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14

1a 2da Observacin

Obs 18 20 22 24

18 18 19 20 21

20 19 20 21 22

22 20 21 22 23

24 21 22 23 24

Distribucin de las Medias de las Muestras

16 Medias de Muestras

18 19 20 21 22 23 24 0

.1

.2

.3

Distribucin de las medias de las

muestras P X

X


Parmetros de la Distribucin Muestral o de Muestreo

Diapositiva 32

1

2

1

2 2 2

18 19 19 2421

16

18 21 19 21 24 211.58

16

N

i

i

X

N

i Xi

X

X

N

X

N


Estadstica

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15

18 19 20 21 22 23 24 0

.1

.2

.3

Distribucin de Muestreo n = 2

A B C D

(18) (20) (22) (24)

0

.1

.2

.3

Poblacin N = 4

21 2.236 21 1.58X X

P X P X

X X

(Error Estndar)


Comparacin de la Poblacin con la Distribucin Muestral de Medias

Propiedades de la Distribucin de Muestreo

La media de la distribucin de muestreo es igual a la media de la poblacin x

El error estndar de la distribucin de muestreo es igual a la desviacin estndar de la poblacin entre

la raz cuadrada de n

nx


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16

Distribucin de Muestreo

de la Media

x

x

x x

x x

Distribucin de las muestras

Poblacin


Comparacin de la Poblacin con la Distribucin Muestral de Medias

Distribucin de la Poblacin y Distribucin de Muestreo de la Media

= 100

Distribucin de muestreo de medias

de 5 elementos (n=5)

Distribucin de la poblacin

25x

25


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17

No Sesgada

X

f X

Propiedades de la Distribucin de Muestreo

x


Muestreo de Poblaciones Normales

Tendencia Central Dispersin


X50X

4

5X

n

16

2.5X

n

Distribucin de la Poblacin

50

10

nx

x


Estadstica

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18

Tendencia Central Dispersin


X50

X

4

5X

n

30

1.8X

n

Distribucin de la Poblacin

50

10

Poblaciones No Normales

nx

x


Conforme aumenta el

tamao de la muestra,

la forma de la

distribucin se vuelve

ms normal.

Pro

ba

bil

ida

d n = 8

Pro

ba

bil

ida

d n = 20

Pro

ba

bil

ida

d

n = 4

Pro

ba

bil

ida

d

n = 2

Efecto del tamao de la muestra


Estadstica

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19

Distribucin de muestreo de la proporcin

Objetivo del sondeo es estimar la proporcin (p)

de las personas con

ciertas caractersticas.

Si n es suficientemente grande, la distribucin se

aproxima a la normal.

(n 5)

Si n/N

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20

Conforme se incrementa el tamao de la muestra

La distribucin de muestreo de la media se aproxima a la normal.

X

Teorema de Lmite Central

(o de Distribucin Normal de Medias)



* El error estndar es la base de la inferencia de la media (que no se conoce) de una poblacin.

* "Si la poblacin es normal, entonces la distribucin de medias tambin lo es. Si la poblacin no es normal, la distribucin de muestreo de las medias se aproxima a la normal conforme aumente el tamao de la muestra"

* Podemos usar la Distribucin Normal :

* Si n 30 y tambin cuando n < 0.05N,

* Si n* 5 y tambin cuando n(1-) 5.

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21

Factor de Correccin por Poblacin Finita

05.0N

Cuando n

1*

N

nN

nx

N

n

nx 1*


05.0N

Cuando n

1*

)1(

N

nN

n

ppp

N

n

n

ppp

1*

)1(

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22


Clculo del FCPF para diversos n con N=1000.

n n/N FCPF

10 0.010 0.9955

25 0.025 0.9879

50 0.050 0.9752

100 0.100 0.9492

200 0.200 0.8949

500 0.500 0.7075



Una ciudad tiene 20 tiendas de una cadena de igual tamao. La desviacin estndar de la rotacin de

personal en un ao es de 75. Si tomamos una

muestra de 5 tiendas, sin reemplazo, determine el

error estndar de la media.

Dado:

N = 20

= 75

n = 5

1*

N

nN

nx

)8885.0()54.33(120

520*

5

75

x

8011.29x

Estadstica

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23


X



De una poblacin infinita con media igual a 8 y desviacin estndar igual a 3 se extrae una muestra de 36 elementos. Cul es la probabilidad que la media de dicha muestra est entre 7.6 y 8.4?

)4.8xP(7.6 :Calcular

36n 3 8

nx

5.06

3

36

3x

8x

8x

?)4.8xP(7.6 7.6 8.4

Valor Z para Distribucin Muestral de Medias

x

z

n

xz



Estadstica

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24

Distribucin Normal Estndar

1Z

Z0Z

)4.8xP(7.6 :Calcular

36n 3 8

8.05.0

4.0

36

3

84.84.8

z

2118.07881.0)8.0P(-0.8 z

8.05.0

4.0

36

3

86.76.7

z

-0.8 0.8



5763.0)8.0P(-0.8 z



Suponga que el 60% de todos los peruanos aprueban la forma en que su Presidente maneja la economa; as = 0.6. Si se tuviera informacin independiente de que la media de la distribucin

muestral de la proporcin que lo aprueba fuera p= 0.6, en tanto

que la desviacin estndar fuera p=0.049, qu tan probable sera que una muestra aleatoria simple de n=100 peruanos diera

una proporcin de aprobacin de ms de 0.7?

Dado:

n = 100

p = 0.049 p= 0.6

p = 0.7

px

n

k

N

p p

n

p p

n

N n

N

p p

p

p

E

;

( )

( )

( )

1

1

1

Estadstica

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25


X

)7.0pP( :Calcular

0.7p 100n 049.0 6.0

pp

p

6.0p

?)7.0pP(

0.7



049.0)1(

6.0)(

n

ppp

pp E

Valor Z para Distribucin Muestral de proporcin

x

z

p

pp

z



Estadstica

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26


1Z

Z0Z

04.2049.0

6.07.07.0

z

0207.09793.01)04.2P( z 2.04



)7.0pP( :Calcular

0.7p 100n 049.0 6.0

pp

Es poco probable que en una muestra de 100 peruanos se encuentre que

el 70% apruebe el manejo econmico del Presidente.



Una investigacin de mercados plantea realizar una encuesta para estudiar las preferencias familiares de una nueva mantequilla. Se deseara basar la encuesta en por lo menos 500 familias que consuman mantequilla al menos ocasionalmente. Cmo se desconoce cuales son las familias que consumen mantequilla, se deber extraer una muestra suficientemente grande como para obtener dentro de ella 500 familias que consuman mantequilla. Se supone que por lo menos el 60% de las familias consumen mantequilla. Con base en esta creencia se decidi que una muestra de 1000 familias debera ser suficiente.

Cul es el nmero esperado de familias consumidoras de mantequilla en la muestra?

Cul es la probabilidad de que se obtengan menos de 500 familias consumidoras de mantequilla?

Estadstica

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27

Dado:

n = 1000

p = ? p= 0.6

p = 0.5



El nmero esperado = estimacin puntual

1

)1(

)1(

N

nN

n

pp

n

pp

p

p

familias 600 x10000.6np


X

)5.0pP( :Calcular

0.5p 1000n ? 6.0

pp

p

6.0p

?)5.0pP( 0.5



01549.01000

)6.01(6.0

)1(

p

pn

pp

Estadstica

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28

4557.601549.0

6.05.05.0

z

113859.5)4557.6P( Ez



)5.0pP( :Calcular

0.5p 1000n 01549.0 6.0

pp


1Z

Z0Z

-6.4557 113859.5)5.0pP( E

La probabilidad es muy pequea, es casi seguro que en las 1000 familias se

encuentren ms de 500 que consuman mantequilla.

Estadstica

Mtodos

Estadsticos

Estadstica

Descriptiva

Estadstica

Inferencial

Estimacin Prueba de

Hiptesis

Estadstica

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29

Proceso de Estimacin

Poblacin Muestra

Estimador

Estimacin

Poblacin

Tipos de Estimacin

Estimacin

Estimacin

Puntual Estimacin

de Intervalo

Estadstica

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30

Estimacin

Puntual

Un nmero (llamado punto) que se

emplea para estimar

un parmetro

poblacional, p.e.

media, varianza,

proporcin muestral,

etc.

De intervalo

Expresa la amplitud dentro de la cual

probablemente se

encuentra un

parmetro

poblacional

(intervalos de

confianza)

Estimacin Puntual

Estadstica de MuestraParmetro de Poblacin

Poblacin de Media Muestra de Media x

Poblacin Est. Des. Muestra Est. Des. s

22 Poblacin Varianza Muestra Varianza s

pp Poblacin de Proporcin Muestra de Proporcin

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