Estadistica_Inferencial (2)

7/22/2019 Estadistica_Inferencial (2)

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UNIVERSIDAD ANDINA

NESTOR CACERES VELASQUEZFACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN



ESTADÍSTICA INFERENCIAL APLICADA A LA EDUCACIÓN

LICENCIATURA EN EDUCACIÓN INICIAL FACE - UANCV Pág. 3

El presente texto de Estadística Inferencial Aplicada a la

Educación presentamos para los docentes participantesdel Programa de Licenciatura en Educación Inicial de laFacultad de Ciencias de la Educación, de la UANCV, yal público lector dedicado a la investigación comoherramienta de apoyo para el proceso del trabajo deinvestigación.

El propósito fundamental del texto es hacer alcancesobre las nociones de estadística inferencial, el mismo

para realizar los trabajos de investigación iniciando conetapa de planeamiento, recolección de datos,elaboración de datos, presentación de datos, y elanálisis e interpretación de los mismos.

Por lo que tiene la importancia para el desarrollo deltrabajo de investigación en el campo de la educación, enciencias sociales, y en otros campos afines.

En efecto, el presente texto se ha organizado en cincocapítulos: El primero exponemos sobre conceptosbásicos de estadística, haciendo alcance la parteteórica; en el segundo capítulo contiene medidas detendencia central y de dispersión; continuando en eltercer capítulo con el muestreo estadístico; para luegopasando a la comprobación de hipótesis; y en el último

capítulo verificando con la prueba de chi cuadrada.Finalmente presentamos autoevaluación y tablasrespectivas.

LOS DOCENTES





INDICE Pág.

CAPITULO ICONCEPTOS BÁSICOS DE ESTADÍSTICA1.1. Introducción 061.2. Concepto de Estadística: Descriptiva e

Inferencial 061.3. La Estadística en el proceso de investigación 081.4. Variables Estadísticas 10

CAPITULO II

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DEDISPERSIÓN

2.1. Distribución de frecuencias 162.2. Organización de tablas 182.3. Representaciones gráficas 192.4. Medidas de tendencia central 212.5. Medidas de dispersión 282.6. Medidas de posición o cuantiles 33

CAPITULO IIIMUESTREO ESTADISTICO

3.1. Introducción al muestreo 383.2. Etapas de un estudio por muestreo 393.3. Tipos de muestras 413.4. Inferencia estadística 453.5. Error estándar de la media 45

CAPITULO IVCOMPROBACION DE HIPÓTESIS

Introducción 474.1. Comprobación de hipótesis referentes a la media

de una población. 584.2. Prueba de hipótesis para dos medias de población

(muestras grandes) 71





4.3. Comprobación de hipótesis referentes ala proporción de una población. 74

4.4. Prueba para la comparación de dos proporcionespoblacionales. 774.5. Pruebas de hipótesis con muestras pequeñas. 814.6. Prueba para la media de la población

(Muestras pequeñas) 824.7. Prueba para comparar dos medias poblacionales

independientes (muestras pequeñas). 854.8. Prueba para comparar dos medias poblacionales

dependientes (muestras pequeñas). 90

CAPITULO VPRUEBAS DE CHI CUADRADA

5.1. Características de la distribución 965.2. Pruebas de bondad y ajuste (de homogeneidad) 965.3. Pruebas de bondad y ajuste: frecuencias

desigualmente esperadas (de independencia). 1005.4. Limitaciones de la Ji Cuadrada 104

5.5. Análisis de cuadros de contingencia 105 Autoevaluación 109Tablas 111Bibliografía 115





CAPITULO I

CONCEPTOS BÁSICOS DE ESTADÍSTICA

1.1. Introducción

En cuanto al origen etimológico de la palabra“estadística” existen diferentes opiniones y referencias.Para algunos viene de la voz griega STATERA quesignifica “balanza”, otros sostienen que deriva del latínSTATUS que implica “situación”, mientas que algunos

autores afirman que procede del alemán STAAT quesignifica “estado”, porque la función tradicional de losgobiernos centrales y del estado es y ha sido llevar lacuenta de la cantidad de habitantes, nacimientos,defunciones, empleo y desempleo, producción,impuestos, cantidad de empresas, costo de vida ymuchas otras características de nuestra sociedad.

La evolución y el desarrollo de la estadística en elmundo actual ha superado el significado etimológico dela ciencia; la estadística constituye en la actualidad unvalioso instrumento de decisión en todas las situacionesde la vida, desde el hogar hasta la política regional,nacional y mundial; pues, muchas actividades estánrelacionadas con la estadística y muchas ocupacionesimplican el uso del método estadístico.

1.2. Concepto de Estadística: Descriptiva eInferencial.

Es tadísti ca : es la ciencia que tiene por objeto derecolectar, organizar, resumir, presentar, analizar einterpretar datos en forma adecuada, con el fin deobtener conclusiones y para la toma de mejoresdecisiones sobre determinados hechos o fenómenos en





estudio. De acuerdo a esta definición podemos clasificarla estadística en:

Estadístic a Descri pt iva : es un conjunto de métodospara organizar, analizar y presentar datos de manerainformativa. Es decir, cuando sólo se analiza y describelos datos; y utiliza el método deductivo en el análisis,que se puede aplicar las generalidades a las partes; ej.Hasta tablas y gráficos.

Estadístic a Inferen cial : conjunto de métodos utilizados

para recolectar, organizar, presentar, analizar einterpretar datos de una población basándose en unamuestra. La inferencia estadística utiliza el métodoinductivo en el análisis, que consiste en conocer lapoblación, en base a sus particularidades (muestras).

1.3. La Estadística en el proceso deinvestigación.

A lo largo de la historia de la Ciencia han surgidodiversas corrientes de pensamiento tales como: elEmpirismo, el Materialismo Dialéctico, el Positivismo, laFenomenología y el Estructuralismo, las cuales hanoriginado diversas rutas en la búsqueda delconocimiento. Sin embargo, debido a las diferentespremisas que sustentan, desde la segunda mitad del

siglo XX tales corrientes se han polarizado en dosenfoques principales: el cualitativo y el cuantitativo.

Así, la investigación científica se divide en dos grandesenfoques:

Enfoque cualitativo: utiliza recolección de datos sinmedición numérica para descubrir o afinar preguntas de





investigación y puede o no probar hipótesis en suproceso de interpretación.

Enfoque cuantitativo: usa recolección de datos paraprobar hipótesis con base en la medición numérica y elanálisis estadístico para establecer patrones decomportamiento.

Para generar conocimiento el enfoque cuantitativo sefundamenta en el método hipotético – deductivo,considerando las siguientes premisas:

a) Delinea teorías y de ella deriva hipótesis osupuestos.

b) Las hipótesis se someten a prueba para saber sison generalizables para poblaciones específicasy en contextos dados.

c) Si los resultados corroboran la hipótesis seaporta evidencia a su favor, si los resultados dediversas investigaciones aportan evidencia afavor de las hipótesis se genera confianza en lateoría que las sustenta.

Investigación

Científica

Enfoque

Cualititativo

Enfoque

Cuantitativo





promedios obtenidos al finalizar un año académico, y elnúmero de hijos por familia en el Departamento de

Puno.Las variables cuantitativas se clasifican a su vez envariables discretas y continuas. Las variables discretassólo pueden asumir ciertos valores (generalmentenúmeros enteros) y suele haber “huecos” entre losvalores. Por ejemplo el número de aulas en unaInstitución Educativa (1, 2, 3, etc.), el número deprofesores de una determinada especialidad (3, 8, 12,

etc.), el número de estudiantes en cada grupo deEstadística (6, 15, 30, etc.). Obsérvese que el númerode aulas de una Institución Educativa puede ser 3, 4 ó 5,pero no puede ser 4.78. Hay un “hueco” entre losvalores posibles (entre 3 y 4 por ejemplo).

Las variables continuas pueden asumir cualquier valordentro de un rango específico. Ejemplos de variables

continuas son la talla de los estudiantes del 6to. Grado ola distancia entre las ciudades de Puno y Arequipa (que,según la exactitud con que se mida puede ser de 355km, 355.2 km, o 355.255 km). Otros ejemplos puedenser el peso de los alimentos que consumen losestudiantes (10.5 Kg.) o el tiempo transcurrido de llegarde su vivienda a las aulas (0.5 Horas). Todos estosdatos serán expresados con decimales. Las variables

continuas son, por lo regular, el resultado de medir algoy no existen “huecos” entre los valores posibles.





Escalas de medición

Las variables también se pueden clasificar de acuerdo alas escalas de medición. Las escalas de mediciónindican, con frecuencia, qué cálculos se pueden realizarpara resumir y presentar los datos y qué pruebasestadísticas pueden llevarse a cabo. Por ejemplo, si enuna bolsa de caramelos hay dulces de 4 colores.

Supóngase que a los amarillos se les asigna el número1 para identificarlos, a los azules el 2, a los rojos el 3 y alos morados el 4. Se suman los valores asignados a losdulces de la bolsa y se divide entre el número de dulcesy se dice que el color promedio es 3.56 ¿significa estoque el color promedio es morado rojizo?. En esteejemplo no se han usado correctamente las escalas demedición.

Variables

Cuantitativas

Discretas

Continuas

Cualitativas

Ordinal

Nominal

De intervalo

De razon





Existen cuatro niveles en la escala de medición: a)nominal, b) ordinal, c) de intervalo, y d) de razón. El nivel

más bajo en la escala es nominal, el más alto o el quenos da más informaciones el de razón.

a) Variables de nivel nominal. Las observacionesúnicamente se pueden clasificar o contar. No hayun orden particular para cada clase. Laclasificación de los caramelos por colores puedeser un ejemplo de nivel de medición nominal.Clasificamos los dulces sólo por su color y

podemos tomar primero los morados, los azules,o los de cualquier otro color; no hay un ordennatural. Las categorías que se establecen sonmutuamente excluyentes; es decir, un dulce nopuede ser rojo y azul a la vez. Otra característicade estas categorías es que son colectivamenteexhaustivas; es decir, que todos los dulcesdeben pertenecer a una categoría, en una bolsa

de caramelos no puede haber un dulce que nosea rojo, ni azul, ni amarillo, ni morado, ya quesólo existen esos colores.

b) Variables de nivel ordinal. El siguiente nivel es elordinal. Tiene todas las características del nivelnominal (sus categorías son mutuamenteexcluyentes y colectivamente exhaustivas).

Adicionalmente, sus valores tienen un orden

lógico natural. Por ejemplo, supóngase que unprofesor de estadística es evaluado por susalumnos al final del curso, la pregunta que se leshace es ¿En general, como califica usted almaestro de esta clase?. Las opciones son“excelente”, “bueno”, “aceptable”, “malo” y“pésimo”. Cada categoría es más alta o mejorque la siguiente, “excelente” es mejor que“bueno” y así sucesivamente. Sin embargo no se





Escalas de medición

Característicasque tiene Características que notiene

Ejemplo

Nominal

Son mutuamenteexcluyentes.

Son exhaustivas.

Noestablecenun orden.

Color Raza Sexo Estado civil

Ordinal Son mutuamenteexcluyentes.

Son exhaustivas. Establecen un

orden.

La distanciaentre cada

valor no esmedible.

Escalas debueno,

regular ymalo.

deIntervalo



orden. La distancia

entre cada valores igual.

El cero noindica laausencia delvalor que semide, esarbitrario.

Latemperatur a, 0° noindica queno hayatemperatur

a. Coeficiente

deInteligencia

deRazón



orden. La distancia

entre cada valores igual.

El cero indica laausencia delvalor que semide, esabsoluto.

El dinero,S/. 0.00indica queno haydinero.





Generalmente el resultado de la fórmula seredondea a algún número adecuado, como por

ejemplo un múltiplo de 10 o de 100.

3) Fijar los límites de cada clase. Se trata de fijarlos límites de cada clase de modo que cadaobservación se pueda colocar sólo en una clase.Se deben evitar los límites de clase que seanpoco claros o que se sobrepongan.

4) Poner una marca por cada observación quequede en cada clase.

5) Contar en número de observaciones en cada

clase (frecuencia de clase)

La frecuencia relativa se obtiene dividiendo la frecuenciade clase entre el total de datos (n). La frecuenciaporcentual se obtiene multiplicando la frecuencia relativapor 100.

Ejemplo:

Se tiene los siguientes datos:Edades de los estudiantes de la Especialidad deMatemática, de la UANCV.

18 21 22 18 19 17 20 19 22 1925 26 18 17 23 21 23 20 18 19

1. Calculamos el número de clases o intervalos.

Entonces el número de clases será de 5





2. Ahora calcularemos la Amplitud

3. Empezamos a construir nuestra distribución defrecuencias.

Nro. [Li – Ls> xi Tarjas f i Fi 1 17 – 19 18 ///// / 6 62 19 – 21 20 ///// / 6 12

3 21 – 23 22 //// 4 164 23 – 25 24 // 2 185 25 – 27 26 // 2 20

20

2.2. Organización en tablas

Para una mejor representación de los datos obtenidos

se construye una tabla de datos, lo cual simplifica todala información y nos muestra de manera agradable.Se debe consideras algunos aspectos como el númerode la tabla, titulo, cuerpo, fuente y elaboración.

Para nuestra ilustración usaremos el cuadro defrecuencias anterior.

Tabla Nro. 01Puno: Edades de los estudiantes del 4to semestre de la

especialidad de Matemática - FACE 2011 – I





Edades Frecuencia Porcentaje (%)17 – 19 6 30

19 – 21 6 3021 – 23 4 2023 – 25 2 1025 – 27 2 10TOTAL 20 100Fuente: Ficha de observaciónElaboración: El docente.

2.3. Representaciones gráficas.

Las representaciones gráficas de las distribuciones defrecuencia, se hacen por lo general con llamadasgráficas de barras (en las que las clases se indican en eleje horizontal y las frecuencias de clase en el ejevertical) o con gráficas de pie, especialmente utilizadaspara mostrar las frecuencias porcentuales.

Gráfico de Barras

0

2

4

6

1 2 3 4 5

F r

e c u e n c i a

Grupo de edades





Este tipo de grafica normalmente se utiliza paravisualizar las frecuencias absolutas, es decir los datos

numéricos.Grafico circular

Para el caso de gráfico circular mayor mente lo

utilizaremos para ver los porcentajes, puesto que enforma equitativa distribuye en base al círculo.

Gráfico de líneas

30%

30%

20%

10%10% 1

2

3

4

5

0

1

2

3

4

5

6

7

1 2 3 4 5

F r e c u e n c i a

Grupo de edades





Para casos de seguimiento, donde se requiere estudiarsi se está mejorando o empeorando usaremos este tipo

de gráfico. Gráfico de dispersión

El caso de dispersión es para ver qué tan distantes seencuentran nuestros datos.

Es importante mencionar que si bien, lasrepresentaciones gráficas sirven para dar una visiónrápida de la forma en que se comportan los datos,también pueden ser utilizadas (dependiendo de cómo seconfiguren) para dar una idea equivocada de lainformación que se quiere presentar.

2.4. Medidas de tendencia central

El propósito de cualquier medida de tendencia central esindicar con precisión el centro de un conjunto deobservaciones. Algunas de las medidas de tendenciacentral más comunes son la media aritmética, lamediana y la moda.

0

1

2

3

4

5

6

7

0 1 2 3 4 5 6

F r e

c u e n c i a

Grupo de edades





Media aritmética

La media aritmética es probablemente la medida detendencia central más importante, en tato es la másutilizada. También se le llama promedio y la vemosaplicada a diario en casi todos los espacios y mediodedicados a brindar información. Algunos ejemplospuedan ser el promedio de notas obtenidas por unestudiante durante un año académico, el salariopromedio de los empleados de una InstituciónEducativa, el promedio de edades de los estudiantes de

un nivel determinado, etc.

Definida formalmente, la media aritmética es la suma detodos los valores de una muestra o población divididaentre el número de valores de la población o muestra.Cuando lo que se calcula es la media de una población,ésta se representa con la letra griega ( ). Por otro lado,cuando lo que se calcula es la media de una muestra,

ésta se representa con ( ). Así, las fórmulas son comosigue:

Media poblacional ∑

Dónde:

= Media poblacional

= Representa cualquier valor particular

= Número de individuos en la población∑ = Indica la operación de adición

Media muestral ∑

Dónde: = Media poblacional

= Representa cualquier valor particular





- Todo conjunto de datos ordinales, deintervalo o de razón tienen una mediana.

-

Un conjunto de datos sólo tiene unamediana.- A la mediana no le afectan valores

extremadamente grandes niextremadamente pequeños, por eso esespecialmente útil cuando se tienen estosvalores.

Ejemplo:

Para datos no agrupados

Tenemos las siguientes notas:

12 16 12 11 15 18 14 12 16 15

Como primer paso tenemos que ordenar los datos de

menor a mayor.

11 12 12 12 14 15 15 16 16 18

Una vez ordenado ubicamos el valor que este al centroo al medio. En nuestro caso tenemos dos valores, paralo cual se debe sumar ambos y dividir entre dos.

Entonces tenemos como media la nota de 15.

Para datos agrupados





Tenemos los siguientes datos:

Nro. [Li – Ls> xi f i Fi 1 17 – 19 18 6 62 19 – 21 20 6 123 21 – 23 22 4 164 23 – 25 24 2 185 25 – 27 26 2 20

20

Usaremos la siguiente formula

Primeramente tenemos que ubicar un intervalo, para locual dividimos:

Entonces, ubicamos el intervalo según la siguientecondición:

Elegimos el segundo intervalo.Reemplazamos los datos en la fórmula:





Por lo tanto se tiene una edad media de 20.

Moda

La moda es el valor que aparece con más frecuencia enun conjunto de datos. La moda es especialmente útilpara encontrar el punto central de un grupo de datos detipo nominal u ordinal.

Algunas características de la moda son:

- Se puede determinar la moda en grupos dedatos de todos los niveles (nominales,ordinales, de intervalo y de razón).

- Puede existir más de una moda para cadagrupo de datos.

- A la moda no le afectan valoresextremadamente grandes niextremadamente pequeños, por eso esespecialmente útil cuando se tienen estosvalores.

Ejemplo:


Se tiene las siguientes notas:

12 16 12 11 15 18 14 12 16 15

Para el caso de la moda es solamente determinar cuáles el valor que más se repite.





En nuestro caso se puede ver que el valor 12 es el másque se repite. Por lo tanto la moda será la nota 12.


Tenemos:

Nro. [Li – Ls> x i f i F i

1 17 – 19 18 6 62 19 – 21 20 6 123 21 – 23 22 4 164 23 – 25 24 2 185 25 – 27 26 2 20

20

Como en el caso de la mediana también tenemos queubicar el intervalo con el que se calculara.

Ahora usaremos la siguiente fórmula:

La moda es de 19 años.

2.5. Medidas de dispersión

Las medidas de dispersión se utilizan para obtenerinformación complementaria a las medidas de tendenciacentral y miden la forma como se distribuyen los datosque integran una población o muestra. Así, el rango sebasa en la localización de los valores mayor y menor de





un grupo de datos, y la varianza y la desviación estándaren las desviaciones de cada uno de los datos que

integran la población o muestra con respecto de sumedia.Varianza

La varianza es una de las medidas de tendencia centralmás reportadas, y como ya se mencionó, se basa en ladiferencia entre el valor de cada observación y la media.En términos conceptuales la varianza es la mediaaritmética de las desviaciones de la media elevadas al

cuadrado.

Cuando lo que se calcula es la varianza de unapoblación, ésta se representa con la letra griega “”(elevada al cuadrado), y cuando lo que se calcula es lavarianza de una muestra se representa con la letra “”(también elevada al cuadrado). Las fórmulas paracalcular cada una son como sigue:

Varianza poblacional ∑

Varianza muestral ∑ ̅

(Formula conceptual)

Varianza muestral ∑ ∑ (Formula operacional)

Es importante resaltar que la fórmula de la varianzamuestral para cálculos tiene la ventaja de que no senecesita calcular la media para obtenerla.





Ejemplo:


Se tiene las notas de 10 estudiantes y se necesitacalcular su varianza.12 13 11 15 1611 12 15 18 13

∑ ∑

Entonces:

Por lo tanto reemplazamos

Asi, verificamos que tenemos una varianza de 5,38.






Usando los datos del ejemplo anterior tenemos:

Nro. [Li – Ls> x i f i f i x i f i x i 2

1 17 – 19 18 6 108 19442 19 – 21 20 6 120 24003 21 – 23 22 4 88 19364 23 – 25 24 2 48 11525 25 – 27 26 2 52 1352

20 416 8784

∑ ∑

Reemplazando tenemos:

Finalmente tenemos una varianza de 6,91

Desviación estándar

La varianza tiene la desventaja de que sus valores sondifíciles de interpretar ya que están expresados en launidad de medida de los datos que integran la poblacióno muestra al cuadrado (p.e. litros al cuadrado, metros alcuadrado, años al cuadrado, etc.) Resulta obvio pensar





Concluimos que el C.V. = 12.64%, lo que nos indica quetenemos una variación moderada.

2.6. Medidas de Posición o CuantilesSon estadígrafos que dividen a una distribución defrecuencia de datos en otras proporciones y no solo enmitades como lo hace la mediana. Los cuantiles ocuantilas más usados en el análisis estadístico, son:Cuartiles, quintiles, deciles y percentiltes; los cuantilesse usan frecuentemente para describir elcomportamiento de una población; los valores en la

distribución de frecuencias se dan en términos deporcentaje.

Los Cuartiles

Los cuartiles dividen a un conjunto de observaciones encuatro partes iguales. Denotados por “Qn”,representando gráficamente, tenemos que:

Q1 Q2 Q3 /------------/----------------/----------------/---------------/

Xmín 25% 25%

25% 25% Xmáx

El primer cuartil al que se llama Q1 es el valor por debajodel cual se encuentra el 25% de las observaciones,iguales o menores a él, y 75% superiores a él; elsegundo cuartil o Q2 es igual a la mediana; y el tercercuartil o Q3 es el valor por debajo del cual se encuentrael 75% de las observaciones, inferiores o iguales a él, y25% de éstas superiores a él.Cuyas fórmulas son:

+ c. ∑ – ∑ ; Donde:





∑

∑

+ c. ∑ – ∑ ; y + c. ∑ – ∑ Ejemplo:

Teniendo una distribución de frecuencia “X” (cuadro) delos 80 trabajadores según sus haberes. Determinarcuartiles Q1,Q2 y Q3.

Haberes Nro detrabajad f i

Nro acumuladode trabajad Fi

90 – 120 11 11

120 – 150 13 24150 – 180 20 44180 – 210 17 61210 – 240240 – 270270 - 300

1531

767980

TOTAL n = 80Fuente: Ficha de observaciónElaboración: El investigador.

i). Cálculo de Q1.Datos:

∑ ; entonces: + c. ∑ – ∑

∑

*

+





* +

El Q1 implica que el 25% del total de trabajadores, esdecir 20 de ellos tienen haberes inferiores o iguales a140.80 dólares y los 60 restantes, o sea el 75% detrabajadores, tienen haber superior a 140.80 dólares.

ii). Cálculo de Q2.Datos:

∑ ; entonces: + c. ∑ – ∑

∑

*

+

*+

Es decir, que el segundo cuartil determina que el 50%de los trabajadores ganan como máximo 174 dólares.De la misma forma se puede hallar el Q3.

Quintiles “Kn”

Son estadígrafos de posición que dividen al total de lasobservaciones en cinco partes iguales, es decir, que





entre dos quintiles consecutivos se encuentre no másdel 20% del total de las “n” observaciones.

K1 K2 K3 K4 /------------/--------------/---------------/--------------/----------------/

Xmín

Xmáx

Las fórmulas y el procedimiento técnico para calcular lasquintiles con datos agrupados es el mismo que seemplea para los cuartiles, con la única diferencia que sedivide la sumatoria de frecuencia entre 5. Su fórmula es:

+ c. ∑ – ∑ ; … y

+ c. ∑ – ∑ Deciles “Dn”

Los deciles dividen a un grupo de datos en diez partesiguales, significa que cada decil representa el 10% delas observaciones.

D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 /-----/--------/-------/--------/--------/--------/--------/--------/-------/-------/

…………………………

Cuya fórmula es: + c. ∑ – ∑ Ejemplo: Considerando el cuadro anterior, calcular: D6.

Solución:Datos:





∑ ; entonces:

+c.

∑

– ∑

∑ * + * +

Significa que el 60% de los trabajadores tienen haberesiguales o inferiores a 187.1 dólares.

Percentiles. “Pn”

Son valores que dividen la muestra ordenada en formaascendente o descendente en 100 partes iguales, ycada percentil representa el 1% de los datos. Se aplicancuando existen numerosos valores de la variable conuna alta frecuencia total.

P1 P2 P3 ………………P50………………..P98 P99 /----/----/------/---------------------/-----------------------/----/-----/

Cuya fórmula y procedimientos es el mismo de lasanteriores, con la diferencia de que se divide lasumatoria de frecuencias entre 100.

+ c. ∑ – ∑ ; n = 1,2,…,99.





CAPITULO III

MUESTREO ESTADISTICO

3.1. Introducción al muestreo

Una vez definida el problema a investigar, formuladaslas hipótesis, determinadas las dimensiones eindicadores de las variables y delimitado el campo deinvestigación, se hace otra opción antes de iniciar con eltrabajo de campo, que es el muestreo.

El muestreo es el proceso de extracción de unamuestra; el objeto del muestreo es seleccionar unamuestra que represente a toda la población entera,ya que a partir de la muestra se estimará lascaracterísticas de la población que no se conoce.

Población : es un conjunto de todos los elementos(unidades de análisis) que pertenecen al ámbito espacialdonde se desarrolla el trabajo de investigación.Muestra : es una parte o subconjunto, representativo dela población debidamente seleccionada.

¿Por qué tomar una muestra en lugar de estudiar atodos los elementos de una población? La principalventaja de tomar una muestra consiste en que –si el

diseño muestral se ha realizado cumpliendo losrequisitos de aleatoriedad – una vez teniendoinformación de ella se pueden generalizar esosconocimientos a toda la población, con lo que sedisminuyen los costos y tiempos necesarios para larealización del estudio





Algunos ejemplos pueden ser los siguientes: Se deseaaplicar una nueva estrategia de enseñanza, realizar el

estudio a toda la población de estudiantes de Puno seríamuy tedioso, para ello solo se selecciona una muestrade algunas Instituciones Educativas. Para determinar lasintenciones de voto de una futura elección estudiantil esnecesario tomar una muestra de los estudiantesmatriculados debido al alto costo de encuestar a milesde estudiantes antes de una elección.

3.2. Etapas de un estudio por muestreo

Las etapas de un estudio por muestreo son lassiguientes:

a) Planeación del estudio. Consiste en establecerlos objetivos del estudio y la forma en que sepropone llegar a ellos.

b) Selección del método adecuado de muestreo. Esdecir, si el muestreo será probabilístico o noprobabilístico

Muest ra pro bab ilíst ica : muestra seleccionadade tal forma que cada elemento de la poblacióntiene la misma probabilidad (distinta de cero) de

ser escogidos en la muestra.

Muestr a no probabilíst ica : la elección de loselementos no depende de la probabilidad, sinode causas relacionadas con las característicasdel investigador o del que hace la muestra.

c) Determinación del error de muestreo. Consisteen determinar el margen de error aceptado en el





Y para calcular sub muestras, se calcula mediante latécnica estratificada de fracción de grupos a partir de las

sub poblaciones por cada Institución Educativa. ; e). Selección de los sujetos que integrarán la

muestra. Consiste en designar y contactar a loselementos que integrarán la muestra.

f). Recopilación de la información. Consiste en aplicarlos cuestionarios o realizar los experimentosque son objeto del estudio.

g). Cálculo de las inferencias o estimaciones. Consiste en elaborar las pruebas estadísticas que sehayan definido en la planeación del estudio a fin dellegar a la consecución de los objetivos del mismo.

h). Presentación de resultados. Consiste en prepararun reporte o presentación de modo que lasconclusiones del estudio sean fácilmente utilizablespara la toma de decisiones.

3.3. Tipos de muestras

Existen básicamente dos clases de muestras: muestraprobabilístico o no probabilístico.





Muestreo aleatorio simple . Es una muestraseleccionada de modo que cada uno de los elementos opersonas de la población tengan las mismasposibilidades de ser incluido en la muestra. La selecciónde los individuos puede hacerse utilizando una tabla de

números aleatorios, una tómbola, o bien un software decomputación que cuente con esa función.

Muestr eo aleator io s is temático . Es la muestra que sedetermina y selecciona tomando un número de lapoblación, que corresponde al resultado de dividir lapoblación entre el tamaño de la muestra. Ejemplo, si setiene una población de 9000 docentes de EBR y unamuestra de 500, entonces se divide 9000 entre 500 y se

Probabilistico

Aleatorio

simpe

Aleatorio

sistemático

Aleatorio

estratificado

Por

conglomerados

No Probabilistico

A jucio

Por

conveniencia





obtiene 18. Esto implica que tenemos que tomar de lapoblación (nómina de docentes con sus respectivos

números) un docente por cada 16 números, hastacompletar 500, que es el tamaño de la muestra. K = N /n,en donde K = un intervalo de selección sistemática.

Muestreo aleatorio estrat i f icado . Se divide unapoblación en subgrupos llamados estratos y seselecciona una muestra de cada uno de ellos.

Muestreo por con glomerados . Se divide la población

en subgrupos llamados conglomerados (unidadesprimarias) y se selecciona una muestra aleatoria deestas, posteriormente se toma una muestrarepresentativa de los conglomerados seleccionados.Los tipos de muestreo no probabilísticas suponen unprocedimiento de selección informal y un poco arbitrario.

Distribuciones muestrales

Antes de hablar de las distribuciones muestrales espreciso conocer un concepto fundamental para sucomprensión: “el error de muestreo”. Como ya se mencionó, la característica principal delmuestreo aleatorio es que todos los elementos de lapoblación tengan la misma probabilidad de ser incluidosen la muestra. Para lograr esto, se puede seleccionaruna muestra aleatoria simple, una muestra sistemática,

una muestra estratificada, una muestra porconglomerados o una combinación de estos métodos.Sin embargo lo más probable es que la media de lamuestra no sea idéntica a la media de la población.

Asimismo, la desviación estándar o cualquier otroparámetro que se calcule de la muestra muyprobablemente no serán idénticos al cálculo que sehaga con base en la población.





El error de muestreo, entonces, es igual a la diferenciaentre un estadístico de la muestra y el parámetro

poblacional correspondiente.Supón por ejemplo que las calificaciones del primerperíodo de exámenes en la materia de estadística II deun grupo de cuatro estudiantes son de 97, 100, 99 y 85.Del mismo modo, supón que se toma una muestraaleatoria de dos estudiantes cuyas calificaciones son 97y 99. La media de la muestra sería 98, que se obtienemediante (97+99)/2. Otra muestra de dos calificaciones

podría ser 100 y 85, con una media de 92.5. La mediade todas las calificaciones (media de la población) sería95.25, que se encuentra mediante (97+100+99+85)/4.

En este caso el error de muestreo de la primera muestrasería –2.75, que se obtiene mediante la siguientefórmula (la media de la población menos la media de lamuestra):

Donde: = media de la población = media de una muestraPara la segunda muestra, el error de muestreo sería de2.75, que se encuentra mediante (95.25 – 92.5).

Ambas diferencias (-2.75 y 2.75) son el error que secomete al estimar la media de la población medianteuna media de la muestra, y estos errores de muestreose deben al azar. El tamaño de estos errores variará deuna muestra a otra.





3.4. La inferencia estadística

Como ya se ha mencionado la inferencia estadística serefiere a obtener información válida para una poblaciónentera a partir del estudio o análisis de una muestra. Unejemplo de este tipo de inferencia son las estimacionesde parámetros de la población a partir de parámetros dela muestra.

3.5. Error estándar de la media

Hasta ahora hemos hecho de cuenta que se tieneinformación de primera mano acerca de la distribuciónmuestral de las medias. Si así fuera sería una tarea muysimple hacer generalizaciones para una población, yaque la media de las medias toma un valor que es igual ala verdadera media de la población.

Sin embargo, como pueden imaginarse, un investigador

rara vez recoge datos sobre más una o dos muestras.Calcular una distribución muestral de medias requieretodo el esfuerzo (y el costo) de estudiar a cada uno delos miembros de una población, con lo que perdería todoel sentido el proceso del muestreo.

Entonces, si el investigador sólo tiene información deuna muestra, no tiene un conocimiento real sobre la

media de las medias ni sobre la desviación estándar dela distribución muestral. Sin embargo sí existe un buenmétodo para estimar la desviación estándar de ladistribución muestral de medias sobre la base de losdatos recogidos en una sola muestra. Esta estimaciónse conoce como el error estándar de la media y sepuede calcular con la siguiente fórmula:





Error estandar de la media

√

Donde:

= Error estándar de la media (una estimación de ladesviación estándar de la distribución muestral

de las medias)= Desviación estándar de una muestra= Tamaño de la muestra

Este cálculo es conocido también como un estimador puntual .

Estimador puntual. Valor que se calcula a partir de la

información de la muestra y que se usa para estimar elparámetro de la población.





CAPITULO IV

COMPROBACIÓN DE HIPÓTESIS

Introducción

En los temas anteriores iniciamos el estudio de lainferencia estadística. Describimos la forma deseleccionar una muestra aleatoria y, con base en ésta,estimar el valor de un parámetro de la población. Eneste tema continuaremos con el estudio de la inferencia

estadística. Sin embargo, en lugar de calcular un rangode valores dentro del cual se espera que se encuentre elparámetro de la población, se realizará una prueba dehipótesis acerca de una afirmación sobre un parámetrode la población. Algunos ejemplos de afirmaciones quese podrían probar utilizando pruebas de hipótesis son:

- El promedio de notas de los estudiantes de

estadística es de más de 16.- Una familia típica vive en el mismo domicilio

durante más 16.5 años.- El salario inicial promedio para los egresados de

las carreras de educación es de S/. 1,200 al mes.- La aplicación de una nueva estrategia al grupo

experimental es mejor que el grupo control.-

De esta manera comenzaremos por establecer algunasdefiniciones.

Hipótesis : Enunciado acerca de un parámetro de lapoblación, que se desarrolla con el propósito de realizarpruebas.

Una vez que se ha establecido una hipótesis, se utilizanlos datos para verificar que tan razonable es dicha





cercana a 2.5 para aceptar como razonable laafirmación de que la media poblacional es de 2.5 horas?

¿Se puede atribuir la diferencia de 0.5 horas entre lasmedias al error de muestreo, o bien esta diferencia essignificativa desde el punto de vista de la estadística?

A continuación se propone y explica un procedimientode 5 pasos para probar una hipótesis.

Paso 1. Plantear la hipótesis nula (H0) y la hipótesisalternativa (H1)

El primer paso consiste en establecer la hipótesis que seprueba. Se le conoce como hipótesis nula y se ledesigna con H0. La letra H significa hipótesis y el sub-índice cero supone “sin diferencia”; es decir, la hipótesisnula supone que no hay diferencia entre el parámetro de

la población y el de la muestra.

Establecer lashipótesis

nula y alterna

Seleccionar unnivel de

significancia

Identificar ycalcular la

estadística deprueba

Formular laregla dedecisión

Tomar unadecisión

No rechazarH0

Rechazar H0

yAceptar H1

Paso 1

Paso 4

Paso 5

Paso 2

Paso 3





Hipótesis nula: Una afirmación que establece que nohay diferencia significativa entre el valor de un

parámetro de la población y el valor de un parámetro dela muestra.

Como ejemplo tenemos que el nivel de inteligencia delos estudiantes del primer semestre es de 110 según eltest aplicado. Esto se escribiría así:

H0:μ = 110

Hablando en términos generales, se plantea la hipótesisnula para el propósito de la prueba; es decir, paraaceptarla o para rechazarla. La hipótesis nula no serechaza a menos que los datos de la pruebaproporcionen evidencia convincente de que es falsa.

Es muy importante decir que si no se rechaza lahipótesis nula con base en los datos de la muestra, eso

no quiere decir que la hipótesis nula sea verdadera,únicamente significa que no fue posible rechazar lahipótesis nula con base en lo datos disponibles. Por lotanto, la hipótesis nula no se puede aceptar.

Para demostrar sin lugar a dudas que la hipótesis nulaes verdadera sería necesario conocer el parámetro de lapoblación; es decir, se tendría que practicar un censo

para conocer el parámetro de la población sobre el quese está haciendo una afirmación. Por lo regular esto noes posible, por ello la alternativa consiste en tomar unamuestra.

También es preciso enfatizar que generalmente unahipótesis nula comienza con o contiene la siguienteafirmación: “No existe diferencia significativa entre...”





De esta manera el planteamiento formal de la hipótesisnula del ejemplo anterior sería el siguiente:

H0: El promedio de notas alcanzado por los estudiantesde estadística no tiene diferencia significativa con16puntos.

La hipótesis alternativa, por su parte, describe laconclusión a la que se llegará si se rechaza la hipótesisnula. Se designa con H1 y también se conoce comohipótesis de investigación. La hipótesis alternativa se

acepta si los datos de la muestra proporcionan evidenciaestadística suficiente para afirmar que la hipótesis nulaes falsa.

Hipótesis alternativa: Una afirmación que se acepta silos datos de la muestra proporcionan evidenciasuficiente de que la hipótesis nula es falsa.

Un ejemplo que ayudará a clarificar lo que significan lahipótesis nula y la hipótesis alternativa es el siguiente:Un artículo reciente publicó que el promedio de ingresofamiliar es de S/. 800.00 Para realizar una pruebaestadística sobre esta afirmación, el primer pasoconsiste en determinar la hipótesis nula y la hipótesisalternativa.

H0: μ = 800 soles H0: El promedio de ingreso familiar es de S/. 800.00H1: μ ≠ 800soles H1: el promedio de ingreso familiar es de S/. 800.00





Paso 2. Seleccionar un nivel de significancia.

Luego de establecer la hipótesis nula y alternativa, elsiguiente paso consiste en definir el nivel designificancia.

Nivel de significancia: La probabilidad de rechazar lahipótesis nula cuando es verdadera. Probabilidad decometer el error de tipo I.

El nivel de significancia se designa con

, la letra griega

alfa. Se le conoce también como nivel de riesgo. Se leconoce así porque, como se expresa en la definición,representa el riesgo que se asume de rechazar lahipótesis nula cuando ésta es verdadera.

No hay un nivel de significancia que se aplique a todaslas pruebas. De hecho es un valor que se deja al criteriodel investigador. De manera convencional se asigna un

nivel de significancia de 0.10 para encuestas políticas,de 0.05 (5 por ciento) a los proyectos de investigaciónde artículos de consumo o de ciencias sociales y de0.01 para el aseguramiento de calidad o para estudiosmédicos.

Así, el investigador debe decidir el nivel de significanciaantes de formular una decisión y de recolectar datos

sobre la muestra.Para ilustrar como se puede rechazar una hipótesis nulacuando es verdadera pondremos el siguiente ejemplo:Supón que la política de aceptación de embarques enun almacén de una empresa que se dedica a armarcomputadoras personales es que “El Departamento deControl de Calidad tomará una muestra aleatoria detodos los embarques que se reciban. Si más del 6% de





los artículos están por debajo de la norma, el embarqueserá rechazado”.

El día de hoy se recibió un lote de 4,000 tarjetas madredel proveedor Deltron.

H0: El porcentaje de artículos defectuosos del embarquees 6% o menos.H1: El porcentaje de artículos defectuosos del embarquees más de 6%.

Se toma una muestra de 50 tarjetas madre y seencuentra que 4 de ellas son defectuosas, es decir un8%. El embarque se rechazó porque excedía el valormáximo de 6% de artículos por debajo de la norma. Simás del 6% de la totalidad del embarque estabadefectuoso, entonces la decisión de rechazarlo fuecorrecta.

Supongamos, sin embargo, que las cuatro tarjetasseleccionadas en la muestra eran las únicasdefectuosas en todo el embarque de 4,000. Entoncessólo el 0.1% estaba defectuoso. En ese caso menos del6% del embarque estaba por debajo de la norma y elrechazo del embarque fue un error.

En términos de prueba de hipótesis, se rechazó la

hipótesis nula de que el embarque estaba por debajo dela norma cuando éste debió aceptarse. Al rechazar unahipótesis verdadera, se cometió un error de tipo I ().

Error de tipo I: Rechazar la hipótesis nula, H0, cuando esverdadera.





Por ejemplo, con base en la gráfica anterior, si al

calcular el valor de z el resultado es 2.34, la hipótesisnula se rechaza. La decisión de rechazar la hipótesisnula se tomó debido a que 2.34 se encuentra dentro dela región de rechazo; es decir, más allá de 1.65. De estamanera se puede afirmar que es altamente improbableque un valor z que se calcula de este tamaño (2.34) sedeba a una variación de muestreo (casualidad).

En caso de que el valor calculado de z hubiera sido

menor a 1.65, por ejemplo 0.71, la hipótesis nula no sehabría rechazado. Se razonaría entonces que un valortan pequeño no podría atribuirse a la casualidad, esdecir, a la variación de muestreo.

Como puedes observar sólo es posible tomar una dedos decisiones: ya sea rechazar o no la hipótesis nula.

4.1. Comprobación de hipótesis referentesa la media de una población

Pruebas de significancia de una y dos colas

Antes de ver un ejercicio práctico sobre pruebas dehipótesis, estableceremos la diferencia entre una prueba

de dos colas y una de una sola.En la gráfica anterior se indica que se aplica una pruebade una cola. Por lo que la región de rechazo es solouna: la cola derecha de la distribución, sin embargo estambién posible que la zona de rechazo se ubique en lacola derecha. Para ilustrarlo pondremos el siguienteejemplo.





Al departamento de nutrición de la Dirección Regionalde Educación quiere hacer un estudio sobre el peso

neto de una presentación de Galletas Fortificadas. Elcereal se empaca en cajas de 453 grs., de modo que lashipótesis quedan de la siguiente manera:

H0: μ ≤ 453 grs. H0: El peso promedio de los cereales es igual o menor a453 gramos.H1: μ > 453 grs. H1: El peso promedio de los cereales es mayor a 453

gramos.

Observa que el signo de desigualdad en la hipótesisalternativa señala a la derecha o parte superior de ladistribución (Este ejemplo corresponde a la gráficaanterior). Asimismo observa que la hipótesis nula incluyeel signo de igual. Recuerda que la condición de igualdadsiempre aparece en la hipótesis nula y nunca en la

alternativa.

El siguiente diagrama muestra una situación en la que laregión de rechazo se encuentra en la parte izquierda(mínima) de la distribución.





En resumen, una prueba es de una cola cuando lahipótesis alternativa establece una dirección, como:

H0: El ingreso medio de las mujeres es menor o igual alingreso medio de los hombres.H1: El ingreso medio de los hombres es mayor que elingreso medio de las mujeres.

Por lo tanto, una prueba de dos colas será aquella en laque la hipótesis alternativa no establece una dirección,como:

H0: No hay diferencia entre el ingreso medio de lasmujeres y el de los hombres.H1: Existe una diferencia entre el ingreso medio de lasmujeres y el de los hombres.

Si se rechaza la hipótesis nula y se acepta la alternativa,en el caso de las dos colas, el ingreso medio de los

hombres podrá ser mayor que el de las mujeres oviceversa. Debido a que existen dos posibilidades, unárea de rechazo de 5% (por ejemplo) se divide en partesiguales entre las dos colas de la distribución (2.5 encada una).

La siguiente gráfica ilustra las dos áreas de rechazo ylos valores críticos. Observa que el área total de la

distribución es de 1.000, que se encuentra por 0.95 +0.025 + 0.025.





Paso 1

La hipótesis nula es “la media de la población es 200estudiantes desnutridos”. La hipótesis alternativa esentonces “la media de la población es diferente de 200estudiantes desnutridos” o “la media de la población noes 200 estudiantes”, o bien:

H0: μ = 200 estudiantes desnutridos H1: μ ≠ 200 estudiantes desnutridos

Se trata de una prueba de “dos colas”, porque lahipótesis alternativa no establece ninguna dirección. Enotras palabras no afirma si el promedio es mayor omenor de 200estudiantes desnutridos.

Paso 2

Como ya se dijo, se utiliza el nivel de significancia0.01. Este es , la probabilidad de cometer un errorde tipo I. Es decir, es el riesgo de rechazar unahipótesis nula verdadera.

Paso 3

La estadística de prueba de una muestra grande es z .Transformar los datos de producción a unidades

estándar (valores z) permite no sólo utilizarlos en esteproblema, sino también en otros problemas de pruebade hipótesis. La fórmula, como ya vimos, es:





Distr ibu ción z como estadístic a de p rueba

√ √

Paso 4

La regla de decisión se formula hallando los valorescríticos de z con base en las tablas del porcentaje de

área bajo la curva normal (tablas de z). Como se tratade una prueba de dos colas, la mitad de 0.01, es decir0.005, está en cada cola. Por lo tanto, el área en la queno se rechaza la hipótesis nula, entre los dos valorescríticos, es 0.99.

Las tablas del porcentaje del área bajo la curva sebasan en una mitad del área bajo la curva, o 0.5000.

Luego, 0.500 – 0.005 es 0.4950, de modo que 0.4950es el área entre 0 y el valor crítico. Localiza 0.4950 en elcuerpo de la tabla. EL valor más próximo es 0.4951.

A continuación se lee el valor crítico en la fila ycolumnas correspondientes a 0.4951, este es 2.58. Porlo tanto la regla de decisión es:

Rechazar la hipótesis nula y aceptar la hipótesis

alternativa, si el valor calculado de z no está entre –2.58y +2.58. No rechazar la hipótesis nula si z cae entre –2.58 y +2.58.





Como dijimos al principio, la conclusión es análoga a ladel sistema judicial. Para explicarlo supón que se acusa

a una persona de un delito, pero el juez la absuelve. Sise absuelve a una persona de un delito, la conclusiónfue que no hubo suficientes evidencias para probar queel acusado era culpable (no que era inocente). Esto eslo que se hace en una prueba de hipótesis estadísticacuando se rechaza la hipótesis nula. La interpretacióncorrecta es que no fue posible desaprobar la hipótesisnula.

Prueba de una cola

En el ejemplo anterior, sólo interesaba informar aldirector si hubo un cambio en el nivel nutricional de lasI.E. No interesaba saber si el cambio fue un aumento ouna disminución.Para ilustrar una prueba de una cola, se cambiará lapregunta. Supón que el Director lo que quiere saber es

si hubo una reducción en el número de desnutridos.En otras palabras, ¿se puede concluir que, con base enlas mejoras nutricionales en la alimentación de losestudiantes, el número de desnutridos fue menos a 200?

Observas la diferencia en el modo en que se formula elproblema. En el primer caso, se quería saber si habíauna diferencia en la media de desnutridos por aula, y

ahora se desea saber si hubo una reducción.Debido a que interesan preguntas diferentes, lashipótesis también son diferentes. En símbolos quedaríade la siguiente manera:

Prueba de dos colas Prueba de una cola H0: μ = 200 estudiantes H0: μ ≥ 200 estudiantes H1: μ ≠ 200 estudiantes H1: μ < 200 estudiantes





Los valores críticos para una prueba de una cola y parauna prueba de dos colas también son distintos, porque

para una prueba de una cola todo el riesgo se encuentraen una sola dirección.

Ejemplo

Un estudio sobre el consumo de Gaseosas mostró queel adulto típico consume 68 litros de gaseosas de cola alaño. Según esta investigación la desviación estándar esde 11.3 litros. Una muestra aleatoria de 64 estudiantes

universitarios reveló que el año pasado consumieron64.2 litros en promedio. En el nivel de significancia de0.05.

a) ¿Es posible concluir que existe una diferenciaentre el consumo medio de los estudiantesuniversitarios y el de los adultos en general?

b) ¿Es posible concluir que el promedio de

consumo para los estudiantes universitarios esmenor que para los adultos en general?Respuesta inciso a)

Paso 1

La hipótesis nula es “la media de la población es 68”. Lahipótesis alternativa es entonces “la media de la

población es diferente de 68” o “la media de la poblaciónno es 68”, o bien: H0: μ = 68 litros de gaseosas de cola al añoH1: μ ≠ 68 litros de gaseosas de cola al año

Paso 2

Como ya se dijo, se utiliza el nivel de significancia 0.05.Este es α, la probabilidad de cometer un error de tipo I.





Es decir, es el riesgo de rechazar una hipótesis nulaverdadera.

Paso 3

La estadística de prueba de una muestra grande es z .Transformar los datos del consumo de gaseosas de colaa unidades estándar (valores z) permite no sóloutilizarlos en este problema, sino también en otrosproblemas de prueba de hipótesis. La fórmula, como yavimos, es:

Distr ibu ción z como es tadístic a de p rueba

√

√

Paso 4

La regla de decisión se formula hallando los valorescríticos de z con base en las tablas del porcentaje deárea bajo la curva normal (tablas de z). Como se trata

de una prueba de dos colas, la mitad de 0.05, es decir0.025, está en cada cola. Por lo tanto, el área en la queno se rechaza la hipótesis nula, entre los dos valorescríticos, es 0.95.Las tablas del porcentaje del área bajo la curva sebasan en una mitad del área bajo la curva, o 0.5000.Luego, 0.500 – 0.025 es 0.4750, de modo que 0.4750es el área entre 0 y el valor crítico. Localiza 0.4750 en elcuerpo de la tabla.





A continuación se lee el valor crítico en la fila ycolumnas correspondientes a 0.4750, este es 1.96. Por

lo tanto la regla de decisión es:Rechazar la hipótesis nula y aceptar la hipótesisalternativa, si el valor calculado de z no está entre –1.96y +1.96. No rechazar la hipótesis nula si z cae entre –1.96 y +1.96.

Paso 5

De acuerdo con el cálculo del valor z que se hizo en el

paso 3 y con la regla de decisión formulada en el pasoanterior, se llega a la conclusión de que la media de lapoblación es diferente de 68.Esto debido a que z = -2.69 no cae en la región derechazo y por lo tanto no se cuenta con elementos pararechazar la hipótesis nula (que dice que la media deconsumo de la población es igual a 68 litros degaseosas de cola).

Así se puede decir que la evidencia de la muestra indicaque el nivel de consumo anual de gaseosas de cola esdiferente para la muestra de estudiantes universitarios ypara la población en general.Otra forma de decirlo es que el consumo medio degaseosas de cola para los estudiantes universitarios esdiferente de 68 litros.La diferencia de 3.87 litros entre el consumo de la

población en general y el de los estudiantesuniversitarios no puede atribuirse a la casualidad.

Respuesta inciso b)

Paso 1 H0: μ ≥ 68 litros de gaseosas de cola al año H1: μ < 68 litros de gaseosas de cola al año





Paso 2α = 0.05

Paso 3

Distr ibu ción z como es tadístic a de p rueba

√

√

Paso 4

Rechazar la hipótesis nula y aceptar la hipótesisalternativa, si el valor calculado de z es menor que –1.65. No rechazar la hipótesis nula si z es mayor que –1.65.

Paso 5

De acuerdo con el cálculo del valor z que se hizo en elpaso 3 y con la regla de decisión formulada en el pasoanterior, se llega a la conclusión de que el consumomedio de gaseosas de cola es menor de 68 litros.

Esto debido a que z = -2.69 cae en la región de rechazoy por lo tanto se cuenta con elementos para rechazar lahipótesis nula (que dice que la media de consumo de lapoblación es mayor o igual a 68 litros de gaseosas decola).

Así se puede decir que la evidencia de la muestra indica

que el nivel de consumo anual de gaseosas de cola es





menor para la muestra de estudiantes universitarios quepara la población en general.

Otra forma de decirlo es que el consumo medio degaseosas de cola para los estudiantes universitarios esmenor de 68 litros.

La diferencia negativa de 3.87 litros entre elconsumo de la población en general y el de losestudiantes universitarios no puede atribuirse a lacasualidad.

4.2. Prueba de hipótesis para dos medias depoblación (muestras grandes)

En esta sección se verá al procedimiento para probar sidos medias poblacionales son iguales con base a lainformación que se tiene de dos muestras de éstas; obien, que la diferencia entre ambas medias muestraleses tan grande que se puede concluir que las mediaspoblacionales no son iguales. Algunas aplicaciones deeste tipo de planteamiento son las siguientes:

El Docente del curso de estadística desea sabersi el promedio general de los estudiantes es igualal del semestre pasado.

El Coordinador General de Licenciatura eneducación Inicial le interesa conocer el nivel de

satisfacción de los participantes en relación a losdocentes, en las sedes de Arequipa y Cusco.

Se desea conocer la diferencia que existe enrelación al rendimiento académico de losestudiantes varones y mujeres de la especialidadde Matemática, Computación e Informática.

En estos casos es preciso seleccionar una muestra

aleatoria de cada población y calcular su media, para





posteriormente, utilizando el método de los cinco pasos,determinar si las medias poblacionales son iguales o

existe alguna diferencia entre ellas. Por su puesto hayuna diferencia en la fórmula del estadístico z .

Prueba de hipótesis para dos medias poblacion ales

Dónde: = Media de la primera muestra = Media de la segunda muestra = Varianza de la primera muestra = Varianza de la segunda muestra

= Tamaño de la primera muestra

= Tamaño de la segunda muestraz = Valor estándar

En el siguiente ejemplo se ilustran los detalles de loscálculos e interpretación de este tipo de pruebas.

Ejemplo

Se pide a cada uno de los estudiantes la opinión sobreel tiempo de libre que deberían tener entre cada curso,ya que se sabe que los docentes ingresan una vezterminada la anterior clase, sobre este aspecto existenbastantes discrepancias entre los varones y las mujeres,para lo cual se realizó un estudio teniendo comomuestra 100 mujeres y 50 varones de toda la poblaciónde la Facultad de Ciencias de la Educación,





reportándose la siguiente información basada enmuestras de ambos tipos de estudiantes:

EstudiantesMedia de la

muestra

Desviaciónestándar dela muestra

Tamaño dela muestra

Varones 5.50minutos

0.40 minutos 50

Mujeres 5.30minutos

0.30 minutos 100

A un nivel de significancia de 0.01, ¿es razonableconcluir que el tiempo libre solicitado es mayor para losvarones?

Paso 1 H0: μ1 ≤ μ2 H1: μ1> μ2 Paso 2

α = 0.01

Paso 3Prueba de hipótesis para dos medias

poblac ionales





Paso 4

Rechazar la hipótesis nula y aceptar la hipótesisalternativa, si el valor calculado de z excede 2.33. Norechazar la hipótesis nula si z es menor a 2.33.

Paso 5

Debido a que el valor calculado de z (3.13) es mayorque el valor crítico (2.33), se rechaza la hipótesis nula yse acepta la de investigación. Es decir, que con base enla información de las muestras se puede concluir que eltiempo libre exigido por los varones es mayor que el delas mujeres.

4.3. Comprobación de hipótesis referentes ala proporción de una población

Pruebas de hipótesis respecto de las proporciones

Las pruebas de hipótesis que hemos visto hasta elmomento se han referido únicamente a la media.

Aunque, como podrán suponer, también se puedenhacer pruebas de hipótesis respecto de proporciones.

Algunos ejemplos de situaciones en las que se puedeaplicar este tipo de pruebas pueden ser los siguientes:

El Director de Servicios Profesionales de laUniversidad informa que el 80% de susegresados se insertan en el mercado laboral en





puestos que guardan relación directa con sucampo de estudios.

El área de biblioteca de la Universidad manifiestaque solo el 35% de estudiantes solicitan elpréstamo de libros.

Un Director desea saber si existen diferenciasentre las proporciones de estudiantes de sexomasculino y femenino que desean estudiar enuna universidad nacional.

Proporción. Una fracción, relación o porcentaje que

indica la parte de una población o muestra que tiene unacaracterística de interés particular.

Un requisito para poder aplicar la prueba de hipótesispara las proporciones es que tanto como sean al menos de 5. Recuerda que:

= tamaño de la muestra

= proporción de la población

Ejemplo

El Rector de la Universidad desea conocer si losingresantes a la universidad provienen de colegiosestatales, según estadísticas se sabes que el 80% deingresantes a la universidad son egresados de colegios

estatales. Para comprobar esta afirmación se toma unaencuesta de 2,000 estudiantes matriculados.Los resultados de la encuesta indican que 1550 de losestudiantes provienen de colegios estatales.Utiliza el procedimiento de la prueba de hipótesis paracomprobar la procedencia de los estudiantes.





Solución

Paso 1H0: P ≥ 0.80 H1: P < 0.80

Paso 2α = 0.05 Paso 3z es la estadística apropiada.La fórmula que se aplica es:

Prueba de hipótesis para una proporciónpoblacional

Dónde:

= proporción de la muestra

= proporción de la población = tamaño de la muestra = error estándar de la proporción de la población

Se calcula por de modo que la fórmula seconvierte en:

Prueba de hipótesis para una proporción

poblacional





Paso 4

Debido a que la prueba es de una cola y a que α = 0.05,el valor crítico es de –1.65, así:

Rechazar la hipótesis nula y aceptar la alternativa si elvalor calculado de z cae a la izquierda de –1.65; de locontrario, no rechazar la hipótesis nula.

Paso 5

El valor calculado de z (-0.280) no está en la región derechazo, de modo que la hipótesis nula no se rechaza alnivel de significancia de 0.05.

Dicho de otro modo, los estudiantes de la universidad ensu mayoría provienen de colegios estatales.

4.4. Prueba para la comparación de dos

proporciones poblacionales.

Con frecuencia el interés radica en saber si dosproporciones de población son iguales. A continuaciónse presentan varios ejemplos:

El Director de Recursos Humanos desea saber siexiste una diferencia entre la proporción de

empleados sindicalizados que faltan más de





cinco días al año con respecto a la proporción deempleados no sindicalizados.

Se desea dotar de desayunos escolares, para locual se tiene una propuesta, se hace unaentrevista a los alumnos para averiguar lapreferencia si están de acuerdo o no, tomando laproporción de niños y niñas.

El docente de Licenciatura desea saber si existediferencia proporcional en cuanto a las tardanzasde los participantes varones y mujeres.

Nota que en los ejemplos anteriores, y en todos los quese desea comparar proporciones, cada artículo de lamuestra puede clasificarse como “éxito” o “fracaso”. Esdecir, no se trata de comparar mediciones (como en elcaso de las medias), sino valores nominales.En este caso también, dado que las muestras deben sermayores a 30 y tener una distribución normal, se utilizael estadístico de la distribución normal estándar, y el

valor de z se calcula por la siguiente fórmula:

Prueba de hipótesis para dos proporcionespoblacionales

Dónde: = tamaño de la primera muestra. = tamaño de la segunda muestra.z = valor estándar. = proporción de la primera muestra. = proporción de la segunda muestra.





= proporción conjunta, que se calcula con la siguientefórmula:

Proporción conjun ta

Dónde:

= número de elementos que poseen la característica

buscada en la primera muestra. = número de elementos que poseen la característicabuscada en la segunda muestra.

Ejemplo:

Una editorial introdujo un texto educativo con el nombre

de “Raulito”. Varias pruebas comparativas indican que“Raulito” tiene una alta aceptación de los estudiantes.Se plantea como estrategia el estudio sobre dicho textoteniendo en cuenta la aceptación de los docentesvarones y mujeres. Se usará una prueba en la que sepedirá a cada una de los profesores de la muestraanalizar varios textos, entre los que se encuentra“Raulito”, y que indiquen cuál es el que consideran

mejor.

Los resultados fueron los siguientes:

Profesores

Prefirieron

“Raulito”

Prefirieron otrotexto

TOTAL

Proporción de

“Raulito” Mujeres 20 80 100 0.20

Varones 100 100 200 0.50





Se utilizará el procedimiento de prueba de hipótesis decinco pasos.

Paso 1 H0: p1 = p2 H1: p1 ≠ p2

Paso 2α = 0.05

Paso 3

Prueba de Hipótesis para dos propo rcion espoblacionales

Paso 4

No rechazar la hipótesis nula, si el valor calculado de z cae entre –1.96 y +1.96. Rechazar la hipótesis nula yaceptar la hipótesis de investigación si z no cae entre –1.96 y +1.96.





Paso 5

Debido a que el valor calculado de z (-5.00) no cae entrelos valores críticos (-1.96 y +1.96), se rechaza lahipótesis nula y se acepta la de investigación. Es decir,que con base en la información de las muestras sepuede concluir que la proporción de los Profesores queconsideran mejor el texto “Raulito” es distinta a laproporción de las Profesoras.

4.5.Pruebas de hipótesis con muestraspequeñas

En los casos anteriores se ha utilizado el estadístico deprueba de la distribución estándar o z . Para empleareste estadístico es necesario conocer la desviaciónestándar (σ) de la población o tener una muestra grandede más de 30 observaciones.

Sin embargo, en muchos casos no se conoce σ y elnúmero de observaciones de la muestra es menor a 30.En estos casos, se puede utilizar la desviación estándarde la muestra (S) para aproximar (σ), pero no es posibleutilizar la distribución z como estadístico de prueba. Elestadístico de prueba adecuado es la t de Student , otambién conocida como distribución t .

Cuando se utiliza la t de Student , se supone que lapoblación tiene una distribución normal. A continuaciónse mencionan algunas características de estadistribución.

- Al igual que la distribución z , es una distribucióncontinua.

- Al igual que la distribución z , tiene forma de

campana y es simétrica.





- No hay una sola distribución t , sino una familiade distribuciones t . Todas con la misma media 0,

pero con desviaciones estándar diferentes deacuerdo con el tamaño de la muestra n. Existeuna distribución t para una muestra con 20observaciones, otra distribución t para unamuestra con 21 observaciones y asísucesivamente.

- La distribución t es más ancha y más plana en elcentro que la distribución z , sin embargo, amedida que aumenta el tamaño de la muestra, la

distribución t se aproxima a la distribución normalestándar (z).

- La distribución t de Student tiene mayor amplitudque la distribución z . Como resultado de ello losvalores críticos de t para un nivel de significanciaen particular son de mayor magnitud que losvalores c orrespondientes. En otras palabras,debido a que existe una variabilidad mayor en las

medias de muestras calculadas a partir demuestras pequeñas, se tiene menos confianzaen las estimaciones resultantes y son menosapropiadas para rechazar la hipótesis nula.

4.6. Prueba para la media de la población(muestras pequeñas)

Supón que se quiere comparar la media de lamuestra con una media poblacional supuesta,y que el número de observaciones de lamuestra es menor a 30. Supón también, quees posible afirmar que la población tiene unadistribución aproximada a la normal, pero quesi desviación estándar no se conoce.





En este caso, se puede sustituir la desviación estándarde la muestra por la desviación estándar de la

población, pero se tendrá que utilizar la distribución t como estadístico de prueba. A continuación se presentaun ejemplo que servirá para concretar estos conceptos.

Ejemplo:

El Departamento de Estadística informa que el ingresoeconómico promedio de los padres de familia es de S/.600.00 por mes. Pero estudios hechos por otras

instituciones manifiestan que el ingreso promedio esmayor. Como consecuencia de esto se toma unamuestra aleatoria de 26 familias de una InstituciónEducativa y se calcula una media de S/. 570.00, con unadesviación estándar de S/. 100.00 Con un nivel designificancia de 0.01, ¿Se podría concluir que el ingresoeconómico promedio familiar es menor a 600 soles?

Se utilizará el procedimiento de cinco pasos para laprueba de hipótesis.

Paso 1H0: μ ≥ 600 soles H1: μ <600 soles

Paso 2

α = 0.01 Paso 3





Distri bu ción t c om o es tadístic o d e pru eba para lamedia de la población

√

Dónde: = media de la muestra = media de la población = desviación estándar de la muestra

= tamaño de la muestra

√

Paso 4

Los valores críticos de t se encuentran en las tablas dela Distribución t de Student . La columna de la izquierdatiene el encabezado de “grados de libertad, gl”. Elnúmero de grados de libertad es el número deobservaciones de la muestra menos el número demuestras, escrito n –1. En este caso el número deobservaciones en la muestra es 26, por lo que hay 26 –1

= 25 grados de libertad. Para encontrar en valor crítico,primero se localiza la línea de los grados de libertadapropiados. Después de determina si la prueba es deuna o dos colas. En este caso se tiene una prueba deuna cola. Por lo tanto se encuentra en la parte de latabla titulada “una cola”. Se localiza la columna con elnivel de significancia seleccionado, que en este caso esde 0.01. Se sigue la columna titulada “una cola 0.01”hasta su intersección con la fila correspondiente a 25





- Las poblaciones muestreadas tienen unadistribución normal.

-

Las dos muestras son independientes.- Las desviaciones estándar de ambaspoblaciones son iguales.

Como generalmente la varianza de la población esdesconocida, las dos varianzas muestrales debencombinarse para hacer una estimación de la varianzapoblacional. En esencia se calcula la media ponderadade las dos desviaciones estándar muestrales y se utiliza

esta estimación de la desviación estándar de lapoblación.

La siguiente fórmula se emplea para combinar lasvarianzas de la muestra. Observa que se encuentraninvolucrados dos factores: el número de observacionesde cada muestra y las propias desviaciones estándar decada muestra.

Varianza combinada

Dónde:

= es la varianza de la primera muestra

= es la varianza de la segunda muestraEl valor de t se calcula con la siguiente fórmula:





Prueba de hipótesis para dos medias poblacion alesindepen d ien tes y pequeñas

* + Dónde:

= Media de la primera muestra

= Media de la segunda muestra = Tamaño de la primera muestra = Tamaño de la segunda muestra = Estimación combinada de la varianza de lapoblación

Como ya dijimos, el número de grados de libertades igual al número de elementos muestreadosmenos el número de muestras. Debido a que haydos muestras, existen n1 + n2 –2 grados de libertad.

Ejemplo:

Un Docente interesado en el tiempo de culminación deun examen realizar un estudio en base a dos salones,dicho estudio se basa en las diferencias de tiempo en laentrega de un examen, para lo cual se plantea lapregunta: ¿existe alguna diferencia en el tiempo deentrega de un examen de los estudiantes del 6to grado?Para evaluar el estudio se tomó dos salones conmuestras de 5 y 6 estudiantes. A continuación semuestran los resultados en minutos. Para responder lapregunta planteada utiliza un nivel de significancia de0.10.





Salón 1

(minutos)

Salón 2

(minutos)2 34 79 53 82 4

3Paso 1H0: μ1 = μ2

H1: μ1 ≠ μ2

Paso 2α = 0.10

Paso 3

La t de Student se calcula en tres pasos:

a) Cálculo de las desviaciones estándar y de lasmedias de las muestras

Salón 1 Salón 2X1 X1

2 X2 X22

2 4 3 9 4 16 7 49

9 81 5 25 3 9 8 64 2 4 4 16 20 114 3 9

30 172

Varianza muestral

∑ ∑





(Formula operacional)

= 2.9155 = 2.0976 = 20 / 5 = 4 = 30 / 6 = 5

b) Combinación de las varianzas de las muestras

Varianza combinada

c) Determinar t

Prueba de hipótesis para dos medias poblacion alesindepen d ien tes y pequeñas

* +





* +

Paso 4

Los grados de libertad son iguales al número de

elementos muestreados menos el número de muestras.En este caso n1 + n2 –2 es igual a (5 + 6) – 2 = 9 gradosde libertad.

Así los valores críticos de t para gl = 9, para una pruebade dos colas y con nivel de significancia 0.10, son+1.833 y –1.833.

Entonces, la regla de decisión es no rechazar lahipótesis nula si el valor calculado de t cae entre – 1.833y + 1.833.

Paso 5

La decisión es no rechazar la hipótesis nula, ya que elvalor calculado de t (-0.622) cae entre los valorescríticos ( –1.833 y +1.833).

Dicho de otro modo, la evidencia de las muestras indicaque no hay elementos suficientes para decir que existeuna diferencia entre los tiempos de entrega de unexamen en los dos salones escogidos como muestra.





4.8. Prueba para comparar dos mediaspoblacionales dependientes (muestras

pequeñas)En el apartado anterior se probó la diferencia entre lasmedias a partir de dos muestras independientes. Secomparó la diferencia entre el tiempo de entrega de dossalones de clases. Las muestras eran independientes,esto significa que las muestras de los tiempos utilizandouno y otro salón no están relacionado de modo alguno.Sin embargo, existen situaciones en las que lasmuestras no son independientes; es decir, las muestrasestán relacionadas o son dependientes. Un ejemplo deesto puede ser el siguiente:Debido a las múltiples quejas de los padres de familiarespecto a la enseñanza de los profesores el Directordecide realizar una evaluación a los profesores, para locual recurre a dos universidades (UNA y UANCV) paraque se tome un examen sobre aspectos pedagógicos,

se supondría que ambas universidades haríanvaloraciones semejantes. Para comprobarlo, el directorselecciona 10 profesores y pide tanto a laUNA como a laUANCV que hagan una evaluación. Para cada profesorcasa habrá un par de evaluaciones; es decir, cadaprofesor tendrá un valor estimado por la UNA y otro porla UANCV. Esto también se conoce como muestra en pares.

Para la prueba de hipótesis el interés recae en ladistribución de las diferencias del valor calculado. Enconsecuencia, sólo hay una muestra. Para decirlo demanera más formal, se está investigando si la media dela distribución de las diferencias es cero.

La muestra se construye a partir de las diferencias entrelos valores calculados por la UNA y por la UANCV para





cada profesor. Si las dos universidades reportan valoressemejantes, algunas veces la UNA estará más alta y

otras veces será la UANCV. Sin embargo, se esperaque la media de la distribución de las diferencias seacero. En caso contrario, si una de las universidadesconstantemente reporta valores más altos, la media serádiferente de cero.

Se utiliza el símbolo para indicar la media de lapoblación de la distribución de las diferencias. Elestadístico de prueba es t y se calcula a partir de la

siguiente fórmula.

Distri bu ción t c om o es tadístic o d e pru eba para lacom probación d e medias independientes

̅

√

Para esta fórmula los grados de libertad se calculan porn – 1 =̅ Media de la diferencia entre las observaciones por

pares o relacionadas= Desviación estándar de la distribución de lasdiferencias entre las observaciones por pares orelacionadas

= Número de observaciones por paresLa desviación estándar de las diferencias () secalcula por:





Desv iación es tándar de las d iferencias

∑ ∑

Como en las pruebas anteriores, se supone que lapoblación de diferencias tiene una distribuciónnormal. A continuación se desarrolla el ejemplocitado:

Ejemplo:

Los resultados de las evaluaciones en puntos de las dosuniversidades son los siguientes:

Profesor UNA UANCV

1 135 128 2 110 105 3 131 119 4 142 140 5 105 98 6 130 123 7 131 127 8 110 115

9 125 122 10 149 145

Con un nivel de significancia de 0.05, ¿puede decirseque existe una diferencia entre la media de los valorescalculados de los profesores?





Paso 1

H0: μd = 0H1: μd ≠ 0

Paso 2

α = 0.05

Paso 3

La t de Student se calcula en tres pasos:a) Cálculo de la media de la diferencia entre las

observaciones por pares

Valor calculado en puntos

Profesor UNA UANCV Diferencia( d )

Diferencia

alcuadrado

( d2 )1 135 128 7 49 2 110 105 5 25 3 131 119 12 144 4 142 140 2 4 5 105 98 7 49

6 130 123 7 49 7 131 127 4 16 8 110 115 -5 25 9 125 122 3 9

10 149 145 4 16 46 386 ̅





Así los valores críticos de t para gl = 9, para una pruebade dos colas y con nivel de significancia 0.05, son

+2.262 y – 2.262.Entonces, la regla de decisión es no rechazar lahipótesis nula si el valor calculado de t cae entre +2.262y – 2.262.

Paso 5

La decisión es rechazar la hipótesis nula, ya que el valorcalculado de t (3.305) no cae entre los valores críticos

(+2.262 y – 2.262).

Dicho de otro modo, la evidencia de la muestra indicaque hay elementos suficientes para decir que existe unadiferencia entre los valores que sobre los mismosprofesores hacen las universidades UNA y UANCV.





En el primer ejemplo corresponde a frecuenciasigualmente esperadas o de frecuencias homogéneas.

Ejemplo:

El Director de una Institución Educativa requierecontratar el personal docente de la especialidad dematemática para el año académico, se tiene 7 docentesaptos y que laboraron el año anterior. El problema esqué docentes contratar si se redujo la cantidad dedocentes a contratar. Para ello realiza una pequeña

encuesta a los padres de familia en relación a lapreferencia de docentes que requieren para laenseñanza a sus hijos, el director considera que así selogrará la mayor satisfacción de los padres de familia,teniendo los siguientes resultados:

Profesor Nro. de Preferencias Nro. esperado Alex Ticona 13 20

Carlos Pineda 33 20Jhon Arévalo 14 20Oswaldo Sánchez 7 20Rafael Muñoz 36 20Elmer Delgado 17 20TOTAL 120 120

Con base en esta información, ¿se puede concluir todoslos profesores tienen la misma preferencia?

Si no hay una diferencia significativa entre lasfrecuencias observadas y las frecuencias esperadas, sesupondría que las frecuencias observadas fueraniguales o aproximadamente iguales. Es decir, seesperaría la misma preferencia por el profesor AlexTicona o Elmer Delgado. En este caso cualquier





Luego entonces, buscando en las tablas de ,encontramos que el valor crítico para 5 grados de

libertad con α = 0.05 es 11.070. Que se encuentralocalizando 5 grados de libertad en el margen izquierdoy moviéndose horizontalmente hasta la columnamarcada con 0.05.

De esta manera, la regla de decisión es: Norechazar H0 si el valor que se encuentre para esmenor que 11.070. Si el valor calculado es igual o

mayor al valor crítico, se rechaza H0 y se acepta H1

Paso 5

Dado que el valor que se encontró para fue de 34.40,se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis deinvestigación.

En otras palabras, la diferencia entre las frecuenciasobservadas y esperadas no se debe a la casualidad,sino que estas diferencias son lo suficientementegrandes para considerarlas significativas. Asíconcluimos que es muy improbable que todos losdocentes tengan la misma preferencia.

5.3. Pruebas de bondad y ajuste: frecuenciasdesigualmente esperadas (deindependencia)

En los ejercicios anteriores se esperaba que lafrecuencia de todas las variables fuera igual, como elcaso de las preferencias de docentes, dónde seesperaba que todos tuvieran la misma preferencia. La





prueba de ji cuadrada también se puede usar cuando lasfrecuencias esperadas no son iguales.

El siguiente ejemplo ilustra el caso de las frecuenciasdesiguales y también proporciona un uso práctico deesta herramienta estadística, encontrar si unaexperiencia local difiera de una experiencia nacional.

Ejemplo:

Un estudio nacional sobre el número de veces que fue

hospitalizado un docente durante un lapso de dos añosreveló que 40% ingresó sólo una vez, 20% dos veces,14% tres, 10% cuatro, 8% cinco, 6% seis y 2% siete.

Un estudio de la Dirección de Educación de Arequiparequiere comparar la experiencia del esta demarcacióncon las cifras nacionales. De este modo se toma unamuestra de 400 docentes y se determina cuántas veces

fueron hospitalizados, las frecuencias observadas sepresentan en la siguiente tabla:

Número dehospitalizaciones

Número dedocentes (f o)

1 165 2 79

3 50 4 44 5 32 6 20 7 10

400

Obviamente el número de frecuencias locales no sepuede comparar con los porcentajes nacionales, sería





como comparar peras con manzanas; pero losporcentajes nacionales se pueden convertir en

frecuencias esperadas. Como ya se mencionó, a nivelnacional 40% de los docentes que necesitaronhospitalización en dos años, la necesitaron sólo una vez,así que si no hubiera diferencia entre las cifras de

Arequipa y las nacionales, entonces 40% de loscuatrocientos muestreados habrían sido hospitalizadossólo una vez durante este período, 20% de los 400muestreados habrían sido hospitalizados dos veces yasí sucesivamente. Es decir, se esperaría que la

frecuencia de hospitalizaciones en Arequipa coincidieracon la frecuencia observada a nivel nacional. En lasiguiente tabla se muestran las frecuencias observadasy las esperadas.

Número dehospitalizacione

s

Númeroobservado de

hospitalizacione

s (f o)

Númeroesperado de

hospitalizacione

s (f e) 1 165 160 = 40% * 400 2 79 80 = 20% * 400 3 50 56 = 14% * 400 4 44 40 = 10% * 400 5 32 32 = 8% * 400 6 20 24 = 6% * 400 7 10 8 = 2% * 400

400 400 Una vez determinadas las frecuencias esperadas,se procede a plantear las hipótesis.

Paso 1 H0: f o = f e No hay diferencia entre la experiencia local y laexperiencia nacional





H1: f o ≠ f e Sí hay diferencia entre la experiencia local y laexperiencia nacional

Paso 2α = 0.05

Paso 3

La estadística de prueba adecuada es ji cuadrada quese designa por

Estadíst ico de Prueba ji cuad rada

Con k –1 grados de libertad

Número dehospitalizaciones

f o f e (f o -f e)

(f o -f e)

2 (f o - f e)2

f e 1 165 160 5 25 0.156 2 79 80 -1 1 0.013 3 50 56 -6 36 0.643 4 44 40 4 16 0.400 5 32 32 0 0 0.000 6 20 24 -4 16 0.667 7 10 8 2 4 0.500

TOTAL 120 120 0 χ2 = 2.378

Paso 4

El valor crítico se encuentra utilizando la tabla de ladistribución de ji cuadrada, considerando k – 1 gradosde libertad; es decir 7 – 1 = 6 grados de libertad y un





nivel de significancia de 0.05. De esta manera el valorcrítico es 12.592.

La regla de decisión es entonces: No rechazar H0 siel valor que se encuentre para es menor que12.592. Si el valor calculado es igual o mayor alvalor crítico, se rechaza H0 y se acepta H1

Paso 5

Dado que el valor que se encontró para fue de 2.378,no se rechaza la hipótesis nula.

En otras palabras, la Dirección Regional de Arequipapodrá concluir que la situación local respecto a lahospitalización de docentes enfermos es la misma queen otras partes del país.

5.4. Limitaciones de la ji cuadrada

La ji cuadrada puede llevar a conclusiones erróneascuando en una celda (o en varias) se tiene unafrecuencia esperada demasiado pequeña. Esto puedeocurrir porque las frecuencia esperadas aparecen en eldenominador de la fórmula, y al dividir entre un númeromuy pequeño se obtiene un cociente muy grande.Existen dos reglas generales en relación con las celdas

con frecuencias muy pequeñas:

a) Si sólo hay dos celdas (tablas de 2 X 2), lafrecuencia esperada en cada celda debe ser de 5o más. De otro modo no se puede utilizar la jicuadrada.





b) Si hay más de dos celdas, no se debe utilizar la jicuadrada cuando más del 20% de las celdas

tienen una frecuencia esperada menor a 5.

5.5. Análisis de cuadros de contingencia

En las pruebas de bondad y ajuste que vimosanteriormente, se analizaba únicamente una variable yun rasgo. Sin embargo, la prueba de ji cuadrada también

se puede utilizar cuando se analizan dos rasgos a lavez. En estos casos, se utiliza para saber si existealguna relación entre estos dos rasgos.

Ejemplo:

El jefe de personal de la DREP, desea investigar sobrela opinión de satisfacción laboral de los profesores

respecto al lugar de procedencia. Dicho de otra forma,¿existe alguna relación entre la satisfacción laboral y ellugar de procedencia de los profesores?

Paso 1

H0: No hay relación entre la satisfacción y el lugar deprocedencia del profesor.H1: Hay relación entre la satisfacción y el lugar deprocedencia del profesor.

Paso 2α = 0.01

El personal de la DREP entrevistó a una muestraaleatoria de 200 profesores, y con base en los





resultados, clasificaron su satisfacción laboral comoexcelente, buena, regular e insatisfactoria. En la

siguiente tabla se muestran los resultados obtenidospara esta muestra.

Satisfacción laboral

Lugar deProcedencia Excelente Buena Regular Insatisfactoria

Puno 27 35 33 25 Otro lugar 13 15 37 25

Total 40 50 60 50

Paso 3

La estadística de prueba adecuada es ji cuadrada que

se designa por

Estadíst ico de Prueba ji cuad rada

Para conocer las frecuencias observadas se utiliza lasiguiente fórmula:

Frecuencia esperada de una celda





Utilizando esta fórmula se obtiene el siguiente cuadro:

Satisfacción Laboral Lugar de

Procedencia Excelente Buena Regular Insatis-factoria Total

f o f e f o f e f o f e f o f e f o f e

Puno 27 24 35 30 33 36 25 30 120 120

Otro lugar 13 16 15 20 27 24 25 20 80 80 Total 40 40 50 50 60 60 50 50 200 200

Sustituyendo la fórmula para el cálculo de ji cuadrada ycomenzando por la celda superior izquierda, tenemos:

Paso 4

El valor crítico se encuentra utilizando la tabla de ladistribución de ji cuadrada.

Para conocer los grados de libertad se utiliza lasiguiente fórmula:

gl = (número de renglones – 1) (número de columnas – 1)

gl = (r –1) (c –1)





En este problema:

gl = (2 – 1) (4 – 1)gl = 3

El nivel de significancia, como ya se determinó es α =0.01. Luego entonces, buscando en las tablas de ladistribución de ji cuadrada, se obtiene el valor crítico de11.345.

La regla de decisión es entonces: No rechazar H0 si elvalor que se encuentre para es menor que 11.345. Siel valor calculado es igual o mayor al valor crítico, serechaza H0 y se acepta H1

Paso 5

Dado que el valor que se encontró para fue de 5.729,no se rechaza la hipótesis nula.

En otras palabras, concluimos que no hay relación entrela satisfacción laboral y el lugar de procedencia de losprofesores.





AUTOEVALUACIÓNEl trabajo que se presenta a continuación debe ser

remitido por el sistema virtual a la Sede Central.1. Complete la siguiente distribución de

frecuencias, cuyos datos corresponden apuntajes obtenidos en un examen psicológicorealizado a estudiantes universitarios en laCiudad de Juliaca.

[ Li – Ls> fi Fi hi20 – 22 422 – 24 6 0.1224 – 26 1526 – 28 6 0.1228 – 30 3130 – 32 9 0.1832 – 34 4

34 – 36TOTAL

Con los datos anteriores, calcule las medidas detendencia central, y medidas de dispersión.Realice el Cuadro estadístico y gráficas. Analicelos datos.

2. Se tiene una población de 1000 estudiantes,

para lo cual se desea obtener una muestrarepresentativa. Se realizó un estudio piloto locual dio que 15 de 50 estudiantes tienen notasmayores a 14. Calcule el tamaño de muestraconsiderando que se cometerá el 5% de error enla investigación y un error del 10% respecto a laproporción y determine el tipo de muestreo quedebe realizarse.





De los siguientes datos tomados en relación al

número de estudiantes desaprobados en el cursode matemática, calcule las medidas de tendenciacentral y las medidas de dispersión.

7 4 10 9 15 12 7 9 7

3. Una muestra aleatoria de 30 estudiantes sesomete a una prueba de mecanografía, resultadoun promedio de 63 palabras por minuto y unadesviación estándar de 5 palabras por minuto.Pruebe la hipótesis nula de que en general, losestudiantes no superan una velocidad de 60palabras por minuto, utilizando un nivel designificancia del 1%.

4. Para una muestra de 30 profesores, el salariomedio es de S/. 7.50 por hora, y la desviación

estándar de S/. 1.00. para una muestra aleatoriade 40 profesores de otro colegio particular, elsalario medio es de S/. 7.05 por hora, y unadesviación estándar de S/. 1.20. suponga que lossalarios de ambos colegios tienen unadistribución normal. Pruebe la hipótesis deigualdad a un nivel de =5%





DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR Z

TABLA DE VALORES CRÍTICOS

α 1 COLA 2 COLAS

0.002 ± 2.8782 ± 3.0902

0.005 ± 2.5758 ± 2.8070

0.01 ± 2.3263 ± 2.5758

0.02 ± 2.0537 ± 2.32630.03 ± 1.8808 ± 2.1701

0.04 ± 1.7507 ± 2.0537

0.05 ± 1.6449 ± 1.9600

0.06 ± 1.5548 ± 1.8808

0.08 ± 1.4051 ± 1.7507

0.10 ± 1.2816 ± 1.64490.15 ± 1.0364 ± 1.4395

0.20 ± 0.8416 ± 1.2816

0.25 ± 0.6745 ± 1.1503





TABLA t-Student

1

G. L. 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 0.975 0.99 0.9951 1.000 1.376 1.963 3.078 6.314 12.706 31.821 63.6572 0.816 1.061 1.386 1.886 2.920 4.303 6.965 9.9253 0.765 0.978 1.250 1.638 2.353 3.182 4.541 5.8414 0.741 0.941 1.190 1.533 2.132 2.776 3.747 4.6045 0.727 0.920 1.156 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032

6 0.718 0.906 1.134 1.440 1.943 2.447 3.143 3.7077 0.711 0.896 1.119 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499

8 0.706 0.889 1.108 1.397 1.860 2.306 2.896 3.3559 0.703 0.883 1.100 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250

10 0.700 0.879 1.093 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169

11 0.697 0.876 1.088 1.363 1.796 2.201 2.718 3.10612 0.695 0.873 1.083 1.356 1.782 2.179 2.681 3.05513 0.694 0.870 1.079 1.350 1.771 2.160 2.650 3.01214 0.692 0.868 1.076 1.345 1.761 2.145 2.624 2.97715 0.691 0.866 1.074 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947

16 0.690 0.865 1.071 1.337 1.746 2.120 2.583 2.92117 0.689 0.863 1.069 1.333 1.740 2.110 2.567 2.89818 0.688 0.862 1.067 1.330 1.734 2.101 2.552 2.87819 0.688 0.861 1.066 1.328 1.729 2.093 2.539 2.86120 0.687 0.860 1.064 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845

21 0.686 0.859 1.063 1.323 1.721 2.080 2.518 2.83122 0.686 0.858 1.061 1.321 1.717 2.074 2.508 2.81923 0.685 0.858 1.060 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807

24 0.685 0.857 1.059 1.318 1.711 2.064 2.492 2.79725 0.684 0.856 1.058 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787

26 0.684 0.856 1.058 1.315 1.706 2.056 2.479 2.77927 0.684 0.855 1.057 1.314 1.703 2.052 2.473 2.77128 0.683 0.855 1.056 1.313 1.701 2.048 2.467 2.76329 0.683 0.854 1.055 1.311 1.699 2.045 2.462 2.75630 0.683 0.854 1.055 1.310 1.697 2.042 2.457 2.750





Tabla Distribución de Chi-cuadrado

G.L. 0,1 0,05 0,025 0,01 0,005 1 2,71 3,84 5,02 6,63 7,882 4,61 5,99 7,38 9,21 10,603 6,25 7,81 9,35 11,34 12,844 7,78 9,49 11,14 13,28 14,865 9,24 11,07 12,83 15,09 16,756 10,64 12,59 14,45 16,81 18,557 12,02 14,07 16,01 18,48 20,288 13,36 15,51 17,53 20,09 21,959 14,68 16,92 19,02 21,67 23,59

10 15,99 18,31 20,48 23,21 25,1911 17,28 19,68 21,92 24,73 26,7612 18,55 21,03 23,34 26,22 28,3013 19,81 22,36 24,74 27,69 29,8214 21,06 23,68 26,12 29,14 31,3215 22,31 25,00 27,49 30,58 32,8016 23,54 26,30 28,85 32,00 34,2717 24,77 27,59 30,19 33,41 35,7218 25,99 28,87 31,53 34,81 37,1619 27,20 30,14 32,85 36,19 38,58

20 28,41 31,41 34,17 37,57 40,0021 29,62 32,67 35,48 38,93 41,4022 30,81 33,92 36,78 40,29 42,8023 32,01 35,17 38,08 41,64 44,1824 33,20 36,42 39,36 42,98 45,5625 34,38 37,65 40,65 44,31 46,9326 35,56 38,89 41,92 45,64 48,2927 36,74 40,11 43,19 46,96 49,6528 37,92 41,34 44,46 48,28 50,9929 39,09 42,56 45,72 49,59 52,3430 40,26 43,77 46,98 50,89 53,6740 51,81 55,76 59,34 63,69 66,7750 63,17 67,50 71,42 76,15 79,4960 74,40 79,08 83,30 88,38 91,9570 85,53 90,53 95,02 100,43 104,2180 96,58 101,88 106,63 112,33 116,3290 107,57 113,15 118,14 124,12 128,30

100 118,50 124,34 129,56 135,81 140,17





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