ESTADÍSTICA MATEMATICA

"

EST EM2

ESTADÍSTICA ' MATEMATICA 2

Guadalupe Gómez Melis

EXC L•: .. ..,.J ¡: ':: ;,· r'. {~ ~;TEC

UNIVERSITAT POLITECNICA DE CATALUNYA Biblioteca

11111111111111111 11111111111111111111111111111111111 11111111 1400209818 --

A<.. lll [\'T l>t \L\lL\1 1\[[ ·\

Professora coordinadora: Guadalupe Gómez i Melis

Professors:

DIPLOMATURA D'ESTADÍSTICA ESTADÍSTICA MATEMÁTICA 2

Guadalupe Gómez i Eduard Nafría

Consultes: Guadalupe Gómez: Dilluns 5-6 i hores convingudes al despatx 415 . Eduard Nafría: Dijous 1-2 al despatx 111.

PROGRAMA

l. Distribucions associades a la distribució Normal

1.1 La distribució mostral d 'un estadístic.

1.2 La distribució x2 •

1.3 Distribució conjunta de la mitjana mostral i de la variani;a mostral.

1.4 La distribució t. Aplicació a un problema de regressió.

1.5 La distribució t descentrada.

1.6 La distribució F.

2. Estimació

2.1 El metode deis moments. El concept.e de consistencia.

2.2 El metode de la maxima versemblani;a. lnvariancia i consistencia.

2.3 El concepte de suficiencia. Teorema de factor.ització.

2.4 Famílies exponencials.

2.5 Estimadors U.M.V.U. Teorema de Rao-Blackwell. Teorema de Lehmann-Scheffé.

2.6 La informació de Fisher, el concepte d'eficiencia i la cota de Cramer-Rao.

2.7 Propietats asimptotiques deis estimadors de maxima versemblani;a.

3 . Proves d 'hipotesis

3.1 lntroducció. Conceptes basics en la t eoría de les proves d 'hipot.esis.

3.2 Preves d'hipotesis optimes. El lema de Neyman- Pearson.

3.3 Preves d'hipotesis U.M.P.La prova de la raó de versemblanc;a.

3.4 Selecció de la millar prova d'hipotesis. Preves sense biaix.

3.5 Prova de la raó de versemblanc;a generalitzada. La prova de la t. de Student.

3.6 La prova de la F.

3.7 Comparació de dues mostres independents. La prova de la t. per dues most.res.

Feb 95 Lupe Gómez Programa 1

4. Proves per a la validesa d'un model

4.1 La prova de la raó de versemblan~a pera distribucions multinomials.

4.2 La prova de x2 . Model de Poisson pe! decaiment radioactiu.

4.3 Prova de Kolmogorov-Smirnov.

4.4 Papers i grafics de probabilitat.

5. Metodes no parametrics

5 .1 La prova deis signes

5.2 La prova deis rangs signats de Wilcoxon.

5.3 La prova deis rangs de Wilcoxon, Mann i Whitney.

6. Introducció a la teoría de la decisió i a !'inferencia Bayesiana.

6.1 Lleis de Bayes i Minimax.

6.2 Analisi per a trabar una llei de Bayes.

6.3 Estimadors admissibles.

6.4 Inferencia Bayesiana per a una distribució normal.

6.5 Inferencia Bayesiana per a una distribució binomial.

AVALUACIÓ

* Examen Parcial (EP) corresponent als temes 1 i 2. Data prevista: 24 d'abril de 1995

* Examen Final (EF) corresponent als temes 1, 2, 3, 4, 5 i 6. Data prevista: 22 de juny de 1995.

* La Participació (P) a classe i el lliurament d'exercicis comptaran un 10% de la qualificació final.

* La Qualificació Final (QF) es calculará de la següent manera:

Si Nota EP::'.'. Nota EF: QF=0.3 EP+0.6 EF+ 0.1 P

Si Nota EP< Nota EF: QF=0.9 EF+ 0.1 P

BIBLIOGRAFIA

• e.Cuadras "Problemas de Probabilidades y Estadística. Volum 2". Promociones y Publicaciones Uni-versitarias, 1990.

• M.H. DeGroot "Probability and Statistics". Addison-Wesley, 1989.

• Hoel, Port i Stone "lntroduction to Statistical Th~ory" . Houghton Mifflin Co., 1971.

• R.V. Hogg i A.T. Craig "lntroduction to Mathematical Statistics". Macmillan Publishing Co., !ne, 1978

• lvchenko, Medvedev, Chistyakov "Problems in Mathematical Statistics". MIR Publishers, 1991.

• Kalbf!eisch, J .G. " Probability and Statistical lnference. Volum 2" Springer-Verlag, 1985.

• Lee, P.M. "Bayesian Statistics: An lntroduction" . Edward Arnold, 1989.

• D. Peña" Estadística. Modelos y métodos l. Fundamentos". Alianza Universidad Textos, 1989.

• J .A. Rice "Mathematical Stat.istics and Data Analysis". Wadsworth e Brooks/Cole, 1988.

Feb 95 Lupe Gómez Programa 2

: 5 -~ CtSe1.!

es: 3.Il '-"a: ~

.::-_ :ie 1995

• _.'.:de j uny de 1995.

::: ::=. qualificació final.

!Dnes y Publicaciones Uni-

.:::Co .. 1971.

::..:.;:;üllan Publishing Co., lnc,

AJR Publishers, 1991.

·erlag, 1985.

_..::Ls

ad Textos, 1989.

Cole, 1988.

Programa 2

l. DISTRIBUCIONS ASSOCIADES A LA DISTRIBUCIÓ NORMAL

1.1. La distribució mostral d'un estadístic.

1.2. La distribució x2 .

1.3. Distribució conjunt.a de la mitjama mostral i de la variancia mostral.

1.4 La distribució t. Aplicació a un problema de regressió.

1.5 La distribució t descentrada.

1.6 La distribució F.

EXERCICIS

1.1 Sigui X la mitjana d 'una mostra de 16 v.a. independents i normals (0,1) . Determineu c tal que

Prob(I X I< e) = 0.5

1.2 Demostreu que si la v.a. Tes distribueix comuna t amb n g.11, aleshores T2 segueix una Fi,n·

1.3 Demostreu que si la v.a. X es distribueix com una Fn,m aleshores x- 1 segueix una Fm,n·

1.4 Demostreu que si les v .a. X i Y són independents i exponencials amb A = 1, aleshores f segueix una llei F . Jdentifiqueu els graus de llibertat.

1.5 Useu la dist.ribució chi quadrat per a calcular

52 Prob(a < 2 < b) ,

u

basant-vos en una mostra de grandaria 18. Calculeu per a a= 0.51 i b = 1.62.

1.6 Suposeu que hem de prendre una mostrad 'una distribució normal amb mitjana µ desconeguda i desviació estandar 2. Calculeu la grandaria de la mostra necessaria per tal que

a) Eµ(I Xn - µ 12) ::; 0.1

per a cada possible valor deµ .

b) Eµ( IXn-µ1)::;0.1

per a cada possible valor de µ.

c)

Probµ(I Xn - µ ¡::; 0.1) 2: 0.95

per a cada possible valor de µ.

Feb 95 Lupe Gómez Tema l . 1

l. 7 Suposeu que les v.a. X1, ... , Xn són independents i que a cada una d'elles Ji correspón una distribució F;. Definim

Y = -2 L log F;(Xi) i=l

Demostreu que Y segueix una distribució x2 amb 2n g.11.

1.8 Suposeu que les v.a. X 1 ,X2 ,X3 són i.i.d., cada una d'elles N(O,l). Definim les següents v.a.

Y1 = 0.8X1 + 0.6X2

Y2 = v0(0.3X1 - 0.4X2 - 0.5X3)

Y3 = v0(0.3X1 - 0.4X2 + 0.5X3)

Trobeu la llei conjunta de Y1, Y2 , Y3.

1.9 Si les v.a. X 1 i X 2 són independents i N(µ,17 2 ), proveu que les v.a. X 1 +X2 i X 1 -X2 són independents.

1.10 Siguin X 1 i X 2 v.a. independents i N(0,172). Calculeu

1.11 Suposem que X 1 , •.. , Xn formen una mostra aleatoria d'una distribució normal de mitjana µ i variancia 172 • Trobeu la distribució de

1.12 Suposem que X 1, . .. , X 6 formen una mostra aleatoria d 'una distribució normal estandar. Sigui

Determineu un valor c tal que la v.a cY segueixi una distribució x2 .

1.13 Suposem que X 1 , ... , X 16 formen una mostra aleatoria d'una distribució normal de mitjana µ i variancia 172 . Calculeu les següents probabilitats:

a) 2 ¡' n

Prob[~ ::; ;;- L(X; - µ)2 ::; 2172 ]

i=l

b) 2 1 n

Prob(2 ::; ;;- L(X; - Xn) 2 ::; 2172]

t = l

1.14 Suposem que X 1, ... , X 17 formen una most.ra aleatoria d 'una distribució normal de mitjana µ i variancia 172 , ambdues desconegudes. Siguin Xn i 5 2 la mitjana i la variancia mostrals. Trobeu el valor de k tal que

Prob(Xn > µ + kS) = 0.95

1.15 Suposem que una v.a. X segueix una distribució F amb 1 i 8 graus de llibertat. Useu la taula de la distribució t pera det erminar el valor de e tal que Prob(X > e) = 0.3.

Feb 95 Lupe Gómez Tema l . 2

:::u;iosem que ...::3. :¡ue E X = ~

--;. -_

uposern que ...::'?. =.. • : J

de X .

. IS Siguin L'· i ~-- :_.,,, _ (a 1 . 3) i (a , ~ :--="' =--

: .19 Suposem ~ e...::'?. =- X· Y = m;:~ 5e¡; - = -=. -

f e 95

:.:m·espón una distribució

=s se-gu ents v .a .

X. - X: són independents.

:. -: ;:;::..; >.iana µ i variancia

~· ;standar . Sigui

:;.] ie mitj ana µ i variancia

3.1 de mitjana µ i variancia 1....: Trobeu el valor de k tal

t~r~at Useu la taula de la

Tema l. 2

1.16 Suposem que una v.a. X segueix una distribució F amb mi n graus de llibertat (n > 2). Demostreu que E(X) = n'.'.. 2 . lndicació: Trobeu el valor de E( i), a on Z ~X~.

1.17 Suposem que una v.a. X segueix una distribució F amb mi m graus de llibertat. Calculeu la mediana de X.

1.18 Siguin U1 i U2 dues variables aleatories independents distribu'ides segons lleis gamma de parametres (a¡,¡J) i (n2,/3), respectivament . Demostreu:

a) La variable aleatoria U= u,~u, segueix una llei beta de parametres (a¡ , etz).

b) U és independent de U1 + U2.

1.19 Suposem que una v.a. X segueix una distribució F amb mi n graus de llibertat. Demostreu que la v.a. Y = mX~n segueix una distribució Beta amb parametres a = m/2 i ¡J = n/2.

Feb 95 Lupe Gómez Tema l. 3

2. ESTIMACIÓ

2.1 El metode deis moments. El concepte de consistencia.

2.2 El metode de la mii.xima versemblan<;a. lnvariancia i consistencia.

2.3 El concepte de suficiencia. Teorema de factorització.

2.4 Famílies exponencials.

2.5 Estimadors U.M.V.U. Teorema de Rao-Blackwell. Teorema de Lehmann-Scheffé.

2.6 La informació de Fisher, el concepte d'eficiencia i la cota de Cramer-Rao.

2.7 Propietats asimptotiques deis estimadors de mii.xima versemblan<;a.

EXERCICIS:

2.1 Suposeu que X segueix una distribució geometrica de parametre p. Prenem una mostra de grandaria n d'aquesta distribució.

a) Trobeu !'estimador de p pel metode deis moments.

b) Trobeu !'estimador de p pel metode de la maxima versemblan<;a.

c) Calculeu la variancia asimptotica de !'estimador de mii.xima versemblarn;a.

2.2 Suposeu que X segueix una distribució de Rayleigh ( cas particular de la Weibull) de parametre O. Prenem una mostra de grandaria n d'aquesta distribució.

a) Trobeu !'estimador de (} pel metode deis moments.

b) Trobeu !'estimador de(} pel met.ode de la mii.xima versemblan<;a.

c) Calculeu la variancia asimptotica de !'estimador de maxima versemblan.;a.

2.3 Suposeu que X segueix una distribució uniforme [0 ,0). Prenem una mostra de grandaria n d'aquesta distribució.

a) Trobeu !'estimador de(} pel metode deis moments, així com la seva mitjana i variancia.

b) Trobeu !'estimador de(} pel metode de la mii.xima versemblan<;a.

c) Trobeu la funció de densitat de !'estimador de maxima versemblan<;a, i calculeu la seva mitjana i la seva variancia. Compareu la variancia, el biaix i !'error quadratic mitja amb l'obtingut pel metode deis moments.

d) Trobeu una modificació de !'estimador de maxima versemblan<;a que el faci no esbiaixat.

2.4 Suposeu que X segueix una distribució exponencial de mitjana T. Prenem una mostra de grandaria n d 'aquesta distribució.

a) Trobeu !'estimador de T pel metode deis moments. Anomeneu-lo T¡.

Feb 95 Lupe Gómez Tema 2. 4

b) Trobeu !'estima Y

c) Calculeu la se\·a '·'3..:

d) Calculeu la <l is r::. _

e) Doneu la for ma

2.5 Suposeu que X segueix n d'aquesta distri bucio

a) Trobeu !'estimad

b) Trobeu !'estimad

c) Demostreu que : ~

d) Trobeu la fita de C:

e) Doneu la for ma _

f) Doneu la for ma -

2.6 Suposeu que X se n d 'aquesta dist ribuc -

a) Trobeu els es i~~::

b) Trobeu els esúr:; , -

c) Calculeu la ma· r -l'apartat b).

2.7 Suposeu que X se -=..x n d'aquesta distr ibu: -

a) Trobeu els es ¡¡::¡:¡> -

b) Calculeu la ma· - _ l'apartat a)

2.8 Si les frequen cies g=::=-(1- 0)2, 2B(l - - -

una mostra de 19: ;: =-

t.ipus frequencia

Hpl-: 10

Trobeu !'estim ad::- ::e confian<;a aproxima a.~~ -

2.9 L'estimador de m: -'-

Feb 95

--5ciieffé.

....::.=. rnost ra de grandaria n

;.a.

~ \\"e.íbull) de parametre () .

'"'!. :le grandaria n d'aquesta

=a i variancia

~3...<culeu la seva mitjana i la ¡ a.mb l'obtingut pe! metode

f3":i no esbiaixat .

=a mostra de grandaria n

Tema 2. 4

b) Trobeu ! 'estimador de r pe! metode de la maxima versemblan~a. Anomeneu-lo f2.

c) Calculeu la seva variancia. És f 2 eficient?

d) Calculeu la distribució asimptotica de f2.

e) Doneu la forma d'un interval de confian~a exacta pera r.

2.5 Suposeu que X segueix una distribució exponencial amb taxa de falla A. Prenem una mostra de grandaria n d'aquesta distribució.

a) Trobeu !'estimador de A pe] metode deis moments. Anomeneu-lo 5'1.

b) Trobeu ! 'estimador de A pe! metode de la maxima versemblan~a. Anomeneu-lo ~2.

c) Demostreu que ~2 és no esbiaixat i calculeu la seva variancia.

d) Trobeu la fita de Cramer-Rao i compareu-la ambla variancia trobada a c) .

e) Doneu la forma d'un interval de confian~a api"oximat per a A.

f) Doneu la forma d'un interval de confian~a per a A.

2.6 Suposeu que X segueix una distribució lognormal de parametres µ i u 2 . Prenem una mostra de grandaria n d'aquesta distribució.

a) Trobeu els estimadors de µ i u 2 pe! metode deis moments.

b) Trobeu els estimadors de µ i u 2 pe! metode de la maxima versemblan~a.

c) Calculeu la matriu de variances asimptotiques deis estimadors de maxima versemblan~a trobats a l'apartat b).

2.7 Suposeu que X segueix una distribució de Weibull parametres a i b. Prenem una mostra de grandaria n d'aquesta distribució.

a) Trobeu els estimadors de a i b pel metode de la maxima versemblan~a.

b) Calculeu la matriu de variances asimptotiques deis estimadors de maxima versemblan~a trobats a l'apartat a).

2.8 Si les frequencies genetiques estan en equilibri, els genotipus AA, Aa i aa acorren amb probabilitats (1 - ()) 2 , 2B(l - B) i () 2 . Plato i al.(1964) publicaren les seguents dades sobre el ti pus d'haptoglobina en una mostra de 190 persones.

ti pus frequencia

Hpl-1 10

Hpl-2 68

Hp2-2 112

Trobeu !'estimador de maxima versemblan~a de() i la seva variancia asimptotica. Donen un interval de confian~a aproximat al 99% per a B.

2.9 L'estimador de maxima versemblan~a no és únic.


Suposeu que X segueix una distribució uniforme [O , O+!). Prenem una mostra de grandaria n d 'aquesta distribució. Demostreu que !'estimador de O obtingut pe! metode de la maxima versemblan,a no queda unívocament especificat.

2.10 L'estimador de maxima versemblan,a no sempre existeix

Considerem una v .a. X que pot provenir d 'una distribució N(O , 1) amb probabilitat 0.5 i d 'una distribució N(µ, 0'2), amb µ i 0'2 desconeguts, amb probabilitat 0.5 . Demostreu que no existeix !'estimador de maxima versemblan,a.

2.11 Sigui X¡, .. . , Xn una mostra d'una població amb distribució subjacent governada per un parametre O. Estant interessats en l'estimació d'una funció q(O) es proposa un estimador T(X1, ... , Xn) · Demostreu que per n gran, i sota les hipotesis que siguin necessaries per la correcta aplicació del Teorema del Límit Central,

E{IT(X1, . .. , Xn) - q(O)I} = ,,j2¡;JR(O, T)

a on R(O, T) = E{(T(X1, . .. , Xn) - q(0))2 }.

2.12 Sigui X una v.a. normal de mitjana O i de variancia l. Definim Ta ,b(X) = aX + b per a i b nombres reals qualsevols.

a) Calculeu !'error quadratic mig, R(O, Ta,b), de Ta ,b:

b) Compareu R(O, To s,o) amb R(O , T1,o). Quina conclusió treieu?

c) Existeix algun estimador de la forma aX + b que sigui millor que X per O?

d) Proveu que X és l'únic estimador no esbiaxat de O de la forma aX + b.

2.13 Considereu el següent metode pera estimar el parametre >. d'una distribució de Poisson . Observem que

Po = Prob(X = O) = e->.

Sigui Y la v.a. que representa el número de zeros d'una mostra de grandaria n. Podem estimar >. mitjan,ant

. y >. = - log(-)

n

a) Feu servir el metode delta per a obtenir expressicins aproximades per a la variancia i el biaix d'aquest estimador.

b) Compareu la variancia d'aquest estimador amb la variancia de !'estimador de maxima versemblan,a, i calculeu ! 'eficiencia relativa per a diferents valors de >.. Indicació: Y - Bin( n, Po).

2.14 Sigui X 1 , ... , Xn una mostra d'una distribució normal amb mitjana desconeguda O variancia 0'2 .

Suposant que O# O, determineu la distribució asimptotica de X~.

2.15 Sigui X 1 , ... , Xn una mostra d'una distribució de Poisson de mit.jana >., i sigui T = 2::7= 1 X;. Demostreu que la distribució de X 1, ... , Xn donat Tés independent de >., i concluiu que Tés suficient per a>.. Demostreu que X 1 no és suficient.


2.16 Sigui X 1, .. .,Xn una m un estadístic suficient .

2.17 Useu el teorema de factow

2.18 Useu el teorema de factori-

2.19 Demostreu que la dist ribuci

2.20 Siguin T 1 i T2 dos estadís u un estimador no esbiaixa· d

Demostreu que Var(V2 ) '.S'

2.21 Sigui X una v.a. normal e

a) Calculeu la infor mac1

b) Calculeu la informa.e <:

2.22 Sigui X1, . .. , Xn un a m mostreu que Xn és el r . ~l

2.23 Sigui X 1,. .. , Xn un a m

a) Cerqueu un estadí.n:

b) Calculeu E(T) i \ 'ar ~

c) Calculeu /(O ) i dem

2.24 Suposem que fem una ú~. -O' (O'> O) desconeguda .

a) Trobeu un esti marlo: -

b) Calculeu la variao:1'!. =

e) Demostreuq uea -"""-

2.25 Sigui X 1, ... , X n una m mostreu que Xn és Uú ~-

Feb 95

=: :::; grandaria n d 'aquesta .o ,-e:-:.emblan(fa no queda

. ;-:c:::!.!iilitat 0.5 i d 'una dis. .., ::.o existeix ] 'estimador de

~-¿ª per un parametre B. T X : .. . ,Xn)· Demostreu

"'G del Teorema del Límit

::X - b per a i b nombres

>ce Poisson. Observem que

:..;a n . Podem estimar >.

~•ancia i el biaix d 'aquest

c;o maxima versemblan(fa, i

" vn).

co:neguda () i variancia o-2 •

~ T = Z7=1 X; . Demostreu q'.:e T és suficient per a >. .

Tema 2. 6

2.16 Sigui X 1 , .. , Xn una mostra d'una distribució geometrica, i sigui T = Z7=1 X;. Demostreu que T és un estadístic suficient .

2.17 Useu el teorema de factorització per a trabar un estadístic suficient per a la distribució exponencial.

2.18 Useu el teorema de factorització pera trabar un estadístic suficient pera la distribució de Rayleigh .

2.19 Demostreu que la distribució gamma pertany a la família exponencial.

2.20 Siguin T1 i T2 dos estadístics suficients per a B, i suposeu que T2 = g(T¡) per alguna funció g. Sigui U un estimador no esbiaixat de (), i sigui

Demostreu que Var(Vi) ~ Var(V¡ ).

V¡ =E(U 1 T1)

Vi =E(V¡ 1 T2)

2.21 Sigui X una v.a. normal de mitjana O i amb desviació estandar u (11 >O) desconeguda.

a) Calculeu la informació de Fisher !(11) continguda en X .

b) Calculeu la informació de Fisher !(112) continguda en X.

2.22 Sigui Xi, ... , Xn una mostra aleatoria d'una distribució de Poisson de parametre >. desconegut. Demostreu que Xn és el U.M.V.U. de>..

2.23 Sigui X1, ... , Xn una mostra aleatoria d 'una distribució que té per funció de densitat:

f(x;B)=Bx 9- 1 , O<x<l, B>O.

a) Cerqueu un estadístic suficient T(X1 , ... , Xn ).

b) Calculeu E(T) i Var(T). Indicació: Feu servir el fet de pertanyer a la família exponencial.

e) Calculeu I(B) i demostreu que -T/n és el U.M .V. U. de l/B .

2.24 Suposem que fem una única observació X d'una dist.ribució normal de mitjana O i amb desviació estandar u ( 11 > O) desconeguda.

a) Trobeu un estimador no esbiaixat per a 11 .

b) Calculeu la variancia d'aquest estimador.

e) Demostreu que aquesta variancia és superior a !//(o-) per cada valor O" > O.

2.25 Sigui X1, ... ,Xn una mostra aleatoria d 'una distribució de Bernoulli de parametre p desconegut. Demostreu que Xn és un estimador eficient de p.


3. PROVES D'HIPOTESIS

3.1 Introducció. Conceptes bii.sics en la teoría de les proves d 'hipotesis.

3.2 Proves d'hipotesis optimes. El lema de Neyman-Pearson .

3.3 Proves d'hipotesis U.M.P.La prova de la raó de versemblan~a.

3.4 Selecció de la millor prova d'hipotesis. Proves sense biaix .

3.5 Prova de la raó de versemblan~a generalitzada. La prova de la t de Student.

3 .6 La prova de la F.

3.7 Comparació de dues mostres independents. La prova de la t per dues mostres.

EXERCICIS:

3.1 Suposeu que la proporció p de items defectuosos en una gran població és desconeguda que volem realitzar la següent prova d'hipotesi: . Ho:p=0.2 HA :pf 0.2. Suposeu que s'ha agafat una mostra de grandaria 20 d'aquesta població. Denoteu per X el nombre d'items defectuosos en la mostra, i considereu un procediment 6 que rebutja quan X :?: 7 o X ::; l.

a) Calculeu la probabilitat d'un error de tipus l.

b) Calculeu la potencia en els punts p =O, O.l,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9, l. Feu una grafica de la funció de potencia en funció de p .

c) És aquest procedirnent no esbiaixat.7

3.2 Suposeu que la variable aleatoria X segueix una distribució binomial de parametres n = 100 i p desconegut . Considereu el procediment que rebutja Ho : p = 0.5 en favor de HA : pi= 0.5 quan 1 X -50 I> 10. Utilitzeu l'aproximació normal a la binomial ambla correcció per continuitat per a fer tots els calculs.

a) Calculeu la probabilitat d 'un error de ti pus l.

b) Feu una grafica de la funció de potencia en funció de p.

3.3 Suposeu que es pren una observació X d'una distribució uniforme en l'interval [8-0.5, 8 +0.5], i suposeu que voleu resoldre la següent prova d'hipotesi: Ho : B :S 3 HA:8:?:4. Doneu un procediment que tingui una funció de potencia que prengui els següents valors: 7r(8) =O per e :S 3 i 7r( B) = 1 per e 2: 4 .

3.4 La v .a. X segueix una de les següents distribucions:

X H1 H2 X¡ 0.2 0.1 X2 0.3 0.4 X3 0.3 0.1 X4 0.2 0.4

a) Compareu la raó de versemblan~a pera cada _valor possible de Xi ordeneu els valors de X d'acord amb aquesta raó.


b) Utilitzeu el me·:.:::<. regió de rebuig · ~ - ·

3.5 Sigui X1, ... , X r. um -:i

3.6

3.7

a) Utilitzeu el me·.x= : ,\¡ > Ao . lndi - •

b) Demostreu que =.. :;: -Ho: ,\=>.o. Ye-. _ _: .:.

c) Demostreu que Trobeu el m io:

Sigui X¡, ... , Xn una -:1

Ho:8:?:2versusH: ;, regió crítica tots aq•-=....5 ;

a) Determine u la ; - - :

b) Determineu la a :

Sigui X 1, ... , X25 WB -·

100.

a) Trobeu la regió :.e -b) Quina és la po·~ a

e) Repetiu el rna'&J:: -

d) Feu la prova e "- .-: pera a= O. l ~

e) Feu una grhli - - a

f ) Repetiu el ma·<::..i:;: -

g) Repetiu el ma·=!I ; -

3.8 Considerem les seé :==. · • 0

Prenem una obsen~: : : Ho: f(x) = f o( x 1 H1: /(x) = f1 (x l Nota: Seguim la r;

a) Descriure un ; : :=·

b) Determineu el -.;...: · -

Feb 95

---=s

""' r;eguda i que volem

f eu una grafica de la

~~·.ces n = 100 i p deseo:: = : 5 quan 1 X -50 I> 10. . :: =~ a fer tots els calculs .

:=- C.5.11 +0.5] , i suposeu

_ ..:;:;¡,; va lors: 7r ( 11) = O per

~=- ~l!o ,-alors de X d 'acord

Tema 3. 8

b) Utilitzeu el metode de la raó de versemblan~a de H 1 versus H 2 a un nivell a= 0.2. Determineu la regió de rebuig també per un a = 0.5.

3.5 Sigui X1, ... , X,. una mostra de la distribució de Poisson.

a) Utilitzeu el metode de la raó de versemblan~a pera contrastar H0 : A = Ao versus H 1 : A = A1, a on A1 > Ao. Indicació: La suma de v.a. independents de Poisson segueix una distribució de Poisson.

b) Demostreu que el procediment trobat a l'apartat a) és uniforment més potent per a contrastar H o : A = Ao , versus HA : A > Ao.

e) Demostreu que el valor de a(6) + ¡'1(6) el minimitza un procediment 6 que rebutja H 0 quan X,. >c. Trobeu el valor de la constant e i feu els calculs per n = 20, Ao = 0.25 i A1 = 0.5 .

3.6 Sigui X1, . .. , X,. una mostra de la distribució uniforme en l'interval (O, 11). Volem resoldre Ho : 11 2: 2 versus H1 : 11 < 2. Sigui Y,. = max(X1, .. . , X,.) i considerem aquell procediment que té per regió crítica tots aquells resultats tals que Y,. ~ 1.5.

a) Determineu la funció de potencia d'aquest procediment .

b) Determineu la talla del procediment .

3.7 Sigui X1, . .. ,X2s una mostra de la distribució normal amb mitjana µ desconeguda i variancia igual a 100.

a) Trobeu la regió de rebuig per a un procediment amb a= 0.10 de H0 : µ=O versus HA : µ = 1.5.

b) Quina és la potencia d'aquest procediment?

e) Repetiu el mateix per a = 0.01.

d) Feu la prova de la raó de versemblan~a generalitzada pera contrastar H0 : µ=O versus HA : µf. O pera a= 0.10 .

e) Feu una grafica de la funció de potencia en funció de µ.

f) Repetiu el mateix per a= 0.05.

g) Repetiu el mateix per n = 100.

3.8 Considerem les següents funcions de densitat:

fo(x)={¿

f1(x) = gx per O~ x ~ 1 altrament

per O< x < 1 altrament

Prenem una observació d 'una distribució que té per densitat f(x) igual a f 0 (x) o f 1 (x) i volem resoldre : Ho: f(x) = fo(x) H1 : J(x) = f1(x). Nota: Seguim la notació utilitzada en el lema de Neyman-Pearson.

a) Descriure un procediment 61 pel qua! el valor a(6¡) + 2¡'1(61) és un mínim.

b) Determineu el valor de a(6¡) + 2¡'1(61) per aquest procediment.


c) Descriure un procediment ó2 pe! qua! el valor 3a(62) + /3(62 ) és un mínim.

d) Determineu el valor de 3a(62) + /3(62 ) per aquest procediment.

e) Descriure un procediment 63 pe! qua! el valor a(63) :S 0.1 i /3(63) és un mínirn.

f) Determineu el valor de /3(6a) per aquest pracediment.

3.9 Suposeu que X1, ... , Xn és una mostra d'una distribució de Poisson de parametre Á desconegut (A> O).

a) Demostreu que la funció de prababilitat conjunta de (X1, ... , Xn) té una raó de versemblan~a monotona en l'estadístic E7:1 X¡.

b) Demostreu que per n = 10 existeix un procediment U.M.P per la prava d'hipotesi: H 0 Á :S versus HA : Á > 1 amb nivell de significació no = 0.0143.

c) Demostreu que per n = 10 existeix un procediment. U.M.P per la prava d'hipotesi: H 0 Á 2'. versus HA : Á < 1 amb nivell de significació no per alguns no tals que O< a 0 < 0.03.

3. 10 Suposeu que X¡, ... , Xn és una mostra d 'una distribució gamma de parametres a (a > O) i {3.

a) Demostreu que la funció de probabilitat conjunta de (X1, . .. , Xn) quan a és desconegut i /3 és conegut té una raó de versemblan~a monotona en l'estadístic fl7:i X¡ .

b) Suposeu ara que a és conegut i /3 és desconegut. Cerqueu un estadístic T(X1 , • • • ,Xn) tal que la funció de prababilitat conjunta de (X1, ... , Xn) tingui una raó de versemblan~a monotona en l'estadístic T(X1,. .. , Xn).

3.11 Suposeu que X 1 , .. . , Xn és una mostra d'una dis.tribució exponencial de parametre Á desconegut. Es desitja fer la prava d'hipotesi: Ho: Á 2'. 0.5 versus HA: Á < 0.5.

a) Demostreu que per qualsevol nivell de significació no (O< no< 1 ), existeix un pracediment U.M.P. que rebutja Ho quan Xn >e, per alguna constant. c.

b) Trobeu el valor de e en aquesta prava per a n = 10.

3.12 Suposeu que X1, ... , Xn és una mostra d'una distribució normal de mitjana µ desconeguda i de variancia 1 i es desitja resoldre la prava d'hipotesi: H0 : 0.1 :S µ :S 0.2 versus H 1 : µ < 0.1 o µ > 0.2. Considerem un procediment 6 que rebutja l'hipotesi nul.Ia si Xn :S e¡ o si Xn 2'. c2 , i sigui 7r(µl6) la funció de potencia de 6. Suposeu que n = 25.

a) Determineu els valors de e¡ i de c2 per tal que 7r(O.ll6) = 11'(0.216) = 0.07.

b) Determineu els valors de e¡ i de c2 per tal que 7r(O.ll6) = 0.02 i 7r(0.216) = 0.05.

3.13 Suposeu que X1 , . .. , Xn és una mostra d'una distribució uniforme en l'interval (O, fJ) , a on el valor de (J

és desconegut i es desitja realitzar la prava d'hipotesi: Ho : (J :S 3 versus HA: (J > 3.

a) Demostreu que per qualsevol nivell de significació a 0 (O< no< 1 ), existeix un pracediment U.M .P. que rebutja Ho quan max{X1 , . . . , Xn} >e, per alguna constant c.

b) Trabeu el valor de e per cada valor possible de no.

c) Per a una grandaria n dibuixeu la funció de potencia del procediment anterior.

3.14 Suposeu que X 1, .. . , X8 és una mostra d 'una distribució normal de mitjana µ i de variancia cr2 ambdues desconegudes. Volem contrastar Ho : µ=O versus HA : µ f:- O. Suposem que les dades mostrals són tals que L~=l X;= - 11.2 i L~=l X?= 43.7

a) Resoldre aquesta prava d'hipotesi per a = 0.10.


b) Fem una prava • ;i_

és tal que i.) < e: : l'apartat a). ha _ _

3.15 SiguiX¡,. . .,Xm a-:i de versemblan~a er a -Ho: fJ = 9o H1: fJ #- fJo. lndicació: La regió _e __ nivell de significació.

3.16 Considerem dues po • que volem fer la segi::=.::;- : mostra de grandaria :: ::

a) Determineu els e;; -

b) Feu una prava cie .a -

c) Suposem ara q• e · = un test F per aqL~~

3.17 Sigui X1 , . . . , Xm UL3 -

coneguda cr2 . Si J :

variancia descone oa -Á(-oo < Á < oc .

a) Constru'iu una ¡;. _

HA:µ1- µ2 = ·

concentració d 'aquest a administrem una altra -,:,? ::: 1.81.

b) Suposant que :o ·es feu una prava droga B és rnés _ .....:.

e)

3.18 Suposem que hem -"' :e· n mesuraments . } ·: desviació est andar :: - :;.

a) Calculeu el , .• G~ ::~ -

a 2. Indicació :;¿_

gran .

Feb 95

- 4-- r..........

desconegut (,\>O).

- 0 raó de versemblan<;a

-' "'-ipotesi: Ho : ,\ :s

Ho: ,\ ~

-::s -:> a > O) i {3 .

---~ :> és desconegut i f3 és

. :.;:-~: ~ X1, ... , Xn) tal que ~ C~"'S"'.JD.hlan<;a mODQtOna en

;:c.:?...~eae ,\ desconegut. Es

r-...r....'.J: un procediment U.M.P.

_ :=:sconeguda i de variancia .e : : o µ > 0.2. Considerem

.... · :;::gui ir(µl6) la funció de

= 3.05.

~-.""' Q. O) , a on el valor de () ,. ~ > 3.

~un procediment U.M.P.

?..::;.e;-ior.

~ ~ , :ie variancia u2 ambdues , .. = ::s dades mostrals són tals

Tema 3. 10

b) Fem una prova t tal que H 0 es rebutja si l 'estadístic

U = Jñ(Xn - µo) s

és tal que U< c1 o U> c2, a on Prob(U < c1) = 0.01 i Prob(U > c2) = 0.09. Ambles dades de l'apartat a), hauriem de rebutjar H 0 7 .

3.15 Sigui X 1 , ... , Xm una mostra d 'una distribució exponencial amb tasa de falla O. Feu un test de la raó de versemblan<;a per a contrastar Ho: () = Oo H1: () # Oo . lndicació: La regió de rebuig és de la forma {X exp{-00 X} :S e}, a on c és una constant donada pe! nivel! de significació.

3.16 Considerem dues poblacions normals amb mitjanes µ 1 i µ 2 i variances ur i u~ desconegudes i suposem que volem fer la següent prova d'hipotesi : Ho : ur ::; ui versus HA : ur > u~ . Suposem que prenem una mostra de grandaria 16 de la primera població donant com a resultats EJ!1 X; = 84 i EI!1 X¡2 = 563, i una mostra de grandaria 10 de la segona població tal que Ei~1 Y; = 18 i Ei~ 1 }¡2 = 72

a) Determineu els estimadors de mii.xima versemblan<;a de ur i de u~ .

b) Feu una prova de la F amb a= 0.05 i concluiu si H 0 poto no rebutjar-se.

e) Suposem ara que volem contrastar Ho : ur ::; 3u~ versus HA : ur > 3u~. Descriure com dura terme un test F per aquestes hipotesis.

3.17 Sigui X1, ... , Xm una mostra d'una distribució normal de mitjana desconeguda µ1 i de variancia desconeguda u 2 . Sigui Y1 , . .. , Yn una mostra d'una distribució normal de mitjana desconeguda µ 2 i de variancia desconeguda u 2 . Aquestes dues mostres·són independents. Donat un valor constant ,\ (- oo < ,\ < oo),

a) Construlu una prova de la t amb m + n - 2 graus de llibertat per a: H 0 : µ 1 - µ 2 = ,\ versus HA : µ¡ - µ 2 # ,\ .

Hem donat una certa droga A a 8 malalts seleccionats a l'atzar, i després d'una estona hem mesurat la concentració d 'aquesta droga en la sang, obtenint: 1.23, 1.42, 1.41 , 1.62, 1.55, 1.51 , 1.60, 1, 76. Suposem que administrem una altra droga B a sis malalts diferents i els resultats obtinguts són: 1.76, 1.41 , 1.87, 1.49, 1.67, 1.81.

b) Suposant. que totes les observacions provenen d'una distribució normal ambla mateixa variancia, feu una prova d 'hipotesi per a saber si podem concloure que la mitjana de la concentració de la droga B és més gran que la de la droga A.

c) Feu servir la part. a) per a donar un interval de confian<;a per a la diferencia entre les dues mitjanes de les dues concentracions amb un nivel! de confian<;a del 90%.

3.18 Suposem que hem de fer n mesuraments, X 1, ... , Xn, sota les condicions d'un tractament i uns al tres n mesuraments, Y1 , ... , Yn , independents deis primers sota condicions de control. Se su posa que la desviació estandar d 'una observació és aproximadament. 10 sota qualsevol de les condicions.

a) Calculeu el valor de n per tal que un interval de confian<;a al 95% per µx - µy tingui amplada igual a 2. Indicació: Useu l'aproximació normal sense problemes perque el valor de n resultara bastant gran.


b) Calculeu el valor den per tal que una prova de Ha: µx =µy versus H1 : µx >µy tingui potencia igual a 0.5 si µx - µy = 2 i a= 0.10.

c) Considereu una prova bilateral per Ha: µx =µy. Compareu les següents corbes de potencia: i) per a = 0.05 i n = 20; ii) per a = 0.10 i n = 20; iii) per a = 0.05 i n = 40; iv) per a = 0.10 i n = 40.

3.19 El nombre X de vegades que es pot encendre i apagar un endoll fins que falla segueix una distribució geornetrica arnb pararnetre p. Donada una rnostra aleatoria de 10 endolls i donat que la suma de vegades del total deis 10 endolls que es van poguer encendre i apagar fins que van fallar va ser de 15169 vegades, rebutjarieu l'hipotesi Ho : p = 0.00005 en favor de !'alternativa Hi : p > 0.00005 arnb un nivell de significació del 0.05? lndicació: Feu servir el teorema 3.5.

Feb 95 Lupe Gómez Terna 3. 12

4. PROVES PERA 1.~ .

4.1 Papers i grafi ce :; · 4.2 La prova de ;\'

4.3 Aplicació de la p. _ _

4.4 La prova de í-.:ol, :~

EXERCICIS:

4.1 La distribució de Po·--- ; en el fet que si la a.xo. :: els cotxes poden circ • • interval de ternps dor:;a· taula que rnostra el i:o- - ..

Aquests 300 inten- " = '!.

una distribució de Po--;:.

n frequencia

o 1 14 3C

4.2 En un estudi ecolo : - -· (n) entre vols per a '---= ..,trobeu un interval e :-- z,

n frequencia

1 l 48 31

4.3 La següent taula dó::a -=. -Trobeu alguna evi e:: - a -Trobeu alguna teado;:: : a ~

mes Gener Febrer Mar~ Abril Maig Juny Julio] Agost Setembre Octubre Novembre Decernbre

núm . mor:.5 1668 1407 1370 1309 1341 1338 1406 1446 1332 1363 141 0 1526

4.4 Considereu una p o-.-a :: a. número d 'obsen·aci ~a..., x2 de Pearson w o:::;: ::

Feb 95

- :r > µy tingui potencia

:'!::;.e .:orbes de potencia: i) - = +:. iv) per a = 0.10 i

·~ r5'Jeix una distríbucíó =1.-. :;_-"'la suma de vegades :;;: ..-:;. ser de 15169 vegades, - ':•:0.)(}5 amb un nívell de

Tema 3. 12

4. PROVES PERA LA VALIDESA D'UN MODEL

4.1 Papers i grafics de probabilitat

4.2 La prova de x2

4.3 Aplícacíó de la prova de la raó de versemblan~a per a dístríbucíons multínomials

4.4 La prova de Kolmogorov-Smirnov

EXERCICIS:

4.1 La dístríbució de Poísson es pot utílitzar coma model de trafic quan aquest és lleuger, ja que es basaría en el fet que si la taxa d'arribada és aproximadamaent constant i el trafic no és gaire dens (és adir, els cotxes poden circular independentment un deis altres), la dístribució del nombre de cotxes en un interval de temps donat , o en una area donada, és aproximadament Poísson. A continuacíó donem una taula que mostra el nombre de girs a la dreta durant 300 intervals de 3 minuts a un encreuament donat. Aquests 300 intervals estan distribu"its durant varíes hores del dia i varis dies de la setmana. Ajusteu una distribució de Poisson i feu una prova d'ajustament usant l'estadístic x2 de Pearson .

n frequencia

o 14

1 30

2 36

3 68

4 43

5 43

6 7 30 14

8 9 10 6

10 4

11 1

12 1

13+ o

4.2 En un estudi ecologic sobre el comportament alimentici deis ocells, es va comptar el nombre de salts (n) entre vols per a uns quants ocells. A partir de.les dades següents, ajusteu la distribució geometrica, trobeu un interval de confian~a pera pi feu una prova d'ajustament.

n frequencia

1 48

2 31

3 20

4 9

5 6

6 5

7 8 9 4 2 1

10 11 1 2

12 1

4.3 La següent taula dóna el número de morts degut a caigudes accidentals pera cada mes de l'any 1970. Trobeu alguna evidencia per a pensar que el número de morts per mes no es distribueix uniformement? Trobeu alguna tendencia estacional?

mes núm. morts Gener 1668 Febrer 1407 Mar~ 1370 Abril 1309 Maig 1341 Juny 1338 Julio! 1406 Agost. 1446 Setembre 1332 Octubre 1363 Novembre 1410 Decembre 1526

4.4 Considereu una prova d'ajustament. per a una distribució multinomial amb dues classes. Denotem el número d'observacions a cada classe per Xi i X2 i les probabilitats de cada classe per p¡ i P2· L'estadístic x2 de Pearson ve donat per

2 Q = ¿(X; - np;)2

np¡ i =l


Demostreu que

i que sota Ho: p¡ = P?, Q - xr Q = (X1 - np1)2

np1(1 - p 1)

4.5 Al 1965, un diari va publicar una historia sobre un estudiant que afirmava que havia llen<;at una moneda 17950 vegades i que havia obtingut 9207 cares i 8743 creus.

a) Representa aquest resultat una discrepancia important sobre la hipotesi H 0 : p = 0.5?

b) Un estadístic es va posar en contacte amb ell i li va preguntar que com havia fet l'experiment. L'estudiant per estalviar-se temps havia fet· grups de 5 monedes i havia registrat els següents resultats:

número cares freqüencia o 100 1 524 2 1080 3 1126 4 655 5 105

Són aquestes dades consistents amb l'hipotesi que les monedes eren equilibrades?

c) Són aquestes dades consistents amb l'hipotesi que les 5 monedes tenien la mateixa probabilitat de cares encara que aquesta no fas necessariament 0.5?

4.6 En una mostra aleatoria de 1800 valors d'una distribució uniforme a l'interval (O, 1 ), es va trabar que 391 valors estaven entre O i 0.2; 490 valors entre 0.2 i 0.5; 580 valors entre 0.5 i 0.8; i 339 valors entre 0.8 i l. Contrasteu l'hipotesi nulla Ho : La mostra prové d'una U(O, 1), mitjan<;ant una prava d'ajustament de x2 amb probabilitat d'un error de tipus I iguat a 0.01.

4.7 La distribució de les al<;ades deis homes d'una gran ciutat se suposa que es distribueix normalment amb mitjana 173 cm. i desviació estandar 2.54 cm. Vam agafar una mostra de 500 homes d 'aquesta ciutat i vam obtenir la següent distribució: 18 homes mesuraven menys de 168 cm.; 177 homes mesuraven entre 168 cm i 171 cm.; 198 homes mesuraven entre 171 cm i 174 cm.; 102 homes mesuraven entre 174 cm i 178 cm.; 5 homes mesuraven més de 178 cm.

a) Penseu que aquesta mostra és representativa deis homes que viuen en aquesta ciutat en el que fa referencia a l'al<;ada?.

b) Abaos d'haver agrupat en intervals aquestes al<;ades es va trabar que la mitjana d'aquests 500 homes era Xn = 171. 7 cm i la varian<;a mostral n~ 1 S2 = 2.54cm2 . Torneu a contestar la pregunta de l'apart.at a) fent servir ara la nova informació.

4.8 La següent taula dóna 50 valors. Feu servir la prava de Kolmogorov-Smirnov per a contrastar que:

a) Les 50 dades són una mostra d 'una distribució normal de mitjana 26 i de varian<;a 4.

b) Les 50 dad es són una mostra d 'una distribudó normal de mitjana 24 i de varian<;a 4.

25.088 25.996 26 .560 24.432

Feb 95

26.615 26 .516 25 .844 23.593

25.468 28.240 26 .964 24 644

27.453 23.845 25.980 30.432 23 .382 25.282 26.849 26.801

Lupe Gómez Tema 4. 14

26.303 23 01 6 21 .r~

24.317 29.778 29.5~5

29.263 27.924 21.5-~

28.478 23.896 26. :.: 24.078 27.228 2i .43::: 24.466 25.153 25 .8~ .... --

Mostra 1, Dades exe;-

4.9 Se seleccionen 25 o També seleccionem :.: :: G. Feu servir la pro·."':.= 1

a) Les dues pobla.¡:!:.::_;; ·

b) Si X denota la - ~

prava d 'hipo ---c) Amb la mateixa - - · ~ -

X i de 3Y són ic:=::.-

061 0.29 o 06 c_J; -0.74 0.51 -0 .56 -- . : 0.05 -0.06 o 64 -C ; :

1.77 1.09 -1.2 '1 :

1.05 -0.32 -040 -

Mostra 1, Exercici .; =

2.20 0.00 -0.30 -0.37

1.66 0.96 0.66 0.38

1.38 e ::: 1.56 o ~

2.31 3 - = o 10 e i _

Mostra 2, Exercici 4 :.

4.10 Les duracions en u:i:~ :.= 76 87 93 105 11 2 L.; : - -

a) Feu servir un ?.?=". -d'una llei exp-r.=- - "-

b) Calculeu ara e · "--

c) Feu una pro'" -

d) Feu la prava :.= .::. exponencial

e) Discutiu les <ke: -:-

Feb 95

_ -= ~:::Y1a Llenc;at una moneda

.e: p = 0.5?

:;:;::;:;. '.::n i a fet l 'experiment. í:;.a..-;s rcgistrat els següents

·~~,..

~ ,.,-. a:eixa probabilitat de

~-~ : l¡. es va trabar que = • : S i 339 valors entre 0.8

-a prava d'ajustament

- ·-e-. -::;rneix normalment amb

~ - '.:0rnes mesura ven entre ~ ~...raven entre 174 cm i

~-~ª ciutat en el que fa

__ . :::. ;:;:¡_j¡jana d 'aquests 500 -=-~= a contestar la pregunta

:;~: a cont rastar que:

- ~ "'3..'1an~ 4.

-~ ~'lanc;a 4.

Tema 4. 14

26.303 23.016 27.378 25 .351 23.601 24.317 29.778 29 585 22.147 28 .352 29.263 27.924 21.579 25.320 28.129 28.478 23.896 26.020 23.750 24.904 24.078 27.228 27.433 23.341 28.923 24.466 25.153 25.893 26.796 24.743

Mostra 1, Dades exercici 4 .8

4.9 Se seleccionen 25 observacions (Mostra 1) a l'atzar de la població 1 amb distribució desconeguda F. També seleccionem 20 observacions (Mostra 2) de la població 2 amb funció de distribució desconeguda G. Feu servir la prava de Kolmogorov-Smirnov per a contrastar que:

a) Les dues poblacions tenen la mateixa distribució.

b) Si X denota la v.a. que representa la població 1 i Y la v.a. que representa la població 2, feu la prava d'hipotesi que les funcions de distribució de X+ 2 i de Y són identiques.

e) Ambla mateixa notació que a l'apartat b) feu la prava d'hipotesi que les funcions de distribució de X i de 3Y són identiques.

061 0.29 0.06 0.59 -1.73 -0.74 0.51 -0.56 -0 .39 1.64 0.05 -0.06 0.64 -0.82 0.31 1.77 1.09 -1.28 2.36 1.31 1.05 -0.32 -0.40 1.06 -2 .47

Mostra 1, Exercici 4.9

2.20 1.66 1.38 0.20 0.36 0.00 0.96 1.56 0.44 1.50 -0.30 0.66 2.31 3.29 -0 .27 -0.37 0.38 0.70 0.52 -071

Mostra 2, Exercici 4.9

4.10 Les duracions en hores de 37 components han sigut les següents: 10 15 20 22 32 40 42 46 48 51 60 71 76 87 93 105 112 116 127 131 172 195 207 219 238 260 300 342 382 435 460 490 520 600 630 670 770

a) Feu servir un paper de probabilitat semilogarítmic per a veure si aquestes duracions són una mostra d'una llei exponencial de parametre B. Calculeu amb l'ajuda del grafic el valor del parametre O .

b) Calculeu ara el valor del parametre O mitjan~ant el metode de la maxima versemblan~a.

c) Feu una prava x2 prenent coma valor de O el trobat a l'apartat b).

d) Feu la prava de la raó de versemblan~a generalitzada per a decidir si la mostra prové d'una llei exponencial.

e) Discutiu les diferencies entre e) i d) i raoneu quina de les dues praves és més adequada.


4.11 Es consideren els cicles de funcionament de 15 relés electrícs observats fins a fallar, on el críteri de falla consisteix en superar un determinat nivel! de resistencia al contacte. Els temps de falla observats són : 6.2, 9.0, 10.2, 12.1, 12.6, 14.4, 14.7, 16.l, 18.6, 20.5, 20.6 , 23 .0, 26.7, 27.6 34.4. Ajusteu un model de Weibull per aquestes dades mitjanc;ant

a) un paper de probabílítat

b) el metode de la maxíma versemblanc;a (i l'ajut del paquet estadístic que preferí u). Calculeu en ambdós casos els parametres a i /3 .


5. METODES NO PAR.A

5.1 La prova deis s.::-"5

5.2 La prova deis ra.::.:'

EXERCICIS:

5.1 Un estudies real i za , - -10 coíxinets de cada ~ ; .-;: cicles):

típus I tipus II 3.03 3.19 5.53 4.26 5.60 4.47 9.30 4.53 9.92 4.67 12.51 4.69 12.95 12.78 15.21 6.79 16.04 9.37 16.84 12.75

Es tracta de plan e)a: <. -

podem rebutjar fent ser.-::

a) La teoria basa ;;. =.::. •

b) Una prava nop - ~-=··

5.2 Trobeu la distribua :S :: ._

5.3 Es pretén compara..- .....:. - _ itzar les dosis d 'arn,_.- -:;_ En la següent tau)a ::~::se _ trabada fent sen-iI ~~ : tematica ent re e!s dos -=

Metode A Metode B 97.2 97.2 105.8 97.8 99.5 96 2 100.0 101.8 93 .8 88 .0 79.2 740. 72.0 75.0 72.0 67.5 69.5 65.8 20-5 21.2 95.2 94 .8 90 .8 95 .8 96.2 98 .0 96 .2 99 o

Feb 95

, :;. ;":!.'..:ar . on el criteri de falla '"-;;;:is de falla observats són:

~ -: Ajusteu un model de

referi u). Calculeu en

Tema 4. 16

5. METODES NO PARAMETRICS

5.1 La prava deis signes

5.2 La prava deis rangs signats de Wilcoxon

5.3 La prava de Wilcoxon-Mann-Whitney

EXERCICIS:

5.1 Un estudies realitza amb l'objectiu de comparar coixinets fets de dos tipus (tipus I i tipus 11) . Es proven 10 coixinets de cada tipus. La següent taula dóna els temps fins que fallen (les unitats són milions de cicles):

tipus I tipus II 3.03 3.19 5.53 4.26 5.60 447 9.30 4.53 9.92 4.67 12.51 4.69 12.95 12.78 15.21 6.79 16.04 9.37 16.84 12.75

Es tracta de plantejar la hipotesi que no hi ha diferencia entre els dos tipus de coixinets i mirar si la podem rebutjar fent servir:

a) La teoria basada en la suposició que la vida deis coixinets segueix una distribució normal,

b) u na prava noparametrica. Quin deis dos metodes és millar?

5.2 Trobeu la distribució nulla exact.e de l'estadístic deis rangs signats de Wilcoxon quan n=4.

5.3 Es pretén comparar un met.ode microbiologic (Metode A) i un altre hidroxilamin (Metode B) per analitzar les dosis d 'ampicilina. En una serie d'experiments parells de tabletes s'analitzen pels dos metodes. En la següent taula ( dades de Lin, Sutton i Qurashi' 79) donem els percentatges de quantitat d'ampicilina trabada fent servir els dos metodes. Analitzeu les dades per a determinar si hi ha una diferencia sistematica entre els dos metodes.

Metode A Metode B 97.2 97.2 105.8 97.8 99 5 96.2 100.0 101.8 93.8 88.0 79.2 740. 72.0 75 .0 72.0 67.5 69.5 65.8 20-5 21.2 95.2 94 .8 90 8 95 .8 96 .2 98 .0 96 .2 99 .0


91.0 100.2

5.4 Volem comparar l'efectivitat de dues drogues A i B que serveixen pera reduir la concentració de glucosa a la sang. La droga A s'administra a 25 pacients i la droga B a 15 pacients. Les dades es donen en les taules de més avall. Creieu que les dues drogues són igual d'efectives o pel contrari una és més efect iva que l'altre. Respongueu a aquesta pregunta fent servir tots els tipus de proves que coneixeu i cont rasteu els resultats.

0.35 1.12 1.54 0.13 0.77 0.16 1.20 0.40 1.38 0.39 0.58 0.04 0.44 0.75 0.71 1.64 0.49 0.90 0.83 0.28 1.50 1.73 1.15 0.72 0.91

Dades droga A, Exercici 5.4

1.78 1.25 1.01 1.82 1.95 1.81 0.68 1.48 1.59 0.89 0.86 1.63 1.26 1.07 1.31

Dades droga B, Exercici 5.4


6. ESTIMACIÓ BAYE~

6.1 Distribuciom; a;: -

6.2 Distribucio < a ;: _

6.3 Estimadors de Ba:; ~

EXERCICIS:

6.1 Suposem que la p .-- _ probabilitat a prio~~ := : es troben 2 defect = :

6.2 Suposem que la p o;:=· = priori de e és unifo:--;: ~ defectuoses. Detenru.::.;:-_

6.3 Suposem que tenim ...;::;. _ que el valor de e és :::::s.::.:::

a) Si el valor obse •T ::_

b) Si ara seleccior:= • ll.4, x 1 = 10."

6.4 Suposem que la p ;::~ _

a priori de e és be'?.. - = defectuoses.

a) Determineu la J.:=.. a:

b) Suposem que de;-;: -:s. .0392 i de va.ria.e a -

6.5 Sigui 8 el nombre e és desconegu t i q d 'inspeccionar una = · !.

6.6 Les al~ades deis ii;::. :. -' sconeguda e i a.mb : =- ' -mitjana 170 cm i e= :.=:>

a) La mitjana de e.

b) Calculeu !'in-":-""' :. priori i done• a:;._=:~

e) Calculeu 1·io:e. ;... = posteriori i do:::_ , -

6.7 El temps (en mm ·;., ~-~

parametre e deseo::;:,,_·

Feb 95

: ~?. :::oncentració de glucosa • • :'...e:s dad es es donen en les

:::;:.;;:-;.ra.ri una és més efectiva =s: :;. '!e coneixeu i contrasteu

Tema 5. 18

6. ESTIMACIÓ BAYESIANA

6.1 Distribucions a priori i a posteriori

6.2 Distribucions a priori conjugades

6.3 Estimadors de Bayes

EXERCICIS:

6.1 Suposem que la proporció (}de components defectuoses d'un gran lot éso bé 0.1 o bé 0.2, i la funció de probabilitat a priori de (} és l/J(O .l) = 0.7 i l/i(0.2) = 0.3. Es seleccionen 8 components del lota l'atzar i es traben 2 defectuoses. Determineu Ja funció de probabilitat a posteriori de (} .

6.2 Suposem que Ja proporció (} de components defectuoses d'un gran lot és desconeguda, i la distribució a priori de(} és uniforme en l'interval (O, 1). Es seleccionen 8 components del lota l'atzar i es traben 3 defectuoses. Determineu la llei a posteriori de (}.

6.3 Suposem que tenim una observació X d 'una distribució uniforme a l'interval (O - 0.5, (} + 0.5); suposem que el valor de (} és desconegut i que la llei a priori de (} és l'uniforme en l'interval (10, 20) .

a) Si el valor observat de X és x = 12, quina és la distribució a posteriori de (}? .

b) Si ara seleccionem sis observacions i observem X¡ = ll.O,x2 = ll.5,X3 = ll.7,x4 ll.4 ,x1 = 10.9, quina és la distribució a posteriori de O?.

11.1,xs =

6.4 Suposem que la proporció (} de components defectuoses d'un gran lot és desconeguda, i la distribució a priori de(} és beta(a = 2,(3 = 200). Es seleccionen 100 components del lota l'atzar i es traben 3 defectuoses.

a) Determineu la llei a posteriori de O.

b) Suposem que després d 'observar 3 peces defectuoses la distribució a posteriori és una beta de mitjana .0392 i de variancia 3.658 x 10-4 . Determineu la llei a priori de O.

6.5 Sigui (} el nombre mig de defectes per cada 100 peus d'una cinta magnetica. Se suposa que el valor de (} és desconegut i que la distribució a priori de (} és una gamma de parametres a = 2 i (3 = 10. Després d'inspeccionar una cinta de 1200 peus es traben 4 defectes. Determineu la llei a posteriori de O.

6.6 Les al~ades deis individus d 'una certa població segueixen una distribució normal amb mitjana desconeguda (} i amb desviació estandar 5cm. Se suposa que la distribució a priori de (} és una normal de mitjana 170 cm i de desviació estandar 2.5cm.

a) La mitjana de 10 persones seleccionades a l'atzar és de 174 cm. Determineu la llei a posteriori de O.

b) Calculeu l' interval d 'amplada 2.5 cm que contingui el valor de (}ambla maxima probabilitat a priori i doneu aquesta probabilitat .

c) Calculeu l' interval d'amplada 2.5 cm que contingui el valor de (} amb la milxima probabilitat a posteriori i doneu aquesta probabilitat.

6.7 El temps (en minuts) que es triga en atendra un client en una botiga segueix una llei exponencial de paramet re (} desconegut . la distribució a priori de (} és una gamma amb mitjana 0.2 i desviació estandar


igual a 1. Si el temps que s'ha trigat en atendre a 20 clients ha sigut de 3.8 minuts , quina és la distribució a posteriori de 8.?

6.8 Suposem que la proporció 8 de components defectuoses d 'un gran lot és desconeguda, i la distribució a priori de 8 és beta(or = 5, /3 = 10). Es seleccionen 20 components del lota l'atzar i es traben 1 sola component defectuosa. Determineu ]'estimador de Bayes de 8 si fem servir com a funció de perdua !'error quadratic.

6.9 Les ali;ades deis individus d'una certa població segueixen una distribució normal amb mitjana desconeguda 8 i amb desviació estandar 5 cm. Se suposa que la distribució a priori de 8 és una normal de mitjana 170 cm i de desviació estandar 2.5 cm. La mitjana de 10 persones seleccionades a l'atzar és de 174cm.

a) Determineu !'estimador de Bayes de 8 si fem servir coma funció de perdua !'error quadratic.

b) Determineu !'estimador de Bayes de 8 si fem servir coma funció de perdua l'error absolut.

6.10 Denotem per 8 la proporció de votants d'una gran ciutat que estan d'acord amb una certa llei. Suposem que aquest valor 8 és desconegut i que dos estadístics A i B assignen a 8 les següents densitats a priori 1/!A(O) i 1/!B(B) , respectivament:

1/!A(O) = 211 per O< 8 < 1

1/!B(O) = 4113 per O < 11 < 1.

En una mostra de 1000 votants hi han 710 en favor de la llei.

a) Determineu la llei a posteriori de 8 que cada estadístic assigna a 11.

b) Determineu !'estimador de Bayes de 8 que cada estadístic calcularia si fessim servir coma funció de perdua !'error quadratic.

e) Demostreu que després de coneixer les opiniops de 1000 votants els estimadors de Bayes proposats pels dos estadístics no poden diferir en més de 0.002 amb independencia del nombre de votants que haguessin votat en favor de la llei.


PROBLEMA 1

Suposeu que prenerr: -Calculeu la grandaria e - ~

PROBLEMA 2

Suposem que (X . }' ~ -aleatories independen < - - -

!'origen) per tal que el -

PROBLEMA 3

Suposem que Y1 . }': : 1

Determineu una constan· r · :;:.

segueixi una distribució

PROBLEMA 4

La distribució de Pa... _ amb una cua que decre:x a ;:

Suposem que el o.. ::: ::, :

a) Calculeu l'e,,7e:=;<. X1 , .. . , ...\~ -, ~

b) Trobeu l 'est irr:;a::: - :

e) Trobeu !'es in::;3..: : - -

d) Quina llei a.s·

PROBLEMA 5

Disposem d 'una rn --..

Doneu un estadíst ic si·=-=-- · -

Feb 95

-::;s. quina és la distribució

""'"--C::egt!da, i la distribució ::. : ::.:2ar i es traben 1 sola ·- :cm a funció de perdua

·;:;.=::;:;a] amb mitjana de:.-; ::e 8 és una normal de ~c.::io:iades a l'atzar és de

' •·error quadratic.

-~" terror absolut .

~ =~ certa !leí. Suposem ' :;:-~=::~ densitats a priori

~ -~n·ir com a funció

~..;.:-:rs de Bayes proposats ::""' ::.ombre de votants que

Tema 6. 20

PROBLEMA 1

ESTADISTICA MATEMATICA 11 EXAMEN 1

22 d'abril de 1992

Suposeu que prenem una mostra aleatoria d'una distribució exponencial de mitjana 8 desconeguda. Calculeu la grandaria de mostra necessaria per tal que

E{I Xn - 8 12 } :s 0.01

PROBLEMA 2

Suposem que (X, Y) és un punt que s'ha d'escollir del pla real i que X i Y indiquen dues variables aleatories independents amb distribució normal estandar. Quin ha d'ésser el radi del cercle C (centrat a l'origen) per tal que el punt (X, Y) sigui dins de C amb probabilitat 0.99?

PROBLEMA 3

Suposem que Y1, Y2, Y3, Y4 , Y5 , Y6 són variables aleatories independents amb distribució normal estandar. Determineu una constant k tal que la variable aleatoria

k(Y1 + Y2) (Yi + Yi + y52 + Yt)1/2

segueixi una distribució t de Student.

PROBLEMA 4

La distribució de Pareto s'utilitza en ciencies economiques com a model per a una funció de densitat amb una cua que decreix a poc a poc:

f(x ;xo,8) = 8xgx-B-I , X 2: Xo , 8 >l.

Suposem que el valor x 0 és conegut.

a) Calculeu l'esperan~a d 'una v.a. X que segueix una distribució de Pareto. Disposem d 'una mostra X1, ... , X,. d'una llei de Pareto.

b) Trobeu ! 'estimador Ó¡ de 8 pe! metode deis moments.

e) Trobeu !'estimador Ó2 de 8 pe! metode de la maxima versemblan~a.

d) Quina llei asimptotica segueix 02 .? Precisseu en particular la seva varianc;a.

PROBLEMA 5

Disposem d'una mostra X 1, ... , Xn d'una llei que té per funció de densitat

8 f(x ; fJ) = (1 + x)B+I , o < ()< 00 o :s X< OO .

Doneu un estadístic suficient. per a 8. Raoneu la resposta.

Feb 95 Lupe Gómez Exam 21


25 de maig de 1992 PART 1

a) Enuncieu i demostreu, en el cas discret, el Lema de Neymann-Pearson. Utilitzeu una notació clara i definiu tot els conceptes que utilitzeu.

b) Suposeu que una observació X s'ha d'agafar d'una distribució amb funció de densitat:

f(x; O) = { 2(1 - O)x +O per O :S x :S 1 O altrament,

a on el valor del parametre O és desconegut (O :S O :S 2). Suposem que volem resoldre el següent contrast:

Ho: O =2,

H1: O =0.

Nota: Els tres apartats que ara segueixen es poden resoldre independentment.

bl) Determineu el procediment 61 tal que a(61) + 2¡3(61) és un mínim, i calculeu aquest valor mínim.

b2) Suposeu que el valor de a ha sigut donat (O< a< 1). Determineu el procediment 62 tal que ¡3(62 ) és un mínim, i calculeu aquest valor mínim.

b3) Suposem ara que volem resoldre el següent contrast:

Ho:B~I ,

H1 : O <l.

Determineu la funció de potencia del procediment 63 que rebutja l'hipotesi nulla si X > 0.9. Quina és la talla d'aquest procediment.?

PART 2

Sigui X¡, ... , Xn una mostra d 'una població normal de mitjana µ desconeguda i de varian~a u 2 desconeguda. Desenvolupeu la prova de la t de Student per a contrastar

Ha:µ ~µo,

H1: µ <µo.

mitjan~ant el procediment de la raó de versemblan~a. Discutiu quines són les propietats de la prova t de Student.

PART 3

a) Sigui X 1 , .•• , Xn una mostra d 'una població que es distribueix segons una funció de distribució F contínua i desconeguda. Sigui F* una funció de distribució donada. Discutiu els diferents procediments que ens permeten saber si les dades queden ben ajustades per F*. En cada cas expliqueu sota quines condicions utilitzarieu un procediment o un altre.

b) Un grup de 23 rates que s'ha utilitzat amb finalitat experimental té un pes mitja de µ0 = 370.6gr i una desviació estandar <To = 29. lgr. Les dad es són les següents:

356.4 362.5 394.7 356.0 387.6 305.1 385.1 383.2 346.6 314.2 394.8 370.7 370.8 434.2 365.2 377.1 365.9 384.4 297.4 404.3 412.0 349.1 344.5


Utilitzeu la preva == ;.:= N(µo,uo).

PART4

a) Els temps de -.

0.88 1.33 1.32 o. al) Creieu

a2) En ca.s

a3) Quina p:".:;::-- =

a4) Quin és e. ;::=:-

b) Les següen < a.:.~ =~

esta forma pe; : : - : anys. Les de.Ces s:::::.

X (20-30 anys) y ( ~ :~::, _ _;.;:: 135 29~

222 31 1 251 2 260 264 269 2ií 235 336 386 252 352 173 156

205 346 23-11 2~

Podeu concloure g-= la preva que us sembl: r:::~ ;;.:-·

Feb 95

··ili tzeu una notació clara

· de densitat:

-~ .-olem resoldre el següent

·-·.,-ent.

- ·- i c.alculeu aquest valor

~ procediment 62 tal que

~;>Otesi nulla si X > 0.9.

_.::a t de varian<;a u2 deseo-

;::i;;ietats de la prova t de

:.;; ".!.:;a fu nció de distribució •'!.:::! Discutiu els diferents

::s per F• . En cada cas ~

.:: ?::S mitj a de µo = 370.6gr

5 -l34.2 365.2 377.1 365 .9

Exam 22

Utilitzeu la prova de Kolmogorov-Smirnov per a decidir si la distribució deis pes d'aquestes rates és N(µo,uo).

PART4

a) Els temps de falla en hores d'una component d'un avió són les següents:

0.88 1.33 1.32 0.22 1.54 1.00 2.50 0.50 3.00 1.76

al) Creieu que el model de Weibull és apropiat? Raoneu la resposta.

a2) En cas afirmatiu, estimeu el valor deis parametres a i /3.

a3) Quina proporció de components funcionen correctament més d'una hora?

a4) Quin és el percentil del 10%?

b) Les següents dades descriuen el nivell de colesterol a la sang de dos grups d'homes. El primer grup esta format per 11 homes entre 20 i 30 anys i el segon grup esta format per 11 homes entre 40 i 50 anys. Les dades són les següents:

x (20- 30 anys) y (40- 50 anys) 135 294 222 311 251 286 260 264 269 277 235 336 386 208 252 346 352 239 173 172 156 254

Podeu concloure que el nivell de colesterol és significativament més alt en els homes més grans? Utilitzeu la prova que us sembli més apropiada i raoneu el perque de la vostra elecció.


PROBLEM 1

ESTADISTICA MATEMATICA 11 EXAMEN FIN AL 22 de juny de 1992

La següent taula dóna els comptatges observats en intervals d'un segon a l'experiment dut a terme per Berkson sobre l'emissió de partícules a . Es tracta de comprovar si la distribució de Poisson ajusta be aquestes dades.

Les dades són les següents: n observat o 5267 1 4436 2 1800 3 534 4 111 5+ 21

PROBLEM 2

Disposern d'una mostra X 1 , .•. , Xn d'una llei que té per densitat

f(x;(J) = ((} + 1)x6 , O::=; x ::=;l.

a) Calculeu l'esperan<;a i la varian<;a de X.

b) Trobeu !'estimador 81 de (} pel rnetode deis mornents.

c) Quina llei asimptotica segueix 81 .? Precisseu en particular la seva varian<;a. Indicació: Feu servir el Teorema Central del Lírnit i el rnetode Delta.

d) Trobeu !'estimador 82 de (} pel metode de la mii.xirna versemblan<;a.

e) Quina llei asimptotica segueix 82 .? Precisseu en particular la seva varian<;a.

f) Calculeu l'eficiencia relativa asimptotica de 81. respecte 82. i deduiu quin deis dos estimadors és rnés eficient.

PROBLEM 3

a) Enuncieu i demostreu el teorema de Rao-Blackwell.

b) Sigui X 1 , ... , X n una mostra d 'una llei que té per densitat

1 -X

f(x;(J) = 6(}4 x3eT , O< x < oo,O < (} < oo.

a) Trobeu un estadístic suficient per a (}.

b) Utilitzeu el teorema de Rao-Blackwell pera trobar un estadístic suficient que ens millori la varian<;a.

PROBLEM 4

Sigui X 1 , .• • , Xn una rnostra d'una població normal de mitjana µx desconeguda i de varian<;a crk desconeguda i sigui Y1 , . • • , Yn una mostra d'una població normal de mitjana µy desconeguda i de varian<;a cr~ desconeguda. Sigui Li > O un valor conegut..

Feb 95 Lupe Gómez Exarn 24

Desenvolupeu la ;:: -

Especifiqueu l 'estadís::: ~ -"' expressions per a la ;;. ::~ 1

Feb 95

~erirnent dut a terme e Poisson ajusta be

,J.:: ;a. lndicació: Feu servir

~-,;z

_ __.:: deis dos estimadors és

'°

• :;~= ens millori la varian<;a.

-: _:a i de varian<;a O'k desneguda i de varian<;a O'?

Exam 24

Desenvolupeu la prava de la t de Student per a contrastar

Ho: µx =µy+ Á,

H1 : µx #-µy+ Á.

Especifiqueu l'estadístic que utilitzeu, la distribució nulla d'aquest estadístic, la regió de rebuig,i doneu expressions per a la talla de la prava i per a la potencia de la prava.


ESTADISTICA MATEMATICA II EXAMEN FINAL

7 de setembre de 1992

La duració de !'examen és de 3 hores (sense interrupció).

Només podeu tenir amb vosaltres les taules estadístiques i la calculadora.

PROBLEMA 1

Aquest problema fa referencia a l'estimació de la varian~a d'una distribució normal de mitjana desconeguda a partir d'una mostra X1, .. . , Xn de v.a. normals. Considerem tres possibles estimadors de la varian~a poblacional:

52 =-l-t(X; - X)2 n -1 i=l

fr2 =~ t(X; - X)2 n t=t

n

u; =p L(X; - X)2 i=l

(1) Calculeu el biaix de cadascun d'aquests tres estimadors. Quins d 'aquests són no esbiaixats?

(2) Calculeu la varian~a de cadascun d'aquests tres estimadors.

(3) Calculeu l'error quadratic mitja deis dos primers estimadors.

(4) Per quin valor de p !'estimador,,.; té error quadratic mitja més petit?

(5) Quin estimador escollirieu i per que?

PROBLEMA 2

Siguin X1 , ... , Xn v.a. independents distribu'ides segons una llei uniforme a l'interval [O, O] . Denotem per X(n) el maxim de les n V.a.

(1 ) Calculeu la distribució de ~·

(2) Doneu un interval de confian~a per a O de nivell 0.9.

PROBLEMA 3

La v.a. X segueix una distribució exponencial de parametre >. = 1 o>.= 2. Volem contrastar amb una mostra de mida 1 les hipotesis H o : >. = 1 contra H 1 : >. = 2.

( 1) Calculeu les probabilitats deis errors de ti pus 1 i de ti pus lI quan la regió d 'acceptació és A 0 = { x ::; 1}.

(2) Calculeu les probabilitats deis errors de ti pus 1 i de ti pus lI quan la regió d 'acceptació és A 1 = { x :'.:'. 0.07}.

(3) Quina de les dues proves definides per les regions d 'acceptació deis apartats 1 i 2 tria.rieu?

( 4) Trobeu el valor de k per tal que la suma dels errors sigui mínima quan la regió d'acceptació és Ak = {x :'.:'. k}.


PROBLEMA 4

Disposem d 'una G::»"2

1) Trobeu l'est = -·

2) Trobeu 1·=== -

3) Calculeu la'.::_:: la resposta

4) Enuncieu i =- -~

trobar un es> -~ :

Feb 95

:: normal de mitjana des~ ;:·= ibles estimadors de la

- ::o esbiaixats?

' ~ , t:n~rval [O,B) . Denotem

,= !~m contrastar amb una

- ~~¡:;•ació és A0 = {x :::; l}.

·---;:~=ió és A1 = {x?: 0.07} .

. , : ! 2 triarieu?

'acceptació és

Exam 26

PROBLEMA 4

Disposem d 'una mostra X 1 , ... , Xn d 'una llei que té per densitat

f(x; O)= e-(r-D), O E R, B :S x < oo.

i) Trobeu !'estimador 01 de o pe! metode deis moments.

2) Trobeu !'estimador 02 de o pe! metode de la maxima versemblan~a.

3) Calculeu la funció de densitat de !'estimador ae maxima versemblan~a, 02 . És 02 suficient? Raoneu la resposta.

4) Enuncieu i demostreu el teorema de Rao-Blackwell. Utilitzeu el teorema de Rao-Blackwell per a trabar un estadístic suficient., no esbiaixat i amb varian~a més petita que la de B2.


PROBLEM 1


19 d'abril de 1993

Sigui X1, .. . , Xn una mostra d'una llei exponencial de parametre >.. Demostreu que la v.a.

segueix una llei beta de parametres ( 1, n - 1).

PROBLEM 2

La vida (en hores) d'una component electronica és una variable aleatoria T que es distribueix comuna exponencial amb taxa de falla>.. Estem interessats en la probabilitat de que aquesta component falli (mori) abans de 3 hores. Per aixo prenem n components electroniques i anotem llurs vides; és adir, disposem d'una mostra de grandaria n, T1 , .. • , Tn.

a) Calculeu la probabilitat p = p(>.) que una component electronica falli abans de 3 hores.

b) Estimeu p pel metode deis moments. Doneu una interpretació a !'estimador obtingut. Indicació: Definir

X; = { 1 si T; ::; 3 O si T; > 3

e) Cerqueu un estadístic suficient i complet per aquesta familia. Raoneu la resposta.

d) Trobeu un estimador U.M.V.U. per p. Indicació 1: Sigui S(X1) = l(X1::; 3). Tenim que E(S(X1)IT = t) = Prob(X1 $ 3IT = t). Indicació 2: Feu servir el resultat del problema 1.

PROBLEM 3

(Opcional)

Sigui X 1 , .. . , Xn v.a. independents i identicament distribu"ides amb funció de densitat

1 f(x;0) = 604 x3 exp{-x/O} per O<x<oo i 0>0.

a) Obtingueu, mitjan~ant el metode deis moments, un estimador per a O.

b) Calculeu la variancia de !'estimador obtingut a l 'apartat a).

e) Obtingueu, mitjan~ant el metode de la maxima versemblan~a, un estimador per a O.

d) Doneu la llei asimptotica de !'estimador de maxima versemblan~a .

e) Podeu concloure que !'estimador de maxima versembln~a és eficient? Raoneu la resposta.


PROBLEM 1 (3 par s

(a) Siguin U i i · du=5 segueix una dis;_ ,:: _:.: •

(b) Siguin U i V d es Demostreu que :,,,. ·.

(c) Siguin U i V du=5 • , Demostreu que f :::::;· --=

lndicació: La func. :.~ :

Nota: Els tres a a:-¿« ;.

apartats anteriors en~ :' . :o

PROBLEM 2 (6 pun·s

Disposem d"una r:r: -:-:;.. •

PART 1: Suposem primer ~ ~

(a) Calculeu res - >.:.:·

(b) És aquestes- -3.:.-~

(e)

PART 2: Suposem ara que e

( d) Calculeu res- ~ - -

(e) És l 'est imat!.:i: - ~

PART 3: Suposem per úl im ..,.e :::

( f) Calculeu els es- - :..:.

QÜESTIÓ: (1 pune

La informació " f ··e·

Feb 95

- ~ que la v.a.

i::.-e es distribueix comuna """ª component fallí (mori) ~ es adir, disposem d'una

o.==s de 3 hores.

-or obtingut.

~ ~-nosta .

•~2 1 Xi ~ 3IT = t).

::= ::ensitat.

0 - {) ; per a 11.

'";;eu la resposta.

Exam 28

PROBLEM 1 (3 punts)

EXAMEN FINAL. PRIMER PARCIAL 22 de juny de 1993

(a) Siguin U i V dues v.a. independents distribu'ides segons una llei normal estandar. Demostreu que U /V segueix una distribució t de Student amb un grau· de llibertat.

(b) Siguin U i V dues v .a. independents distribu'ides segons una llei normal amb mitjana O i variancia u2•

Demostreu que les v.a. U+ Vi U - V són independents.

(c) Siguin U i V dues v.a. independents distribuldes segons una llei normal amb mitjana O i variancia u2 .

Demostreu que g!~ segueix una distribució t de Student amb un grau de llibertat.

lndicació: La funció de densitat corresponent. a una t de Student amb 11 graus de llibertat és:

r(.!±!.) ( :z:2)-(v+l}/2 f(z ;v) = 1 _ -",;"' 1 "' 1 + ~ - oo < :z: < oo

Nota: Els tres apart.ats poden fer-se de forma independent i cada apartat pot utilitzar els resultats deis apartats anteriors encara que aquests no s'hagin demostrat.

PROBLEM 2 (6 punts)

Disposem d'una mostra X 1 , •. • , X,.. d'una llei que. té per densitat (11 >O, r >O)

{ e,e

f(z;ll,r) = F1 :z: 2: T

:z: < T

PART 1: Suposem primer que el valor de r és conegut i el de 11 desconegut.

(a) Calculeu !'estimador 81 de maxima versemblan~a de 11.

(b) És aquest estimadors 01 suficient pel parametre 11.

(c) Calculeu la distribució aproximada de 01 .

PART 2: Suposem ara que el valor de r és desconegut. i el de IJ conegut.

(d) Calculeu !'estimador f 1 de maxima versemblan~a der.

(e) És !'estimador f 1 suficient pel parametre r .

PART 3: Suposem per últim que els dos valor de r i de 11 són desconeguts.

(f) Calculeu els estimadors de maxima versemblan~a de 11 i de r .

QÜESTIÓ: (1 punt)

La informació de Fisher, el concepte d'eficiencia i la cota de Cramer-Rao.


PROBLEM 1 (3 punts)

ESTADISTICA MATEMATICA 11 EXAMEN FINAL. SEGON PARCIAL

22 de juny de 1993

S'experimenta amb 12 rellotges identics amb l'intenció de coneixer la distribució del seu temps de vida. Les duracions en mesos fins que van fallar són les següents: 30.5; 33; 33.1; 36; 42; 55; 55.5: 75.8; 76; 106; 106.5; 107.5.

(a) Estudieu graficament aquestes dades mitjan~ant un plot de la Weibull.

(b) Creieu que la distribució de Weibull ajusta correctament aquestes dades?

( c) Estimeu graficament els parametres de forma i escala.

( d) Utilitzeu el grafic per a estimar la mediana de la distribució.

(e) Penseu que seria raonable donar una garantía de 5 anys a aquests rellotges?

PROBLEM 2 (4 punts)

Sigui X 1 , . . . , X 0 una mostra d'una distribució que té per funció de densitat::

f(x;fJ) = fJx 8- 1 O< x < 1

a on el parametre (J > O és desconegut .. Es desitja saber si es pot concloure que (J > 1 basant-nos en una mostra de grandaria 8.

(a) Plantejeu formalment el problema.

(b) Demostreu que la funció de densitat conjunta té una raó de versemblan~a monotona en l'estadístic T. Precisseu l'expressió d'aquest estadístic.

(e) Demostreu que existeix una prova uniformement més potent (UMP) i determineu genericament la regió de rebuig d'aquesta prova.

( d) Es desitja concretar la regió de rebuig per un nivell de significació ao = 0.05. Indicació: Sigui X una v.a. distribu"ida segons una llei gamma de parametres (n,t). Cal utilitzar la següent relació:

Prob(X :'.:'.a)= Prob(Y ~ n)

on Y és una v.a. distribu"ida segons una llei de Poisson de parametre at, i utilitzar les taules de la Poisson.

PROBLEM 3 (2 punts)

Suposem que la v .a. X segueix una llei geometrica de parametre p; és a dir,

f(x;p)=(1-p)"'- 1p x=l,2, . . .

Suposem que a p li assignem una llei a priori uniforme a l'interval (0 ,1) .

(a) Calculeu la distribució a posteriori de p.

(b) Quin és ! 'estimador de Bayes de p si fem servir com a funció de perdua !'error quadratic.

QÜESTIÓ: (1 punt)

La prova deis Rangs Signats de Wilcoxon .


PROBLEMA 1 (3 p ~ -

Disposem d ºur::a e;:;.~ _

desconegut .

(a) Calculeu l"es irn<..-i· ·.:: _

(b) Calculeu l"estima.:::::· ::= _

(c) Calculeu la va.: · a.e a:.

PROBLEMA 2 (3 p -.

Lav.a. X se eu -a::..; mostra de mida 1 les :, ;:=·

(a) Calcule u les p a.:

(b) Calculeu les p ro!.:~

R1 = {x :'.:'. 0.01}

c) Quina de les dues ;::- 2

( d) Trobeu el valor e :e ;:- -

R,,={x $x }. PROBLEMA 3 (3 pum~

Denotem per - la;:::-;: - -;: que aquest valor T é;; _ ""--

tP A ( r) i tPB(r) , resp

En aquest s'han apu-. · : : • han 710 en favor de la =..

a) Determineu la lle: a ;: ~

b) Determineu l 'es - ?.-:: -- ::

perdua ! 'error qu - --;.· :

e) Demostreu que ~;3 - _

dos estadístics no ;:: : ::,, -anar d 'excursió.

QÜESTIÓ (1 punt l

Feb 95

_ - ~!:> del seu temps de vida.

_:- ; > 1 basant-nos en una

.::.;:a monotona en l 'estadístic

~ · ennineu genericament la

= :: .05. Indicació: Sigui X ·-ar la següent relació:

· · i util itzar les taules de la

-

_;. ."error quadratic.

Exam 30

PROBLEMA 1 (3 punts)

ESTADISTICA MATEMATICA II 1 de setembre de 1993

Disposem d'una mostra de grandaria n d'una població Weibull amb parametre f3 = 0.25 i a > O desconegut.

(a) Calculeu !'estimador de a, &1, pel metode deis moments.

(b) Calculeu !'estimador de a , &2 , pel metode de la maxima versemblan~a.

( c) Calculeu la variancia asimptotica de &2 .


La v.a. X segueix una distribució exponencial amb mitjana (} = 1 o(}= 0.5. Volem contrastar amb una mostra de mida 1 les hipotesis H 0 : (} = 1 contra H1 : (} = 0.5.

(a} Calculeu les probabilitats deis errors de ti pus 1 i de ti pus 11 quan la regió de rebuig és Ro = { x ?: 1}.

(b) Calculeu les probabilitats deis errors de tipus 1 i la funció de pot.encia quan la regió de rebuig és R 1 = {x ~ 0.07}.

c) Quina de les dues proves definides per les regions de rebuig deis apartats 1 i 2 triarieu?

( d} Trobeu el valor de x per tal que la suma deis errors sigui mínima quan la regió de rebuig és R.,={x~z} .


Denotem per r la proporció de nens d'un casal d'estiu que estan d 'acord amb anar d'excursió. Suposem que aquest valor r és desconegut i que els dos monitors A i B assignen a r les següents densitats a priori WA(r) i t/Js(r) , respectivament:

t/!A(r) = 3r2 per O< T < 1

t/Js(r)=4r3 p_er O<r<l.

En aquest s'han apuntat 100 nens i d'aquests 60 valen anar d'excursió. En una mostra de 1000 votants hi han 710 en favor de la llei.

a) Deterrnineu la llei a posteriori de r que cada monitor assigna ar.

b) Determineu ! 'estimador de Bayes de r que cada monitor calcularia si fessim servir corn a funció de perdua !'error quadratic.

c) Dernostreu que després de coneixer les preferencies deis 100 nens els estimadors de Bayes proposats pels dos estadístics no poden diferir en més de 0 .01 arnb independencia del nombre de nens que prefereixin anar d'excursió.

QÜESTIÓ (1 punt)

Metode de la maxima versemblan~a. Propietats deis estimadors de maxima versemblan~a.


PROBLEMA 1


9 de maig de 1994

Considerem la variable aleatoria T que mesura el temps de supervivencia en mesos d'un pacient després d'un tractament . Suposem que T es distribueix segons un model exponencial traslladat.

El model exponencial traslladat de parametres .X (.X> O) i G (G >O) té per funció de densitat:

f(t; .X, G) = { ~ exp{-.X(t - G)} si t ~ G ~O si t < G

G s'interpreta com el temps de garantia o el mínim temps de vida abaos del qual no hi han morts .

Hem fet un estudi amb 11 pacients i llurs temps de supervivencia han estat:

11,13, 13, 13, 13,13,14, 14, 15, 15, 17.

Suposem que aquests pacients són una mostra d'una llei exponencial traslladada de parametres .X i G.

a) Calculeu la funció de versemblan~a d'aquestes dades en funció deis parametres desconeguts.

b) Suposeu G conegut. Estimeu la taxa de fallada .X mitjan~ant el metode de la maxima versemblan~a. Calculeu el valor de l'estimador de A en funció de G pels pacients de l'estudi.

c) Suposeu .X conegut. Estimeu G mitjan~ant el metode de la maxima versemblan~a. Calculeu el valor de l'estimador de G pels pacients de l'estudi.

d) Suposeu .X i G desconeguts.

dl) Trobeu els estimadors de maxima versemblan~a per .Xi G. Calculeu-los pels pacients de l'estudi .

2) Feu servir les estimacions obtingudes per a estimar la probabilitat de sobreviure 18 mesos després del tractament.

e) Suposeu G conegut (podeu fer servir el valor trobat a l'apartat c)) .

el) Trobeu !'estimador de maxima versemblan~a de la mediana del temps de supervivencia i anomeneulo m. Calculeu la mediana del temps de supervivencia deis 11 pacients.

e2) Determineu la distribució asimptotica de l'estimador m. Calculeu la variancia asimptotica de m. PROBLEMA 2

NOTA: En aquest problema heu d'explicar amb detall tots els resultats que feu servir i les hipotesis en que aquests es basen.

Donada una v.a. X amb funció de densitat

es desitja realitzar la següent prava d 'hipotesis:

Ho: B = 2

H1:0.=3

basant - se en una mostra X 1 , ... , Xn d 'aquesta població.

Feb 95 Lupe Gómez

si X> Ü

si X~ Ü '

Exam 32

a)

al) Determiaeu !....::. ; -= =~

a2) Calculeu el ;-a..=: =~

b) Es desitja ara

Determineu un p o::e-- - _

Feb 95

::. = pacient després d'un _:_~.

:: ::e densitat :

,., :io hi han morts.

:!. :e parametres A i G.

~~-es desconeguts.

:.= ,a rnaxima versemblan~a.

-'.arn;a. Calculeu el valor de

els pacients de l'estudi.

-evi ure 18 mesas després

· 0 >Upervivencia i anomeneu-

--;..•ancia asimptotica de m.

_ :;;en·ir i les hipotesis en que

Exam 32

a)

al) Determineu un procediment 6 que minimitzi aa(6) + b/3(6).

a2) Calculeu el valor de a(6) pera= 11 , b = 2, n = 3.

b) Es desitja ara realitzar la següent prava d'hipotesis:

Ha : O 2: 2

H1: 0 < 2

Determineu un procediment UMP amb nivel! de significació a 0 = 0.05 per n = 3.


PROBLEMA 1

ESTADISTICA MATEMATICA II EXAMEN FIN AL 8 de juny de 1994

Les dades següents de Lieblein & Zelen (1956) donen el nombre de revolucions (en milions) fins a la fallada de 23 coixinets de boles. Les dades ordenades de menor a major són:

17.88 51.84 68.88 128.04

28.92 51.96 84.12

173.40

33.00 41.52 54.12 55.5.6 93.12 98.64

42.12 67.80 105.12

45.60 68.64 105.84

a) Raoneu si el model exponencial és adequat per a aquesta situació. Indicació: Compareu la mitjana i la variancia mostral.

48.40 68.64 127.92

b) Feu un ajust grafic amb un paper de Weibull i calculeu el valor deis parametres a i {3.

e) Empreu el metode de la maxima versemblan<;a per estimar els parametres a i {3 . Anomeneu <i i /3 els estimadors obtinguts.

d) Estimeu per maxima versemblan<;a to 2, el percentil del 20% d'aquesta distribució. Anomeneu td.2

!'estimador obtingut.

e) Suposeu que el valor de {3 és conegut i igual a 2.1018. Utilitzeu el metode delta per calcular la variancia asimptotica de td. 2•

Indicacions: Els següents valors són necessaris pera poder acabar alguns deis calculs: /3 = 2.1018, I:i!i tf = 241426, Var(<i) = 60.42.

PROBLEMA 2

Suposem que el nombre de minut.s que una persona ha d'esperar l'autobus cada matí té una distribució uniforme a l'interval (O, 6) , a on el valor de 6 és desconegut. Suposem que la funció de densitat a priori de 6 ve donada per:

{ 192

~(6) = ó' per 6 2 4, altrament ·

Si els temps esperats en tres matins successius són de 5, 3, 8 minuts.

a) Calculeu la funció de densitat a posteriori de 6. Especifiqueu el domini de definició d'aquesta funció i les const.ants que en ella apareixen.

b) Si es vol estimar el valor de 6 usant com a funció de perdua ! 'error quadratic, quina és la forma de !'estimador de Bayes de 6. Calculeu el valor estimat de 6 a partir delss tres temps esperats donats més amunt..

PROBLEMA 3

La vida (en minuts) d'un prototipus d'una component electronica en un test de vida accelerat és una variable aleatoria X que es distribueix com una exponencial amb mitjana 6. Estem interessats en la probabilitat de que aquesta component falli abans de 5 minuts . Per aixo prenem n components i anotem llurs vides; és a dir, disposem d'una mostra de grandaria n, X 1, ... , Xn .

a) Calculeu la probabilitat q = q(6) que una component elect.rimica fallí abans de 5 minuts.


b) Estimeu q pel m _ :• Indicació: Defi=

c) Cerqueu un es:=.s

d) Trobeu un estiu:i> - = Indicació 1: Si6 , _-

QÜESTIÓ

La prova de la F.

Feb 95

~ railions) fins a la fallada

:...-~~:res a i /J .

"'°~a i (3. Anomeneu ¿¡. i ~

. ::zribució. Anomeneu t;.2

- ~· . ..,¿e delt a per calcular la

3 = 2.1018, :L?!1 tf =

=;. matí té una dist ribució ;..:::-.:: ~e densitat a priori de (}

-~ :.efinició d 'aquesta funció

;..:::a;1c. quina és la forma de ~ ~-~ temps esperats donats

, .::a a.ccelerat és una variable ~¡,¡; en la probabilitat de :;:.; 1 anotem llurs vides; és a

.?-:3.!:5 de 5 minuts.

Exam 34

b) Estimeu q pe] metode deis moments. Doneu una interpretació a !'estimador obtingut . lndicació: Definir

{ ] si Y;= o si

X;~ 5 X;> 5

e) Cerqueu un estadístic suficient per aquesta família. Raoneu la resposta.

d) Trobeu un estimador U.M.V.U. per q. lndicació 1: Sigui S(Y1 ) = l(Y1 ~ 5) . Tenim que E(S(Yi)IX = x) = Prob(Y1 ::::: 5IX = x).

QÜESTIÓ

La prova de la F.


ESTADÍSTICA MATEMÁTICA 11

9 de setembre de 1994

La duració de )'examen és de 3 hores (sense interrupció) .

Només podeu tenir amb vosaltres les taules estadístiques, els papers de probabilitat i la calculadora.

PROBLEMA 1

Una variable aleatoria X segueix una distribució normal de m1tJana µ i de varian<;a l. Es fan 20 observacions de X pero en éomptes d'escriure el valor de X només s'observa si X és negativa o no.

a) Estimarµ per maxima versemblan<;a basant-se tan sois en la informació disponible.

b) Suposant que l'esdeveniment {X < O} ha ocurregut exactament 14 vegades, trobeu el valor de !'estimador de maxima versemblan<;a de µ.

PROBLEMA 2

Disposem d'una xarxa de 165 cel.les. Es va comptar el nombre de grans de grafit en cada cel.la obtenint els resultats de la següent taula:

Número de grans per cel.la observats o 1 1 2 5 3 7 4 20 5 34 6 30 7 17 8 22 9 21 10 4 11 2 12

Provar la hipotesi que el nombre de grans per cel.la és una variable aleatoria que segueix una dist ribució de Poisson. PROBLEMA 3

Les dades següents de Lieblein & Zelen (1956) donen el nombre de revolucions (en milions} fins a la fallada de 23 coixinets de boles. Les dades ordenades de menor a major són:

17.88 51.84 68 .88 128.04

28 .92 51.96 84 .12

173.40

33.00 41.52 54.12 55.56 93.12 98 .64

42. 12 67.80 105.12

45 60 68.64 105.84

a) Raoneu si el model exponencial és adequat per a aquesta situació. lndicació: Compareu la mitjana i la variancia mostral.

48.40 68.64 127 .92

b) Feu un ajust grafic amb un paper de Weibull i calculeu el valor deis parametres a i {3 .


e) Empre e. :-:o· -::~

els es ima:::::-; = = ·

d) Estimeu e ::;:p

)'estimado: o.:: · - ,,

e) Suposeu q :: :: ...., variáncia a.s::=;:--·

lndicacions: Els següe::;;.; 241426, Var(&) = 60.4~

Feb 95

::,:;.:;!htat i la calculadora.

== .-arian~a 1. Es fan 20 ·.· ~ negativa o no.

sponible.

-!'"'~es. trobeu el valor de

....., =c. en cada cel.la obtenint

""-~ segueix una distribució

-• en milions) fins a la

.

~etres a i {3 .

Exam 36

c) Empreu el metode de la maxima versemblan~a per estimar els parametres a i ¡3. Anomeneu á i /J els estimadors obtinguts.

d) Estimeu per maxima versemblan~a t 0 2 , el percentil del 20% d'aquesta distribució. Anomeneu t~ 2 !'estimador obtingut.

e) Suposeu que el valor de f3 és conegut i igual a 2.1018 . Utilitzeu el metode delta per calcular la variancia asimptotica de t~. 2 .

Indicacions: Els següents valors són necessaris pera poder acabar alguns deis calculs: /J = 2.1018, L:~! 1 t1 = 241426, Var(ci) = 60.42.


ESTADÍSTICA MATEMATICA

Documents

Transcript of ESTADÍSTICA MATEMATICA