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Estadística para 2o de Bachilleratode Ciencias de la Salud y Tecnología

IES Bahía de Cádiz.Departamento de Matemáticas1

1Prof: Jesús Beato Sirvent

Índice general

0.1. Algunas notas sobre el origen histórico de la Estadística . . . . . 40.2. Cuando la Estadística se hace o�cial . . . . . . . . . . . . . . . . 50.3. Diversos signi�cados del término Estadística . . . . . . . . . . . . 5

I Estadística descriptiva unidimensional 61. Tablas y grá�cos estadísticos 7

1.1. Población y muestra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2. Método estadístico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3. Objeto de la Estadística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4. Caracteres estadísticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5. Tablas de frecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.6. Grá�cos estadísticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.7. Tipos de distribuciones de frecuencias . . . . . . . . . . . . . . . 111.8. Ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2. Parámetros estadísticos 182.1. Medidas de centralización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.1. Media aritmética simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.1.2. Media aritmética ponderada . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.1.3. Mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.1.4. Moda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.1.5. Media geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.1.6. Media cuadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.1.7. Media armónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2. Medidas de posición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.1. Cuartiles, deciles y percentiles . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.2. Momentos centrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3. Medidas de dispersión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3.1. Recorrido o rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3.2. Desviación media respecto a la media . . . . . . . . . . . 242.3.3. Varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3.4. Desviación típica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3.5. Desviación cuartílica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1

ÍNDICE GENERAL 2

2.3.6. Desviación percentílica 10-90 . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3.7. Variable tipi�cada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4. Medidas de asimetría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4.1. Coe�ciente de asimetría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.5. Medidas de apuntamiento o curtosis . . . . . . . . . . . . . . . . 262.5.1. Coe�ciente de apuntamiento o curtosis . . . . . . . . . . . 26

2.6. Ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

II Estadística descriptiva bidimensional 323. Distribuciones bidimensionales. Teoría de la correlación 33

3.1. Relación estadística y relación funcional . . . . . . . . . . . . . . 333.2. Distribuciones bidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.3. Medida de la correlación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.4. Regresión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.5. Ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

III Cálculo de probabilidades 414. Combinatoria 42

4.1. Variaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.2. Variaciones con repetición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.3. Números factoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.4. Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.5. Permutaciones con repetición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.6. Números combinatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.7. Combinaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.8. Combinaciones con repetición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.9. Ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5. Probabilidad 515.1. Experimentos aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.2. Operaciones con sucesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.3. Concepto de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.4. Probabilidad condicionada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.5. Ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

IV Distribuciones de probabilidad 656. Distribuciones discretas 66

6.1. Variable aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666.2. Distribución de probabilidad discreta . . . . . . . . . . . . . . . . 676.3. Parámetros de una variable aleatoria discreta . . . . . . . . . . . 676.4. Distribución binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

ÍNDICE GENERAL 3

6.5. Cálculo de probabilidades en una distribución binomial . . . . . . 686.6. Funciones de probabilidad y de distribución binomial . . . . . . . 686.7. Parámetros de una distribución binomial . . . . . . . . . . . . . . 686.8. Ajuste de un conjunto de datos a una distribución binomial . . . 696.9. Ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

7. Distribuciones continuas 767.1. Distribuciones de probabilidad continuas . . . . . . . . . . . . . . 767.2. La distribución normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777.3. La distribución normal estándar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787.4. Aproximación de la binomial por la normal . . . . . . . . . . . . 787.5. Ajuste de un conjunto de datos a una normal . . . . . . . . . . . 797.6. Ejercicios del tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Introducción

0.1. Algunas notas sobre el origen histórico de laEstadística

La primera manifestación estadística de la humanidad la encontramos enChina. En el año 2238 adC. el Emperador Yao manda hacer un censo.

Las inundaciones anuales del Nilo obligaban a realizar trabajos censalespara repartir los bienes que se habían librado de las mismas.

En el Imperio Romano eran frecuentes los censos tanto de personas comode bienes con el �n de repartir bien la aplicación de los impuestos (Sinduda alguna el censo más famoso fue el ordenado por Octavio Augusto elaño en que nació Jesucristo)

En la Edad Media, Carlomagno y Guillermo el Conquistador ordenaronrealizar trabajos de estadística sobre sus posesiones, tanto materiales comopersonales.

Los primeros trabajos estadísticos en España son debidos a Alhaken II yAbd-el-Mumén que cultivaron esta ciencia.

En 1348 ddC las Cortes de Alcalá mandan realizar padrones y notas derebaño para la Mesta.

Más tarde, los Reyes Católicos ordenan el primer empadronamiento gen-eral de sus súbitos.

El primer precursor de la estadística tal y como se entiende hoy en díaes, sin duda alguna, el inglés GRANT (1620-1674). Utilizando datos de-mográ�cos obtenidos en las parroquias de Londres, es capaz de formularleyes de validez universal y estimar la población futura de Londres.

Los discípulos de GRANT, PETTY y SUSMILCH sientan las bases paraestudiar los fenómenos de masas.

En el siglo XVII, de forma paralela, Pascal y Fermat inician el cálculo deprobabilidades tratando de resolver problemas de juegos planteados por elcaballero DE MERÉ.

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ÍNDICE GENERAL 5

En el siglo XVIII, Achenwall (1719-1772) introduce la palabra Estadística:Çiencia de las cosas que pertenecen al Estado, llamando Estado a todo loque es una sociedad civil y al país en que ella habita, con lo que se en-cuentra de activo y de efectivo; la Estadística se ocupa de los fenómenosque pueden favorecer o defender la prosperidad de un Estado. La políti-ca enseña cómo deben ser los Estados y la Estadística explica cómo sonrealmente.En el siglo XIX se desarrollan los parámetros numéricos que resumen lainformación ofrecida por unos datos estadísticos.Los trabajos de Gauss, Bernouilli, Laplace y Bessel unieron la Probabili-dad y la estudiaron conjuntamente.El astrónomo Quetelet realizó importantes aplicaciones de la Estadística.Entre �nales del siglo XIX y principios del siglo XX, Pearson, Galtony Fisher fueron considerados respectivamente los padres de la inferenciaestadística, regresión y correlación y teoría de la investigación.

0.2. Cuando la Estadística se hace o�cialEl primer país que crea un organismo o�cial dependiente del Estado paralos trabajos estadísticos es Suecia, que en 1756 crea la Comisión deIndias.En España, en 1856 se crea la Comisión General de la Estadística yen 1945 se crea el Instituto Nacional de Estadística (INE)

0.3. Diversos signi�cados del término EstadísticaDiccionario RAE 1 Ciencia o recuento de la población, de los recursos naturales e indus-

triales, del trá�co o de cualquier otra manifestación de un Estado,provincia, pueblo, clase, etc.

3 Ciencia que utiliza conjuntos de datos numéricos para obtener infer-encias basadas en el cálculo de probabilidades

Larousse 2000 Conjunto de datos de observación relativos a un grupo de individuos ounidades (Suele usarse en plural)La primera de�nición matemática que se dio de estadística fue: Un con-junto de datos numéricos sobre cualquier cuestión, presentados en tablaso de forma sistemáticaGeneralmente s acepta como Estadística: Es la Ciencia Aplicada que seocupa del estudio de los métodos y procedimientos para recoger, clasi�car,resumir, analizar datos y hacer inferencias cientí�cas a partir de talesdatos

Parte I

Estadística descriptivaunidimensional

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Capítulo 1

Tablas y grá�cos estadísticos

Contenidos del tema1. Población y muestra.

2. Método estadístico.

3. Objeto de la Estadística.

4. Caracteres estadísticos.

5. Tablas de frecuencias.

6. Grá�cos estadísticos.

7. Tipos de distribuciones de frecuencias.

1.1. Población y muestraDe�nición 1.1.1 Se llama población al conjunto formado por todos los elemen-tos cuyo conocimiento nos interesa.

De�nición 1.1.2 Se denomina individuo a cada uno de los elementos de unapoblación.

De�nición 1.1.3 Se denomina muestra a un subconjunto limitado extraído dela población con objeto de reducir el campo de experiencias

Nota 1.1.1 Las propiedades que se obtienen de la muestra se hacen extensivasa toda la población.

7

CAPÍTULO 1. TABLAS Y GRÁFICOS ESTADÍSTICOS 8

1.2. Método estadístico1. Planteamiento del problema.

2. Recogida de datos.

a) Selección de la información que es conveniente obtener para la res-olución del problema.

b) Elección de la forma en la que se va a obtener dicha información(elaboración de encuestas, sondeos, censos, sondeos de opinión,...)

c) Selección de los individuos a los que se les va a pedir información(técnicas de muestreo, población y muestra)

3. Recuento de los datos obtenidos.

4. Síntesis, organización y presentación de los datos.

a) Elaboración de tablas.b) Elaboración de grá�cos.

5. Resumen de la información. Parámetros y relaciones.

a) Medidas de centralización.b) Medidas de dispersión.

6. Análisis de la distribución.

a) Medidas de forma.b) Medidas de concentración.c) Otras medidas.

7. Adecuación a un modelo probabilístico.

8. Inferencia estadística.

a) Estimación.b) Contraste de hipótesis.

9. Toma de decisiones y predicciones.

1.3. Objeto de la EstadísticaLa Estadística tiene por objeto el desarrollo de técnicas para el conocimiento

numérico de un conjunto. La estadística se divide en dos ramas principales:Estadística descriptiva, cuyo objeto es examinar los individuos de unconjunto.

Estadística inferencial, por la que, mediante el estudio de una muestra,se sacan conclusiones válidas para la totalidad.


1.4. Caracteres estadísticosDe�nición 1.4.1 Se llama carácter estadístico a cualquier característica ob-servable de los individuos de una población.

De�nición 1.4.2 Se dice que un carácter es cualitativo o atributo si no se puedeexpresar de forma numérica, es decir, si no es el resultado de una medida. Encaso contrario se dice que el carácter es cuantitativo o variable. Las variableslas representaremos por letras mayúsculas (X,Y, Z, . . . )

De�nición 1.4.3 Se dice que una variable es discreta si sólo puede tomar val-ores aislados. En caso contrario, se dice que la variable es continua, a saber, sipuede tomar todos los valores de un intervalo

De�nición 1.4.4 Se llama dato a cada una de las distintas modalidades de unatributo.

De�nición 1.4.5 Se llama valor a cada una de los distintos posibles resultadosde una variable. Cada uno de los valores de una variable se representa por xi.Las valores correspondientes a variables continuas suelen expresarse agrupadosen intervalos. Estos intervalos se denominan clases. En esta caso, se llamamarca de clase al punto medio de cada clase y se representa por xi.

Proposición 1.4.1 Si [a, b] representa una clase de valores de una variablecontinua, la marca de clase xi se calcula así:

xi =a+ b

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1.5. Tablas de frecuenciasDe�nición 1.5.1 Se llama frecuencia absoluta del dato i−ésimo de un atributo,o del valor xi de una variable discreta o de la clase i−ésima de valores de unavariable continua, y se representa por ni, al número de veces que se repite en unrecuento estadístico. El número total de datos de un atributo o de valores de unavariable, contando las posibles repeticiones en un recuento lo representaremospor N .

Proposición 1.5.1 Se veri�ca:∑

ni = N

De�nición 1.5.2 En las variables estadísticas, una vez ordenados los valoreso las clases de forma creciente, se llama frecuencia absoluta acumulada cor-respondiente al valor i−ésimo o a la clase i−ésima, y se representa por Ni,a:

Ni =i∑

k=1

nk


Observación 1.5.1 La frecuencia absoluta acumulada correspondiente al últi-mo valor de la variable o a la última clase de valores, debe coincidir con el totalde datos: N .

De�nición 1.5.3 Se llama frecuencia relativa del dato i−ésimo de un atributo,o del valor xi de una variable discreta o de la clase i−ésima de valores de unavariable continua, y se representa por fi, al cociente:

fi =niN

Proposición 1.5.2 Se veri�ca:∑

fi = 1

De�nición 1.5.4 En las variables estadísticas, una vez ordenados los valoreso las clases de forma creciente, se llama frecuencia relativa acumulada corre-spondiente al valor i−ésimo o a la clase i−ésima, y se representa por Fi, a:

Fi =i∑

k=1

fk

Observación 1.5.2 La frecuencia relativa acumulada correspondiente al últimovalor de la variable o a la última clase de valores, debe ser 1.

Observación 1.5.3 Las frecuencias relativas, tanto simples como acumuladas,se pueden representar en forma de fracción o en forma decimal. Si se multi-plica por 100 una frecuencia relativa expresada en forma decimal, se obtiene elporcentaje del total de datos correspondiente a dicho atributo o de valores de lavariable.

Proposición 1.5.3 (Algoritmo para agrupar en intervalos) Los pasos aseguir son:

1. Tomamos como número de intervalos (I):

a)√N , si N es un cuadrado perfecto.

b) [√N ] + 1, si N no es un cuadrado perfecto.

2. Rango = V alor Maximo− V alor Minimo

3. Amplitud de cada intervalo: RangoI

1.6. Grá�cos estadísticosSe estudiarán los siguientes grá�cos estadísticos:

Diagrama de barras.


Histograma.

Polígono de frecuencias.

Diagrama de sectores.

Pirámides de población.

Grá�co en espiral.

1.7. Tipos de distribuciones de frecuenciasDe�nición 1.7.1 Llamaremos distribuciones de frecuencias de tipo I a aquéllasen las cada valor de la variable aparece una sola vez. Su tratamiento estadísticose reduce a representar los datos de manera ordenada.

De�nición 1.7.2 Llamaremos distribuciones de frecuencias de tipo II a aquél-las en las que alguno de los valores de la variable aparece más de una vez. Usual-mente son pocos los valores de la variable y en cambio se dispone de muchasobservaciones. Para su estudio se representan ordenando los datos en tablas defrecuencias.

De�nición 1.7.3 Llamaremos distribuciones de frecuencias de tipo III a aquél-las en las que se disponen los datos de forma agrupada. Cuando el número deobservaciones y el de valores es muy grande, lo que generalmente ocurre enlas distribuciones de variable continua, se realiza una partición del campo devariación de la variable en intervalos de clase, de igual o diferente amplitud yse realizan las correspondientes tablas de frecuencias.

1.8. Ejercicios del temaEjercicio 1.1 Un fabricante de tornillos desea hacer un control de calidad. Paraello recoge uno de cada 100 tornillos fabricados y lo analiza. El conjunto detornillos analizado, ¾es población o muestra? ¾por qué?

Ejercicio 1.2 Un campesino posee 127 gallinas. Para probar la e�cacia de unnuevo tipo de alimentos, las pesa a todas antes y después de los veinte días quedura el tratamiento. El conjunto de esas 127 gallinas, ¾es población o muestra?

Ejercicio 1.3 ¾Cuál es el carácter seleccionado en la población del problemaanterior? ¾Es cualitativo?, ¾cuantitativo discreto o cuantitativo continuo? ¾porqué?

Ejercicio 1.4 Plantea un problema en el que los individuos de la poblacióna analizar sean entidades bancarias y el carácter estudiado sea el número decuentacorrentistas. ¾Cuál podrá ser la población?


Ejercicio 1.5 Un fabricante de vasos de vidrio quiere estudiar la resistenciaque presentan a la rotura. El procedimiento consiste en someterlos a presionespaulatinamente crecientes, hasta que se parten. ¾Puede hacer el estudio sobre lapoblación, o debe sacar una muestra? ¾Por qué?

Ejercicio 1.6 Los métodos utilizados en el ejercicio 1, ¾son relativos a la es-tadística descriptiva o a la inferencial? ¾y los del ejercicio 2? Razona la respues-ta.

Ejercicio 1.7 Se ha encuestado a los alumnos de un centro. Una de las pre-guntas es el tipo de lectura que pre�eren. He aquí las respuestas, distinguiendocurso y sexo del encuestado.

Género 1er. curso 2o curso 3o curso COU COUH M H M H M H M

Liter. Fant. 6 8 8 9 11 12 13 15Cienc. Ficc. 11 2 10 4 14 6 15 8Divul. Cien. 6 3 5 4 8 4 12 10Novel. Poli. 15 24 14 20 10 10 13 8Novel. Oest. 3 0 1 0 0 0 0 0Fotonovelas 2 15 0 11 1 9 0 6Diarios Not. 2 2 1 2 4 3 5 5Revis. Depo. 22 4 18 14 11 0 4 0Revis. Cora. 2 17 2 13 0 8 0 2

Otras 5 18 6 6 4 7 6 8Nada 26 26 16 14 10 8 3 3

Para resolver las siguientes preguntas copia la tabla en papel aparte, dejandohuecos para hacer sumas parciales

¾Cómo evoluciona la a�ción a la lectura clásica al pasar los años? Esdecir, ¾qué proporción de los alumnos de 1o tienen a�ción a la literaturaclásica? ¾Y de 2o? ...

¾Cuáles son las lecturas en alza? ¾En cuál de ellas se nota más el aumentoen porcentaje?

¾Cuáles son las que sufren menos variación con la edad?

A la vista de la tabla, señala aspectos interesantes y estúdialos.

Hazte nuevas preguntas y respóndelas.

Ejercicio 1.8 Las siguientes tablas nos muestran el reparto de la población enEspaña:

Municipios 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960Hasta 5000 ha. 51% 48% 44% 40% 36% 34% 29%De 5001 a 20000 28% 30% 30% 29% 28% 26% 25%

De 20001 a 100000 12% 12% 16% 16% 22% 16% 18%más de 100000 9% 10% 10% 15% 14% 24% 28%


Municipios 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960No de hab.(millones) 18,6% 19,9% 21,3% 23,6% 25,9% 28,0% 30,4%

El 51 % que aparece en la primera casilla de la tabla primera signi�ca que en1900 el 51 % de los españoles vivía en municipios de hasta 5000 habitantes.

La suma de los números de la primera columna es: 51+28+12+9=100.¾Era de esperar este resultado? Suma las demás columnas y explica a quése deben los resultados obtenidos.

¾Podemos decir que en 1900 más de la mitad de los españoles vivía enmunicipios de menos de 5001 habitantes?

Mira la segunda tabla. ¾Qué signi�ca el 18,6 de la primera casilla? ¾Eslógico que los números de las sucesivas casillas sean cada vez más grandes?

Mira la primera �la y di cómo ha evolucionado la proporción de españolesen municipios pequeños.

Calcula cuántos españoles había en 1900 en municipios de hasta 5000habitantes. Haz otro tanto para los demás años y observarás que el númerototal se encuentra relativamente estabilizado.

Calcula el número de españoles que vivía en municipios de más de 100000habitantes en cada uno de estos años y observa el espectacular aumentoque se ha ido produciendo.

El número de ciudades de ese tamaño también aumentó año a año. Conc-retamente, había 6 en 1900, 10 en 1930 y 24 en 1950. Calcula el tamañomedio de esas ciudades en cada uno de estos años.

Ejercicio 1.9 El número de personas que viven en cada uno de los portales deuna gran barriada son:

63 69 83 85 93 73 80 94 104 125141 152 115 120 127 139 105 114 123 121128 90 75 137 131 73 62 100 109 107124 103 133 138 143 110 60 91 87 156147 134 129 96 99 74 104 97 84 9878 71 133 63 69 76 86 88 77 124116 119 102 107 106 111 119 107 100 10983 85 93 93 118 116 117 133 155 143

Se trata de una variable discreta. Sin embargo, el hecho de que haya una gamatan grande de valores (de 60 a 156), aconseja que se agrupen en intervalos y sesometa a un tratamiento como si de una variable continua se tratara. Por eso:

Reparte los 80 datos en los intervalos

(60, 76]; (92, 108]; (108, 124]; (124, 140]; (140, 156]


Construye una tabla de frecuencias y el histograma correspondiente.

Ejercicio 1.10 En el grá�co 1 se nos da, en cada año, el número total deparados y el número de los que, entre ellos, no reciben ayuda. Contesta si lassiguientes a�rmaciones son verdaderas o falsas.

El número total de parados ha ido aumentando.

El número de parados que no reciben ayuda, ha ido aumentando.

El aumento del número total de parados de 1984 a 1985 es de, aproxi-madamente, un 6 %.

La proporción de parados sin seguro de desempleo es prácticamente la mis-ma en 1983 que en 1984.

1985 es el año con mayor proporción de parados con seguro de desempleo.

Puesto que los datos de 1985 son hasta julio, probablemente al acabar alaño las cantidades se habrán duplicado.

Ejercicio 1.11 Tipos de pirámides de población: Según el per�l, la pirámidepuede ofrecer, entre otras, las siguientes formas: pagoda, bulbo y as de pique.Las tienes en el grá�co 2. Las peculiaridades de las correspondientes poblacionesse describen a continuación, en otro orden:

A: Indica una población que, en algún momento, ha sufrido alguna crisispor la que se produce una disminución fuerte de sus efectivos, de la cualdespués se recupera.

B: Representa una población en proceso de envejecimiento debido al de-scenso de la natalidad.

C: Representa una población joven con una natalidad elevada.

Asocia cada descripción con una grá�ca. Si te dicen que las poblaciones de Sue-cia, Méjico y USA responden a esos tres tipos, ¾cuál crees que corresponderá acada cual?

Ejercicio 1.12 La grá�ca 3 correspondiente a la climatología de Sevilla: el his-tograma representa los mm de lluvia y el polígono de frecuencias representalas temperaturas. A la vista de la grá�ca, confecciona, de forma aproximada,las tablas correspondientes. Representa de forma similar la climatología de SanSebastián del mismo año:

E F M A M J J A S O N D13 17 20 21 24 22 25 21 23 19 17 15145 135 130 170 135 130 105 120 150 180 190 150

donde la segunda �la representa la temperatura, expresada en oC y la tercera lapluviosidad, expresada en mm.


Ejercicio 1.13 El número total de parados en España, a �nales de 1984, fuede 2716000 y, al �nal de 1985, fueron 2910000. ¾Cuál fue el índice de aumentodel paro en ese año?

29100002716000

× 100 = 107, 14

Decimos que el aumento de paro ha sido, durante el año 1985, del 7, 14 %.También se dice que el paro ha aumentado 7,14 puntos, o bien de 1,0714. Siel número de parados al �nal de 1986 ha sido 3047000, ¾cuál es el índice deaumento de paro durante el año 1986?

Ejercicio 1.14 La cotización media del dólar, en ptas, fue durante el año 1985la que �gura en la siguiente tabla:

E F M A M J J A S O N D175 182 183 172 175 175 168 164 169 162 160 156

Haz la grá�ca que re�eje la evolución de esta serie temporal (polígono de fre-cuencias). ¾Cuál es el índice de variación de enero a febrero? ¾Y de febrero amarzo? ¾Y de marzo a abril?

Ejercicio 1.15 Los ingresos por turismo en España durante 1985 han sido, enmiles de dólares, los re�ejados en la siguiente tabla:

E F M A M J J A S O N D480 400 420 540 610 660 1010 1120 900 910 510 520

Haz la grá�ca correspondiente.

Ejercicio 1.16 El salario mínimo ha experimentado las siguientes subidas:

Año 1983 1984 1985 1986Índice de Subida 1,05 1,24 1,10 1,13

Si el salario mínimo a �nales de 1982 era de 28000 ptas., ¾cuál sería al �nal decada uno de los años 1983, 1984, 1985, 1986? ¾Cuál será el índice de aumentode 1983 a 1986? Para obtenerlo, divide el salario mínimo al �nal de 1986 entre28000 ptas, que era el salario mínimo al comienzo de 1983. Comprueba que elresultado coincide con el producto 1, 05× 1, 24× 1, 10× 1, 13

Ejercicio 1.17 Haz un histograma que represente las estaturas en metros de4350 soldados:

Talla 1,52 1,56 1,60 1,64 1,68 1,72 1,76 1,80 1,84 1,88No sold. 62 186 530 812 953 860 507 285 126 29

Para ello, asocia a cada valor un intervalo de 4 cm. centrado en el punto queaparece en la tabla. Por ejemplo, a 1,52 le corresponde el intervalo (1,50-1,54),etc.


Ejercicio 1.18 Tenemos la siguiente distribución de edades de una población

Edad [0,5) [5,10) [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,40) [40,100)No sold. 900 850 1300 1200 1000 700 1360 2840

Observa que los intervalos no son de la misma longitud. Teniendo esto en cuen-ta, agrúpalos en intervalos de 10 años (para los más ancianos puedes repartirlos 840 individuos en cuatro partes iguales) pues, si no, la representación puedeser engañosa. Haz el histograma correspondiente.

Ejercicio 1.19 Un cierto día, pusieron por TV una película, a las 21:00 h, y undebate a las 23:00 h. Se ha encuestado a 3820 personas. El resultado se re�ejaen la siguiente tabla:

Vieron debate No vieron debateVieron película 2712

No vieron película 10411187 3820

Ejercicio 1.20 La tabla 4 nos muestra algunos de los contenidos relacionadoscon la emigración en España.

Mira atentamente la tabla y explica el signi�cado de los números. Porejemplo, ¾qué signi�can los números a11 = 5368; a17 = 28475; a74 =91064; a77 = 386827?

Para estudiar globalmente los destinos de los emigrantes, expresa los númerosde la última columna en tantos por ciento del total.

Pasa a porcentajes de sus correspondientes totales los datos de las restantescolumnas. Compara con los de la columna de totales y extrae algunas con-secuencias que relacionen las preferencias de los lugares de destino con eltamaño del lugar de procedencia.

Ejercicio 1.21 En una residencia hay 1085 ancianos. 519 fuman, 226 tienenafecciones pulmonares. Pero sólo hay 31 que aunque no fumen tienen afeccionespulmonares. Haz una tabla de contingencia y averigua:

Cuántos hay que fumen y tengan afecciones pulmonares.

Qué proporción de fumadores tienen afecciones pulmonares.

Qué proporción de no fumadores tienen afecciones pulmonares.

Ejercicio 1.22 Interpreta las siguientes tablas estadísticas 5. Se re�eren a losprimeros 50 sorteos de la Lotería Primitiva. ¾Qué signi�can, en cada una, losdos números escritos en cada casilla? ¾Cuál fue la combinación ganadora de laúltima semana? ¾Y de la anterior? ¾Y...?


Ejercicio 1.23 La tabla 6 nos muestra la e�cacia de algunos equipos de balon-cesto. Está tomada de un periódico, después de la 6a jornada del campeonato1985/86. Cada equipo presenta tres proporciones (una por cada tipo de tiro).Estas proporciones vienen dadas en forma de fracción (por ejemplo, 26/53 sig-ni�ca 26 canastas logradas de 53 intentos). Se advierten algunos errores. Porejemplo, si el Barcelona encestó 45 canastas de 3 puntos, 210 de 2 y 61 de 1punto, su puntuación total debería ser:

45× 3 + 210× 2 + 61× 1 = 616

en tanto que, en la tabla, �gura 618. Lo mismo ocurre con el resto de los equipos.

Corrige, en tu cuaderno, las puntuaciones de los cuatro primeros equipos.

Para esos mismos cuatro equipos, supón correctas las puntuaciones y mod-i�ca el número de canastas (de 3 puntos, de 2 o de 1) de forma que ajustenlos datos.

Comprueba, para esos mismos cuatro equipos, si los porcentajes está biencalculados.

Calcula los datos que faltan en los lugares marcados con un guión.

Capítulo 2

Parámetros estadísticos

Contenidos del tema1. Medidas de centralización.

a) Media aritmética simple.b) Media aritmética ponderada.c) Mediana.d) Moda.e) Media geométrica.f ) Media cuadrática.g) Media armónica.

2. Medidas de posición

a) Cuartiles, deciles y percentiles.b) Momentos centrales.

3. Medidas de dispersión.

a) Recorrido o rango.b) Desviación media respecto a la media.c) Varianza.d) Desviación típica.e) Desviación cuartílica.f ) Desviación percentílica 10-90.g) Variable tipi�cada.

4. Medidas de asimetría.

18

CAPÍTULO 2. PARÁMETROS ESTADÍSTICOS 19

a) Coe�ciente de asimetría.

5. Medidas de apuntamiento o curtosis.

a) Coe�ciente de apuntamiento o curtosis.

2.1. Medidas de centralizaciónUna medida de centralización o promedio es el valor que es capaz de repre-

sentar todos los datos de una distribución estadística.

2.1.1. Media aritmética simpleSólo tiene sentido para variables estadísticas.

De�nición 2.1.1 Dada una variable estadística X, se de�ne su media arit-mética simple y se representa por X, como el cociente entre la suma de todoslos datos y el número total de ellos.

En distribuciones de tipo I: X =

∑

i

xi

N

En distribuciones de tipo II: X =

∑

i

xini

N

En distribuciones de tipo III: X =

∑

i

xini

N, donde xi representan las

marcas de clase de los intervalos de clase.

Teorema 2.1.1 La media aritmética cumple las siguientes propiedades:1. Dadas dos variables estadísticas X,Y y una constante C tales que Y =

CX, se tiene:Y = CX

2. Dadas dos variables estadísticas X,Y y una constante C tales que Y =X + C, se tiene:

Y = X +D

3. Dadas tres variables estadísticas X,Y, Z tales que Z = X + Y , se tiene:

Z = X + Y

4. En toda distribución estadística se veri�ca que la suma de las desviacionesde todos los datos respecto a la media aritmética es nula, esto es:

∑

i

(xi −X)ni = 0


2.1.2. Media aritmética ponderadaEn determinadas distribuciones estadísticas es notorio que no todos los val-

ores de la variable tienen la misma in�uencia y por ello a cada valor se le asignaun coe�ciente diferenciador llamado peso, que representaremos por pi.

De�nición 2.1.2 Se llama media aritmética ponderada de la variable X quetoma valores x1, x2, . . . , xN con pesos respectivos p1, p2, . . . , pN y representamospor Xp, al número:

Xp =

∑

i

xipi

∑

i

pi

2.1.3. MedianaDe�nición 2.1.3 Se llama mediana de una distribución, y se designa por Me,al número tal que, ordenados los datos de forma creciente o decreciente, la mitadson inferiores a dicho número y la otra mitad son superiores a dicho número.Para calcular la mediana de una distribución se procede así:

En distribuciones de tipo I ó de tipo II: Se construye la tabla de frecuenciasabsolutas acumuladas correspondiente a la distribución y se calcula N

2.

Si hay un valor cuya frecuencia absoluta acumulada sea igual a N

2, la

mediana Me se calcula como la media aritmética de éste y el siguiente.En caso contrario, la mediana Me será el primer valor cuya frecuenciaabsoluta acumulada supere a N

2.

En distribuciones de tipo III: Se construye la tabla de frecuencias absolutasacumuladas correspondiente a la distribución y se calcula N

2. El primer

intervalo cuya frecuencia absoluta acumulada supere o iguale a N

2, es el

llamado intervalo mediano. Supongamos que este intervalo es el de ex-tremos Li−1, Li. Entonces la mediana Me se calcula con la fórmula:

Me = Li−1 +

N

2−Ni−1

ni· ai

2.1.4. ModaEs un parámetro adecuado tanto para variables como para atributos.

De�nición 2.1.4 Se de�ne la moda de una distribución estadística, y se des-igna por Mo, como el valor de la variable al que corresponde mayor frecuencia.


En distribuciones de tipo I éste concepto carece de interés pues cada valorsería una moda.

En distribuciones de tipo II: Una vez construida la tabla de frecuenciasabsolutas, la moda vendrá dada por el valor o valores a las que correspondamayor frecuencia. En estas distribuciones puede haber más de una moda,caso en el que se llaman distribuciones bimodales, trimodales,. . . , si biense acostumbra a decir que la distribución carece de moda cuando presentamás de dos.

En distribuciones de tipo III: Se llama intervalo modal a aquel al quecorresponde mayor frecuencia absoluta. Supongamos que dicho intervalotiene de extremos Li−1, Li y que todos los intervalos son de igual amplitud,a. En este caso, la moda es un valor situado dentro de este intervalo, y secalcula con la fórmula:

Mo = Li−1 +ni+1

ni−1 + ni+1· a

2.1.5. Media geométricaDe�nición 2.1.5 Se llama media geométrica y se designa por G, al númeroobtenido así:

En distribuciones de tipo I:

G = N√x1 · x2 · · ·xN

En distribuciones de tipo II y III:

G = N

√xn1

1 · xn22 · · ·xnkk ; n1 + n2 + · · ·+ nk = N

2.1.6. Media cuadráticaDe�nición 2.1.6 Se llama media cuadrática y se designa por C, a la raízcuadrada de la media aritmética de los cuadrados de los valores de la variable.Se calcula así:


C =

√x2

1 + x22 + · · ·+ x2

N

N=

√√√√√√N∑

i=1

x2i

N


C =

√x2

1n1 + x22n2 + · · ·+ x2

knkN

=

√√√√√√N∑

i=1

x2ini

N; n1 + n2 + · · ·+ nk = N


2.1.7. Media armónicaDe�nición 2.1.7 Se llama media armónica y se designa por H, al valor recípro-co de la media aritmética de los valores recíprocos de la variable. Se calcula así:


H =N

1x1

+1x2

+ · · ·+ 1xN

=N

N∑

i=1

1xi


H =N

1x1n1 +

1x2n2 + · · ·+ 1

xknk

=N

N∑

i=1

1xini

; n1 + n2 + · · ·+ nk = N

Teorema 2.1.2 Entre los distintos tipos de medias se veri�ca la siguiente relación:

2.2. Medidas de posición2.2.1. Cuartiles, deciles y percentilesDe�nición 2.2.1 Los cuartiles se representan por Qp; p = 1, 2, 3 y son los tresnúmeros que dividen a la distribución en cuatro partes iguales:

En distribuciones de tipo I: Q1 es el valor tal que el 25 % de los datos sonanteriores a él y el 75 % restante son posteriores. El segundo cuartil Q2

coincide con la mediana y el tercer cuartil Q3 separa el 75 % de los datosanteriores a él del 25 % posteriores a él.

En distribuciones de tipo II: Se consideran los valores N4,

2N4

=N

2,

3N4

y se observan los valores de la variable para los que se igualan o superanestos números en la columna de frecuencias absolutas acumuladas.

En las distribuciones de tipo III: Sea Li−1, Li el intervalo en el que seencuentra el cuartil Qp. Este intervalo se determina procediendo igual queen las distribuciones de tipo II. Entonces el cuartil Qp se calcula con lafórmula:

Qp = Li−1 +

pN

4−Ni−1

ni· ai; p = 1, 2, 3

De�nición 2.2.2 Los deciles se representan por Dp; p = 1, 2, . . . , 9 y son losnueve números que dividen a la distribución en diez partes iguales:

En distribuciones de tipo I: D1 deja anteriores a un 10 % de los datos, D2

un 20 %, etc. Como era de esperar, D5 = Me.


En distribuciones de tipo II: Se consideran los valores N10,

2N10

, . . . ,9N10

yse observan los valores de la variable para los que se igualan o superanestos números en la columna de frecuencias absolutas acumuladas.

En las distribuciones de tipo III: Sea Li−1, Li el intervalo en el que seencuentra el decil Dp. Este intervalo se determina procediendo igual queen las distribuciones de tipo II. Entonces el decil Dp se calcula con lafórmula:

Dp = Li−1 +

pN

10−Ni−1

ni· ai; p = 1, 2, . . . , 9

De�nición 2.2.3 Los percentiles se representan por Pp; p = 1, 2, . . . , 99 y sonlos noventa y nueve números que dividen a la distribución en cien partes iguales:

En distribuciones de tipo I: P1 es el valor tal que el 1 % de los datosson anteriores a él y el 99 % restante son posteriores. El tercer percentilP3 separa el 3 % de los datos anteriores a él del 97 % posteriores a él.Evidentemente, P50 = D5 = Q2 = Me.

En distribuciones de tipo II: Se consideran los valores N

100,

2N100

, . . . ,99N100

y se observan los valores de la variable para los que se igualan o superanestos números en la columna de frecuencias absolutas acumuladas.

En las distribuciones de tipo III: Sea Li−1, Li el intervalo en el que seencuentra el percentil Pp. Este intervalo se determina procediendo igualque en las distribuciones de tipo II. Entonces el percentil Pp se calcula conla fórmula:

Pp = Li−1 +

pN

100−Ni−1

n1· ai; p = 1, 2, . . . , 99

2.2.2. Momentos centralesDe�nición 2.2.4 Se llama momento central de orden k y se representa por µk,al parámetro estadístico:

µk = Xk =

∑(xi −X)kni

N

Observación 2.2.1 Cuanto mayor sea el orden k del momento, más in�uyenen el valor del momento correspondiente los valores muy alejados de la media.

2.3. Medidas de dispersiónLas medidas de dispersión de una distribución estadística se corresponden

con cualquier parámetro que mida la proximidad o alejamiento existente entrelos datos.


2.3.1. Recorrido o rangoDe�nición 2.3.1 Se llama recorrido o rango y se representa por Re, a la difer-encia entre los valores máximo y mínimo de la variable, es decir:

Re = xmax − xmin

2.3.2. Desviación media respecto a la mediaDe�nición 2.3.2 Se de�ne la desviación media respecto a la media de unavariable X y se representa por DX como la media aritmética de los valoresabsolutos de las desviaciones de los datos respecto a su media aritmética. Vienedada por la fórmula:

DX =

∑|xi −X|niN

2.3.3. VarianzaDe�nición 2.3.3 Se de�ne la varianza de una distribución como la media ar-itmética de los cuadrados de las desviaciones de los datos respecto a su mediaaritmética. Se representa por σ2 y viene dada por la fórmula:

σ2 =

∑(xi −X)2ni

N

Teorema 2.3.1 Se veri�ca:

σ2 = X2 −X2

σ2 = µ2

2.3.4. Desviación típicaDe�nición 2.3.4 Se llama desviación típica y se representa por σ a la raízcuadrada positiva de la varianza, es decir:

σ = +√σ2

La desviación típica, llamada también desviación cuadrática media o desviaciónestándar es la medida de dispersión más frecuentemente utilizada. Usualmente,una distribución estadística se suele caracterizar de un modo abreviado indican-do solamente los valores de su media y de su desviación típica.


2.3.5. Desviación cuartílicaDe�nición 2.3.5 Se llama desviación cuartílica o recorrido semiintercuartílicode una distribución y se designa por DC, como la mitad de la diferencia entrelos cuartiles tercero y primero, a saber:

DC =Q3 −Q1

2

2.3.6. Desviación percentílica 10-90De�nición 2.3.6 Se llama desviación percentílica 10-90 o recorrido semiper-centílico 10-90 de una distribución y se designa por DP10−90, como la mitad dela diferencia entre los percentiles noventa y diez, a saber:

DP10−90 =P90 − P10

2

2.3.7. Variable tipi�cadaCuando se quieren comparar dos distribuciones estadísticas o dos medidas

que no sean la media aritmética y la desviación típica, es necesario eliminar lain�uencia de estas dos medidas, lo cual se hace considerando un nueva variablepara cada una de las distribuciones a comparar que se llama variable tipi�cada.

De�nición 2.3.7 Sea X una variable estadística de media X y desviación típi-ca σ. Se dice que una variable estadística Z se corresponde con la variable Xtipi�cada, si:

Z =X −Xσ

Teorema 2.3.2 Si Z es una variable estadística tipi�cada, entonces:

Z = 0

σ(Z) = 1

2.4. Medidas de asimetría2.4.1. Coe�ciente de asimetríaDe�nición 2.4.1 Se llama coe�ciente de asimetría y se representa por γ1, alnúmero:

γ1 =µ3

σ3


2.5. Medidas de apuntamiento o curtosis2.5.1. Coe�ciente de apuntamiento o curtosisDe�nición 2.5.1 Se llama coe�ciente de apuntamiento o curtosis y se repre-senta por γ2 al número

γ2 =µ4

σ4− 3

2.6. Ejercicios del temaEjercicio 2.1 Las estaturas de los jugadores de baloncesto de cuatro equipostienen los parámetros que muestra la siguiente tabla y las grá�cas que se pro-porcionan en la grá�ca 7. Asocia a cada grá�ca el par de parámetros correspon-diente

Equipo K L M Nx 198,5 198,1 193 193,4σ 9,7 3,9 4,6 8,1

Ejercicio 2.2 Las distribuciones de la grá�ca 8 tienen todas ellas la mismamedia, 5, aproximadamente. Sin embargo, sus desviaciones típicas son 1, 2, 3 y4. ¾Cuál es la de cada cual?

Ejercicio 2.3 Las desviaciones típicas de las cuatro distribuciones de la �gura9 son: 3,2; 4,3; 5,2; 6,8. ¾Cuál corresponde a cada una?. ¾Cuál es la media detodas ellas?

Ejercicio 2.4 Se ha hecho un mismo examen en dos clases, A y B, de 40alumnos cada una. Las notas medias de cada clase y sus desviaciones típicasson: xA = 6;σA = 1; xB = 6;σA = 3 y las grá�cas correspondientes están en la�gura 10

Asigna la distribución de la clase A a una de las tres grá�cas y la distribu-ción de B a otra.

En una de las clases hay 15 suspensos y 6 sobresalientes; en la otra, 5suspensos y 1 sobresaliente. ¾Cuál es la clase A y cuál es la clase B?

¾En qué clase habrá más notas comprendidas entre 5 y 7?

Ejercicio 2.5 La siguiente tabla expresa las estaturas en centímetros de 4350soldados:

Talla 152 156 160 164 168 172 176 180 184 188No sold. 62 186 530 812 953 860 507 285 126 29

Haz el histograma correspondiente a estos datos.

Estima la media y la desviación típica.


¾Cuántos soldados tienen su estatura en el intervalo (x−σ, x+σ)? ¾Cuán-tos en el intervalo (x− 2σ, x+ 2σ)?

Calcula el porcentaje de soldados para cada intervalo del apartado anterior.

Decimos que los soldados que tienen su estatura en el intervalo (x+σ, x+2σ) son altos. ¾Cuántos soldados altos hay en total? ¾Qué porcentaje supo-nen?

Decimos que los soldados que tienen su estatura en el intervalo (x−2σ, x−σ) son bajos. ¾Cuántos soldados bajos hay en total? ¾Qué porcentaje supo-nen?

Ejercicio 2.6 Se han lanzado dos dados 120 veces y cada vez se ha anotado lasuma. Éstos son los resultados:

Sumas Veces2 33 84 95 116 207 198 169 1310 1111 612 4

¾De qué tipo de variable se trata? Calcula x, σ. Averigua el porcentaje de valoresobtenidos en el intervalo (x− σ, x+ σ) y en (x− 2σ, x+ 2σ).

Ejercicio 2.7 Calcula x, σ en la distribución de edades siguiente y averiguael porcentaje y calcula el porcentaje aproximado de individuos que hay en eintervalo (x− σ, x+ σ) y en (x− 2σ, x+ 2σ).

Edades No de personas[0,10) 1850[10,20) 2500[20,30) 1700[30,40) 1360[40,50) 1100[50,60) 900[60,70) 210[70,80) 210[80,90) 210[90,100) 210


Ejercicio 2.8 Calcula los parámetros x, σ de la distribución, por portales, delnúmero de personas que viven en una gran barriada:

Intervalos Frecuencias(60,76] 12(76,92] 13(92,108] 18(108,124] 19(124,140] 11(140,156] 7

Obtén el intervalo (x − σ, x + σ) y cuenta los valores que hay en él. ¾Qué por-centaje suponen del total? Haz lo mismo con (x− 2σ, x+ 2σ)

Ejercicio 2.9 Las temperaturas tomadas en dos ciudades, A y B, los días 15de cada mes de un determinado año, a las 12 de la mañana, son, en gradoscentígrados:

A BE 11 -2F 13 5M 15 13A 14 13M 19 19J 24 29J 26 37A 25 38S 19 23O 16 15N 14 10D 12 6

Calcula la temperatura media y la desviación típica en cada una de ellas.

Ejercicio 2.10 Tiramos sucesivamente una moneda y anotamos el número delanzamientos que necesitamos hasta obtener la primera cara. Realizamos el ex-perimento 100 veces con los siguientes resultados:

Lanz. en el que sale c. No de veces que ha ocurrido1 532 243 114 65 36 27 1

Calcula x, σ.


Ejercicio 2.11 Calcula la mediana, los cuartiles y los centiles 10, 40, 70 y 90en la distribución del ejercicio 28.





Ejercicio 2.16 Las estaturas de los componentes de tres equipos infantiles debaloncesto, A, B y C se distribuyen según las grá�cas de la �gura 11 y con losparámetros que aparecen en la misma �gura. ¾Qué grá�ca corresponde a cadaequipo?

Ejercicio 2.17 Sabemos que, en una clase, la cali�cación media de un examenha sido 5 y la desviación típica 1,5. En esa misma clase, para otro examen, lacali�cación media ha sido también 5, y la desviación típica 1. Si un alumno haobtenido un 8 en el primer examen y un 7,5 en el segundo, ¾qué nota te parecemás meritoria? ¾Por qué?

Ejercicio 2.18 En una fábrica de tornillos se mide la longitud (en mm) dealgunos de ellos y se obtiene:

22 20 18 21 19 22 16 19 23 1817 23 23 21 18 20 22 18 25 2322 22 19 19 20 21 18 24 17 2019 23 21 23 21 20 19 21 20 2219 20 18 21 19 18 20 22 21 19

Haz una tabla de frecuencias, represéntala grá�camente y calcula la mediay la desviación típica.

Haz una nueva tabla de frecuencias agrupando los valores así: de 17 a 19mm, de 20 a 22 mm y de 23 a 25 mm. Represéntala grá�camente y calculala media y la desviación típica.

Calcula las medianas, los cuartiles y el centil 90 (para ello haz, previa-mente, el polígono de frecuencias acumuladas)

¾Qué centil corresponde a la longitud 24 cm?

Ejercicio 2.19 Las estaturas de los 40 alumnos de una clase vienen dadas enla siguiente tabla:


Intervalos Alumnos(158,5-163,5] 1(163,5-168,5] 5(168,5-173,5] 11(173,5-178,5] 14(178,5-183,5] 6(183,5-188,5] 3

Calcula la media y la desviación típica. Dí el valor de la mediana y los cuartiles.¾Qué centil corresponde a una estatura de 180 cm?

Ejercicio 2.20 Al lanzar tres dados distintos pueden darse 6 × 6 × 6 = 216resultados posibles. Imaginemos que tiramos 216 veces tres dados y que se dieranexactamente todas y cada una de las 216 posibilidades distintas. En este caso,las sumas de las tres puntuaciones se distribuirían así:

x 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18fi 1 3 6 10 15 21 25 27 27 25 21 15 10 6 3 1

Representa esta distribución mediante un diagrama de barras.

Calcula la media y la desviación típica.

Calcula los intervalos (x− σ, x+ σ) y (x− 2σ, x+ 2σ) y el porcentaje deresultados en cada uno.

Ejercicio 2.21 Los pesos de 40 alumnos de una clase se distribuyen del sigu-iente modo:

Intervalos Alumnos(35,5-42,5] 2(42,5-49,5] 11(49,5-56,5] 13(56,5-63,5] 9(63,5-70,5] 3(70,5-77,5] 2

Represéntala grá�camente y estima x, σ.

Calcula numéricamente x, σ y obtén el porcentaje de chicos que hay en losintervalos (x− σ, x+ σ) y (x− 2σ, x+ 2σ)

Calcula la mediana y los cuartiles y estima el centil que corresponde acada una de las siguientes medidas: 40 Kg, 50 Kg, 60 Kg, 70 Kg.

Ejercicio 2.22 En una fábrica de bombillas se observaron 200 de ellas paraestudiar su duración y se obtuvieron los siguientes resultados:


Horas de duración No de bombillas(100,200) 2(200,300) 7(300,400) 16(400,500) 49(500,600) 62(600,700) 41(700,800) 23

Representa grá�camente mediante un histograma de frecuencias y estimael valor de x, σ.

Haz una tabla con las marcas de clase de cada intervalo y las frecuenciasy calcula con exactitud x, σ.

Obtén el porcentaje de bombillas cuya duración está en cada uno de losintervalos (x− σ, x+ σ) y (x− 2σ, x+ 2σ).

Representa el polígono de frecuencias acumuladas, obtén sobre él la medi-ana, los cuartiles, los centiles 10, 70 y 90 y di qué centiles correspondena los valores 225 y 575.

Parte II

Estadística descriptivabidimensional

32

Capítulo 3

Distribucionesbidimensionales. Teoría de lacorrelación

Contenidos del tema1. Relación estadística y relación funcional.

2. Distribuciones bidimensionales.

3. Medida de la correlación.

4. Regresión.

3.1. Relación estadística y relación funcionalDe�nición 3.1.1 Se dice que entre dos variables existe una relación funcionalsi a cada valor de una de las variables, llamada variable independiente, le cor-responde uno y un sólo valor de la otra variable, llamada variable dependiente.

De�nición 3.1.2 Se dice que entre dos variables hay una relación estadísticao correlación, si a cada valor de una las variables le puede corresponder más deun valor de la otra variable.

De�nición 3.1.3 Se dice que una correlación entre dos variables es positiva sia medida que aumentan los valores de una, aumentan los valores que le corre-sponden de la otra. Se dice que una correlación entre dos variables es negativasi a medida que aumentan los valores de una, disminuyen los valores que lecorresponden de la otra.

33

CAPÍTULO 3. DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES. TEORÍA DE LA CORRELACIÓN34

3.2. Distribuciones bidimensionalesDe�nición 3.2.1 Sea un conjunto de n individuos. A cada uno de ellos se letoman dos medidas, (xi, yi). Al conjunto de valores:

{(xi, yi); i = 1, 2, . . . , n}se le llama distribución bidimensional de las variables estadísticas (X,Y ).

De�nición 3.2.2 La representación en un diagrama cartesiano de una distribu-ción bidimensional se llama nube de puntos o diagrama de dispersión.

De�nición 3.2.3 Se llama centro de gravedad de una distribución bidimension-al (X,Y ) al punto (X,Y )

De�nición 3.2.4 A veces, la nube de puntos se amolda a una recta. A estarecta se llama recta de regresión.

Observación 3.2.1 El carácter creciente o decreciente de la recta de regresióncoincide con el signo de la correlación existente entre las variables estadísticas.

Observación 3.2.2 La recta de regresión pasa por el centro de gravedad de unadistribución.

3.3. Medida de la correlaciónDe�nición 3.3.1 Sea (X,Y ) una distribución bidimensional. Se llama covari-anza y se representa por σXY , al parámetro:

σXY =

n∑

i=1

(xi −X)(yi − Y )

n

Teorema 3.3.1 Sea (X,Y ) una distribución bidimensional. Se veri�ca:

σXY = XY −X · YObservación 3.3.1 El signo positivo o negativo de la covarianza coincide

con el carácter creciente o decreciente de la recta de regresión y por tantocon el tipo positivo o negativo de la correlación.

σXY = 0⇒ No existe correlación lineal entre las variables, se dice que lasvariables son incorreladas.

De�nición 3.3.2 Sea (X,Y ) una distribución bidimensional. Se llama coe�-ciente de correlación lineal y se representa por ρXY , al número:

ρXY =σXYσXσY


Teorema 3.3.2 Sea (X,Y ) una distribución bidimensional. Se veri�can lassiguientes propiedades:

−1 ≤ ρXY ≤ 1

ρXY > 0⇒ correlación positiva.

ρXY < 0⇒ correlación negativa.

ρXY = 0⇒ variables incorreladas.

A medida que aumenta en valor absoluto el coe�ciente de correlación, másse asemeja la nube de puntos a la recta de regresión.

3.4. RegresiónTeorema 3.4.1 Sea (X,Y ) una distribución bidimensional. La recta de regre-sión de Y sobre X tiene de ecuación:

y − Y =σXYσ2X

(x−X)

3.5. Ejercicios del temaEjercicio 3.1 En cada uno de los siguientes casos debes decir si, entre las dosvariables que se citan, hay relación funcional o relación estadística (correlación)y, en este último caso, indicar si es positiva o negativa:

Estatura media de los padres-estatura media de los hijos.

Temperatura a la que calentamos una barra de hierro-longitud alcanzada.

volumen de exportación, volumen de importación con España.

Índice de mortalidad infantil-número de médicos por cada 1000 habitantes.

Kwh consumidos en cada casa durante enero-coste del recibo de la luz.

Personas que viven en cada casa-coste del recibo de la luz.

Lugar que ocupan al �nalizar la liga-número de partidos perdidos.

Ejercicio 3.2 Asigna los valores 0,95; 0,4; -0,7 y -1 a los coe�cientes de cor-relación de las distribuciones bidimensionales de la �gura 11.

Ejercicio 3.3 Asigna los valores 0,34; 0,72; 0,97 y 1 a los coe�cientes de cor-relación de las distribuciones bidimensionales de la �gura 12.

Ejercicio 3.4 Los números 0; 0,47; 0,92 y 0,97 son los valores absolutos de loscoe�cientes de correlación de las distribuciones bidimensionales de la �gura 13.Asigna a cada cual la suya, cambiando el signo cuando convenga.


Ejercicio 3.5 Las correlaciones correspondientes a las seis distribuciones dela �gura 14 son, no respectivamente, 0,46; -0,94; 1; 0; 0,9; -0,63. Míralas de-tenidamente y asigna a cada cuál su valor.

Ejercicio 3.6 Cuatro jugadoras de baloncesto han hecho 10 lanzamientos acanasta de una distancia de 1 m, otros 10 desde 2 m y así sucesivamente hasta8 m. En cada caso se ha anotado el número de encestes.

1 m 2 m 3 m 4 m 5 m 6 m 7 m 8 mA 9 10 6 4 2 0 1 0B 7 6 7 4 2 4 1 0C 3 4 0 1 0 2 1 3D 10 8 9 9 6 7 4 5

Una distribución bidimensional para la jugadora A puede consistir en asociarla distancia a que se producen los lanzamientos y el número de canastas con-seguidas. Se obtienen los pares de valores (1,9) -desde un metro, 9 encestes-(2,10), (3,6), etc.

Representa grá�camente los 8 puntos de la distribución correspondiente ala jugadora A, traza la recta de regresión y estima el valor del coe�ciente decorrelación.

Ejercicio 3.7 Haz lo mismo que en el ejercicio anterior para las jugadoras B, Cy D. En algunos de estos casos ¾puedes asegurar que la correlación es claramentemás débil que en los demás?

Ejercicio 3.8 Observa en cualquier periódico la clasi�cación futbolística de primeradivisión y estima, tras representar la nube de puntos correspondiente, cómo seráel coe�ciente de correlación entre el puesto en la clasi�cación y el número degoles a favor.

Ejercicio 3.9 Haz lo mismo para la relación entre el puesto en la clasi�cacióny la diferencia de goles a favor y goles en contra.

Ejercicio 3.10 Los siguientes 15 países son los que mantienen relaciones com-erciales más fuertes con España, bien por importación, bien por exportación.

USA Ale Fra Ing Méj ItaExp. a España 1 2 3 4 5 6Imp. a España 2 3 1 4 20 5

Los números de la primera �la signi�can el lugar que ocupan (Ranking Mundial)por su exportación a España. USA (1) es el país que más exporta a España. Lasegunda �la expresa el lugar que ocupan por su nivel de importación de España.Francia (1) es el país que más importa a España. Representa la nube de puntosy traza la recta de regresión. ¾Qué podrías decir de la correlación: positiva,negativa, grande, mediana, casi nula...? ¾Cuál de los siguientes valores te pareceel más adecuado para ella: -0,98; -0,7; -0,3; 0,2; 0,7; 0,99?


Ejercicio 3.11 Observa esta tabla:

Esp Hol Gre Ita Irl FraÍnd. de mort. 7,4 8,2 8,7 9,4 9,4 10Hab. >64 años 11,3 11,6 13,2 13,6 10,7 15,4

Con�gura la nube de puntos y di cuál de los siguientes valores te parece quepuede ser coe�ciente de correlación: -0,81; -0,56; -0,32; 0,03; 0,41; 0,77; 0,99

Ejercicio 3.12 Calcula numéricamente el coe�ciente de correlación de la dis-tribución correspondiente a la siguiente tabla:

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10y 2 2 4 6 4 5 7 7 9 10

Ejercicio 3.13 Las estaturas de 10 chicas y las de sus respectivas madres son:

xi 158 162 164 165 168 169 172 172 174 178yi 163 155 160 161 164 158 175 169 166 172

Representa los valores mediante una nube de puntos.

Traza a ojo la recta de regresión y estima el valor del coe�ciente de cor-relación.

Calcula x, y, σx, σy, σxy y, partir de ellos, obtén el valor de ρxy y la ecuaciónde la recta. Compáralos con los que obtuviste a ojo.

Ejercicio 3.14 La siguiente tabla relaciona el número atómico de varios met-ales de la misma �la en el sistema periódico, (período 4), con su densidad:

Elemento K Ca Ti V Mn Fe Co NiNúm. atóm. 19 20 22 23 25 26 27 28

Dens. (g/cm2) 0,86 1,54 4,5 5,6 7,11 7,88 8,7 8,8

Representa los puntos, calcula el coe�ciente de correlación y traza la recta deregresión. A partir de ella, estima la densidad del cromo (Cr), cuyo númeroatómico es 24, y haz otro tanto con la del escandio (Sc), de número atómico 21.

Nota: En cada uno de los siguientes ejercicios se da una tabla que corre-sponde a una distribución bidimensional. Calcula el coe�ciente de correlación yla ecuación de la recta de regresión de cada una de ellas.

Ejercicio 3.15 Distribución bidimensional:

Notas en Matemáticas 2 3 4 4 5 6 6 7Notas en Filosofía 2 5 7 8 4 4 6 4

Ejercicio 3.16 Distribución bidimensional:

Clasi�cación 1 2 3 4 5 6 7 8Puntos Ganados 23 20 22 17 18 18 18 18


Ejercicio 3.17 Distribución bidimensional:Clasi�cación 1 2 3 4 5 6 7 8

Puntos Empatados 11 17 12 19 16 11 9 6

Ejercicio 3.18 Distribución bidimensional:Clasi�cación 1 2 3 4 5 6 7 8

Puntos Perdidos 7 4 7 5 7 12 14 17

Ejercicio 3.19 Distribución bidimensional:mg diarios de una sustancia A 1 2 3 4 5 6 7 8Aumento de peso (g) en un mes 3 1 3 5 6 4 6 5

Ejercicio 3.20 Distribución bidimensional:mg diarios de una sustancia B 1 2 3 4 5 6 7 8Aumento de peso (g) en un mes 2 2 1 3 0 3 4 1

Ejercicio 3.21 Distribución bidimensional:mg diarios de una sustancia C 1 2 3 4 5 6 7 8Aumento de peso (g) en un mes 3 3 2 0 1 -1 1 -2

Ejercicio 3.22 De un muelle se cuelgan pesas y se obtienen los siguientesalargamientos:

Masa de la pesa (g) 0 10 30 60 90 120 150 200Alargamiento producido (cm) 0 0,5 1 3 5 6,5 8 10,2

Representa los puntos, traza a ojo la recta de regresión y estima el valor delcoe�ciente de correlación. Calcula el coe�ciente de correlación y la ecuaciónde la recta de regresión y compáralos con los que obtuviste a ojo. Estima quéalargamientos se producirán al colgar pesas de 100 g. 300 g. y 500 g. ¾Cómo de�able serán los resultados obtenidos?

Ejercicio 3.23 Observa la siguiente tabla de valores:Nig Gha Sib Mar Ecu Arg

Ind. nat. 50 48 47 44 41 24Exp. vid. 49 50 54 57 61 70Ren. cap. 873 402 536 869 1171 2560

Representa la distribución bidimensional "Índice de natalidad-Expectativa devida al nacer"mediante una nube de puntos. Calcula el coe�ciente de correlacióny extrae consecuencias sociológicas del resultado. Haz lo mismo con las variables"Índice de natalidad-Renta per cápita".

Ejercicio 3.24 La tabla adjunta proporciona los gastos en publicidad y las cor-respondientes ventas, de dos empresas. Estudia la correlación entre gastos depublicidad y ventas de cada una.


Gastos publi (×106 ptas) 1 2 3 4 5Emp A Ventas (×106 ptas) 10 17 30 28 39Emp B Ventas (×106 ptas) 10 12 19 22 25

Ejercicio 3.25 Las distancias medias de los 10 planetas al Sol son:

1.Mer 2.Ven 3.Tie 4.Mar 5.Ast 6.Jup 7.Sat 8.Ura 9.Nep 10.Plu0,39 0,72 1 1,52 2,65 5,2 9,54 19,19 30,07 39,52

(Se ha tomado como unidad la distancia entre la Tierra y el Sol, a lo que se llamaunidad astronómica (u.a.) El quinto lugar está ocupado por los asteroides que,para estos efectos, son considerados como un planeta más). Representa la nubede puntos correspondiente, traza la recta de regresión y calcula el coe�ciente decorrelación. Si hubiera un nuevo planeta más allá de Plutón, ¾a qué distancia enu.a. estaría del Sol? Toma las medidas sobre la recta de regresión. ¾Qué gradode seguridad podríamos tener en estos cálculos?

Ejercicio 3.26 Para estudiar algunos efectos de la altitud, un grupo de 10jóvenes a�cionados a la investigación cientí�ca ha llevado a cabo un experi-mento. Cada uno de ellos ha acudido a un lugar distinto de la misma comarcay ha obtenido medidas sobre:

Altura en metros sobre el nivel del mar.

número de plantas de una cierta especie en un 1 dam2.

Presión atmosférica en mm.

Número de pulsaciones por minuto del experimentador.Éstos son los resultados:

a 0 184 231 481 730 911 1343 1550 1820 2184n 0 0 4 14 23 18 12 3 0 0Pa 760 745 740 720 700 685 650 630 610 580Pu 73 78 75 78 83 80 89 80 85 92

Considera las siguientes distribuciones bidimensionales: a,n; a,Pa; a,Pu. Repre-senta cada una de ellas en un diagrama cartesiano mediante la nube de puntos,traza a ojo su recta de regresión y estima su coe�ciente de correlación. Efectúa,después, los cálculos de forma rigurosa y compara los resultados. Estima, sobrela correspondiente recta de regresión, la presión atmosférica correspondiente a2000 m. de altura.

Ejercicio 3.27 Dibuja la nube de puntos y traza la recta de regresión para estosdatos de la climatología en La Coruña:

E F M A M J J A S O N DT oC 7 10,4 11,3 13,1 14 17,1 20,4 18,3 18,7 16,9 13,4 11,5

Lluvia mm 125 106 97 78 64 25 35 38 84 135 185 131Horas sol 104 93 134 166 182 197 223 263 181 151 83 60


Estudia la correlación entre:

Temperatura y lluvia.

Temperatura y horas de sol.

Lluvia y horas de sol.

Ejercicio 3.28 De un muelle colgamos pesas. Cuanto mayor sea la pesa, másse estira el muelle. La siguiente tabla nos da los pesos colgados y los correspon-dientes alargamientos del muelle:

Masa (g) 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270Alarg (cm) 0 9 17 26 35 43 52 61 70 79

Representa los puntos y traza la recta de regresión (r=0,999) Calcula su ecuación.Estima el alargamiento esperado para masas de 40 g, 100 g, 250 g, 350 g.

Parte III

Cálculo de probabilidades

41

Capítulo 4

Combinatoria

Contenidos del tema1. Variaciones.

2. Variaciones con repetición.

3. Números factoriales.

4. Permutaciones.

5. Permutaciones con repetición.

6. Números combinatorios.

7. Combinaciones.

8. Combinaciones con repetición.

4.1. VariacionesDe�nición 4.1.1 Sean m,n ∈ N con n ≤ m. Se llaman variaciones de melementos tomados de n en n, y se representa por Vm,n, al número de gruposque se pueden formar con los m elementos, de manera que:

En cada grupo entren n elementos distintos.

Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento o en el ordende colocación de éstos.

Teorema 4.1.1 Sean m,n ∈ N con n ≤ m. Entonces:

Vm,n = m · (m− 1) · (m− 1) · · · (m− n+ 1)

42

CAPÍTULO 4. COMBINATORIA 43

4.2. Variaciones con repeticiónDe�nición 4.2.1 Sean m,n ∈ N. Se llaman variaciones con repetición de melementos tomados de n en n, y se representa por V Rm,n, al número de gruposque se pueden formar con los m elementos, de manera que:

En cada grupo entren n elementos repetidos o no.

Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento o en el ordende colocación de éstos.

Teorema 4.2.1 Sean m,n ∈ N. Entonces:

V Rm,n = mn

4.3. Números factorialesDe�nición 4.3.1 Sea n ∈ N. Se llama factorial de n (o n factorial), y serepresenta por n!, al número:

n! = n · (n− 1) · (n− 2) · · · 2 · 1

Teorema 4.3.1 Sea n ∈ N. Se veri�can las siguientes propiedades:

1. n! = n · (n− 1)!

2. n! = n · (n− 1) · (n− 2) · · · (r + 1) · r!; r < n

4.4. PermutacionesDe�nición 4.4.1 Sea n ∈ N. Se llaman permutaciones de n elementos y serepresenta por Pn a los distintos grupos que se pueden formar, de manera que:

En cada grupo están los n elementos.

Un grupo se diferencia de otro únicamente en el orden de colocación desus elementos.

Teorema 4.4.1 Sea n ∈ N. Entonces:

Pn = n!

Corolario 4.4.2 Sea n ∈ N. Entonces:

Pn = Vn,n = n!


4.5. Permutaciones con repeticiónDe�nición 4.5.1 Sean a, b, . . . , k, n ∈ N / a + b + · · · + k = n. Se llamanpermutaciones con repetición de n elementos, donde el primer elemento se repitea veces, el segundo b veces,. . . ,el último k veces, y se representa por P a,b,...,kn ,al números de grupos distintos que se pueden formar con los n elementos, demanera que:

El primer elemento se repite a veces.

El segundo elemento se repite b veces.

. . .

El último elemento se repite k veces.

Un grupo se diferencia de otro únicamente en el orden de colocación desus elementos.

Teorema 4.5.1 Sea n ∈ N. Entonces:

P a,b,...,kn =n!

a!b! . . . k!

4.6. Números combinatoriosDe�nición 4.6.1 Sean m,n ∈ N∪{0} / n ≤ m. Se de�ne el número combina-torio de numerador m y de orden n, se representa por

(mn

)y se lee m sobre

n, al número: (mn

)=

m!(m− n)!n!

Teorema 4.6.1 Sean m,n ∈ N ∪ {0} / n ≤ m. Se veri�can las siguientespropiedades:

(m0

)= 1; ∀m ∈ N ∪ {0}

(mm

)= 1; ∀m ∈ N ∪ {0}

(m1

)= 1; ∀m ∈ N ∪ {0}

(mn

)=(

mm− n

); ∀m,n ∈ N ∪ {0}


4.7. CombinacionesDe�nición 4.7.1 Sean m,n ∈ N ∪ {0} / n ≤ m. Se llaman combinaciones dem elementos tomados de n en n y se representa por Cm,n al número de gruposdistintos que se pueden formar con m elementos, de manera que:

En cada grupo entren n elementos distintos.

Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento pero no enel orden de colocación.

Teorema 4.7.1 Sean m,n ∈ N ∪ {0} / n ≤ m. Entonces:

Cm,n =(mn

)=

m!(m− n)!n!

Teorema 4.7.2 Sean m,n ∈ N ∪ {0} / n ≤ m. Entonces:

Cm,n =Vm,nPn

4.8. Combinaciones con repeticiónDe�nición 4.8.1 Sean m,n ∈ N∪{0}. Se llaman combinaciones con repeticiónde m elementos tomados de n en n, y se representa por CRm,n, al número degrupos que se pueden formar con los m elementos, de manera que:

En cada grupo entran n elementos repetidos o no.

Dos grupos son diferentes si se diferencian en algún elemento.

Teorema 4.8.1 Sean m,n ∈ N ∪ {0}. Entonces:

CRm,n = Cm+n−1,n =(m+ n− 1

n

)=

(m+ n− 1)!(m− 1)!n!

4.9. Ejercicios del temaEjercicio 4.1 Resuelve la ecuación: Vm,4 = 20Vm,2

Ejercicio 4.2 ¾Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los dígitos1,2,3,4,5,6,7,8,9 sin que se repita ninguna cifra?

Ejercicio 4.3 La bandera de un país está formada por tres franjas horizontalesde igual anchura y distinto color. ¾Cuántas banderas distintas se podrán formarcon los siete colores del arco iris?

Ejercicio 4.4 ¾De cuántas formas distintas se pueden sentar 12 alumnos enlos cuatro asientos de la primera �la de la clase? ¾Y si el primer puesto estásiempre reservado para el delegado?


Ejercicio 4.5 Resuelve V Rx,2 + 5V Rx−2,2 = 244

Ejercicio 4.6 En el alfabeto Morse se utilizan dos símbolos: el punto y la raya.¾Cuántos caracteres diferentes es posible obtener en el citado alfabeto tomando1,2,3 o 4 de los símbolos citados?

Ejercicio 4.7 ¾Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los dígitos0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 pudiéndose repetir las cifras?

Ejercicio 4.8 Se lanzan tres dados de distintos colores una vez. ¾Cuántos re-sultados distintos se pueden obtener?

Ejercicio 4.9 En un campeonato mundial de ciclismo participan cuatro equiposque pertenecen a España, Francia, Alemania e Italia. Forma todas las posiblesclasi�caciones del torneo. ¾Cuántas hay?

Ejercicio 4.10 Un jugador habitual de quinielas tiene la corazonada de queen la próxima jornada ganarán 10 equipos en casa, empatarán 3 y ganarán encampo contrario 2. ¾Cuántas quinielas deberá rellenar para asegurarse un plenoal 15?

Ejercicio 4.11 Como respuesta a un anuncio de trabajo de presentan 12 per-sonas para cubrir tres plazas de administrativo. ¾Cuántos grupos diferentes detres personas se pueden formar?

Ejercicio 4.12 ¾Cuántos triángulos distintos se pueden formar con ocho pun-tos en el plano si tres de ellos nunca están alineados

Ejercicio 4.13 Resuelve la ecuación 3Cx,3 − 5Cx,2 = 8Cx,1

Ejercicio 4.14 Resuelve las siguientes ecuaciones:

Vx,4 = 20Vx,2 (x > 3)

Vx,1 + Vx,2 + Vx,3 = 26x

15Vx,x = 10Vx−1,x−1

Vm,5 = 6Vm,3

Vx,3 − Vx,1 = 203

Vx+1,3 = 9Vx,2


V Rx,2 + 3V Rx−1,2 = 73

V Rx,2 = 15V5,3

V Rx,2 + 5V Rx−2,2 = 244


V Rx,2 − V Rx−1,2 = 7


Pn = 42Pn−2

Pn = 24Vn,2

Px = P3 − 2Px

12Px + 5Px+1 = Px+2

Px+1 − Px = 18

3Vx+2,3

P3=

5Vx+1,2

P2

42Px = 7Px+1

Vx,2 × P4 = P2 × Vx,4

Ejercicio 4.17 Calcula P 4,37 ; P 12,2

14 ; P 3,4,29


P4 × Cx,3 = 3x× Vx,24Vx,3 − 16Cx,2 = Vx,4

2C2x,x = 7C2x−2,x−1


3Cx+2,3 = 5Cx+1,2

C2x,3 = 2C2x−1,3

Cx,3 + 4Cx+1,3 + Cx+2,3 = 8

Ejercicio 4.20 Simpli�ca la siguiente expresión:(

161

)+(

162

)

(1714

)+(

1715

)

Ejercicio 4.21 Calcula las siguientes potencias:

(2 + x)5

(1 + 3x)6

(5 + 4x)7


(4− x)7

(−3 + x)6

(−2− 3x)9

Ejercicio 4.22 ¾Cuántas parejas distintas de vocales se pueden formar con lascinco vocales de manera que no se puedan repetir?

Ejercicio 4.23 ¾Cuántas parejas distintas se pueden formar con las cinco vo-cales de manera que se puedan repetir?

Ejercicio 4.24 ¾De cuántas formas diferentes se pueden cubrir los puestos depresidente, secretario y tesorero de un club de baloncesto sabiendo que hay 12posibles candidatos

Ejercicio 4.25 ¾Cuántos números de tres cifras signi�cativas se pueden formarcon los dígitos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 sin que se repita ninguna cifra?

Ejercicio 4.26 ¾Cuántos números de tres cifras signi�cativas se pueden formarcon los dígitos 1,2,3,4,5,6,7,8,9 sin que se repita ninguna cifra?

Ejercicio 4.27 Con las cifras 1,2,3,4,5 ¾cuántos números distintos de cuatrocifras se pueden formar de modo que la cifra 2 ocupe siempre el lugar de lasunidades?

Ejercicio 4.28 ¾Cuántos números de tres cifras se pueden formar con las cifraspares 2,4,6,8 sin que se repita ninguna? ¾Cuántos terminan en 64? ¾Cuántoshabrá que sean mayores de 500? ¾Cuánto suman todos los números de tres cifrasque se pueden obtener?

Ejercicio 4.29 Si se escriben en orden creciente las variaciones de cuarto or-den sin repetición que se pueden formar con las 9 cifras signi�cativas, es decir,1,2,3,4,5,6,7,8,9, ¾qué lugar ocupa la variación 3254?

Ejercicio 4.30 ¾De cuántas formas se pueden colocar 10 cantores de un corosi dos de ellos tienen que estar siempre en los extremos?

Ejercicio 4.31 ¾Cuántos números de cuatro cifras distintas se pueden formarcon los dígitos 2,4,6,8?

Ejercicio 4.32 Suponiendo ordenadas en orden creciente las permutaciones delejercicio anterior, ¾qué lugar ocupará la permutación 6248?

Ejercicio 4.33 Consideramos escritas en orden alfabético las permutacionesde las letras a,b,c,d,e. ¾Qué lugar ocupa la permutación bdace? ¾Cuál es lapermutación que ocupa el lugar 50?

Ejercicio 4.34 ¾Cuántos números distintos de cinco cifras diferentes se puedenformar con los dígitos 2,3,4,5,6? ¾Cuántos son menores de 65000?


Ejercicio 4.35 Con nueve alumnos de una clase se desea formar tres equiposde tres alumnos cada uno. ¾De cuántas maneras puede hacerse?

Ejercicio 4.36 Permutando de todos los modos posibles las cifras del número111223, ¾cuántos números resultan?

Ejercicio 4.37 ¾Cuántos números de cuatro cifras distintas, que sean múltiplosde tres, se pueden formar con los dígitos 1,2,3,4,6?

Ejercicio 4.38 Al unir cinco vértices de un heptágono, ¾cuántos pentágonos seobtienen?

Ejercicio 4.39 En cada programa de radio de una emisora intervienen cuatrolocutores. Si una cadena de radio dispone de 20 locutores, ¾de cuántas formasdistintas se puede presentar un programa?

Ejercicio 4.40 ¾Cuántas rectas se pueden trazar con 20 puntos situados en unplano de tal forma que no hay tres puntos alineados?

Ejercicio 4.41 A una reunión acuden 30 personas. Se decide constituir comi-siones de seis personas para estudiar un cierto plan. ¾Cuántas comisiones difer-entes se pueden formar?

Ejercicio 4.42 ¾Cuántas jugadas diferentes se pueden obtener si se sacan ochocartas de una baraja de 40 cartas?

Ejercicio 4.43 ¾En cuántos puntos se cortan ocho rectas si tres de ellas sonparalelas entre sí?

Ejercicio 4.44 ¾De cuántas maneras pueden combinarse los siete colores delarco iris tomándolos de tres en tres?

Ejercicio 4.45 A una reunión asisten 17 personas y se intercambian saludosentre todos. ¾Cuántos saludos se intercambiarán?

Ejercicio 4.46 Una bolsa contiene 12 bolas de distinto tamaño, de las cualescinco son negras, cuatro blancas y tres rojas. ¾De cuántos modos se puede sacarun grupo de seis bolas que contenga, al menos, una de cada color?

Ejercicio 4.47 Halla el número de capicúas de ocho cifras? ¾Cuántos capicúashay de nueve cifras?

Ejercicio 4.48 ¾De cuántas formas pueden colocarse en �la 10 alumnos sisuponemos que hay dos que ocupan siempre el mismo puesto, uno el primerootro el último?

Ejercicio 4.49 ¾De cuántas formas distintas pueden sentarse tres chicos y doschicas en una �la de butacas de un cine, teniendo en cuenta que no pueden estardos chicos juntos ni dos chicas juntas?


Ejercicio 4.50 En el banquete que sigue a una boda se sientan en la mesapresidencial ocho personas, incluidos los novios. ¾De cuántas formas distintasse pueden sentar de forma que los novios no se separen?

Ejercicio 4.51 Se tienen 10 tarjetas sobre las que se han escrito los números0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. ¾De cuántas formas diferentes se pueden ordenar de maneraque el 5 y el 6 siempre estén juntos? ¾Y cuántas formas distintas habrá demanera que el 5 y el 6 estén juntos y precisamente en ese orden?

Ejercicio 4.52 Colocadas en orden alfabético todas las permutaciones de lasletras A,E,I,J y M, se desea saber el lugar que ocupa la permutación JAIME.

Ejercicio 4.53 Una secretaria ha escrito 12 cartas dirigidas a 12 personas dis-tintas y sus correspondientes sobres. A la hora de meter las cartas en los sobresla llaman por teléfono y sin �jarse, va introduciendo, al azar, las cartas en lossobres. ¾De cuántas formas distintas podrá rellenar los sobres? ¾En cuántas delas formas anteriores ocurrirá que la carta dirigida a don Armando Guerra estéen su correspondiente sobre?

Ejercicio 4.54 Luis no recuerda el teléfono de Ana. Sabe que empieza por 2,tiene tres 1, dos 3 y tres 9. ¾Cuántas llamadas diferentes tendría que hacer comomáximo para localizar a Ana?

Ejercicio 4.55 En una unidad militar hay 6 capitanes, 10 tenientes, 25 sar-gentos y 50 cabos. ¾De cuántas maneras se puede seleccionar un grupo de 3capitanes, 7 tenientes, 15 sargentos y 36 cabos?

Ejercicio 4.56 Con un grupo de 12 alumnos de un curso deben hacerse tresequipos de cuatro personas cada uno para asistir a tres exposiciones distintas.¾Cuántas formaciones diferentes pueden hacerse?

Ejercicio 4.57 Para hacer una apuesta en la Lotería Primitiva hay que marcarcon cruces seis números del primer bloque (donde �guran los números del 1 al49). ¾De cuántas formas diferentes una persona puede marcar 6,5,4y 3 números?

Capítulo 5

Probabilidad

Contenidos del tema1. Experimentos aleatorios.

2. Operaciones con sucesos.

3. Concepto de probabilidad.

4. Probabilidad condicionada.

5.1. Experimentos aleatoriosDe�nición 5.1.1 Un experimento se denomina aleatorio si no es posible pre-decir el resultado antes de su realización, siendo posible repetir el experimentoen las mismas condiciones inde�nidas veces.

De�nición 5.1.2 Se llama espacio muestral de un experimento aleatorio alconjunto de todos los posibles resultados de la realización de dicho experimentoy lo signi�caremos por E.

De�nición 5.1.3 Se llama suceso elemental de un experimento aleatorio a cadauno de los posibles resultados del experimento.

De�nición 5.1.4 Se llama suceso de un experimento aleatorio a cada uno delos subconjuntos del espacio muestral.

De�nición 5.1.5 Se llama espacio de sucesos asociado a un experimento aleato-rio, y los denotamos por P(E) al conjunto de todos los sucesos correspondientesa dicho experimento, esto es, al conjunto de todos los subconjuntos del espaciomuestral.

P(E) = {A / A ⊆ E}

51

CAPÍTULO 5. PROBABILIDAD 52

Teorema 5.1.1 Si E tiene n elementos, entonces P(E) tiene 2n elementos.

card(E) = n⇒ card(P(E)) = 2n

De�nición 5.1.6 Se dice que un suceso A se ha veri�cado si al realizar elexperimento aleatorio se obtiene como resultado uno de los sucesos elementalesque componen A.

De�nición 5.1.7 Se llama suceso seguro al que se veri�ca siempre, esto es, alespacio muestral.

De�nición 5.1.8 Se llama suceso imposible y se representa por ∅ al que no severi�ca nunca.

5.2. Operaciones con sucesosDe�nición 5.2.1 Dados dos sucesos A,B de un mismo experimento aleatorio,se de�ne la unión de A y B y se representa por A ∪ B como el suceso que severi�ca cuando se veri�ca A o cuando se veri�ca B.

De�nición 5.2.2 Dados dos sucesos A,B de un mismo experimento aleatorio,se de�ne la intersección de A y B y se representa por A∩B como el suceso quese veri�ca cuando se veri�can A y B simultáneamente.

De�nición 5.2.3 Dado un suceso A de un experimento aleatorio, se llamasuceso contrario de A y se representa por A a aquel suceso que se veri�ca siem-pre que no se veri�ca A.

Teorema 5.2.1 A = A

∅ = EE = ∅

De�nición 5.2.4 Dos sucesos A,B del mismo experimento aleatorio se denom-inan incompatibles si A ∩B = ∅.

Corolario 5.2.2 A y A son incompatibles.

Teorema 5.2.3 (Propiedades de (P(E),∪,∩)) Sean A,B ∈ P(E). Se cumplenlas siguientes propiedades:

A ∪B = B ∪A A ∩B = B ∩AA ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C

A ∪A = A A ∩A = AA ∪ E = E A ∩ E = AA ∪∅ = A A ∩∅ = ∅A ∪A = E A ∩A = ∅

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C)A ∪B = A ∩B A ∩B = A ∪B


Por cumplir estas propiedades se dice que el conjunto P(E) con las opera-ciones ∪,∩ tiene estructura de σ−álgebra.

Nota: Esta dos últimas propiedades se conocen como Leyes de De Morgan.

De�nición 5.2.5 Dados dos sucesos A y B del mismo experimento aleatorio.Llamamos diferencia de A y B y representamos por A \ B al suceso que severi�ca cuando se veri�ca A y no se veri�ca B, es decir:

A \B = A ∩B

De�nición 5.2.6 Dados dos sucesos A,B ∈ P(E). Llamamos diferencia simétri-ca de A y B y representamos por A4B al sucesos que se veri�ca cuando severi�ca A y no se veri�ca B o cuando se veri�ca B y no se veri�ca A, esto es:

A4B = (A \B) ∪ (B \A)

5.3. Concepto de probabilidadDe�nición 5.3.1 Consideremos un experimento aleatorio que se ha realizadon veces. Se llama frecuencia absoluta de un suceso A asociado al experimentoaleatorio y representamos por n(A) al número de veces que se ha veri�cado Aen las n realizaciones del mismo.

De�nición 5.3.2 Consideremos un experimento aleatorio que se ha realizadon veces. Se llama frecuencia relativa de un suceso A asociado al experimentoaleatorio y representamos por fr(A) al cociente entre el número de veces que seha veri�cado A en las n realizaciones del mismo y el número de realizacionesdel experimento, esto es:

fr(A) =n(A)n

Teorema 5.3.1 (Propiedades de fr) Consideremos un experimento aleato-rio que se ha repetido n veces. Se cumplen las siguientes propiedades:

1. ∀A ∈ P(E) 0 ≤ fr(A) ≤ 1

2. fr(∅) = 0

3. fr(E) = 1

4. fr(A) = 1− fr(A)

5. A ∩B = ∅⇒ fr(A ∪B) = fr(A) + fr(B)

6. A ∩B 6= ∅⇒ fr(A ∪B) = fr(A) + fr(B)− fr(A ∩B)

Teorema 5.3.2 (Ley del azar) La frecuencia relativa de un suceso, cuandorealizamos un experimento aleatorio un número elevado de veces, tiende a esta-bilizarse en torno a un número.


De�nición 5.3.3 (De�nición frecuencialista de probabilidad) Sea A unsuceso asociado a un experimento aleatorio. Se llama probabilidad de que severi�que A y se representa por p(A) al número en torno al cual tiende a estabi-lizarse la frecuencia relativa de A al realizar el experimento un número elevadode veces.

De�nición 5.3.4 (De�nición axiomática de probabilidad) Consideremosun experimento aleatorio con espacio muestral E y sea P(E) el espacio de suce-sos. Llamamos probabilidad a toda aplicación:

p : P(E)→ [0, 1]

cumpliendo las siguientes propiedades:

1. 0 ≤ p(A) ≤ 1 ∀A ∈ P(E)

2. p(E) = 1

3. A ∩B = ∅⇒ p(A ∪B) = p(A) + p(B)

A la terna (E ,P(E), p) se le llama espacio de probabilidad o espacio probabilís-tico.

Teorema 5.3.3 (Propiedades de la probabilidad) Sea (E ,P(E), p) un es-pacio probabilístico. Se cumplen las siguientes propiedades:

1. p(A) = 1− p(A) ∀A ∈ P(E)

2. p(∅) = 0

3. A ⊂ B ⇒ p(A) ≤ p(B)

4. A ∩B 6= ∅⇒ p(A ∪B) = p(A) + p(B)− p(A ∩B)

5.4. Probabilidad condicionadaDe�nición 5.4.1 Sea (E ,P(E), p) un espacio probabilístico. Sean A,B ∈ P(E).Llamamos suceso A condicionado a B y representamos por A/B al suceso con-sistente en que se veri�que A supuesto que se ha veri�cado B.

De�nición 5.4.2 Sea (E ,P(E), p) un espacio probabilístico. Sean A,B ∈ P(E),con p(B) 6= 0. Se de�ne la probabilidad de A condicionado a B y representamospor p(A/B) como:

p(A/B) =p(A ∩B)p(B)


De�nición 5.4.3 Sea (E ,P(E), p) un espacio probabilístico. Sean A,B ∈ P(E),con p(B) 6= 0. Se puede establecer una nueva de�nición de probabilidad condi-cionada como la aplicación:

p : P(E)→ [0, 1]

A 7→ p(A/B)

cumpliendo las siguientes propiedades:

1. 0 ≤ p(A/B) ≤ 1 ∀A ∈ P(E)

2. p(E/B) = 1

3. A1 ∩A2 = ∅⇒ p((A1 ∪A2)/B) = p(A1/B) + p(A2/B)

Teorema 5.4.1 Sea (E ,P(E), p) un espacio probabilístico. Sean A,B,C ∈ P(E).Se cumplen las siguientes propiedades:

1. p(A ∩B) = p(B) · p(A/B)

2. p(A ∩B) = p(A) · p(B/A)

3. p(A ∩B ∩ C) = p(A) · p(B/A) · p(C/(A ∩B))

Teorema 5.4.2 Sea (E ,P(E), p) un espacio probabilístico. Sean A,B ∈ P(E).Se veri�ca:

p(A) = p(A/B)⇔ p(B) = p(B/A)

p(A) 6= p(A/B)⇔ p(B) 6= p(B/A)

De�nición 5.4.4 Sea (E ,P(E), p) un espacio probabilístico. Sean A,B,C ∈P(E). Se dice que A y B son sucesos dependientes si p(A) 6= p(B/A). Se diceque A y B son sucesos independientes si p(A) = p(A/B)

Teorema 5.4.3 Sea (E ,P(E), p) un espacio probabilístico. Sean A,B,C ∈ P(E).Si A,B son independientes, entonces p(A∩B) = p(A)·p(B). Si {A1, A2, · · · , Ar−1, Ar}son independientes 2 a 2,entonces:

p(A1∩A2∩ · · ·∩Ar−1∩Ar) = p(A1) ·p(A2/A1) · · · p(Ar/(A1∩A2∩ · · ·∩Ar−1))

De�nición 5.4.5 Sea (E ,P(E), p) un espacio probabilístico. Un conjunto desucesos {Ai; i = 1, 2, . . . , n} se dice que forman un sistema completo de sucesossi veri�ca las dos siguientes condiciones:

1. Ai ∩ Aj = ∅, ∀i 6= j; i, j = 1, 2, . . . , n, es decir, los sucesos son incom-patibles dos a dos.

2.n⋃

i=1

Ai = E


Teorema 5.4.4 (Teorema de la probabilidad total) Sea (E ,P(E), p) un es-pacio probabilístico. Sea {Ai; i = 1, 2, . . . , n} un sistema completo de sucesos ysea B ∈ P(E), con p(B) > 0. Entonces:

p(B) =n∑

i=1

p(Ai) · p(B/Ai)

Teorema 5.4.5 (Teorema de Bayes) Sea (E ,P(E), p) un espacio probabilís-tico. Sea {Ai; i = 1, 2, . . . , n} un sistema completo de sucesos y sea B ∈ P(E),con p(B) > 0. Entonces:

p(Aj/B) =p(Aj) · p(B/Aj)n∑

i=1

p(Ai) · p(B/Ai); ∀j = 1, 2, . . . , n

5.5. Ejercicios del temaNota: En los nueve ejercicios siguientes, di cuál es el espacio muestral cor-

respondiente a la experiencia aleatoria en cuestión. Si es �nito y tienen pocoselementos, dilos todos. Si tiene muchos elementos, descríbelo y di el númerototal. Y si es in�nito, di si es continuo o discreto:

Ejercicio 5.1 Extraemos una carta de una baraja española y anotamos el número.

Ejercicio 5.2 Extraemos una carta de una baraja española y anotamos el palo.

Ejercicio 5.3 Extraemos dos cartas de una baraja española y anotamos el palode cada uno.

Ejercicio 5.4 Lanzamos dos monedas distintas y anotamos el resultado.

Ejercicio 5.5 Lanzamos tres monedas distintas y anotamos el resultado.

Ejercicio 5.6 Lanzamos seis monedas distintas y anotamos el resultado.

Ejercicio 5.7 Lanzamos seis monedas distintas y anotamos el número de caras.

Ejercicio 5.8 Lanzamos un dado tantas veces como sea necesario hasta quesalga un 5. Anotamos el número de tiradas que ha hecho falta realizar.

Ejercicio 5.9 En un teléfono de una o�cina pública, anotamos el tiempo quemedia entre dos llamadas.

Ejercicio 5.10 Un gato persigue a un ratón. Éste puede huir por cualquierade los callejones A,B,C. En cada uno de ellos puede ser cazado o no cazado.Forma el espacio muestral, E, con las seis posibilidades que se dan, asignándolesnombres (por ejemplo: a="va por A y es cazado"; b="va por A y es cazado";etc) Designa los sucesos "va por A", "va por B", "va por C", "es cazado", "noes cazado", mediante los elementos de E (por ejemplo, "va por A"= {a, b})


Ejercicio 5.11 Pon todos los sucesos de las experiencias de los ejercicios 132,133.

Ejercicio 5.12 ¾Cuántos sucesos tienen las experiencias de los ejercicios 131,135, 136 y 137?

Ejercicio 5.13 Haz unos grá�cos en los cuales se vea claro que:

(A ∩B) = A ∪B

Ejercicio 5.14 Demuestra grá�camente que:

A−B = A ∩B


A ∪ (B ∩A) = A


A ∩ (B ∪A) = A

Ejercicio 5.17 Tira un dado 120 veces, anota las frecuencias de cada una delas caras y haz un diagrama de barras con las frecuencias relativas de las seiscaras, en el cual se comparen con la probabilidad 1

6= 0, 1666 · · ·

Ejercicio 5.18 Tira 120 veces dos dados y anota cada vez la suma de las pun-tuaciones obtenidas. Halla las frecuencias relativas de los distintos resultados yrepreséntalas en un diagrama de barras.

Ejercicio 5.19 Para ganar una man de cartas debemos conseguir un As o bienun Oro. ¾Qué probabilidad tenemos de ganar?

Ejercicio 5.20 En una baraja hemos suprimido varias cartas. Entre las quequedan se dan las siguiente probabilidades de ser extraídas:

P (rey) = 0, 15

P (bastos) = 0, 3

P (carta que no sea ni rey ni bastos) = 0, 6

(Recuerda que P (A) = 1 − P (A)). ¾Está entre ellas el rey de bastos? En casoa�rmativo, da su probabilidad. ¾Cuántas cartas quedan?

Ejercicio 5.21 Asigna probabilidades a los 6 elementos de E (ejercicio 140)y calcula las probabilidades de los cinco sucesos allí señalados. Por ejemplo, sihas asignado P (a) = 0, 2; P (b) = 0, 1, será:

P (”entreporA”) = P ({a, b} = P (a) + P (b) = 0, 2 + 0, 1 = 0, 3


Ejercicio 5.22 En un centro hay 1000 alumnos repartidos así:

Chicos ChicasUsan gafas 187 113

No usen gafas 413 287

Se elige al azar uno de ellos. ¾Cuál es la probabilidad de que sea:

chico

chica

use gafas

no use gafas

sea una chica con gafas

Se elige alguien al azar y le dicen que es una chica, ¾cuál es la probabilidadde que use gafas?

Ejercicio 5.23 En una comarca hay dos periódicos: El progresista y El Lib-eral. Se sabe que el 55 % de las personas de esa comarca lee El progresista(P), el 40 % lee El Liberal (L) y el 25 % no lee ninguno de ellos. Expresa enfunción de P y L los siguientes sucesos:

Leer los dos periódicos.

Leer sólo El Liberal.

Leer sólo Progresista.

Leer alguno de los dos periódicos.

No leer ninguno de los dos.

Leer sólo uno de los dos.

Calcula las probabilidades de los sucesos P,L, P ∩ L,P ∪ L,P − L,L −P, (L ∪ P ), (L ∩ P ).

Sabemos que una persona lee El Progresista, ¾Qué probabilidad hay deque, además, lea El Liberal? ¾Y de que no lo lea?

Ejercicio 5.24 En una residencia hay 1085 ancianos, de los que 519 fumany 226 tienen afecciones pulmonares. Pero sólo hay 31 que, aunque no fumen,tienen afecciones pulmonares. Haz una tabla de contingencia y averigua:

Cuántos hay que fumen y tengan afecciones pulmonares.

Qué proporción de fumadores tienen afecciones pulmonares.

Qué proporción de no fumadores tienen afecciones pulmonares.


Qué proporción de enfermos de pulmón son fumadores.

Ejercicio 5.25 Una encuesta revela que el 35 % de los habitantes de La Lagunaoyen la cadena SER, el 28 % la COPE y e 10 % ambas emisoras de radio. Se seelige al azar uno de estos ciudadanos:

¾Cuál es la probabilidad de que escuche alguna de estas emisoras de radio?

¾Cuál es la probabilidad de que no escuche ninguna de ellas?

¾Cuál es la probabilidad de que escuche solamente una de las dos?

Ejercicio 5.26 Tiramos dos dados. ¾Cuál es la probabilidad de cada una de lasposibles sumas?

Ejercicio 5.27 A,B,C son tres sucesos de una misma σ-álgebra. Expresa enfunción de ellos los sucesos:

Se realiza alguno de los tres.

No se realiza ninguno de los tres.

Se realizan los tres.

Se realizan dos de los tres.

Se realizan, al menos, dos de los tres.

Ejercicio 5.28 En familias de tres hijos se estudia la distribución de sus sexos.Por ejemplo (V,M,M) signi�ca que el mayor es varón y los otros dos mujeres.¾Cuántos elementos tiene el espacio muestral E? Describe los siguientes sucesos:A="La menor es mujer", B="El mayor es varón"¾En qué consiste A ∪B?

Ejercicio 5.29 Al tirar tres dados podemos obtener suma 9 de seis formas dis-tintas: {126, 135, 144, 225, 234, 333} y otras seis de obtener suma 10: {136, 145, 226, 235, 244, 334}Sin embargo la experiencia nos dice que es más fácil obtener suma 10 que suma9 ¾Por qué? (Este problema lo resolvió Galileo en el siglo XVII a requerimientode un jugador el príncipe de Toscana)

Ejercicio 5.30 Se lanzan simultáneamente cuatro monedas. ¾Cuál es la prob-abilidad de obtener, al menos, una cara?

Ejercicio 5.31 Sean A, B y C sucesos arbitrarios de un experimento aleatorio.Expresa, mediante A, B y C el suceso .ocurren exactamente dos de los sucesosA, B o C.

Ejercicio 5.32 Las letra de la palabra CLASE se colocan al azar y en línea.¾Cuál es la probabilidad de que las dos vocales queden juntas? Razónalo.

Ejercicio 5.33 Se realiza el experimento aleatorio de lanzar sucesivamente cu-atro monedas al aire.


¾Cuál es la probabilidad de obtener, a lo sumo, tres cruces?

¾Cuál es la probabilidad de obtener dos caras?

Ejercicio 5.34 Una clase se compone de veinte alumnos y diez alumnas. Lamitad de las alumnas y la mitad de los alumnos aprueban las matemáticas.Calcula la probabilidad de que al elegir una persona al azar, resulte ser:

Alumna o que aprueba las matemáticas.

Alumno que suspenda las matemáticas.

Ejercicio 5.35 Sea A,B dos sucesos tales que:

P (A ∪B) =34

; P (B) =23

; P (A ∩B) =14

Calcula P (A ∩B); P (B); P (A)

Ejercicio 5.36 Determina si son compatibles o incompatibles los sucesos A yB en los siguientes casos:

P (A) =14

; P (B) =12

; P (A ∪B) =23

P (A) = 0; P (B) =12

Ejercicio 5.37 De los sucesos A y B se sabe que P (A) =25, P (B) =

13, y

P (A ∩B) =13. Halla P (A ∪B); P (A ∩B)

Ejercicio 5.38 ¾Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos dados a suma seapar? ¾Cuál es la probabilidad de obtener al menos un 6 al lanzar un dado nveces?

Ejercicio 5.39 Si la probabilidad de que ocurran dos sucesos a la vez es p,¾cuál es la probabilidad de que al menos uno de los dos no ocurra? Razónalo.

Ejercicio 5.40 Razona la siguiente a�rmación: Si la probabilidad de que ocur-ran dos sucesos a la vez es menor que 1

2, la suma de las probabilidades de ambos

(por separado) no puede exceder de 32.

Ejercicio 5.41 En una urna hay 10 bolas. Cada una de un color (blanco, rojoo verde) y tiene un número (1 ó 2).

Forma un cuadro de doble entrada en el que aparezca la probabilidad decada par de caracteres.


Calcula la probabilidad de rojo", "verde", "blanco", "1 2"2", en una urnaque contiene: 3 bolas verdes marcadas con un 2, 3 bolas verdes marcadascon un 1, 2 bolas rojas marcadas una con un 2 y la otra con un 1, 2 bolasblancas marcadas con un 1.

Comprueba que se pueden las probabilidades obtenidas en el apartado an-terior se pueden obtener sumando �las o columnas del cuadro formado enel primer apartado.

Calcula todas las probabilidades condicionadas.

Di si alguno de los caracteres rojo", "verde", "blanco"es independiente de"1"ó de "2".

Ejercicio 5.42 Se ha seguido la pista a 100000 coches utilitarios durante unaño Éstos son de tres marcas distintas: A, B y C. Unos han tenido accidenteserio (Ac) y otros no (no Ac). Se reparten según la tabla siguiente:

A B CAc 650 200 150

no Ac 49350 19800 29850

Calcula cuál de estas tres marcas ha resultado ser más segura. Para ello,compara P (Ac/A), P (Ac/B), P (Ac/C) con P (Ac).

Di si alguno de los sucesos A,B,C es independiente de Ac y de no Ac.

Explica lo que signi�ca P (A/Ac)

Ejercicio 5.43 Extraemos 3 cartas de una baraja. ¾Cuál es la probabilidad deque sean �guras?

Ejercicio 5.44 Extraemos cinco veces carta de una baraja, con reemplazamien-to. Llamamos éxito (E) a sacar as o rey. Calcula:

P(5 veces E)

P(5 veces E)

P(algún E)

Ejercicio 5.45 Un avión tiene cinco bombas. Desea destruir un puente. Laprobabilidad de destruirlo de un bombazo es 1

5. ¾Cuál es la probabilidad de que

destruya el puente?

Ejercicio 5.46 Una urna A contiene 6 bolas blancas y 4 negras. Otra urna Bcontiene 5 blancas y 9 negras. Elegimos una urna al azar y extraemos dos bolasque resultan ser las dos blancas. Halla la probabilidad de la urna elegida hayasido la A.


Ejercicio 5.47 Tenemos dos urnas. Una de ellas contiene 3 bolas azules, 4bolas blancas y 5 bolas rojas, mientras que la segunda contiene 7 bolas azules,6 bolas blancas y 5 bolas rojas. Extraemos una bola de cada urna. ¾Cuál es laprobabilidad de que sean del mismo color, ¾Y la de que sean de distinto color?

Ejercicio 5.48 Una urna contiene 5 bolas blancas y 2 negras. Se extraen tresbolas, sin �jarnos en el color, y se dejan aparte. ¾Cuál es la probabilidad de quela siguiente que se extraiga sea blanca?

Ejercicio 5.49 Hay epidemia de cólera (C). Consideramos como uno de losíntomas la diarrea (D). Pero este síntoma se presenta también en personascon intoxicación (I), e incluso en algunas que no tengan nada serio (N). Lasprobabilidades son:

P (D/C) = 0, 99; P (D/I) = 0, 5; P (D/N) = 0, 004

Se dan los siguientes porcentajes: el 2% de la población tiene cólera; el 0,5%,intoxicación y el resto, 97,5%, nada de eso.

Calcula la probabilidad de que una persona elegida al azar tenga diarrea.

Una persona tiene diarrea. Calcula la probabilidad de que tenga cólera.

Ejercicio 5.50 Simultáneamente se sacan dos cartas de una baraja española yse tira un dado. ¾Cuál es la probabilidad de que las cartas sean sotas y el númerodel dado sea par?

Ejercicio 5.51 En una baraja de 40 cartas se toman tres cartas distintas. Cal-cula la probabilidad de que las tres sean números distintos.

Ejercicio 5.52 Escogidas cinco personas al azar, ¾cuál es la probabilidad deque al menos dos de ellas hayan nacido en el mismo día de la semana?

Ejercicio 5.53 En un cajón de un armario, Juan guarda desordenadamente 3pares de calcetines blancos y 4 pares de calcetines rojos; otro cajón contiene 4corbatas blancas, 3 rojas y 2 azules. Para vestirse saca al azar del primer cajónun par de calcetines, y del segundo, una corbata. Halla la probabilidad de quelos calcetines y la corbata sean del mismo color.

Ejercicio 5.54 Un producto está formado por dos partes A y B. El proceso defabricación es tal que la probabilidad de un defecto en A es 0,06 y la probabilidadde un defecto en B es 0,07. ¾Cuál es la probabilidad de que el producto no seadefectuoso?

Ejercicio 5.55 Una urna contiene 10 bolas blancas, 6 negras y 4 rojas. Si se ex-traen 3 bolas con reemplazamiento, ¾cuál es la probabilidad de obtener 2 blancasy una roja?


Ejercicio 5.56 Una urna A contiene 6 bolas blancas y 4 negras, una segundaurna B contiene 5 bolas blancas y 2 negras. Se selecciona una urna al azar y deella se extraen dos bolas sin reemplazamiento. ¾Cuál es la probabilidad de quesean de distinto color?

Ejercicio 5.57 Las probabilidades de que cada uno de los tres aviones A,B yC cumpla su horario previsto son 0,7 0,8 y 0,9, respectivamente. El compor-tamiento de cada avión no depende de los otros. Calcula las probabilidades deque cumplan el horario:

Los tres aviones.

Al menos, dos de ellos.

Ejercicio 5.58 Se lanza un dado repetidas veces, y estamos interesados en elnúmero de tiradas precisas para obtener un 6 por primera vez. Se pide:

¾Cuál es el espacio muestral?

¾Cuál es la probabilidad de que el primer 6 se obtenga precisamente en laséptima tirada?

Ejercicio 5.59 Dos jugadores arrojan a la vez dos monedas cada uno. ¾Cuáles la probabilidad de que ambos obtengan el mismo número de caras (sea éstecero, una o dos)? Razónalo detalladamente.

Ejercicio 5.60 Una pieza de artillería dispone de 7 obuses para alcanzar unobjetivo. En cada disparo, la probabilidad de alcanzarlo es 1

7. ¾Cuál es la prob-

abilidad de alcanzar el objetivo con algún obús?Indicación: Calcula la probabilidad de no alcanzarlo con ninguno.

Ejercicio 5.61 De una baraja de 40 cartas se toman cuatro. Halla la probabil-idad de que sean de palos distintos.

Ejercicio 5.62 Se tienen dos bolsas A y B. La bolsa A contiene 12 bolas blancasy 8 negras y la bolsa B tiene 8 blancas y 12 negras. Se toma una bolsa y se sacandos bolas. Calcula la probabilidad de que:

Las dos bolas sean blancas.

Una sea blanca y la otra negra.

Ejercicio 5.63 En tres máquinas A, B y C se fabrican piezas de la mismanaturaleza. El porcentaje de piezas que resultan defectuosas en cada máquina es,respectivamente, 1%, 2% y 3%. Se mezclan 300 piezas, 100 de cada máquinay se elige una pieza al azar que resulta ser defectuosa. ¾Cuál es la probabilidadde que haya sido fabricada en la máquina A?

Indicación: Calcula previamente la probabilidad de que una pieza al azarsea defectuosa.


Ejercicio 5.64 Una caja A contiene 2 bolas blancas y dos rojas, y otra caja Bcontiene 3 bolas blancas y dos rojas. Se pasa una bola de A a B y después seextrae una bola de B que resulta ser blanca. Calcula la probabilidad de que labola trasladada haya sido blanca.

Indicación: Calcula previamente la probabilidad de que la bola �nal seablanca.

Ejercicio 5.65 En cierto país, donde la enfermedad X es endémica, se sabeque un 12% de la población padece dicha enfermedad. Se dispone de una pruebapara detectar la enfermedad, pero no es totalmente �able ya que da positiva enl 90% de los casos de personas realmente enfermas y también da positiva en el5% de personas sanas. ¾Cuál es la probabilidad de que esté sana una persona ala que la prueba le ha dado positiva?

Indicación: Calcula previamente la probabilidad de que en una persona alazar de positiva.

Ejercicio 5.66 Sean A y B dos montones de cartas. En A hay 8 oros y 5espadas y en B, 4 oros y 7 espadas. Sacamos dos cartas del mismo montón yresulta que ambas son espadas. Halla la probabilidad de que las hayamos sacadodel montón B.

Indicación: Calcula previamente la probabilidad de obtener dos espadas.

Ejercicio 5.67 De una baraja de 40 cartas se toman dos cartas. Halla la prob-abilidad de que las cartas sean:

Dos oros

Dos espadas o dos �guras.

Ejercicio 5.68 Tenemos una urna con 15 bolas blancas y 25 negras. Sacamosdos bolas. Halla la probabilidad de que sea una de cada color en cada uno de lossiguientes casos:

Después de sacada la primera bola la volvemos a introducir en la bolsaantes de extraer la segunda bola.

Sacada la primera bola la dejamos fuera y entre las restantes extraemos lasegunda.

Parte IV

Distribuciones deprobabilidad

65

Capítulo 6

Distribuciones discretas

Contenidos del tema1. Variable aleatoria.

2. Distribución de probabilidad discreta.

3. Parámetros de una variable aleatoria discreta.

4. Distribución binomial.

5. Cálculo de probabilidades en una distribución binomial.

6. Funciones de probabilidad y de distribución binomial.

7. Parámetros de una distribución binomial.

8. Ajuste de un conjunto de datos a una distribución binomial.

6.1. Variable aleatoriaDe�nición 6.1.1 Una variable aleatoria X es una función del espacio muestralde un experimento aleatorio en el conjunto de los números reales, esto es:

X : E → R

X(A) = k ∈ R; ∀A ∈ E

De�nición 6.1.2 Sea X una variable aleatoria. Se dice que X es discreta yla representamos mediante un diagrama de barras, si sólo pueden tomar val-ores aislados. En caso contrario, es decir, si X puede tomar todos los valoresde un cierto intervalo, decimos que X es una variable aleatoria continua y larepresentamos mediante un histograma.

66

CAPÍTULO 6. DISTRIBUCIONES DISCRETAS 67

De�nición 6.1.3 Una variable aleatoria discreta X se llama de Bernouilli y serepresenta por X ∼ Be(p) si sólo puede tomar dos posibles valores. Uno de ellosse denomina éxito y tiene probabilidad p de veri�carse y el otro se denominafracaso y tiene probabilidad q = 1− p de veri�carse.

6.2. Distribución de probabilidad discretaDe�nición 6.2.1 La función de probabilidad de una variable aleatoria X disc-reta es la aplicación que asocia a cada valor xi de la variable su probabilidad pi.Esto es, P [X = xi] = pi. La representamos por f(x). Se tiene entonces:

f(x) = P [X = x]

Observación 6.2.1 En las condiciones de la de�nición anterior, se tiene:∑

i

pi = 1

De�nición 6.2.2 La función de distribución de una variable aleatoria X disc-reta es una función que mide la probabilidad de que la variable aleatoria X tomevalores menores o iguales que un determinado xi. La representamos por F (x).Entonces:

F (x) = P [X ≤ x] =∑

xi≤xP [X = xi] =

∑

xi≤xpi

6.3. Parámetros de una variable aleatoria discre-ta

De�nición 6.3.1 Se llama media de una variable aleatoria X discreta y larepresentamos por µ, al valor:

µ =∑

i

xipi

De�nición 6.3.2 Se llama varianza de una variable aleatoria X discreta y larepresentamos por V , al valor:

V =∑

i

(xi − µ)2pi =∑

i

x2i pi − µ2

De�nición 6.3.3 Se llama desviación típica de una variable aleatoria X disc-reta y la representamos por σ, a la raíz cuadrada positiva de la varianza, estoes:

σ =√V

Observación 6.3.1 Se veri�ca:

V = σ2


6.4. Distribución binomialDe�nición 6.4.1 Se dice que una variable aleatoria X discreta sigue una dis-tribución binomial de parámetros n y p, y se representa por X ∼ B(n, p) si Xse corresponde con una variable aleatoria de Bernouilli de probabilidad de éxitop y que se realizado n veces.

Observación 6.4.1 Sea X ∼ B(n, p). Entonces {xi; i} = {0, 1, 2, 3 . . . , n}

6.5. Cálculo de probabilidades en una distribu-ción binomial

Teorema 6.5.1 Sea X ∼ B(n, p). Entonces:

P [X = k] =(nk

)pkqn−k

6.6. Funciones de probabilidad y de distribuciónbinomial

Teorema 6.6.1 Sea X ∼ B(n, p). La función de probabilidad de X viene dadapor:

Valor de k 0 1 . . . k . . . nP [X = k]

(n0

)qn

(n1

)pqn−1 . . .

(nk

)pkqn−k . . .

(nn

)pn

Teorema 6.6.2 Sea X ∼ B(n, p). La función de distribución de X viene dadapor:

F (x) =x∑

i=1

(ni

)piqn−i

6.7. Parámetros de una distribución binomialTeorema 6.7.1 Sea X ∼ B(n, p). Se veri�ca:

µ = np

V = npq

σ = sqrtV =√npq


6.8. Ajuste de un conjunto de datos a una dis-tribución binomial

Para estudiar si un conjunto de datos obtenidos experimentalmente se ajus-tan a una distribución binomial B(n, p), se aplica el siguiente procedimiento:

Calculamos la media de los datos y la igualamos a la media de una teóricabinomial B(n, p), esto es, µ = np. Despejando, calculamos el valor de p.

Comparamos la distribución de los datos obtenidos experimentalmentecon la distribución de probabilidad teórica B(n, p). Para ello:

• Calculamos las frecuencias relativas fi de la distribución experimen-tal.• Calculamos las probabilidades P [X = k], para los valores k = 0, 1, 2, . . . , n

en la B(n, p).• Calculamos las diferencias en valor absoluto entre las probabilidades

teóricas y las frecuencias relativas. Si las diferencias son su�ciente-mente pequeñas o su�cientemente grandes, aceptamos o rechazamosla hipótesis de que los datos se ajustan a la binomial.

6.9. Ejercicios del temaEjercicio 6.1 Calcula la media y la desviación típica de la distribución de prob-abilidad correspondiente a la puntuación obtenida en el lanzamiento de un dado.

Ejercicio 6.2 Si se tiran dos monedas al aire podemos obtener 0,1 ó 2 caras.Calcula la media y la desviación típica de la distribución de probabilidad corre-spondiente.

Ejercicio 6.3 Tiramos dos monedas 800 veces y anotamos el número de caras:

0 1 2208 385 207

Calcula la media y la desviación típica. Compara los resultados obtenidos conlos del ejercicio anterior.

Ejercicio 6.4 Un experimento consiste en tirar una moneda reiteradamentehasta que se obtenga cara por primera vez. Completa la siguiente tabla que cor-responde a su distribución de probabilidad:

xi 1 2 4 · · · n · · ·pi

12

14

· · · · · ·

Represéntala grá�camente.


Ejercicio 6.5 En una bolsa hay bolas numeradas: 9 bolas con un 1, 5 con un 2y 6 con un tres. Sacamos una bola y vemos qué número tiene.

¾Cuál es la distribución de probabilidad?

Calcula la media y la desviación típica.

Ejercicio 6.6 La distribución de probabilidad de un suceso viene dada porxi 1 2 3 4 5pi 0,1 0,3 0,2 0,3

¾Cuánto vale p(3)? Calcula la media y la desviación típica.

Ejercicio 6.7 En un monedero hay 5 monedas: una de 50 céntimos, dos de euroy dos de 2 euros. Sacamos una moneda al azar y anotamos su valor en euros.Establece la distribución de probabilidad y calcula la media y la desviación típica.

Ejercicio 6.8 Una empresa hace un estudio de mercado para lanzar un produc-to A u otro producto B. Según el estudio, si se comercializa A, tiene la proba-bilidad 0,8 de ganar 30 millones y una probabilidad 0,2 de perder 10 millones.Si comercializa B, tiene una probabilidad 0,6 de ganar 20 millones y una prob-abilidad 0,4 de perder 4 millones. ¾Qué producto crees que debe comercializar?¾Por qué?

Ejercicio 6.9 Se lanzan tres monedas al aire y se cuenta el número de carasobtenidas. Haz una tabla con las probabilidades, represéntalas grá�camente ycalcula la media y la desviación típica.

Ejercicio 6.10 En las familias con dos hijos, se observa el número de hijosvarones. Haz una tabla con las probabilidades, represéntalas grá�camente y cal-cula la media y la desviación típica.

Ejercicio 6.11 En las familias con cuatro hijos, se observa el número de hijas.Haz una tabla con las probabilidades, represéntalas grá�camente y calcula lamedia y la desviación típica.

Ejercicio 6.12 En un aparato de Galton con 4 �las de topes dejamos caer 400perdigones. ¾Cuántos, aproximadamente, llegarán a cada casillero?

Ejercicio 6.13 En un aparato de Galton hemos dejado caer un montón deperdigones y hemos contado los que se han depositado en cada casillero:

1 9 46 121 209 251 211 119 44 11 2

¾Cuántas �las, n, de topes crees que tenía en este caso, el aparato?. Calcula losnúmeros combinatorios:

(n0

);(n1

); · · · ;

(nn

)

y compáralos con los que se han obtenido.


Ejercicio 6.14 Un juego: lanzamos 6 monedas y hemos de apostar por el númerode caras que van a salir. ¾Por qué número apostarías? Apostar cuesta 0,50 eu-ros y, si ganas, te dan 2 euros. Al cabo de 64 partidas, ¾cómo irán tus �nanzas,aproximadamente?

Ejercicio 6.15 ¾Cuál es la probabilidad de que salga 3 veces cara 7 lanzamien-tos de una moneda? ¾Y 4 veces cara en 9 lanzamientos?

Ejercicio 6.16 Calcula:(

73

);(

92

);(

10099

);(

10001

);(

94

);

Ejercicio 6.17 En una baraja se llaman �guras a las cartas AS, SOTA, CA-BALLO y REY. Hay, pues, 4 �guras por cada 10 cartas. Por tanto, la probabili-dad de extraer una �gura es P(�gura)=0,4. Realizamos la siguiente experiencia:extraemos una carta, la miramos y la devolvemos al mazo; y esto lo hacemos 5veces.

Se trata de una distribución B(n, p). ¾Cuánto valen n y p?

Calcula la probabilidad de no obtener ninguna �gura, la de obtener alguna�gura y la de obtener 4 �guras.

Calcula x y σ y explica qué signi�can.

Ejercicio 6.18 En una distribución B(10; 0, 2) calcula:

P (X = 3)

P (X > 2)

P (X ≤ 2)

x; σ

Ejercicio 6.19 En un proceso de fabricación de tornillos se sabe que el 2% sondefectuosos. Los empaquetamos en cajas de 50 tornillos. Calcula la probabilidadde que en una caja:

No haya ningún tornillo defectuoso.

Haya exactamente un tornillo defectuoso.

Haya más de 2 tornillos defectuosos.

(Datos: 0, 9850 = 0, 364; 0, 9849 = 0, 372; 0, 9848 = 0, 379) ¾Cuántos tornillosdefectuosos habrá, por tanto medio, en cada caja?

Ejercicio 6.20 En una mano de póker se dan, a cada jugador, 5 cartas y nospreguntamos por la probabilidad de que un jugador tenga K �guras (K=0,1,2,3,4ó 5). ¾Por qué no se trata de una distribución binomial?


Ejercicio 6.21 Calcula:(

72

);(

113

);(

550

);(

551

);(

552

)

(1280

1

);(

4003

);(

400397

)

Ejercicio 6.22 En una distribución B(5; 0, 2), calcula P [X = K] para K =0, 1, 2, 3, 4, 5. Calcula la suma:

0.P [X = 0] + 1.P [X = 1] + 2.P [X = 2] + · · ·+ 5.P [X = 5]

y comprueba que el resultado es 5,0, 2 = 1

Ejercicio 6.23 Un examen tipo test consta de 10 preguntas, cada una concuatro respuestas, sólo una de las cuales es correcta. Un alumno contestaal azar. ¾Cuál es la probabilidad de que conteste correctamente más de 3preguntas? ¾cuál es la probabilidad de que conteste mal a todas?

En este examen, un alumno sabe las respuestas a 5 preguntas. ¾Cuál es laprobabilidad de que responda bien a más de 5? Observa que, al conocer lasrespuestas a 5 preguntas, sólo deja al azar otras 5. Es pues, una binomialB(5; 0, 25).

Ejercicio 6.24 Una urna contiene 3 bolas rojas y 7 verdes. Se saca una alazar, se anota el color y se vuelve a meter; y se realiza 5 veces esta experiencia.Calcula la probabilidad de obtener:

tres rojas.

menos de 3 rojas.

más de 3 rojas.

alguna roja.

Ejercicio 6.25 En un almacén, el 20% de las cajas que se reciben de un de-terminado producto son defectuosas (tienen un contenido defectuoso).

Abrimos dos cajas; ¾Cuál es la probabilidad de que las dos sean defectu-osas?

Abrimos tres cajas; ¾Cuál es la probabilidad de que dos sean defectuosas?

Abrimos 100 cajas; ¾Cuál es la probabilidad de que dos sean defectuosas?

Ejercicio 6.26 En el almacén del ejercicio anterior, ¾cuántas, de 100 cajas,son defectuosas por término medio?


Ejercicio 6.27 ¾Cuál es la probabilidad de obtener 5 caras lanzando 11 ve-ces una moneda? ¾Cuántas caras se obtienen por término medio? ¾Cuál es ladesviación típica?

Ejercicio 6.28 Una urna contiene 40 bolas blancas y 60 bolas negras. Sacamos8 veces una bola devolviéndola, cada vez, a la urna. ¾Cuál es la probabilidad deque 5 sean blancas?

Ejercicio 6.29 ¾Cuál es la probabilidad de que en una familia con 6 hijos, tresde ellos sean varones? Haz la distribución de probabilidades del número de hijosvarones y calcula la media y la desviación típica.

Ejercicio 6.30 Se lanza un dado 6 veces. ¾Cuál es la probabilidad de obtener3 cincos? Calcula el número medio de cincos obtenidos y la desviación típica.

Ejercicio 6.31 Si la probabilidad de que un cierto modelo de secador sea de-fectuoso es del 5%, ¾cuántos habrá defectuosos, por término medio, en un lotede 1000 secadores? ¾Cuál es la desviación típica?

Ejercicio 6.32 En un test hay 100 preguntas con cuatro opciones de respuesta,de las que hay que seleccionar una. Si se responde totalmente al azar, ¾cuál es elnúmero medio esperado de respuestas correctas? ¾Cuál es la desviación típica?

Ejercicio 6.33 La probabilidad de obtener cara con una cierta moneda trucadaes 0,3 y la lanzamos 100 veces. ¾Cuál es el número esperado de caras? ¾Y ladesviación típica?

Ejercicio 6.34 De los alumnos que cierto centro presenta al examen de Se-lectividad cada año, suele aprobar el 95%. Si este curso van a presentarse240 alumnos de ese centro, ¾cuántos aprobarán por término medio aproximada-mente? ¾Cuál es la desviación típica?

Ejercicio 6.35 Se estima que cierto hongo pernicioso acaba con la vida en el80% de las plantas en las que se asienta. Calcula el valor medio esperado demortalidad en una población de un millón de plantas infectadas por dicho hongo.

Ejercicio 6.36 En una �esta muy numerosa hay tantos chicos como chicas.¾Cuál es la probabilidad de que en un grupo de 7 personas formado al azar haya3 chicas? ¾Y la de que hay al menos 3 chicas? ¾Por qué decimos que la �estaes muy numerosa?

Ejercicio 6.37 Un tipo de piezas requiere de 4 soldaduras. Se hace un controlde calidad a 1000 de esas piezas y se obtienen los siguientes resultados:

Sold. defect. 0 1 2 3 4Piezas 603 212 105 52 28

¾Se ajustan estos datos a una binomial? Si la probabilidad de que una soldadu-ra fuese defectuosa es de 0,1, ¾cuál es el número esperado de piezas con unasoldadura defectuosa?


Ejercicio 6.38 En una ciudad se han contado 4960 familias con 5 hijos. ¾Cuán-tas de ellas, aproximadamente, tienen 2 chicos y 3 chicas? (Tómese P[varón]=P[hembra]=0,5)

Ejercicio 6.39 En un proceso de fabricación de motores para coches, y antesde la revisión previa a la venta, la probabilidad de que un motor tenga algúndefecto es de 0,05. Entre cuatro motores sin revisar, calcula la probabilidad deque:

No haya ninguno defectuoso.

Haya alguno defectuoso.

Haya más de uno defectuoso.

Ejercicio 6.40 De un total de cinco mi familias de 4 hijos, ¾cuántas de ellascabe esperar que tengan un hijo varón?

Ejercicio 6.41 La probabilidad de que un aparato de TV, antes de revisarlo,sea defectuoso, es de 0,02. Al revisar cinco aparatos, ¾cuál es la probabilidad deque ninguno sea defectuoso? ¾Y la de que haya uno defectuoso? ¾Y la de quelos cinco sean defectuosos?

Ejercicio 6.42 Un examen tipo test consta de 20 preguntas que se contesta conSI o NO. Si se responde completamente al azar:

¾Cuál es la probabilidad de acertar exactamente 15?

¾Cuál es la probabilidad de superarlo, si para ello hay que contestar cor-rectamente 18 ó más?

Nota: Reconoce en cada uno de los siguientes ejercicios una distribu-ción binomial, y dí los valores de n, p, x, σ

Ejercicio 6.43 Un examen tipo test consta de 50 preguntas, cada una con tresrespuestas, de las que sólo una es correcta. Se responde al azar y nos pregunta-mos por el número de preguntas acertadas.

Ejercicio 6.44 En el examen descrito en el ejercicio anterior, un alumno conocelas respuestas de 20 preguntas y responde las restantes al azar. Nos preguntamospor cuántas de ellas acertará.

Ejercicio 6.45 La probabilidad de que una persona, su padre y su abuelo pa-terno tengan el mismo cumpleaños es:

(1

365

)2

= 7, 5× 10−8

Explica por qué. Nos preguntamos por el número de personas con esta propiedadque habrán una ciudad de dos millones de habitantes.


Ejercicio 6.46 Una moneda se lanza 400 veces. Número de caras.

Ejercicio 6.47 Lanzamos 10 dados pretendiendo que salga "seis"en los 10.Hacemos ésto durante un año, una tirada cada 3 segundos (!!). Número de vecesque conseguiremos lo pretendido.

Ejercicio 6.48 El 11% de los billetes de lotería reciben algún premio, aunquesea el reintegro. En una familia juegan a 46 números.

Ejercicio 6.49 El 1% de ciertas soldaduras son defectuosas y revisamos dosmil de ellas. Número de soldaduras defectuosas que habrá.

Ejercicio 6.50 Un examen tipo test tiene 70 preguntas y cada pregunta cuatrorespuestas diferentes, sólo una de las cuales es correcta. Número de ellas que seresponderán correctamente si se responde al azar.

Capítulo 7

Distribuciones continuas

Contenidos del tema1. Distribuciones de probabilidad continuas.

2. La distribución normal.

3. La distribución normal estándar.

4. Aproximación de la binomial por la normal.

5. Ajuste de un conjunto de datos a una normal.

7.1. Distribuciones de probabilidad continuasDe�nición 7.1.1 Sea X una variable aleatoria continua y f : [a, b] → R con-tinua. Se dice que f es una función de densidad asociada a la variable aleatoriaX, si:

1. f(x) ≥ 0; ∀x ∈ [a, b]

2.∫ b

a

f(x) dx = 1

3. P [x1 ≤ X ≤ x2] =∫ x2

x1

f(x) dx

Observación 7.1.1 Las propiedades que de�nen a una función de densidadf(x) de una variable aleatoria continua X, nos informan respectivamente de:

1. La grá�ca de f(x) está en todo su dominio por encima del eje X.

2. El área comprendida entre la grá�ca de la función y el eje X vale 1.

76

CAPÍTULO 7. DISTRIBUCIONES CONTINUAS 77

3. El área comprendida entre la grá�ca de f(x), el eje X y dos valores x1, x2 ∈Dom(f) vale la P [x1 ≤ X ≤ x2]

De�nición 7.1.2 Sea X una variable aleatoria continua y f : [a, b] → R con-tinua una función de densidad de X. La función F : [a, b]→ R, de�nida por:

F (x) = P [X ≤ x] =∫ x

a

f(t) dt

se llama función de distribución de la variable aleatoria continua X.

Observación 7.1.2 F es la función integral asociada a f . Como f es continua,F es diferenciable.

Teorema 7.1.1 Sea X una variable aleatoria continua con función de densidadf : [a, b]→ R. Entonces:

µ =∫ b

a

xf(x) dx

V =∫ b

a

(x− µ)2f(x) dx =∫ b

a

x2f(x) dx− µ2

σ = +√V

7.2. La distribución normalDe�nición 7.2.1 Sea X una variable aleatoria continua con función de densi-dad f(x). Se dice que X sigue una distribución normal de parámetros µ y σ yse representa por X ∼ N(µ, σ), si f(x) es de la forma:

f(x) =1

σ√

2πe−

12 ( x−µσ )2

Observación 7.2.1 La grá�ca de la función de densidad de una variable aleato-ria X ∼ N(µ, σ) se conoce como campana de Gauss y tiene las siguientes car-acterísticas:

Dom(f) = R

Es simétrica respecto de la recta x = µ.

Tiene una asíntota horizontal en el eje X : y = 0.

Es creciente en (−∞, µ) y decreciente en (µ,+∞).

Tiene un máximo absoluto en el punto(µ,

1σ√

2π

).


Tiene dos puntos de in�exión en los puntos(x− µ, 1

σ√

2πe−

12

),

(x+ µ,

1σ√

2πe−

12

)

Área comprendida entre el eje X y la curva:

• En (−∞,+∞) el área es 1 por ser una función de densidad.• En (−∞, µ) el área es 0, 5 y en (µ,+∞) el área es, también, 0, 5.• En (µ− σ, µ+ σ) el área es 0, 6828.• En (µ− 2σ, µ+ 2σ) el área es 0, 9544.• En (µ− 3σ, µ+ 3σ) el área es 0, 9974.

7.3. La distribución normal estándarDe�nición 7.3.1 Se dice que una variable aleatoria continua X sigue una dis-tribución normal estándar o normal tipi�cada, si X ∼ N(0, 1). La variableentonces se suele representar por la letra Z.

Observación 7.3.1 Si Z ∼ N(0, 1), entonces su función de densidad es:

f(x) =1√2πe−

x22

y se encuentra tabulada.

De�nición-Teorema 7.3.1 Sea X ∼ N(µ, σ). Se llama tipi�cación de la vari-able X a la operación:

Z =X − µσ

Entonces Z ∼ N(0, 1).

7.4. Aproximación de la binomial por la normalTeorema 7.4.1 Sea X ∼ B(n, p). Entonces X puede aproximarse por una vari-able aleatoria X ′ ∼ N(np,

√npq) si n es grande y p, q no están muy próximas

a cero. En general esta aproximación es válida si np ≥ 5; nq ≥ 5.

Observación 7.4.1 Al aproximar una variable aleatoria binomial X (discre-ta) por una variable aleatoria X ′ normal (continua), es necesario realizar lascorrecciones de continuidad:

P [X = k] = P [k − 0, 5 ≤ X ′ ≤ k + 0, 5]

P [X ≤ k] = P [X ′ ≤ k + 0, 5]

P [X < k] = P [X ′ ≤ k − 0, 5]


7.5. Ajuste de un conjunto de datos a una normalPara estudiar si un conjunto de datos obtenidos experimentalmente se ajus-

tan a una distribución normal N(µ, σ), aplicamos el siguiente procedimiento:

Calculamos la media µ y la desviación típica, σ.

Comparamos la distribución de los datos obtenidos experimentalmente conla distribución de probabilidad teórica de la normal N(µ, σ). Para ello:

• Calculamos las frecuencias relativas fi de la distribución experimen-tal.• Calculamos las probabilidades de los intervalos en los que hemos dis-

tribuido el recorrido, P [xi ≤ X ′ ≤ xi+1] en la N(µ, σ).• Calculamos las diferencias en valor absoluto entre las probabilidades

teóricas y las frecuencias relativas y si las diferencias son su�ciente-mente pequeñas o su�cientemente grandes, aceptamos o rechazamosla hipótesis de que los datos se ajustan a la normal.

7.6. Ejercicios del temaEjercicio 7.1 Las estaturas de 1400 mujeres se distribuyen según la N(160, 8; 6, 4).Calcula los valores x−3σ, x−2σ, x−σ, x+σ, x+ 2σ, x+ 3σ. Reparte a las 1400mujeres, aproximadamente, en los intervalos determinados por esos valores.

x− 3σ = 141, 6. Menores que 141,6 hay el 0,13% de 1400 ' 2 mujeres.

x− 2σ = 148. Entre 141,6 y 148 hay el 2,15% de 1400 ' 30 mujeres.

Continúa por tu cuenta haciendo el reparto en los intervalos:

(x− 2σ, x− σ); (x− σ, x), · · ·

Ejercicio 7.2 En un estanque de una piscifactoría se ha tomado una muestrade 3000 truchas y se ha medido, en cm, la longitud de las mismas, resultandoque se distribuyen según la N(26, 7). Calcula, de forma análoga a como lo hashecho en el ejercicio anterior, los valores x− 3σ, x− 2σ, x− σ · · · , establece losintervalos de longitud correspondientes y reparte las 3000 truchas de la muestraen esos intervalos.

Ejercicio 7.3 En una distribución N(0, 1) calcula las siguientes probabilidades:

P [Z = 2]

P [Z ≥ 2]

P [Z ≤ 2]

P [Z ≤ −2]


P [Z ≥ −2]

P [−2 ≤ Z ≤ 2]

Ejercicio 7.4 En una distribución N(0, 1) calcula las siguientes probabilidades:

P [0, 81 ≤ Z ≤ 1, 33]

P [−1, 33 ≤ Z ≤ 0, 81]

P [−0, 81 ≤ Z ≤ 1, 33]

P [−1, 33 ≤ Z ≤ −0, 81]

Ejercicio 7.5 En una distribución N(22, 5) calcula las siguientes probabili-dades:

P [X ≤ 27]

P [X ≥ 27]

P [X ≥ 12, 5]

P [15 ≤ X ≤ 20]

P [17 ≤ X ≤ 30]

Ejercicio 7.6 Los pesos de 600 soldados se distribuyen según la N(67, 5). Cal-cula cuántos de ellos pesan:

Más de 80 Kg. (intervalo (80, 5; +∞))

50 Kg. o menos (intervalo (−∞; 50, 5))

Menos de 60 Kg. (intervalo (−∞; 59, 5))

70 Kg.

Entre 60 Kg. y 80 Kg. (los extremos incluidos)

Ejercicio 7.7 Un test de sensibilidad musical da resultados que se distribuyenN(65, 18). Se quiere hacer un baremo por el cual, a cada persona, junto con lapuntuación obtenida, se le asigna uno de los siguientes comentarios:

Duro de oído.

Poco sensible a la música.

Normal.

Sensible a la música.

Extraordinariamente dotado para la música.


de modo que haya, respectivamente, en cada uno de los grupos, un 10%, un35%, un 30%, un 20% y un 5% del total de individuos observados. ¾En quépuntuaciones pondrías los límites entre los distintos grupos?

Ejercicio 7.8 Supongamos que la variable que expresa el tiempo (en meses) quetarda en salir el primer diente a los niños es N(7, 5; 1, 5). Calcula la probabilidadde que a un niño le salgan los dientes:

Habiendo cumplido ya un año.

Antes de los cinco meses.

Con 7 meses.

Antes de cumplir el primer mes.

Después de haber cumplido 6 meses.

Ejercicio 7.9 En el proceso de fabricación de una pieza intervienen dos máquinas:la máquina A produce un taladro cilíndrico y la máquina B secciona las piezascon un grosor determinado. Ambos procesos son independientes. El diámetro deltaladro producido por A, en mm, es N(23; 0, 5). El grosor producido por B, enmm, es N(11, 5; 0, 4)

Calcula qué porcentaje de piezas tienen un taladro comprendido entre 20,5y 24 mm.

Encuentra el porcentaje de piezas que tienen un grosor entre 10,5 y 12,7mm.

Suponiendo que sólo son válidas las piezas cuyas medidas son las dadas enlos dos apartados anteriores, calcula qué porcentaje de piezas aceptablesse consiguen.

Nota: Se supone que las medidas están dadas exactamente.

Ejercicio 7.10 En ejercicios anteriores ha aparecido un conjunto de soldadoscuyas estaturas en cm, se distribuyen según la N(168; 8) y sus pesos, en Kg,según la N(67, 5).

¾Qué porcentaje de ellos pesan entre 60 Kg y 80 Kg, exactamente?

¾Qué porcentaje miden entre 160 y 180 cm exactamente?

¾Podrás, como en el ejercicio anterior, multiplicar las probabilidades paraobtener la proporción de los soldados que cumplen ambas condiciones? Tenen cuenta que estatura y peso no son independientes.

Ejercicio 7.11 La cali�cación media en un cierto examen fue 6,5 y la desviacióntípica 1,6. Si el profesor va a cali�car con sobresaliente al 10% de la clase, ¾apartir de qué nota se consigue?


Ejercicio 7.12 Calcula las probabilidades de las siguientes distribuciones bino-miales mediante aproximación a la normal correspondiente (en todas ellas tenen cuenta el ajuste de media unidad que hay que hacer al pasar de una discretaa una continua)

X ∼ B(100; 0, 1). Calcula P [X = 10], P [X < 2], P [5 < X < 15]

X ∼ B(1000; 0, 02). Calcula P [X > 30], P [X < 80]

X ∼ B(50; 0, 9). Calcula P [X > 45], P [X ≤ 30]

Ejercicio 7.13 Un test consta de 100 preguntas con cuatro respuestas optativascada una. Si se responde totalmente al azar, ¾cuál es la probabilidad de acertar50 o más preguntas? ¾Cuál es la probabilidad de acertar entre 25 y 75 preguntas?¾Cuál es la probabilidad de acertar menos de 25? ¾Y más de 75?

Ejercicio 7.14 La siguiente distribución corresponde a las estaturas, en cm, de1400 mujeres:

141 146 151 156 161 166 171 176 1812 25 146 327 424 314 128 29 5

Calcula su media, x, y su desviación típica, σ

Calcula las frecuencias acumuladas.

Obtén, dividiendo las anteriores por 14, los porcentajes acumulados. Porejemplo, para el segundo intervalo: 27

14= 1, 93 %

Teniendo en cuenta que en la tabla anterior los valores de la variable sonlas marcas de clase de ciertos intervalos, pon el extremo superior de dichosintervalos. Por ejemplo, el del segundo intervalo es: 146 + 151

2= 148, 5.

Tipi�ca los valores anteriores respecto a los valores de x, σ obtenidos enel primer apartado. Por ejemplo:

148, 5→ 148, 5− 160, 96, 46

= −1, 92

Calcula, en %, la probabilidad acumulada hasta cada uno de los extremosde los intervalos. Por ejemplo:

P [X ≤ 148, 5] = P [Z ≤ −1, 92] = 2, 74 %

Compara, restándolos, los porcentajes acumulados en la distribución em-pírica y en la teórica. Por ejemplo:

|1, 93− 2, 74| = 0, 81


Selecciona la mayor de las diferencias y prueba si supera o no al número136√1400

= 3, 63. Decide, en consecuencia, si se rechaza o no la hipótesisde normalidad de la distribución de partida.

Ejercicio 7.15 Las estaturas de los mozos que acuden a hacer el servicio mil-itar se distribuye según la grá�ca 15.

Cuenta el número de cuadraditos que hay bajo la curva y comprueba queson 100, aproximadamente.

Calcula la probabilidad de que un soldado mida entre 180 cm y 190 cm.Hazlo de forma aproximada valorando el área bajo la curva que hay en eseintervalo.

¾Qué porcentaje de soldados miden 160 cm? Calcula el área bajo la curvaen el intervalo (159,5;160,5).

Estima a ojo el valor de x, σ.

Ejercicio 7.16 Se ha hecho un estudio sobre la longitud de ciertas piezas A,By C, obteniéndose las grá�cas de la �gura 16. Las medias y las desviacionestípicas obtenidas son:

x1 = 5; σ1 = 3, 5; x2 = 5; σ2 = 1, 5; x3 = 7; σ3 = 1, 5;

Asigna a cada grá�ca los parámetros adecuados.


P [Z ≤ 1, 83]

P [−1, 5 ≤ Z ≤ 3, 71]

P [Z ≤ 11]

P [Z ≤ 4, 27]

P [1, 5 ≤ Z ≤ 2, 5]

P [Z = 1, 6]

P [−2, 71 ≤ Z ≤ −1, 83]

P [1, 3 ≤ Z ≤ 2, 2]


P [X ≥ 43]


P [40 ≤ X ≤ 55]

P [30 ≤ X ≤ 40]


P [X ≤ 17]

P [X ≥ 15]

P [11 ≤ X ≤ 22]

P [13, 5 ≤ X ≤ 17, 5]

Ejercicio 7.20 El peso en gramos de los paquetes de azúcar fabricados por unamáquina empaquetadora se distribuye N(965, 25). ¾Qué proporción de paquetespesan 1 Kg o más? ¾Cuantos pesan menos de 900 g?

Ejercicio 7.21 Los camiones que pasan por una cierta autopista tienen unaaltura (en m) que se distribuye N(3, 5; 0, 6). Se construye un puente sobre laautopista a una altura de 4,40 m. ¾Qué porcentaje de camiones se verán impe-didos a circular por ésta?

Ejercicio 7.22 Para cada una de las siguientes distribuciones binomiales indi-ca, calculando los valores n.p y n.q si se pueden aproximar a una normal o no.En caso a�rmativo, determina cuál es la distribución normal correspondientedando su media y su desviación típica.

B(100; 0, 1)

B(200; 0, 88)

B(200; 0, 03)

B(1000; 0, 02)

B(20; 0, 7)

B(50; 0, 9)

Ejercicio 7.23 La probabilidad de que una copa de cristal se rompa cuandoes transportada es del 1%. Si se transportan 1000 copas, ¾cuál es el númeroesperado de roturas? ¾Y la desviación típica? ¾Cuál es la probabilidad de que serompan 20 copas o más?

Ejercicio 7.24 En una bolsa hay dos mil bolas: mil blancas y mil negras. Sisacamos 10 bolas, ¾cuál es la probabilidad de que las 10 sean blancas? ¾Y laprobabilidad de que, al menos, 7 sean negras. (Resuélvelo suponiendo que alextraer pocas bolas no varía la probabilidad de blanca o negra)


Ejercicio 7.25 Un centro de enseñanza va a presentar, este curso, 240 alumnosal examen de selectividad y se sabe que, en ese centro, suele aprobar el 95% delos presentados. ¾Cuál es la probabilidad de que aprueben:

más de 200

más de 220

más de 230

más de 235 alumnos?

Ejercicio 7.26 Una gran plantación está infectada por una nociva especie deescarabajos y se estima que la plaga la componen un millón de estos insectos. Serocía la plantación con un insecticida que suele matar al 80% de los perjudicialesbichos. ¾Cuál es la probabilidad de que sobrevivan 500000 escarabajos o menos?¾Y la de que sobrevivan más de 300000? ¾Y la de que sobrevivan entre 100000y 200000 escarabajos?

Ejercicio 7.27 Si lanzamos un dado mil veces, ¾cuál es la probabilidad de queel número de cincos obtenidos sea menor que 100?

Ejercicio 7.28 Una moneda se lanza 400 veces. Calcula la probabilidad de queel número de caras di�era de 200 en más de 10. ¾Y de que di�era en más de20?

Ejercicio 7.29 Al tallar 150 alumnos de bachillerato, obtenemos la siguientetabla:

Intervalo 155-160 160-165 165-170 170-175 175-180Frecuencia absoluta 30 35 60 15 10

Somete a esta distribución a un test de normalidad.

Ejercicio 7.30 Se han lanzado 2 dados 120 veces y se han anotado las sumas:

Suma 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Veces 3 8 9 11 20 19 16 13 11 6 4

¾Se puede rechazar que esta distribución proviene de una normal?

Estadísticapara2o deBachillerato ...observaciones y el de valores es muy grande, lo que...

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