Estática de los fluidos.doc

MECNICA DE FLUDOS

ESRTICA DE LOS FLUIDOS

UNIDAD IIII. ESTTICA DE LOS FLUIDOS

2.1. INTRODUCCINLa esttica de los fluidos estudia el reposo o el equilibrio de los lquidos y gases. A partir de los conceptos de peso especfico y de presin se obtiene la ecuacin fundamental de la esttica de fluidos, de la cual se derivan las ecuaciones de la HIDROSTTICA y de la AEROSTTICA. Los principios de Pascal y de Arqumedes no son otra cosa que consecuencia de la ecuacin de la esttica de fluidos. El hecho de que los gases, a diferencia de los lquidos, puedan fcilmente comprimirse, hace que el estudio de ambos tipos de fluidos se torne ms interesante en vista de sus diferentes caractersticas de comportamiento. El aprovechamiento combinado de comportamientos de ambos fluidos, constituyen soluciones interesantes a ciertos problemas de ingeniera hidrulica.Un fluido est en estado esttico cuando sus partculas estn en reposo (equilibrio absoluto) o se estn moviendo con una misma velocidad constante (equilibrio relativo) con respecto a un marco inercial de referencia; en otras palabras, un fluido esttico se caracteriza por que el campo de tensiones cortantes en el seno del fluido es nulo.

Es muy importante para la ingeniera hidrulica el estudio de la hidrosttica, en base de lo cual se desarrollan mltiples proyectos, desde los pequeos hasta los megaproyectos de represamientos de agua, los que ayudan a solucionar grandes problemas sociales. La aerosttica, en cambio, es de sumo inters para la ingeniera aeronutica, interesante medio de transportes en el mundo.

En esta parte interesa mayormente la variacin o distribucin de presiones hidrostticas en el seno del fluido y los efectos que estos producen (fuerzas de empuje sobre superficies de reas finitas).La esttica de los fluidos es casi una ciencia exacta, siendo el peso especfico la nica magnitud que debe determinarse experimentalmente (en laboratorio).2.2. PRESIN EN UN PUNTOComo quiera que, en un fluido en reposo, no existen fuerzas tangenciales o cortantes, el nico esfuerzo que acta sobre una superficie elemental que pasa por un punto P del fluido, es el esfuerzo normal conocido con el nombre de presin.2.2.1. TEOREMA DE PASCALEstablece que la presin, en un punto en el seno de un fluido en reposo, es independiente de la direccin, esto es, que la presin es una magnitud escalar.Matemticamente la presin en un punto se la define como el lmite del cociente de la fuerza normal a un rea cuando sta tiende a cero en el punto.

Figura N 2.1. Diagrama de cuerpo libre diferencial en forma de cuaPara demostrar que la presin no tiene carcter direccional (es independiente de la direccin), consideremos un cuerpo libre en forma de cua, entre los planos de un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales con origen en el punto (x, y, z), en un fluido en reposo. Como no existen tensiones cortantes, las nicas fuerzas existentes son las normales a las superficies y el peso. Lo dicho implica obviamente que en el estudio de la esttica de fluidos no hay necesidad de distinguir entre fluidos reales e ideales (respecto a la viscosidad).Sea n la direccin normal al rea elemental dA y cos, cos, cos sus cosemos directores. El vector unitario en direccin n, es:

(i)Sean, Px, Py, Pz y Pn las presiones en las direcciones x, y, z, y n, respectivamente.La presin normal al rea elemental se puede denotar mediante:

(ii)Donde:

(iii), forma escalaro tambin:

(iv), forma vectorialPero:

(v)

Reemplazando (v) en (iv):

(vi)De donde:

dFx= - PndA cos

dFy= - PndA cos

dFz= - PndA cosQue vienen a ser las componentes de la fuerza elemental sobre el rea dA debido a la presin normal Pn.Aplicando la 2 Ley de Newton para el equilibrio esttico, se tiene:

(vii)

(viii)

(ix)Pero de la figura se obtiene que:

Valores que reemplazando en las ecuaciones (vii), (viii) y (ix), se obtiene:

De (vii):

De (viii):

De (ix):

Lo que haciendo tender al lmite en el punto (x, y, z), obtenemos:

Por consiguiente:

(2.1) L.Q.Q.D.Lo cual demuestra que la presin, en un punto cualquiera en el seno de un fluido en reposo, es independiente a la direccin, es decir, es una funcin escalar de punto. Por esta razn el espacio ocupado por un fluido en reposo es un campo escalar respecto a la presin, siempre y cuando se considere al fluido como un medio continuo.2.2.2. VARIACIN DE LA PRESINSiendo la presin un campo escalar, lgicamente que vara de un punto a otro, siendo de imperiosa necesidad estudiar de qu factores depende y como vara la funcin:

Consideremos un volumen elemental de fluido en reposo en cuyo centroide acta la presin P.Debido a que no existen tensiones cortantes, las fuerzas en las caras sern solo normales a ellas, tal se como puede apreciar en el diagrama de cuerpo libre de la Fig.2.1, cuyas caras se han orientado de acuerdo a un sistema coordenado ortogonal.Si el medio es continuo, la presin en las tres direcciones consideradas debe variar en forma gradual y se ha supuesto que aumenta en el sentido positivo de los ejes coordenados.

Figura 2.2. Diagrama de cuerpo libre de un elemento diferencial bajo la accin de un campo de presiones.Aplicando la Segunda Ley de Newton al sistema de fuerzas de superficie y de campo a que est sometido el elemento diferencial:

Efectuando:

Simplificando:

-

(2.2)La expresin (2.2), es la ecuacin general de la Esttica de Fluidos, en cualquier sistema de coordenadas.El vector diferencia, entre parntesis, se denomina gravedad efectiva , esto es:

Valor que reemplazado en la ecuacin (2.2), se convierte en la expresin (2.2.a).

(2.2.a)

Esta ecuacin fundamental de la esttica de fluidos indica cmo y porqu vara la presin en el campo que ocupa el fluido en reposo.

Para el reposo absoluto, , la ecuacin (2.2) se convierte en:

(2.2.b)

Es necesario tener en consideracin que, en general, un diagrama de cuerpo libre de un fluido en reposo o en movimiento (reposo relativo), se distinguen tres clases de fuerzas: de superficie, de campo y de inercia.a. Fuerzas de SuperficieSon las que actan en forma normal o tangente a las superficies de frontera. Entre estas fuerzas se tiene a las debidas a la presin que actan perpendiculares a las caras y, las fuerzas debidas a la viscosidad del fluido que actan tangencialmente a dichas caras.b. Fuerzas de CampoSon aquellas debidas a la atraccin de campos magnticos, elctricos, gravitacionales, etc.c. Fuerzas de Inercia

Llamadas tambin fuerzas msicas y son las que estn asociadas a la masa mvil.Para el efecto de la aplicacin de la 2 Ley de Newton hay que tener en cuenta todas estas fuerzas antes descritas.2.3. ECUACIONES DE LA HIDROSTTICA

La hidrosttica es la ciencia que estudia las condiciones de reposo de las masas lquidas.2.3.1. Variacin de la presin en el seno de un lquido en reposo absoluto, con densidad constante, bajo la atraccin gravitacional terrestre. Para el reposo absoluto,a = 0, valor que reemplazado en la ecuacin general de la esttica, se obtiene:

Donde, para un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales normal (Fig.2.3), el gradiente de la presin queda denotado por:

(a)

El sistema coordenado de la Fig.2.3 se ha escogiendo, de tal manera que el eje z coincida con la direccin de la gravedad terrestre, quedando el plano XY paralelo al plano de superficie libre.

Fig.2.3. Sistema de coordenadas cartesianas ortogonales mostrando el vector gravedad terrestre.

(b)Reemplazando (a) y (b) en la Ec. (2.2):

(c)Estableciendo la igualdad de vectores, del primer y segundo miembro, de la expresin (c), se obtienen las ecuaciones (2.3).

2.3.a

2.3.b

2.3.c

El anlisis de las ecuaciones (2.3) permite llegar a conclusiones muy importantes, incluso antes de suponer que, = constante (lquidos), es decir, que dichas ecuaciones son vlidas tanto para gases como para lquidos.Las dos primeras ecuaciones (2.3.a, 2.3.b) permiten establecer que la presin permanece constante en un mismo plano horizonta XY, variando nicamente en la direccin Z de acuerdo con la ecuacin (2.3.c).Como quiera que los lquidos son muy poco compresibles, se puede considerar que en ellos la densidad es constante, para profundidades razonables o limitadas, por lo que la ecuacin (2.3.c) se transforma en:

(2.4)Esta ecuacin establece que la variacin de la presin en la direccin Z es lineal.

Trasponiendo trminos en la ecuacin (2.4) e integrando, manteniendo el peso especfico como constante:

Donde, = Constante (slo para lquidos).

Efectuando la integral sin lmites de frontera:

(2.4.a)El primer miembro de esta ecuacin se llama ENERGA PIEZOMTRICA, el primero de cuyos trminos es la energa de presin por unidad de peso del fluido y; el segundo, es la energa potencial o de posicin por unidad de peso, respecto a un plano de referencia totalmente arbitrario. La ecuacin (2.4.a), es la caracterstica o condicin ms importante de la HIDROSTATICA y establece que la energa piezomtrica en todos los puntos del lquido en reposo es constante, o sea:

(2.5)Donde: 1, 2, 3,.. n, son los infinitos puntos del campo o espacio ocupado por un lquido en reposo, siempre y cuando se considere al fluido como un continuo.Para encontrar una expresin simplista que permita determinar la presin P en un punto cualesquiera, en el seno de un lquido en reposo, tal como R, a una profundidad h respecto a la superficie libre; aplicamos la ecuacin (2.4) a los puntos O (superficie libre) y R (a la profundidad h):

Multiplicando toda la ecuacin por el peso especfico y despejando la presin P:

(2.6)

Figura 2.4 Pero de la figura podemos observar que:

Entonces,

(2.7)Donde es la presin del gas en la superficie libre del lquido que, en caso de estar expuesta a la presin atmsfera, vendra a ser la presin atmosfrica local; h es la profundidad del punto respecto a la superficie libre y P es la presin a la profundidad o la profundidad h.Si la superficie libre del lquido est expuesta a la atmsfera, la presin recibe el nombre de presin atmosfrica local, la cual se mide mediante un instrumento llamado BARMETRO, por cuya razn a esta presin se le llama tambin presin baromtrica (Pbar). Al trmino se le conoce con el nombre de presin manomtrica Pman que es el valor que tiene la presin en un punto, por encima de la presin atmosfrica local. Si se tiene en cuenta los dos trminos del 2 miembro de la ecuacin 2.7 (presin baromtrica Pbar y presin manomtrica Pman), la presin P del primer miembro de la misma ecuacin recibe el nombre de presin absoluta Pabs, o sea:

(2.7.a)Donde,

La presin manomtrica Pman tiene un significado fsico y tcnico muy importante y se mide mediante un instrumento llamado MANMETRO.Como se puede apreciar el la ecuacin (2.7), la presin en los lquidos aumenta al aumentar la profundidad, y viceversa.

Figura 2.5 Variacin de la presin con la profundidad

2.4. ECUACIONES DE LA AEROSTTICA

La aerosttica es la ciencia que estudia las condiciones de reposo de los gases, incluido el aire atmosfrico.2.4.1. Variacin de la presin en el seno de un fluido en reposo absoluto, con densidad variable, bajo la accin de la gravedad terrestre. Expresando la ecuacin 2.3.c, bajo la forma de diferencial total, se tiene:

(2.8.d)En esta ecuacin, la densidad es variable, la misma que para los gases esta variacin se expresa mediante la ecuacin de estado de los gases perfectos, esto es:

(2.9)De donde:

(2.9.1)Reemplazando la expresin (2.9.1) en la ecuacin (2.8.d) y separando variables en la ecuacin diferencial, se tiene:

(2.10)Esta relacin (Ec.2.10) es conocida como ecuacin fundamental de la Aerosttica, la misma que toma formas particulares de acuerdo con el proceso termodinmico del gas.2.4.1.1. Atmsfera isotermaLa distribucin de presiones en una atmsfera supuestamente isoterma (temperatura constante) la podemos encontrar integrando la ecuacin 2.10, para T = CONSTANTE.

Fig. 2.6. Perfil terrestre mostrando dos puntos o niveles de la atmsfera isoterma.

Suponiendo que el estado del gas en el nivel 0 est perfectamente definido por las coordenadas termodinmicas , entonces integrando la ecuacin anterior, se tiene:

En esta expresin, levantando logaritmos nos conduce a la ecuacin (2.11).

(2.11)Pero para los dos estados diferentes del gas se puede, tambin es posible escribir:

(i)

Reemplazando el valor de: ,en la ecuacin (2.11) y teniendo en cuenta que, , se llega a la ecuacin (2.11.a).

(2.11.a)Las ecuaciones (2.11) nos facilitan calcular la presin P en cualquier punto R de la atmsfera gaseosa, conociendo las coordenadas termodinmicas de otro punto, tal como 0, y la diferencia de cotas entre dichos puntos.Reemplazando el valor de: despejado de la ecuacin del gas perfecto anotada antes (ecuacin i) en las ecuaciones (2.11) y teniendo en cuenta que, (atmsfera isoterma), se llega a la ecuacin (2.12):

(2.12)Las ecuaciones (2.12) nos permiten calcular la densidad en cualquier punto del gas, en una atmsfera gaseosa isoterma, conociendo las coordenadas termodinmicas de otro punto y la diferencia de cotas entre dichos puntos.

Observando las ecuaciones (2.11) y (2.12), podemos concluir que, tanto la presin P como la densidad disminuyen al aumentar la altura y viceversa.Si se toma como referencia el nivel del mar, en las ecuaciones anteriores se deber reemplazar , y las coordenadas termodinmicas son las que corresponden tambin a este nivel y se toman, generalmente, los valores normales o estndar (Presin: 1 atmsfera y, temperatura: 15 C).2.4.1.2. Atmsfera estndar Es el caso en que, tanto la presin P como la temperatura T son variables. Por considerar de inters en ingeniera, se analizar aqu el caso de las propiedades estticas del aire atmosfrico prximo a la superficie terrestre, en la capa conocida con el nombre de TROPSFERA, cuyo espesor aproximado es de 11. 00 kilmetros. Siendo el aire un fluido compresible, su densidad es funcin de la presin y de la temperatura y cuyo comportamiento se aproxima mucho a la ecuacin de los gases perfectos, por cuya razn debe cumplir la ecuacin de la aerosttica, o sea:

Ecuacin que permite determinar la variacin de la presin en el seno de un fluido compresible en reposo (gases), cuando la temperatura es funcin de la altura z.De acuerdo con las investigaciones realizadas en la tropsfera, se ha encontrado que la temperatura vara linealmente con la altura, segn la relacin:

(2.13)Donde, T es la temperatura a una altitud z, sobre el nivel del mar; es la temperatura a nivel del mar (generalmente la temperatura estndar) y a es el decremento de la temperatura por cada unidad de incremento en la altura.La ecuacin (2.13) establece que la temperatura, en la tropsfera, decrece al aumentar la altura sobre el nivel del mar y viceversa.

Fig. 2.7. Perfil terrestre mostrando dos puntos de la atmosfera estndarReemplazando la ecuacin (2.13) en la ecuacin de la aerosttica, se llega a la ecuacin (2.14).

(2.14)Conociendo el estado del aire a nivel del mar, definido por sus coordenadas termodinmicas , se puede integrar la ecuacin (2.14), entre los lmites de frontera mostrados en la figura (2.5).

Integrando y reemplazando lmites:

(2.15)Esta ecuacin muestra la variacin de la presin con la altura. Adems, teniendo en cuenta la ecuacin de estado de los gases perfectos, podemos escribir:

De donde se obtiene la expresin siguiente:

; Pero,

Reemplazando estas relaciones en la ecuacin (2.15):

Y finalmente:

De donde obtenemos final mente la expresin (2.16).

(2.16)Ecuacin que muestra la variacin de la densidad con la altura z. Trasponiendo trminos en la ecuacin (2.15) y elevando miembro a miembro a la potencia (a Ro) tenemos:

(2.15.a)Trasponiendo trminos en la ecuacin (2.16) y elevando miembro a miembro a la potencia , se tiene:

(2.16.a)Igualando las ecuaciones (2.15.a) y (2.16) y efectuando operaciones exponenciales, obtiene la ecuacin (2.17).

(2.17)Ecuacin (2.17) muestra la variacin de la presin con la densidad y el peso especfico.

A nivel del mar, se han adoptado por caractersticas de la atmsfera internacional las siguientes:

El valor mximo estandar para z es 10 770 m.

Frente a tales condiciones, el peso especfico del aire en condiciones estndar ser en consecuencia:

Cabe destacar que el valor numrico de la constante a es el mismo en las escalas Celsius (C) y absoluta (K) y el mismo tambin en las escalas Rankine (R) y Fahrenheit (F).Para comprobar lo manifestado, observemos que el valor de a es el que corresponde a la pendiente de la recta en el grfico adjunto, ya que:

O tambin,

Suponiendo que:T2 = 40 CT1 = 96 CZ2 = 10.000 m.Z1 = 1.000 m.Reemplazando valores Fig. 2.8. Variacin de la temperatura con la altitud.

Convirtiendo los grados Celsius (C) a grados absolutos (K)

1En forma semejante podramos demostrar que el valor de la constante a es el mismo en las escalas Fahrenheit y Rankine.2.4.2. Orgenes y unidades de medida de la presinLas presiones pueden expresarse con referencia a orgenes arbitrarios. Los orgenes ms usuales son el vaco absoluto y la presin medida respecto a este origen se llama presin absoluta. Otro origen es la presin atmosfrica local, y la presin medida respecto a este origen se llama presin manomtrica.Para medir la presin atmosfrica local, es decir, la presin del aire atmosfrico, se usa un instrumento llamado BARMETRO, que consiste de un tubo recto, transparente con un extremo cerrado y el otro abierto.Para medir la presin, primeramente se hace el vaco del tubo, vaciando todo el aire, para ello se llena de mercurio, y luego se introduce verticalmente, con su extremo abierto hacia abajo, en un depsito que contiene tambin mercurio. Debido a que la superficie libre del lquido est expuesta a la presin atmosfrica local, sta obliga al lquido a quedarse dentro del tubo hasta una altura h por encima de dicha superficie del depsito.La altura promedio h de la columna de mercurio a nivel del mar se ha determinado que es de 760 mm. Conocida con el nombre de presin estndar o normal. La presin baromtrica vara con la atura sobre el nivel del mar y con las condiciones climatolgicas.El dimetro del barmetro es pequeo, pero lo suficientemente grande como para evitar todo error por el fenmeno de capilaridad.Mediante la aplicacin de la ecuacin de la hidrosttica, se obtiene la relacin (2.18). (2.18)Donde:

= Presin atmosfrica local

= Presin del vapor del lquido (despreciable si se trata de Hg)

= Peso especfico del lquido

= Lectura del barmetro, altura por arriba de la superficie libre.Para el barmetro de mercurio y la presin medida a nivel del mar se tiene:

Fig.2.9. Barmetro de Mercurio La presin de vapor de mercurio es tan pequea que puede siempre despreciarse y la ecuacin anterior queda:

El mercurio se puede usar siempre como lquido baromtrico por ser muy pesado y por tener una presin de vapor demasiado pequea. Si se usara un lquido de baja densidad se necesitara un tubo de excesiva longitud, ya que la columna lquida dentro del tubo sera grande. As por ejemplo, si se usara agua como lquido baromtrico, la altura a que alcanzara la columna dentro del tubo sera:

Los orgenes y unidades de la presin se pueden apreciar en el grfico de la Fig..

1

fig.2.10. Niveles y orgenes de medida de la presinSi un punto tiene una presin por debajo de la presin atmosfrica local y se toma ste como origen, la presin es negativa, se trata entonces de una succin o un vaci parcial.2.4.3. MANOMETRALa manometra estudia la medida de las presiones manomtricas, las mismas que se miden mediante instrumentos llamados manmetros, de los cuales existen diversos tipos, entre los que podemos citar a los siguientes:2.4.3.1. PiezmetrosEl piezmetro es un tubo transparente de cristal o de plstico, recto o con un codo, cuyo dimetro no debe ser inferior a 5 mm para evitar toda correccin por menisco (fenmeno de capilaridad). Este tubo se conecta al punto en el que se quiere medir la presin a travs de un orificio practicado cuidadosamente en la pared del recipiente o tubera, llamado orificio piezomtrico. En fluidos en movimiento el tubo se colocar perpendicular a la corriente a fin de evitar que se produzcan perturbaciones que transformaran parte de la energa de presin en energa dinmica con una consecuente falsedad de la medida.Este manmetro presenta las ventajas y desventajas siguientes:

Son de gran precisin

Son cmodos y no necesitan lquido manomtrico

Slo sirven para medir presiones manomtricas positivas (mayores que la presin atmosfrica local) pequeas en lquidos (no sirven para gases).Es obvio que el piezmetro no sirve para medir presiones manomtricas negativas porque el aire ingresara al recipiente o tubera a travs del tubo. Para tener una idea del porqu este manmetro se usa para medir presiones pequeas basta decir que una presin de 0.2 atmsferas en agua requiere un tubo piezomtrico de 2 m. de longitud, pues para presiones superiores necesitamos tubos con excesiva longitud.Cuando se desea medir una presin media en una seccin, se hace una instalacin como la mostrada en la Fig. 2.11.

Fig. 2.11. Tubo piezomtrico o simplemente piezmetro

La presin media est dada por:

2.4.3.2. Manmetros de lquido para presiones positivas o negativasEste manmetro mide presiones relativas ya sean positivas o negativas. Se escoge como lquido manomtrico uno de peso especfico adecuado a la magnitud de las presiones, a cuya medicin se destina el manmetro. Es decir, que mientras mayor sean las presiones, mayor debe ser el peso especfico del lquido manomtrico para evitar tubos de gran longitud; para grandes presiones positivas o negativas, generalmente, se usa el mercurio como lquido manomtrico.Estos manmetros son tubos graduados en forma de U, con extremos abiertos, donde se sita el lquido manomtrico. Uno de cuyos extremos se conecta al recipiente que contiene el fluido, a la altura del punto cuya presin se desea medir. La observacin de las diferencias de niveles entre meniscos del lquido manomtrico y entre stos y los puntos en el depsito, nos permite mediante la ecuacin de la hidrosttica, determinar la presin en el punto o puntos de inters. 2.4.3.3. Manmetros diferencialesEste manmetro tambin se compone de un tubo transparente en forma de U, en cuya depresin se aloja el lquido manomtrico; conectndose ambos extremos habiertos a los recipientes que confinan los fluidos a presin.Un manmetro diferencial es tanto ms sensible cuanto ms prximo est el peso especfico del lquido manomtrico del peso especfico de los fluidos donde se mide la presin. Esto debe tenerse muy presente para escoger el lquido manomtrico. Para grandes diferencias de presin, el lquido manomtrico es el mercurio. Es necesario advertir que el estudiante no debe perder su tiempo en aprender de memoria la frmula de la presin o diferencia de presiones para cada manmetro en particular. La regla general para resolver problemas relacionados con manmetros, consiste en partir de un extremo o menisco anotando la presin en este punto, ya sea conocida o desconocida (mediante una incgnita) y, luego siguiendo el manmetro, avanzar hacia el otro extremo sumando o restando los cambios de presin, segn se descienda o ascienda, de acuerdo a la Ley Hidrosttica, respectivamente. Al llegar al otro extremo o menisco igualar toda la expresin a la presin en aquel punto conocido o desconocido; luego despejar la presin incgnita o diferencia de presiones solicitada.2.4.3.4. MicromanmetrosUn micromanmetro es un manmetro diferencial que sirve para medir las diferencias de presin muy pequeas o cuando se requiere de mediciones muy precisas de la presin. Este instrumento utiliza dos lquidos manomtricos inmiscuibles uno en el otro y el lquido cuya diferencia de presiones va a medirse. Una gran diferencia de alturas puede conducirse an cuando la diferencia de presiones es pequea (es un manmetro muy sensible).2.5. FUERZAS HIDROSTATICAS SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDASLa fuerza hidrosttica sobre una superficie sumergida est dada por la fuerza resultante de la accin de las presiones sobre la cara, de rea finita, de dicha superficie.

En este apartado de analizar la fuerza hidrosttica as como su lnea de accin utilizando los mtodos del prisma de presiones, de integracin y el de frmulas.El estudio y anlisis de las fuerzas hidrostticas sobre superficies sumergidas tiene especial importancia en el campo de la Ingeniera, puesto que gracias a ello es posible el diseo de mltiples y grandes obras hidrulicas que nos permiten aprovechar ms y mejor nuestros recursos hdricos, tan importantes para el desarrollo econmico de un pas. Las superficies sumergidas pueden ser planas y curvas.2.5.1. Fuerza hidrosttica sobre superficies planas sumergidasConsideremos el caso ms general, en que el plano que contiene a la superficie plana sumergida, de rea A, forma un ngulo con el plano equipotencial de superficie libre.

Fig.2.12.Superficie plana sumergida, perfil y vista en su verdadera magnitud.En la fig.2.12, G, es el centroide del rea sumergida que tiene por coordenadas . P, es el centro de presiones o un punto de la lnea de accin de la fuerza hidrosttica y tiene por coordenadas (xP, yP).

Sea el plano xy el que contiene a la superficie sumergida de rea A, en donde por comodidad se ha tomado al eje x en la interseccin de los planos de superficie libre y la prolongacin del plano de la placa.2.5.1.1. MTODO DE FRMULAS

A continuacin se deducen las frmulas que servirn para el clculo de la fuerza hidrosttica y su punto de aplicacin, conocido ste como centro de presiones o baricentro.a) Determinacin del Mdulo de la FuerzaPor la definicin de presin podemos escribir:

Donde:

Luego, reemplazando:

Pero de la Fig., vemos que:

Por tanto, finalmente la expresin se convierte en:

Integrando, teniendo en cuenta que el peso especfico es constante.

(a)Donde es el momento esttico o de preimer orden del rea, respecto al eje x; lo que podemos reemplazar por su total equivalente, empleando el teorema de Barignon, cuyo enunciado es: El momento de la resultante es igual a la suma de los momentos de sus componentes, por lo que:

(b)Donde A es el rea de la superficie sumergida, es la coordenada del centroide de dicha rea.

Reemplazando (b) en (a), se obtiene finalmente:

(c)

Donde la cantidad es la profundidad del centroide, respecto al plano de superficie libre, tal como aprecia en la figura. Por lo tanto, expresin se convierte en.

(2.19)La ecuacin (2.19), establece que la magnitud de la fuerza hidrosttica sobre una superficie plana sumergida es igual al producto de la presin en su centroide multiplicada por el rea de dicha superficie.b) Determinacin del Centro de Presiones

Como quiera que la magnitud de la fuerza ya es conocida, la posicin del centro de presiones definido por , se puede calcular empleando el teorema de Barignon.Aplicando el teorema de Barignon respecto al eje Y, se tiene:

El primer miembro de esta ecuacin es el momento de la resultante y el 2 es la suma de los momentos de las componentes.

Realizando las simplificaciones del caso se tiene:

(d)

El segundo miembro de esta ecuacin es el producto de la inercia del rea Ixy respecto a los ejes coordenados xy, es decir:

Este producto de inercia Ixy se puede escribir en funcin del producto de Inercia respecto a los ejes centroidales paralelos a los ejes xy; segn el teorema de Steiner, o sea: (e)Reemplazando, (e) en (d), se tiene:

De donde, despejando la coordenada del centroide, se llega a la ecuacin (2.20).

(2.20)

Debido a que el producto de inercia puede ser positivo, negativo o nulo (si el rea tiene un eje de simetra); la coordenada Xp puede ser positiva, negativa o igual a la coordenada del centroide .

Finalmente, aplicando el teorema de Varignon con respecto al eje X, se tiene:

De donde simplificando, se obtiene:

(f) El segundo miembro de esta ecuacin es momento de Inercia de segundo orden del rea Ix, respecto al eje x, o sea:

Este momento de inercia se la puede escribir, empleando el teorema de Steiner, en funcin de los momentos respecto a los ejes paralelos centroidales , es decir:

(g)

Reemplazando (g) en (f), se tiene que:

Donde, finalmente la ordenada del centroide es:

(2.21)En esta ecuacin el momento de inercia del 2 orden es siempre positivo por lo que el valor de Yp ser siempre mayor que el que corresponde al valor , es decir, que el centro de presiones P estar siempre por debajo del centroide G del rea.

Las ecuaciones (2.19), (2.20) y (2.21) son empleadas para calcular tanto el mdulo de la fuerza hidrosttica como el centro de presiones o punto de aplicacin.

Conclusiones1De acuerdo con la ecuacin (2.19), el mdulo de la fuerza hidrosttica sobre una superficie plana sumergida no vara cuando si se hace girar dicha rea alrededor de su centroide; slo vara su lnea de accin.2Si se trata de una superficie plana horizontal, todos los puntos del rea estn sometidos a igual presin (por tratarse de un plano equipotencial), por lo que el mdulo de la fuerza es igual al producto de esta presin (constante) por el rea de dicha superficie y, el centro de presiones coincide con el centroide del rea, tal como demostraremos enseguida:Sea A el rea de la superficie horizontal ubicada a una profundidad h respecto al plano de superficie libre; G() es el centroide de dicha rea; y el centro de presiones supuestamente no coincidente en el centro de gravedad. Elegimos, por comodidad, el plano xy como el plano que contiene al rea A; luego por definicin de presin tenemos:

Pero:

(para pequeas profundidades)Por lo que, reemplazando:

Integrando, miembro a miembro

2.22.aQue viene hacer el mdulo de la fuerza hidrosttica. Para calcular el centro de presiones, aplicamos el teorema de Barignon con respecto a los ejes coordenados xy.

Fig.2.13. Superficie plana horizontal sumergidaTomando momentos con respecto al eje Y:

La integral es el momento esttico del rea respecto al eje Y, que por el mismo teorema de Barignon puede ser sustitudo por el momento de la resultante, o sea:

Valor que sustitudo por la ecuacin anterior, se obtiene:

Por consiguiente:

(2.23.a)De igual manera, tomando momentos respecto al eje X, se obtiene:

Reemplazando el momento esttico por el total equivalente:

Por lo que se concluye que:

(2.23.b)Las ecuaciones 2.23.a y 2.23.b, muestran que el centroide G coincide con el centro de presiones P.2.5.1.2. METODO DE INTEGRACIN

Conociendo la geometra o forma del rea plana sumergida, se puede encontrar tanto el mdulo de la fuerza como el centro de presiones por integracin directa. Este mtodo se utiliza cuando la funcin de la curva que delimita el rea es conocida y, por ser un mtodo bastante laborioso slo es aconsejable para reas de formas poco usuales, en donde la determinacin del centro de gravedad y los momentos de inercia resultan bastante complicados.El procedimiento para aplicacin de este mtodo es el siguiente:

Fig. 2.14. Mtodo de integracin

1Expresar la ecuacin o ecuaciones de la frontera del rea, respecto a un sistema de ejes coordenados completamente arbitrario, de preferencia aquel sistema que haga a la ecuacin de contorno lo ms sencilla posible, lo cual permite simplificar operaciones. Sea el sistema (x, y) el que cumple con las caractersticas anotadas (ver figura adjunta).2Se determina el mdulo de la fuerza hidrosttica mediante:

O tambin utilizando una integral simple, para lo cual se deber elegir convenientemente el rea elemental dA de modo que la presin sea la misma en toda ella, es decir que un lado del diferencial debe ser paralelo al plano de superficie libre:

Pero de la figura

Siendo

Por lo que

Como quiera que el contorno es una funcin conocida:, la ecuacin queda de la forma:

(2.24)Cuya integral se puede efectuar sin mninguna dificultad.3Se determina el centro de presiones P definido por coordenadas (xP, yP), aplicando el teorema de Barignon, respecto a los ejes y, x.Respecto al eje y:

(2.24)

(2.24.a)Respecto al eje x:

(2.24.b)Como ya la fuerza F es conocida y conoce tambin la ecuacin del contorno del rea , las integrales de las ecuaciones (2.24.a) y (2.24.b), se pueden efectuar sin ningn problema.2.5.1.3. METODO DEL PRISMA DE PRESIONES

El prisma de presiones es un cuerpo imaginario que resulta de graficar a escala adecuada, las presiones que actan en toda el rea de la superficie plana sumergida, actuando el rea como base del prisma. Debido a que la presin vara linealmente con la profundidad, la superficie superior del prisma de presiones es siempre un plano.

Este mtodo se usa, y es el ms conveniente, para reas muy sencillas (formas rectangulares) y en especial cuando un lado del rea coincide con la superficie libre, pues en este caso, el prisma tiene la forma de una cua y cuyo centroide est a dos tercios del vrtice. No se usa este mtodo para otras formas de reas ni menos an para reas compuestas, porque el prisma resultante tendra una forma muy complicada, resultando engorroso la determinacin del volumen del prisma as como la posicin de su centroide. Para justificar lo manifestado, basta analizar el diagrama de presiones sobre un rea plana circular, que an siendo un rea sencilla, el prisma de presiones resulta ser un cuerpo cilndrico cuneiforme, es decir, formado por un cuerpo cilndrico recto y una cua cilndrica, cuya determinacin del volumen y de su centroide se hace bastante difcil.

Fig.2.15.Prisma de presiones de rea de base circular

Fig.2.16. Prisma de presiones de rea de base rectangularPara determinar el mdulo y la lnea de accin de la fuerza hidrosttica utilizando este mtodo, pasamos a deducir las expresiones respectivas: para lo cual tomemos un rea de cualquier forma cuyo diagrama de presiones es el que se muestra en la fig.2.16.

(Cooregir Origen grfico)Fig.2.17. Prisma de presiones para un rea plana de cualquier formaa. Determinacin del Mdulo de la Fuerza

Partiendo de la definicin de presin tenemos:

Pero si observamos la figura, el segundo miembro de esta ecuacin es un elemento de volumen del prisma de presiones de rea de base diferencial dA y altura , por lo que integrando se obtiene:

(2.25)Esta ecuacin establece que el mdulo de la fuerza hidrosttica sobre una superficie plana sumergida es igual al volumen del prisma de presiones. No hay que confundir un volumen geomtrico normal con el volumen del prisma de presiones, este ltimo resulta de multiplicar un rea geomtrica por una presin, resultando la dimensin de una fuerza.b. Determinacin del Centro de Presiones

Aplicando el teorema de Barignon, respecto a los ejes y, x se tiene:

Respecto a y:

(2.26.a)Respecto a x:

(2.27.b)Las ecuaciones (2.26), establece que la lnea de accin de la fuerza hirosttica pasa por el centroide del prisma de presiones. El centro de presiones se encuentra entonces en la interseccin del rea y la perpendicular a sta que pasa por el centroide del prisma de presiones.Ejemplo 2.1.- Determinar el mdulo y el punto de aplicacin de la fuerza hidrosttica sobre un rea rectangular de 3 m de ancho y 6 m de longitud, sumergida en agua, con el lado menor paralela a la superficie libre y cuyo plano forma con el plano de superficie libre un ngulo de 30. La profundidad del borde superior del rea, medida sobre su plano, es de 9 m. Emplee los mtodos de frmulas integracin y el del prisma de presiones.Solucin

1 Mtodo de Frmulas

Fig.2.18. Placa plana rectangular sumergidaa = 6.0 m

b = 3.0 m

d = 9.0 m

= 30

Por simplificacin del problema, el eje y pasa por el centroide del rea, y por tanto es un eje de simetra. El eje x es la interseccin del plano de superficie libre con el plano que contiene a la superficie plana en consideracin.

a. Clculo de la Magnitud de la FuerzaUsando la frmula, para el mdulo de la fuerza, se tiene:

Donde es la presin en el centroide del rea A, por lo que:.

Luego:

b. Determinacin del Centro de PresionesAplicando la ecuacin 2.16:

Como quiera que el eje y es un eje de simetra, que contiene adems al centroide del rea, resulta que el producto de inercia es nulo, y po tanto:

La otra coordenada la obtenemos mediante:

Donde:

Luego reemplazando valores:

Lo cual indica que el centro de presiones est a 12.25 m por debajo de la superficie libre y medida sobre el plano xy, o lo que es lo mismo, a 0.25 m por debajo del centro de gravedad G.

La fuerza es perpendicular a la superficie y actuando hacia el rea.

Las coordenadas del centro de presiones son: P (0, 12.25).2 Mtodo de Integracin

a. Determinacin del mdulo de la fuerzaUtilizando la misma figura anterior, se tiene por definicin de presin:

Donde:

Reemplazando en la integral

Integrando y reemplazando lmites:

Y finalmente reemplazando valores:

b. Determinacin del Centro de PresionesAplicamos el teorema de Barignon respecto al eje y:

Pero como podemos apreciar en la figura las reas elementales dA tienen por coordenadas (O, y), por lo que: x = 0, luego la ecuacin anterior queda:

Por consiguiente:

Por lo que, el centro de presiones est sobre el eje de simetra y.

Aplicando el teorema de Barignon respecto al eje x.

Integrando y reemplazando lmites

Reemplazando valores:

Por lo que el centro de presiones P tiene por coordenadas P (0,12.25), resultados que coinciden con los obtenidos por el mtodo de frmulas.3 Mtodo de Prisma de Presiones (Falta figura) 2.19a. Determinacin del Mdulo de la FuerzaEl mdulo de la fuerza hidrosttica est dado por la ecuacin:

F = = Volumen del prisma de presiones2.15.c

El volumen V del prisma de presiones viene a ser la suma de los volmenes parciales que corresponden a un prisma recto de base a y altura h, y el de la cua triangular de rea de base A y altura , o sea:

Factorizando:


b. Determinacin del Centro de PresionesPuesto que este prisma tiene un plano de simetra, el centroide del prisma de presiones estar en este plano. El plano de simetra pasa a 1.5 m del lado de dimensin a = 6 m.

Para encontrar la coordenada tomemos momentos respecto a la arista superior del rea y aplicando el teorema de Barignon tenemos:

Reemplazando valores

Lo cual indica que el centro de presiones est en el eje de simetra y del rea y exactamente a 3.25 m del borde superior de la misma, o lo que es lo mismo a 0.25 m por debajo del centroide del rea.En general, no se puede decir qu mtodo es el ms adecuado, pues depende de la forma del rea en particular. El mtodo para un rea particular se elige de tal suerte que resulte ser el ms sencillo y rpido. Con el objeto de lograr una mayor rapidez en los clculos puede elegirse un mtodo para calcular el mdulo de la fuerza y otro diferente para determinar el centro de presiones.

2.5.2. FUERZA HIDROSTTICA SOBRE SUPERFICIES CURVAS SUMERGIDAS: COMPONENTES HORIZONTALES Y VERTICALLas componentes de la fuerza hidrosttica sobre una superficie curva sumergida, as como las respectivas lneas de accin, las determinamos utilizando las expresiones que pasamos a deducir a continuacin:

Fig.2.20.Superficie curva sumergidaSean, Cos, Cos, Cos, los cosenos directores de la normal trazada al rea elemental dA, la misma contiene enteramente a la fuerza elemental dF por no existir tensiones cortantes.La fuerza que acta sobre el rea dA se la puede describir:

Donde:

Por lo tanto:

Integrando esta ecuacin para obtener la fuerza total :

(2.26) La ecuacin (2.26), se la puede denotar en forma de tres ecuaciones escalares como sigue:

(2.26.a)

(2.26.b)

(2.26.c)Pero, como se vio antes, dA Cos, dA Cos, dA Cos, son las proyecciones del rea elemental dA sobre planos normales a las direcciones x, y, z, respectivamente.Llamando, a las proyecciones del rea elemental dA sobre los planos normales a las direcciones x, y, z, respectivamente, se tiene entonces:

Y teniendo en cuenta que, P = h, las ecuaciones (2.26) se transforman en:

(2.27.a)

(2.27.b)

(2.27.c)Como es obvio, la proyeccin del centroide del rea elemental dA se proyecta a la misma altura en cualquier plano vertical, por lo que las integrales de las ecuaciones (2.27.a) y (2.27.b) se pueden sustituir por su equivalente utilizando el Teorema de Barignon, esto es:

(2.28.a)

(2.28.b)Las ecuaciones (2.28) ponen de manifiesto, que la componente horizontal de la fuerza hidrosttica sobre una superficie curva sumergida, en una direccin cualquiera, es igual al producto del rea proyectada en un plano normal, a dicha direccin por la presin en el centro de gravedad del rea proyectada. El centro de presiones se determina por cualquiera de los mtodos estudiados, operando slo en el rea proyectada.El problema surge para la determinacin de la componente Fz, ya que existen infinidad de planos horizontales en las cuales se puede proyectar el rea elemental dA, teniendo cada plano diferente presin.Para salvar esta dificultad y evitar posibles errores, a la ecuacin (2.27.c) se puede dar la otra interpretacin fsica, como la siguiente:

Como se puede observar en la figura, la cantidad que aparece dentro de la integral es un elemento de volumen de fluido situado verticalmente por encima de la superficie curva elemental que tiene por rea de base dAz y por altura h, por tal motivo la referida ecuacin se la puede transformar de la manera siguiente:

(2.29)Donde, V es el volumen de fluido ubicado verticalmente por encima de la superficie curva.Entonces, la ecuacin (2.29) indica que la componente vertical de la fuerza hidrosttica sobre una superficie curva sumergida est dada por el peso del lquido situado entre la superficie curva y el plano de la superficie libre (ver figura).

La lnea de accin de la fuerza vertical la podemos determinar mediante el teorema de Barignon aplicado a los ejes (x,y), o sea:

(2.30.a)

(2.30.b)Donde, () son las coordenadas de un punto de la lnea de accin de la componente vertical.Las ecuaciones (2.30) establecen que la lnea de accin de la componente vertical pasa por el centroide del volumen de lquido comprendido entre el plano de superficie libre y la superficie curva sumergida.

Conclusiones1 La componente horizontal de la fuerza hidrosttica sobre una superficie curva sumergida es igual a la fuerza hidrosttica que se ejercera sobre la proyeccin de dicha superficie sobre un plano normal a la direccin considerada. El centro de presiones de esta componente se calcula por cualquiera de los mtodos ya estudiados, para lo cual slo se debe operar con el rea proyectada.2 Como quiera que la proyeccin de una superficie cerrada (un cuerpo cualquiera), sobre un plano vertical cualquiera, es nula, la componente horizontal en cualquier direccin ser siempre mula para dicha superficie cerrada.3 La componente vertical de la fuerza hidrosttica sobre una superficie curva sumergida es igual al peso del lquido situado verticalmente entre la superficie curva y el plano de la superficie libre. La lnea de accin de esta componente pasa por el centroide del volumen real o imaginario comprendido verticalmente entre la superficie curva hasta la superficie real o imaginaria.4 Cuando el lquido est debajo de la superficie curva, basta conocer la presin de un punto de esta superficie para ubicar el plano de superficie libre de un lquido imaginario ubicado encima de la superficie curva. Este lquido imaginario debe ser del mismo peso especfico del lquido real. La componente vertical, en este caso, estar dada por el peso del lquido imaginario situado verticalmente encima de la superficie curva hasta la superficie libre imaginaria y su lnea de accin pasar por el centroide de este mismo volumen pero el sentido de esta componente ser de abajo hacia arriba.

Fig. 2.21. Lguido imaginario sobre la superficie curvaEl plano de superficie libre imaginaria b b se localiza, conociendo la presin en un punto de la superficie curva tal como O, exactamente a una distancia , de tal manera que el producto de la distancia vertical por el peso especfico del fluido imaginario (que es el mismo del lquido real) reproduzca la presin en dicho punto.Si la superficie libre del lquido real a a est expuesta a la atmsfera, el plano de superficie imaginaria b b coincide con la del lquido real.

Este artificio se hace slo con el objeto de calcular, tanto el mdulo de la componente vertical, as como su lnea de accin. Una vez logrado este cometido olvidamos el lquido imaginario. El sentido de la fuerza la da, no la accin del lquido imaginario sino la accin del lquido real (de abajo hacia arriba).Una vez obtenidas las tres componentes y sus respectivas lneas de accin se puede componer la fuerza resultante y su lnea de accin.Ejemplo 2.2. En la figura 2.22 adjunta, determinar la componente vertical de la fuerza hidrottica, as como su lnea de accin sobre el casquete esfrico de radio 3 m.

Fig. 2.22. Recipiente conteniendo lquido a presinSolucin

La presin en el punto S es:

La superficie libre imaginaria estar:

Por encima del punto S.

La componente vertical de la fuerza hidrosttica est dada por el peso del lquido imaginario ubicado verticalmente por encima del casquete hasta la superficie libre imaginaria, o sea:


El sentido es hacia arriba y pasa por el centroide del volumen imaginario ubicado verticalmente encima del casquete, en este caso pasa por el centro O del Casquete.Ejemplo 2.3. La ecuacin de un elipsoide de revolucin, sumergido en agua, es:

El centro del cuerpo est situado dos metros por debajo de la superficie libre. Determine las componentes horizontales y vertical de la fuerza hidrosttica que acta sobre la superficie curva situada en el primer octante. Considere que el plano x-z es horizontal, y es positivo hacia arriba.Solucin

.Fig.2.23. Elipsoide sumergidoEl volumen del elipsoide, es:

Clculo de las componentes horizontales:Para calcular las componentes en la direccin x, encontramos la traza de la superficie en el plano zy, haciendo x = 0 en la ecuacin de la superficie, o sea:

(Elipse)

Luego, la fuerza es:

Para encontrar la componente horizonta , encuentra la traza en el plano xy, haciendo z=0 en la ecuacin de la superficie curva, o sea:

(Circunferencia)Por lo que la fuerza en la direccin z estara dada por:

, remplazando valores:

Componente VerticalPara calcular esta componente encontramos la traza sobre el plano xz, haciendo y = 0

Esta componente es igual al peso del lquido encima de la superficie curva, o sea.

Reemplazandi valores:

Luego:

2.6. APLICACIN DE LAS FUERZAS HIDROSTTICAS EN PROYECTOS DE PRESAS DE GRAVEDAD2.6.1. PRESAS DE GRAVEDADLas presas de gravedad son estructuras hidrulicas que se mantiene en equilibrio, contra el empuje del agua y contra el momento de volteo, por el rozamiento de la junta de cimentacin y por el momento estabilizador de su peso propio. Estas estructuras tienen una seccin transversal triangular, tal como puede observase en la figura, con un paramento vertical o casi vertical aguas arriba. El vrtice del tringulo se sita a la altura mxima que pueda alcanzar el nivel del embalse. Para hacer posible el trnsito se ensancha su cresta disponiendo de las secciones transversales el llamado tringulo de coronacin.

Paramento de aguas arriba

Fig. 2.24. Esquema de la seccin transversal de una presa de gravedadBreves Comentarios referentes a una Presa de Gravedad

Fuerzas actuantes y reaccionantes en una represa de gravedad

En una presa de gravedad actan las fuerzas siguientes:

Fuerza hidrosttica, que acta en el parmetro de aguas arriba. El peso de la presa, por unidad de longitud, actuando en el centro de gravedad de la seccin transversal del cuarpo.

La reaccin del subsuelo que acta en la junta de apoyo de la base de la presa.

La fuerza debida a la subpresin del agua infiltrada que acta en la junta de apoyo de la base y que acta hacia arriba.Estudio del subsuelo y preparacin de la base de cimentacinLas presas de gravedad se construyen nicamente sobre roca firme que se pueda impermeabilizar lo suficientemente.El conocimiento de la naturaleza de la roca se logra a base de los resultados de la excavacin de zanjas y de perforaciones, estas perforaciones se aprovechan ms tarde para efectuar inyecciones de cemento requeridas para la impermeabilizacin y consolidacin de la roca. Algunas de las perforaciones alcanzan profundidades de hasta 40 y 60 m en la roca.La capa de terreno que recubre la roca hay que excavarla, tambin toda roca descompuesta, hasta llegar a una capa resistente. Para evitar corrimientos o desplazamientos horizontales en la junta se cimentacin, se hacen en ella dientes gruesos con una profundidad de algunos metros en la roca. Las capas de roca horizontal o con pendiente hacia aguas abajo no son convenientes para la fundacin por existir el peligro de deslizamiento de la presa junto con la capa de roca que le sirve de apoyo.La investigacin geolgica reviste especial importancia y tiene que extenderse a toda la extensin que ocupar el embalse para poder asegurar que no va a existir fugas inconvenientes de agua.Estuio de la subpresin y forma de controlarlaEn la roca natural siempre existen grietas y fallas, las que aumentan al hacer las detonaciones de dinamita que requiere la excavacin hasta llegar a la junta de cimentacin. A travs de estas grietas el agua procedente del embalse ingresa y llega hasta la junta de cimentacin, esta presin que hace el agua en la base de la estructura origina un momento de volteo o de vuelco con respecto al pie del lado de aguas abajo, el que incrementa el momento de vuelco originado por el agua del embalse; de ah que las fuerzas debidas a la subpresin debe siempre ser tenidos en cuenta en todo diseo.La infiltracin del agua procedente del embalse puede impedirse, en parte, que llegue a la junta de cimentacin por medio de una impermeabilizacin de las grietas y fallas de la roca. Adems, colocando en la junta de cimentacin un sistema de desage o drenaje se puede conseguir que el agua que a pesar de las impermeabilizaciones se filtra, no alcance altas presiones que acten en la base de la estructura.Experiencias han demostrado que son eficaces las inyecciones de cemento en la roca para reducir las subpresiones, con la cual se consigue que el valor de la subpresin en el pie de lado de aguas arriba sea solo una fraccin de la presin hidrosttica en ese punto, debido a que tales inyecciones obligan al agua a recorrer un largo trayecto a travs de la roca hasta llegar a la junta de fundacin donde las presiones son menores debido a importantes prdidas de energa piezomtrica. La cortina de inyeccin debe colocarse lo ms cerca posible del paramento de aguas arriba.La reglamentacin alemana para la construccin y utilizacin de presas recomienda considerar una subpresin en el pie del paramento de aguas arriba igual a la corresponde a la presin hidrosttica, disminuyendo luego linealmente hasta la presin hidrosttica correspondiente a la altura de nivel de aguas debajo de la presa. Al mismo tiempo la reglamentacin autoriza una reduccin, al suponer la accin de la sub-presin solamente en la parte de la junta de cimentacin. Si se impide cuidadosamente la infiltracin hasta la junta de cimentacin se puede admitir las siguientes disminuciones de la sub-presin.

En el caso de buenas condiciones naturales de la roca del suelo:

En el caso de condiciones naturales medias:

En el caso de condiciones naturales eficientes:

Esta reduccin significa que, al calcular las sub-presiones tomando toda la junta de cimentacin, hay que adoptar solamente la fraccin de su valor tericoLa impermeabilidad de la roca bajo la junta de cimentacin de una presa se efecta por inyecciones de lechada de cemento, en perforaciones. En vez de lechada de cemento se puede tambin inyectar una emulsin asfltica o soluciones qumicas.

La impermeabilidad se realiza en dos zonas de distinta profundidad: una superficial, hasta una profundidad de 6 a 8 m y otra que alcance hasta de 40 a 60 m.

La inyeccin de lechada de cemento se realiza en una capa superficial con presiones de hasta ; en las perforaciones profundas, con presiones de hasta ; las inyecciones se realizan en trozos de 2 a 10 m de largo, progresivamente de abajo hacia arriba.

Las caractersticas del material inyectable es muy difcil de prever.

Las inyecciones para impermeabilizacin solamente son tiles si estn cerca de la cara a paramento de aguas arriba de la presa; se practican a distancias de 2 a 3 m, en una fila, y muy cerca del lado de aguas arriba, a gran profundidad.

El desage de la junta de cimentacin tiene por objeto evacuar hacia el lado de aguas abajo el agua que se infiltra a pesar de la impermeabilizacin de la roca. Este desage se puede realizar por tubos verticales que van desde la galera de inspeccin hasta la junta de cimentacin o que penetran incluso en la roca, y tambin mediante tubos perforadost colocados en la misma junta de cimentacin, que desaguan a superficie libre en una fosa colectora en el lado de aguas abajo de la presa.Seccin transversal de una represa de gravedadLa seccin transversal de una presa de gravedad est formada por el tringulo fundamental y el tringulo de coronacin. El ancho de la coronacin se adapta a las necesidades de trfico y mide ordinariamente de 4 a 6 m, de acuerdo a su uso.

El paramento de aguas arriba se construye, hasta alturas de 50 m, por lo regular este paramento es vertical. Tratndose de alturas mayores se debe dar un talud hacia aguas arriba de tal modo que el ngulo entre, el paramento de aguas arriba y el plano horizontal sea menor de 90.Las presas de gravedad se construyen siempre con hormign. Los paramentos de aguas arriba y aguas abajo del dique o muro se protegen, en la mayor parte de veces, con mezclas ms ricas en cemento; en el lado de aguas arriba para impermeabilizarlo, y en el lado opuesto, para hacerlo ms resistente contra la accin de los agentes atmosfricos (intemperismo). El lado de aguas arriba suele llevar adems un drenaje vertical.

Juntas de dilatacin en las presas de gravedadDebido a la retraccin del fraguado y a la irradiacin del calor, especialmente en invierno, se produce una disminucin de la longitud del dique de la presa. Estas variaciones de la longitud del dique encuentran resistencia debido a que la presa queda fija en la junta de cimentacin, producindose tracciones y finalmente grietas.

Para impedir la formacin de estas grietas se coloca juntas de dilatacin verticales impermeabilizadas. La distancia entre juntas se elige tanto ms pequea cuanta ms rica en cemento es la mezcla y lo ms importante son las diferencias de temperatura que se prevn. En las presas de hormign recin construidas la relacin entre la altura H de la presa y la distancia L entre juntas se encuentra entre los lmites:

El menor valor corresponde a las presas ms altas, y viciversa.

ESTUDIO ESTTICO DE LA SECCIN TRANSVERSAL

Para estudiar la distribucin de esfuerzos en la seccin de una presa de gravedad se toma un tramo de sta limitado por dos secciones separadas 1 m entre s. En este tramo actan las fuerzas que se indica en la figura siguiente:

Figura 2.25. Diagrama de cuerpo libre de la superestructura de una represa

= empuje hidrosttico horizontal =

= peso propio de la estructura =

= empuje ascensional =

Donde y son los pesos especficos del agua y del concreto, respectivamente.Tomando momentos respecto a 0, (pie de aguas abajo), tenemos:

(2.31)Los esfuerzos en la junta de cimentacin (reaccin del terreno de fundacin) no hace falta tenerla en cuenta, ya que su resultante, que est dirigida en sentido opuesto a R, pasa por el punto 0.

El ancho de la junta de cimentacin se calcula despejando de la ecuacin, o sea:

(2.31.a)Para una presa con paramento de aguas arriba vertical de altura , la accin de la sub-presin, con distribucin triangular y con un valor de en el pie de aguas arriba equivale a una disminucin del peso especfico de la presa en , siendo el peso especfico del agua. Para elegir la seccin transversal de una presa con paramento mojado vertical, se recomienda usar los siguientes coeficientes :

PESO ESPECFICO DEL HORMIGN

COEFICIENTE

2 0000.750.770.79

2 1000.730.750.77

2 2000.710.730.75

2 3000.640.710.73

2 4000.680.690.71

2 5000.660.680.69

Tabla 2.1. Coeficientes para estimar la seccin inicialmente la seccin del diqueSi la altura del muro supera los 50 m, con embalse o vaso vaco, las compresiones en el pie del lado de aguas arriba son tan grandes que es necesario reforzar su estructura. Se adopta entonces para el muro un ngulo de menor de 90 (vase figura).

En la seccin de la presa adoptada se deber comprobar lo siguiente:1 Que en ningn lugar se presentarn esfuerzos de traccin, es decir, que la seccin deber trabajar ntegramente a la compresin ya que el concreto resiste altos esfuerzos de compresin pero no as esfuerzos de traccin (los esfuerzos de traccin admisibles son apenas del orden de 10 % de los de compresin, aproximadamente).

2 Que las presiones o esfuerzos admisibles sobre la fundacin no sean excedidos, por que la estructura fallar por hundimiento.

3 Que habr seguridad contra los deslizamientos, de lo contrario se presentar la falla por esta causa (falla por deslizamiento o desplazamiento).

(REVISADO HASTA AQUI)

Fig2.26. Estudio esttico de la seccin transversalSea , el esfuerzo de compresin en un plano horizontal del dique, a una profundidad y, respecto a la superficie libre. La Fig.2.26, representa la seccin adoptada para el muro de una presa cuya altura es mayor de 50 m; en cada uno de los dos paramentos se supone aislado un prisma elemental de seccin triangular y de longitud unidad. En las superficies de estos elementos de la presa actan las fuerzas indicadas en el diagrama del cuerpo libre de la figura siguiente:

Figura 2.27. Diagrama del cuerpo libre en los parmetros de una presa de gravedadFig.2.23.Diagrama de cuerpo libre de los paramentos de una presa de gravedada) Paramento de aguas arribab) Paramento de aguas abajo

Estableciendo el equilibrio del elemento del lado del paramento de aguas abajo:

2.24

Donde:

2.24.a

2.25

De donde:

2.25.a

Reemplazando 2.25.a en 2.24.a:

2.26

Estableciendo el equilibrio del elemento de aguas arriba

2.27

De donde:

2.27.a

2.28

De donde:

2.28.a

Reemplazando 2.28.a en 2.27.a se tiene:

2.29

Las tensiones y en el borde se pueden determinar, en secciones horizontales, deducindolas de las fuerzas exteriores, y a continuacin se pueden calcular las tensiones y , y mediante las ecuaciones antes deducidas.

Las tensiones , y a lo largo de una seccin tienen una distribucin lineal, como lo indica la figura 2.25 en un punto de la seccin transversal, de corrdenadas x y y existen entonces las tensiones:

2.30

2.31

2.32

Las dos tensiones principales y su direccin se determinan grficamente con suma sencillez empleando el crculo de MOHR.

La comprobacin de las tensiones en secciones horizontales de la presa se realiza preferentemente en forma grfica, para cuyo efecto la seccin transversal de la presa de divide por medio de secciones horizontales a distancia de 5 m, y para cada seccin se buscan las resultantes, para vaso vaco y para vaso lleno, de todas las fuerzas que actan encima. La unin de los puntos de interseccin de las resultantes con las secciones horizontales se llama lnea de presiones, y tienen que hallarse siempre dentro del tercio central para asegurar que no existan tracciones.

La comprobacin de las tensiones de los bordes y se efecta tambin grficamente segn el esquema mostrado a continuacin.

= Resultante vertical

= Ancho del dique

= Esfuerzo promedio

Figura 2.28. Esquema que muestra el clculo, en forma grfica, de los esfuerzos de compresinEl mximo y el mnimo esfuerzo de compresin en cualquier seccin horizontal y tambin en la junta de cimentacin se calculan a partir de las fuerzas actuantes sobre la parte de presa arriba de dicha seccin o sobre toda la presa tratndose de los esfuerzos sobre la base o junta de cimentacin de la misma.

Ejemplo 2.3. La figura adjunta muestra la seccin transversal de una presa de gravedad de hormign, cuyo peso especfico es de 2 500 Kg/m3. Determinar el mximo y mnimo esfuerzo de compresin sobre la junta de cimentacin y graficar los esfuerzos del terreno de fundacin.

Debido a las deficientes condiciones naturales de la roca del subsuelo se ha tenido que impermeabilizar cuidadosamente mediante inyecciones de lechada de cemento para impedir la infiltracin del agua hasta la junta de cimentacin.

Figura 2.29. Presa de gravedadSolucin:

De acuerdo con la ecuacin 2.23.a y teniendo en cuenta las consideraciones estudiadas antes se tiene que por lo tanto (ver tabla 2.1)

Digamos:

Observando el diagrama del cuerpo libre, las fuerzas que actan en la presa son:

1. El peso especfico W de la estructura dado por el peso del hormign; este peso es:

2. La fuerza debida a la presin del agua o empuje horizontal, esta fuerza es:

3. El empuje ascensional hidrosttico , es la fuerza debida a las subpresiones que hace el agua infiltrada sobre la junta de cimentacin.

Para el caso de presas de gravedad cimentadas sobre roca en condiciones naturales deficientes, pero que se ha impedido cuidadosamente la infiltracin del agua hasta la junta de cimentacin, de acuerdo con lo recomendado anteriormente y para estas condiciones del problema se tiene que:

Luego:

4. Fuerza debida a las presiones de la fundacin

Figura 2.30. Diagrama de cuerpo libre de la presa

= Resultante de las subpresiones o empuje ascensional hidrosttico

= Resultante de las presiones hidrostticas horizontales

= Resultante del peso propio del hormign

= Resultante de las condiciones sobre la junta de cimentacin

= Fuerza cortante desarrollada en la junta de cimentacin

Estableciendo el equilibrio, tenemos:

Donde:

El punto de aplicacin de debe ser tal, que la estructura se encuentre en equilibrio. Tomando momentos respecto a 0:

Reemplazando valores y despejando x:

(La resultante vertical pasa a una distancia de 20.93 m del pie de aguas arriba)

La resultante de las compresiones sobre la junta de cimentacin, segn el diagrama del cuerpo libre es:


(1)

Aplicando el teorema de Barignon al mismo prisma de presiones, respecto al punto 0:

(2)

De (1) y (2):

O tambin:

Cuando la resultante cae en el tercio central de la junta de cimentacin es un esfuerzo de compresin. Debido a que el hormign no debe trabajar a la traccin de un buen proyecto de presa de gravedad la resultante debe caer en el tercio central de la base para asegurar que trabaja ntegramente a la compresin. A continuacin se muestra la obtencin grfica de los esfuerzos de compresin y

Figura 2.31. Determinacin grfica de los esfuerzos de compresion

Una presa de gravedad mal proyectada es posible que falle por lo siguiente:

1. Porque las compresiones o esfuerzos admisibles sobre la junta de cimentacin han sido excedidos y la falla de la estructura es por hundimiento.

a. Antes de la falla

b. Falla por hundimiento

Figuras 2.32. Xxxxxxxxxxx2. Porque el esfuerzo cortante admisible en la junta de cimentacin ha sido excedido debido al gran empuje horizontal hidrosttico y se dice que la falla es por deslizamiento


b. Falla por deslizamientoFiguras 2.33. Xxxxxxxxxxx

b. Porque el momento de volteo es muy superior al momento equilibrante, es decir, que la resultante cae en el ltimo tercio de la base aguas abajo. Esta falla se produce por la aparicin de esfuerzos de traccin en el pie de aguas arriba fallando la estructura primero por traccin y luego por volteo


b. Falla por volteoFiguras 2.34. Xxxxxxxxxxx

2.7. FUERZA HIDROSTTICA SOBRE CUERPOS SUMERGIDOS Y CENTRO DE EMPUJE

2.7.1. PRINCIPIO DE ARQUMIDES

Este principio establece que todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical ascendente igual al peso del fluido desalojado. El punto de aplicacin de dicho empuje coincide con el centroide del volumen desalojado, llamndosele a este punto centro de empuje o carena.

Para demostrar este principio tenemos un cuerpo de cualisquier forma, el volumen con un volumen sumergido en un determinado lqudo de peso especfico .

Figuras 2.35. Xxxxxxxxxxx

La fuerza elemental dF que acta en el elemento de rea dA tiene componentes horizontales y verticales.

Tenemos la direccin horizontal arbitraria n y encontrentemos la resultante hidrosttica dFn en esta en esta direccin considerando el volumen elemental orientado en la misma direccin; se tienen entonces:

, Considerando:

Pero en la figura se observa que: , donde:

y son las proyecciones de las reas elementales en planos verticales normales a n.

Por consiguiente:

2.32

De lo cual podemos sacar como conclusin que la componente hidrosttica sobre un cuerpo sumergido, en una direccin horizontal cualquiera n es siempre nula; lo que quiere decir que la resultante hidrosttica sobre un cuerpo sumergido es siempre vertical. Esta resultante llamada empuje la podemos calcular determinando la componenre vertical de la fuerza elemental dF sobre el rea infinitesimal dA; componente que es igual al peso del lquido real o imaginario situado por encima de la superficie curva, o sea:

Integrando:

De la figura observamos que la cantidad que aparece entre la integral es un volumen elemental sumergido , esto es:

2.33

Esta ecuacin establece que el empuje hidrosttico, sobre un cuerpo sumergido, es igual al peso del volumen del fluidodesalojado por el cuerpo y est dirigido siempre hacia arriba.

El centro de empuje o carena la determinamos mediante el teorema de Barignon aplicado con respecto a los ejes coordinados, es decir:

2.34.a

En forma semejante podemos escribir:

2.34.b

2.34.c

Las ecuaciones 2.34 indican que el centro de empuje dado por las cooordenadas , , coincide con el centroide del volumen del fluido desplazado.

Si el cuerpo est sumergido totalmente, el volumen sumergido coincide con el volumen del cuerpo y el centro de empuje coincide con el centro de gravedad del cuerpo.

2.7.2. LEYES DE FLOTACIN

Un cuerpo sumergido en un lquido puede adoptar las posiciones relativas siguientes:

1.Flotar parcialmente sumergido en la superficie libre; esto sucede cuando el peso especfico del lquido es mayor que el del cuerpo.

2.Ir hacia el fondo, cuado el peso especfico del cuerpo es mayor que el lquido.

3.Quedar esttico completamente sumergido a cierta profundidad, en donde el empuje equilibra al peso del cuerpo. Este echo nos est demostrando la variacin del peso especfico con la profundidad, puesto que:


Donde:

Empuje

=Volumen del cuerpo = Cosntante

=

Peso del cuerpo = Constante

El nico parmetro que puede variar, entonces, es el peso especfico del lquido.

Cuando:

E > W= El cuerpo va hacia la superficie libre

W < E = El cuerpo va hacia el fondo, pero puede quedar esttico a cierta profundidad, donde el peso especfico del liquido precisamente ha alcanzado un valor tal que equilibra al empuje.Pesando un objeto de la forma ms caprichosa, suspendido por un hilo, sumergido en dos fluidos diferentes se tienen suficientes datos como para determinar su peso, volumen, peso especfico y densidad relativa.


Sean: y los pesos aparentes de los cuerpos en los fluidos de pesos especficos y y y los empujes hidrostticos. De las condiciones de equilibrio esttico tenemos:

1

2

Eliminando W de entre las ecuaciones (1) y (2) y teniendo en cuenta que , se tiene:

De donde:

2.35

Reemplazando la ecuacin 2.35 en (1:):

2.36

2.8. CONDICIONES Y EQUILIBRIO DE LOS CUERPOS SUMERGIDOS Y FLOTANTES

Cuando a un cuerpo se le abandona libremente en el seno de un fluido en reposo indica inmediatamente un movimiento ascendente si el peso especfico del cuerpo es menor que el del lquido; o entra en equilibrio esttico si ambos pesos especficos son iguales.

Tratndose de lquidos, el cuerpo puede quedar en equilibrio esttico a cierta profundidad, por debajo de la superficie libre, y se dice que el cuerpo est sumergido. El equilibrio esttico de los cuerpos sumergidos (el peso igual al empuje) demuestra que el peso especfico de los lquidos no es constante, sino que vara con la profundidad aumentando con ella, esta variacin es ms notoria tratndose de grandes profundidades.

El cuerpo va hacia abajo, hasta parar en el fondo, cuando el peso de dicho cuerpo supera en todo momento al empuje del mismo, es decir, que siempre existe el equlibrio de fuerzas verticales y el cuerpo estra en equilibrio por la contribucin de la reaccin de fondo (en este equilibrio el peso no es igual al empuje).

El cuerpo va hacia arriba, hasta alcanzar la superficie libre, si en todo instante el empuje supera al peso. Al alcanzar la superficie libre el peso logra equilibrar al empuje debido a que este ltimo se ha visto disminuido porque parte del volumen de dicho cuerpo ha emergido; a este estado de equilibrio de los cuerpos se llama equilibrio de los cuerpos fltantes.2.8.1. EQUILIBRIO DE LOS CUERPOS SUMERGIDOS

Cuando un cuerpo est sumergido completamente y el empuje equilibra al peso pueden presentarse cualquiera de los tres tipos de equilibrio siguientes:

a. Equilibrio estable. Un cuerpo sumergido es rotacionalmente estable cuando su centro de gravedad est por debajo del centro de empuje. Cuando el cuerpo se gira, por ejemplo, en el sentido de las agujas del reloj, la fuerza de empuje y el peso originan un par restaurador en el sentido anti horario que tiende a llevar al cuerpo a su posicin original de equilibrio estable, es decir, que mientras el cuerpo est en equilibrio estable el peso y el empuje son colineables y dejan de serlo cuando dicho cuerpo se gira, rendose un par reaccionante que es proporcional al desplazamiento angular .


Equilibrio estable:

Las figuras 2.36 representan al equilibrio estable de los cuerpos sumergidos.

Donde:

E = Empuje hidroesttico

W = Peso del cuerpo que flota

= Peso especfico de la porcin 2 del cuerpo



b. Rquilibrio Inestable. Cuando el centro de gravedad C est alto, es decir, por encima del centro de empuje B Cualquier fuerza lateral perturbadora origina un par de volteo que lleva al cuerpo a la posicin de equilibrio estable


Donde:

W = Peso del cuerpo

E = Empuje hidrosttico



= Volumen del cuerpo

= Peso especfico del lquido

a. Xxxxxxxxxxxxxxxxx

b.Xxxxxxxxxxxxxxxxx


Una particularidad del equilibrio de los cuerpos sumergidos es que como el centro de masas no cambia y tambin no cambia la forma del volumen sumergido, por lo que los puntos de aplicacin del peso y del empuje permanecen cosntantes (co cambian). El par restaurador o de volteo se forma porque el peso y el empuje dejan de ser colineales.

c. Equilibrio Indiferente. Cuando el centro de gravedad G coincide con el centro de empuje B, lo cual ocurre cuando el cuerpo tiene una densidad homognea o densidades diferentes, pero simtricamente distribuidas alrededor de un punto o eje. Cualquier accin perturbadora origina una rotacin constante del cuerpo, cuya velocidad es directamente proporcional a la magnitud de la causa y dura mientras dura dicha accin. No existe par restaurador ni de volteo, el peso y el empuje permanecen colineales en cualquier posicin del cuerpo


a. Xxxxxxxxxxxxxxxxx

b.Xxxxxxxxxxxxxxxxx


En el equilibrio de los cuerpos sumergidos, el volumen del cuerpo coincide con el volumen sumergido.

2.8.2. EQUILIBRIO DE LOS CUERPOS FLOTANTES O PARCIALMENTE SUMERGIDOS

Los cuerpos flotantes. Al igual que los sumergidos pueden adoptar los 3 tipos de equilibio siguiente:

a).- Equilibio Estable. Cuando el centro de gravedad est por debajo del centro de empuje. Cualquier giro del cuerpo origina el par restaurador o de restitucin que lleva al cuerpo a su posicin original de equilibrio, es decir, un par de sentido contrario al que provoc el giro.

El equilibrio estable de un cuerpo flotante slo se diferencia del equilibrio estable del cuerpo sumergido en que mientras el primero el volumen del cuerpo es mayor que el volumen sumergido, en el segundo ambos volmenes coinciden, este hecho permite en el cuerpo flotante que el volumen sumergido cambie la forma cuando gira a dicho cuerpo, por lo que el centro de empuje tambin cambia respecto a su posicin original.

b).-Equilibrio Inestable. Al igual que un cuerpo sumergido un cuerpo flotante est en equilibrio inestable cuandoglota con su centro de gravedad por encima de su centro de empuje. Cuando se le desplaza rotacionalmente de su posicin de equilibrio se crea en el cuerpo un momento de volteo que origina el vuelco brusco (zozobra), el mismo que sepus ya no recupera su posicin original sino que pasa a ocupar su posicin estable. La diferencia entre equilibrio inestable de un cuerpo sumergido y de un cuerpo flotante est en que en ltimo el volumen sumergido esmenor que el volumen del cuerpo por lo que al girrselo, la forma del volumen sumergido cambia y entonces el centro de empuje sufre un corrivimiento respecto a su posicin original.

c).- Equilibrio Indiferente. Cuando el empuje y el paso son siempre colineales en cualquier posicin que adopte el cuerpo flotante. La diferencia entre el equilibrio indiferente de un cuerpo sumergido y el de un flotante es clara: para que un cuerpo sumergido tenga equilibrio indiferente basta que cuerpo ntenga una densidad, uniforme, es decir, una misma densidad; mientras que para que el cuerpo flotante tenga este mismo tipo de equilibrio es necesario que adems de tener la misma densidad. La masa del cuerpo debe estar simtricamente dispuesta respecto a un eje o punto, de tal manera que la forma del volumen sumergido no cambie (es el caso de una esfera o un cilindro flotante con su eje horizontal) en cualquier posicin. Ademas en el equilibrio indiferente de los cuerpos flotantes en el centro de empuje no necesariamente coincide con el de gravedad, pero siempre se encuentra en una misma lnea recta vertical.

Hay que destinguir muy bien entre una estabilidad lineal y una rotacionla: La primera se refiere a que a que un desplazamiento vertical hacia debajo de un cuerpo flotante, a partir de su posicin de equilibrio, crea en el cuerpo una fuerza desequilibrada hacia arriba llamada fuerza restauradora o de restitucin que es capaz de llevar al cuerpo a su posicin original de equilibrio despus de una serie de vibraciones lineales amortiguadas.

En cambio la estabilidad rotacional se refiere a que un desplazamiento angular (un giro) del cuerpo flotante crea en dicho cuerpo un par restaurador, de sentido contario, capaz de llevar al cuerpo a su posicin original de equilibrio despus de una serie de vibraciones rotacionales amortiguadas.

(a) (b) (c)Figuras 2.44. Xxxxxxxxxxx

(a)Equilibrio estable

(b)Equilibrio inestable(c)Equilibrio indiferente

Las figuras 2.44 representan los tipos de equilibrio de los cuerpos flotantes o parcialmente sumergidos. 2.8.3. ESTABLIDAD ROTACIONAL DE LOS CUERPOS FLOTANTES

Tal como se dijera antes, un cuerpo flota en equilibrio estable cuando su centro de gravedad queda debajo del centro de empuje. Sin embargo, ciertos cuerpos pueden estar en equilibrio estable flotando con su centro de gravedad encima del centro de empuje si es que se cumplen las condiciones que se analizan enseguida.

Este tipo de equilibrio la poseen generalmente los barcos, siendo un gran inters para la ingeniera naval. Cuando el cuerpo est en equilibrio, el empuje y el peso son colineales, estas fuerzas que actan en el centro de gravedad y el centro de empuje o carena, respectivamente, son iguales y de sentido contrario.

Cuando, por alguna causa, el cuerpo se inclina un ngulo el empuje se desplaza de su posicin original crendoseun par restaurador debido a que una cua onergo y otra de igual volumen se sumerge por poseer el cuerpo un plano de simetra.


Como quiera que el peso W no ha cambiado ni en magnitud ni en posicin, el empuje E en cambio si bien es cierto que no ha variado en magnitud, pero ha cambiado de posicin de B a B, originado un momento el mismo que debe ser equivalente al par debido al cua que emerge y a la que se sumerge (ver fig. 2. 40)

(1)

El par , se la obtiene tomando momentos respecto 0:

Se ha supuesto que los giros son pequeos.

La integral representa el momento de inercia, respecto al eje , de la seccin recta con la que la superficie lire corta al cuerpo, osea:

(2)

Reemplaza (2) en (1) y teniendo en cuenta que W=E se tiene:

(3)

Donde:

Por lo que:

(4)

Llamado al volumen sumergido y al peso especfico del lquido se tiene:

, y luego a ecuacin (4) queda:

(5)

Adems de la figura se observa que , de donde:

(6)

Al punto Mque es la interseccin de la lnea de accin del empuje con el eje de simetra Z se le llama METACENTRO y a la distancia entre el centro de gravedad y el metacentro se llama distancia metacntrica; igualmente al punto B se le denomina centro de empuje, centro de presiones o carena.

Si el centroide G lo hihisemos tomando debajo del centro de empuje B, la expresin a la que se llegara es:

(7)

Por lo consiguiente las ecuaciones (6) y (7) las podemos reunir en una sola.

2.37

Donde el signo (-) se usa cuando el centro de gravedad est por encima del centro de empuje y el signo (+) cuando el centro de gravedad G est debajo del centro de empuje B.

Por otro lado, el cuerpo flotante puede girar alrededor del eje longitudinal y llammdosele a este movimiento BALANCEO y cuando la rotacin se produce alrededor del eje transversal x se llama CABECEO. Por esta razn la ecuacin 2.37 se emplea para el balanceo, en cambio para el cabeceo se usa:

2.38

Donde es el momento de inercia, respecto al eje , de la seccin recta del cuerpo cortado por el plano de superficie libre.

En conclusin, un cuerpo q flota con su ncentro de empuje B por debajo de su centro de gravedad G puede tener las siguientes clases de equilibrio:

a) Equilibrio Estable. Cuando el metacentro M est por encima del centro de gravedad G. .

b) Equilibrio Inestable. Cuando el metacentro M queda por debajo del centro de gravedad G .

c) Equilibrio Inidferente. Cuando el centro de gravedad G coincide con el metacentro M.

Adems en la figura se obserava que el par restaurador debido al balanceo o cabeceo est dado por:

2.392.9. MOVIMIENTO DE MASAS LQUIDAS:

REPOSO O EQUILIBRIO RELATIVO

La variacin de la presin en el seno de un fluido en reposo absoluto es fcil de determinar debido a la ausencia de las tensiones cortantes. Cuando un fluido se mueve con velocidad constante, tal es el caso del movimiento de fluidos contenidos en un recipiente uniformemente acelerado, las tensiones cortantes tambin son nulas debido a que no hay desplazamientos relativos entre capas del fluido. En este caso, la variacin de la presin sigue tambin las leyes de la Esttica de Fluidos y se dice que el fluido se encuentra en reposo relativo.

Pueden presentarse 2 casos: cuando el resipiente que contiene el fluido est sometido a una aceleracin lineal uniforme o cuando se somete a una rotacin uniforme alrededor de un eje.2.9.1. FLUIDO SOMETIDO A UNA ACELERACIN UNIFORME

Consideremos el movimiento plano del recipiente de la figura que contiene un lquido y que est sometido a una acelerancion constante.

Reposo Absoluto

Reposo Relativo


Para el moviemineto plano, el vector aceleracin es:

(1)

Debido a que no existen tensiones de cortadura en el ceno de un fluido en reposo relativo, debe cumplirse la ecacuin bsica de la esttica de los fluidos deducida antes, es decir:

(2)

Refiriendo el movimiento al sistema coordenado xy tenemos:

(a)

(b)

Donde es la gravedad efectiva.

Reemplazando (a) y (b) en la ecuacin (2)

(3)

De lo cual se deduce que:

2.40.a

2.40.b

2.40.c

Las ecuaciones 40 dan la variacin de la presin en los 3 ejes coordenados: la tercera de estas ecuaciones indica que la presin es constate a lo largo del eje horizontal z.

Tambin segn estas mismas ecuaciones, los planos equipotenciales son paralelos al plano inclinado de superficie libre. Esta inclinacin se puede determinar dividiendo miembro a miembro las ecuaciones 2.40.a y 2.40.b:

2.41

La pendiente de la lnea de accin de la gravedad efectiva , como se observa en la figura es:

2.42

Observando las ecuaciones 2.41 y 2.42 podemos concluir que la gravedad efectiva es perpendicular al plano de superficie libre y por tanto a todos los planos equipotenciales.

Integrando las dos primeras ecuaciones 2.40 y 2.41 se tiene la variacin de la presin en las dos direcciones x y Y.


Integrando:

, luego

2.43

De igual manera para el eje Y se tiene:

Realizando la integral y reemplazando lmites:

2.44

es la presin en el origen del sistema coordenado.

La ecuacin 2.44 da la variacin de presin en la pared posterior del recipiente. Ambas ecuaciones ponen de manifiesto que la presin decrece con la direccin positiva de los ejes coordenados.

Eligiendo un sistema coordenado de referencia adecuado, tal como el sistema mostrado x y z, se puede reducir el problema al caso en que la presin vare en una sla direccin y de acuerdo con las ecuaciones de la esttica se tiene:

2.45.a

2.45.b

2.45.c

Las dos primeras ecuaciones indican que los planos equipotenciales son paralelos al plano x y z, la tercera, que la presin slo vara en la direccin normal al plano x z, es decir en la direccin de la gravedad efectiva.

2.46

En esta ecuacin p es la presin a una profundidad y a partir de la superficie libre, medida en la direccin y; es la presin en la superficie libre, que de estar expuesta a la atmsfera es la presin atmosfrica local; es la densidad del fluido; es el mdulo de la gravedad efectiva:

y es la profundidad respecto a la superficie libre y medida normalmente a sta.

2.9.2. FLUIDO SOMETIDO A UNA ROTACIN UNIFORME

Cuando un fludo est contenido en un recipiente al cual se le somete a una rotacin uniforme (velocidad angular constante), todas las partculas lquidas giran con la misma velocidad angular y no existen tensiones cortantes entre las capas del fluido, es decir, que el movimiento es similar al de un slido rgido girando alrededor de un eje. A este movimiento del fluido se le llama Vortice Forzado.

Si no existen tensiones cortantes en el seno del fluido, deben cumplirse las leyes del equilibrio esttico de los fluidos, es decir:


(1)

El gradiente de la presin expresado en el sistema de coordenadas adoptado es:

(2)

Asi mismo:

(3)

El vector aceleracin la obtenemos a partir del campo de velocidades.

(4)

Donde es la velocidad tangencial a la que estn sometidas todas las partculas que distan del eje z una distancia r y v es la respectiva celeridad tangencial.

El campo de aceleraciones la obtenemos a partir de la ecuacin (4), teniendo en cuenta que:

(5)

Adems

(a)

(b)

Luego la ecuacin (4) queda.

(6)

Para el movimiento circular uniforme la velocidad angular w es constante, luego al derivar la ecuacin (a) resulta:

Pero si el cuerpo se mueve como un sldo rgido, no existen desplazamientos de las partculas en la direccin radial, par lo que: , y

Por consiguiente el campo de aceleraciones, para una rotacin uniforme, segn la ecuacin (6), es:

(7)

Reemplazando (2), (3) y (7) en (1):

2.47

Esta ecuacin se la puede escribir en forma de 3 ecuaciones escalares:

2.48.a

2.48.b

2.48.c

Las ecuaciones muestran que la presin slo vara en las direcciones r y z permaneciendo constante en la direccin .

La pendiente de la superficie libre y por lo tanto la pendiente de las superficies equipotenciales se obtiene dividiendo miembro a miembro las ecuaciones 2.48.a y 2.48.c


De la figura tambin se observa que la pendiente de la lnea de accin de la gravedad efectiva es:

2.50

Esto imoplica que la gravedad efectiva es perpendicular a los planos equipotenciales.

Integrando las ecuaciones 2.48.a y 2.48.c se obtiene de la presin en las direcciones r y z, respectivamente.

(En la direccin r)

2.51

(en la direccin z)

2.52

Estas ltimas ecuaciones indican que la presin aumenta en la direccin positiva del eje r y disminuye en la direccin positiva del eje z o lo que es lo mismo aumenta con la profundidad en una misma vertical de igual manera como lo hace un lquido en reposo absoluto.

La ecuacin de la traza de las superficies equipotenciales, en el plano z-r, la podemos obtener integrando la ecuacin 2.49

Integrando

2.49.a

Donde C es una constante integracin que se determina teniendo en cuenta que para:

Por consiguiente C = 0

De esta forma la ecuacin de la traza, de los planos equipotenciales, es:

2.49.b

Esta ecuacin pone de manifiesto que, siendo las trazas en los planos z-r parbolas de segundo grado, la superficie libre as como las equipotenciales son paraboloidas de revolucin.

Si el eje r se hace coincidir con el vrtice del parabolico de la superficie libre, las ecuaciones 2.51 y 2.52 quedan:

2.51.a

2.52.b

Donde h es la profundidad del punto respecto a la superficie libre.

La presin en un punto, a una profundidad h por debajo de la superficie libre, en columna de lquidos y sobre un plano horizontal que pasa por el vrtice de la superficie libre es:

2.51.b

Caso de Fludos Confinados o sin Superficie Libre en Reposo Relativo

Si un fluido no tiene superficie libre porque est confinado en un recipiente, ya sea que se trate de una aceleracin lineal uniforme o de una rotacin uniforme, se ubica una superficie libre imaginaria, aplicndose luedo las mismas ecuaciones deducidas que para el caso de superficies libres.


EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Estática de los fluidos.doc

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