Este avión es usado por la NASA para · Movimiento en dos dimensiones Tés del capítulo 4.1 Los...

Este avión es usado por la NASA para entrenar astronautas. Cuando vuela a lo largo de cierta trayectoria curva, todo lo que no está sujeto en su interior comienza a flotar. ¿Qué provoca este efecto? (NASA)

web Para mayor información sobre cómo se usa este avión visite http://imoccimoc.comi—acft-ops /rgpindex.htm

capítulo

Movimiento en dos dimensiones

del capítulo Tés

4.1 Los vectores desplazamiento, velocidad y aceleración

4.2 Movimiento bidimensional con aceleración constante

4.3 Movimiento de proyectiles

4.4 Movimiento circular uniforme

4.5 Aceleraciones tangencial y radial

4.6 Velocidad y aceleración relativas

76

x epppard

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11013EJOIGOE Á pEp10010A 'olua!wczeidsep 910109A sol l'6

78 CAPÍTULO 4 Movimiento en dos dimensiones

y Dirección de y en ®

Figura 4.2 Conforme una partícula se mueve entre dos puntos, su velocidad pro-medio está en dirección del vector desplaza-miento ár. Conforme el punto final de la trayectoria se mueve de © a ©' a ©", los desplazamientos respectivos y los intervalos de tiempo correspondientes se vuelven cada vez más pequeños. En el límite en que el punto final se aproxima a ®, Lit tiende a ce-ro, y la dirección de Ar se aproxima a la de la línea tangente a la curva en ®. Por defi-nición, la velocidad instantánea en ® está en la dirección de esta línea tangente. o

miento, el cual depende sólo de los vectores de posición inicial y final y no de la tra-yectoria seguida entre esos dos puntos. Como ya se hizo con el movimiento unidi-mensional, la conclusión es que si una partícula empieza su movimiento en algún punto y regresa a él por cualquier trayectoria, su velocidad promedio es cero para este recorrido puesto que su desplazamiento es cero.

Considere otra vez el movimiento de una partícula entre dos puntos en el pla-no xy, como se muestra en la figura 4.2. Conforme los intervalos de tiempo sobre los cuales se observa el movimiento se vuelven más y más pequeños, la dirección del des-plazamiento se aproxima a la de la línea tangente a la trayectoria en el punto ®.

La velocidad instantánea, y, se define corno el límite de la velocidad promedio, Ariát, cuando At tiende a cero:

Velocidad instantánea Ar dr

a lím — = — át-lo A t dt

(4.3)

Es decir, la velocidad instantánea es igual a la derivada del vector de posición respec-to del tiempo. La dirección del vector de velocidad instantánea en cualquier punto en una trayectoria de la partícula es a lo largo de la línea que es tangente a la tra-yectoria en ese punto y en dirección del movimiento (Fig. 4.3).

La magnitud del vector de velocidad instantánea y = Ivi se llama rapidez, la cual, como se recordará, es una cantidad escalar.

Figura 4.3 Una partícula se mue-ve desde la posición ® a la posición ®. Su vector velocidad cambia de v, a V. Los diagramas vectoriales en la parte superior derecha muestran dos formas de determinar el vector Av a partir de las velocidades inicial y final.

6L

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-opaÁrn ap oluapluiAmu un ua OUTOD `OlUEISUOD 2Dzautunad (zapIdel) prmaleux ns opurrp une odulap p UOD JenuarD apand peppopn Jopan pp uppDapp el 'opun.1 -as • (muoilsuaupp!un) rapaz eauji ua oluapu!noul p ua OUTOD odulap p UOD JEMUTED

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upplsod uun ap ananul as (Turna 21nDpird can ap Tpauxucl uspriapan eZ

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(Cv)

Xf

a)

a t Y

a vyf

vyi x

vxi axt x

vxf

b)

Figura 4.4 Representación vectorial y componentes de a) el desplazamiento y b) la velocidad de una partícula moviéndose con aceleración uniforme a. Para simplificar el dibujo se ha hecho r, = O.


Vector velocidad como una función del tiempo

Vector de posición como una función del tiempo

Debido a que a se supone constante, sus componentes ax y ay también lo son. Por consiguiente, es posible aplicar las ecuaciones de la cinemática a las componentes x y y del vector velocidad. La sustitución vxf = vx, + axt y vil= vy,+ ayt en la ecuación 4.7 para determinar la velocidad final en el tiempo t, produce

vf = (v„, + a„t)i + (vy, + ay t)j

= (v„,i + vy ,j) + (a„i + a y j)t

vf = v,+ a t (4.8)

Este resultado establece que la velocidad de una partícula en algún tiempo t es igual al vector suma de su velocidad inicial, v,, y la velocidad adicional at adquirida en el tiempo t como resultado de su aceleración constante.

De manera similar, de acuerdo con la ecuación 2.11, se sabe que las coordena-das x y y de una partícula que se mueve con aceleración constante son

xf = x, + vx,t + 2 a „t 2 y f = y, + vy,t + 2ayt 2

Al sustituir estas expresiones en la ecuación 4.6 (y etiquetando el vector de posición final rf) se obtiene

rf = (x, + vx,t + 2 axt 2 )i + (y, + vy,t + 2ayt 2 )j

= (xii + y,j)+ (v „,i + v yi j)t + 2(a + ay j)t 2

rf = ri + v,t + at2

(4.9)

Esta ecuación implica que el vector de desplazamiento Ar = rf — r, es el vector suma de un desplazamiento v,t, que se obtiene de la velocidad inicial de la partícula, y un desplazamiento 2at 2, resultado de la aceleración uniforme de la partícula.

Las representaciones gráficas de las ecuaciones 4.8 y 4.9 se muestran en la figu-ra 4.4. Por simplicidad en el dibujo de la figura se ha tomado r, = O en la figura 4.4a. Es decir, se supone que la partícula está en el origen en t = t, = O. Observe de la fi-gura 4.4a que rf generalmente no está a lo largo de la dirección de vi o a porque la relación entre estas cantidades es una expresión vectorial. Por la misma razón, en la figura 4.4b se ve que vf no siempre se encuentra a lo largo de la dirección de v, o a. Por último, puede verse que vf y rf generalmente no están en la misma dirección.

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'DWEISUI .19p-lbIE113 UD mol peppopÁ .1013DA la Á odulan iambiena ua peppoian IOP3A iap saluauodluoa sEl auginalau (E •gs/tu 0•17 = '/) Jod epep uopeaapae ap aluauoduloa Eun

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18 alueisuoo uppeialeap uop ieuoisuaupq oluaiwinol J•17


Solución Puesto que x = yi = O en t = O, la ecuación 2.11

produce

x f = v„,t+layt 2 = (20t+ 2.0t2) m

yf = vyit= (-15t) m

Por consiguiente, el vector de posición en cualquier tiempo tes

r f = xfi + yfj = [(20t + 2.0t2 )i — 15tj] m

(De manera alternativa, se podría obtener rf aplicando la

ecuación 4.9 directamente, con v, = (20i — 15j) m/s y a = 4.0i

m/s'. ¡Inténtelo!) Así, por ejemplo, en t = 5.0 s, x = 150 m,

y = —75 m y rf = (150i — 75j) m. La magnitud del desplaza-miento de la partícula desde el origen a t= 5.0 s es la magni-

tud de rf en este momento:

rf = Irfl = V(150)2 + (-75)2 m = 170 m

Advierta que ¡ésta no es la distancia que la partícula recorre

en este tiempo! ¿Puede determinar esta distancia a partir de

los datos disponibles?

Consideraciones del movimiento de proyectiles

1W MOVIMIENTO DE PROYECTILES

Quienquiera que haya observado una pelota de béisbol en movimiento (o, para el caso es lo mismo, cualquier objeto lanzado al aire) ha observado el movimiento de proyectiles. La pelota se mueve en una trayectoria curva y su movimiento es simple de analizar si se hacen estas dos suposiciones: 1) la aceleración de caída libre g es

constante en todo el intervalo de movimiento y está dirigida hacia abajo,' y 2) el efec-

to de la resistencia del aire es despreciable.2 Con estas suposiciones encontramos que

el camino de un proyectil, al que se llamará trayectoria, siempre es una parábola. Uti-

lizamos estas suposiciones en todo este capítulo. Para mostrar que la trayectoria de un proyectil es una parábola elija un marco

de referencia tal que la dirección y sea vertical y positiva hacia arriba. Dado que la resistencia del aire es despreciable, se sabe que ay = —g (como en la caída libre uni-

dimensional), y a, = 0. Suponga también que en t = O el proyectil parte del origen

(x, = y, = O) con rapidez v„ como se muestra en la figura 4.6. El vector vi forma un

ángulo O, con la horizontal, donde O, es el ángulo del cual parte el proyectil del ori-

7J) gen. De las definiciones de las funciones seno y coseno se tiene

3.5

cos o, = vy,/v, sen O = vy,/v,

Por tanto, las componentes iniciales x y y de la velocidad son

= v cos O v yi = vi sen O,

Sustituyendo la componente x en la ecuación 4.9a con x, = O y a,, = O, se encuentra que

xf = vyit = (v, cos 0i)t (4.10)

Repitiendo con la componente y y usando y, = O y ay = —g, se obtiene

yr= vy,t+ 2ay t2 = (vi sen Oi)t— Igt 2 (4.11)

En seguida, se resuelve la ecuación 4.10 para t = xf/(v, cos Oi) y se sustituye esta ex-

presión para t en la ecuación 4.11; esto produce

y = (tan 0,)x I g x 2

2v,2 cose O, j

(4.12)

I Esta suposición es razonable siempre que el intervalo de movimiento sea pequeño comparado con el radio de la Tierra (6.4 x 106 m). En efecto, esta aproximación es equivalente a suponer que la Tie-rra es plana a lo largo del intervalo del movimiento considerado.

2 Por lo general esta aproximación no se justifica, en especial a altas velocidades. Además, cualquier gi-

ro dado a un proyectil, como cuando un pitcher envía una bola curva, puede dar lugar a ciertos efectos muy interesantes asociados con fuerzas aerodinámicas, lo cual se analizará en el capítulo 15.

Componente horizontal de la posición

Componente vertical de la posición

-aluapuaasap iruopel!AriB uppeppar ns e opmap reapaan oluapurz

-ridsap p sa SOPDA p Á larpaAri2 ap elauasnu riamnti cs ipaaÁoad iap olualurzeidsap p unas /`A 10129A FA -'A sa ua2po p ua "rima! prppolan rÁll3 IIPDÁ0.1d un ap a u9plsod ap iolaan z•p °jou

r1n2g el ua rprzeri risa ucnsaidxa risq

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jap ~un.; OULIOD Triaai(oid iap u9p!sod ap sopan la -alud Tellopan ucqsaidxa •!0 oluanuezuri ap oin2ur la 011.10D !rz mara! zapId

-El PI 0111E1 11330110D as Is upraiyaadsa aluaumaidaioa risa upopaÁru el anb

-py •ocirird run sa maaAoid un ap ruopaz(nuel anb opeqoid rTi as ‘;sv •ua2po

la iod Es-cc' anb mocirird run ap ~miga ui sa anb z̀xq — X12 = CC uuuoj el ap sa ucqs

-aidxa risa •pa/bid Tap rpopaÁrii el ap oRreT ai u (1C 5c) oiund Jambrena rard rpyr

- sa u9prnaa el anbiod ti x ap saa!purans soi usan] opelap urq as > > aluri iap onuap sopearan oluannezuri ap soubSur card rpllyn sa uóprnaa risa

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(9dffinz¿V7 2n010.9 V4.129191 wau) -sr'aigoquird SEISOIDDÁEn uanl!s os -aDoid p ua sepriaua sedspla sel -Mos un uoa capylaul un-113~a run ap saAral E soia[n2r aDEII ioprppas uri

-EpopaÁril ui n EviE sym aised el UD oJaa sa prppopA -el ap ti

aluauoduma u I -Iriuozpop ~Dan) el ap °Bar' oj u upprJapar alspca ou anb e opplap odupp p ua al

-urisuoa aaaueunad peppopA ul ap x aivauodusoa eri 'EATIEBDU ti UOIDDDJIp el UD 11092.1DIDDE el ap op

-emnsaa p sa °Num alsa -uppaapp ua OUIOD prpluBrux ua oluel odupp p UOD r!cpura A peppopA 101

-D DA •°A peppopA run uoa uaBuo ns riap anb ppaÁoid un ap rawqr_red ruolaaÁr.n ri g•p amfillEgg

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Fotografía estroboscópica de un tenis-ta ejecutando un golpe. Observe que la pelota sigue una trayectoria para-bólica característica de un proyectil. Tales fotografías se pueden usar para estudiar la calidad de los equipos de-portivos y el desempeño de un atleta. (© Zimmerman, FPG International)

Es interesante observar que el movimiento de una partícula puede considerar-se como la superposición del término vit, que sería el desplazamiento si no hubiera aceleración, y el términos gt2, el cual se obtiene de la aceleración debida a la grave-dad. En otras palabras, si no hubiera aceleración gravitacional, la partícula continua-ría moviéndose a lo largo de una trayectoria recta en la dirección de yr En conse-cuencia, la distancia vertical s gt2, a través de la cual la partícula "cae" de la línea de la trayectoria recta, es la misma distancia que un cuerpo en caída libre recorrería durante el mismo intervalo de tiempo. Se concluye que el movimiento de proyecti-les es la superposición de dos movimientos: 1) movimiento a velocidad constante en la dirección horizontal y 2) movimiento de caída libre en dirección vertical. Excep-to para t, el tiempo de vuelo, las componentes horizontal y vertical del movimiento de un proyectil son completamente independientes una de otra.

EJEMPL ► Aproximación al movimiento de proyectil

Una pelota es lanzada de tal forma que sus componentes de velocidad vertical y horizontal iniciales son 40 m/s y 20 m/s, respectivamente. Calcule el tiempo total de vuelo y la distan-cia a la que está la pelota de su punto de partida cuando ate-rriza.

Solución Comience recordando que las dos componentes de la velocidad son independientes. Al considerar primero el movimiento vertical se puede determinar cuánto tiempo per-manece la pelota en el aire. Entonces se puede usar el tiem-po de vuelo para estimar la distancia horizontal cubierta.

Un diagrama de movimiento como el de la figura 4.8 ayu-da a organizar lo que se sabe del problema. Los vectores de aceleración son todos iguales, apuntando hacia abajo con una magnitud cercana a los 10 m/s2. Los vectores de velocidad cambian de dirección. Sus componentes horizontales son to-

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Figura 4.8 Diagrama de movimiento de un proyectil.

2

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y (m)

150

100

50

x (m) 50

100

150

200

250

Figura 4.10 Un proyectil disparado desde el origen con una rapidez inicial de 50 m/s en varios án-gulos de proyección. Observe que valores complementarios de 0, resultan en el mismo valor de x (al-

cance del proyectil).

Experimento sorpresa

Para realizar esta investigación necesitará estar en el exterior con una pequeña pelota, una de tenis, por ejemplo, así como con un reloj de pulsera. Lance la bola hacia arriba tan fuerte como pueda y determine tanto la rapidez inicial de su lanzamiento como la máxima altura aproximada de la pelota usando solamente su reloj. ¿Qué sucede cuando lanza la pelota en un

ángulo O # 900? ¿Esto altera el tiempo de vuelo (tal vez debido a que es más fácil de lanzar)? ¿Todavía puede determinar la altura máxima y la rapidez inicial?

La figura 4.10 muestra varias trayectorias para un proyectil con una rapidez ini-cial dada pero lanzado a diferentes ángulos. Como se puede ver, el alcance es un máximo para 0, = 45°. Además, para cualquier O, diferente a 45°, un punto con coor-

denadas cartesianas (R, 0) se puede alcanzar usando uno o dos valores complemen-

tarios de O, tales como 75 y 15°. Desde luego la altura máxima y el tiempo de vue-

lo para uno de esos valores de O, son diferentes de la altura máxima y el tiempo de vuelo para el valor complementario.

Pregunta sorpresa 4.2

Cuando un proyectil se mueve en su trayectoria parabólica, hay un punto cualquiera en su trayectoria donde los vectores velocidad y aceleración son: a) ¿perpendiculares entre sí? b) ¿Paralelos entre sí? c) Clasifique las cinco trayectorias en la figura 4.10 con respecto al tiem-po de vuelo, del más corto al más largo.

Sugerencias para resolver problemas

Movimiento de proyectiles

Se sugiere que usted use las siguientes aproximaciones para resolver problemas de movimiento de proyectiles:

• Seleccione un sistema coordenado y resuelva el vector velocidad inicial en componentes x y y.

• Siga las técnicas para resolver problemas de velocidad constante para analizar el movimiento horizontal. Siga las técnicas para resolver problemas dé—acele-ración constante para analizar el movimiento vertical. Los movimientos x y y comparten el mismo tiempo de vuelo t.

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Blanco

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Punto de colisión

a) b)

Figura 4.11 a) Fotografía estroboscópica de una demostración proyectil-blanco. Si el arma se apunta directamente al blanco y se dispara en el mismo instante en que el blanco comienza a caer, el proyectil pegará en el blanco. Advierta que la velocidad del proyectil (flechas rojas) cambia en dirección y magnitud, mientras que la aceleración descendente (flechas violetas) permanece constante. (Central Scientific Company.) b) Diagrama esquemático de la demostración proyectil-blanco. Tanto el proyectil como el blanco caen a lo largo de la misma distancia verti-cal en un tiempo t porque ambos experimentan la misma aceleración ay = —g.

Así pues, al comparar las dos ecuaciones anteriores se verá que cuando las coordenadas y del proyectil y el blanco son las mismas, sus coordenadas x son iguales y se produce la coli-sión. Esto es, cuando y, = y T, x, = pe,. Se puede obtener el mismo resultado usando expresiones para los vectores de po-sición en el caso del proyectil y el blanco.

Observe que no siempre ocurrirá un choque debido a la existencia de una fuerte restricción: una colisión sólo puede

ocurrir cuando v, sen O, gd/2 donde d es la elevación ini-

cial del blanco sobre el suelo. Si y, sen O, es menor que este valor, el proyectil llegará al piso antes de alcanzar el blanco.

88

CAPÍTULO 4 Movimiento en dos dimensiones

EJEMPL ¡Esto es verdaderamente un brazo!

Desde la azotea de un edificio se lanza una piedra hacia arri-ba a un ángulo de 30.0° con la horizontal y con una rapidez inicial de 20.0 m/s, como se muestra en la figura 4.12. Si la altura del edificio es 45.0 m, a) ¿cuánto tiempo tarda la pie-dra en golpear el piso?

Solución Se han indicado los varios parámetros en la figura 4.12. Cuando trabaje con problemas por su cuenta, siempre deberá hacer un bosquejo como éste y etiquetarlo.

Las componentes x y y iniciales de la velocidad de la pie-dra son

vxi = vi cos O, = (20.0 m/s) (cos 30.0°) = 17.3 m/s

yy, = sen O, = (20.0 m/s) (sen 30.0°) = 10.0 m/s

Para encontrar t se puede utilizar yr. = yy,t + 2 ay t 2 (ecuación 4.9a) con yf = —45.0 m, ay = —g y v,= 10.0 m/s (hay un signo menos en el valor numérico de yr- debido a que se eligió la azotea del edificio como el origen):

—45.0 m = (10.0 m/s) t —1(9.80 m/s2)1-2

Al resolver la ecuación cuadrática respecto de t se obtiene, para la raíz positiva, t= 4.22 s. ¿La raíz negativa tiene algún sig- Figura 4.12

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•zamder ns tu osara ns opelqurea Eq ou u9TAE p anb E2uodns) ¿os0 p eadioB wanbed p oprima uouve p wsa apucu? oppiab

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a (5/1u 0.017) = fx

aualll as `19V 0.017 :wanbed ja wians as op -nena uclyre pp Ej qnb ELUSI111 El sa wanbed pp peppopn el ap mann x awauodwoa eZ - (E6-17•n) =fx SO iwuozpoq uop

Er.p =By

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¿orios as anb ua olund p UOD t'imputar ua wanbed p DED apuipp? `oians p anos w 001 ap =me eun e s/w 0.017 e aluaiureworpori ECETA uinve ja ts .guy can2ll el ua Ensamu as 011100 `sopuyvesIxa saroperoldxa ap odnr2 un e sauwsuk -ord ap wanbed un JOED erap elsely ua weasar ap ucryre un

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mans p wpwd El eadio2 apuclu? oppJarg

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sa eppanbar zapIcler El `s/tu g•Li = anb wsand ofegE Epeq aAanui as eipaId El anb Eallpul oAgeBau ouB!s jg

s/u1 vil- = (s g77'17) (zsim 08'6) — s/in oil =l'a

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¿opns p seadia2 ap sawe wsnrwpwd Ej ap zamder Ej sa LEnD? (q

(¿epep UOIDEULIOJUI el ap apred e /

reunurarap ap muro.; EJ10 ua resuad apand?) ¿ooisjj opepiyu

= '

68

sappailaid ap olue!w!novsj g't

90


EJEMPLO

La terminación de un salto en ski

Un esquiador baja por una pendiente y se despega del suelo moviéndose en dirección horizontal con una rapidez de 25.0 m/s, como se muestra en la figura 4.14. La pendiente de ate-rrizaje bajo él tiene una inclinación de 35.0°. ¿En qué punto el esquiador vuelve a hacer contacto con el suelo?

Solución Es razonable suponer que el esquiador esté en el aire durante menos de 10 s, y por ende no irá más lejos de 250 m horizontalmente. Se debe esperar que el valor de d, la distancia viajada a lo largo de la pendiente, sea del mismo or-den de magnitud. Es conveniente seleccionar el inicio del sal-to como el origen (x, = 0, y, = 0). Puesto que vx = 25.0 m/s y

= 0, las formas en componentes x y y de la ecuación 4.9a son

(1) x f = v,,t = (25.0 m/s)t

(2) yf 1 ay t 2 = —2(9.80 m/s2) t2

En el triángulo recto de la figura 4.14 se ve que las coordenadas x y y del esquiador en el punto de aterrizaje son xf = d cos 35.0°

y yf= — d sen 35.0°. Al sustituir estas relaciones en (1) y (2) se ob-tiene

(3) d cos 35.0° .= (25.0 m/s) t

(4) —d sen 35.0° = — 1(9.80 m/s2)12

Resolviendo (3) para t, y sustituyendo el resultado en (4), se encuentra que d= 109 m. Por tanto, las coordenadas x y y del punto en el cual aterriza el esquiador son

x f = d cos 35.0° = (109 m) cos 35.0° = 89.3 m

y f = —d sen 35.0° = —(109 m)..sen 35.0° = —62.5 m.

Ejercido Determine cuánto tiempo permanece el esquiador en el aire y su componente vertical de velocidad justo antes de aterrizar.

Respuesta 3.57 s; —35.0 m/s.

Figura 4.14 11

¿Qué habría ocurrido si el esquiador en el último ejemplo hubiese estado car-gando una piedra y la soltara mientras estuviera en el aire? Como la piedra tiene la misma velocidad inicial que el esquiador, permanecería cerca de él conforme se mo-viera: esto es, flotaría junto a él. Ésta es una técnica que la NASA usa para entrenar astronautas. El avión fotografiado al principio del capítulo vuela en el mismo tipo de trayectoria de proyectil que siguen el esquiador y la piedra. Los pasajeros y la car-

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nsáidios cquauzpadx3

awopun Jeinoip quailumini tq't 16


círculo. Una aceleración de esta naturaleza se conoce como aceleración centrípeta

(en busca del centro), y su magnitud es

V2

arr

= (4.15)

donde r es el radio del círculo y la notación ar se usa para indicar que la aceleración

centrípeta está en la dirección radial. Para obtener la ecuación 4.15 considere la figura 4.16b, la cual muestra una par-

tícula primero en el punto ® y después en el punto ©. La partícula está en ® en

el tiempo t„ y su velocidad en ese tiempo es sr,. Luego se encuentra en ®, en algún

tiempo posterior ti, y su velocidad en ese tiempo es V. Suponga aquí que y, y yi di-

fieren sólo en la dirección; sus magnitudes (rapidez) son las mismas (es decir, y, = vf

= y). Para calcular la aceleración de la partícula se empieza con la ecuación que de-

fine a la aceleración promedio (Ec. 4.4):

_ — y, Av a = =

tf — t, At

Esta ecuación indica que se debe restar vectorialmente y, de vp donde Av = vf — y, es

el cambio en la velocidad. Puesto que y, + Av = yf, el vector Av puede determinarse

con el triángulo vectorial de la figura 4.16c. Considere ahora el triángulo en la figura 4.16b, el cual tiene lados Ar y r. Este

triángulo y el de la figura 4.16c, que tiene lados Av y y, son semejantes. Esto permi-te escribir una relación entre las longitudes de los lados:

Av Ar

Esta ecuación puede resolverse para Av, y la expresión así obtenida puede sustituir-

se en Ft = Av/At (Ec. 4.4) para obtener

Ar =

r At

Ahora imagine que los puntos ® y ® en la figura 4.16b se acercan mucho uno al otro. En este caso Av apuntaría hacia el centro de la trayectoria circular, y debido a que la aceleración está en la dirección de Ay, también está dirigida hacia el cen-tro. Además, a medida que ® y ® se acercan entre sí, At tiende a cero, y el cocien-te Ar/At se aproxima a la rapidez v. Por tanto, en el límite At —> O, la magnitud de

la aceleración es

V2

ar -= r

Así pues, se concluye que en el movimiento circular uniforme, la aceleración se di-rige hacia el centro del círculo y tiene una magnitud dada por v2/r, donde y es la

rapidez de la partícula y r es el radio del círculo. El lector debe mostrar que las di-

mensiones de a, son L/ T2. Se volverá al estudio del movimiento circular en la sec-

ción 6.1.

11.> ACELERACIONES TANGENCIAL Y RADIAL

Considere el movimiento de una partícula a lo largo de una trayectoria curva don-

3.6 de la velocidad cambia tanto en dirección como en magnitud, como se describe en

/ . . / \ \ • i

. / \

1 1 I 1 2, I

1 11 t 1

E

1 1

//

Einapied Ej ap epopakeil,

£6

anb o Á j souenun Sal0PDA so' opualugaG •sournun salopan ap souFm9i ua aelnaaia

el.lopaÁen Eun ua asopuálÁoul einapied eun ap uppulaiaDE El imiDsa

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-Eiapau peppoian saJopaA sol ~sant!" as apuop oluallumnoui ap rusea2eqa un *Tu (e

E.•«p osardios v4unfiaid

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u9paaiIp -el 1s ‘srmapy •-e/una epopaÁrn run 01 e olualunnotu ap rEpads9

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10P3A un Á. lewori alLIDU0d1UOD IOPDA un :SaILIDUOdUIOD saiopaA sop ua 3siamos

- aa apand .101DaA DISa 'olund e olund ap EmmED E u9pc.,i3DE Jopan Tap uppDa.up

el Eioqr oiad cE1101.DaÁES1 el E alua2um sa azdtuals peppopA .10PDA ra -¿Fp ein..1g Ei

-`v• mpri aluauod

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Á uópaafflp ua enmea (epopailen vi E ania2uel anula!s) A peppopA lopan p cS •Áx ~Id p anos ES

- anb Epenose ening EpolaaÁrin Eun ap ()Rin oi E Einapied Eun .13 opiapnAom jj eT.1 wnórj

lepe.] Á lepuául sauoppialow 9•7


a) b)

Figura 4.18 a) Descripciones de los vectores unitarios i- y B. b) La aceleración total a de una partí-

cula que se está moviendo a lo largo de una trayectoria curva (la cual en cualquier instante forma par-

te de un círculo de radio r) es la suma de las componentes radial y tangencial. La componente radial

está dirigida hacia el centro de curvatura. Si la componente tangencial de la aceleración se convierte

en cero, la partícula sigue un movimiento circular uniforme.

se muestran en la figura 4.18a, donde í es un vector unitario a lo largo del radio vec-

tor dirigido radialmente hacia fuera desde el centro del círculo, y e es un vector uni-

tario tangente al círculo. La dirección de o está en la de los valores crecientes de O,

midiéndose éstos en dirección contraria al movimiento de las manecillas del reloj a

partir del eje x positivo. Advierta que tanto r como e "se mueven a lo largo con la partícula" y por ello varían en el tiempo. Usando esta notación la aceleración total

se puede expresar como

divi v 2 a = a, + a, = e--r —

dt (4.19)

Estos vectores se describen en la figura 4.18b. El signo negativo en el término v2/r

de la ecuación 4.19 indica que la aceleración radial siempre está dirigida radialmen-

te hacia dentro, opuesta a f.

Pregunta sorpresa 4.4

Con base en su experiencia dibuje un diagrama de movimiento donde se muestren los vec-tores posición, velocidad y aceleración para un péndulo que, desde una posición inicial 45° a la derecha de una línea vertical central, se balancea en un arco que lo lleva a una posi-ción final 45° a la izquierda de la línea vertical central. El arco es parte de un círculo, y el lector deberá usar el centro de este círculo como el origen para los vectores de posición.

EJEMP ► La pelota oscilante

En la figura 4.19 se muestra una pelota unida al extremo de una cuerda de 0.50 m de longitud que se balancea en un círculo vertical bajo la influencia de la gravedad. Cuando la cuerda forma un ángulo de O = 20° con la vertical, la pelota

tiene una rapidez de 1.5 m/s. a) Encuentre la magnitud de la componente radial de la aceleración en este instante.

Solución El diagrama de la respuesta a la pregunta sorpre-sa 4.4 se aplica a esta situación, y así se tiene una buena idea

de cómo varía el vector aceleración durante el movimiento. La figura 4.19 permite echar un vistazo cercano a esta situa-ción. La aceleración radial está dada por la ecuación 4.18. Con y = 1.5 m/s y r = 0.50 m se encuentra que

y2 (1.5 m/s)2 = = = 4.5 m/s2

r 0.50 m

b) ¿Cuál es la magnitud de la aceleración tangencial cuan-

do O = 20°?

repua&rel aluauoduuou uun '12 [clima al

-uauochuo) uun aun u UOIDCADIDDE OS Á IEDU.IDA Offeid un UD SDIIIII01

aun ou sasuina.up soluauulnow UOD uaDuureq as uloct El a pnn2uoi ap

Epianu Elan Jod lempuadsns utoq uun ap olua!uunoN 6T• » wnózj

sop sul ua ‘outpin Jod •sa oi uáIgarei a anb u op"gap otuanuz un sa 'y wad ‘zan E.110 0.10D sa (o08I = o) si'-' I 1191MS -od ns IEZILIED12 -alud zamdea aluapuns auap uloiad Ei rs •ounx

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v

saauolua 'epJana el Á u anua oin2uy la sa

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00Z = g tia e ap pnnuleul El "e = e anb olsand sa

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'007 = O ua 2 le]

- uoputapau El ap u9pDaJlip Á pnna2uul Ei anuanDua (9

•55/11I = 00Z mg = '19

`00¿ = B ua ‘olum Jod • (oinaija lE alua2uul ap aluauoduRaa

ri) g uas pril'uleut ap lEplia211E1 1.1913Eiapae Eun auap teaptan El ap g oirt2try un u visa molad El opuunD UOUnlOs

p 'aianbed p opezuEi zan Eun 's •ociyied Eun OU103 álanbEd pp ELIOP3ÁEJ1 el eu

-an 'opus p apsap Eniasqo anb opruknnxa Joprioprixa un 'oBJEgula tus -EJJaji el pia

eg epa rauji Eun OUTOD alanbed jap oluajunnow p Ejiyijipsap uojAE p ua Jopemas

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anb uojAE un apsap opelonE alanbEd un ap p sa oisa ap offiguas oidtuala ano

•muozraor4

aluauoduuop Eun EpEvi pepanEfiel ap u9p-ciappE ap Á Equir EpEll jEja

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el g JopEniasgo p UOD UOIDEpi ud "crovi, EinIjj el ua E.osnll as 01110D 'upo:ved Eun

OUIOD 'Molad el ap ET.101DDAE.14 el yampiad g opeuojaelsa JopEnJasqo un 'oBJEgula

us •Eon, Elnag el ua apand as °aloa 'TEDpiaA Eauji utusjul el ap oRreT 0I E of

-me EIDEq cual Eaujj ua sándsap Á egjJJE EIDal ~TI U9 ala-tul...id anantu as `iza

-ualájai ap ODJEUI ns ua 'alualualuaredr anb Elaucuu molad Eun Ezum (V iop

-Eisiascio) oluajuljAolu ua ()maman un anos Erejn. anb Euosiad Eun anb E2uodns

•opuallajiu ylsa as TEnD p ua Epualajai ap ODIEUI pp apuadap alargo

un ap peppopA m anb ensanulap oidwala aiduns alsa ¡u asa oi soqury! ¿0433.1.10D ol

ua yisa JopEnlasgo TynD? -11/Im OI ou ‘q/ jui 09 ap sa opjdyi sym oinE pp zapjdEJ pl

anb yJanuoDua ojicuopeisa JopEA_Jascio un 'oBanj apsaa •11/luz OI ap sa opjdyi s-yul

olnE pp zapjdui el 'mural syun oinE p ua oialesEd un EJEd •q/ jui 09 Á og ap zapjd

-EA UOD 11593aIllp Elusuu el ua uananui as soine sop anb EBuodns Jod

•uoja jpauu Eun ap

opennsal p ua uepianDuoa ou aluatureJauaB ano re OlDadSal UOD oun uanantu as

anb saiopeniasqo sop 'Ipap sa -EpEp einDpiEd Eun EJEd saluaJapp sauopriappE Á

sapeppopA ‘soluajurezeidsap Jjpaul uapand Epuaaajai ap SODIELU saluaJapp ua SaI

-opEAJasqo anb yijignasap as -js anua uruojamai as Epuaiájai ap SODJEIU solugsjp

ua salopnuasqo samaJapp ap elsjA ap soiund so' 01110D acijiasap as ~Das Elsa ud

SVAI1V1321 NODY113133V A CIVCID013A

96

SPAR10.1 ugpaialaue Á pPppolgA 9 .17

Trayectoria vista t por el observador A

A

a) b)

A Q

Trayectoria vista `, por el observador B

Figura 4.21 Una partícula vocalizada en

es descrita por dos observadores, uno en el

marco de referencia fijo S, y otro en el marco

S', el cual se mueve a la derecha con una velo-

cidad constante y,. El vector r es el vector de

posición de la partícula relativo a S, y r' es su

vector de posición relativo a S'.

96


Figura 4.20 a) El observador A, sobre un vehículo móvil, lanza una pelota hacia arriba y ve que se

eleva y cae en una trayectoria recta. b) El observador estacionario B aprecia una trayectoria parabóli-

ca para la misma pelota.

avión continúa moviéndose horizontalmente con la misma velocidad, ¡el paquete lle-gará al suelo directamente abajo del avión (suponiendo que la fricción del aire es despreciable)!

En una situación más general considere una partícula localizada en el punto 10 en la figura 4.21. Imagine que dos observadores están describiendo el movimiento de esta partícula, uno en el marco de referencia S, fijo respecto de la Tierra, y el otro en el marco de referencia S', moviéndose hacia la derecha respecto de S (y con-secuentemente en relación con la Tierra) con una velocidad constante y,. (Respec-to de un observador en S', S se mueve hacia la izquierda con una velocidad —y0.) El punto donde se encuentra un observador en un marco de referencia es irrelevante en este análisis, pero para ser precisos vamos a situar a ambos observadores en sus respectivos orígenes.

Se marca la posición de la partícula relativa al marco de referencia S con el vec-

tor de posición r y se indica su posición relativa al marco S' con el vector r', ambos

en algún tiempo t. Los vectores r y r' se relacionan entre sí mediante la expresión r = r' + vot, o

Transformación galileana de r' = r — vot (4.20)

coordenadas

asea p opualn

-.zis risa as senualul ciapar oine ja !s apaans ano? (a •cseci asa optima 0111E jap "olEuelTIDA Ej ap giveli E eniasqo anb 'aunara re muní opexed uaraZie (q Á ~Ces-cc' ja (E "luyan oj 0111

-oa EZEI Ej E °acial pp ~n'u as ais DULLIOJUOD 9JED pp c!JoiaaÁrai Ej EquasaQ uoiDnpuo3

opcsue3 p cied • ED ap EZEI cun avis q/!ul og E cle!Á anb llÁcnuoinc un ua cuaCcsed un

g -p osaidacK; alunbaJd

ap clama emneiaa anansuoa pum-aojan uoa ~aux as anb aopenaasqo ano aod ep

-jpaui el anb etusrua el sa eaaaij, el ap epualajaa ap oaareux ja ua aopeniasqo un aod

empaux einansed el ap uopelaiaae el ,ipap sa Atp = e Á ip /, Ap = ,e anb olsand e

,e anb aXnpuoa as `EpuanDasuoD -alutisuoD sa 0Á anb E op!qap o /0Á oiad

w ip = 0Ap Ap ,Ap

uópenpa Ei ap oduaap jap opadsai Epemiap Ei opumuol asean apand olsa al

-UEISUOD sa opurn3 uopyinam vutszut Ej uapuu ‘surnDniEd sur EJEd sapeppopn sal

-uaiasrp uamul Epuaiapi ap 5ODJEW saluaiasrp sop ua saiopwasqo so' anbuny 'E-1Jan Ej E onourai auuojiun oluauurisoul UOD HAOLU °DIEM un ua sumpain

sEuanbe uoa riza!" Ej E °mima" org ODJEUT un ua urppu as urtBas EinDpiEd Eun ap

pEppoian Ej Á supeuapiooD set uEuopepi sauopEnDa sui •seueame2 uopeuxiojsue.n

ap sauopenaa ouloa uaaouoa as In, Á og•17 sauopEnDa sul 5 ODJEUT ja ua rprmasqo

prppopik Ej sa A Á /S ODIEUI ja ua rpeÁlasqo ringn.1rd Ej ap peppopn Ej sa /A apuop

pEppopA Ej ap Effeallo u9pruuoJsurJ1

(121') °A – A = /A

° 77)

A — — = — Jp in)

auapqo as `aiuri

-SUCO sa 0A. anb riou as Á ochuap jE opadsai UOD co-T, u9pErpa Ej upuaiapp as ls • 0Á peppuED Eun ua

s 03.IEUT jap ETlaaiap Ej rprq rzeidsap as s ODIEUT p 9 odulap jap sándsap 'ipap

-opruoptisa osad ja ua rprred aqpiad

anb El anb rwai Triu zapidEl run E Irsed opuriumeD anrucni jE aA llnuul Epurq Ej tia EpEJEd Jainul El

L6

sengiál umeniaae Á pppolaA 977

1.13c-JE

N

-

CAPÍTULO 4 Movimiento en dos dimensiones 98

EJEMPLO Un bote que cruza un río

Un bote con dirección al norte cruza un ancho río a una ra-pidez de 10.0 km/h respecto del agua. El agua del río tiene una rapidez uniforme de 5.00 km/h en dirección este respec-to de la tierra. Determine la velocidad del bote en relación con un observador estacionario en la orilla.

El bote viajará a una rapidez de 11.2 km/h en dirección 26.6° al este del norte respecto de la tierra.

Ejercido Si el ancho del río es 3.0 km encuentre el tiempo que tarda el bote en cruzarlo.

Solución Se conocen v,„ la velocidad del bote en relación Respuesta 18 min. con el río, y v,E, la velocidad del río respecto de la tierra. Lo que se quiere encontrar es vbE, la velocidad del bote en rela-ción con la tierra. La relación entre estas tres cantidades es

VbE = Vbr VrE

Los términos en la ecuación deben manejarse como cantida-des vectoriales; los vectores se muestran en la figura 4.22. La cantidad Vbr está dirigida hacia el norte, v„ al este, y el vector suma de estos dos vectores, vbE, se encuentra a un ángulo 9, como se indica en la figura 4.22. Así pues, la rapidez del bo-te respecto de la tierra puede determinarse a partir del teo-rema de Pitágoras:

Vbr VbE = VVbr2 VrE2 = 11(10.0)2 (5.00)2 km/h

= 11.2 km/h

La dirección de vbE es

O = tan -1( v`----E = tan-1(5.00

= 26.6° vbr 10.0 Figura 4.22

EJEMPLO 4 ¿Qué rumbo debemos seguir?

Si el bote del ejemplo anterior viaja con la misma rapidez de 10.0 km/h en relación con el río y se mueve rumbo al norte, como se muestra en la figura 4.23, ¿qué dirección debe se-guir?

Solución Como en el ejemplo anterior, se conocen vr, y la magnitud del vector vbr, y se quiere que vbE esté dirigido a tra-vés del río. La figura 4.23 muestra que el bote debe estar di-rigido hacia arriba de la corriente para viajar directamente hacia el norte a través del río. Observe la diferencia entre el triángulo de la figura 4.22 y el de la figura 4.23: específica-mente, que la hipotenusa en la figura 4.23 ya no es vbE. Por tanto, cuando en esta ocasión se usa el teorema de Pitágoras para encontrar vbE se obtiene

VbE = VVb,2 — VrE2 = V(10.0)2 — (5.00)2 km/h = 8.66 km/h

Ahora que se conoce la magnitud de vbE se puede encontrar la dirección en la cual el bote está apuntando:

O = tan-1HvrE = 5.00

VbE tan-1(H = 30.0°

8.66

El bote debe seguir un curso de 30.0° al oeste del norte.

Ejercicio Si el ancho del río mide 3.0 km encuentre el tiem-po que tarda el bote en cruzarlo.

Respuesta 21 min.

s

Figura 4.23

VrE

1 '9503 ?a

•muozpoq i reapian saluauodulop ap souuu1 1 ua ppaAald ap muauu!notu iap sIsweuy -p =By

alumsuoa aTUEJSUOD puppoian

uppvaaiaDe UOD E imuozpoq

IEDUJDA opnauupoyy cquaulunow ---e aware.mnba sa ippaÁoad

iap opiapiunotu o x

CC j1/4(cC x)

■••■■■ . .** .....

-Epuainai ap SODICUI saluaiapp anua 0.110 ETed oye' un ap

asieprIseal ap zedED JOS ..laqap J010 1id 'S u ."92Igi ,s ap peppopA ej sa °A apuop

(

°A — A = d A

ap owatu iod òlua!unnoui ua Ep

- ap ODIEUI un ua Empatu Epppard muslu el ap peppopA el UOD ruopri

-al as 's 'oftj Epuaiajai ap ODICIU un ua Empaul rinDpied 2un ap A peppopA eZ -maigo iap

oluauuukom p EJJEA DLUJOJUOD IIENIUCD uópraapyr X peppopA saiopan so' OILIOD 1E11

-soez Á Ening EpopaÁril Eun opuam.2Is maigo un EiEd oluallua!Aoul ap seureitlew

-ncup ap zrdea riaqap palsn I Alp sa 'e ap prinulcul el sa 'e ap pnnu

-121u -2-1 -A ap pnyuletu Ei ua o!quIED p EsnED anb "e IrpuaButl aluauoduloD .opon

un (g) X 'A ap u9pDanp el ua °Ruma p .ED0A0id anb "e `TEllyei aluauodutoD .104

-Dan un (i) :saluauodruoD saiopan sop alumpaut asimiDsap apand anb UOIDEJOIDDE

aopan un auap EInDpiEd Ej òdulap p ua trepyueD n ap u9pDaup Ei X pnnulrin ej

anb iel n'amar ap nunD Epopakesi run ap oBJEI oI E aAamu as rInDpird Eun TS

oinDxp pp onuaD p Epeq aidula!s sa ~Dan) ns Á

(81:17) va =

sa ap prn!u2ruz eri 'odupp p ua EIquIED n ap u9pDaill3 21 anb E opmap (IrIpEi

o) Eladj.nuaD u9priapDE Eun Elualupadxa •aunopun .repiaarp oluaTunAoul un ua

-sa a aluelsuoD zap!dri UOD ()T'al ap op-Pip un ua ananui as anb rinDpird Eun, Ein.211 el ua DA as'oluoD `saluallguadaput reDpian X irluozpoq

peppoian ap saluauodtuoD ap oppurn ua oluawilAmu p IEZRUIFE apand as 'aluaIn.2

T- suoo JOd 08-6 = á pnylvdrui ap olEqe rprq aluelsuoD u9priapDE Eun E 04

-ains IEDpian USYIDDOJJED ua aiqg EpreD ap OILIDUTUAOUI (g) U0pD9Jip ua aluelsuoD

peppopA UOD oluap_u!Aouu (i) :soluap.u!Aolu sop ap u9p!sodiadns Ei OUJOD SaIUD0X

-0Jd ap olua!tulAotu ja seiamsuoD Hin sa =`"12 Xo=xv apuop 'aluelsuoD ~vial

-aDe olrq lEuoIsuavu!mq oluatuzrnouz ap odp un sa saulaaÁoid aya oluarunnow id •saluauoduloD sop

selsa ua maigo JambiEnD ap muo!suauumq oluapulAoui p Jadmoi ap zEdED aas riaq

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Eird run :saluauoduloa sop ap saualsaidxa E saularemnba uos sareuopan sauo!said -xa selsa àluelsuoD uópriapDE oreq (Cx ourid p ua reuoIsuauqmq olualur!Aoui nred

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Este avión es usado por la NASA para · Movimiento en dos dimensiones Tés del capítulo 4.1 Los...

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