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Rol£ R. Mantel Estimación de tablas de tras- acciones intersectoriales
Documento de Trabajo.
~igiembre de 1973.
Instituto Torcuato Di Tella Centro de
Inve~tigaciones EconÓmicas super$ 1502
Buenos Aires (26) Argentina
O. IWRDDUCCTON Y RESUMEN
En algunas aplfeacfones econ&nicas, en especial en las del modelo de
Inaumo-producto, es necesaria la estimación de los elementos de una tabla
ce transacciones intersectoriales, cuando no es f a c t i b l e alg6n proeedi-
miento estadfstleo directo. Ea tande d i sponib le una tabla anterf or , así
c.mo eatimcxeiones corrientes sobre 108 totales d e las f i l a s y las cofum-
naa , puede ser deseable construir una nueva tabla en haae a esa in£orma-
c16n, que sea consistente con los totalee dadoa y que en algún mentido
bien def in ido , se acerque lo mba paaible a l a estructura anterior, Este
b e r e el easo cuando ee neceeite una tabla de fnsuma - producto para un
año determinada, y de las cuentas nacionales de eee año e810 se eonoz-
can los niveles de producción total de cada sector. Otra CASO se pre-
genta cuando deben ea tablecerse Los flujos interre~j.anales de bienes y
servicias y sblo se han estimado l a s importaciones y expartaeicnes eoca-
les de cada regien, s i n tener a mano una infomaci6n detallada y actua-
I.lzcnda d e l origen y destino de dichas fmpsrtaclonees o r_.xpurraclanrra.
En el caso de tablas no negativas arbftrarias, se rnnrrren varias so-
l u c i o n e ~ a l problema, pero éstas no siempre exl~?i.citrin exiterios de op-
~imixaei6n para el ajuste (1). El presente trabajo anal5zsrZ algunoa d ~ ,
estos criterios : rnfnimas cuadrados, con o s i n psrnderaei6n de 105 toi a,.?:r m ,
con o s i n ransideraeión de le l ios ib i l idad de soliirioneu cmr , .L . . .OS nl;: - -
p.ativas; y fa mfnimizaeión del m5ximo error relativo. SE demostrará
(1) Ver loa trabajas de Bacharach (19651, Hatuaxewski, Pitts y Sdwyer (1963 y 1964) y Theil (1967).
que eete í i l t i m o criterio puede ser implementado eficientemente, redu-
ci6ndolo a un problema de progratuaci6n lineal, y reeolviéndolo p o r medio
de m algoritfio, basado en una modificación de los mEtodos de solucf6n
da problemas de transporte.
L. EL PROBLEMA Y SU SOLUCZQN 'CORRIENTE
El plantea del problema puede anunciarse de la siguiente manera: da-
da una matriz A de m fila8 y n columas, con elementos no negativos,
y dados un vactor positivo b de m elamentúm, de aumaa para las f i l m
y un vector poeitivo , de n elementoe, de sumas para lae columnas, ha-
llar una matriz D de igualee dimsnsimee que la tabla original. A que
satisfaga las condicionem
( 1) D e m b ; e D m c
donde e , el vector suma, as de dimentafbn apropiada y tiene todoe raue d e -
Entos iguales a l a unidad. Lae ecuaciones (1) expreean las condiciones
de coaeistancia de la nueva tabla con 1w 1ua0 marginales dadas. Por
otra parte esta tabla debe ~proximaree lo d a paaible a l a tabla original,
Bscharach (1965) p'rapuao como criterio da ajuete l a condición de que
la nueva matriz @ea biproporcianal a la tabla dada. Con sete término se
expreea l a candici6a de que axietan veataree pnei tivas r y S de dimen-
1 / siones eprapiadao t a b i que ee cumpla la ecuaciún -
de donde murga el nombri de 'kdtodo RhSm. Eeta autor demuestre que la oo-
lueibn puede calcularme por medio de un ,proceeo iterativo, en el cual ae
ajustan en cada etapa primero la8 filas, de manera que las aumae cmcuer-
den con las dad- manteniendo constants la estructura de cada f i l a , y h e -
I/ El acento circunflejo sobre un vector lo convierte en una matriz cua- - drada diagonal con lom elementoe d e l vector a lo largo de la diagonal principal,
go lu columu , da mlrllara que 1u wmam concu~rdm con l a i dadai mante-
niando eon8tuitm r i t r v r i Ii r i t w c t u r r da cada c o l w i , EL proceso coz
vmrgi m i y 8610 8% lu icuaciorir i (1) timan usa rolucibn D no nrgrti-
v i , m i diair , ii y ralo ii rr aump2m I r oondiol* da eoni~rt rnai i ,
( C) EI a i i t r u d. aouroioau (1) a i o ~ ~ ~ i i t i i i t a 0 0 . una io ludd. oon
b) prri toda prrtioidn da1 oonjunto bl as dos ruboonjunto8 axl
hmitfvoi y iraluyintii 1 r 1' y toda part ioibn d i 1 conju!~
t o l4 a ' doi ,iubeoaju~tor axhruitivor y rxoluymntai J y
J ' , i t Lo i~a t lor in to i r da i imtr i i A i e n a u l ~ m p a ~ a t0-
2/ M y # npraamtra i lo8 aoajuntor da 1~ p r b e o i m y n nduroi nrturrlri, zrrpiotiva~anta, La not~ ldr i C , por rj-lo, raA.1i l a ru- a a todo, la t i a ~ i n o g da ii f e n i imdio.ir. ooneiwactái d a ~ dolo dr #materia, pata iiiiorai d i E fndiar d i ihr ooatraidor rn a1 conjunto M, La dmortrraibn da l a propoi5cibn qur iQui purda rncontrirra, por i j r ~ r p l o , ai10 (19601,
Cc aguE en adelante se supondrd que se cumple l a condici6n de consis
t ~ r ~ c i a (C) 3 fin de garantizar la existencia de al menos una solución pa-
ra el sistema de ecuaciones (1) con coeficientes no negativos,
Para s hglificar l a notacidn se emplearán las siguiente8 definicio-
nes :
(3)
y se supondrá que la matriz ariginal A es no negativa, con sumas margi-
nales posilivaa . Se ~ssard revista muy brevemente a dist intos criterios basados en
cuadrados nlnimos, d t o d o que tiene a su favor La eimplic idad de su apl ic j ,
ción,
a) :.íEnimos cuadrados siprples , s i n restriccioaea de no negatividad,
La soluci6n m á s sencilla de calcular e8 la que resulta de ninimizar
31 el s igu iente objetivo -
( 4 ) tr (D - Al (D - A) '
su j e t o a la condición de que la matriz D cumpla con las ecuaciones (1) . Formando la expresf án de Lagrarige
3/ El sfmbolo tr índica l a traza de la matriz que le s igue, es decir, la - suma de loa eiemen~oa d e la diagonal pr incipal de la matriz. El apóstxa- fe ' ind i ca transposición de la matriz que le antecede.
dondc p y q san vectores de multiplicadores de Lagrange, es ir.nediaca
la cb tencica de la^ coxidicionics necesarias p Erz un ~ f n i m ~ , anularira:: l a
derj-vada y a - c i a l L,, de L con res?ecta a 3, as decir
de donde pueden eliminarse los multiplicadorez car. La syuda be las zcuz-
C i C I i e ; (3 .3 >¿ra oLEen~+r la soluci6r, explfc5?x
(5: r = ( A - b C / S ) T* + h CIE
m &nde La, p3r e j ~ v p l ~ , 2s ;ia :n;itriz de c::¿sn n tnyclj 2:-crnatos ¿E Iri <=í - g m a l ,~iiic:~;aT so:: L~cales rt (ni-1) Jn: y :,os :'~:ligs.. of_a:r;;entus r : z l x
7 , y ? s: Jeflri,: ?e r.:crcrri s imi la r , ccii n rz,@npL,??z:.d:j L S*, n
El. ~ r S - r . e i p ~ 1 iiicon-~cnicnte 2c e s t e ?t"0c i : ' 5 -~ t~ : :C eL ? a ;3;3~51L1:.¿.
d~ 3L.e !.u z:.32ci.?i; c c a t e ~ g c h?Lrr.,entzs ~ a ~ z a t i - ! o c , 2 e r r puede sub~caz rcc
ccois.l:zr.~,a,!o 1s r,f!ii¿i:i-5r; dc que e s t a ~ i c ! cccl-ra, c r ? ~ . ~ sc PTO;IOEC En c.2. n?é - todo ~fguiecte.
9: se dese ?s.?.cttlar r:J n5;:imc Zp Ir. !.:!?ir. :TE: 1 4 ; r-:ijc!-i: E 1 + , - I-
ct?eer;cn~r: [1> y :! Ir, cor.dici6n t e que La so!.:;cf$r, ~ P F rz z ~ g a t i v z , ? n
e3 ;'cislb,Le: Fr.?nei.+ar la soluci6n cn fonna cerrz.?-z trc-r cr, ~ c u E c : ' ~ ~ : (5)
S i n e ~ h n r z e t t f l n v f n s e pue l e caLculxr 3 a ~ c ? l u c i 6 n can cie:: ts faci?+i ri.r.2 :
in:iliz~r.2? ~?;irrc ?e 1.03 rr.8tolcs ?.?~FI rzc: T w ? : prrb!.er.üe ,'e prcgrmar i6r .
cuzdrstica con re~triccfane~ lineales.
c) Mínimos cuadrados ponderados s i n restricciones de no negatividad
E' inccnvenfer-te cpe puede presentarse ea l o s mÉtctdoa anteriores e8
que 108 t é m i n o 6 ciel error no se panderai: d c ccuerdo con la importanciz
relativa d e l coeficiente. En particular, la acluciBn puede 2resetitar coe-
ficientes no nulo8 cuando los de la matriz or ig ina l lo son, situacibn en
que puede eer deseable imponer la restrfcci6n de que la solucián también
tenga nulos esos mismos coeficientes. La otra situación, algo menos ex-
trema, que puede presentarse ee que coeficientes pequeños sufran graridrs
correcciones, rnie~tras que los coeficlentet; myor~ls cst&& sujeto:: u
correcciones pequeñas , modif icaildo as2 aprcciab lemerito la estructura dc
l a matriz. Ea Ease a estas consideraciuries se arriba al objetivo a m h i -
donde w representa la importancia asignada al docvfo correspondiente i j
-un valor m& baja indica quc e1 desvfo absolutc debo 6er menor-. Sc l ~ ? p 3
ne que ectov ~ ~ k f i c i e n t e e de ponderacibn no non n c g a t i v ~ s , y que cul;i;dc
u.. es nula la solvcidn debe cumplir cün 13 igualdad d . . = u. .. CIEG eii 1 3 =J 13
E s t e caso AL cor,;zira dircctameiite un cosficiciite dcl la zciluci6ri c ~ i l uila
de l a tabla cr ig inal , es m& uiiportaiite q ~ c Ccs nisui~s G e a n cmpsrablcs,
es decir que 138 dos sumas B y u a e m & magnitud no muy disfmil. Es-
to puede lograrse iriultiplicandu la matriz original A p o r algGn número
pocitivo conveniente, si fuera necesaria.
Como en el caso descripto bajo a) : l a solución puede presentarse en
n o t a c i h matricial a f i n de calcularla directamente. Para ello se proce-
de minimizando el Lagrmgeano
L L = 1/2 zMxh' (dij - a. .) / w.. - p (D e - b) - ( e D - q 11 =J
obteniendo las condiciones nec,eaarias
equivalentes a la ecuación malricial
donde W e R la matriz de las ponderaciones w ij '
Definiendo W'e = v ,
e W m u, posmultiplicando la ecuación (7) por la columna e , y luego pra-
multiplicándola p o r l a f i l a e , recordando los s?mbolos para las sumas
de las filas y d e las columnas de las matrices A y D , se obtiece la
ecuaci6n
Esra ecuacíEn, puede resolverse p o r medio de una inversión de la ma-
triz d e l sistema, si se cumple un supuesto de interdependencia de 1.0s
4! coeficíentes 32 ponderacibn - . Si sc h p c n e la r a c ~ r t c c i á n adic ional
p e e q -que es admisible ya que e x t s t e un grad~ de l ibertad gara l a s
mult ipl icadarzs dc Lagrange en la s o P ~ c i 6 n - se llega a la C~rmulnci5a
4/ Ver el asEndice 1 para una fomulaci5r. ri-guxosa de esta condición de - interdependcncfú y Za demoetracibn de que la matriz de coeficientes d e l sistema es regular.
tos valores para l o s multiplicadores p y q permiten calcular la
matriz D en base a la ecuación (7) , quedando asE resuelto el problema.
El lector podra verificar que tamblgn por metodos l ineales se re-
suelven dos criterios relacionados con el aquf presentado. Uno de e l los
c d n s i ~ t e en elegir como objetivo la minhización de la expresi6n
mientras que el o t r o utiliza como objetivo la expresión
siendo de ambos casos variables l a s A , y tomaida como restriccioiic::
l a s ecuaciones (1). La expresión (9) p e r m i t e que el proceso de optimi-
zación e l i ja el nive l adecuado para l a m a t r i z o r i g i n a l A de transacei~
nes, determi~ando dicha n i v e l , indicado por l a variable h . La expre-
sión (10) permite más f l e x i b i l i d a d , al ajustar cada columna de la matriz
A endbgenamente. En este caco se supone que: es importante mantener la
estructura de las columnas, coma sucede en aplicaciones d e l modelo de
inaumo-producto. Un método que considere m$s importante mantener la es-
tructura de las f i l a s se obt iene intercambiando f i l a s y colunmas.
Podrfa pensarse en generalizar aún m á s el problema, permitiendo un
ajuste simult%noo de f i l a s y columnas, de manera que, por ejemplo, en
(10) se multiplica cada coeficiente de l a matriz A por una variable
cuyo fndice depende de l a f i l a , ademgs de l a variable cuyo fndice depende
de la c o l m a . Este criterio expresa el deseo de que la soluci6n se a-
cerque a una matriz b i p roporcional a la original, man teniendo s imulthea-
mente al. mfnimo Pos desvfos , En este caso l a solucí& no puede calcular-
se por vfa d e l álgebra l ineal Gnicamente, debiendo procederse de manera
parecida a la soluciÓn por el mgtodo RAS.
d) M bimos cuadrados ponderados, con res t r iccionea de no negatividad
La solución presentada para el método anterior puede contener ele-
mentos negativos. Si es importante excluir esta posibilidad, ser6 nece-
sario minimizar uno de los tres objetivos indicados por las expresiones
(6) , ( 9 ) o (10) , con consideración de las restricciones (1) y la consi-
deracidn adicional de laa restricciones de no negatividad de las varia-
bles. Como en el caso presentado bajo b ) , l a solucidn no puede obtener-
ae por medio de una f8rmula explfcita. Sin embargo se la podrd calcular,
con cierta f a c i l i d a d , utilizando algGn algoritmo para resolver problemas
de programación cuadratiea con restricciones lineales.
Corno comentario general a mfnimos cuadrados ponderados , debe tener--
se en cuenta que, si la matriz de ponderaciones W no tiene nulo8 los
cuef icientes que corresponden a los ceroe de la tabla de transacciones
original A, la soluci6n probablemente proporcionará coeficientes no nu-
los donde l a estructura original tenfa caef icientes nulos .
3 . CbLciaó DEL mfiii$G zRT,uk j.&Lks,'f*;:d i,'&ipiCi
En vez de minimizar un promedio de los desvfos cuadrbticos como en
los mEtodos de cuadradas rufnimos , se puede requerir la reducción a su mi-
n i m o d e l mayor desvfo relativo absoluto. En otras palabras, si se defi-
ne como desvfo relativo absoluto a la e x p r c s i h
este objetivo puede expresarse como e l de minimizar la expresign
suje to a las condiciones (1) y la no negatividad de la8 variables.
El problema asf planteado no es l i n e a l , ya que en la definicidn (11)
interviene un valor absoluto y un cociente para cada par de Indices.
Sin embargo, es pos ib l e transformarlo en un problema con objetivo l i nea l
y restricciones en forma de desigualdades, para l-iaLLar la solución por
medio de l o s ngtodos usuales de programaciS;? l i nea l . A f i n de demostrar
esta afirmación, nótese que las ecuaciones (11) y (12) pueden resumirse
en laa desigualdades
t > > - --(D + AA) D - AA - &(D + AA). i L
estas desigualdades se reducen a
P o r medio de las ecuacloncs (1) y sustituyendo las sumas de f i l a s y co-
lumnas de las matrices A y D por sus s h b o l o s , se l l ega a las condi-
ciones
Finalmente, como el numerador de la expresibn (11) nunca excede al deno-
minador -recuErdese que t:inguno de los sfmbolas ea negativa- 81 valor 6p-A
ttmo para 5/2 no excede a la unidad, de ~ a ~ e r 3 que la defii1ici6n de x
i ~ d i c a qee el mfnimo para </2 ze alcanza cuando r ec máximo. En cor,sc-
cuencia, el problema reformulado consiste en calcular el m k i m o d e x
suje to a las condicionee (13) y (14) , un probleiiia que es, evidentemente,
d e programación l inea l . h'o es neceeario tetier en cuenta en f ornia explg
cita la condición de no negatividad de loa coeficientes de la matriz D
ai de la variable X , ya que ésta se cumple auco~6ticamenre en la solu-
ción Gel problema derivado.
luede verse que las ecuaciones del problema de máximo, as5 plantea-
da , son siempre consistentes; basta para e l lo sustituir en (131 y (14) a
2, y , x por cero. En cambio, aunque este heclio no es muy probable, e-
xiste la p o s i b i l i d a d de quc la solucibn no esté acotada superiomeiite.
Como i a matriz 2 es:S crcctada por la matriz or ig ina l A -ver desigual - dades (13)- ufi ri5ximú in f í z i t o requiere que i a su:ras niarginalcr dados
para Ea matriz ajus::asia G sea= propcrcionoles a las silmas correspon-
d f c c t c ~ de la& filas p colunuias de la matriz h. Ccrr,o cero eo cviclciite
con m a ~ i m p l e inspeccisn Z E los dato^, este caso puede excluir~e por
poco interesante, ya que la so luc ibn consistirá cn una matriz cuyc; ele-
nientos son todos proporcionales a la matriz origifinl. Si de todos acdoo
sc Jesca i n c l u i r este c a 3 ~ en cl anális is , deber2 ut i l i zarse un algorit-
z o pare ia solución dsl írc>lma que, no ~ 6 1 0 iaiiiquc que cl z h j c t i v o nu
e ~ c S acotado sino quc, prcpcrcime la diraccibn en ,;tic la aoiuciBn puede
aumcntar el objetivo en foma i l imi tada -tales algoritwos han sido im-
piementadoo aunque no san tfpicos-.
Si bien ea posible calcular la solución por medic d e l mgtodo s i m p l e
i~kra programación l inea l o algún otro algoritmo general, la estructura
dc1 problema p e r m i t e seguir un método mucho m8s eficiente, Si se cono-
cen los valores de x e y , la matriz 2 se puede determinar par medio
de un algoritmo para la soiuci6n de problemas de transporte -ecuaciones
114)- con restricciones sobre la capacidad -desiguaidades (13)-. Como
oe sabe, estos mgtodos son más eficientes que e l mgtodo simplex, ya que
tcman en cuenta la estructura especial del problema, que permite calcu-
lar l a solución por medio de simples sumas y res tas , s i n necesidad de
efectuar multiplicaciones o divisiones. La estructura d e l presente pro-
blema es a l g o más compleja, pero es p o s i b l e utilizar el metodo de decam-
posicidn de Dantzig, usando 205 métodoa de deteminacibn de f lujos en
redes con limitaciones de capacidad, en uno de l o s subproblemas en que
5 / se descmpone el problema dado. -
En aplicacionea del modelo de insumo-producto, como y a ee ha hecho
notar, puede ser importante alterar lo menos posible la estructura de
l a s columnas de la matriz A, de modo que será deseable aplicar el cri-
t e r i o de Bptiuto a cada columna por separado, reemplazando la definicidn
(11) por
5 1 Ver el apgndice 2 . -
con una variable d i s t inta para cada una de 1- columnas que indique la
escala d e l eector correspandiente,
Como en el caso anterior, lee relaciones (15) y (12) pueden xees-
cribirse ahora como
> * > &
E(D+ A: ) = - - - < ( D + A l 1.
CI 2 Definiendo t E A / ( e X ) ; Z E D y - x A t; y ~ ( 1 -& ) / 46 (el);
2 x (1 - E ) / 46 ; estas desigualdades se reducen a
Utilizando las ecuaciones (1) como en el casa previo, se l lega a
A estas condiciones debe agregarse la ecuación
que es una consecuencia directa de la definicibn d e t.
Como se notará de Inmediato, el sistema resultante no e s l ineal , ya
que en las ecuáciones (17) aparece el producto de la variable x por el
vector t , ambas incógnitas d e l problema. La solución deberá determinar - se por medio de aproximaciones sucesivas, en base a vectores t: de
prueba, o, mejor aGn , por medio de alguno de los algowitmois d i s p o ~ i i b l e s
para l a deteminaci5n de la solución de crecimiento balanceado de l mode-
lo de von Neumaan, ya que, en el fondo, el presente problema es de le
familia de problemas generalizados de detenninaci6n de vectores caracte-
rfsticos de sistemas l ineales . No noa detendremos en g1.
Desde el punto de v i s t a práctico es quizá conveniente la primera
solucion de esta sección, que tiene l a ventaja de ser fbcilmente calcu-
lable.
DiaresiÓn sobre la euuivalencia de las soluciones obtenidas con d i s t i n -
t o s conceptos de error relativo.
Considérese l a siguiente definición de error relativo entre dos
matrices no negativas A y D
( 1) 5 = rnaxij / dij -1 a. . l / (t d . . + (1-tl A a - . ) 1 J 13 = J
donde X es un factor de escala calculado de manera de hacer el error re-
lativo 5 mfnirno, y t es un parhetro no negativo y no mayor que la uni-
dad. Se demostrará que el problema de programación l ineal , a que puede
ser reducido el problema def in ido en La sección 3 , d e l texto , es inde-
pendiente d e l valor d e l parhetro t. La función objetivo allf adoptada
corresponde al valor de t 112. Otros valores particulares de interes
son los correspondientes a L O -errores como porcentajes de la magni-
tud de loa elementos de l a matriz original A- y t 1 -errores como por-
centajes de la magnitud de los elementos de la matriz estimada D-.
La relaci6n (1) implica
(2) >
f (t D + (1-t) AA) m D - A A 2 -E (t D 4- (1-t) A 1 0
que se reduce a
(3) > >
A ' 2 = 9
si se define
Como relaciBn inversa a la primera definición de ( 4 ) puede tomarse
Ahora Lieli, la ~oluci611 Óptima del problema d e maximizar x sujeto
a las condiciones (31 y
( 4 ) Z e - b y + B x = = e Z - c y + $ x = O
d : ~ un valor no negativo (posiblemente infinito) para x , Para tales va-
lores de x la ecuación (5) indica que aumentos de x son equivalentes
z disminuciones de E , y , por lo tanto, el m%cimo d e x corresponderl a
un mfnimo de F . Esto es valida aun para l o s valores extremos de cero y
uno para t , en los cuales la ecuaci6n ( 5 ) deber5 interpretarse como cl
límite que toma esa expresih cuando t tiende al valor dado,
Para f inalizar ae proporci onarsn las fórmulas a que ae reduce (5) :
( 6 ) 5 m 1 / (1 + 2 X) para t O 6 1
E = 2 ( 1 + 2 x - 2J*)»') = 2 d z - ) 2 para t = 112.
Apéndice 1. - Existencia de una s ~ l u c i h Gnica en el caso de minlmos
cuadrados ponderados.
Eii el texto sr! iia afimado que 13 matriz, cuya inversa se indica en
la ecuacizn (81, ea regular -es decir, su inversa existe-, si se cumple
la condición.
(1) 'Lnterdependencia. - Loa coeficientes de la matriz de ponderaciones
W corresponden a un sistema interdependiente, si para dos
subconjuntos arbitrarios I y J de M y N, respectivaen-
t e , se cumple sieinpre la desigualdad estricta
{ J . . > o , ' I ~ J Wi j + 5 I'XJ 1,
donde 1' y J t representan los complmentos de I y J en
M y N , respectivamente.
Esta condición se d~ siempre en la práctica, si a coeficientes posi-
t ivas da la matriz A correspanden ponderaciones posi t ivas , pue8 la ma-
t r t z A cumple con esta condición cuando hay, al menos, un sector que
rcaliza trans~cciones en forma directa o indirecta con cada uno ¿e l o s
dcmzs. Si esta cundición no se cumple, el sistema econ&fco se divide
en dos partes completamente independientes entre sf , y entonces es posi-
ble analizar a cada una de ellos por separado,
Para demostrar que la matriz mencionada es regular, resulta suf i -
ciente demostrar que es pos i t iva def in ida . En otras palabras, si se la
pre- y posmultiplica por un vector arbitrario (x ,y) , debe d c ~ o ~ t r e r s e
que el resultado no es p o s i t i v o 8610 si este vector es nulc. Efactuan-
do dicho producto, se obtiene
- E w . . (xi + y . ) ' + ( e x - e y) 2 m 11 J
donde se ha uti l izado la definici6n de los.vectorss u y v. Como la s
ponderaciones no son negativas, este expreaian no puede eer negativa,
ya que ea una suma de términos no negativoe. Ademh, para que la expre-
sicri mulc es i:eccsilrio <;:? se 3nuL~:; t o d o s sus r;Z:.i.;iuos. Ec. : tc s i g -
>!,fFca, i3il ps3iier :.usar, anular cl ~ar2:itesiz 9ue si.gue a cada 1jciil-Jura.-
1 { i ! x, = :<,). J. c
7 ?l c o i i j ~ ~ ~ b o di:: coardcl:zdil:; C!C igu01es a la irrinera dc x con sig--
S i I no c o i n c i i l ~ can ti, o si. 3 no coincide con X , la condic izn (1)
i ad ica que
cs d e c i r , qzc existe, o bien a l g h par ( i , j ) con i i ~ , 1, j c .3' para cl
q ~ e la poiidcraciói; es p o s i ~ i v a y por lu t a i i t o 1. c: -x = --.* "*1 o I,-i.cin a,;.
' j i ., -
~ G i i par (i. ,j) cori i c i 1' , J a 3 para el q u c l a i ia~d~rac i6 i i es: l i c s i t ivs
- dcfinici5i1 de 5 , mientras quc an cl scgundo ijc contraciicc la defiilici5iz
de 1; por e l l o todos lou clcmentos dc x c y deben ser p x ~ p c r c i o n a l c ~ ,
es decir
x = c; y -1 2,
Cotiio tat:ibi$ii cl Ciltiiiio ~¿Qriiiii;o dc 12 c ~ ~ r c s i . 6 ~ ; :>ajo ~ 3 t u J i . 0 CICUC ;:.-
ririharsc?, ;?uec!c vcrSL dc iil;:iciliato que J. dc5e : . t i ~ nulr;, i;ie:~da iiaf.or cii
cordcecueiicia tanto s. coica y. Es to deniucciera la rifiazaci~ii hcchn al
u r k c i ~ i o dc C S L ~ ap6- L L G L C ~ . ' *
Apéndice 2 . - Algoritmo para minimizar e9 error relativo máximo.
Si bien es p o s i b l e determinar la solución d e l problema planteado en
la s e c c i h 3 d e l texto por medio d e l m&todo simplex, la estructura espe-
cial d e l sistema de restricciones sugiere la p o s i b i l i d a d de hallar algGn
mstodo m& eficiente que un algoritmo general, El algoritmo que se preeen--
tará a continuación toma en cuenta dos de las caracterfsticas del proble-
ma. La primera es evidente en las desigualdades en (13) del t e x t o , que
muestra que un número considerable de restricciones -exactamente n x m-
consisten Gnieamente de una cota superior a las variables ,ademh de la co-
ta inferior usual en l o s problemaa de programación lineal dada por les
condiciones de no negatividad, En lugar de incorporar estas cotas su-
periores explf citamente al problema, es más eficiente tratarlas de acuer-
do con el mgtodo ideado por Dantzig (1963) para cotas superiores, de
manera que las eeuaciones se reducen a las m -t. n en (14) del texto, A su
vez, estas Ú l t i m a s ecuaciones presentan la estructura especial de un pro-
blema de transporte, en lo que se refiere a %os coeficientee de las va-
riables incluidas en l a matriz 2. Esto no es cierto para l a s coef i-
cientes de Las variables x e y; por tal motivo no es p o s i b l e calcular
l a eolución por medio de un algoritmo para resolver problemaa de trane-
porte, Sin embargo, SI es pos ib l e descomponer el problema en dos, de
acuerdo con el mgtodo de descomposicilh de Dantzig (1963) aplicado al
problema duaP, o el de Beale aplicado al problema directo. Uno de
l o s subproblemas tendrá entonces la estructura adecuada para la aplica - ciÓn de un algoritmo de transporte. EP algoritmo detallado a continua-
eiÚn está inspirado en estas cmsideraciones, con una aimplif icaci6n
adic ional , permitida por el hecho de que las sucesivas tases son casi
triangulares, que p o s i b i l i t a hallar la solución exacta d e l problema,
A fin de poder describir la solución necesitamos formular el proble - ma y su dual. El problema directo o primal es
(P> m e x x sujeto a
c < Q = Z - A
Z e t b y + 8 x u O
e ~ - c y + 8 X = O
Por m d i o de una matriz M y dos vectorea p y q de dimensiones
apropiadas podemos escribir la función de Lagrauge , eumando las res tric-
ciones convenientemente multiplicadas:
t u x + t x (A-Z) - p (&-by+ Bx) f (e2-cy-1-$x) q
donde el sfrnbolo tr indica la traza -es decir la suma de l o s elementos
de la diagonal- de la matriz que fe s igue , mientras que el apóstrofe '
indica transposición . Los tihninos independientes de las variable8 del primal no8 dan la
funci6n objctivo d e l dual, mientras que las restricc5ones de éste se ob-
tienen calculando 1 s derivada6 d e l b~rangeano con respecto a las varia - bles d e l primal , tenZendo en cuenta las restricciones de no-negatividad.
21 resultado es el problema d u d
(DI min tr l!' A sujeto a
PB - = 1
p b - c q = 0
Lcs fines del aPgorit=io nos interesan en particular las relaciones
de cmplenentaxidad entre los dos problemas, (P) y (D), Estas se dedu-
cen conparsndo las primeras restricciones de (P) con las Últimas de ID) ,
y en forma explIcita s m
implica q j
Eliminado lcs coeficientes. de la matriz II con lz ayuda de las 61-
tf;?a.; r e ~ t x i c c i o n e s d e (DI se llega a la formulación equivalente
P . > q implica zij - O 3 j
Pi < q j implica 2.. = a.. 33 13
A fin de simplificar la exposici&, supondremos que no se presentan
problemas de coLuciones degeneradas. Si bien , debido a. la estructura es-
pecial del problema, ea muy p o s i b l e que en alguna de las iteraciones no
se produzca un aumentc en el valor de la función objetivo, en la práctica
Esto no ofrece problemas, pudiendo resolverse l o s casos en que hay varios
candidatos para abandonar la base, por medio de alguno de los procedi-
mientos conocidos -orden lexicogrgf ico , perturLac5Ói, selección al azar-,
A continuación se explicarán lag etapas principalea d e l algoritmo, d e j m-
da para el final un sencillo ejemplo num&rico.
Iniciacibn d e l algoritmo
El primer paso consiste en la determinación de una solucí611 básica
arbitraria a las restricciones de (P) , con e l agregado de que x sea
nula. Dada la condicián de consistencia (C) d e l texto, siempre existí-
rá una eoluci6n no negativa a l a s ecuaclone~
ta l que los elementos de la matriz Z correspandientea a elementos nulos
de la matriz no negativa A, son nulos. En base a teoremas del Qlgebra
elemental -véase, por ejemplo, Dantzig (1963)- existirg una soiucidn bá-
O sica que se denominar5 Z mientras que los elementos de evta matriz Y'
que es& en la base -en nGmero igual a mi-n-1 debido al supuesto de no
O degeneración- formar& el conjunto t5sico S . Para la deeermínaci5n de
e s t a base i n i c i a l podr6 utilizarse cualquiera de las mÉtodas pzra re8ol-
ver el problema de transporte con restricciones sobre las rutas, por lo
cuat no se presentar& 106 detalles.
A f i n de cumplir con les cotas superiores indicadas por la s primeras
res t r i cc ione~ de (P), es suf ic iente inulti.plicar la aoluciSn básica ini-
c ia l por un nGraero s o s i t i v o detcrmicado. Tomando el mayor número p o s i t i -
O vo , t a l que se cuui~lm. Isc cotas superiores, y denominhdolo y se ten-
drá que
satisfacen la8 restricciones de (P). Las varhbles idsicas formar& un
O o conjunto B , que se obtiene de S de la siguiente manera. Debido a la
O O definición de y habrá un elemento de Z igual a su cota superior. Esta
variable, p o r lo t a n t o , se excluirá de La base, debiendo ser considerada,
O como variable no b s i c a en su c o t a super ior . Por o t r a parte y es pos i -
t i v a , de manera que habrá que incluirla en la base. Esto significa que
3' es igual a SO s i n una de las variables en su cota superior pero iriclu-
O O yendo a y . EL conjunto S recibe el nombre de seudobase, y será de
Euma u t i l i d a d durante el cblculo,
El práximo paso consiste en in.troducir x en la base. Para simpli-
f icar la soluciSn, aprovechando la estructura d e l problema, es Útil des-
componer la matriz Z de acuerdo con la ecuación
Se supondrá que Z satisface las ecuacianes (2) y satisface Y
de manera que l a matriz Z def in ida en (3) satisface automáticamente
las ecuacioncs en (P). Para calcular las matrices 2 y Z se emplea- Y X
rá la seudobase ccrriente; los valores de x e y se determinarán de ma-
nera que las variables en la seudabase, que no son básicas, no se alte-
ren. Además su nivel debe ser tal que, a l i n t r o d u c i r una nueva variable
en la base, se elinine alguna de las anteriores.
Al iniciar el primer paso del algoritmo deberá entonces deter-
1 minarse 2 de manera de que se satisfaga la ecuación ( 2 ) por medio de la Y
O seudobase S .
Por supueato, la solucián será simplemente
1 Como la seudobase es triangular, el cálculo de Z es inmediato, ya
X
que sólo es necesario realizar restas en e l orden conveniente. Si el
elemento (k,h) de la matriz Z es no básico pero eaeá en l a seudo-base,
se calculará la matriz auxiliar
1 1 1 donde dyl = (X)kh ; dx = para que el elemento (k,h) de D' sea
L nulo . Podrá entonces calcularse el nueva valor Z para la matr iz Z en
base a la fórmula
1 debiendo t ser máximo h a j o la condiei6n de que se cumplan laa cotas su-
periores e Inferiores para La matriz 2 dadas en {P) , es decir , r debe
Si ( i , j ) son l o s subfndices de un elemento hss ico para el que una de las
desigualdades en la def inic icn ( 7 ) es una igualdad, o sea, el elemento
que mL=s restringe el incremento en t , se habrá hal lada la variahle que
debe abandonar: l a hase. Restimiendo:
Una vcz i n i c i a l a d o el ~ l g o r i t m o en l o forma descripta, re puede pro-
seguir con los pasos s iguientes . Como $SLOS son s i n i l a r e s , darezos l a
¿escril;ciÉn dcl cicLc gccgricc k, para IE = 1, 2, 7, . . . , que permite pa- i ~ k k k k
sür d 2 los datos c o n c c i d o ~ x , y , Z , 3 , S a los necesarios para el
ciclc s i g u i e ~ t e .
Ciclo k
C::i!a c ic lo se cmpoae d e varios pasos. El primero cofisiste en de-
termtr:,;. s i la soPuci& eorrrente es o no 6ptima. Si lo es, ei problema
sc ha l l a rcsuelt:~, mientras que si no lo es resulta necesario determinar
la nueva variable que debe ingresarse a la base. Es obvio que tanto x
como y siempre serán básicas, de modo que sólo habrá que analizar los
elementos de la m a t r i z 2. Finalmente será necesario modificar las va-
rcables bás i cas hasta que ar.a de gstas abandone la base, hallando así
l o s nuevos valores para las variables, la nueva base, y la nueva seudo-
base. Se describir5 a continuacibn cada uno de estos pasos.
a) Cálcula de las variables del d u a í , a f i n de detectar la soluciÓn 6p-
t i m a - Como surge d e l a n á l i s i s de l o s problemas de transporte, una base en
tales problemas es siempre triangular, es decir, el sistema de ecuaciones
para hallar loa valores de las variables bSisicas es triangular, permitfen - do calcular una a una en forma recureiva, s i n necesidad de resolver si#-
temas de ecuaciones eimuitheas, En el problema presente la hase consta,
como en l o s problemas de transporte, de rrir-n-1 variablee. Sin embargo,
no todas son elementos de l a matriz 2, y a que t a n t o x como y se ha-
l l a n siempre presentes. En cada ciclo, l a seudobase se mantiene trian-
gular, como sí fuera la base de un problema de transporte. Desde el pun-
to de vista de la teorla de las redes, l a sed cuyos nodos son 3.a~ f i l a s
y columnas de la matriz, y cuyas aristas son las variables básicas,
forma una arborescencia,-es decir, no contiene ciclos-. Ai pasar de la
seudobase a la base hay q ~ e eliminar dos mis tas -la base contiene dos
elementos menos que la matriz 2- y Estas neeeaariameate dividen a la
arborescencia en tres partes inconexas. Las condiciones en (1) implican
que si (i , j ) está en la base, entances p i = qj
, de modo que las cansi-
deraciones anteriores dan la clasificación de las filas y columnas en
tres clases, con precios -variables del d u d p y q-iguales para todas
las f i l a s y columas en una de las tres clases, Como no todas las ecua-
ciones son independientes -resultado conocido de los problemas de trans-
porte - será p o s i b l e asignar un valor arbitrario a los precios en una
de estas claaes, cera por s impl ic idad . Asignando el valor de r a los
precios cn otra de las clases y el valar de S a l o s de la tercera, e
intxoduciendn estos valores en las primeras dos ecucianes de (D), se
obtendrán dos ecuaciones en las dos incdgnites r y G que, una vez re-
sueltas, permitir& determinar todos los precios. Si con estos precios
se cumplen las condiciones (1) para las cmbinaclones d e subfndices r,c
Lasicas, se habrá l legado a la solución 6 p t i m a . En caso contrzrio será
necesario modificar los valores de las variables, efectuando l o s 2 ~ s c s
siguientes.
b) De terminación de la nueva variable 5ásica
Esta etapa es sencilla. Ai verificar las condiciones (1) se ha-
brán presentado casos en que éstm no se cumplen. Cualquiera de ellas
da una indicación da que la variable correspondieree p ~ e d e ser introdu-
cida c m provecho. E2 usva l introducir l a varia5le para la que el cri-
terio da la diferencia mayor, aunque esto no asegura llegar a la solu-
c ) !ktemi.naciÚn de la nueva s c u d o t a s ~
Las variables que s3n elementos de la matriz Z y que se hallan
1c en la base c c i r r i e ~ t ~ E' , jcnto ecn 12 Cueva variable deteminada en la
sección =teriapr, nc pueden formar una red qae contenga un ciclo, ya que
e l l o no era c i e r t o para dichas variables b%icas , y ej . la variable nueva
cerrara el c ic lo , ésta tendrfe que ocupar un lugar para el que p. E q j J.
1-, por lo tanto, nc padpta hzlier sido seleccionada pzrz cntrar en la La-
sa. A f i n de constrr i ie lo nueva seudobaso sk'l es suficieate completar
esta a r b o r ~ c c c n c i a de rnh-2 arista8 a una con una arista m&, elegida ar-
bitrariamente entre laa pos ib l e s variables que no cíerran un ciclo con
las anteriores. For brevedad, E s t a variable adicional recibir5 e l nora-
brrl d c la variabie seud~55s;ca, pero en real idad ns es la Gnica en
,tc+l kv¡-1-, -üurique lo r s cn 3 i3
d>;Cs?cula 6r los can;F,ios las variables básicas
k+l Conociendo la seudabsse S se calculan rápidameate, como en el pa-
so inicial, lüs mabriscs 2 y zk'l, que deben cumplir con las eiuacio- X Y
ncn (S ) y ( 2 ) , re~pectivancnte, Como en el paso i n i c i a l , también se
determinan dx k f l k4-3. ki-1 kl-1 )h ; d~ - '% )hu , donde (h,u) se
rcf iere a l a variable seudcb~sica, y
El valor d e l nivel ea <LE deben ser incrementadas l a s variablcs eocarlí
dado par
(91 ,k+l n a l t : - z k = t D ~ 3 - 1 k
" A - Z )
de manera que
cumpla con las cotas impuestas por las primeras relaciones de (P). Nue-
vamente habra un par de subfndices (i,j) para lo^ cuales l a s restriccio-
nes que definen a tH1 son e£ ectivas. La variable correspmdieote es la
k k-l-1 que debe eer eliminada de la base B para convertirla en B , incorpo-
rando por supuesto la variable bh ica nueva determinada en el paeo b) . Si z resulta ser la variable que se intentaba introducir en la base, ee
i j
tendrá B k-kl = Bk
Como antes, se calculan l o s valores
y se repite la secuencia de operaciones d e l c ic lo t í p i c o desde el cwiien-
z o , una vez incrementado el valor de k en una unidad.
El lector puede verificar, que la secuencia de soluciones básicas
ea la misma que ee obtendrá de una aplicaciBn directa d e l método s imple
al problema (P); por lo t a n t o queda asegurada l a terminacih del aigoxit-
mo en un nGmero f i n i t o de c i c l o s , si se trata debidamente el problema de
bases degeneradas. La terminacih puede darse al alcanzar el Sptimo ea
e l paso 3 o por obtener un tk'' so en el paeo d ) , indicando una solu-
ci& exacta, es decir con error relativo nulo, del problema -inicial, por
ser proporcionales las sumas marginales de la matriz A y las d e la ma-
t r i z D deseada, Si b - 6 p
c = s 'd
la nnluci6n ser$ obvimente
6 A
€ = O Ej mplo numérico
Suphgase dada La matriz
con sumas marginales
siendo las sumas marginales de l a matriz D buscada
b' = (64 ,105 ,76 ) ; c (39,93,113) ; S = 245
Se desea calcular la matriz D que presente el menor desvSo relativo 6-
xiruo pos ible .
Iniciación - Debida a que la matriz A es pos i t iva , la determinacibn de la base
inicial es muy senci l la . La matriz 2' Y
se ha calculado de la siguiente manera, En primer lugar s e anotaron en
loa márgenes los to ta les , es decir, los vectores b y c. Comenzando
por la primera f i l a , se inscribid en el. mayor valor consistente con loa
totales de los márgenes, de modo de no excederlos. Asf se continud haata
agotar la primera f i l a . Luego se continub con lz segunda f i l a , para fina-
l i zar con la tercera, Esto procedimiento siempre produce una soluci6n bá-
sica, como ae sabe por el análisis de sistemaa de transporte, Los elemen-
O tos de l a base in ic ia l S , son los elementos posit ivo8 de la matriz asf
hallada,
Para calcular el valor inicial de y es necesario d i v i d i r cada ele-
o mento de A por el correspondiente de 2 señalado con un asterisco, dan-
Y do un valor
Ciclo O
La matriz
se calculb anotando en primer lugar los totciles marginales dados por los
vectores B y f. Como los elementos de SO corresponden a una base, es
siempre pos ib le llenar los distintos espacios de una mancra Gnica, con-
sistente con las sumas marginales y la condicidn de que los elemento^ no
básicos aean nulos. En este caso se ve de inmediato que hay un s o l o ele-
mento en la primera columna, de modo que &te debe igualar la suma de di-
cha columna. Restando este niímero del total de la primera f i l a e igno-
rando la primera columna en lo sucesivo, puede notarme que e8 ahora l a
primera f i l a la que contiene un solo elemento bssico, procediéndose a
anotar el total nuevo de la f i l a en ese lugar. Estas paso8 siempre pue-
den ser cumplidos, puesto que la red asociada con la base es una arbores-
cencia, de modo que, al @liminar aristas, siempre queda alguna -al menos
dos- inc idente en un nodo que no está ligado a otra arista.
Ai calcular yo se determin6 que uno de los elementos eeudobásicos
será v2 ; por lo t a n t o se fendr3.
I Aplicando (7) para calcular t se obtiene
1 señalándose con un asterisco el elemento de la matriz D correspondiente
a Pa variable que d c j a la base, ñecordando las f 6mulas correspondientes ,
se t iene
Ndtese que todas las variables tienen denominador carnGn& = 17. El deno-
mixador de t1 era 425 = 25 x 17; el factor 25 era el denominador contGaín
d e las variables antes de comenzar el ciclo. Este I i l t imo factor pudo
ser s impl i f icado , pues 20s numeradores resul tantea, después de aplicadas
ias f6mulas para efectuar el cambio de los valores de las variables, son
mÚltiplos d e l mismo. Esta propiedad se mantiene constantemente, y es una
consecuencia de l a casi triangularidad de la base, que garantiza que las
variables tomen valores racionales con denominadores que son deteminan-
tes de orden 2 formados con sumas marginales de las dos matrices, es
decir, con elementos de los vectores b, c,#3 y 6. Por o t r a parte debe no-
k k tarse que las matrices Z y Z se calculan, en cada ciclo, por medio de x Y
sumas y r e s t e , s iendo, por lo tanto, enteros si los datos originales son
k enteroa, Tambign la matriz D estar6 en ese caso formada por elementos en-
teros, Esta propiedad puede ser empleada para calcular la solucidn racio-
nal exacta al problema, como se hará con el ejemplo,
Ciclo 1
a) Precios
Recugrdese la matriz 2 1
1 que ha sido multiplicada por el denominador comGn para mayor cmodi-
dad. Loa elementos bgsicos han s i d o inscriptos en un clrculo, y en los
mfrgenes se han anotado los precios. Como en la primera fila no hay ele-
mento básico alguno, e l precio r corresponde Gnicamence a esa fila.
Del mismo modo el precio 8 correeponde Gnicamente a la primera columna.
En cambio el tercer grupo de fila6 y columnas corresponde a las f i l a s 2
y 3 y a las columnas 2 y 3 , que esth relacionadas entre sf por ser
b ás ieos los elementos zZ2 , z2 j, y =33* Por lo tanto les corresponde el
mismo precio , que se iguala a cero por comodidad -recuérdese que uno de
l o s precios puede ser asignado arbitrariamente. A fin de calcular x y
s se ut i l i zan las dos primeras ecuaciones de (D), bastando con reempla-
zar la unidad de la primera ecuación. por un niímero positivo arbitrario,
gracias a l a homogeneidad del. sistema de ecuaciones. Se tiene asf
que puede ser simplificad^ a
7 r > 4 s
64 r u39 s ,
sistema que tiene una s o l u c i h r e 39; s u 64
Reemplazando w y s por sus valores en (121, es p o s i b l e verificar
el cumplimiento de las condiciones (1). Se verd entmcea que Estas no se
cumplen para las combinaciones de subhdices I 1 , 2 ) ,(2,1), y (3,1), ya que
las relaciones entre los precios indican que e deberfa ser nula, mien- le
tras que zZ1 y z31 deberfen ser iguales i sus cotas superiores. En con-
secuencia se ha señalado en (12) el hecho de que ea necesario reducir a l
1 valor de r1 y aumentar l o s valores de z y .zi1 con Elecliae indicando 12 21
la dirección del cambio.
b ) Nueva variable b&ica
, Se elige al azar una de las tres variables cuyos vitiores son h-
consistentes cm l o s precios. En este caso se e i i g i d z21, aeñaiándola can
ua asterisco en (12).
c) Nueva seudobaae
Tres son las candidatas para la seudoba~e, 51,212, y z13, ya que
la^ otras dos variables no básicas, =31 Y 232' e s t h situadas de manera
de formar, con algunas de laa básicas, los vértices de un rect&gulo, in-
dicando la presencia de un ciclo en la red asociada. Arbitrariamente se
elige como seudobdsica a z13, de modo que
La variable aeudob~slca r lJ se ha inscr ipto en un cuadrado en (12).
d) Cambio de base
A continuaci6n se omiten l o s comentarios, por ser la secuencia de
las operaciones similar a las ya efectuadas.
. .
Ciclo 2 .' .
,Nota: igual base significa iguales precios
Ciclo 5
Nota: igual baae a ignif iea iguales precios que en el ciclo anterior,
Aquf todaa las condiciones (1) sobre las relaciones entre precios y valo-
res de lae variables se cumplen. Por lo tanto l a solucidn corriente es la
6 p t h a . El error relativo máximo es
y la matriz ajustada D es
D m (I/Y) (2 + X A)
mientras que el factor de escala es
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
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