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PROBABILIDAD Y ESTADISTICA. 1 Estimación por intervalo Una alternativa para reportar un solo valor del parámetro que se esté estimando es calcular e informar todo un intervalo de valores posibles, un estimador de intervalo o intervalo de confianza (IC) . Un intervalo de confianza se calcula siempre seleccionando primero un nivel de confianza, que es una medida del grado de fiabilidad en el intervalo. Un nivel de confianza de 95% implica que ese porcentaje de todas las muestras daría lugar a un intervalo que incluye o cualquier otro parámetro que se esté estimando, y sólo 5% de las muestras producirá un intervalo erróneo. Cuanto mayor sea el nivel de confianza podremos creer que el valor del parámetro que se estima está dentro del intervalo.
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PROBABILIDAD Y ESTADISTICA. 1
Estimación por intervalo
Una alternativa para reportar un solo valor del parámetro que se esté estimando es calcular e informar todo un intervalo de valores posibles, un estimador de intervalo o intervalo de confianza (IC).
Un intervalo de confianza se calcula siempre seleccionando primero un nivel de confianza, que es una medida del grado de fiabilidad en el intervalo.
Un nivel de confianza de 95% implica que ese porcentaje de todas las muestras daría lugar a un intervalo que incluye o cualquier otro parámetro que se esté estimando, y sólo 5% de las muestras producirá un intervalo erróneo.
Cuanto mayor sea el nivel de confianza podremos creer que el valor del parámetro que se estima está dentro del intervalo.
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Intervalo de confianza
(UCL). superior confianza de límite el
y(LCL) inferior confianza de Límite
:valores2 genera fórmula Esta
estándar. normal óndistribuciuna de derecha cola
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estimador del estándar Errorz puntualEstimador
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-1100 nivelde confianza de intervalo Un
2
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inferior límite %-1100 confianza de nivel El
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Ejercicio 1. Una empresa de material eléctrico fabrica bombillas de luz que tienen una duración aproximadamente distribuida de forma normal, con una desviación estándar de 40 horas. Si una muestra de 30 bombillas tiene una duración promedio de 780 horas, encuentre un intervalo de confianza de 96% para la media de la población de todas las bombillas que produce esta empresa.
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Error en la estimación
nz
excederáno error elque de -1de confianza una
tener podemos ,de estimaciónuna como xutiliza se Si
2
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22
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-1 tener podemos ,de estimacióncomo usa se x Si
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Ejercicio 2. De acuerdo al ejemplo anterior, ¿qué tan grande se requiere una muestra si queremos tener 96% de confianza de que la estimación de difiera por menos de 0.5?
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Caso de desconocida
2 de áreaun deja que
libertad de grados 1-ncon v valor t el es
xx es
%100-1 de confianza de intervaloun a,desconocid
zacon varianpoblación una de aleatoria muestra
una deestándar desviación lay media lason sy x Si
2
22
2
tdonde
n
st
n
stpara
¿Cómo determinamos un intervalo de confianza para la media si desconocemos la varianza muestral?
Utilizando la distribución t.
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Ejercicio 3. Una muestra aleatoria de 10 barras de chocolate energético de cierta marca tiene, en promedio, 230 calorías con una desviación estándar de 15 calorías. Construya un intervalo de confianza de 99% para el contenido medio de calorías real de esta marca de barras de chocolate energético. Suponga que la distribución de calorías es aproximadamente normal.
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Estimación de una proporción
p. parámetro
del puntualestimador el será ˆ muestra
la de proporción la tanto,loPor pruebas.n en
éxitos de número el representa X ,nXP
oestádístic elpor dado está binomial oexperiment
unen p proporción la de puntualestimador
nxp
donde
Un
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Tal proporción sigue una distribución normal estándar con el estadístico.
Donde es la proporción de la muestra.
P P es la proporción de éxitos poblacional.
q=1-pq=1-p y nn es el tamaño de la muestra.
npq
p-P̂Z
P̂
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Estimación de una proporción
npq
p-P̂ Z
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Intervalo de confianza de p de una muestra grande
derechala a
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muestra una enéxitos de iónla proporces p Si
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tener podemos ,pde estimacióncomo usa se p Si
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Ejercicio 4. Un fabricante de reproductores de discos compactos utiliza un conjunto de pruebas amplias para evaluar la función eléctrica de su producto. Todos los reproductores de discos compactos deben pasar todas las pruebas antes de venderse. Una muestra aleatoria de 500 reproductores tiene como resultado 15 que fallan en una o más de las pruebas. Encuentre un intervalo de confianza 90% para la proporción de los reproductores de discos compactos de la población que no pasan todas las pruebas.
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Ejercicio 5. Calcula un intervalo de confianza de 98% para la proporción de artículos defectuosos en un proceso cuando se encuentra que una muestra de tamaño 100 da como resultado 8 defectuosos.
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Estimación de la varianza
derecha. la ,
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22
221
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Estimación de la desviación estándar
2
para intervalo delextremo
cada de cuadrada raízla calcular alobtiene se
para )100%-(1de confianza de intervalo nU
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Ejercicio 6. Una muestra aleatoria de 20 estudiantes obtuvo una media de 72 y una varianza de 16 en un examen universitario de colocación en matemáticas. Supón que las calificaciones se distribuyen normalmente y construya un intervalo de confianza de 98% para 2.
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Dos muestrasEstimación de la diferencia entre dos medias
dado por está
para -1de confianza de intervalo un
mente,respectiva yconocidas varianzas con
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22
1
21
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zxx 22
derechala a
de área undeja que z valor eles z donde 2 2
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Ejercicio 7. Se comparan las resistencias de dos clases de hilo. Cincuenta piezas de cada clase de hilo se prueban bajo condiciones similares. La marca A tiene una resistencia a la tensión promedio de 78.3 kilogramos con una desviación estándar de 5.6 kilogramos; en tanto que la marca B tiene una resistencia a la tensión promedio de 87.2 kilogramos con una desviación estándar de 6.3 kilogramos. Construye un intervalo de confianza de 95% para la diferencia de las medias poblacionales.
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Estimado de unión de la varianza
2
11
21
222
2112
nnsnsn
sp
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Dos muestrasEstimación de la diferencia entre dos mediasVarianzas desconocidas-iguales
por dado para %100-1
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spoblacione de ,ny n tamañosde ntesindependie
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21
21
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derechala a de
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con t valor eles t yal poblacionestándar
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2
2
p
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Ejercicio 8. En un proceso químico por lotes, se comparan los efectos de dos catalizadores sobre la potencia de la reacción del proceso. Se preparó una muestra de 12 lotes con el uso del catalizador 1 y se obtuvo una muestra de 10 lotes con el catalizador 2. Los 12 lotes para los que se utilizó el catalizador 1 dieron un rendimiento promedio de 85 con una desviación estándar muestral de 4; en tanto que para la segunda muestra el promedio fue de 81 con una desviación estándar muestral de 5. Encuentra un intervalo de confianza de 90% para la diferencia entre las medias poblacionales, suponiendo que las poblaciones se distribuyen aproximadamente normal con varianzas iguales.
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Dos muestrasEstimación de la diferencia entre dos mediasVarianzas desconocidas-diferentes
dado por está
para -1de aproximadoconfianza de
intervalo un ,diferentes as ydesconocidvarianzas con
normales mente aproximadaones de poblaci n yn
tamaños de ntes independie aleatoriasmuestras de
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21
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derechala a
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2221
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Ejercicio 9. Los siguientes datos representan los tiempos de duración de las películas que producen dos compañías cinematográficas. Calcula un intervalo de confianza de 90% para la diferencia entre los tiempos de duración promedio de las películas que producen las dos compañías. Supón que las diferencias de tiempo de duración se distribuyen de forma aproximadamente normal con varianzas distintas.
Compañía Tiempo (minutos)
I 103 94 110 87 98 120
II 97 82 123 92 135 88 118
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1
ˆ 1
2
2
n
XXs
n
ii
Datos no agrupadosMUESTRA
n
XXXX n 21
n
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ii
1
Datos no agrupados
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Dos muestrasEstimación de la diferencia entre dos proporciones
dado porestá pp binomiales
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pq mente,respectiva ,n yntamaño de aleatorias
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zpp 22
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Ejercicio 10. Se encuestan 10 escuelas de ingeniería en Estados Unidos. La muestra contiene 250 ingenieros eléctricos donde 80 son mujeres; y 175 ingenieros químicos, donde 35 son mujeres. Calcula un intervalo de confianza de 90% para la diferencia entre la proporción de mujeres en estos dos campos de la ingeniería. ¿Hay una diferencia significativa entre las dos proporciones?
