Cap6(del 1 al 5)

Ejercicio 6-1 Se construir dos V.A y que son marginales pero no de forma conjunta normal. Se inicia con dos V.A normales x y y con densidad . Sumando y restando pequeas masas en la regin D consistiendo de cuatro ciclos como se muestra, se obtiene una nueva funcin tal que en D y en todo lugar. La funcin asi que formada es una densidad; de aqu se define dos nuevas V.A y . Esas V.A no son mutuamente normales.

Sin embargo, esos son marginalmente normales. En efecto, las densidades de y son determinadas por las masas en la parte vertical y la parte horizontal . Como bien se ve en la figura, las masas no han cambiado. Esto muestra que y son normales porque de y son normales.

Ejemplo. 6-2 Suponga que

Se encuentra la masa m en el crculo . Usando la transformacin:

Se obtiene

Ejemplo 6-3 (a) En el experimento de un dado, x equivale al nmero de puntos mostrados y y equivale dos veces este numero

En otras palabras, y

As hay masas solo con seis puntos (i,2i) y la masa de cada punto equivale a 1/6 (b) Se lanza el dado dos veces obteniendo las 36 salidas. y se define x y y tal que x equivale al primer nmero que se muestra y y el segundo

As y Se tiene de ah, 36 asas puntuales, y la masa de cada uno de los puntos equivale a 1/36. Sobre la lnea hay seis puntos con una masa total 1/6

Ejemplo 6-4 Aguja de bufn Una aguja fina de longitud is arrojada aleatoriamente sobre un tablero cubierto con lneas paralelas de distancia aprate, donde Se muestra que la probabilidad de que la aguja interseque una de las lneas equivale a .En trminos de la V.A del experimento, se puede decir que: Se denota por la distancia del centro de la aguja a la lnea ms cercana y el ngulo entre la aguja y la direccin perpendicular a las lneas. Se asume que las V.A y sonindependientes, es uniforme en el intervalo , y es uniforme en el intervalo . Entonces

Y 0 en otra parte. La probabilidad que el punto est en una regin D icluido en el rectgulo R en la figura equivale a las reas de D veces

La aguja interseca las lneas si As equivale el rea sombreada veces

Lo anterior puede ser usado para determinar experimentalmente el nmero usando la frecuencia relativa de la interpretacin de . Si la aguja es arrojada n veces e interseca las lneas vece, entonces

Ejemplo 6-5 Un dado con es lanzada dos veces y las V.A son y tal que

As equivale el primer nmero que muestra y equivale al segundo; aqu las V.A y son independientes. Se concluye

Cap7(del 11 al 15)Ejercicio 7-11 (a) Si luego y

Se sigue que

Se usar esta relacin para expresar la distribucin de en trminos de la funcin . Integrando de 0 a y usando el hecho de que se obtiene

Aqu

De aqu

Ejercicio 7-12 Un sistema es llamado sin memoria si la probabilidad que este falle en un intervalo , asumiendo que funciona en un tiempo , depende solo de la longitud de este intervalo. Si el sistema trabaja en una semana, un mes, o un ao despus se le introduce una operacin, este es tan bueno como nuevo. Esto equivale a asumir que como en la figura.Con

As Entonces un sistema es sin memoria si y solo si tiene una densidad exponencial.Ejercicio 7-13 Una forma especial de de particular inters en la teora de la confiabilidad es la funcin

Esta es una aproximacin satisfactoria de una variedad de tasas de fracaso, al menos cerca al origen. La correspondiente es obtenida:

Esta funcin es llamada la Densidad WeibullCon la observacin se concluye que la funcin equivale al valor de la densidad condicional para Sin embargo no es una densidad porque su rea no es uno. De hecho su rea es infinita. Porque

Ejercicio 7-14 Si la V.A y son normales como en el ejemplo 7-9 entonces la funcin

Es una lnea recta con pendiente pasando por el punto De aqu para V.A normales la condicin principal coincide con el mximo de , se concluye que el mximo de es la lnea recta. Del teorema se tiene que

Esta expresin puede ser usada para determinar Sin embargo, la densidad condicional consiste en lneas de masa sobre la lnea x-constante. Para evitar el trato con lneas de masa, se define como un lmite

Ejercicio 7-15 Suponga que la V.A y son . Se sabe que

Adems, es una densidad normal con media y varianza De aqu

Entonces