ESTRATEGIAS DE CONTROL DIFUSO DEL …deeea.urv.cat/public/PROPOSTES/pub/6/public.pdf · 2.3.2...

ESTRATEGIAS DECONTROL DIFUSO DELCONVERTIDOR BOOST

Alumno: Francisco J. Miguel NicolauPonente: Enric Vidal Idiarte

ETI ELECTRÓNICA INDUSTRIAL

UUUUNIVERSITATNIVERSITATNIVERSITATNIVERSITAT RRRROVIRAOVIRAOVIRAOVIRA IIII VVVVIRGILIIRGILIIRGILIIRGILI EESSCCOOLLAA TTÈÈCCNNIICCAA SSUUPPEERRIIOORR DD’’EENNGGIINNYYEERRIIAA

Indice

1. OBJETIVOS ............................................................................................................12. ESTUDIO DEL CONVERTIDOR ELEVADOR BOOST...........................................51.1 Introducción ............................................................................................................................................... 72.1 Fuentes de alimentación reguladas ............................................................................................................. 72.2 Convertidores continua-continua................................................................................................................ 92.3 Fuentes conmutadas.................................................................................................................................... 9

2.3.1 Introducción...................................................................................................................................... 92.3.2 Hipótesis para el estudio del funcionamiento en régimen permanente y conducción continua....... 122.3.3 Topologías básicas.......................................................................................................................... 12

2.4 Convertidor elevador (Boost)................................................................................................................... 142.4.1 Planteamiento dinámico de las ecuaciones del sistema................................................................... 172.4.2 Promediación en el espacio estado. ................................................................................................ 192.4.3 Análisis en estado estacionario ....................................................................................................... 212.4.4 Análisis en pequeña señal. .............................................................................................................. 23

2.5 Calculo de la Funcion de transferencia..................................................................................................... 242.5.1 Función de transferencia Salida-Entrada........................................................................................ 242.5.2 Función de transferencia Tensión Salida-Control ........................................................................... 242.5.3 Funciones de transferencia.............................................................................................................. 25

2.6 Simulación del circuito............................................................................................................................. 272.6.1 Software de simulación ................................................................................................................... 272.6.2 Parámetros del sistema.................................................................................................................... 272.6.3 Comprobación del funcionamiento en régimen continuo................................................................ 282.6.4 Esquema del convertidor en Simulink®........................................................................................... 292.6.5 Respuesta del sistema ..................................................................................................................... 30

2.6.5.1 Influencia de la variación de la frecuencia en la señal de control .............................................. 302.6.5.2 Respuesta en régimen estacionario............................................................................................. 312.6.5.3 Respuesta ante perturbaciones en la tensión de alimentación .................................................... 322.6.5.4 Respuesta ante perturbaciones en la carga ................................................................................. 33

2.7 Modelo con pérdidas del convertidor elevador ........................................................................................ 352.7.1 Modelo con pérdidas....................................................................................................................... 35

2.7.1.1 Interruptores............................................................................................................................... 352.7.1.2 Condensador .............................................................................................................................. 352.7.1.3 Inductor ...................................................................................................................................... 35

2.7.2 Calculo de las ecuaciones del sistema............................................................................................. 362.7.3 Promediación de las ecuaciones de estado...................................................................................... 382.7.4 Análisis en estado estacionario ....................................................................................................... 39

2.8 Calculo de la Funcion de transferencia..................................................................................................... 392.8.1 Función de transferencia Variables de estado-Entrada. ................................................................. 392.8.2 Función de transferencia Variables de estado-Control.................................................................... 402.8.3 Función de transferencia de la Salida-Entrada................................................................................ 412.8.4 Función de transferencia Salida-Control......................................................................................... 422.8.5 Función de transferencia de la salida .............................................................................................. 43

2.9 Influencia de las pérdidas en el modelo del convertidor .......................................................................... 442.9.1 Influencia en la respuesta del sistema ............................................................................................. 442.9.2 Efecto sobre el ciclo de trabajo....................................................................................................... 45

2.10 Simulación del circuito............................................................................................................................. 462.10.1 Esquema del convertidor con pérdidas en Simulink® ..................................................................... 462.10.2 Influencia de la variación de la frecuencia en la señal de control ................................................... 47

ÍÍnnddiiccee

2.10.3 Respuesta en régimen estacionario ................................................................................................. 482.10.4 Respuesta ante perturbaciones en la tensión de alimentación ......................................................... 492.10.5 Respuesta ante perturbaciones en la carga...................................................................................... 49

2.11 Conclusiones ............................................................................................................................................ 51

3. CONTROL EN MODO DESLIZAMIENTO............................................................. 533.1 Control del convertidor Boost .................................................................................................................. 55

3.1.1 Control por realimentación de la tensión de salida ......................................................................... 553.1.2 Control por realimentación de tensión con red compensadora ....................................................... 563.1.3 Control por linealización entrada-salida ......................................................................................... 56

3.2 control en modo deslizamiento................................................................................................................. 573.2.1 Fundamentos................................................................................................................................... 573.2.2 Bases del control en modo deslizamiento ....................................................................................... 583.2.3 Sistema de estructura variable ........................................................................................................ 593.2.4 Descripción mediante la dinámica de errores del sistema............................................................... 603.2.5 Descripción mediante análisis vectorial.......................................................................................... 62

3.2.5.1 Definición del gradiente de una superficie................................................................................. 623.2.6 Modelización matemática del sistema ............................................................................................ 633.2.7 Condiciones para la existencia del modo deslizamiento ................................................................. 633.2.8 Definición del modo de deslizamiento............................................................................................ 643.2.9 Condición de invarianza. Dinámica ideal de deslizamiento............................................................ 643.2.10 Condición de existencia .................................................................................................................. 663.2.11 Regiones de deslizamiento.............................................................................................................. 673.2.12 Punto de equilibrio.......................................................................................................................... 673.2.13 Estabilidad del punto de equilibrio ................................................................................................. 68

3.3 Estudio sistemático de las estrategias de control...................................................................................... 683.4 Modelización matemática del sistema...................................................................................................... 693.5 Superficies de deslizamiento .................................................................................................................... 70

3.5.1 Superficie de una variable S(x)=v-K=0 .......................................................................................... 703.5.2 Superficie de una variable S(x)=i-K=0 ........................................................................................... 72

3.5.2.1 Simulación del circuito .............................................................................................................. 75

3.5.3 Superficie de dos variables )(2)( vVrefKixS −⋅−= .................................................................. 80

3.5.3.1 Estudio del circuito en el dominio de la transformada de Laplace............................................. 853.5.3.2 Sistemas de fase mínima y de fase no mínima ........................................................................... 873.5.3.3 Cálculo de la función de transferencia del convertidor .............................................................. 903.5.3.4 Simulación del circuito .............................................................................................................. 933.5.3.5 Estudio de la estabilidad del sistema con la introducción de K3 ................................................ 963.5.3.6 Simulación del sistema con la variable K3 ................................................................................. 97

3.5.4 Superficie de dos variables S(x)=i-K2*error-K3, usando el modelo real....................................... 1013.5.4.1 Estudio del circuito en el dominio de la transformada de Laplace........................................... 1013.5.4.2 Cálculo de la función de transferencia del convertidor ............................................................ 1023.5.4.3 Simulación del sistema............................................................................................................. 105

3.6 Conclusiones .......................................................................................................................................... 110

4. CONTROL CON LÓGICA DIFUSA..................................................................... 1114.1 Introducción ........................................................................................................................................... 1134.2 Teoria de los grupos difusos frente a la provabilidad............................................................................. 1144.3 Tipos de grupos...................................................................................................................................... 1144.4 propiedades de la lógica difusa .............................................................................................................. 1144.5 funciones de pertenencia ........................................................................................................................ 115

4.5.1 Representación de las funciones de pertenencia ........................................................................... 1154.5.1.1 Representación mediante una relación binaria ......................................................................... 1154.5.1.2 Representación mediante una ecuación.................................................................................... 1154.5.1.3 Representación mediante una gráfica....................................................................................... 1164.5.1.4 Representación mediante notación matricial............................................................................ 116


4.5.2 Funciones de pertenencia estandarizadas...................................................................................... 1164.6 variables lingüísticas (vl)........................................................................................................................ 118

4.6.1 Puntos notables de una Variable Lingüística ................................................................................ 119 Valor de pico.............................................................................................................................................. 119 Ancho izquierdo y derecho ........................................................................................................................ 119

4.6.2 Puntos de corte de las FdP ............................................................................................................ 1194.6.2.1 Influencia del punto de corte.................................................................................................... 1194.6.2.2 Influencia de la simetría y el ancho.......................................................................................... 120

4.6.3 Influencia del ruido....................................................................................................................... 1234.6.4 Influencia de los dominios discretos ............................................................................................. 124

4.7 estructura del controlador difuso ............................................................................................................ 1254.7.1 Esquema de bloques...................................................................................................................... 1254.7.2 Directrices..................................................................................................................................... 125

4.7.2.1 Ajuste de las reglas .................................................................................................................. 1264.7.2.2 Comparación de los controles difusos con controles PID ........................................................ 1264.7.2.3 Elección del conjunto de términos ........................................................................................... 127

4.7.3 Módulo de conversión a lógica difusa .......................................................................................... 1284.7.3.1 Conversión de los datos a lógica difusa ................................................................................... 128

4.7.4 Motor de actuación ....................................................................................................................... 1294.7.4.1 Representación de una única regla ........................................................................................... 1294.7.4.2 Representación de un conjunto de reglas ................................................................................. 1294.7.4.3 Representación de los valores de entrada................................................................................. 1304.7.4.4 Representación del antecedente ............................................................................................... 1304.7.4.5 Inferencia con el conjunto de reglas......................................................................................... 130

4.7.5 Lógica del sistema. Memoria de datos.......................................................................................... 1304.7.5.1 Elección de las funciones de pertenencia ................................................................................. 1314.7.5.2 Elección de los factores de escalado: ....................................................................................... 132

4.7.6 Modulo de conversión a lógica convencional ............................................................................... 1334.7.6.1 Elección del método de conversión difuso-convencional ........................................................ 1334.7.6.2 .Centro del área / centro de gravedad (CdG)............................................................................ 1334.7.6.3 Centro de sumas (CdS)............................................................................................................. 1344.7.6.4 Centro de la mayor área (CMA)............................................................................................... 1354.7.6.5 Primero del máximo................................................................................................................. 1354.7.6.6 Medio del máximo ................................................................................................................... 1364.7.6.7 Altura ....................................................................................................................................... 1364.7.6.8 Sistemas Sugeno....................................................................................................................... 137

4.8 Diseño del control .................................................................................................................................. 1384.8.1 Elección de las variables de entrada y salida ................................................................................ 1384.8.2 Escalado y elección de las funciones de pertenencia .................................................................... 1384.8.3 Ajuste de las reglas ....................................................................................................................... 140

4.9 Implementación del control difuso mediante un ordenador.................................................................... 1424.9.1 Conversión analógico-digital y digital-analógico de las señales ................................................... 142

4.9.1.1 Muestreo de la señal................................................................................................................. 1434.9.1.2 Filtrado de la señal ................................................................................................................... 1444.9.1.3 Reconstrucción de la señal ....................................................................................................... 145

4.9.2 Discretización de las variables del circuito................................................................................... 1464.10 Simulación del circuito........................................................................................................................... 148

4.10.1 Respuesta del sistema mediante un control con lógica borrosa..................................................... 1504.10.2 Respuesta del sistema en estado estacionario ............................................................................... 1504.10.3 Respuesta ante perturbaciones en la tensión de alimentación ....................................................... 1514.10.4 Respuesta ante perturbaciones en la carga .................................................................................... 1524.10.5 Respuesta ante variaciones de la señal de referencia .................................................................... 154

4.11 Simulación del convertidor con pérdidas ............................................................................................... 1554.11.1 Respuesta del sistema con pérdidas .............................................................................................. 1564.11.2 Respuesta del sistema en estado estacionario ............................................................................... 157

ÍÍnnddiiccee

4.11.3 Respuesta ante perturbaciones en la tensión de alimentación ....................................................... 1574.11.4 Respuesta ante perturbaciones en la carga.................................................................................... 1584.11.5 Respuesta ante variaciones de la señal de referencia .................................................................... 160

4.12 Conclusiones .......................................................................................................................................... 161

5. CONTROL ADAPTATIVO................................................................................... 1635.1 INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................. 1655.2 CONTROLES ADAPTATIVOS CON MODELO DE REFERENCIA (MRAC) ................................. 168

5.2.1 INTRODUCCIÓN........................................................................................................................ 1685.2.2 DISEÑO DE CONTROLADORES ADAPTATIVOS................................................................. 168

5.2.2.1 Método del Gradiente .............................................................................................................. 1695.2.2.2 Método de Lyapunov ............................................................................................................... 1705.2.2.3 Método de hiperestabilidad...................................................................................................... 171

5.2.3 Estructura general ......................................................................................................................... 1725.3 REGULADORES AUTOAJUSTABLES (STR) ................................................................................... 1745.4 . ALGORITMO DE IDENTIFICACIÓN DE PARÁMETROS............................................................. 175

5.4.1 Introducción.................................................................................................................................. 1755.4.2 Modelo del sistema y de las perturbaciones.................................................................................. 176

5.4.2.1 Método de mínimos cuadrados ................................................................................................ 1775.4.2.2 Método recursivo ..................................................................................................................... 1795.4.2.3 Método de variable instrumental.............................................................................................. 1805.4.2.4 Método de la máxima verosimilitud......................................................................................... 180

5.4.3 CONSIDERACIONES DEL ALGORITMO DE IDENTIFICACIÓN......................................... 1805.4.3.1 Factor de olvido ....................................................................................................................... 1815.4.3.2 Suma de una matriz positiva .................................................................................................... 1815.4.3.3 Problemas y soluciones que presenta el factor de olvido ......................................................... 181

5.5 Implementación del método del gradiente.............................................................................................. 1835.5.1 Introducción.................................................................................................................................. 1835.5.2 Función de transferencia del sistema ............................................................................................ 1835.5.3 Modelo de referencia .................................................................................................................... 1845.5.4 Calculo de la función ∆K2 ............................................................................................................ 1855.5.5 Simulación del circuito ................................................................................................................. 186

5.5.5.1 Respuesta del sistema............................................................................................................... 1875.6 Control adaptativo con eliminación del error estacionario..................................................................... 188

5.6.1 Diseño del controlador.................................................................................................................. 1885.6.2 Simulación del control .................................................................................................................. 189

5.6.2.1 Implementación del control...................................................................................................... 1895.6.2.2 Respuesta del sistema............................................................................................................... 1895.6.2.3 Respuesta del sistema en estado estacionario........................................................................... 1905.6.2.4 Respuesta ante perturbaciones de la tensión de alimentación .................................................. 1915.6.2.5 Respuesta del sistema ante perturbaciones de la carga ............................................................ 1925.6.2.6 Respuesta del sistema ante variaciones de la señal de referencia............................................. 194

5.6.3 Función de transferencia del modelo con pérdidas ....................................................................... 1955.6.4 Simulación del control utilizando el modelo con pérdidas ........................................................... 195

5.6.4.1 Respuesta del sistema............................................................................................................... 1955.6.4.2 Respuesta del sistema en estado estacionario........................................................................... 1965.6.4.3 Respuesta ante perturbaciones de la tensión de alimentación .................................................. 1965.6.4.4 Respuesta ante perturbaciones de la carga ............................................................................... 1985.6.4.5 Respuesta ante variaciones de la tensión de referencia ............................................................ 200

5.7 implementación del método de lyapunov ............................................................................................... 2015.7.1 Introducción.................................................................................................................................. 2015.7.2 Cálculo de la función de Lyapunov .............................................................................................. 2015.7.3 Simulación del control .................................................................................................................. 203

5.7.3.1 Implementación del control...................................................................................................... 2035.7.3.2 Respuesta del sistema............................................................................................................... 204


5.7.3.3 Respuesta en régimen estacionario........................................................................................... 2045.7.3.4 Respuesta ante una perturbación de la tensión de alimentación............................................... 2055.7.3.5 Respuesta ante una perturbación de carga................................................................................ 2065.7.3.6 Respuesta ante una variación de la tensión de referencia......................................................... 208

5.8 Conclusiones .......................................................................................................................................... 209

6. CONCLUSIONES ................................................................................................2117. BIBLIOGRAFÍA ...................................................................................................213

1. OBJETIVOS


3

OBJETIVOS

La mayoría de los equipos electrónicos necesitan estar alimentados mediante tensiones

continuas. Aunque en algunos equipos portátiles y de bajo consumo, se utilizan pilas o

baterías, éstas presentan el inconveniente de su rápido agotamiento y de su elevado coste. Por

lo tanto , se impone la necesidad de utilizar fuentes primarias de energía, dependientes de la

tensión alterna de la red.

Mediante la utilización de un convertidor continua-continua se puede obtener la tensión

deseada a partir de una alimentación c.c. dada. La misión del convertidor será entregar una

señal continua ya regulada, manteniéndola constante, a pesar de variaciones de la tensión

media a la entrada o de la corriente de carga.

Uno de los convertidores más versátiles es el convertidor elevador Boost, que permite

obtener tensiones de salida superiores a la de entrada.

El objetivo del proyecto es el estudio del comportamiento del convertidor elevador

Boost, y la robustez del sistema utilizando diferentes controles. Con este fin se presentarán los

fundamentos teóricos del convertidor analizándolo en lazo abierto y se comparará con los

resultados obtenidos mediante la implementación del control. Se simulará un control en modo

deslizamiento, un control híbrido difuso deslizante y finalmente un algoritmo adaptativo.

2. ESTUDIO DEL

CONVERTIDOR ELEVADOR

BOOST


7

1.1 INTRODUCCIÓN

La obtención de fuentes primarias de energía, dependientes de la tensión alterna de la

red se consiguen mediante sistemas electrónicos que transformen la energía alterna, de

características de tensión y de frecuencia fijas, en tensiones continuas, cuya magnitud debe

variar según la necesidad de cada aplicación.

Estos sistemas electrónicos, reciben el nombre de fuentes de alimentación y su

complejidad depende de los requisitos impuestos por el equipo al cual deben alimentar.

Actualmente, estos sistemas se dividen en dos grandes bloques:

• Sistemas de alimentación convencionales o lineales

Son fuentes de alimentación sin control compuestas por los bloques: transformador-

rectificador-filtro-estabilizador zenner

• Sistemas de alimentación regulados

Son aquellas que mantienen constante su tensión (o corriente) de salida, mediante la

utilización de sistemas de control de realimentación negativa. Estos sistemas, detectan de

forma instantánea las posibles variaciones de la señal de salida y efectúan su corrección de

forma automática.

2.1 FUENTES DE ALIMENTACIÓN REGULADAS

La señal de salida del sistema es muestreada y comparada con la tensión del elemento

de referencia, de forma que las diferencias existentes entre ambos elementos, una vez

amplificadas, actúan sobre el elemento del control, provocando una mayor o menor

conducción de este, que variará su tensión en Bornes hasta conseguir que la tensión de salida

alcance de nuevo su valor nominal.

Un regulador serie como el de la figura 2.1 mejora notablemente las características de

los sistemas no controlados, pero presentan el inconveniente de su bajo rendimiento, ya que en

la práctica éste no suele superar el 40%. Su mayor desventaja, es la disipación de potencia del

transistor de salida. Cuando la corriente de carga se incrementa, el transistor de salida debe

disipar más potencia, lo que implica un aumento del volumen de los componentes y de los

disipadores de los reguladores.

22.. EEssttuuddiioo ddeell ccoonnvveerrttiiddoorr BBoooosstt

8

Fig 3.1.- Regulador serie

Una forma de reducir la disipación de potencia del transistor de salida es utilizar un

regulador conmutado, como el de la figura 2.2. Este tipo de regulador lleva el transistor de

salida de corte a saturación alternativamente, evitando que este funcione en la zona activa o

lineal. Por ello la disipación de potencia es mucho menor que en circuito anterior. Los

reguladores conmutados pueden suministrar grandes corrientes de carga a bajas tensiones.

Fig 3.2.- Regulador conmutado


9

2.2 CONVERTIDORES CONTINUA-CONTINUA

Un convertidor de corriente continua a corriente continua (cc-cc) cuya misión es tomar

intervalos (conducción-bloqueo) de la señal continua presente en su entrada y, una vez

eliminado su carácter pulsante, entregar a la salida otra señal continua ya regulada,

manteniéndola constante, a pesar de variaciones de la tensión media a la entrada o de la

corriente en la carga.

Sus aplicaciones son principalmente las dos siguientes:

Alimentación de motores en corriente continua, cuya regulación requiere tensiones

continuas variables según sus parámetros de funcionamiento.

Fuentes de alimentación conmutadas, en las que se consigue un importante aumento

del rendimiento y una buena respuesta dinámica. Es creciente su uso en pequeñas y grandes

potencias

2.3 FUENTES CONMUTADAS.

2.3.1 Introducción

Las fuentes conmutadas tienen un especial interés ya que nos permiten disponer de

diversas tensiones a partir de una única fuente de energía monofásica, con una única tensión

nominal fija.

El convertidor conmutado contínua-contínua es un sistema formado por dos

subestructuras principales. La primera corresponde a la lógica de conmutación compuesta por

los conmutadores, que actúa conectando y desconectando los lazos eléctricos, por

consiguiente, dictando temporalmente la dinámica del sistema. La segunda subestructura está

formada por los elementos almacenadores de energía que en estos sistemas son inductores

(acoplados o no) y condensadores que idealmente no disipan energía. Estos elementos actúan

temporalmente como intermediarios energéticos, para lograr la transferencia de energía entre la

entrada y la salida del convertidor.


10

Fig 3.3.- Convertidor cc/cc con PWM

Este tipo de fuentes ofrece las siguientes ventajas respecto a las fuentes de alimentación

lineales:

a) Rendimientos entre el 60% y el 90%, que mejora considerablemente el rendimiento de las

fuentes lineales suele estar alrededor del 40%.

b) Pequeñas dimensiones; tanto menor como mayor sea la frecuencia de conmutación. En la

actualidad los componentes que existen en el mercado nos permiten un rango comprendido

entre 100 Khz. y 1 MHz.

Pero como es lógico, también aparecen ciertos inconvenientes:

a) La generación de interferencia electromagnéticas (EMI), emitidas tanto por conducción

como por radiación.

b) El aumento de las pérdidas de conmutación y en los núcleos cuando crece la frecuencia de

conmutación. Si la frecuencia de conmutación es muy alta, es difícil producir una onda

cuadrada con los lados verticales.


11

V

Vr Vc

Vg t

0 DT T t

Fig 3.4.- Periodo de conmutación del PWM

En un convertidor cc/cc con PWM con periodo de conmutación constante, aparecen

dos modos de funcionamiento:

Modo ON durante ton y modo OFF durante toff.

TDton ⋅= ( 2.1 )

( ) TDtoff ⋅−= 1 ( 2.2 )

T

tD on= ( 2.3 )

La T es el periodo total, suma de los dos subperiodos ton y toff y D es el “duty cicle” o

ciclo de trabajo que es el tanto por uno que representa la zona de conducción del transistor. La

variable D representa la relación de tiempo que está en ON respecto al periodo completo.

Las variables que aparecen en la figura 2.3 son:

VC Tensión de error

Vref Tensión de referencia

ton Tiempo en que el interruptor está en on

toff Tiempo en que el interruptor está en off


12

2.3.2 Hipótesis para el estudio del funcionamiento en régimen permanente y

conducción continua.

Los convertidores básicos están constituidos por una bobina y un condensador, siendo

las variables de estado, la tensión del condensador VC y la corriente en la bobina iL.

El rizado de corriente en la bobina, y el rizado de tensión en el condensador

condicionarán la dimensión de la bobina L y del condensador C respectivamente.

Para el cálculo de las diferentes magnitudes se utilizarán las siguientes propiedades

físicas:

La tensión media en bornes de la bobina es nula, en régimen permanente.

La corriente media en bornes de un condensador es nula, en régimen permanente.

Se considera que la potencia de entrada es igual a la potencia de salida, es decir, se

despreciarán en el análisis las pérdidas, ya que estas pérdidas son un efecto secundario.

Se suelen utilizar interruptores monodireccionales en corriente, en estos casos puede

aparecer un tercer modo de funcionamiento llamado discontinuo. Si los interruptores fueran

bidireccionales en corriente no se correría el peligro de entrar en régimen discontinuo. Este

modo de funcionamiento consiste en que la corriente iL se anula entre los dos periodos de

conducción, llegando a ser la Vc muy dependiente de iL.

2.3.3 Topologías básicas.

Las configuraciones básicas de los convertidores conmutados son tres. En primer lugar

está la versión reductora (Buck) que se observa en la figura 2.5.

Los pulsos rectangulares de la base saturan y cortan alternativamente el transistor de

salida durante cada ciclo. De este modo se produce una señal cuadrada en la entrada del filtro

LC. Este filtro bloquea la componente alterna, pero permite el paso de la componente continua

hacia la salida. A causa de la conmutación corte conducción, el valor medio es siempre menor

que la tensión continua de entrada.

DVgVc ⋅= ( 2.4 )

VgVc < ( 2.5 )


13

Fig 3.5.- Convertidor conmutado reductor

La figura 2.6 muestra la versión elevadora (Boost) del convertidor conmutado. De

nuevo, el transistor se satura y corta alternativamente. Cuando el transistor está saturado, la

corriente circula por la bobina. Cuando el transistor se corta de repente, el campo magnético

inducido en la bobina se colapsa e induce una gran tensión a través del núcleo con polaridad

opuesta. Esta situación mantiene circulando la corriente en la misma dirección. Por otro lado,

la tensión inductiva de realimentación es mayor que la tensión de entrada.

D

VgVc

−=

1( 2.6 )

VgVc > ( 2.7 )

Fig 3.6.- Convertidor conmutado elevador

La tercera configuración, representada por la figura 2.7, es la que corresponde al

reductor-elevador (Buck-Boost). Cuando el transistor está saturado, la corriente circula a través

de la bobina. Cuando el transistor entra en la zona de corte, el campo magnético se colapsa y

mantiene la corriente circulando en la misma dirección. Como el transistor está cortado, el

único camino posible es a través del condensador. La tensión de salida es negativa.


14

D

D

Vg

Vc

−=

1( 2.8 )

VgVcD

VgVcD

<→≤

>→≥

5.0

5.0( 2.9 )

Fig 3.7.- Convertidor conmutado reductor elevador

2.4 CONVERTIDOR ELEVADOR (BOOST)

En este tipo de convertidor, la tensión de salida es mayor que la tensión de entrada y el

circuito básico es el siguiente

Fig 3.8.- Convertidor Boost

Si se excita el transistor con una señal cuadrada como la de la figura 2.9, el circuito de

este convertidor se puede descomponer en dos tipologías o modos de conducción.

Fig 3.9.- Señal de control del convertidor u(t)


15

El primer modo empieza cuando el transistor Q está activado en t=0. La corriente a la

entrada crece y fluye a través de la inductancia L y el transistor Q; su esquema es el siguiente:

Fig 3.10.- Convertidor Boost en modo ON

Este intervalo, 0<t<D∙T , pertenece al modo TON

1LS ii = ( 2.10 )

L

V

dt

di SL = ( 2.11 )

L

VIi S

L += 1 ( 2.12 )

El segundo modo empieza cuando Q está en corte en t=t1. La corriente que estaba

pasando a través de Q, ahora pasará a través de L, C, la carga y el diodo D.

Fig 3.11.- Convertidor Boost en modo OFF

La corriente en el inductor cae hasta que el transistor Q esta activado otra vez en el

siguiente ciclo. La energía que se había almacenado en la inductancia L en este ciclo es

transferida a la carga.


16

L

VV

dt

di SL −−= 0 ( 2.13 )

tL

VVIi S

L ⋅−

−= 02 ( 2.14 )

Como la tensión media en bornes de una bobina es nula, entonces, teniendo en cuenta

la figura 2.8, se medirá la tensión en la bobina durante el modo ON y se le restará el valor de la

tensión en la bobina durante el modo OFF.

( ) ( ) 010 =⋅−⋅−−⋅⋅ TDVVTDV SS ( 2.15 )

DV

V

S

o

−=

1

1( 2.16 )

luego

∞→⇒→>S

S V

VVV 0

0 1D para , ( 2.17 )

1 0D 0 →⇒→SV

V( 2.18 )

y teniendo en cuenta que las pérdidas de potencia se desprecian, queda:

0PPe = ( 2.19 )

00 IVIV SS = ( 2.20 )

( ) SIDI ⋅−= 10 ( 2.21 )

Un regulador Boost puede aumentar la tensión de salida sin un transformador. La

corriente de entrada es continua. Sin embargo, un gran pico de corriente tiene que pasar a

través de un transistor de potencia. La tensión de salida es muy sensible a los cambios en el

ciclo de conducción D y puede ser difícil estabilizar el regulador.


17

2.4.1 Planteamiento dinámico de las ecuaciones del sistema.

En el circuito del convertidor se define el siguiente vector de estado, el cual está

formado por el mínimo número de variables linealmente independientes (variables de estado)

que permiten describir completamente el funcionamiento del circuito:

Estas variables serán la corriente en el inductor y la tensión en el condensador tal y

como se expresa a continuación:

=

=

dt

dvdt

di

xv

ix ! ( 2.22 )

La salida del circuito corresponde a la tensión en la resistencia de carga y la entrada es

la fuente de alimentación Vg.

[ ] [ ]og VyVu == ( 2.23 )

El sistema se excita con una señal cuadrada u(t), de ciclo de trabajo D (fig. 2.9).

Si en el periodo enésimo el funcionamiento se ha alcanzado el régimen estacionario, se

llamará t1n al comienzo del modo ON, τ=dt será el tiempo de duración de dicha topología y

t1n=t1

n+τ el comienzo del modo OFF.

Se describe el sistema de la siguiente forma:

0 para

1 para

2222

1111

u(t)=DxCyuBxAx

u(t)=DxCyuBxAx

+⋅=⋅+⋅=+⋅=⋅+⋅=

!

!( 2.24 )

Tal y como se había enunciado en el apartado anterior el circuito se puede

descomponer en dos subcircuitos, según su comportamiento para u(t)=1 y u(t)=0.

Para u(t)=1 se obtiene el siguiente circuito:

Fig 3.12.- Circuito equivalente del Boost para u(t)=1


18

del que obtenemos las siguientes matrices:

[ ]

0

010

0 10

00

+

=⇒=

+

⋅−=

⋅−=

−==⇒=

=⇒=

v

i VovV

LVg

v

i

CRdt

dvdt

di

CR

V

CR

V

C

i

dt

dv

dt

dvCi

L

Vg

dt

di

dt

diLVg

o

LL

( 2.25 )

⋅−⋅

0

1 10

00 11 11 L=B

CR=Ax+B=Ax! ( 2.26 )

[ ]

==+⋅=

0

0 10 1111 D CDxCy ( 2.27 )

Y para u(t)=0 se obtiene el circuito siguiente:

Fig 3.13.- Circuito equivalente del Boost para u(t)=0

a partir del cual se calculan las siguientes matrices:

CR

V

C

i

dt

dv

R

Vi

dt

dvC

R

Vi

dt

dvCi

iii

L

V

L

Vg

dt

diVVg

dt

diLV

dt

diLVVVg

L

C

LC

L

⋅−=⇒−=

=

=

−=

−=⇒−=⇒+=+=


19

+

⋅−

−=

⋅−=

−=

0v

i

11

10 L

Vg

CRC

L

dt

dvdt

di

CR

V

C

i

dt

dvL

V

L

Vg

dt

di

( 2.28 )

⋅−

−=

0

1

11

1022 L=B

CRC

LA ( 2.29 )

[ ]

=

0

0 1 0=C 22 D ( 2.30 )

2.4.2 Promediación en el espacio estado.

Una vez descrito el funcionamiento del convertidor por medio de dos sistemas

diferentes de ecuaciones, se introducirá la técnica de promediación en el espacio estado.

Gracias a esta técnica podrá describirse el circuito en un único sistema de ecuaciones. Así se

enunciará el comportamiento de las variables de manera aproximada durante todo el periodo

de conmutación.

En un sistema de ejes de coordenadas, va a representarse gráficamente (2.31) y (2.34),

suponiendo el comportamiento lineal de las variables de estado es posible trazar un segmento

promedio que una el principio y el final de cada intervalo.

Fig 3.14.- Promediación de un periodo


20

Para el cálculo de las matrices A y B se utiliza cada uno de los dos modos en el

intervalo enésimo y las siguientes aproximaciones para las derivadas x! .

( ) ( )

( ) ( )( ) off22

11

on1111

t

t

g

nn

g

nn

VBxAT

txTtxx

VBxAtxtx

x

⋅+⋅=−

−−+=

⋅+⋅=−+

=

ττ

ττ

!

!

( 2.31 )

Promediando el intervalo completo, de manera que

( ) ( )g

nn

VBxAT

txTtxx ⋅+⋅=

−+= 11! ( 2.32 )

Según las consideraciones (2.22) (2.23), puede escribirse (2.31) como:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )T

VBxATVBxA

T

txTtxx gg

nn ττ ⋅⋅+⋅+−⋅⋅+⋅=

−+= 221111! ( 2.33 )

Considerando ( ) TdTdT 'y =−= ττ y ordenando queda:

( ) ( ) ( ) ( )gg

nn

VBxAdVBxAdT

txTtxx ⋅+⋅+⋅+⋅⋅=

−+= 22

'11

11! ( 2.34 )

Identificando (2.33) con (2.32) las matrices A y B tienen las siguientes expresiones

2'

1

2'

1

BdBdB

AdAdA

⋅+⋅=

⋅+⋅=( 2.35 )

Teniendo en cuenta las expresiones de las matrices A1, A2, B1 y B2 y operando se

obtendrán las siguientes matrices A y B:

=

∗−

−=

0

1

1

0

'

'

LB

CRC

dL

d

A ( 2.36 )


21

2.4.3 Análisis en estado estacionario

Para el análisis del sistema en estado estacionario, se descompondrán las funciones que

dependen del tiempo en dos partes, una transitoria y otra en estado estacionario de la forma

siguiente:

( )

( ) ( ) ( )( )

( )∧∧

∧

∧∧∧

∧

=+=

+=

−=−−=−=+=

+=

****

11

xxxtx

xXtx

dDdDtdt ddDtd

VVtV

SS

''

ggg

( 2.37 )

Las magnitudes con acento circunflejo (^) dependen de la respuesta transitoria.

Si hay un régimen continuo la derivada de 0x cero, será **

=∧

x

Reescribiendo la ecuación (2.33) y teniendo en cuenta la dependencia temporal.

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )tVbtxAtdtVbtxAtdtx gg ⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅= 22'

11

*

( 2.38 )

Considerando (2.36) y aplicando la prop. conmutativa del producto matriz por escalar:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+⋅

−⋅+

+

+⋅

+⋅+

+⋅

−⋅+

+⋅

+⋅=

=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅==

∧∧

∧∧∧∧∧∧

∧

gg

ggSSSS

gg

VVdDb

VVdDbxXdDAxXdDA

tVtdbtVtdbxtdAtxtdAxtx

'2

1'

21

'21

'21

**

( 2.39 )

multiplicando y reagrupando, queda:

[ ] [ ]

[ ] [ ]( ) ( )[ ]( ) ( )

∧∧∧∧

∧

∧∧

∧

⋅⋅−+⋅⋅−+

⋅⋅−+⋅−+

⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅+

⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅=

dVBBdxAA

dVBBXAA

VDBDBxDADA

VDBDBXDADAx

g

gSS

g

gSS

2121

2121

'21

'21

'21

'21

*

( 2.40 )


22

Si se suponen que los valores de las variaciones en pequeña señal son mucho menores

que los valores de la señal en régimen estacionario, se pueden despreciar los productos de

desviaciones (linealización).

En estado estacionario, idealmente no aparecerá ninguna variación.

0000 ====∧

∧∧∧ *

g x ; d ; V ; x ( 2.41 )

Y, por tanto, se obtiene la siguiente ecuación:

( ) ( ) gSS VDBDBXDADA ⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅= '21

'210 ( 2.42 )

se reescribe teniendo en cuenta

2'

1

2'

1

BDBDB

ADADA

ss

ss

⋅+⋅=

⋅+⋅= gssSSss VBXA ⋅+⋅=0 ( 2.43 )

donde en este caso, las matrices Ass y Bss son:

=

∗−

−=

0

1

1

0

'

'

LB

CRC

DL

D

A ssss ( 2.44 )

Las expresiones de las variables en régimen estacionario serán:

ssssssss

ssssSS

DuBACYss

uBAX

+⋅⋅−=

⋅⋅−=−

−

1

1

( 2.45 )

Para resolver estas ecuaciones se necesita calcular A-1, aplicando:

00

1

det

1 2

22221

12111

−′′⋅

−=

′−

′⋅

−

′⋅=

⋅=−

DL

DC

DRL

CD

LD

CRD

CL

AA

ssss ϕϕ

ϕϕ( 2.46 )


23

por tanto

[ ]

′==

⋅=

=

D

VvY

D

VDR

V

V

IX

gss

g

g

SS

'

'2

( 2.47 )

Calculada la variables en régimen estacionario, se puede comprobar el carácter

elevador de este tipo de convertidor,

g

go V

D

VV ≥=

'( 2.48 )

2.4.4 Análisis en pequeña señal.

Usando el método de promediación en el espacio de estado y linealizando, se puede

obtener un modelo dinámico de pequeña señal de la forma:

⋅+

⋅

d

VB

v

i g

ˆ

ˆ

v

iA=

ˆ

ˆ( 2.49 )

siendo las entradas del sistema las perturbaciones de la tensión de alimentación y del

ciclo de trabajo.

Considerando (2.40), (2.41) y despreciando los términos bilineales, queda la siguiente

ecuación:

( ) ( )( ) ( )( ) ∧∧∧∧

∧∧∧

⋅+⋅+⋅=⋅∗−+⋅−+

+⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅=

dkVBxAdVBBXAA

VDBDBxDADAx

ggSS

g

2121

'21

'21

*

( 2.50 )

En el último término de esta expresión se pone de manifiesto la influencia del control a

través del vector k, el cual depende del punto de trabajo, ya que viene dado por el valor de las

variables en estado estacionario. Esto es un problema ya que el margen de validez del análisis

estará reducido a un intervalo alrededor del punto de trabajo.


24

2.5 CALCULO DE LA FUNCION DE TRANSFERENCIA

2.5.1 Función de transferencia Salida-Entrada.

Analizando la ecuación (2.50) en el dominio de la transformada de Laplace con

condiciones iniciales nulas se obtiene:

( ) ( ) ( ) ( )SdkSVBSxASxSxL g

∧∧∧∧∧

⋅+⋅+⋅=⋅=

*

( 2.51 )

para el cálculo de la función de transferencia salida-entrada va a ser aplicado el teorema

de superposición, anulando el término que procede del control:

( ) ( ) ( )SVBSxASxSxLSd g

∧∧∧∧

⋅+⋅=⋅=

=*

0)(ˆ ( 2.52 )

Agrupando términos y despejando

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )SVBAISSx

SVBSxAIS

g

g

∧−

∧

∧∧

⋅⋅−⋅=

⋅=⋅−⋅

1

( 2.53 )

Sustituyendo en (2.53)

( ) ( )( )

( )SVLS

C

DL

D

CRS

SV

SISx g

∧

∧

∧∧

⋅

⋅

+

−

⋅+

⋅∆

=

=

0

111

'

'

( 2.54 )

2.5.2 Función de transferencia Tensión Salida-Control

Considerando (2.51) y aplicando el principio de superposición:

( ) ( ) ( )SdkSxAx L SV g

∧∧∧

∧⋅+⋅=

⇒=*

0 ( 2.55 )


25

operando y despejando

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )SdkAISSx

SdkSxAIS∧

−∧

∧∧

⋅⋅−⋅=

⋅=⋅−⋅1

( 2.56 )

El vector k según (2.50) es

( ) ( ) gSS VBBXAAk ⋅−+⋅−= 2121 ( 2.57 )

Se ha calculado que B1=B2, por tanto

( )

⋅⋅−

⋅=

⋅⋅

−=⋅−=

2'

'

'

2'

21

01

10

DCR

VDL

V

D

VDR

V

C

LXAAkg

g

g

g

SS ( 2.58 )

sustituyendo (2.56) y (2.58)

( ) ( )( )

( )Sd

DCR

VDL

V

SC

DL

D

CRS

SV

SISx

g

g

∧

∧

∧∧

⋅

∗∗−

∗⋅

+

−

⋅+

⋅∆

=

=

2'

'

'

'11

( 2.59 )

2.5.3 Funciones de transferencia

Agrupando los resultados obtenidos en (2.54) y (2.59) se consigue la ecuación que

define el funcionamiento total del sistema:


26

( ) ( )( )

( )

( )

⋅

⋅⋅−

⋅⋅

−

⋅+

⋅′

+⋅

+=

=

∧

∧

∧

∧∧

Sd

SV

DCR

VDL

V

L

SC

DL

D

CRS

CL

D

CR

SSSV

SISx g

g

g

2'

'

'

'

22 0

111

( 2.60)

)(ˆ)(ˆ)(ˆ SVSoVSy == ( 2.61 )

de donde se pueden obtener las funciones de transferencia salida-entrada/control:

CL

D

CR

SS

CL

D

SV

SvSG

g

⋅′

+⋅

+

⋅′

==2

2)(

)()( ( 2.62 )

CL

D

CR

SS

LCRS

LSV

SiSG

g

⋅′

+⋅

+

⋅⋅+

==2

2

11

)(

)()( ( 2.63 )

CL

DS

CRS

CL

VgS

RC

V

Sd

SvsGv

g

⋅′

+⋅

+

⋅+

′⋅⋅−

==2

2

2

1

D

)(

)()( ( 2.64 )

1

2

D)(

)()(

22

CL

DS

CRS

DCRL

VgS

L

V

Sd

SisGi

g

⋅′

+⋅

+

′⋅⋅⋅⋅+

′⋅== ( 2.65 )


27

2.6 SIMULACIÓN DEL CIRCUITO

2.6.1 Software de simulación

Actualmente, gracias al continuo aumento de la potencia de cálculo que presentan los

ordenadores, antes de implementar cualquier circuito se realiza una simulación previa de la

respuesta del sistema.

El análisis de circuitos por computadora tiene principalmente las siguientes ventajas:

Estudiar y observar el funcionamiento de un circuito antes de ensamblarlo o fabricarlo.

Usar componentes ideales para aislar efectos limitantes en el diseño

Realizar mediciones de prueba que son:

- Difíciles, debido al ruido eléctrico

- No factibles, por carecer de equipo adecuado

- No apropiados, ya que el circuito de prueba podría dañarse

Simular un circuito muchas veces con variaciones en los componentes o en los factores

externos

La simulación del circuito se realizará mediante el programa de cálculo MATLAB®

(Matrix Laboratory) y su paquete de software SIMULINK®, utilizado para modelado y

simulación y análisis de sistemas dinámicos. Este programa permite simular sistemas lineales

o no lineales modelados en tiempo continuo o discreto, proporcionando un entorno gráfico que

permite construir, de una manera sencilla, los bloques y diagramas que modelan el circuito,

utilizando el programa Matlab® para realizar los cálculos.

2.6.2 Parámetros del sistema

Los valores de los componentes utilizados en la simulación se corresponden con los de

la planta existente en la universidad. A continuación se presentan los valores de los

componentes, de las pérdidas de cada elemento y de las condiciones prefijadas de

funcionamiento.


28

Parámetro Símbolo Valor

Tensión Alimentación Vg 12V

Tensión de salida Vo 24V

Inductancia de la bobina L 216µHn

Capacidad del condensador C 220µF

Resistencia de carga R 44Ω

Resistencia de la bobina rl 0.33Ω

Resistencia del condensador rc 0.03Ω

Tabla 1. Valores de los componentes

2.6.3 Comprobación del funcionamiento en régimen continuo

El valor mínimo de la inductancia y del condensador para garantizar la conducción

continua es:

DTL

VI S ∗=∆ ( 2.66 )

2

II L

∆⟩ ( 2.67 )

Se observa que la Is en este caso es la misma que la IL, sustituyendo en (2.21) queda:

( ) ( )DIDII LS −∗=−∗= 110 ( 2.68 )

despejando:

( )D

II L −

=1

0 ( 2.69 )

Se igualarán las dos expresiones obtenidas de la IL (2.63) y (2.65) respectivamente

( ) ( ) DTL

V

D

II

D

I S ∗⟩−

⇒∆⟩− 21

21

00 ( 2.70 )


29

Se despeja la L y se obtendrá el valor mínimo de la bobina que garantice la conducción

continua:

( )2

1 2DRTDL

−∗⟩ ( 2.71 )

A partir de los valores descritos en la tabla 1 y sustituyendo en la ecuación (2.71), se

desprende que el convertidor entrará en régimen discontinuo cuando sea excitado con una

señal de control de f<1231.48Hz.

Para el cálculo del condensador se ha de tener en cuenta que entre 0>t>D*T el

condensador se descarga con Io

DTIQ 0=∆ ( 2.72 )

RC

DTVDTI

CQ

CV 0

00

11 =∗=∆∗=∆ ( 2.73 )

RC

DT

V

V=

∆

0

0 ( 2.74 )

Tabulando el rizado máximo en un 3‰, oV∆ <72mV, y sustituyendo valores en la

ecuación (2.74), se obtiene el valor mínimo de frecuencia f > 17.2KHz necesario para asegurar

el rizado menor al indicado.

2.6.4 Esquema del convertidor en Simulink®

Se implementa las matrices que representan el funcionamiento del circuito promediado

en espacio de estado.

El circuito se excita con una señal cuadrada de 1V de amplitud y de frecuencia fija con

un ciclo de trabajo de 0.5 y se recogen los valores que van tomando las variables D, Vo e I,

para su posterior representación.


30

s

1

v

0

t 1

i 1

s

1

i

-1 /C

b 2

1 /L

b 1

-1 / (R * C )

a 2 2

1 /C

a 2 1

-1 /L

a 1 2

0

a 1 1

V o

1 2

V g

D 1

T o W o rksp a c e 3

V o


i


t

T o W o rksp a c e

S u m 1

S u m

1 /L

S i g m a

P u l se

G e n e ra to r

P ro d u c t1

P ro d u c t

D

C l o c k

Fig 3.15.- Convertidor Boost en Simulink®

2.6.5 Respuesta del sistema

2.6.5.1 Influencia de la variación de la frecuencia en la señal de control

En primer lugar se representará la respuesta de tensión en el condensador del

convertidor boost para diferentes frecuencias de entrada

En la figura 2.16 se puede comprobar como a medida que se aumenta la frecuencia de

conmutación, las variaciones en la tensión van disminuyendo paulatinamente, tendiendo a ser

una señal sin rizado para una frecuencia infinita. Además la duración del régimen transitorio

también disminuye con el aumento de la frecuencia en la señal de excitación.

El aumento de la frecuencia de conmutación de los componentes, comporta también un

incremento económico , por los que se debe llegar a un compromiso entre ambos factores.

Se escoge una frecuencia de conmutación de 20KHz, suficientemente alta para la

obtención de una respuesta del sistema aceptable, y el control se puede realizar con

componentes comunes , sin tener que recurrir a componente de altas prestaciones. Con esta

frecuencia de conmutación, el sistema llega al régimen estacionario en t=0.23seg.


31

Fig 3.16.- Respuesta del convertidor para diferentes frecuencias de entrada

2.6.5.2 Respuesta en régimen estacionario

En la figura 2.17 se ha ampliado la tensión en el condensador en estado estacionario,

comprobando así que existe un rizado de frecuencia igual a la frecuencia de conmutación,

debido a la carga y descarga del condensador cuando el conmutador está en off y en on.

Fig 3.17.- Tensión en el condensador en régimen estacionario


32

Tal y como se había calculado anteriormente, se consigue evitar el funcionamiento en

régimen discontinuo del convertidor. Además el rizado es

mVVo 2.629559.230181.24 =−=∆ , con lo que se obtiene un rizada inferior al 3‰ tal y como

se había calculado.

2.6.5.3 Respuesta ante perturbaciones en la tensión de alimentación

Para comprobar la respuesta del sistema ante perturbaciones de la tensión de

alimentación se le sumará una señal cuadrada cuya amplitud será un 25% de Vg, una vez el

circuito ha llegado a su funcionamiento en régimen permanente, ya así se podrá estudiar el

efecto del incremento y del decremento de la tensión de alimentación.

Su implementación en el programa de simulación Simulink®, se consigue medieante el

siguiente sistema:

Fig 3.18.- Implementación de la perturbación en la tensión de alimentación

Al incrementarse la señal de alimentación, se crea un régimen transitorio, en donde la

tensión en el condensador produce una oscilación decreciente, que acabará estabilizándose en

unos 13 ms a una tensión de

VD

VgVo 30

5.0

15 ===

Cuando la perturbación desaparece la tensión de salida vuelve a sufrir una oscilación

que lleva el sistema al punto de funcionamiento inicial en unos 12 ms, estabilizándose


33

nuevamente a una tensión de 24V

Fig 3.19.- Respuesta del sistema ante una perturbación en la Vg

2.6.5.4 Respuesta ante perturbaciones en la carga

En este caso se implementarán dos perturbaciones en la carga, una de un 20% y otra de

un 50%. Para conseguirlo se multiplica el término a22, que es el único que depende del valor de

R, por una señal cuadrada, que simulará el efecto de la introducción de una perturbación y

como actua la salida cuando éstadesaparece.


34

Fig 3.20.- Implementación de una perturbación en la carga

Fig 3.21.- Respuesta del sistema ante una perturbación de un 20% en la carga

Esta perturbación provoca una oscilación de 0.4V de amplitud que decrece rápidamente

y desaparece en unos 160ms, el mismo que tarda en desaparecer la fluctuación producida al

desaparecer el efecto de la perturbación. En el caso de una perturbación del 50% el tiempo que

dura la inestabilidad es de unos 210ms, y el rizado mientras dura la perturbación se reduce

hasta 45mV.


35


2.7 MODELO CON PÉRDIDAS DEL CONVERTIDOR ELEVADOR

2.7.1 Modelo con pérdidas

Hasta ahora se ha considerado el modelo sin pérdidas con los componentes ideales.

Cuando el sistema se implementa físicamente, se utilizan componentes reales, por lo que para

conocer su efecto sobre los resultados se realizará el estudio del modelo con pérdidas.

2.7.1.1 Interruptores

El diodo se comporta como un circuito abierto cuando está polarizado inversamente, y

como una fuente de tensión en serie con una resistencia en el estado de conducción.

El transistor se comporta como un circuito abierto en la zona de corte y como una

resistencia en la zona de saturación.

Estas pérdidas no se tendrán en cuenta en el estudio del circuito real del convertidor.

2.7.1.2 Condensador

Puede ser modelado como un condensador ideal (C) en serie con una resistencia (rc).

Fig 3.23.- Modelo del condensador real

2.7.1.3 Inductor

Puede epresentarse como una bobina ideal (L) en serie con una resistencia parásita (rl).


36

Fig 3.24.- Modelo del inductor real

2.7.2 Calculo de las ecuaciones del sistema

Fig 3.25.- Convertidor Boost con pérdidas

Análogamente al estudio del circuito ideal se descompone en dos subcircuitos según su

comportamiento para u(t)=1 y u(t)=0.

Para u(t)=1 se obtiene el siguiente circuito:

Fig 3.26.- Modelo del convertidor para u(t)=1

del que se desprenden las siguientes matrices:

( )

rcR

RvV

CrcR

v

CrcR

v

C

i

dt

dv

dt

dvCi

L

Vi

L

rl

dt

di

dt

diLirlVg

o

LL

g

+⋅=

⋅+−=+

−==⇒=

+−=⇒+⋅=

( 2.75 )


37

( )[ ][ ]g

g

Vv

i

rcR

RL

V

v

i

CrcR

L

rl

dt

dvdt

di

0 0Vo 0

10

0 +

+=

+

⋅+−

−=

( 2.76 )

( )

⋅+−

−

0

1 =B 1

0

0 =A 11 L

CrcR

L

rl

( 2.77 )

[ ]0 0 =C 11 =

+D

rcR

R( 2.78 )

Y el circuito para u(t)=0 es:

Fig 3.27.- Modelo del convertidor para u(t)=0

a partir del cual se calculan las siguientes matrices:

( ) ( ) 1

vCrcR

ircRC

R

dt

dv

R

vi

dt

dv

R

rcR C

rcdt

dvCrcicV

R

Vvi

dt

dvCi

iii

dt

dvCrcv

dt

diLirlVvVVV

rc

rcL

C

LC

rcLrlg

⋅+−

+=⇒−=

+

=⋅=

+=

=

−=

⋅+++⋅=+++=

( 2.79 )


38

Combinando las dos ecuaciones anteriores:

( ) ( ) L

Vv

rcRL

rcRi

rcRL

rcRrcrlrlR

dt

di g++

⋅+−+

⋅−⋅+⋅−=

2

( 2.80 )

( ) ( )

( ) ( )

+

+−

+

+−

+⋅+⋅+⋅−

=

0v

i

1

LVg

rcRCrcRC

RrcRL

R

rcRL

rcRrcrlrlR

dt

dvdt

di

( 2.81 )

La ecuación de salida será

[ ][ ]go

coo

Vv

i

rcR

R

rcR

rcRV

vrcR

Ri

rcR

rcRR

dt

dvCiRiiRiV

0

)(

+

++⋅=

++

+⋅=⋅

−=⋅−=⋅=

( 2.82 )

Con lo que las matrices que definen el funcionamiento del sistema serán:

( ) ( )

( ) ( )

+−

+

+−

+⋅+⋅+⋅−

=0

=B

1

22 L

Vg

rcRCrcRC

RrcRL

R

rcRL

rcRrcrlrlR

A ( 2.83 )

[ ]0 rcR

rcR=C 12 =

++⋅

DrcR

R( 2.84 )

2.7.3 Promediación de las ecuaciones de estado

Sustituyendo los valores obtenidos en la ecuación (2.35) obtenemos las siguientes matrices

promediadas:

( ) ( )

( ) ( )

+−

+

+−

+′⋅⋅+⋅+⋅−

=

0

1

1 '

' LB=

rcRCd

rcRC

R

drcRL

R

rcRL

drcRrcrlrlR

A ( 2.85 )


39

[ ]0 =

+′⋅

+⋅= D

rcR

Rd

rcR

rcRC ( 2.86 )

2.7.4 Análisis en estado estacionario

Sustituyendo las matrices calculadas en la ecuación (2.45) se obtendrán las siguientes

matrices en estado estacionario

′+′⋅⋅+⋅+⋅′⋅+−

′+′⋅⋅+⋅+⋅+

=

=⋅⋅−= −

22

221

)(

)(

DRDrcRrcrlrlR

DrcRRDRDrcRrcrlrlR

rcR

V

IuBAX ssssss

( 2 87 )

′+′⋅⋅+⋅+⋅+⋅′⋅=⋅−= ⋅

−

22

)(1

DRDrcRrcrlrlR

rcRDRCBAY ssssssss ( 2 88 )

Ya que en el caso del convertidor con pérdidas, la tensión de salida es la misma que la

tensión en el condensador, se seguirá un estudio análogo al del estado estacionario realizado en

el apartado 2.5.3.

A partir de la ecuación de salida

uDxCY ⋅+⋅= ( 2 89 )

Operando y sustituyendo valores

[ ] [ ]

[ ] [ ]( ) ( )[ ]( ) ( )

∧∧∧∧

∧

∧∧

∧

⋅⋅−+⋅⋅−+

⋅⋅−+⋅−+

⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅+

⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅=

dVDDdxCC

dVDDXCC

VDDDDxDCDC

VDDDDXDCDCy

g

gSS

g

gSS

2121

2121

'21

'21

'21

'21

*

( 2.90 )

2.8 CALCULO DE LA FUNCION DE TRANSFERENCIA

2.8.1 Función de transferencia Variables de estado-Entrada.

Analizando el sistema en el dominio de la transformada de Laplace con condiciones


40

iniciales nulas se obtiene la siguiente expresión de la salida respecto a la tensión de

alimentación:

( ) ( ) ( )SVBSxASxSxLSd g

∧∧∧∧

⋅+⋅=⋅=

=*

0)(ˆ ( 2.91 )

Agrupando términos y despejando

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )SVBAISSx

SVBSxAI

g

g

∧−

∧

∧∧

⋅⋅−⋅=

⋅=⋅−∆

1

( 2.92 )

Despejando y sustituyendo por las matrices (2.84) y (2.85)

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )( )S

gVL

rcRL

DrcRrcrlrlRS

rcRC

DRrcRL

DR

rcRCS

SV

SISx

∧⋅

⋅

+′⋅⋅+⋅+⋅+

+′⋅

+′⋅−

++

⋅∆

=

∧

∧=

∧

0

1

11

( 2.93 )

donde:

( )( ) ( )2

222

rcRCL

DRDrcRrcrlrlRS

rcRCL

DCrcRrcRrlCLS

+⋅⋅′⋅+′⋅⋅+⋅+⋅+

+⋅⋅′⋅⋅⋅++⋅⋅++=∆ ( 2.94 )

2.8.2 Función de transferencia Variables de estado-Control

Considerando (2.51) y aplicando el principio de superposición:

( ) ( ) ( )SdkSxAx L SV g

∧∧∧

∧⋅+⋅=

⇒=*

0 ( 2.95 )

operando y despejando

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )SdkAISSx

SdkSxAIS∧

−∧

∧∧

⋅⋅−⋅=

⋅=⋅−⋅1

( 2.96 )

El vector k según (2.50) es


41

( ) ( ) gSS VbbXAAk ⋅−+⋅−= 2121 ( 2.97 )

Se ha calculado que B1=B2, por tanto

( )( )

( )

( )

′⋅+′⋅⋅+⋅+⋅⋅

⋅−

′⋅+′⋅⋅+⋅+⋅⋅

⋅′⋅+⋅

=⋅−=

22

22

2

21

DRDrcRrcrlrlRC

VRDRDrcRrcrlrlRL

VDRrcR

XAAkg

g

SS ( 2.98 )

sustituyendo en (2.95)

( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( )( )Sd

DRDrcRrcrlrlRC

VRDRDrcRrcrlrlRL

VDRrcR

rcRL

DrcRrcrlrlRS

rcRC

DRrcRL

DR

rcRCS

SV

SISx

g

g

∧⋅

′⋅+′⋅⋅+⋅+⋅⋅

⋅−

′⋅+′⋅⋅+⋅+⋅⋅

⋅′⋅+⋅

⋅

⋅

+′⋅⋅+⋅+⋅+

+′⋅

+′⋅−

++

⋅∆

=

∧

∧=

∧

22

22

2

11

( 2.99 )

2.8.3 Función de transferencia de la Salida-Entrada

Considerando 0)(ˆ =sd , la función de salida se calculará mediante la ecuación:

( ) ( ) ( )SVDSxCsY L Sd g

∧∧∧

∧⋅+⋅=

⇒= )(0*

( 2.100 )

( )( ) uDBAISCsY ⋅+⋅−⋅⋅= −1)(ˆ ( 2.101 )

Sustituyendo los valores de cada matriz:


42

( )

( ) ( )

( )( ) ( )

)(ˆ

0

L

1

2

22)(2

2)(

)2

(2

rc)(RC

sV

rcRCL

DRDrcRrcRrlS

rcRCL

DCrcRrcRrlCLS

rcRL

DDrcRrcRrlRSrcRLRDRSDrcCR

SVo g

+⋅⋅

′⋅+′⋅⋅++⋅+

+⋅⋅

′⋅⋅⋅++⋅⋅++

+⋅

−⋅⋅++⋅⋅+⋅+⋅⋅

+⋅

′⋅+⋅′⋅⋅⋅

∧= (2.102)

2.8.4 Función de transferencia Salida-Control

( ) ( ) ( )SdTSxCsY L SV g

∧∧∧

∧⋅+⋅=

⇒= )(0*

( 2.103 )

( )( ) )(ˆ)(ˆ 1 sdTkAISCsY ⋅+⋅−⋅⋅= − ( 2.104 )

El vector T, según la ecuación (2.90) es

2221

)()(

DRDrcRrcRrl

VrcRXCCT

gss

′⋅+′⋅⋅++⋅⋅⋅=⋅−= ( 2.105 )

( )

( ) ( )

( )( ) ( )

( )( )

( ))(ˆ

22)(

)(ˆ

22

22

2

2

22)(2

2)(

)2

(2

rc)(RC

sdDRDrcRrcRrl

VgrcRsd

DRDrcRrcrlrlRC

gVR

DRDrcRrcrlrlRL

gVDRrcR

rcRCL

DRDrcRrcRrlS

rcRCL

DCrcRrcRrlCLS

rcRL


SVo

′⋅+′⋅⋅++⋅

⋅⋅+

′⋅+′⋅⋅+⋅+⋅⋅

⋅−

′⋅+′⋅⋅+⋅+⋅⋅

⋅′⋅+⋅

+⋅⋅

′⋅+′⋅⋅++⋅+

+⋅⋅

′⋅⋅⋅++⋅⋅++

+⋅

−⋅⋅++⋅⋅+⋅+⋅⋅

+⋅

′⋅+⋅′⋅⋅⋅

=∧

( 2.106 )


43

2.8.5 Función de transferencia de la salida

Agrupando las funciones de transferencia respecto a la entrada y respecto al control se

obtienen las ecuaciones que definen el funcionamiento total del sistema:

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( )

⋅

′⋅+′⋅⋅+⋅+⋅⋅

⋅−

′⋅+′⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅′⋅+⋅

⋅

⋅

+′⋅⋅+⋅+⋅+

+′⋅

+′⋅−

++

⋅∆

=

∧

∧=

∧

)(ˆ)(ˆ

0

1

11

22

22

2

sd

sV

DRDrcRrcrlrlRC

VRDRDrcRrcrlrlRL

VDRrcR

L

rcRL

DrcRrcrlrlRS

rcRC

DRrcRL

DR

rcRCS

SV

SISx

g

g

g

( 2.107 )

( )

( ) ( )

( )( ) ( )

=∧

′⋅+′⋅⋅++⋅

⋅⋅+

′⋅+′⋅⋅+⋅+⋅⋅

⋅−

′⋅+′⋅⋅+⋅+⋅⋅

⋅

′⋅+⋅

+⋅⋅

′⋅+′⋅⋅++⋅+

+⋅⋅

′⋅⋅⋅++⋅⋅++

+⋅

−⋅⋅++⋅⋅+⋅+⋅⋅

+⋅

′⋅+⋅′⋅⋅⋅

)(ˆ)(ˆ

22)(

0

)(ˆ)(ˆ

220

22

21

2

22)(2

2)(

)2

(2

rc)(RC

sd

sV

DRDrcRrcRrl

VgrcRsd

sV

DRDrcRrcrlrlRC

gVR

DRDrcRrcrlrlRL

gVDRrcR

L

rcRCL

DRDrcRrcRrlS

rcRCL

DCrcRrcRrlCLS

rcRL


gg

o SV

( 2.108 )

de donde se pueden obtener las siguientes funciones de transferencia de la salida y de

las variables de estado respecto a la entrada y al control:

( )( ) ( )2

222 )(

)(

11

)(

)(

rcRCL

DRDrcRrcRrlS

rcRCL

DCrcRrcRrlCLS

rcRCLS

L

SVg

Si

+⋅⋅

′⋅+′⋅⋅++⋅+

+⋅⋅

′⋅⋅⋅++⋅⋅++

+⋅⋅+

= ( 2.109 )


44

( )( ) ( )2

222 )(

)(

)(

)(

rcRCL

DRDrcRrcRrlS

rcRCL

DCrcRrcRrlCLS

rcRCL

DR

SVg

Sv

+⋅⋅

′⋅+′⋅⋅++⋅+

+⋅⋅

′⋅⋅⋅++⋅⋅++

+⋅⋅

′⋅

= ( 2.110 )

( )( ) ( )2

222 )(

)()(

)(

)(

rcRCL

DRDrcRrcRrlS

rcRCL

DCrcRrcRrlCLS

rcRCL

DRS

rcRL

DrcR

SVg

SVo

+⋅⋅

′⋅+′⋅⋅++⋅+

+⋅⋅

′⋅⋅⋅++⋅⋅++

+⋅⋅

′⋅+

+⋅

′⋅⋅

= ( 2.111 )

( )( ) ( )2

22)(2)(

)(22)()(

)2(

22)(

)(

rcRCL

DRDrcRrcRrlS

rcRCL

DCrcRrcRrlCLS

S

SiDRDrcRrcRrlrcRCL

rcDRVgRS

DRDrcRrcRrlL

rcDRVgR

d

+⋅⋅

′⋅+′⋅⋅++⋅+

+⋅⋅

′⋅⋅⋅++⋅⋅++

=

′⋅+′⋅⋅++⋅+⋅

+′⋅⋅⋅+

′⋅+′⋅⋅++⋅

+′⋅⋅

( 2.112 )

( ) ( )( )

( ) ( )2

222

22

22

22

)()(

)( )(

))(( R

)(

rcRCL

DRDrcRrcRrlS

rcRCL

DCrcRrcRrlCLS

S

Sv DRDrcRrcrlrlRrcRCL

DRrcRrlVgS

DRDrcRrcRrlC

VgR

d

+⋅⋅

′⋅+′⋅⋅++⋅+

+⋅⋅

′⋅⋅⋅++⋅⋅++

=′⋅+′⋅⋅+⋅+⋅+⋅

′⋅++−⋅⋅+

′⋅+′⋅⋅++⋅⋅−

( 2.113 )

( )( ) ( )

22

2

222

22222

)(

)(

)()(

)()()(

)(

)(

DRDrcRrcRrlVgrcR

K

rcRCL

DRDrcRrcRrlS

rcRCL

DCrcRrcRrlCLS

rcRrcCLDRrcRrl

SrcRrcCL

rcRrcRrlDCrcRrcRLS

KSd

SVo

′⋅+′⋅⋅++⋅⋅⋅=

+⋅⋅

′⋅+′⋅⋅++⋅+

+⋅⋅′⋅⋅⋅++⋅⋅+

+

+⋅⋅⋅′++−+

+⋅⋅⋅+⋅⋅+′⋅⋅⋅++−+

=( 2.114 )

2.9 INFLUENCIA DE LAS PÉRDIDAS EN EL MODELO DEL CONVERTIDOR

2.9.1 Influencia en la respuesta del sistema

Para comprobar la influencia de las pérdidas en la respuesta del convertidor se tomará

la ecuación característica del sistema

( )( ) ( )2

222 )(

rcRCL

DRDrcRrcRrlS

rcRCL

DCrcRrcRrlCLS

+⋅⋅

′⋅+′⋅⋅++⋅+

+⋅⋅

′⋅⋅⋅++⋅⋅++ ( 2.115 )


Si se compara con la ecuación característica de un sistema de segundo orden

22 2 ooS ωωξ +⋅⋅+ ( 2.116 )

y se representa la influencia sobre los factores oωξ y

Fig 3.28.- Influencia de las

Se puede comprobar como el efecto total d

frecuencia natural del sistema, lo que aumentar

disminuye el tiempo de subida (Tr) y el tiempo de e

El factor de amortiguamiento aumenta

sobrepico y aumentará la estabilidad del sistema

sistema más lenta.

Ambos factores son contrarios, aunque el

mayor que el de la frecuencia natural, por lo que se

2.9.2 Efecto sobre el ciclo de trabajo

Para evaluar el efecto de las pérdidas en e

valor final a la función de transferencia del convert

rcRrl

DRsVsHSlimsV gSo

++⋅⋅=⋅⋅= →

)()()( )( 0

rl rc ξ wo

0 0 0.0225 0% 2293.7 0%

0.33 0 0.3503 1557% 2327.8 1.5%

0 0.03 0.0376 67% 2293.7 0%

0.33 0.03 0.3652 1622% 2327.8 1.5%

45

pérdidas sobre ξξξξ y ωωωωo

e las pérdidas es el ligero incremento de la

á la velocidad de respuesta del sistema y

stablecimiento (Ts).

considerablemente, lo que disminuirá el

y por consiguiente hará la respuesta del

aumento del factor de amortiguamiento es

impondrá el efecto del aumento de ξ.

l ciclo de trabajo se aplicará el teorema del

idor.

YsssVDRDrcR

rcRg =

′⋅+′⋅⋅+⋅′

)( )(

22( 2.117 )


46

Para un ciclo de trabajo (D=0.5), utilizado en el caso ideal, se consigue una tensión de

salida Vo=23.2856V, por lo que se habrá de aumentar el ciclo de trabajo para conseguir la

salida de 24V deseada. Sustituyendo valores en la ecuación anterior se obtiene que el ciclo de

trabajo necesario será D=0.516.

Fig 3.29.- Ganancia del sistema en función del ciclo de trabajo


2.10.1 Esquema del convertidor con pérdidas en Simulink®

Fig 3.30.- Implementación en Simulink del convertidor elevador

El circuito se excita con una señal cuadrada de 1V de amplitud y de frecuencia fija con


un ciclo de trabajo de 0.516

Se implementa las matrices A, B y C que definen el funcionamiento del circuito, y

mediante unos conmutadores se cambia de las ecuaciones del convertidor de modo ON a OFF.

2

d

a

n

1

D

47

Fig 3.31.- Implementación de las matrices de estado en Simulink®

.10.2 Influencia de la variación de la frecuencia en la señal de control

En la figura 2.32 se representa la respuesta de tensión en la salida del convertidor para

iferentes frecuencias de entrada.

Al igual que en el caso real, una frecuencia de conmutación de 20KHz proporciona un

decuado equilibrio entre un error suficientemente pequeño y una frecuencia de trabajo que

os permite implementar el circuito con componentes de mercado.

3

V o

2

V

1

I

s

1

v

s

1

i

- K -

c 2 1 2

- K -

c 2 1 1

- K -

c 1 1 2

1 / L

b x 1 1

- K -

b 2 2 2

- K -

a 2 2 1

- K -

a 2 1 2

- K -

a 2 1 1

- K -

a 1 2 2

- r l / L

a 1 1 1

S w i t c h 2

S w i t c h 1

S w i t c h

S u m 3

S u m 2

S u m 1

S u m

2

V g


48

Fig 3.32.- Respuesta del convertidor para diferentes frecuencias de entrada

Con una frecuencia de 20KHz en la señal de control, el sistema llega al régimen

estacionario aproximadamente en t=17ms. Este valor es mucho menor que en el caso ideal ya

que el aumento del factor de amortiguamiento del sistema elimina la oscilación inicial de la

tensión, que se produce en el sistema ideal y por lo tanto se llega más rápidamente al punto de

funcionamiento del sistema.

2.10.3 Respuesta en régimen estacionario

Ampliando la señal en régimen estacionario se observa el rizado típico de la

conmutación de on a off.

En el rizado de tensión se observan saltos en el valor de la tensión debido a la

resistencia parásita (rc), ya que durante la carga del condensador, la tensión de salida es igual a

la tensión del condensador sumada a la tensión de la resistencia parásita, mientras que en la

descarga la tensión de salida es igual al divisor de tensión formado por la resistencia parásita y

la de carga.

La amplitud del rizado es mVVo 1.719657.230368.24 =−=∆ , con lo que se obtiene

un rizado inferior al 3‰, muy parecido al obtenido en el caso ideal.


49

Fig 3.33.- Tensión en el condensador en régimen estacionario

2.10.4 Respuesta ante perturbaciones en la tensión de alimentación

La perturbación produce un régimen transitorio, que acabará estabilizándose en 25ms.

Sustituyendo valores en la ecuación (2.117) se obtiene que el sistema se estabilizará a una

tensión VVo 008.30≅ . El valor de estabilización real es de 29.99V.

Fig 3.34.- Respuesta del sistema ante una perturbación en la Vg

2.10.5 Respuesta ante perturbaciones en la carga

La introducción de una perturbación en la carga provoca una pequeña variación en la

tensión de salida que se estabilizará rápidamente en unos 10ms. El efecto de la perturbación es

que la nueva tensión de estabilización del sistema es ligeramente mayor a la deseada,

unos0.1V para una perturbación del 20% y de unos 0.25V para la perturbación del 50%.

Una vez eliminada la perturbación el sistema vuelve exactamente al funcionamiento en


50

régimen estacionario descrito anteriormente.

Fig 3.35.- Respuesta del sistema ante una perturbación del 20% en la carga



51

2.11 CONCLUSIONES

Arranque E. Estacionario Pertur. 25% Vg Pertur. 20% R Perturb. 50% R

tr

msts

msVm

V∆V

o

mV

FKHz

ts

msVm

V∆V

o

mV

ts

msVm

V∆V

o

mV

ts

msVm

V∆V

o

mV

Ideal ⇑ 230 23.97 62 20 20 29.99 80 16 23.99 55 210 23.99 45⇓ 20 23.98 60 16 23.99 60 180 23.99 60

Real ⇑ 0.8 18 23.97 71 20 25 29.98 120 10 24.11 70 10 24.25 65⇓ 25 23.98 70 10 23.98 70 10 23.98 70

• El convertidor elevador Boost permite obtener una tensión de salida superior a la tensión

de entrada. Para ello se deberá elegir un valor adecuado para la frecuencia de conmutación

y del ciclo de trabajo.

• La influencia de las pérdidas, hace el sistema más lento, pero le proporciona mayor

estabilidad, eliminando las oscilaciones que presenta el sistema ideal en los transitorios y

además provoca saltos en la señal de salida.

• La introducción de perturbaciones afectan al punto de funcionamiento del sistema, y

consecuentemente variando notablemente la tensión de salida del sistema.

• Debe diseñarse un control que proporcione mayor robustez al sistema y minimice el efecto

de las posibles perturbaciones en la señal de alimentación y en la corriente de carga.

3. CONTROL EN MODO

DESLIZAMIENTO.


55

3.1 CONTROL DEL CONVERTIDOR BOOST

Al diseñar un convertidor elevador continua-continua, se desea obtener una tensión de

salida continua, mayor que la tensión continua de entrada, lo más estable posible. No obstante,

pueden producirse situaciones desfavorables, como variación de la carga, superposición de

señales alternas en la entrada (porque provenga de un puente rectificador), los cuales pueden

llegar a dificultar el correcto funcionamiento del circuito. Para minimizar los efectos derivados

de estas perturbaciones, añadimos al convertidor un lazo de control.

3.1.1 Control por realimentación de la tensión de salida

Este control consiste en establecer una realimentación de una muestra de la tensión de

salida. Una señal proporcional a la tensión de salida se compara con una señal de consigna,

debidamente estabilizada. En el proceso de comparación se genera una señal de error, la cual

pasa por una etapa de amplificación y adecuación para después convertirla, por medio de un

circuito convertidor de tensión –ciclo de trabajo (a frecuencia constante), en una señal que

actúa sobre el circuito de conmutación.

Así, los efectos de una variación del control sobre la tensión de salida alrededor de un

punto de trabajo estable, pueden ser evaluados a partir de la función de transferencia salida-

control. De la misma manera, se pueden estudiar los efectos del rizado de alterna en la entrada

mediante la relación salida-entrada en pequeña señal.

Fig 3.37.- Diagrama de bloques de un convertidor con lazo de tensión

33.. CCoonnttrrooll eenn mmooddoo ddeesslliizzaammiieennttoo

56

3.1.2 Control por realimentación de tensión con red compensadora

Este método de control es una variación del expuesto anteriormente. Se añade una red

compensadora en la estructura expuesta en la figura 3.1. Con esta modificación se aumenta la

ganancia de lazo sin hacer el sistema inestable, y así, se proporciona una mejora en la

regulación de línea del convertidor. La red compensadora que se implementa en el sistema de

control, está formada básicamente, por un filtro activo o pasivo, según las especificaciones del

circuito.

3.1.3 Control por linealización entrada-salida

Al aplicar las anteriores técnicas lineales, se limita el funcionamiento del convertidor a

un margen de pequeña señal alrededor de un punto de trabajo determinado. Esto hace que

dichas técnicas de control sean inadecuadas a la hora de trabajar en gran señal. Además, al

utilizar un control lineal, no siempre tenemos la certeza de que el punto de trabajo del

convertidor sea el deseado.

Para superar los inconvenientes surgidos en las técnicas de control lineales se

introducen técnicas de control no lineales. Entre ellas, se puede destacar la técnica de control

en modo deslizamiento y la técnica de linealización entrada-salida.

El control en modo deslizamiento define dentro del espacio de estado una superficie

especifica de deslizamiento o de conmutación. Mediante una ley de control se pretende

conducir la trayectoria de estado del sistema hacia esta superficie, y mantenerla intersectando

dicha superficie.

La técnica de linealización entrada-salida propone controlar la dinámica no lineal de

algunas de las variables del convertidor, mediante un control de carácter opuesto a dicha

dinámica. Con la implementación de este control, se intenta que la tensión de salida siga a una

consigna, pero también se busca una respuesta rápida del sistema ante variaciones de esta

consigna, variaciones de la carga o de la tensión de entrada. Para la obtención de la ley de

control, se utiliza una realimentación múltiple de todas las variables de estado e incluso de la

entrada del sistema. Dicha ley de control actuará sobre el convertidor por medio de un

modulador de anchura de pulsos, el cual trabaja a una frecuencia constante ajustada por el

diseñador.


57

3.2 CONTROL EN MODO DESLIZAMIENTO

3.2.1 Fundamentos

Los sistemas de estructura variable (VSS) se caracterizan por una topología variante en

el tiempo y, como resultado, la acción del control es discontinua y el conjunto planta-control

no lineal. En el caso de los convertidores conmutados la acción del control es discontinua, lo

que permite clasificarlos dentro de la categoría de VSS.

El sistema de estructura variable sometido a esta técnica de control, define dentro del

espacio de estado una superficie especifica para cada uno de los interruptores, llamada

superficie de deslizamiento o de conmutación. Mediante una ley de control a alta velocidad, se

pretende conducir la trayectoria de estado del sistema hacia estas superficies, y una vez

alcanzadas, dicha trayectoria de estado debe mantenerse intersectando entre ellas, esto es lo

que se llama modo o régimen de deslizamiento.

El sistema es, de este modo, confinado a moverse a lo largo de la intersección entre las

superficies de conmutación (o sobre la propia superficie de conmutación, en el caso de existir

un único interruptor), y a partir de ese momento no puede desplazarse libremente en el espacio

de estado, presentando así una conducta dinámica de orden reducido. Esto será posible, si en la

vecindad de cada una de las superficies de conmutación la trayectoria de estado está dirigida

hacia la superficie, a causa de la evolución adecuada del interruptor correspondiente. Así pues,

en un sistema complejo, puede establecerse una jerarquía de control, según la cual uno tras

otro, los interruptores vayan conduciendo la trayectoria de estado de la planta hacia la

superficie de deslizamiento correspondiente, quedando así el vector de estado atrapado sobre

esta superficie.

En el caso ideal, la conmutación se produce de forma infinitamente rápida, con lo que

la trayectoria de estado se mantiene sobre la superficie de conmutación. Pero en la realidad la

conmutación se produce a frecuencias finitas, debido a pequeñas imperfecciones tales como

retardos, histéresis, etc., así como limitaciones propias de los componentes físico (capacidades

parásitas, resistencias dispersas, etc.). Esto hace que aparezca un rizado en torno a la superficie

de deslizamiento, tanto mayor cuanto mayor sean los comportamientos no ideales


58

3.2.2 Bases del control en modo deslizamiento

Considerando un sistema de orden n que se desea controlar, su estado es representado

por un vector x con n componentes. Suponiendo que el estado x se puede medir, se pueden

diseñar sistemas de control clásicos que trabajen con realimentación de estado, y la misma

metodología puede aplicarse a los Sistemas de Control de Estructura Variable. A partir de un

vector kx, que incluye los coeficientes de realimentación de estado, se puede definir la

siguiente función:

s x k x k rxT

rT( ) = + ( 3.1 )

donde r es un vector de referencia y kr es el vector que incluye los coeficientes de la

referencia. La función s(x) se asocia a los errores del sistema de control. Si s(x) tiende a cero,

el problema de control se resuelve al imponer la siguiente ley:

0)( =xs ( 3.2 )

La ecuación (3.2) define una superficie de orden n-1 en el espacio de dimensión n. Por

ejemplo, si se considera un sistema de segundo orden, la relación (3.2) identifica una

superficie de primer orden, que es una línea recta en el plano de variables de estado. Las

condiciones para la existencia del modo deslizamiento pueden expresarse de la siguiente

manera:

0>−→

slimos! ; 0

0<

+→slim

s

! ( 3.3 )

Las dos ecuaciones de (3.3) se pueden satisfacer suponiendo una entrada de control u,

tal como está expresado en las siguientes relaciones:

uu (x, t) per s(x) > 0

u (x, t) per s(x) < 0

+

-=

( 3.4 )

donde u+ i u- son determinadas funciones continuas que han de ser escogidas por el

sistema de control. Si la entrada de control conmuta continuamente entre u+ i u-, verificando

las condiciones (3.3), el sistema opera en modo deslizamiento, es decir, el movimiento de los


59

errores de estado sigue la superficie de conmutación definida por (3.2).

Fig 3.38.- Funcionamiento en modo deslizamiento

La figura (3.2) muestra un ejemplo de trabajo en modo deslizamiento, en el caso n=2;

se ha introducido una banda de histéresis en el cruce con la superficie de conmutación para

evitar una frecuencia de conmutación infinita.

Cuando u es igual a u+, una trayectoria del sistema alcanza el valor de conmutación

marcado por el punto a. Después u se iguala a u-, y la trayectoria del sistema cambia y tiende

hacia el interior de la banda de histéresis, hasta que llega al valor de conmutación opuesto en el

punto b. Entonces u es igual a u+, y así hasta que se llega a un punto de equilibrio, donde la

conmutación persiste mientras se verifica la condición (3.2). En particular, como el estado del

sistema suele estar relacionado con las salidas controladas i sus derivadas, imponer la relación

(3.2) implica imponer la dinámica del sistema.

3.2.3 Sistema de estructura variable

Los sistemas de estructura variable (VSS) están caracterizados por una topología

variable con el tiempo. Como consecuencia directa la acción de control es discontinua y el

sistema no es lineal. La teoría de los VSS y el control en modo deslizamiento (SMC) son

técnicas de diseño en el dominio temporal. El SMC utiliza múltiple realimentación de estado,

y ajusta la respuesta en lazo cerrado deseada en el dominio temporal. La respuesta en algunos

casos es independiente de los parámetros del sistema.


60

3.2.4 Descripción mediante la dinámica de errores del sistema

La descripción de un sistema mediante variables de estado no es única. Si se utiliza el

error de una de las variables de estado ~x , es decir,

*

*

= variablela deerror ~deseadovalor

estado de variable

x-xx

x

x

≡

≡

≡ ( 3.5 )

se puede definir la matriz ~X n×1

=

−

×

dt

xn

d

dt

xd

x

nX

~1

~

~

... ~

1 ( 3.6 )

con el que la dinámica del sistema será la siguiente:

~! ~X C X D u En n n n n n× × × × ×= + +1 1 1 1 ( 3.7 )

Se puede escribir una nueva ecuación:

S GX g x gdx

dtg

d xn

n

= = + + + −

−~ ~ ...

~0 1 1

1

dt ( 3.8 )

[ ]G = g g ... g0 1 n-1 ( 3.9 )

La función S GX= ~ es la suma ponderada del error ~x i de sus derivadas sucesivas. Los

elementos de la matriz G son las ganancias de realimentación de ~x y sus derivadas. La

ecuación S=0 representa un hiperplano en el espacio n-dimensional donde los vectores base

son el error i sus n-1 derivadas sucesivas.

La finalidad del control en modo deslizamiento consiste en obligar al sistema a

mantenerse en el hiperplano S=0 mediante una acción de conmutación adecuada. Cuando el

sistema queda restringido mediante la acción de control a moverse sobre el hiperplano o

superficie de deslizamiento, se cumple que la dinámica del sistema vendrá dictada por S=0.


61

g x gdx

dtg

d xn

n

0 1 1

1

0~ ...~

+ + + =−

−

dt ( 3.10 )

Para forzar que el sistema verifique S=0, es necesario asegurar que este alcance la

superficie de deslizamiento S=0 desde cualquier condición inicial y que, una vez alcanzada la

superficie, la acción de control sea capaz de mantener al sistema en S=0. Estas condiciones

pueden expresarse matemáticamente así:

dS

dt< 0 cuando S > 0

dS

dt> 0 cuando S < 0 ( 3.11 )

Por otra parte,

dS

dtGX= ~! ( 3.12 )

donde

~! ~X CX Du E= + + ( 3.13 )

con el que resulta

dS

dtGCX GDu GE= + +~

( 3.14 )

Suponiendo que

u = u cuando S > 0

u = u cuando S < 0

+

-

-

( 3.15 )

y aplicándolo a las expresiones (3.11) y (3.12) se obtiene

GCX GDu GE

GCX GDu GE

~

~+ + <

+ + >

0

0 ( 3.16 )

De forma compacta

GCX GDu GE GCX GDu GE~ ~+ + < < + ++ −0 ( 3.17 )

Esta desigualdad refleja la estrategia de control a seguir. Si el control u se escoge


62

adecuadamente 1 o 0 según la ecuación anterior, la dinámica del sistema quedará descrita por

S=0, o de forma equivalente por las ganancias de realimentación g0, g1,...gn-1 que son

independientes de los parámetros del sistema. Debido a esta propiedad se dice que el control

en modo deslizamiento es robusto.

Todas las variables controlables han de ser continuas y accesibles. Si no se verifica esta

condición la teoría de control en modo deslizamiento basada en la dinámica del error no se

puede aplicar. En estos casos se puede utilizar la descripción basada en el análisis vectorial.

3.2.5 Descripción mediante análisis vectorial

3.2.5.1 Definición del gradiente de una superficie

Consideremos un punto cualquiera del espacio P(x,y,z) determinado por su vector de

posición " " " "R i x jy kz= + + , tal como esta representado en la figura 3.3.

Fig 3.39.- Representación del punto P

Sea ),,( zyxΦ una función escalar con derivadas primeras parciales continuas

( )dzk+dyj+dxiz

k

y

j+

x

i=dz

z

dy

y

+dx

x

=d

""""""•

Φ+ΦΦΦ+ΦΦΦ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

( 3.18 )

Sabiendo que dR i dx jdy kdz" " " "

= + + y representando el producto escalar BA""

• como

BABA""""

,=• ( 3.19 )

se obtiene


63

Rd,=Rdd""

Φ∇•Φ∇=Φ ( 3.20 )

donde ∇Φ ≅ gradiente de .Φ Si φ(x, y, z)= constante entonces

d dRΦ ≅ ∇Φ =,"

0 ( 3.21 )

el gradiente de Φ es perpendicular a la superficie Φ=constante en el punto P.

3.2.6 Modelización matemática del sistema

Considerando los sistemas de dinámica no lineal, los cuales se pueden describir

mediante la siguiente expresión bilineal:

),,()()( uxtfuBxAxx =+++= γδ! ( 3.22 )

donde x es el vector de estado del sistema, por lo tanto x∈ X (X simboliza el espacio de

estado) y nx ℜ∈ ; )(y )( γδ ++ BxAx son campos vectoriales locales definidos en X con

0)( ≠+ γBx , Xx ∈∀ y la función del control se define como ℜ→ℜ nu :

-

+

u para vector campo ),,(

u para vector campo ),,(−−

++

=

=uxtff

uxtff ( 3.23 )

El control u definirá la ley de control del sistema, de manera que:

-uu 0)( para )(

0)( para )(≠

<

>= +

−

+

xSxu

xSxuu ( 3.24 )

3.2.7 Condiciones para la existencia del modo deslizamiento

Se debe garantizar la existencia del modo deslizamiento, es decir, que la trayectoria de

estado alcance la superficie S(x), y una vez alcanzada, se mantenga intersectando con ella. El

sistema, a partir de ese momento, pasará a tener un comportamiento dinámico de orden

restringido, donde las variables de estado actúan de acuerdo a lo previsto al diseñar el control.

Además, el modo de deslizamiento debe existir en una zona del espacio de estado que

contenga el punto de equilibrio del sistema.


64

3.2.8 Definición del modo de deslizamiento

Suponiendo que como resultado de la ley de control (3.24), las trayectorias del sistema

alcanzan la superficie de deslizamiento, una vez conseguido, la trayectoria de estado reducirá

sus movimientos a una vecindad de dicha superficie.

La condición necesaria y suficiente para alcanzar la superficie S(x)=0 vendrá dada por

0

0

0

0

>∇

<∇

−

+

→

→

-S, f

+S, f

lim

lim

S

S

( 3.25 )

donde S∇ es el gradiente de S(x) y se denota mediante , , producto escalar de vectores.

Fig 3.40.- Proyecciones de f sobre S∇

Existe un modo de deslizamiento si las proyecciones de los campos vectores f + y f -

sobre el gradiente de la superficie son de signo opuesto y apuntan hacia la superficie. Esta

situación está representada en la figura 3.4.

3.2.9 Condición de invarianza. Dinámica ideal de deslizamiento

En estas condiciones se puede decir que la dinámica ideal de deslizamiento se

caracteriza por las condiciones de invarianza:

0=S ( 3.26 )

∇ =S, f(t, x, u )eq 0 ( 3.27 )


65

La condición (3.27) define la noción de control equivalente ueq como la ley de control

continua que constriñe las trayectorias de estado a la superficie S.

Sustituyendo la expresión (3.22) en (3.27) se obtiene:

( ) ( )∇ + + + =S Ax Bx ueq, δ γ 0 ( 3.28 )

Por tanto,

uS Ax

S Bxeq = −

∇ +∇ +

,

,

δγ

( 3.29 )

Existirá control equivalente si

∇ ≠S, Bx + γ 0 ( 3.30 )

Esta condición se denomina condición de transversalidad, e implica que Bx +γ no

puede ser tangente a la superficie S

0=S ( 3.31 )

∇ =S, f(t, x, u )eq 0 ( 3.32 )

Fig 3.41.- Condición de transversalidad

=

)(

)(

)(

3

2

1

tx

tx

tx

x ( 3.33 )

))();();(()( 321 txtxtxSxS = ( 3.34 )


66

∂∂

∂∂

∂∂

S

x

S

x

S

x

dx

dt

dx

dt

dx

dt1 2 3

1 2 3" " " " " "i j k i j k+ +

+ +

= 0 ( 3.35 )

∂∂

∂∂

∂∂

S

x

dx

dt

S

x

dx

dt

S

x

dx

dt1

1

2

2

3

3

+ + = 0 ( 3.36 )

De forma equivalente:

dS

dt= 0 ( 3.37 )

Por tanto, las condiciones de invarianza pueden expresarse así:

0=s ( 3.38 )

dS

dt= 0 ( 3.39 )

3.2.10 Condición de existencia

Teniendo en cuenta las expresiones de (3.23), se puede escribir

( ) ( )( ) ( )

∇ = ∇ + + + <

∇ = ∇ + + + >

+ +

− −

S f S Ax u Bx

S f S Ax u Bx

, ,

, ,

δ γ

δ γ

0

0 ( 3.40 )

Por tanto,

( ) ( )∇ − + − + <−S Ax u Bx, δ γ 0 ( 3.41 )

y sumando las ecuaciones de (3.40)

( )( )∇ − + <+ −S u u Bx, γ 0 ( 3.42 )

Si se considera u+>u- entonces (3.42) quedará

( )∇ + <S Bx, γ 0 ( 3.43 )

Por otra parte, restando (3.28) a la segunda ecuación de (3.40) se obtiene:

( )( )∇ − + >+S u u Bxeq, γ 0 ( 3.44 )


67

Esto implica

u ueq− − < 0 ( 3.45 )

En forma compacta,

u u ueq− +< < ( 3.46 )

Considerando u->u+ se obtendria de forma similar

u u ueq+ −< < ( 3.47 )

Así se puede concluir que

( ) ( )max u u u min u ueq+ − + −> >, , ( 3.48 )

Esta expresión indica la condición necesaria y suficiente para la existencia de un

régimen o modo deslizamiento en el espacio de estado

3.2.11 Regiones de deslizamiento

Cuando la trayectoria de estado se encuentre en un entorno alrededor de la superficie de

deslizamiento con una acción de control u+ o u-, se cumplirán la inecuaciones (3.40). En esta

situación las regiones de deslizamiento quedan definidas como

( ) ( ) +++ <+++∇ℜ∈= uparaBxuAxSxR n 0,: γδ ( 3.49 )

( ) ( ) -n uparaBxuAxSxR 0,: >+++∇ℜ∈= −− γδ ( 3.50 )

Existe un régimen de deslizamiento en S(x) localmente si y solamente si

R R S+ −∩ ∩ es un conjunto no vaci o

3.2.12 Punto de equilibrio

Una vez determinada la existencia de un modo de deslizamiento del sistema en S(x), se

debe asegurar que la trayectoria de estado, bajo el comportamiento dinámico establecido por la

ley de control, va a ser conducida hacia un punto de equilibrio en el espacio de estado.

Para determinar el punto de equilibrio, se considera la trayectoria de estado bajo la

acción del control equivalente. Entonces se supone que en dicho punto se cumple


68

0=x! ( 3.51 )

imponiendo esta condición en

eqUBxAxx ⋅+++= )()( γδ! ( 3.52 )

Se obtiene la expresión

eqUBxAx ⋅+++= )()(0 γδ ( 3.53 )

La ecuación (3.53), indica un punto en el espacio de estado cuyas componentes serán

los valores constantes de las variables de estado.

3.2.13 Estabilidad del punto de equilibrio

Un determinado sistema, puede ser que cumpla las condiciones de existencia de un

régimen de deslizamiento y además posea un punto de equilibrio, pero si este punto no cumple

los requisitos de estabilidad, no se puede utilizar el control en modo deslizamiento.

3.3 ESTUDIO SISTEMÁTICO DE LAS ESTRATEGIAS DE CONTROL

El siguiente método se basa en la descripción mediante la dinámica de

errores del sistema y en el análisis vectorial que se ha expuesto en las secciones anteriores.

Permite analizar las regiones en el espacio de estado donde se pueden crear regímenes de

deslizamiento y realizar la implementación del control, si es necesario.

El procedimiento que se sigue es el siguiente:

1. Análisis de la condición de transversalidad

2. Obtención del control equivalente ueq

3. Definición de las regiones de deslizamiento

4. Estudio de la dinámica ideal de deslizamiento

5. Obtención de los puntos de equilibrio según la dinámica ideal de deslizamiento

6. Análisis de la estabilidad de los puntos de equilibrio

7. Conclusiones

Se estudian diversas estrategias de control aplicando este método sistemático. En

función de los resultados obtenidos se determina en qué condiciones cada estrategia de control

es válida para realizar el control deseado.


69

3.4 MODELIZACIÓN MATEMÁTICA DEL SISTEMA

Fig 3. 1. Convertidor elevador Boost

La descripción matemática de estos convertidores es la siguiente:

!

!

x A x B

x A x B

= += +

1 1

2 2

para u = 1

para u = 0 ( 3.54 )

siendo

xi

v=

( 3.55 )

Compactando:

( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )[ ]

!x A x B u A x B u

A x B A A xu B B u

A x B A A x B B u

= + + + − == + + − + − =

= + + − + −

1 1 2 2

2 2 1 2 1 2

2 2 1 2 1 2

1

( 3.56 )

Definiendo

A A

B

B A A

B B

=== −= −

2

2

1 2

1 2

δ

γ

( 3.57 )

se obtiene la siguiente descripción bilineal

( ) ( )!x Ax Bx u= + + +δ γ ( 3.58 )


70

En el convertidor elevador, los valores de las matrices A, δ, B y γ, según los cálculos

realizados en el segundo capítulo, serán los siguientes:

A1 B1 A2 B2 A δ B γ

0 0

0 -1

RC

V

L

g

0

0 L

1

C

-1

RC

−

1 V

L

g

0

0 L

1

C

-1

RC

−

1 V

L

g

0

0 L

1

C 0

−

1 0

0

3.5 SUPERFICIES DE DESLIZAMIENTO

Se analizarán las diferentes superficies de deslizamiento, que se pueden utilizar para

para controlar el circuito. Principalmente las superficies que interesan son las formadas por

una variable de estado o las formadas por una combinación lineal de estas.

3.5.1 Superficie de una variable S(x)=v-K=0


0K-S(x) == v ( 3.59 )

)1,0(=∇ S ( 3.60 )


0, ≠+∇ γBxS ( 3.61 )

( ) 0,,1,0 ≠−=

−

C

i

C

i

L

v ( 3.62 )

2. Obtención del control equivalente Ueq(x)

( )

iR

v

C

iCR

v

C

i

C

i

RC

v

C

i

L

vV

BxS

AxSxu

g

eq ⋅−=⋅

−−=

−

−

−

−=+∇+∇

−= 1

,,0,1

,

,)(

γδ

( 3.63 )


71


110

10

<⋅

−<

<<

iR

v

ueq

( 3.64 )

De forma equivalente,

R

vi > ( 3.65 )


Kv = ( 3.66 )

iRL

v

L

V

iR

v

L

v

L

V

L

vu

L

v

L

V

L

v

dt

di gg

eq

g

⋅⋅−=

⋅−++−=++−=

2

1 ( 3.67 )

5. Obtención del punto de equilibrio del sistema (i*)

Kv =* ( 3.68 )

#

salidaPotenciaentrada

Potencia

g

g

R

KiV

iRL

K

L

V 22

**

0 =⋅⇒⋅⋅

−=$%&

( 3.69 )

6. Análisis de la estabilidad del punto de equilibrio

iRL

K

L

V

dt

dixg g

⋅⋅+==

2

1 )( ( 3.70 )

( )

i* ; 0)(

**)(

*)()(

)()(

2

*1

2

2

22

4

2

*

1

*11

↑==

−⋅

⋅=−

⋅=−+≈

=

==

VgR

Kxg

iiKL

RVii

RV

KRL

Kii

dv

xdgxgxg

xx

g

g

xxxx

( 3.71 )


72

Es decir

( )*

2

2

iiKL

RV

dt

di g −⋅

⋅≈ ( 3.72 )

( ) ( )*

2

2*

iiKL

RV

dt

iid g −⋅

⋅≈−

( 3.73 )

iKL

RV

dt

id g ~~

2

2

⋅

⋅≈ ( 3.74 )

tKL

RVg

eii2

2

)0(~~ ⋅

⋅

= ( 3.75 )

7. Conclusiones

Como

02

2

>⋅

⋅KL

RVg ( 3.76 )

el punto de equilibrio es inestable. No hay un modo de deslizamiento en el convertidor

boost para la tension de salida=constante

3.5.2 Superficie de una variable S(x)=i-K=0


0K-iS(x) == ( 3.77 )

)0,1(=∇ S ( 3.78 )


0, ≠+∇ γBxS ( 3.79 )

( ) 0,,0,1 ≠=

−

L

v

C

i

L

v ( 3.80 )


73

2. Obtención del control equivalente Ueq(x)

( )u x

S Ax

S Bx

V v

L

i

C

v

RC

v

L

V

L

v

Lv

L

V

veq

gg

g( )

,

,

, , ,

= −∇ +∇ +

= −

−−

= −−

= −δγ

1 0

1 ( 3.81 )


0 1

0 1 1

< <

< − <

u

V

v

eq

g ( 3.82 )

De forma equivalente,

v Vg> ( 3.83 )


Ki = ( 3.84 )

dv

dt

K

C

v

RC

K

Cu

K

C

v

RC

K

C

V

v

v

RC

KV

Cveq

g g= − − = − − −

= − +1 ( 3.85 )

5. Obtención del punto de equilibrio del sistema (i*)

Ki =* ( 3.86 )

#$%&

entradaPotencia

VgKR

v

vC

VgK

CR

v ⋅=⇒⋅⋅+

⋅=

salidaPotencia

2*

*

*0 ( 3.87 )

VgRKv ⋅⋅=* ( 3.88 )


74


vC

VK

RC

v

dt

dvxg g

⋅⋅

+⋅

−==)(1 ( 3.89 )

*)( 2

*)( CR

1-

*)( 1

*)()(

)()(

*

*2

*

1

*11

vvCR

vvVRKC

VK

vvvC

VK

RCvv

dv

xdgxgxg

vvg

g

xx

g

xxxx

−⋅

−=−

⋅⋅⋅

⋅−⋅

=−

⋅⋅−

⋅−=−+≈

=

===

( 3.90 )

Es decir

( )dv

dt CRv v≈ − −

2 * ( 3.91 )

( ) ( )d v v

dt CRv v

−≈ − −

**2

( 3.92 )

~! ~vCR

v≈ −2

( 3.93 )

~ ~( )v V e

t

CR=−

02

( 3.94 )

7. Conclusiones

El punto de equilibrio es estable. Se puede crear un modo de deslizamiento en el

convertidor boost en la región

v V

i Kg> >

= >0

0 ( 3.95 )


75

3.5.2.1 Simulación del circuito

Para facilitar la representación del circuito se incluirá el modelo del Boost en un bloque

con dos entradas (Vg, D) y dos salidas (I,V).

2

V

1

I

s

1

v

s

1

i

-1 / C

b 2

1 / L

b 1

-1 / (R * C )

a 2 2

1 / C

a 2 1

-1 / L

a 1 2

0

a 1 1

S u m 1

S u m

1 / L

S i g m a

P ro d u c t 1

P ro d u c t

2

V g

1

D

Fig 3.42.- Implementación del modelo del convertidor Boost

Utilizando los valores de los componentes indicados en el apartado 2.7.2 y sustituyendo en la

ecuación (3.88) se obtiene el valor de la señal de referencia:

0909.1*

*2

=⋅

=⇒⋅⋅=RVg

vKVgRKv ( 3.96 )

La implementación del control en modo deslizamiento de la superficie S(x)=i-K será:

v1

u1

0

t1

i1

12

Vg

v

To Workspace3

i

To Workspace2u

To Workspace1

t

To Workspace

Sum2

Relay

1.0909

Constant

Clock

D

Vg

I

V

Boost

Fig 3.43.- Implementación del circuito en Simulink


76

3.5.2.1.1 Influencia de la banda de histeresis

El controlador en modo deslizamiento deberá observar la superficie escogida, y en

función del error de la misma respecto a cero, variará la señal de control del convertidor. El

principio de funcionamiento de este tipo de control es llevar a la salida del sistema a oscilar

alrededor de la superficie de deslizamiento escogida. Se intentará que la amplitud de dicha

oscilación sea lo menor posible, ya que así se obtendrá una salida más cercana a la deseada.

Se puede implementar físicamente el controlador en modo deslizamiento mediante un

comparador con histéresis. Este dispositivo variará su salida en función del resultado de la

comparación de la señal de entrada con los límites marcados en su banda de histéresis, y según

se haya rebasado por encima o por debajo se asignará se escogerá el valor de salida.

Fig 3.44.- Efecto de la variación de la banda de

Se puede comprobar como a medida que esta b

más cercano a la superficie de deslizamiento eleva

consiguiendo que el rizado de la tensión de salida sea

Aunque las herramientas de simulación nos per

frecuencia de conmutación, los componentes del m

máxima de funcionamiento Los componentes reales

oscilan entre 50KHz y 100KHz.

Ancho de

la banda

Frecuencia de

conmutación

Amplitud

de rizado

0.08 ≅ 170KHz 7mV

0.13 ≅ 108KHz 11mV

0.2 ≅ 70KHz 19mV

histeresis en la tensión de salida

anda se reduce, el sistema se mantiene

ndo la frecuencia de conmutación, y

menor.

miten aumentar casi indefinidamente la

ercado tienen limitada la frecuencia

poseen unos márgenes de conmutación


77

La elección de una banda de histéresis de 0.2 proporcionará una frecuencia de

conmutación que permitirá una posible implementación del circuito y mantiene el error en una

cota suficientemente pequeña para considerar que se ha obtenido el resultado deseado.

3.5.2.1.2 Respuesta del sistema con control en modo deslizamiento

Se puede comprobar como la tensión de salida del sistema se estabiliza para mst 7.0≅ .

Además, se observa claramente como el circuito entra en funcionamiento en modo

deslizamiento para Vo>Vg, y conduce los parámetros del sistema hacia su funcionamiento

estable en el punto de trabajo.

Fig 3.45.- Respuesta del Boost en modo deslizamiento (S=i-K)

3.5.2.1.3 Respuesta del sistema en estado estacionario

La tensión de salida aproximadamente un 1% inferior a la calculada, por lo que se

considerará que se ha alcanzado el resultado deseado.

Si se observan las gráficas en estado estacionario, se puede comprobar como la

frecuencia de conmutación es aproximadamente de 67KHz. Esto hace que la señal de las

variables de estado tengan mucho menos rizado (≅ 80mV), aunque siguen teniendo el rizado

típico debido a la absorción y la cesión de energía de los elementos almacenadores en el

cambio del subcircuito del Boost en ON y el de OFF.


78

Fig 3.46.- Valores de las señales en régimen permanente

3.5.2.1.4 Respuesta ante perturbaciones en la tensión de alimentación

Si se introduce una perturbación de 3V en la tensión de alimentación Vg, cabe esperar

que la tensión de salida varíe respecto al valor de estabilización anterior.

83.2615*44*0909.1*** === VgRKv ( 3.97 )

Fig 3.47.- Respuesta del sistema ante una perturbación de Vg


79

En la figura 3.11 se puede observar que al introducir una perturbación en la tensión de

alimentación, se produce un incremento en la tensión de salida, estabilizándose en una tensión

de Vo=26.81, valor prácticamente igual al calculado teóricamente.

3.5.2.1.5 Respuesta ante perturbaciones en la carga

Introduciendo una perturbación en la carga que incrementa su valor en un 20%, cabe

esperar que la tensión en la carga se estabilice al nuevo valor

29.2612*8.52*0909.1*** === VgRKv ( 3.98 )

Puede comprobarse como el circuito se comporta tal y como se esperaba,

estabilizándose en un valor de Vo=26.275V, muy cercano al calculado teóricamente.



80

En el caso de la introducción de una perturbación de un 50% en la carga la tensión de

salida será 39.2912*66*0909.1*** === VgRKv , que como se puede comprobar se

estabiliza a 29.32V.

Fig 3.12(b).-Respuesta del sistema ante una perturbación del 50% en la carga

3.5.3 Superficie de dos variables )()( 2 vVKixS ref −⋅−=


constantesVKvVKixS

constantesKKvVKiKxS

refref

ref

==−⋅−===−⋅−⋅=

, 0)()(

, 0)()(

22

11

( 3.99 )

El gradiente de esta superficie será

),1( 2KS −=∇ ( 3.100 )

><

=0)( 0

0)( 1

xSpara

xSparau ( 3.101 )


( ) ( ) 0,,,1, 22 ≠

⋅+=

−−=+∇

C

iK

L

v

C

i

L

vKBxS γ ( 3.102 )


81

La condición depende del signo y del valor de la constante K2. En este caso se supondrá

K2>0 y por lo tanto resultará:

( ) 0, 2 >⋅

+=+∇C

iK

L

vBxS γ ( 3.103 )

2. Obtención del control equivalente )(xUeq

⋅−

−

=

+

⋅−

−=+

CR

v

C

iL

vVg

L

Vg

CR

v

C

iL

v

Ax0

0δ ( 3.104 )

( )( )

( )

( )=

⋅+

⋅⋅

+⋅

−−

=

−−

⋅

−−

−

=+∇+∇

−= -

,,,1

,,,1

- ,

, )(

2

22

2

2

C

iK

L

vCR

vK

C

iK

L

vV

C

i

L

vK

CR

v

C

i

L

vVK

BxS

AxSxU

gg

eqγδ

iRLKvCR

vLKVCRxUeq

g

⋅⋅⋅+⋅⋅

⋅⋅+⋅⋅−=

2

21)( ( 3.105 )


0 ))((, ⟨+−−+∇ γBxuuS ( 3.106 )

( ) 1 ; 0 0 , =−=+⇒−<+⇒⟩+∇ uuuuBxS γ ( 3.107 )

( ) ( )( ) ( )

( )

( )

LKCR

iLKCVg-R v

CR

vK

C

iK

L

vgV

CR

v

C

i

L

vgVK

BxAxS

BxuAxS

⋅+⋅−⋅⋅−⋅

⟨

⟨⋅⋅

+⋅

−−

⟨⋅

−−

−

⟨+⋅++∇

⟨+++∇ +

2

2

22

2

0

0 ,,,1

0 0,

0 ,

γδ

γδ

( 3.108 )


82

( ) ( )( ) ( )

( )

LK

CRVgv

CR

vK

L

gV

CR

v

L

gVK

BxAxS

BxuAxS

⋅⋅⋅

⟩

⟩⋅⋅

+

⟩⋅

−−

⟩+⋅++∇

⟩+−++∇

2

2

2

-

0

0 ,,,1

0 1,

0 ,

γδ

γδ

( 3.109 )

Por lo tanto las regiones de deslizamiento se definen por:

( )

1 para - :

0 para :

2

2

2

=

⋅⋅⋅⟩ℜ∈=ℜ

=

⋅+⋅−⋅⋅−⋅⟨ℜ∈=ℜ

−

++

-gn

gn

u LK

CRVvx

uLKCR

iLKCV-R vx

( 3.110 )

En forma compacta

( )LKCR

iLKCV-R v

LK

CRV gg

⋅+⋅−⋅⋅−⋅⟨⟨

⋅⋅⋅

2

2

2 -

( 3.111 )

1 0 ⟨⟨ Ueq ( 3.112 )

Ahora se puede calcular los márgenes de K2 entre los que el sistema permanecerá en las

regiones de deslizamiento

( )( )viRL

vVC RK

vL

CRV gg

−⋅−⋅⟨⟨

⋅⋅⋅

- 2 ( 3.113 )


( ) ( )( )vVKi

UBxAxx

ref

eq

−−

⋅+++=

2

γδ! ( 3.114 )


83

La dinámica es de orden n-1

=−−

−⋅

−=

=

−⋅

−=

++−=

0)(

0dt

di

2 vVKi

UC

i

CR

v

C

i

dt

dvU

C

i

CR

v

C

i

dt

dv

UL

v

L

V

L

v

dt

di

ref

eqeq

eq

g

( 3.115 )

5. Obtención del punto de equilibrio ( )** , vi

( )2

4

0

22

22*

*22

*RVVKRVKRVK

vU

C

i

CR

v

C

ivKVKi

grefgg

eq

ref ⋅⋅⋅⋅+⋅⋅±⋅⋅−=⇒

−⋅

−=

⋅⋅= −

( 3.116 )


1

-

2

2

22

⋅⋅⋅+⋅⋅

⋅⋅+⋅⋅−−

⋅−=

⋅⋅=

iRLKvCR

vLKVCR

C

i

CR

v

C

i

dt

dv

vKVKi

g

ref

( 3.117 )

[ ][ ]

( ) 122

222

222

222

2

2

22 g

VRLKvRLKCR

VVRKvVRKv

vKVKRLKvCR

vKVKVRv

iRLKvCR

iVRv

dt

dv

ref

refgg

ref

refgg

=⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−−=

=⋅−⋅⋅⋅⋅+⋅⋅

⋅−⋅⋅⋅+−=⋅⋅⋅+⋅⋅

⋅⋅+−−=

⋅⋅

. ( 3.118 )

( )[ ] xg

vv

VrefLKvLKCR

VgVCRKvLKVrefvLKCvv

dv

xdgxgxg

xx

ref

vvxx

xx

0)(

*)()2()(

*)()(

)()(

1 *

222

22

22

222

2

*

1

*

1 *1

↑

=−=+≅

=

−⋅⋅+⋅⋅−

⋅⋅⋅−⋅⋅+−−

=

⋅

==

=

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]

)4(

*)(2

2

4422)(

22

222

2222221

2

322

ref

ref

refrefref

VVgRKVgRK

vv

VgRLKVLVgR-CKáLKCR

LRVgKLVKCVRVgCKRVgLRVgKLVKCRVgKxg

⋅+⋅⋅⋅⋅⋅=↑

−

⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅−

++−+−−−≅

⋅⋅

α

α

( 3.119 )


84

Es decir

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]

*)(2

2

4422

2

322

222

222222vv

VgRLKVLVgR-CKáLKCR

LRVgKLVKCVRVgCKRVgLRVgKLVKCRVgK

ref

refrefref

dt

dv−

⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅−

++−+−−−

⋅⋅

≅ α

( 3.120 )

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]

*)(2

2

4422

2

322

222

222222*)(vv

VgRLKVLVgR-CKáLKCR


ref

refrefref

dt

vvd−

⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅−

++−+−−−

⋅⋅

≅− α

( 3.121 )

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]

vvVgRLKVLVgR-CKáLKCR


ref

refrefref ~ ~2

2

4422

2

322

222

222222

⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅−

++−+−−−

⋅⋅

≅ α!

( 3.122 )

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] t

VgRLKVrefLVgR-CKáLKCR

LRVgKLVrefKVrefCRVgCKRVgLRVgKLVrefKCRVgK

eVv⋅

⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅−

++−+−−−

⋅≅22

322

2222

2244222222

)0(~α

( 3.123 )

Teniendo en cuenta )4( 22 refVVgRKVgRK ⋅+⋅⋅⋅⋅⋅=α , y sustituyendo valores, se

comprueba que el exponente de la función será negativo, y por lo tanto el punto de equilibrio

estable para

033.12 −>K

tal y como se puede observar a continuación en la representación gráfica de la variación

del exponente en función de K2.


85

Fig 3.49.- Influencia de la variación de K2 en la estabilidad del punto de equilibrio

3.5.3.1 Estudio del circuito en el dominio de la transformada de Laplace

Para estudiar la estabiliad del sistema se ddebe obtener el modelo dinámico lineal del

convertidor en forma de la transformada en el dominio de Laplace. Para ello se utilizará el

modelo descrito en la figura 3.12. Este es el diagrama de bloques general de un convertidor

continua-continua, pudiendo ser controlado por un PWM (m≠0), o por un controlador en modo

deslizamiento (m=0).

Fig 3.50.- Diagrama de bloques del convertidor dc-dc

Las diferentes funciones Gx(s), representan la función de transferencia de cada variable

respecto a la señal de control u(s) y los factores Kx representan los coeficientes con los que se

realimenta cada variable.

Particularizando el circuito general al control en modo deslizamiento que se estudia, se

obtiene el siguiente circuito:

Kn (s+z)/s 1/m

G1(s)

G2(s)

Gn(s)

K1,K2...Kn-1

x* +

-

xn(s)

x2(s)

x1(s)

-

+

SUM(Ki*xi)

u(s)


86

1/m Gv(s)

Gi(s)

K2Vref Vo

-

+ +

-

Fig 3.51.- Boost controlado en modo deslizamiento con superfie ( )v-VKiS(x) ref2 ⋅−=

Según los cálculos realizados en el apartado 2.6.3 las funciones de transferencia

respecto al control serán:

CL

DS

CRS

CL

VgS

RC

V

Sd

SvsGv

g

⋅′

+⋅

+

⋅+

′⋅⋅−

==2

2

2

1

D

)(

)()( ( 3.124 )

4 0 0 0P o le z e r o m a p

Fig 3.52.- Diagrama de polos y ceros de Gv(s)

1

2

D)(

)()(

22

CL

DS

CRS

DCRL

VgS

L

V

Sd

SisGi

g

⋅′

+⋅

+

′⋅⋅⋅⋅+

′⋅== ( 3.125 )

- 1 0 1 2 3 4 5 6

x 1 04

- 4 0 0 0

- 2 0 0 0

0

2 0 0 0

R e a l A x is

Ima

g A

xis

- 1 0 0 - 9 0 - 8 0 - 7 0 - 6 0 - 5 0 - 4 0 - 3 0 - 2 0 - 1 0 0

- 2 0 0 0

- 1 0 0 0

0

1 0 0 0

2 0 0 0

D i a g r a m a d e p o l s i z e r o s d e G v( s )

Ima

g A

xis


87

- 2 5 0 - 2 0 0 - 1 5 0 - 1 0 0 - 5 0 0- 2 5 0 0

- 2 0 0 0

- 1 5 0 0

- 1 0 0 0

- 5 0 0

0

5 0 0

1 0 0 0

1 5 0 0

2 0 0 0

2 5 0 0

D i a g r a m a d e p o l s i z e r o s d e G i ( s )

Ima

g A

xis

P o l e z e r o m a p

Fig 3.53.- Diagrama de polos y ceros de Gi(s)

Se observa que la función de transferencia de la salida de intensidad respecto al control,

tiene un cero en el semiplano derecho del plano S, lo que indica que se trata de un sistema de

fase no mínima

3.5.3.2 Sistemas de fase mínima y de fase no mínima

Las funciones de transferencia que no tienen polos ni ceros en el semiplano derecho del

plano S son funciones de transferencia de fase mínima, mientras que si tienen polos y/o ceros

en el semiplano derecho del plano S son funciones de transferencia de fase no mínima. Los

sistemas con funciones de transferencia de fase mínima se llaman sistemas de fase mínima; y

los que tienen funciones de transferencia no mínimas se denominan sistemas de fase no

mínima.

Para sistemas con la misma característica de magnitud, la variación en el ángulo de fase

de funciones de transferencia de fase mínima es mínima para todos estos sistemas, mientras

que la variación en el ángulo de fase de cualquier función de transferencia de fase no mínima

es mayor que este mínimo.

Considérese como ejemplo dos sistemas cuyas funciones de transferencia senoidales

son respectivamente,

11

21

1 TT0 1

1)(

1

1)( <<

+−=

++=

Tj

TjjG

Tj

TjjG

ωωω

ωωω ( 3.126 )

Las configuraciones de ceros y polos de estos sistemas se muestran en la figura 2.16.

Las dos funciones de transferencia senoidales tienen la misma característica de magnitud, pero


88

tienen distintas características de ángulo de fase como se muestra en la figura 2.18.

Ts

TssG

Ts

TssG

+−=

++=

1

1)(

1

1)( 21

Fig 3.54.- Diagrama de polos y ceros

Estos dos sistemas se diferencian entre sí por el factor

Tj

TjjG

ωωω

+−=

1

1)( ( 3.127 )

La magnitud del factor ( ) ( )TjTj ωω +− 1/1 es siempre la unidad. Mientras que el

ángulo de fase es igual a ùT1tg2 −⋅− y varía de 0 180º cuando ω crece de cero a infinito.

Para un sistema de fase mínima, las características de magnitud y de ángulo de fase

están directamente relacionadas. Esto significa que si la curva de magnitud de un sistema se

especifica sobre una variación de frecuencia de cero a infinita, la curva de ángulo de fase está

determinada unívocamente, y viceversa. Esto no se mantiene para sistemas de fase no mínima.

Las situaciones de fase no mínima se pueden presentar de dos formas diferentes. Una

es simplemente cuando un sistema incluye un elemento ovarios elementos de fase no mínima.

La otra situación se puede presentar cuando un lazo secundario es inestable.

Para un sistema de fase mínima, el ángulo de fase en ∞=ω llega a ser –90º(q-p),

donde p y q son respectivamente los grados de los polinomios del numerador y del

denominador de la función de transferencia. Para un sistema de fase no mínima, el ángulo de

fase en ∞=ω difiere de –90º(q-p). En cualquier sistema la pendiente de la curva del logaritmo

de la magnitud en ∞=ω es igual a –20 (q-p) dB/década. Por tanto es posible detectar si un

sistema es de fase mínima o no examinando la pendiente de la asíntota de altas frecuencias de

la curva del logaritmo de la magnitud y el ángulo de fase en ∞=ω Si la pendiente de al curva

del logaritmo de la magnitud cuando ω se aproxima a i finito es –20(q-p) dB/década y el


89

ángulo de fase en ∞=ω es igual a –90º(q-p), el sistema es de fase mínima.

Fig 3.55.- Diagrama de fase

Si se considera un sistema de segundo orden de fase no mínima:

12

1

)(2 +⋅⋅+

+⋅=

ss

s

sHζ

ζα ( 3.128 )

''' $''' %&'' $'' %&)(

2

)(

2 12

1

12

1)(

sHdsHo

ss

s

sssH

+⋅⋅+⋅+

+⋅⋅+−=

ζζαζ ( 3.129 )

El primer término, Ho(s), es el término original (sin ningun cero finito), y el segundo

Hd(s), que introduce el cero, es el producto de la contante ( )ζα ⋅/1 veces s el término

original. La transformada de Laplace de df/dt es sF(s), por lo que Hd(s) corresponde al

producto de una contante derivativa del término original.


90

Fig 3.56.- Respuesta al escalón

Como se puede comprobar en la figura 3.20, la parte derivativa produce una respuesta

contraria a la excitación del sistema, que al sumarse a la respuesta Ho(s), provoca que la

respuesta de un sistemas de fase no mínima sea lenta debido a su defectuoso comportamiento

al comienzo de la misma. En la mayoría de los sistemas de control prácticos, se deberían de

evitar cuidadosamente los excesivos retardos de fase. En el diseño de un sistema, si lo

importante es la velocidad de respuesta no se deberían utilizar componentes de fase no

mínima.

3.5.3.3 Cálculo de la función de transferencia del convertidor

En primer lugar, el bucle de realimentación de corriente será:

Fig 3.57.- Bucle de corriente

1/m

Gi(s)

u(s) U1(s)

-

+


′⋅⋅⋅⋅+

′⋅+

⋅′

+⋅

+⋅

⋅′

+⋅

+==

DCRL

VgS

L

V

CL

DS

CRSm

CL

DS

CRS

su

sUsG

g 2

D

1

1

)(

)(1)(1

22

22

( 3.130 )

DCRL

VgS

L

VCL

DS

CRS

sGlimg

m

′⋅⋅⋅⋅

+′⋅

⋅′

+⋅

+=→ 2

D

1

)(1

22

0 ( 3.131 )

Añadiendo el bloque de ganáncia de tensión:

Fig 3.58.- Ganancia del circuito en bucle abierto

)(

)(

2 )(

)()(

22

2

sNumGi

sNumGv

DSDRC

DRSL

su

sUsG =

′⋅+′⋅⋅′⋅−⋅== ( 3.132 )

-1 0 1 2 3 4 5 6

x 104

-1

-0.5

0

0.5

1

Ima

g A

xis

Pole zero map

-250 -200 -150 -100 -50 0-1

-0.5

0

0.5

1

Diagrama de pols i zeros del Boost(s)

Ima

g A

xis

Fig 3.59.- Diagrama de polos y ce

Se observa que el circuito en lazo a

1/m

Gi(s)

u(s)

-

+Gv(s) U2(s)

91

ros y de bode del circuito en bucle abierto

bierto sigue siendo de fase no mínima y su ancho de


92

banda es de 2265 rad/seg.

Fig 3.60.- Diagrama de bloques del Boost en lazo cerrado

( ) ( )2 D

-

)(

)(

22

222

−′⋅⋅′−⋅−′⋅⋅−′⋅⋅⋅=

DRKSLKDCR

DRKSLK

sV

sV

ref

o ( 3.133 )

Los sistemas estables de fase mínima en lazo abierto pueden convertirse en inestables

al cerrar el lazo de realimentación. Por lo tanto se calculará si el sistema es estable para

cualquiera valor de K2.

En primer lugar se buscará el valor de K2 que provoca que el polo pase del semiplano

izquierdo al derecho

0909.02

- 2 −=′⋅

⟩DR

K ( 3.134 )

Como se puede comprobar en el siguiente diagrama de Nyquist de T(s), éste es el

mínimo valor del factor K2 que asegura la estabilidad del sistema, por lo que en el diseño del

control se habrá de imponer la condición K2≥-0.0909

1/m

Gi(s)

-

+Gv(s)K2

+

-

Vref Vo


Fig 3.61.- Diagrama de polos y

Esta condición de estabilidad es má

deslizamiento, y la de estabilidad del punto

estable y en régimen de deslizamiento para

− 0909.0

3.5.3.4 Simulación del circuito

El circuito utilizado para realizar la

convertidor será el siguiente:

93

diagrama de Nyquist para K2=-0.0909

s restrictiva que la permanéncia en régimen de

de equilibrio. Por ello, el circuito permanecerá

K 2⟨ ( 3.135 )

simulación del control en modo deslizamiento del


94

Fig 3.62.- Circuito en Simulink del control en modo deslizamiento S(x)=i-K2*(Vo-Vref)

En la

realimentación

Fig 3.63.-

Fig 3.64.- Implementación del bloque de control

siguiente gráfica se puede observar el efecto de la variación del factor de

K2.


0 1 2 3 4 5 6

x 10-3

0

10

20

30

K2=

0.5

Respuesta temporal de la tensión en el condensador

0 1 2 3 4 5 6

x 10-3

0

20

40

K2=

1

0 1 2 3 4 5 6

x 10-3

0

50

100

K2=

5

Tiempo

Fig 3.65.- Efecto de la variación de K2 en la tensi

A medida que se incrementa este coeficiente, ta

estabilización del sistema y el sobrepico inicial. No obstante,

llegar el funcionamiento en régimen estacionario se acerca ca

deseada.

La superficie que se utiliza en el control no permite ll

que solamente sería posible para una corriente nula

ierrorKivVKixS ref ⇒⋅−=−⋅−= 22 )()(

Para eliminar este error remanente, se introducirá una

dicho error

32 )()( KvVKixS ref −−⋅−=

Para la simulación se fijará el valor de K2,co

estacionamiento aceptable como K2=0.5, y se irá variando

minimizar el error en estado estacionario

Valor K2 Tensión de salida

0.5 22.1427

1 22.1535

5 23.7858

95

ón en el condensador

mbién lo hace el tiempo de

la tensión a la que se estabiliza al

da vez más a la tensión de salida

egar a conseguir un error cero ya

errorK ⋅= 2 ( 3.136 )

segunda variable K3, que anule

( 3.137 )

n un sobrepico y tiempo de

el valor de K3 hasta conseguir


96

3.5.3.5 Estudio de la estabilidad del sistema con la introducción de K3

El diagrama de bloques que definirá el nuevo circuito será

Fig 3.66.- Diagrama de bloques del circuito con K3

Para calcular la función de transferencia del circuito modificada por la introdución de

la constante K3, se utilizará el teorema de superposición.

En primer lugar se calcula la función de transferencia de la salida respecto a la tensión

de referencia, anulando el efecto de K3.

Fig 3.67.- Efecto de la entrada Vref sobre la salida

( ) ( )2 D

-

)(

)(

22

222

−′⋅⋅′−⋅−′⋅⋅−′⋅⋅⋅=

DRKSLKDCR

DRKSLK

sV

sV

ref

o ( 3.138 )

Después se anula el efecto de la tensión de referencia y se calcula la función de

transferencia de la tensión de salida respecto a K3.

1/m

Gi(s)

-

+Gv(s)K2

+

-

Vref Vo-

K3

1/m

Gi(s)

-

+Gv(s)K2

+

-

Vref Vo


97

Fig 3.68.- Efecto de la entrada K3 sobre la salida

( ) ( )2 D )(

)(

22

2

3 −′⋅⋅′−⋅−′⋅⋅−′⋅+⋅=

DRKSLKDCR

DRSL

sK

sVo ( 3.139 )

Sumando ambas componentes

( ) ( ) )(2 D

- )( 32

22

2

KVKDRKSLKDCR

DRSLsV refo +⋅

−′⋅⋅′−⋅−′⋅⋅−′⋅= ( 3.140 )

Como puede comprobarse, el factor K3 no varía el denominador de la función de

transferencia por lo que su variación no influirá en la estabilidad del sistema.

3.5.3.6 Simulación del sistema con la variable K3

5

K 3

4

e rro r

3

K 2

2

i -K 2 * e rro r-K 3

1

D

S u m 2

S u m

S l i d i n g P ro d u c t

1 .1

C o n st a n t K 3

-0 . 5

C o n st a n t K 2

3

V re f

2

V o

1

i

Fig 3.69.- Implementación del bloque de control con K3

1/m

Gi(s)

-

+Gv(s)

K2

-VoK3


98

0 1 2 3 4 5 6

x 10-3

0

10

20

30

K3

=1

.85

Respuesta temporal de la tensión en el condensador K2=0.5

0 1 2 3 4 5 6

x 10-3

0

10

20

30

K3

=1

.4

0 1 2 3 4 5 6

x 10-3

0

10

20

30

K3

=1

.1

Tiempo

Fig 3.70.- Efecto de la variación de K3 en la te

Tras varias simulaciones se ha concluido que el

tensión de salida prácticamente igual a la deseada. Ta

aumentar el valor de la constante K3, se eleva también el v


Fig 3.71.- Variables del sistema en est

En la figura 3.35 se observa como el rizado de

frecuencia de conmutación es aproximadamente 68KHz.

Valor K3 Tensión de salida

1.85 25.2793

1.4 24.5268

1.1 24.0161

nsión en el condensador

valor de K3=1.1 proporciona una

mbién se puede observar como al

alor del sobrepico inicial.

ado estacionario

tensión es de ∆Vo=150mV, y la


99


La introducción de una perturbación de un 25% en la tensión de alimentación, produce

una ligera variación (≅ 1.5%) en la tensión de salida, estabilizándose a una tensión de

Vo=24.15V y manteniendo la amplitud del rizado.

Fig 3.72.- Efecto de una variación en Vg


El incremento del valor de la resistencia de carga provoca un ligero incremento en la

tensión del condensador, que en el caso de la perturbación del 50% se estabiliza en una tensión

de 24.66V. La estabilización se produce muy rápidamente en unos 4ms.

El error debido a la perturbación de carga es ligeramente mayor que en el caso de

convertidor sin control.


100

Fig 3.73.- Efecto de una perturbación del 20% en la carga

Fig 3.37 (b).- Efecto de una perturbación del 50% en la carga


101

3.5.3.6.4 Respuesta ante variaciones en la tensión de referencia

La variación de la tensión de referencia, indica al sistema el cambio del punto de

funcionamiento del mismo, con lo que el control intenta seguir las variaciones de la referencia.

En este caso se introduce una señal cuadrada de 6V, y el sistema intenta seguir dicha variación

y varía entre Vo=24.16V y Vo=29.1V. El error estacionario es debido a que la constante K3,

que se encargaba de minimizarlo, estaba ajustada para el punto de funcionamiento anterior y

no se ajusta a las necesidades del nuevo punto de funcionamiento del sistema.

Fig 3.74.- Efecto de una perturbación en la Vref

3.5.4 Superficie de dos variables S(x)=i-K2*error-K3, usando el modelo real

3.5.4.1 Estudio del circuito en el dominio de la transformada de Laplace

Según los cálculos realizados en el apartado 2.9.5 las funciones de transferencia

respecto al control serán:

( )( ) ( )

22

222

22222

)(

2)(

)()(

)()()(

)(

DRDrcRrcRrlVgrcR

K

rcRCL

DRDrcRrcRrlS

rcRCL

DCrcRrcRrlCLS

rcRrcCLDRrcRrl

SrcRrcCL

rcRrcRrlDCrcRrcRLS

KsGv

′⋅+′⋅⋅++⋅⋅⋅=

+⋅⋅

′⋅+′⋅⋅++⋅+

+⋅⋅′⋅⋅⋅++⋅⋅+

+

+⋅⋅⋅′++−+

+⋅⋅⋅+⋅⋅+′⋅⋅⋅++−+

=

( 3.141 )


102

Fig 3.75.- Diagrama de polos y ceros de Gv(s)

( )( ) ( )2

)()(

222

22)()(

)2(

22)(

)(

rcRCL

DRDrcRrcRrlS

rcRCL

DCrcRrcRrlCLS

sGiDRDrcRrcRrlrcRCL

rcDRVgRS

DRDrcRrcRrlL

rcDRVgR

+⋅⋅

′⋅+′⋅⋅++⋅+

+⋅⋅

′⋅⋅⋅++⋅⋅++

=

′⋅+′⋅⋅++⋅+⋅

+′⋅⋅⋅+

′⋅+′⋅⋅++⋅

+′⋅⋅

( 3.142 )

3.5.4.2 Cá

En p

Fig 3.76.- Diagrama de polos y ceros de Gi(s)

lculo de la función de transferencia del convertidor

rimer lugar, el bucle de realimentación de corriente será:

Fig 3.77.- Bucle de corriente

1/m

Gi(s)

u(s) U1(s)

-

+


( )( ) ( )

22

22222

2

222

10

)(

)()(

)()()(

1)(

DRDrcRrcRrlVgrcR

K

rcRrcCLDRrcRrl

SrcRrcCL

rcRrcRrlDCrcRrcRLS

rcRCL

DRDrcRrcrlrlRS

rcRCL

DCrcRrcRrlCLS

KsGlimm

′⋅+′⋅⋅++⋅⋅⋅=

+⋅⋅⋅′++−+

+⋅⋅⋅+⋅⋅+′⋅⋅⋅++−+

+⋅⋅′⋅+′⋅⋅+⋅+⋅+

+⋅⋅′⋅⋅⋅++⋅⋅++

=→

( 3.143 )

Añadiendo el bloque de ganáncia de tensión:

Fig 3.78.- Ganancia del circuito en bucle abierto

′⋅+′⋅⋅++⋅+⋅

+′⋅⋅⋅+

′⋅+′⋅⋅++⋅

+′⋅⋅

+⋅⋅⋅′++−+

+⋅⋅⋅+⋅⋅+′⋅⋅⋅++−+

=

22)()(

)2(

22)(

)(

)()(

)()()( 2222

2

2

)(

)(

DRDrcRrcRrlrcRCL

rcDRVgRS

DRDrcRrcRrlL

rcDRVgR

rcRrcCLDRrcRrl

SrcRrcCL

rcRrcRrlDCrcRrcRLS

su

sU(3.144)

Fig 3.79.- Diagrama de polos y

Se observa que el circuito en laz

de fase es de 2192 rad/seg valor inferior

1/m

Gi(s)

u(s)

-

+Gv(s) U2(s)

-

+K2

+

-

Vref

103

ceros y de bode del circuito en bucle abierto

o abierto sigue siendo de fase no mínima y su margen

al modelo ideal, debido a las pérdidas.

1/m

Gi(s)

Gv(s) Vo


104

Fig 3.80.- Diagrama de bloques del Boost en lazo cerrado

[ ] [ ] [ ]( )[ ] [ ]

( )[ ] SrcRLKDRCCRrcDrlDRK

rcRrlKDRKDRrcSRCrcLCrcLK

DRrcRrlSDrcCRrcRLrcCrlSrcRCrcLK

sV

sV

ref

o

⋅+−′⋅+⋅⋅⋅+′+−′⋅+

+⋅−′⋅⋅+′⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−

′−++′⋅−+++⋅+⋅⋅−=

)(1)(

)(2

222

2

222222

2

22222

2)())(()(

)(

)(

( 3.145 )

Al cerrar el lazo de realimentación los márgenes de K2 en los que el sistema se

mantenga los polos en el semiplano izquierdo son:

0938.0)(

22

22−=

+−⋅−′−>

rcRrlDR

rcDRK ( 3. 146 )

Como se puede comprobar en el siguiente diagrama de Nyquist de T(s), éste es el

mínimo valor de K2 que asegura que el sistema es estable.

2 K⟨− 0938.0 ( 3.147 )

Fig 3.81.- Diagrama de polos y d
iagrama de Nyquist para K2=-0.0938


3.5.4.3 Simulación del sistema

Fig 3

U

K3, hast

utilizado

.82.- Modelación del control en modo deslizamiento del convertidor con pérdidas

a

v 2

v 1

u 1

0

t 1

i 1

2 4

V r e f

1 2

V gv

T o W o r k s p a c e 4

V o


i

T o W o r k s p a c e 2u


t

T o W o r k s p a c e

I

V o

V r e f

U

I - K 2 * e r r o r - k 3

C l o c k

D

V g

I

V o

V

B o o s t c o n

p e r d i d a s

1

105

Fig 3.83.- Modelación del bloque de control

na vez modelado el circuito en Simulink, se ajustan los valores de la constantes K2 y

conseguir el resultado deseado. Los valores óptimos son bastante parecidos a los

s en el caso ideal, quedando finalmente

3.15.0 32 == KK ( 3.148 )

1

Usl i d i n g

i - k2 * e r ro r -k3

e rro r

1 . 1 3

K 3

K 2 * e rro r -0 . 5

K 2

3

V re f

2

V o

I


106

3.5.4.3.1 Régimen transistorio de la respuesta

La tensión de salida sube rápidamente y llega al estado estacionario en 5ms. Debido al

incremento del factor de amortiguamiento del modelo con pérdidas, se ha eliminado el

sobrepico inicial.

Fig 3.84.- Respuesta del sistema con el control en modo deslizamiento con K3


Fig 3.85.- Variables del sistema del convertidor con pérdidas en estado estacionario


107

En este caso el valor al que se estabiliza la tensión de salida es ligeramente inferior al

caso ideal, debido a las pérdidas, por lo que el factor K3 es mayor, para conseguir la de 24V.

La frecuencia de conmutación, está alrededor de los 65KHz, dentro de los márgenes deseados


La introducción de una perturbación de un +25% en la tensión de alimentación provoca

un aumento de la tensión de salida hasta 24.42V, valor ligeramente superior al caso ideal. La

señal de salida se estabiliza en unos 3.5ms.

Fig 3.86.- Efecto de una variación en Vg


El incremento de la carga en un 20% provoca un ligero incremento de la tensión de

salida hasta estabilizarse nuevamente en un valor de Vo=24.41V, mientras que la perturbación

del 50% eleva la tensión final hasta 24.68V, reduciendo el rizado a 30mV. Cuando se aplica la

perturbación, así como cuando se elimina, el sistema tarda 5ms en llegar al nuevo estado

estacionario.


108

Fig 3.87.- Efecto de una perturbación de un 20% en la carga

Fig 3.88.- Efecto de una perturbación de un 50% en la carga


109

3.5.4.3.5 Respuesta ante variaciones en la tensión de referencia

Como en el caso ideal, si se introduce una señal de referencia que varie entre 24 y 30V,

la salida intenta seguir las variaciones de dicha señal de referencia, y se ajusta perfectamente

para el caso de Vo=24V, pero queda un error estacionario para el valor superior ya que el

factor K3 está ajustado para eliminar el error con la salida de 24V.

Fig. 3.53. Efecto de la variación de Vref


110

3.6 CONCLUSIONES

Arranque E. Estacionario Pertur. 25% Vg Pertur. 50% R Pertur. 25% Vref

tr

msts

msVm

V∆Vo

mVF

KHts

msVm

V∆V

o

mV

ts

msVm

V∆V

o

mV

ts

msVm

V∆V

o

mV

Ideal ⇑ 0.8 5 24.15 15 68 4 24.39 16 4 24.66 14 5 29.1 20⇓ 4 24.15 16 4 24.15 15 5 24.16 15

Real ⇑ 0.9 5 23.98 35 65 3.5 24.42 22 5 24.68 30 7 28.94 55⇓ 3.5 23.98 35 5 24.1 22 7 24.01 45

• La aplicación del control en modo deslizamiento dota al sistema de una mayor velocidad

de respuesta y reduce el efecto de las perturbaciones.

• El empleo de la superficie de deslizamiento eKixS ⋅−=)( , presenta un error en estado

estacionario innato a la superficie.

• Este error puede eliminarse modificando la superficie a 32)( KeKixS −⋅−= .

• La variación de la tensión de referencia cambia el punto de funcionamiento del sistema,

por lo que el factor K3, ajustado para el punto de funcionamiento inicial, no elimina el

nuevo error en estado estacionario.

• Debe modificarse el control, de modo que permita ajustar el valor de la variable K3 a cada

nuevo punto de funcionamiento del sistema.

4. CONTROL CON LÓGICA

DIFUSA


113

4.1 INTRODUCCIÓN

En la vida cotidiana se tiende a agrupar las cosas por sus cualidades o magnitudes,

indicando que algo es correcto o erróneo, que algo es de tal color o no. No obstante,

diariamente utilizamos infinidad de expresiones tales como: esta persona es alta o baja, joven

o anciana, gorda o flaca. Todos estos términos expresan de forma vaga una cualidad o una

cantidad. El lenguaje nos muestra como no todas las magnitudes se pueden medir de una forma

precisa y exacta. No siempre existe una barrera que delimite la pertenencia o no a un grupo.

¿Es coherente decir que una persona de 59 años es de mediana edad, pero una de 60 ya

es anciana?, ¿Existe una diferencia suficientemente sustancial?. Preguntas como esta nos

llevan a concebir unos grupos donde la pertenencia de sus elementos no se indica con un

simple si o no, sino que existen elementos que no están totalmente dentro ni fuera de dicho

grupo, por lo que se debe indicar su grado de pertenencia a dicho grupo.

La lógica convencional, se caracteriza en que todos sus elementos, pertenecen o no a

un grupo determinado. En contrapartida, en la lógica difusa cada elemento posee un peso

específico de pertenencia al grupo, que puede variar del todo a la nada.

Fig 4.1.- Delimitación de los grupos por la lógica convencional frente a la lógica difusa

Las principales características que definen la lógica difusa son:

• Concepto fácil y flexible basado en el lenguaje.

• Medidas tolerantes (No asociadas a un valor exacto).

• Facilita la modelización de sistemas no lineales.

44.. CCoonnttrrooll ccoonn llóóggiiccaa ddiiffuussaa

114

4.2 TEORIA DE LOS GRUPOS DIFUSOS FRENTE A LA PROVABILIDAD

Un evento E se define como un subgrupo tradicional. La probabilidad de E, P(E)∈ [0,1]

es el porcentaje de ocurrencias de E en una gran serie de pruebas.

La probabilidad condicional P(E|E’) se define como la probabilidad de que el suceso E

ocurra sabiendo que el suceso E’ ha sucedido.

Si E es un subgrupo no tradicional del universo U se lo puede considerar como un

grupo difuso E donde u sería un valor preciso y µE (u) no es más que una probabilidad

condicional P(E|u,C), en donde C es el contexto donde el significado de E es real.

A pesar de todo, una distribución de probabilidad indica la posibilidad de que un

suceso ocurra y el grupo difuso cuantifica el suceso que está ocurriendo.

4.3 TIPOS DE GRUPOS

En un grupo difuso, los elementos, no tienen porque pertenecer o no al 100% al grupo,

sino que tienen una ponderación en su factor de pertenencia.

Fig 4.2.- Diferencias entre los grupos convencionales y los grupos difusos

4.4 PROPIEDADES DE LA LÓGICA DIFUSA

IGUALDAD µµµµA(u) = µµµµB(u) u ∈∈∈∈ U

UNIÓN µµµµA∪∪∪∪ b(u)=max[µµµµA(u),µµµµB(u)] ||||u∈∈∈∈ U

INTERSECCIÓN µµµµA∩∩∩∩B(u)=min[µµµµA(u),µµµµB(u)] ||||u∈∈∈∈ U

PRODUCTOALGEBRAICO

µµµµA••••B(u)=µµµµA(u)••••µµµµB(u) u∈∈∈∈ U

SUMA µµµµA⊕⊕⊕⊕ B(u)=min[1,µµµµA(u),µµµµB(u)] u∈∈∈∈ U

PRODUCTO µµµµA⊗⊗⊗⊗ B(u)=max(0,µµµµA(u),µµµµB(u) u∈∈∈∈ U

Fig 4.3.- Propiedades de los grupos difusos


115

4.5 FUNCIONES DE PERTENENCIA

Tomando el universo U, cada elemento u tiene un grado de pertenencia µF∈ [0,1].

Siendo F una función de pertenencia tal que:

[ ]1,0: →FFµ ( 4.1 )

F está completamente determinado usando el grupo binario:

Uu , ∈= FuF µ ( 4.2 )

En funciones continuas

∫=U

F

u

uF

)(µ( 4.3 )

En funciones discretas

∑=i

iF

u

u )(F

µ( 4.4 )

4.5.1 Representación de las funciones de pertenencia

-Mediante una relación binaria, indicado cada elemento y su grado de pertenencia

-Mediante una ecuación, que indica el grado de pertenencia de cada intervalo

-Mediante una gráfica, representando los pares elemento, grado de pertenencia

-Mediante notación matricial

4.5.1.1 Representación mediante una relación binaria

U=BMW, Buick, Ferrari, Fiat, Lada, Mercedes, Rolls Royce

Coches caros =(Ferrari, 1), (Rolls Royce, 1), (Mercedes, 0.8), (BMW, 0.7)

4.5.1.2 Representación mediante una ecuación

U=[0, 120]

≤≤

<<−≤≤

120u80 para 1

80u60 para 20

60

60u0 para 0

u

Ancianos


116

4.5.1.3 Representación mediante una gráfica

Fig 4.4.- Representación gráfica de una Función de Pertenencia (FdP)

4.5.1.4 Representación mediante notación matricial

Cuando U = 1,2,3, entonces, "aproximadamente igual" es una relación difusa binaria.

Y

1 2 3

1 1 0.8 0.3

X 2 0.8 1 0.8

3 0.3 0.8 1

4.5.2 Funciones de pertenencia estandarizadas

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]

>≤≤

≤≤

<

=

cu para 1

cub para a-c / c-u2-1

bua para a-c / a-u2

au para 0

c)b,a, S(u;2

2

≥++−≤

= cu para b)c , b/2c , c S(u;1

cu para c) , b/2-c , b-c S(u;c)b, u;( Ð


>≤≤−−

<=

b

baab

a

u para 1

u para ))/(b(u

u para 0

b)a, (u;Ã

>≤≤−−

<=

b

babub

a

a

u 0

ua )/()(

u 1

b), L(u;

>≤≤−−≤≤

<

=

cu para 0

ub para b)u)/(c(c

ua para a)- /(ba)-(u

au para 0

c)b,a, T(u;

>≤<−−≤≤<≤−−

<

=Π

du 0

duc )/()(

b 1

bua )/()(

au 0

),,,;(

cdud

cu

abau

dcbau

117

c

b


118

4.6 VARIABLES LINGÜÍSTICAS (VL)

Un grupo difuso puede ser asociado a un valor lingüístico como por ejemplo alto,

donde la variable lingüística altura representa el rango de pertencia a este grupo.

Esto permite utilizar cuantificadores lingüísticos como más, menos, bastante, etc...

Se puede asociar el razonamiento aproximado con la anulación de variable lingüística.

>< XM X, LX, X, ( 4.5 )

Donde X denota el nombre simbólico de una variable, como podría ser edad, peso,

altura, velocidad, temperatura.... LX es el conjunto de valores lingüísticos que X puede

adquirir. Un valor lingüístico simboliza una propiedad de X. En el caso de la variable

Temperatura T tenemos

seco, cálido, e,confortabl frío, helado,LT = ( 4.6 )

en el caso de error o la cota de error puede ser negativa grande (NG), negativa media (NM),

negativa pequeña (NP), cero (CE), positiva pequeño (PP), positiva media (PM), positiva

grande (PG) o un conjunto todavía más detallado a este. LX también puede ser llamado set de

referencias de X. Los valores de LX se denotan arbitrariamente. X es ahora el dominio físico

sobre los valores en que trabaja la variable lingüística X. En el caso de la variable temperatura

puede ser un intervalo de valores [-10º C, 35º C]. En el caso de la velocidad puede ser de [0

km/h, 200 km/h]. En el caso de error o cota de error, se utiliza dominios normalizados [-6,6].

Usualmente tenemos un universo U en lugar de X. Este universo puede ser discreto o

continua. MX es una función semántica que da la principal interpretación de los valores

lingüísticos de los términos cuantitativos de X.

LXLXM X →: ( 4.7 )

donde LX es la definición de las variables difusas sobre X

∑=x LX xxLX /)(µ en el caso discreto de X ( 4.8 )

xxLXx

LX /)(∫= µ en el caso continuo de X ( 4.9 )

En otras palabras, M X es una función que coge el símbolo como argumento, p.e. frío y

devuelve la referencia para la directriz de frío, en términos de lógica difusa. En lugar de

utilizar de LX se puede utilizar µLX.


119

4.6.1 Puntos notables de una Variable Lingüística

4.6.1.1 Valor de pico

Siendo X una V.L., existirá un valor Xpico para el cual

µ(Xpico) será máximo.

Si los valores que puede tomar µ(X) se escalan para

que su rango sea [0,1], se llaman valores normalizados.

4.6.1.2 Ancho izquierdo y derecho

El ancho izquierdo o derecho es la distancia desde el

punto Xpico hasta el valor X para el que µ(X) =0. La suma

de ambas distancias define el intervalo para que la F.D.P.

4.6.2 Puntos de corte de las FdP

En las representaciones en que existen diversas V.L. éstas pueden estar definidas para

intervalos diferentes, aunque pueden estar definidos para intervalos comunes, con lo que se

puede encontrar uno o más puntos de corte.

Fig 4.5.- Funciones de pertenencia con y sin punto de corte

4.6.2.1 Influencia del punto de corte

Cuando la V.L. está formada por varias FdP puede ser que:

• No existen puntos de corte, lo que indica que habrá algún valor de entrada que no podrá

ser fuzzificado y por lo tanto no se computará y no afectará a la salida del control.

• El punto de corte sea en cero, lo que indica que cada valor se verá afectado por una F.D.P.

• El punto de corte sea para un valor mayor que cero, lo que significa que cada valor

convencional pertenece como mínimo a una F.D.P. estrictamente mayor que cero.


120

Empíricamente se conoce que con una F.D.P. simétrica, con un ratio de 1 y un punto de

corte de 0.5 se consigue un bajo sobrepico, un rápido tiempo de subida y un bajo sobrepico

negativo.

Fig 4.6.- Punto de corte entre FdP en diferentes niveles

4.6.2.2 Influencia de la simetría y el ancho

La inferencia formada por una sola regla de control está basada en la idea del

controlador proporcional. Si la variable de proceso es e y la salida u, el valor actual del error

e* proporcionará un peso α en la F.D.P. µLE. Entonces, el valor actual de la variable de salida

debe producir el mismo peso en la P.D.F de salida µLU, ya que la función de pertenencia de

salida está modificada en proporción a α. La µLU modificada (conformada) se designa por

µCLU: E →[0,α], donde α es el grado de pertenencia del valor actual de e a la F.D.P. del

antecedente.

Si se toma la n-ésima regla se obtiene un resultado como “u ES NM”, con una µNM

Fig 4.7.- FdP de la VL “Negativo Medio” y su versión conformada. Esta última acaba para

el grado 0.7.

En este caso existen dos valores de salida para un valor de entrada igual a 0.7, uno a la

izquierda del valor de pico y otro a la derecha. La salida ha de estar formada por un único


121

valor, por lo que se habrá de computar estos valores u1 y u2 para conseguirla.

Una posibilidad sería calcular la media aritmética de ambos valores

221 uu

u+= ( 4.10 )

El método llamado centro de gravedad se usa normalmente para obtener un único valor

de control mediante una promediación que incluye cada elemento de U y su correspondiente

peso de la F.d.P. a µCNM, donde

[ ]∫

∫⋅

⋅⋅=→

U

CNM

U

CNM

cdgCNMduu

duuu

uU)(

)(

7.0,0 :µ

µµ ( 4.11 )

Si se considera el caso en que el peso del antecedente es uno, existe un solo elemento

de U que satisface dicho peso, upico. Además el µCNM=µNM, pero calculando el CdG de µCNM se

obtiene picoCdG uu ≠

Fig 4.8.- Diferencia entre el valor de pico y el CdG

Esta diferencia entre la idea de inferencia con una única regla y el resultado producido

por el CdG, se resuelve escogiendo una FdP simétrica respecto a su valor de pico

Ejemplo:Estudiar la influencia de la anchura de las FdP empleadas para representar el

significado de las VL, considerando la implementación de un controlador proporcional como

un control difuso con las siguientes dos reglas:

SI e ES PM ENTONCES u ES PG

SI e ES PP ENTONCES u ES PM

Puede ser que el ancho izquierdo de µPP sea igual al ancho derecho de µPM e igual al

intervalo entre el valor de pico y los valores de las FdP adyacentes, o que sean diferentes.


122

Fig 4.9.- Representación de FdP simétrica y asimétrica

En el primer caso, una variación suave de e entre epico1 y epico2, produce como resultado

(calculado mediante el método de CdG), una variación suave, mientras que en el segundo caso,

la salida tiene una forma de escalón

Fig 4.10.- Variación suave de la salida para unas FdP simétricas

Fig 4.11.- Variación escalonada de salida para unas FdP asimétricas


123

4.6.3 Influencia del ruido

Los valores actuales de e, ∆e y ∆u pueden estar sujetos a interferencias externas en

forma de señales de ruido (señal seno, ruido aleatorio, etc). La experiencia indica que en dicho

caso las FdP que representan a estos valores lingüísticos deben construirse referenciados a la

distribución de probabilidad del ruido.

Aunque la eliminación del ruido se realiza heurísticamente, existen algunas directivas:

Sea e(t) un proceso estacionario y Gausiano

( )[ ] ∫−

∞→⋅⋅=

T

Tt

dtteT

limteE )(2

1( 4.12 )

con una varianza

( )[ ] ( )[ ]( )∫−−⋅=

T

TdtteEte

Tte 22 )(

2

1σ ( 4.13 )

Fig 4.12.- Significado de la variancia del ruido en el dominio para el que la FdP está

definida

Sea I=[-a,a] un dominio normalizado en el cual las FdP describan el valor lingüístico

del error. Ahora E[e(t)] se sitúa en el centro del intervalo [-a,a] puesto que la anchura del

dominio del error en este dominio

σ 4 ) a- ( - a anchura == ( 4.14 )

ya que la probabilidad de que una medida de e* caiga en el dominio [-a,a] es de

Prob(e*)=0.95


124

4.6.4 Influencia de los dominios discretos

Las F.d.P. están definidas en dominios continuos.

El proceso de discretización se llama cuantificación y consta de:

• El dominio discreto se cuantifica en un número finito de segmentos (niveles). Cada

segmento es un elemento y el grupo de segmentos forma un universo discreto.

• Dado un valor lingüístico determinado, el conjunto difuso que define el significado de este

valor asignando un valor de pertenencia a cada elemento.

Para ello se crea una tabla de búsqueda como la siguiente. Si se discretiza un dominio

continuo [-3.2, +3.2] en trece segmentos, enumerados desde el –6 al 6, que posteriormente

serán asignados al grupo difuso representando los valores lingüísticos.

PG PM, PP, CE, NP, NM, NG,=VL ( 4.15 )

El valor de pertenencia a cada uno de los valores lingüísticos serán los siguientes

Etiqueta Segmento NG NM NP CE PP PG PP

-6 e≤-3.2 1.0 0.3 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

-5 -3.2≤e≤-1.6 0.7 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

-4 -1.6≤e≤-0.8 0.3 1.0 0.3 0.0 0.0 0.0 0.0

-3 -0.8≤e≤-0.4 0.0 0.7 0.7 0.0 0.0 0.0 0.0

-2 -0.4≤e≤-0.2 0.0 0.3 1.0 0.3 0.0 0.0 0.0

-1 -0.2≤e≤-0.1 0.0 0.0 0.7 0.7 0.0 0.0 0.0

0 -0.1≤e≤0.1 0.0 0.0 0.3 1.0 0.3 0.0 0.0

1 0.1≤e≤0.2 0.0 0.0 0.0 0.7 0.7 0.0 0.0

2 0.2≤e≤0.4 0.0 0.0 0.0 0.3 1.0 0.3 0.0

3 0.4≤e≤0.8 0.0 0.0 0.0 0.0 0.7 0.7 0.0

4 0.8≤e≤1.6 0.0 0.0 0.0 0.0 0.3 1.0 0.3

5 1.6≤e≤3.2 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.7 0.7

6 3.2≤e 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.3 1.0

Fig 4.13.- Tabla de discretización de variables continuas

El número de niveles, influencia significativamente el sobrepico y el amortiguamiento.

Se emplea una cuantificación basta para niveles de error grandes, y otra más fina para

pequeños errores. Estos hallazgos tienen una naturaleza puramente empírica y no existen

herramientas de análisis para estudiar como afecta la cuantificación al funcionamiento del


125

controlador.

4.7 ESTRUCTURA DEL CONTROLADOR DIFUSO

4.7.1 Esquema de bloques

Fig 4.14.- Estructura del controlador difuso

4.7.2 Directrices

Al diseñar un control en lógica difusa se han de tener en cuenta las imprecisiones del

lenguaje natural. Se deben elegir unas variables y el contenidos de las reglas que modelen lo

mejor posible el sistema que se desea implementar.

Pese que en cada caso puede ser necesario la elección de diferentes variables del

sistema para su posterior control, típicamente se suelen elegir las siguientes:

Las variables de entrada (antecedente)

Error (e)

Variación del error ( ee ! ,∆ )

Suma de errores ( e!δ )

Las variables de salida del control (consecuente)

Normal ización

Conversión a L. Difusa

Motor de Actuación

Conversión a L.Convencional

Denormal ización

Memoria de datos

Directrices

Representación Simbólica

Valores del Proceso de

Estado

Valores de salida del control

Flujo de Información

Flujo Computacional


126

Variación de la salida ( u , !u∆ )

Salida de control (u)

Análogamente al control convencional se obtienen las siguientes expresiones:

muestradenúmerokuuu

salidadeValoryspeee

yye

kkk

kkk

kspk

)1()()(

)1()()(

)()(

→−=∆

→−=∆

−=

−

− ( 4.16 )

4.7.2.1 Ajuste de las reglas

Principalmente se usa uno de los tres métodos siguientes para realizar la aproximación

de las reglas de control:

• Basándose en la experiencia el operador del proceso y/o el ingeniero de control.:

1. Verbalización introspectiva del conocimiento

2. Interrogación del operador o ingeniero mediante un cuestionario organizado

Ambas técnicas, se apoyan en una versión prototipo de las reglas. A partir de aquí

se van sintonizando las funciones de pertenencia y las reglas para cada paso. Una vez

construido el control, se prueba el lazo y se va actualizando el control hasta que se adapta

al requerido

• En este caso se utiliza una descripción verbal del proceso, vista como un modelo difuso.

Después se sigue los mismos pasos de refinamiento sucesivo utilizados con el método

anterior.

• El último método consiste en utilizar como reglas base, las correspondientes a un control

convencional.

4.7.2.2 Comparación de los controles difusos con controles PID

CONTROL CONVENCIONAL CONTROL DIFUSO

eKpuP ⋅=⇒ SI e ES <Variable Lingüística> ENTONCES u ES <VL>

eKdeKpuPD !⋅+⋅=⇒ SI e ES <VL> AND ∆e ES <VL> ENTONCES u ES <VL>

eKieKpu

dteKieKpuPI

⋅+⋅=⇒

⇒⋅⋅+⋅=⇒ ∫!!

SI e ES <VL> AND ∆e ES <VL> ENTONCES ∆u ES <VL>


∫ ⋅⋅+⋅+⋅=⇒ dteKieKdeKpuPID ! SI e ES <VL> AND ∆e ES <VL> AND δe ES <VL>

ENTONCES u ES <VL>

4.7.2.3 Elección del conjunto de términos

El grupo de términos LX de la variable lingüística X consiste en un número finito de

palabras que expresan los valores que X puede tomar. Los valores lingüísticos, se expresan de

forma binaria <valor del signo, valor de la magnitud>. El valor del signo puede ser: positivo o

negativo; el valor de la magnitud puede ser: cero, pequeño, medio o grande.

Así pues un valor negativo de e indicará que 0)()( <−= kspk yyc , mientras que un

signo negativo de e∆ indicará ( ) 0)1()()( <−−=∆ −kkk yye . Un valor de error igual a cero

indicará que el control está en el punto de trabajo: 0)()( =−= kspk yyc ,

( ) 0)1()()( =−−=∆ −kkk yye .

Suponiendo que uee ∆∆ y , se han escogido de igual tamaño y contienen los mismos

valores para las variables lingüísticas PGPMPPCNPNMNGuLELLE ,,,,,,=∆=∆= , se

puede obtener una tabla de resultados para los diferentes valores de las entradas.

SI e(k) ES <V.L.> AND ∆e(k) ES <V.L.>

ENTONCES ∆u(k) ES <V.L.>

Fig 4.15.- un control PI como un control difuso con cinco

Grupo 0

Grupo 1

Grupo 2

Grupo 3

Grupo 4

ee ∆\ NG NM NP C PP PM PG

NG NG NG NG NG NM NP C

NM NG NG NG NM NP C PP

NP NG NG NM NP C PP PM

C NG NM NP C PP PM PG

PP NM NP C PP PM PG PG

PM NP C PP PM PG PG PG

PG C PP PM PG PG PG PG

127

grupos de reglas


128

Grupo 0: En este grupo ambas reglas, aunque positivas o negativas, están muy

próximas a cero, por lo que la salida se mantendrá en estado de espera, cerca del punto de

trabajo.

Grupos 1 y 3: En este grupo los valores del error son medios o grandes, lo que implica

que la salida y(k) es muy lejana al punto de trabajo. Por otra parte la variación del error indica

que la salida está yendo hacia el punto de trabajo. Esto significa que la salida ha de variar

rápidamente hacia el punto de trabajo, por lo que debe simplemente incrementarse.

Grupo 2 y 4: Aquí, el error varía entre pequeño y grande, mientras que la variación

del error es grande. Esto indica que la salida debe incrementarse considerablemente de forma

positiva.

4.7.3 Módulo de conversión a lógica difusa

Recibe las variables físicas no normalizadas y las introduce al dominio normalizado de

la lógica difusa. Además se encarga de convertir los valores de las variables al dominio difuso.

El módulo normalizador, al igual que el denormalizador, son opcionales en función del

sistema que se desea controlar.

4.7.3.1 Conversión de los datos a lógica difusa

Convierte las variables de estado en un grupo difuso de manera que se pueda hacer

compatible con el controlador difuso.

Conversión por composición de reglas: considerando un control PI como un

controlador difuso donde los valores convencionales e y ∆e serán e* y ∆e*. El punto de

funcionamiento se transformará en el conjunto difuso de funcionamiento:

≠∈=

=*ee 0

e *ee 1*

εµe ( 4.17 )

∆≠∆∈∆∆=∆

=∆ *ee 0

e *ee 1*

εµ

Äe ( 4.18 )

Conversión por reglas individuales: en este caso la salida convertida a lógica

convencional se obtendrá de la siguiente manera. La k-ésima regla de control será:

SI e ES LE(k) AND ∆e ES L∆E(k)


129

ENTONCES ∆u SERA L∆U(k)

4.7.4 Motor de actuación

El motor de actuación o reglas de control puede ser de dos tipos:

1. Inferencia por composición de reglas: Las relaciones difusas que representan el

significado de cada regla individual se agregan a las reglas de control que describen el

completo control del sistema. El grupo de salida difuso se obtendrá mediante una composición

entre el valor de entrada una vez convertido a lógica difusa y el conjunto de reglas.

2. Inferencia por reglas individuales: Cada regla será tratada individualmente. Se

calculará el grado influencia entre la entrada convencional y los conjuntos difusos que

describen el significado de la regla antecedente; se separa el conjunto difuso que describe el

significado de la regla consiguiente y el grado que el antecedente de la regla ha sido

equiparado por el aporte del valor de entrada. Finalmente estos valores se agregan,

consiguiendo así el valor final de la variable de control.

4.7.4.1 Representación de una única regla

La expresión simbólica para la regla k-ésima del control PI como controlador difuso es

SI e ES LE(k) AND ∆e ES L∆E(k) ENTONCES u es LU(k)

dónde LE(k), L∆E(k) y LU(k) son valores lingüísticos de los conjuntos LE, L∆E y LU

respectivamente. El significado de estos V.L. se representa en la F.D.P. de los conjuntos

difusos por )()()( y kkk LUELLEµµµ

∆, definidos en los dominios E, ∆E y U

Así pues la relación R(k) se definirá en Ex∆ExU

))(),(),((),,(:,, )()()()( ueeminueeuee kkkk LUELLERµµµµ ∆=∆∆∀

∆ ( 4.19 )

4.7.4.2 Representación de un conjunto de reglas

El significado de este conjunto de reglas es simplemente la unión de todas las regla

individuales µR(k), k=1,...,n.

)),,(),...,,,((),,(:,, )()1( ueeueemaxueeuee nLELER∆∆=∆∆∀ µµµ ( 4.20 )


130

4.7.4.3 Representación de los valores de entrada

Suponiendo que en el punto de funcionamiento actual (convencional) los valores de e y

∆e son e* y ∆e*. Estos valores son la entrada del modulo de fuzificación, el cual produce la

representación de conjunto de funcionamiento como las siguientes F.D.P.

≠=

=∀*ee 0

*ee 1)(*: ee Eµ ( 4.21 )

∆≠∆∆=∆

=∆∆∀ ∆ *ee 0

*ee 1)(*: ee eµ ( 4.22 )

4.7.4.4 Representación del antecedente

Aquí µ*E y µ*∆E se cambian en la F.D.P. µant de la siguiente forma

))(*),(*(),(:, eemineeee EEant ∆=∆∆∀ ∆∆×µµµ

εε ( 4.23 )

4.7.4.5 Inferencia con el conjunto de reglas

El valor de la variable de salida del controlador se obtiene por composición de µant y

µR.

)),,(),,(()(:,

ueeeeminmaxuu Rantee

U ∆∆=∀∆

µµµ ( 4.24 )

El principal inconveniente de este tipo de composición es el coste de computacional de

cálculo y la memoria requerida, pero como esta composición es equivalente a la inferencia de

una regla individual se puede simplificar como:

u)e*,(e*,

))*,*,(),...,.**,((

))(),...,(()(:

R

)()1(

)()1(

∆=

∆∆=

=∀

µµµ

µµµueeueemax

uumaxuu

n

N

RR

CLUtCLUU

( 4.25 )

4.7.5 Lógica del sistema. Memoria de datos

Provee al sistema de la información necesaria para el funcionamiento de los módulos

de conversión a lógica difusa, conversión a lógica convencional y el módulo de control. Dicha


131

información incluye:

-Grupos difusos que representan las variables lingüísticas del proceso de estado y las

variables de salida del control

-Dominio físico y su normalización/denormalización

4.7.5.1 Elección de las funciones de pertenencia

Los valores lingüísticos escogidos como variables antecedente” y consecuente”, y la

representación simbólica de las funciones de control es necesario, pero no suficiente para

permitir un análisis cualitativo de la estabilidad en lazo cerrado.

Si los dominios físicos de e, ∆e, ∆u son ξ, ∆ξ y ∆U, respectivamente, los elementos de

estos dominios serán e, ∆e y ∆u. La interpretación del valor lingüístico LX de una variable

lingüística x viene dada por un grupo difuso XL~

o µLX definido en el dominio X como:

∫==X

LXLX x

xXL

)(~ µµ ( 4.26 )

Ahora se supone que LE=L∆E=L∆U=NG,NM,NP,C,PP,PM,PG. Los términos que

contienen los valores lingüísticos para las tres V.L. son iguales. En este caso se han definido

21 funciones de pertenencia, representando el significado de cada valor lingüístico en su

respectivo dominio E, ∆E, ∆U.

Para un tratamiento informático eficiente se necesita una representación uniforme, que

puede conseguirse definiendo las FdP con igual amplitud y parámetros. Las más comunes son

las funciones triangular Λ(u;a,b,c), trapezoidal Π(u:a,b,c,d) y de campana Π(u;b,c), con las

que se consigue un almacenaje con un uso mínimo de memoria y una eficiente manipulación.

Una vez obtenida la curva de la F.D.P. se ha de representar cada elemento del grupo en

el dominio correspondiente a la V.L.

Fig 4.16.- Representación del grupo de términos del error en un dominio normalizado


132

4.7.5.2 Elección de los factores de escalado:

El uso de dominios normalizados requiere una transformación de escala que adecue los

valores físicos de las variables de estado del proceso a un dominio normalizado. Igualmente,

los valores normalizados de salida deberán adaptarse a sus respectivos dominios físicos.

Hay básicamente dos métodos para determinar los factores de escalado:

1. Heurístico, mediante el ensayo y error

Se escogen las variables que se desea controlar:

Sobrepico deseado (Sd)

Tiempo de subida deseado (TSd)

Amplitud de las oscilaciones deseada (OSCd)

d

d

d

OSCOSCOSC

TSTSTS

SSS

−=∆−=∆

−=∆ ( 4.27 )

Las reglas heurísticas empleadas para ajustar el factor de escalado serán del tipo:

SI <Valor de variable> = <Valor>

ENTONCES ∆Ne = <Valor>

SI <Valor de variable> = <Valor>

ENTONCES ∆N∆e = <Valor>

dónde ∆Ne y ∆N∆e representan los valores de escalado de las variables e y ∆e y <Valor>

puede representar tanto una V.L. como un valor concreto.

Finalmente, al conectarse el controlador al proceso actual, se cierra el bucle de control,

con lo que los factores de escalado son actualizados cada iteración:

eN∆+=+ (i)N1)(iN ee ( 4.28 )

eee N(i)N1)(iN ∆∆∆ ∆+=+ ( 4.29 )

Las iteraciones se continúan hasta que se obtienen los valores deseados.

Así por ejemplo, si la respuesta es demasiado lenta, se puede incrementar el efecto del

error ∆TS en el proceso


133

2. Analítico

Se considera al controlador difuso como un elemento no lineal, y se relacionan

analíticamente los factores de escalado con el proceso de control en bucle cerrado.

4.7.6 Modulo de conversión a lógica convencional

Este modulo se divide en dos partes:

1. Conversión a lógica convencional de los datos: convierte los grupos difusos de datos de

salida del controlador a un único valor de salida.

2. Adaptación de escala: escala el valor de salida para adaptarse al dominio físico

representado.

4.7.6.1 Elección del método de conversión difuso-convencional

Existen algunos métodos tipificados de conversión:

-Centro del área / centro de gravedad -Medio del máximo

-Centro de sumas -Altura

-Centro de la mayor área -Sistemas Sugeno

-Primero del máximo

4.7.6.2 .Centro del área / centro de gravedad (CdG)

En el caso discreto (U =u1,...,ul ) se calcula mediante la fórmula

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

⋅=

⋅=

l

iiCLUk

l

iiCLUk

i

l

iiU

l

iiUi

umax

umaxu

u

uu

u

k

k

1

1

1

1

)(

)(

)(

)(

*

)(

)(

µ

µ

µ

µ ( 4.30 )

En el caso continuo:

∫∫

∫∫

⋅

⋅⋅=

⋅

⋅⋅=

UCLUk

UCLUk

U

U

U

Ui

duumax

duumaxu

duu

duuu

uk

k

)(

)(

)(

)(

*)(

)(

µ

µ

µ

µ ( 4.31 )

Este método determina el centro del área de la combinación de F.D.P. La siguiente

figura muestra esta operación de forma gráfica. Este método toma el área de U~

como una

entidad. Las áreas superpuestas se reflejan en la fórmula como una sola área.


134

Esta operación es compleja, por lo que los ciclos de inferencia pueden resultar lentos.

Fig 4.17.- Conversión por el método de Centro de Gravedad (CdG)

4.7.6.3 Centro de sumas (CdS)

Este método es similar al anterior aunque más rápido. Se basa en la consideración de la

contribución del área de cada )(~ kUCL individualmente. Matemáticamente el CdG construye

U~

cogiendo la unión de todos los )(~ kUCL . El Centro de sumas, toma la suma de los )(~ kUCL .

Con este método las áreas superpuestas aparecen más de una vez en la fórmula.

La fórmula utilizada para el caso discreto es

∑∑

∑∑

==

==

⋅=

n

kiCLU

l

i

n

kiCLU

l

ii

u

uu

u

k

k

11

11

)(

)(

*

)(

)(

µ

µ ( 4.32 )

Y en el caso continuo

∑∫∫ ∫

=

⋅⋅=

n

kCLUU

U U CLU

u

duuuu

k

k

1

)(

)(*

)(

)(

µ

µ ( 4.33 )


135

Fig 4.18.- Conversión por el método de Centro de Sumas (CdS)

4.7.6.4 Centro de la mayor área (CMA)

Este método se utiliza cuando U~

no es convexa. Se utilizan un mínimo de dos

subconjuntos difusos convexos. El método consiste en determinar el subconjunto con el área

mayor y definir el valor del CdA de dicho subconjunto como el valor de salida u*.

Fig 4.19.- Defuzificación por el método del Centro de la Mayor Área

4.7.6.5 Primero del máximo

Este método toma el menor valor del dominio con el máximo grado de pertenencia a

U~

)(sup)( uUmayor UUu

µ∈

= ( 4.34 )

el mayor grado de pertenencia a U~

, y se obtiene

)()( UmayoruUu U =∈ µ ( 4.35 )

el grupo de elementos del dominio con mayor grado de pertenencia igual a mayor(U).

Entonces u* viene dada por

)()(* UmayoruUuprimeru UUu

=∈=∈

µ ( 4.36 )

Una versión alternativa a este método llamada Ultimo del Máximo, corresponde a:

)()(* UmayoruUuultimou UUu

=∈=∈

µ ( 4.37 )


136

Fig 4.20.- Defuzificación por el método de Primero del Máximo

4.7.6.6 Medio del máximo

Este método es muy similar al método de Primero del Máximo o Último del máximo.

El valor de u* se determina promediando los valores de U primero y último pertenecientes a la

FdP mayor.

2

)()()()(*

UmayoruUuultimoUmayoruUuprimeru

UUu

UUu

=∈+=∈= ∈∈

µµ ( 4.38 )

Fig 4.21.- Defuzificación por el método de Medio del Máximo

4.7.6.7 Altura

Este método toma el valor de pico de cada )(~ kUCL y calcula la suma de alturas de esos

valores de pico (con respecto a la altura fk de )(~ kUCL ). Se toma c(k) como el valor de pico de

UL~

y fk es la altura de )(~ kUCL . Así pues este método, en un sistema con m reglas ,

respondería a la siguiente ecuación:

∑

∑

=

=

⋅=

n

kk

m

kk

k

f

fc

u

1

1

)(

* ( 4.39 )


137

Fig 4.22.- Defuzificación por el método de la Altura

4.7.6.8 Sistemas Sugeno

Este tipo de sistemas se caracteriza por que en una regla del tipo

R(k) : SI e ES E(k) AND ∆e ES ∆E(k) ENTONCES u ES u*(k)

el valor de salida u* es un valor numérico (combinación lineal de las entrada e y ∆e).

La salida de este tipo de sistemas se llama salida “singleton”

Así pues para un sistema del tipo:

R1 : SI e ES E1 AND ∆e ES ∆E1 ENTONCES u ES u*1

R2 : SI e ES E2 AND ∆e ES ∆E2 ENTONCES u ES u*2

Fig 4.23.- Sistema con salida singleton

El conjunto difuso de salida es una unión de singleton, que tiene como consecuencia

una simplificación de los algoritmos de defuzificación.

La ecuación que determina el cálculo de la salida para el caso continuo será

∫∫

⋅

⋅⋅=

duu

duuuu

U

U

)(

)(*

µ

µ ( 4.40 )


138

y en el caso discreto

∑∑

=

⋅=

i

n

i

ii

FdP

uFdP

u 1

*

* ( 4.41 )

4.8 DISEÑO DEL CONTROL

En este caso se controlará el convertidor con el control en modo deslizamiento

estudiado, en el cual, se introducirá un control difuso que variará los valores de K2 y K3 en

función del error y el incremento del error existente en cada momento en la salida del sistema.

4.8.1 Elección de las variables de entrada y salida

Las variables del sistema necesarias para poder controlar la evolución del sistema

serán:

1) Error (e=Vref-Vo) 2) Incremento del error (∆e)

La salida serán los incrementos de los factores que forman la superficie de

deslizamiento

1) ∆K2 2) ∆K3

Cada una de estas variables se representará en el dominio difuso mediante una variable

lingüística (VL), a la que se le asignará su mismo nombre

4.8.2 Escalado y elección de las funciones de pertenencia

Las dos variables de salida K2 y K3, se representarán como variables singleton, con

cinco FdP NG, NM, CE, PM, PG cada una.

En todas las variables lingüísticas de entrada se representaran las funciones de

pertenencia de forma triangular y simétricas, obteniendo así una mayor velocidad de cálculo.

En el caso de la variable error, la información que suministrará al control, será una

medida de lo cerca que se encuentra la salida del punto de referencia y el signo del error. Si el

error se considera grande no se tiene en cuenta su magnitud, por lo que no será necesario

escalar esta entrada y simplemente se limitará la amplitud de la entrada al rango [-1.5,1.5].

Se utilizarán cinco FdP, que se concentrarán sobre el punto cero para obtener mayor


139

sensibilidad alrededor de dicho valor.

Así pues se definirá la variable error como:

[ ]

Γ==

−=−=−=

−

)6.0,3.0(

)6.0,3.0,01.0(

)3.0,0,3.0(

)01.0,3.0,6.0(

)3.0,6.0(

5.1,5.1

PP

TPG

TCE

TNM

LNG

FdPRango ( 4.42 )

Fig 4.24.- Representación gráfica de la variable lingüística error

En el caso de la variable incremento del error, la información necesaria para el control,

es si este es positivo, negativo o cero. No se necesita conocer su magnitud por lo que

simplemente se limitará la amplitud de la entrada.

La variable inc_error se definirá como:

[ ]

Γ=−=

−−=

)04.0,001.0(

)04.0,0,04.0(

)001.0,04.0(

5050

P

TZ

LN

FdP.,.-Rango ( 4.43 )


140

Fig 4.25.- Representación gráfica de la variable lingüística inc_error

4.8.3 Ajuste de las reglas

El conjunto de reglas define el funcionamiento del controlador, y deberán describir la

reacción deseada de la salida del control para cualquier combinación de entradas.

El control debe reducir el error por lo que los valores de las salidas se opondrán a éste.

La variable K2 actuará cuando el error sea grande, acercándolo al valor cero. Por la

definición de la superficie de deslizamiento, esta variable reducirá el error pero no lo podrá

eliminar totalmente, dejando un error en régimen permanente.

Un incremento de error nulo, indicará que la variable K2 no puede reducir más el error,

y se variará K3 para eliminar totalmente ese error.

Puesto que un error negativo indica que la tensión de salida está por encima de la

deseada, el valor de ∆K2 será negativo y por lo tanto positivo para errores positivos.

Análogamente, el ∆K3, será del mismo signo que el error.


141

Fig 4.26.- Representación de las directivas de control

Así pues las directrices y las reglas que las implementan el funcionamiento de la

variable K2 serán las siguientes:

• Para errores positivos grandes, el incremento de K2 será positivo grande

1. If (error is PG) and (inc_error is N) then (K2 is PG)(K3 is CERO) (1)

• Para errores positivos pequeños, el incremento de K2 será positivo pequeño

2. If (error is PM) and (inc_error is N) then (K2 is PP)(K3 is CERO) (1)

• Para errores negativos grandes, el incremento de K2 será negativo grande

3. If (error is NG) and (inc_error is P) then (K2 is NG)(K3 is CERO) (1)

• Para errores negativos pequeños, el incremento de K2 será negativo pequeño

4. If (error is NM) and (inc_error is P) then (K2 is NP)(K3 is CERO) (1)

• Cuando existe un error pero la variación de la salida tiende a disminuirlo no se actuará

5. If (error is PG) and (inc_error is P) then (K2 is CE)(K3 is CERO) (1)

6. If (error is PM) and (inc_error is P) then (K2 is CE)(K3 is CERO) (1)

7. If (error is NG) and (inc_error is N) then (K2 is CE)(K3 is CERO) (1)

8. If (error is NM) and (inc_error is N) then (K2 is CE)(K3 is CERO) (1)

• Para error cero, la salida K2 no se variará

9. If (error is CE) then (K2 is CE) (1)

Los valores de la variable K3 vendrán marcados por las siguientes reglas:

• Para errores positivos, el incremento de K3 será negativo

10. If (error is PM) and (inc_error is Z) then (K2 is CE)(K3 is MAS) (1)

11. If (error is PM) and (inc_error is Z) then (K2 is CE)(K3 is MAS) (1)

• Para errores negativos, el incremento de K3 será positivo

12. If (error is NM) and (inc_error is Z) then (K2 is CE)(K3 is MENOS) (1)

13. If (error is NM) and (inc_error is Z) then (K2 is CE)(K3 is MENOS) (1)

• Cuando el error es cero y el sistema se ha estabilizado, se ha llegado al punto de

funcionamiento deseado por lo que no se variarán los valores de K2 ni de K3

14. If (error is CE) and (inc_error is Z) then (K2 is CE)(K3 is CERO) (1)


142

En la representación gráfica del conjunto de las reglas se pueden observar todas las

posibles combinaciones de entradas y sus respectivas salidas singleton.

Fig 4.27.- Representación gráfica de las reglas

En la representación tridimensional se puede observar como los valores del incremento

de K2 variarán de –0.1 a0.1, siempre en la misma dirección del error, mientras que la variable

K3 variará entre –0.05 y 0.05, eliminando el pequeño error estacionario.

Fig 4.28.- Representación tridimen

4.9 IMPLEMENTACIÓN DEL CONTROL D

4.9.1 Conversión analógico-digital y digi

La elevada potencia de cálculo de lo

versatilidad, han incrementado su empleo como

electrónicos. Los circuitos reales presentan va

computadora digital opera con los valores num

sional de la variación de K2 y K3

IFUSO MEDIANTE UN ORDENADOR

tal-analógico de las señales

s ordenadores, su rápida evolución y su

elemento de control de sistemas eléctricos y

riables físicas, continuas en el tiempo. La

éricos discretos de las variables que se desea


143

controlar, obtenidas mediante la discretización de las mismas mediante un conversor analógico

digital (A/D). Una vez el control ha tratado las señales de entrada, se obtiene una señal de

salida digital que se convertirá a continua mediante un conversor digital-analógico(D/A) para

introducirla nuevamente al sistema como control.

Fig 4.29.- Adecuación de las señales para el tratamiento digital

4.9.1.1 Muestreo de la señal

Los intervalos de muestreo deben ser lo suficientemente pequeños para que las

variaciones de la señal continua puedan ser representadas por la señal discreta. Si el intervalo

de muestreo es demasiado grande, el ordenador recibirá una copia errónea de la señal original,

mientras que si se escoge un intervalo muy pequeño se requerirá una capacidad de

procesamiento innecesaria. La frecuencia mínima de muestreo vendrá determinada por la

dinámica del sistema.

Dada una señal de paso bajo x(t) de banda limitada, de forma que no tiene componentes

de frecuencia por encima de Bω rad/seg, el teorema de muestreo dice que x(t) queda

completamente determinada por sus valores en instantes tomados cada T segundos, si se

cumple que BT ωπ /<

Este teorema permite reconstruir completamente una señal de banda limitada a partir de

sus muestras tomadas con una frecuencia TS /2πω = , suponiendo que se cumple que Sω es

mayor o igual que Bω2 , es decir, dos veces la frecuencia más alta presente en la señal de

banda limitada x(t).

Fig 4.30.- Efecto del muestreo a diferentes frecuencias

FiltradoMultiplexación

Conversión A/D

Procesamientodigital

de la señal

Conversión D/AFiltrado

Señal analógicade entrada

Señal analógica de salida

Muestreo de la señal

Reconstrucción de la señal

Ordenador /Control digital


144

La frecuencia mitad de la de muestreo se llama frecuencia de Nyquist, e indica la

frecuencia máxima de la señal que podrá ser reconstruida posteriormente sin pérdida de

información.

Tal y como se puede observar en la figura, la elección de un periodo de muestreo

demasiado grande puede comportar la pérdida de información de la señal y la confusión en el

dominio discreto, provocando un solapamiento de las componentes de la señal discreta y un

error en su posterior reconstrucción. Este efecto se denomina solapamiento (aliasing) y

distorsiona la información de la señal que llega al controlador. Por ello, dada una frecuencia de

muestreo, es necesario asegurarse de que la señal analógica de entrada no presenta

componentes frecuenciales a la frecuencia de Nyquist.

Para evitarlo, en el sistema de conversión analógico-digital debe introducirse un filtro

paso bajo “anti-aliasing”, con una frecuencia de corte inferior a NyquistF⋅5.0 .

4.9.1.2 Filtrado de la señal

El filtrado es el proceso por el que la parte esencial o útil de una señal se separa de

otras componentes indeseadas, que se generalmente se denominan ruido. Con el término ruido

se incluye tanto las interferencias generadas por los propios dispositivos electrónicos, como

cualquier parte de la señal, no deseada.

La idea de realizar filtrados utilizando sistema LTI se basa en la propiedad de la

convolución de la transformada de Fourier . Para este tipo de sistemas, la salida es el producto

de la transformada de Fourier de la entrada por la respuesta en frecuencia del sistema. Un filtro

ideal selectivo en frecuencia es aquel que deja pasar ciertas frecuencias inalteradas y elimina el

resto. El intervalo de frecuencias que pasan se denomina banda de paso del filtro, y el intervalo

de frecuencias que se eliminan se denomina banda eliminada.


145

Fig 4.31.- Filtros pasa bajo ideal y real

En el caso ideal, 1)( =ωH en la banda de paso, y 0)( =ωH en la banda eliminada.

Estos filtros con cambios abruptos de la banda de paso a la banda eliminada y viceversa son

imposibles de realizar, por lo que los filtros que se utilizan en la práctica tienen una banda de

transición como se indica en la figura.

En teoría, si una señal x(t) no es de banda limitada, se puede eliminar el solapamiento

filtrando previamente la señal con un filtro pasa bajo antes de muestrearla. Lógicamente se

tiene que utilizar una frecuencia de muestreo de al menos el doble del ancho de banda del

filtro, Bω . Sin embargo, en la práctica, no es posible eliminar completamente el solapamiento

primero porque no es posible diseñar un filtro paso bajo que limite completamente las

componentes de frecuencia que están por encima de un cierto valor, y segundo, porque en

muchas aplicaciones, no es posible filtrar paso bajo x(t) sin eliminar parte de la información

que transporta.

En estos casos, será al menos posible reducir el efecto del solapamiento muestreando la

señal con una frecuencia suficientemente alta como para que las componentes que se solapan

no distorsionen seriamente la señal reconstruida. En algunos casos, la frecuencia de muestreo

puede llegar a ser hasta 8 ó 10 veces el ancho de banda de la señal

4.9.1.3 Reconstrucción de la señal

La reconstrucción de señal más simple se realiza mediante un mantenedor de orden

cero

1k t ),()( +≤≤= kk tttftf ( 4.44 )

Esto significa que la señal reconstruida es constante a tramos, e igual que la señal

muestreada en cada instante. El valor reconstruido es constante hasta el nuevo instante de

muestreo.

Debido a su simplicidad, el mantenedor de orden cero (ZOH) es muy empleado en


146

controles por computador. Además tiene la ventaja de poder usarse para la reconstrucción de

señales muestreadas con una frecuencia no periódicas

Fig 4.32.- Salida obtenida con un conversor ZOH

4.9.2 Discretización de las variables del circuito

En la implementación física del sistema, el control difuso que se encarga de adecuar los

valores de los factores K2 y K3, se implementaría mediante un ordenador o un

microprocesador. Para ello, se debe discretizar las variables físicas del sistema, para su

posterior procesado digital.

En el caso del convertidor la única señal de entrada al controlador es la señal de error

de salida (error=Vo-Vref).

A partir del diagrama de Bode del sistema se obtiene el valor de la frecuencia máxima

que puede tener la señal.

Fig 4.33.- Diagrama de Bode de la planta

El margen de fase del sistema es de 2265 rad/seg, por lo que la frecuencia de

conmutación debe ser al menos el doble de ésta para no perder información de la señal en la

conversión A/D.

Una frecuencia de muestreo elevada, aunque aumenta la capacidad de cálculo

necesaria, reproduce más fielmente la señal analógica. Una mayor frecuencia de muestreo

también implica un mayor coste económico en la implementación del control, por lo que se

debe llegar a un compromiso entre ambos factores. Aunque actualmente los componentes


147

existentes en el mercado permiten muestrear a frecuencias mucho mayores, se escogerá una

frecuencia de muestreo de 20KHz, que es suficientemente grande para el procesamiento

correcto de la señal del circuito.

Fig 4.34.- Gama de frecuencias reconstruible y no reconstruible

Así pues, la frecuencia de Nyquist será de 10KHz, lo que indica que todas las señales

de frecuencias intermedias entre ésta y la de muestreo, serán digitalizadas incorrectamente, con

lo que generarán una distorsión en la señal muestreada y no podrán ser recompuestas

correctamente por el conversor digital-analógico.

Para evitar estos problemas se eliminarán todas estas frecuencias introduciendo en el

sistema un filtro anti-aliasing con una frecuencia de corte ligeramente inferior a la de Nyquist.

Para que la banda de paso sea lo más pequeña posible, se utilizará un filtro paso bajo de

segundo orden que no modifique la amplitud de la señal.

oo

o

wSwS

wsH

+⋅⋅⋅+=

ξ2)(

2

2

( 4.45 )

Si se considera 1y /60 == ξsegKradwo

( )2

2

2

2

60000

60000

2)(

+=

+⋅⋅⋅+=

SwSwS

wsH

oo

o

ξ ( 4.46 )


148

En el diagrama de Bode del filtro se puede observar como no varía las señales de

frecuencia inferiores a la de corte y atenúa las señales de frecuencia mayores a ésta.

Fig 4.35.- Diagrama de bode del filtro anti aliasing

Si se comparan los diagramas de bode de la planta y del filtro, se comprueba como

ambos están separados más de una década, por lo que se considerará que la influencia del filtro

sobre la señal analógica que se desea muestrear será despreciable.


La simulación del control con lógica borrosa se implementará con el siguiente circuito:


0

t 1

i n c _ e r ro r

i - k2 * V o - K 3

i

2 4

V re f

V o - V r e f

V o

1 2

V g

i n c _ e r ro r


e r r o r 1


K 3


K 2


S l i


D 1

T o W o rksp a c e 3 V o


i


t

T o W o rksp a c e

K 3

K 2

D

V o

V r e f

I

D

S l i d in g

K 2

K 3

e r r o r

I n c E r r o r

C o n t r o l

C l o c k

D

V g

I

V o

B o o s t

Fig 4.36.- Circuito en Simulink del control con lógica difusa

3

149

Fig 4.37.- Implementación del bloque de control

6

IncError

5

error

4

K3

3

K2

2

Sliding

1

DSum5

Sum4

Sum2

Sum1

Sum

Saturation3

Saturation2

Saturation1

Saturation

ProductMux

Mux

z

1

Muestra ant.1

z

1

Muestra ant.

z

1

Muestra

anterior

[0]

IC1

[0]

IC

p*p

s +2*e*ps+p*p2

Filtro

Demux

Demux D/AControl Fuzzy

C.Sliding

A/D

I

2

Vref

1

Vo


150

4.10.1 Respuesta del sistema mediante un control con lógica borrosa

En la gráfica se puede observar como la variable K2 varia desde el principio

oponiéndose al error y disminuyéndolo paulatinamente.

La actuación únicamente de este factor consigue minimizar el error hasta 0.56V, error

permanente en estado estacionario.

Con la inclusión del segundo factor, una vez llegado al error en estado estacionario, que

el factor K2 no puede eliminar, éste se estabiliza y es el factor K3 quien varía para acabar de

reducir el error de salida.

La señal de salida llega a estabilizarse en el punto de funcionamiento del sistema para

t=0.7ms, aproximadamente en el mismo tiempo que en el caso del control en modo

deslizamiento.

Fig 4.38.- Evolución de la tensión de salida y de los factores K2 y K3

4.10.2 Respuesta del sistema en estado estacionario

Ampliando las señales en estado estacionario, se comprueba como la tensión de salida

a la que se estabiliza el sistema es prácticamente la tensión de referencia (Vo=23.9995),

consiguiéndose un error cero. La frecuencia de conmutación es de 63KHz aproximadamente.


151

La salida sigue teniendo un rizado a la frecuencia de conmutación del control, aunque

su amplitud ha disminuido a 20mV.

Fig 4.39.- Valor de la señal de salida en régimen permanente

4.10.3 Respuesta ante perturbaciones en la tensión de alimentación

Para comprobar como evoluciones ambas variables ante perturbaciones y su eficiencia

se introduce una perturbación en la tensión de alimentación consistente en una señal cuadrada

que hará variar la alimentación un 25%. Ambas variables reaccionan para minimizar esta

perturbación, y tomando los valores correspondientes a cada una de las dos tensiones.

En la tensión de salida se observan picos de 60mV cada vez que se produce el cambio

de valor de la tensión de alimentación. Estos efectos son amortiguados rápidamente (≅ 4ms)

volviendo el sistema al punto de funcionamiento deseado.


152


4.10.4 Respuesta ante perturbaciones en la carga

En este caso también se aplica una perturbación del 20% en la carga y se observa como

el control varía la corriente para eliminar dicho error. El efecto de estas perturbaciones son

picos de tensión de 50mV y de 100mV en el caso de la perturbación del 50%. En ambos casos

el control difuso tarda unos 4ms en eliminar dicho efecto.



153


154

4.10.

debe

ampli


5 Respuesta ante variaciones de la señal de referencia

La señal de referencia es la que indica al sistema el punto de funcionamiento en el que

estabilizarse por lo que si se introduce como perturbación una señal cuadrada de 6V de

tud, el sistema intentará seguir las variaciones de la referencia.


En la gráfica puede observarse como inicialmente la reproducción de la referencia no es

demasiado correcta, aunque las variable K2 y K3, van ajustándose y finalmente consiguen

seguir a la referencia de forma correcta.

Este es el funcionamiento deseado, y con ello se consigue una mayor versatilidad en el

funcionamiento del sistema, ya que convierte el circuito en una fuente de alimentación

variable, permitiendo obtener diferentes valores de salida según las necesidades. Además la

precisión obtenida es excelente y la amplitud del rizado mínima.

Fig 4.43.- Respuesta del sistema ante una variación en la señal de referencia

4.11 SIMULACIÓN DEL CONVERTIDOR CON PÉRDIDAS

En este caso se utilizará el mismo control que en el caso anterior pero variando el

modelo del convertidor.

155

i -k2 *V o -K 3 V o 1

V o

1 2

V g

v

S l i

T o W o rksp a ce 4

D1

T o W o rksp a ce 3V o

T o W o rksp a ce 2

D

V oD

D

V g

I

V o

V

B o o st co n

p e rd i d a s


15

Fig 4.44.- Circuito en Simulink del control con lógica difusa

4.11.1 Respuesta del sistema con pérdidas

Los resultados obtenidos son bastante parecidos al caso ideal. La variable K2 se

incrementa desde el principio, disminuyendo el error, y después lo hace el factor K3, que

elimina el error en estado estacionario, y conduce al sistema al punto de funcionamiento

deseado en unos 3ms aproximadamente.

Al igual que en la simulación del control en modo deslizamiento se observa que el

efecto de las pérdidas y el incremento del factor de amortiguamiento que provocan, hacen que

la respuesta del sistema, aunque más lenta, no tenga ningún sobrepico, llegando suavemente a

los 24V de salida.

6


Fig 4.45.- Evolución de la tensión de salida y de los factores K2 y K3

4.11.2 Respuesta del sistema en estado estacionario

Ampliando las señales en estado estacionario, se comprueba como la tensión de salida

a la que se estabiliza el sistema es prácticamente la tensión de referencia, consiguiéndose un

error prácticamente igual a cero.. La frecuencia de conmutación ha disminuido hasta 46KHz y

el rizado de la tensión de salida ha aumentado a unos 50mV.

4

s

s

157

Fig 4.46.- Valor de la señal de salida en régimen permanente

.11.3 Respuesta ante perturbaciones en la tensión de alimentación

Aplicando una perturbación del 25% en la tensión de alimentación consistente en una

eñal cuadrada, se observa como aunque se provocan picos de 50mV y 80mV en la tensión de

alida. Las variables K2 y K3 evolucionan oponiéndose a dicha perturbación y el efecto de las


15

variaciones de la tensión de entrada en unos 4ms.

4

o

8


.11.4 Respuesta ante perturbaciones en la carga

En este caso también se aplica unas perturbaciones del 20 y 50% en la carga y se

bserva como el control varía la corriente para eliminar dicho error. Estas perturbaciones


provocan picos de tensión de hasta 0.15V, que el control difuso tarda unos 5ms en eliminar.

En este caso, al igual que se puede observar en la figura 4.46, los picos positivos y

negativos que se producen en la salida no tienen la misma amplitud. Esto provoca que la

variable K2 aumente y disminuya para reducir estos errores, pero la diferencia de amplitud

provoca que no vuelva al valor anterior, con lo que su valor medio va aumentando

progresivamente.

Este hecho puede llevar al sistema a un punto de funcionamiento inestable si supera el

valor máximo de permanencia dentro del margen de funcionamiento en modo deslizamiento.

Tomando el margen superior calculado en la ecuación (3.113) y sustituyendo valores:

( )( ) 112 ≅

−⋅−⋅⟨viRL

vVC RK

g ( 4.47 )

Para solucionar este problema bastará con limitar el valor de K2 a algun valor inferior

al calculado. Los pequeños errores producidos por esta saturación serán asumidos por la

variable K3, consiguiendo igualmente la respuesta deseada.

159


160


4.1

com


1.5 Respuesta ante variaciones de la señal de referencia

Se vuelve a introducir como variación una señal cuadrada de 6V de amplitud, y se

prueba como las variables K2 y K3, van ajustándose al error producido y consiguen que la


tensión de salida siga perfectamente a la señal de referencia introducida.

Fig 4.50.- Seguimiento de las variaciones señal de referencia .

El resultado es prácticamente igual al obtenido en el caso ideal, aunque el rizado es un

poco mayor.

4

161

Fig 4.51.- Respuesta del sistema ante una variación en la señal de referencia

.12 CONCLUSIONES



162

tr

msts

msVm

V∆Vo

mVF

KHts

msVm

V∆V

o

mV

ts

msVm

V∆V

o

mV

ts

msVm

V∆V

o

mV

Ideal ⇑ 0.7 3 24 20 63 4 24 17 4 24 13 5 30 23⇓ 4 24 20 4 24 18 5 24 18

Real ⇑ 0.8 4 24 50 40 5 24 35 5 24 30 5 30 65⇓ 5 24 50 5 24 40 5 24.01 40

• El control difuso es un control digital que proporciona al sistema una gran versatilidad.

• La elección adecuada de las reglas permitirá habilitar o inhibir arbitrariamente la

actualización de los factores K2 y K3.

• Mientras el error sea elevado se ajustará el valor del factor K2 para que disminuya el error.

Cuando la variación de dicho factor no afecte sensiblemente a la salida, se considerará que

se ha llegado al régimen estacionario.

• La habilitación del factor K3 en ese momento anulará totalmente el error en estado

estacionario.

• La variación de la señal de referencia provocará un error en la salida del sistema. El control

ajustará el valor de los factores K2 y K3 hasta eliminar totalmente el error.

• Los incrementos de cada uno de los factores se escogen de forma empírica mediante el

método de ensayo y error. Debería introducirse un algoritmo de control que ajustara el

valor de las variaciones de dichos factores en función de parámetros del sistema como el

error (e) y el incremento del error ( e∆ ).

5. CONTROL ADAPTATIVO


165

5.1 INTRODUCCIÓN

Un controlador convencional está pensado para controlar sistemas (mayoritariamente

lineales), cuyos parámetros permanecen constantes. Esta es una buena aproximación cuando se

pretende regular un sistema en un punto fijo de operación. Cuando existen perturbaciones, si

éstas son pequeñas, dicha aproximación continúa siendo suficiente para obtener un buen

control. Sin embargo, la aproximación en torno a un punto de funcionamiento no suele seguir

siendo buena, si el punto de funcionamiento cambia.

El término adaptativo significa cambiar el comportamiento conforme a nuevas

circunstancias. Un regulador adaptativo es aquel que puede modificar su comportamiento en

respuesta a cambios en la dinámica del sistema y a las perturbaciones. Este mismo objetivo es

el de la inclusión de la realimentación en el bucle de control, por lo que surge la pregunta de

cuál es la diferencia entre control realimentado y control adaptativo.

Existen muchas definiciones de control adaptativo, siendo una de las más aceptadas,

que control adaptativo es un tipo especial de control no lineal en ele que el estado del proceso

puede ser separado en dos escalas de tiempo que evolucionan a diferente velocidad. La escala

lenta corresponde a los cambios de los parámetros y por consiguiente a la velocidad con la cual

los parámetros del regulador son modificados, y la escala rápida que corresponde a la dinámica

del bucle ordinario de realimentación.

Fig 5.1.- Configuración básica de control adaptativo

Mecanismode

Adaptación

Planta

Medida del Índice deActuación

ru

y

+

+

-

ActuaciónDeseada

ComparaciónDecisión

ControladorAjustable

+

Perturbación

55.. CCoonnttrrooll AAddaappttaattiivvoo

166

El esquema básico de control adaptativo (Landau 1974), según puede observarse en la

figura, está compuesto de un bucle principal de realimentación negativa, en el que actúa al

igual que en los sistemas convencionales un regulador y de otro bucle en el que se mide un

cierto índice de funcionamiento, el cual es comparado con el índice deseado y se procesa el

error en un mecanismo de adaptación que ajusta los parámetros del regulador y en algunos

casos actúa directamente sobre la señal de control. También puede existir un tercer bucle

dedicado a supervisar la marcha de los dos bucles anteriores (Isermann 1982) en orden a

asegurar la estabilidad del sistema y a mejorar la actuación del conjunto.

El mecanismo de adaptación presenta una solución en tiempo real al problema de

diseño para sistemas con parámetros conocidos, aunque puede ir a un tiempo de muestreo

superior al correspondiente al regulador e identificador.

La característica fundamental que distingue a los sistemas adaptativos es la presencia

de un bucle de control en el que se compara un índice de funcionamiento (Landau 1981).

Existen muchos tipos de controladores que proporcionan buenas característica de

regulación en presencia de cambios de los parámetros del sistema y que según la definición

anterior no son realmente adaptativos, puesto que la adaptación se realiza en bucle abierto.

Un ejemplo muy utilizado de control adaptativo en bucle abierto es el denominador

Cambio por tabla. Consiste en la modificación de los parámetros del controlador a partir de

una tabla que ha sido calculada previamente para distintos puntos de funcionamiento, en

función de una variable auxiliar.

Fig 5.2.- Sistema adaptativo en bucle abierto

Mecanismode

Adaptación

Planta

Medida dela Variable

Auxiliar

r uy

+

-


e

MedioAmbiente


167

En la figura se presenta esquemáticamente este tipo de controladores. Se supone que

existe una fuerte relación entre la variable auxiliar y la dinámica de los parámetros del sistema.

Este tipo de adaptación tiene la ventaja de que el controlador puede ser cambiado muy

rápidamente, dependiendo de la rapidez con que la variable auxiliar refleje el cambio de la

dinámica del proceso, siendo muy importante la elección de dicha variable. Sin embargo estos

reguladores consumen mucho tiempo en la realización de la tabla de parámetros, presentando

así mismo algunos problemas en la conmutación de unos parámetros a otros.

Según sean diseñados los bloques descritos anteriormente, se pueden tener uno u otro

tipo de control adaptativo, pudiéndose dividir principalmente en dos grupos: Controladores

adaptativos con modelo de referencia (MRAC) y Reguladores autoajustables (STR).

MRAC y STR pueden ser considerados como una aproximación a la solución del

problema de control adaptativo. La hipótesis que justifica la aproximación es que para

cualquier juego de valores posibles de los parámetros de la planta y las perturbaciones, existe

un controlador lineal con una complejidad fijada, tal que el conjunto de controlador y planta

tienen características preespecificadas.

• Los controladores con modelo de referencia, intentan alcanzar para una señal de entrada

definida, un comportamiento en bucle cerrado dado por un modelo de referencia.

• Los reguladores adaptativos autoajustables, tratan de alcanzar un control óptimo, sujeto a

un tipo de controlador y a obtener información del proceso y sus señales.

Estas dos técnicas han sido desarrolladas separadamente durante varios años,

pudiéndose demostrar su equivalencia en muchos casos. Las ventajas de MRAC están en su

rápida adaptación para una entrada definida y en la simplicidad de tratamiento de la estabilidad

utilizando la teoría de estabilidad de sistemas no lineales. Sin embargo, no se adapta

convenientemente si la señal de entrada al sistema tiene poca riqueza. El STR tiene la ventaja

de que se adapta para cualquier caso y en particular para perturbaciones no mensurables,

teniendo al mismo tiempo una estructura modular, lo que hace posible la programación por

bloques, siendo fácil de realizar distintos reguladores.


168

5.2 CONTROLES ADAPTATIVOS CON MODELO DE REFERENCIA (MRAC)

5.2.1 INTRODUCCIÓN

Los sistemas con modelo de referencia fueron diseñados primeramente para sistemas

continuos por minimización de un índice de actuación, siendo dicho índice la integral del error

al cuadrado (Hang 1973). Esta regla de diseñado fue propuesta por Whitaker del MIT (1958),

Instrumentation Laboratory, denominándose por ello como la regla del MIT.

En cuanto a las configuraciones posibles con modelo de referencia, la más usual es

utilizar un modelo paralelo como el de la figura, aunque son posibles otras configuraciones,

como modelo serie, serie-paralelo, etc.

Fig 5.3.- Estructura con modelo de referencia (MRAC)

5.2.2 DISEÑO DE CONTROLADORES ADAPTATIVOS

Se puede dividir un sistema de control adaptativo en tres partes fundamentales:

• Un controlador primario que puede corresponder a cualquiera de las configuraciones

conocidas para el diseño de controles lineales. Sin embargo debe cumplir la condición de

permitir que el conjunto del proceso y el controlador puedan reproducir al modelo de

referencia. Además, para poder aplicar adaptación directa, la señal de control debe ser una

función lineal de los parámetros.

Mecanismode

Adaptación

Planta

Modelo de referencia


ru

yp

ym-

+

+

-


169

• Un modelo de referencia, que especifica el comportamiento deseado en bucle cerrado. El

modelo debe ser sensible a la dinámica del proceso, ya que si por ejemplo se elige un

modelo con una dinámica muy rápida, la señal de control será muy grande causando

saturaciones y no pudiendo el sistema responder a dicha dinámica

• Una ley de adaptación

5.2.2.1 Método del Gradiente

Existe una dualidad entre los sistemas de control adaptativo a un modelo de referencia

y el problema de identificación con un modelo ajustable, siendo en este caso el modelo de

referencia la planta a identificar.

Dado un modelo de referencia Gm(s, p) y un sistema ajustable Ga(s, p ), el cual se desea

que siga al modelo para que el error sea nulo (o mínimo en el caso de la presencia de

perturbaciones), se define el índice de funcionamiento:

ajustar a parámetro - ˆ

ajustable modelo del salida -

referencia de modelo del salida -

; 2

1 2

p

ya

ym

yyedteJ am∫ −==

( 5.1 )

Usando la técnica de optimización del gradiente (Landau 1981) se tiene que la regla de

adaptación es:

p

JKJdKtep

ˆ)(gra),(ˆ

∂∂−=⋅−=∆ ( 5.2 )

siendo p∆ la variación de p con relación al último valor calculado y K es la ganancia

de adaptación.

La variación del parámetro ajustable con relación al tiempo será:

∂∂

∂∂−==

p

J

tJ

dt

pdp

ˆ

ˆ! ( 5.3 )


170

Si se asume variación lenta de la ley de adaptación se puede intercambiar el orden de

las derivadas:

p

eeKp

ep

Kt

J

pKp

ˆˆ

2

1ˆˆ

ˆ 2

∂∂⋅⋅−=

∂∂−=

∂∂

∂∂−=

!

( 5.4 )

La ley de adaptación anterior representa la regla M.I.T.

( )

p

yeKp

p

y

p

yy

p

e

a

aam

ˆˆ

ˆˆˆ

∂∂

⋅⋅=

∂∂

−=∂

−∂=

∂∂

!

( 5.5 )

La pya ˆ∂∂ es la función de sensibilidad del modelo ajustable con respecto al

parámetro. En este caso la función de sensibilidad es proporcional a ym, quedando la ley de

adaptación de la forma:

myeKp ⋅⋅= 1! ( 5.6 )

Esta es una regla de diseño simple, aunque para el ajuste de varios parámetros se

necesitan tantas funciones de sensibilidad como parámetros. Además la ganancia de

adaptación gobierna la velocidad de respuesta; si es muy grande puede volver inestable el

sistema y si es pequeña la respuesta puede ser demasiado lenta, por lo que el compromiso entre

velocidad de respuesta y estabilidad conlleva un laborioso estudio por simulación.

5.2.2.2 Método de Lyapunov

Otra técnica de diseño se fundamenta en la utilización del segundo método de

Lyapunov, el cual asegura la estabilidad para cualquier ganancia y cualquier tipo de entrada.

Su principal desventaja es que requiere el conocimiento del vector de estado y no es aplicable

a los casos donde los parámetros de la planta y del controlador no pueden ser modificados

directamente.


171

5.2.2.3 Método de hiperestabilidad

Landau (1981) propone una técnica de diseño basada en el concepto de hiperestabilidad

y en la teoría de estabilidad de Popov. El concepto de hiperestabilidad está relacionado con la

estabilidad de una clase de sistemas, tales que pueden ser separados en dos bloque, figura XX.

Este sistema está formado por una parte lineal invariante en el tiempo y otra no lineal y/o

variable en el tiempo

La primera parte contiene usualmente al modelo de referencia y su salida es la señal de

error que es utilizada para la ley de adaptación. La segunda parte contiene la ley de adaptación

y su salida negada es la entrada de la parte lineal.

Fig 5.4.- Separación del sistema (hiperestabilidad)

La teoría de la hiperestabilidad garantiza la estabilidad asintótica si ambas partes (lineal

y no lineal), satisfacen las condiciones de pasividad:

1. La parte lineal G(s) debe ser estrictamente positiva:

-G(s) debe ser real si s es real

-Los polos de G(s) deben tener parte real negativa

-La parte real de G(jw) debe ser mayor que cero para -∞<w<∞

2. La parte no lineal debe cumplir la desigualdad de Popov

Si la entrada y salida de la parte no lineal están relacionadas por la desigualdad de Popov:

∫ >∀−≥⋅⋅=t

tYdtwvtn0

20 0 ,),0( ( 5.7 )

donde v es la entrada y w la salida e Yo2 es una constante finita positiva independiente de t.

Parte lineale invarianteen el tiempo

Parte no-linealy/o variableen el tiempo

+

_

w v


172

Para diseñar la ley de adaptación mediante esta técnica se siguen los siguiente pasos:

1. Transformar el sistema con modelo de referencia en uno equivalente al de la estructura de

la figura 5.4.

2. Encontrar la ley de adaptación para que se cumpla la desigualdad de Popov.

3. Encontrar la parte de la ley de adaptación que aparezca en la parte lineal para que el

conjunto del sistema sea globalmente estable.

4. Volver al sistema original y formular la ley de adaptación explícitamente.

5.2.3 Estructura general

Se pueden considerar dos formas de descripción de los sistemas: mediante variables de

estado o bien entrada-salida. Considerando la primera de ellas, puede escogerse el modelo de

referencia como el conjunto de ecuaciones lineales

0)0( , xxuBxAx MM =+=! ( 5.8 )

donde x es el vector de estado y u es el vector de entrada. Este modelo se supone

estable y completamente controlable. En cuanto al modelo ajustable (planta más controlador),

puede utilizarse la siguiente representación:

000 )0( ;)0( ;)0( ,),(),( SSSSSS BBAAxxuteBxteAy ===+=! ( 5.9 )

El vector de error generalizado viene dado por: e=x-y

El objeto de diseño, en el caso paramétrico, es encontrar la ley de adaptación tal que las

matrices de parámetros AS(e,t) y BS(e,t) sean modificadas de forma que el error tienda a cero

para cualquier entrada u.

La derivada del error puede obtenerse restando las ecuaciones anteriores, donde además

se suma y resta el término AMy.

yAyAteBxteAxBxAyxe MMSSMM −+−−+=−= ),(),(!!! ( 5. 10 )

pudiéndose expresar como:

[ ] [ ]uteBByteAAeAe SMSMM ),(),( −+−+=! ( 5. 11 )

Si se desea que el mecanismo de adaptación tenga memoria, debe considerarse la


173

inclusión de un integrador en el mecanismo de adaptación. Esto tendrá el efecto de que los

parámetros ajustables dependerán no sólo del error en un instante sino también de los valores

pasados. Por ello la ley de adaptación se define como:

tBSteGteBS

tAteFteA SS

≤≤+=≤≤+=

ττττ

0 ),0(),,(),(

0 ),0(),,(),(( 5.12 )

Las ecuaciones anteriores pueden representarse según la siguiente figura, sistema que

se puede descomponer en un sistema lineal y otro no lineal, al cual se le pueden aplicar el

criterio de Popov de estabilidad (o criterio de hiperestabilidad)

Fig 5.5.- Representación equivalente del modelo de error

Para conseguir cumplir dicho criterio, por un lado la parte lineal se modifica

añadiéndole un término D en serie. En cuanto a las funciones F y G, caben muchas

posibilidades de elección, pero teniendo en cuenta que deseamos que el error en régimen

permanente sea cero, pueden elegirse de la forma:

∫∫

∞

∞

Ψ+Ψ=

Φ+Φ=

0 21

0 21

),(),(),(

),(),(),(

tvdttvteG

tvdttvteF( 5.13 )

La estructura final del sistema sería la representada en la siguiente figura donde los

parámetros de diseño serían las funciones D, Φ1, Φ2, Ψ1 y Ψ2. La resolución se realiza para

cada caso concreto y no de forma general, ya que el caso general resulta bastante complicado.

F(e,t)

G(e,t)

AM

+

+

+

+

_

_

y

u

AM-AS(0)

BM-BS(0)

ede

AM

_

yAS(0)-AM

edeD

w1

w

SL

V


174

Fig 5.6.- Sistema adaptativo por modelo de referencia paralelo

5.3 REGULADORES AUTOAJUSTABLES (STR)

El punto de trabajo de un determinado proceso puede variar con el tiempo, ya sea por

derivas o desgastes de las constantes físicas, o porque el proceso es no lineal, motivo por el

cual el controlador calculado para ese punto de trabajo no es adecuado para esta nueva

situación.

Otra solución posible es el uso de un regulador autoajustable, que consiste en plantear

una estructura de control que además del bucle principal de regulación que existe en todo

sistema de control, incorpore un segundo bucle de control, en el que a partir de la información

recogida del proceso y con un determinado criterio de diseño, se modifiquen los parámetros

del regulador.

Se comienza con un método de diseño para sistemas con parámetros conocidos,

sustituyendo posteriormente los parámetros conocidos por sus estimados y recalculando el

controlador en cada paso. La aplicación de esta idea es lo que se conoce como el principio de

equivalencia cierta.

El diagrama de bloques de estos controladores se puede observar en la figura 5.7, en

donde se distinguen tres partes claramente diferenciadas:

− Un algoritmo recursivo de estimación de parámetros


175

− Un mecanismo de adaptación que desarrolla la tarea de diseño del regulador

− Un regulador con parámetros ajustables

Fig 5.7.- Esquema de un regulador autoajustable (STR)

Estos reguladores conforman una estructura basada en el principio de separación de las

tareas de control e identificación.

5.4 . ALGORITMO DE IDENTIFICACIÓN DE PARÁMETROS

5.4.1 Introducción

La identificación o modelado de un sistema se define como el proceso de determinar un

conjunto de ecuaciones diferenciales o en diferencia, o los parámetros de tales ecuaciones, que

describen un proceso físico de acuerdo con un determinado criterio.

Esta es una parte muy importante de los sistemas adaptativos, y además es la que

consume mayor parte del tiempo de cálculo en cada periodo de muestreo.

El modelo del procese se puede obtener por consideraciones física, siendo mucho más

difícil determinar el modelo de las perturbaciones, que tienen tanta o más importancia. No

obstante, el proceso puede no ser representable por un modelo matemático, siendo necesaria

una jerarquía de modelos complejos que lo implementan.

Desde el punto de vista de procesamiento, la identificación puede ser hecha en línea

(identificación en tiempo real) con el proceso o bien las medidas efectuadas son guardadas en

un archivo y posteriormente procesadas.

La identificación de un sistema comprende las siguientes tareas:

Diseño del Controlador

PlantaControlador

Ajustable

+

_

ActuaciónDeseada

Estimaciónde la Planta


176

• Estudio experimental (adquisición de datos)

• Formulación de un criterio

• Seleccionar la estructura del modelo

• Estimación de los parámetros

• Validación del modelo obtenido

5.4.2 Modelo del sistema y de las perturbaciones

Se supone que el sistema puede ser modelado como un proceso estable, invariante con

el tiempo y linealizable, con una sola entrada y una sola salida, por lo que puede ser descrito

por la ecuación lineal en diferencias:

)(...)2()1()()(

...)2()1()(...)1()(

21

211

nkvckvckvckvndkub

dkubdkubnkyakyaky

nn

n

−⋅++−⋅+−⋅++−−⋅++−−⋅+−−⋅=−⋅++−⋅+

( 5.14 )

O de la forma vectorial:

)()()( kvkky T +⋅= θϕ ( 5.15 )

donde:

) ... , , , ... , , , ... , ,(

))( ..., ),2( ),1( ),( ),(

..., ),2( ),1( ),(, ... ),2( ),1(()(

212121 nnnT

T

cccbbbaaa

nkvkvkvkvndku

dkudkunkykykyk

=

−−−−−−−−−−−−−−−=

θ

ϕ

( 5.16 )

∞

∞

−=−=

YkYky

UkUku

)()(

)()(

U(k) e Y(k) son los valores de entrada ya salida del sistema en el instante k, U∞ es el

valor medio de la señal de entrada, Y∞ es el valor medio de la variable de salida y v(k) es una

señal de ruido estadísticamente independiente y estacionaria con distribución normal y de

media nula. Se asume que las perturbaciones pueden ser modeladas por un proceso ARMA

(Auto Regresive Moving Average), con el mismo polinomio que el sistema. La función de

transferencia en z de este sistema puede escribirse como:

)()(

)()(

)(

)()(

1

1

1

1

zvzA

zCzuz

zA

zBzy d

−

−−

−

−

+= ( 5.17 )


177

donde:

nn

nn

nn

zczczczC

zazazbzB

zazazazA

−−−−

−−−−

−−−−

++++=

+++=

++++=

...1)(

... )(

...1)(

22

11

1

32

11

1

22

11

1

( 5.18 )

El primer cociente B(z-1)/A(z-1) representa el modelo de la planta, y el segundo

cociente C(z-1)/A(z-1) representa el modelo de las perturbaciones. El conjunto planta más

perturbaciones, se denomina modelo ARMAX (Auto Regresive Moving Average con una

variable eXogenous)

5.4.2.1 Método de mínimos cuadrados

Según Gauss el principio de mínimos cuadrados consiste en buscar los parámetros

desconocidos de tal forma que la suma de los cuadrados de las diferencia entre los valores

observados y calculados multiplicado por un número que mide el grado de precisión, sea

mínimo. Para poder obtener una solució0n analítica, los valores calculados deben ser

funciones lineales de los parámetros desconocidos.

5.4.2.1.1 Caso determinista

Si el sistema a identificar es perfectamente determinista y sobre el mismo no inciden

perturbaciones ni ruidos de ningún tipo:

)(

...)2()1()(...)1()( 211

ndkub

dkubdkubnkyakyaky

n

n

−−⋅++−−⋅+−−⋅=−⋅++−⋅+

( 5.19 )

Para encontrar los n2 parámetros se necesitan realizar n2 medidas de u(k) e y(k), con

las que se puede plantear un sistema de ecuaciones lineales, donde las incógnitas son los

parámetros ai y bj

θϕ

θϕθϕ

⋅−+=−+

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=+

⋅=

)1( )1(

)1( )1(

)( )(

NkNky

kky

kky

T

T

T

( 5.20 )

donde N=2n. Otra forma de expresarlo sería:


178

kk

kk

Y

Y

⋅Ψ=

⋅Ψ=

θ

θˆ

( 5.21 )

5.4.2.1.2 Caso no determinista

Normalmente el sistema no es perfectamente determinista, sino que está afectado por

ruidos por lo que el modelo resultante es:

)()()()( kekkky T +⋅= θϕ ( 5.22 )

donde:

) ... , , , ... , ,()(

))( ..., ),2( ),1( ),(, ... ),2( ),1(()(

2121 nnT

T

bbbaaak

ndkudkudkunkykykyk

=

−−−−−−−−−−−−=

θ

ϕ( 5.23

)

La interpretación del primer término del segundo miembro es la predicción del paso

)1/(ˆ −kky de la salida y(k) con los datos disponibles en el instante k-1, por lo que el error

resulta ser la diferencia entre la salida real y su predicción:

)1/(ˆ)()( −−= kkykyke ( 5.24 )

El método de mínimos cuadrados consiste en minimizar el cuadrado del error:

22 )( θϕ∑∑ −==ℑk

Tk

kk yke ( 5.25 )

En forma matricial:

θθθθθθ

ξξ

kTk

Tk

Tk

Tk

Tkk

Tk

kkkk

kTk

YYYY

YTY

ΨΨ+Ψ−Ψ−=

Ψ−Ψ−==ℑ

)()( ( 5.26 )

Derivando e igualando a cero:


179

( ) kTkk

TkMC

kTk

Tk

Tk

Y

Y

ΨΨΨ=

=ΨΨ+Ψ−−1ˆ

022

θ

θθ( 5.27 )

Si el sistema está cambiando o se identifica un sistema no lineal en una determinada

zona de trabajo y se pasa a otra, se necesita tomar otras N medidas y recalcular los parámetros

estimados. Debido a la inversión de las matrices, este proceso puede sobrepasar el tiempo de

muestreo necesario para el sistema de control si la identificación se realiza en tiempo real.

5.4.2.2 Método recursivo

Los métodos recursivos aprovechan parte de los cálculos realizados en un paso para el

siguiente, por lo que el cálculo de los parámetros en un instante se realiza como:

correcciónNN +=+ θθ ˆˆ1 ( 5.28 )

Además si el sistema está variando, (o bien se desea una actualización permanente de

los parámetros), se suelen ponderar las medidas que se van tomando, dándole más peso a las

más recientes.

La solución mediante el método recursivo consta de las siguientes partes:

• Seleccionar los valores iniciales de )(kP y )(ˆ kθ

• Obtener los nuevos valores de y(k+1) y u(k+1)

• Calcular el error residual a priori:

)(ˆ)1()1()1( kkkyke T θϕ +−+=+ ( 5.29 )

• Calcular L(k+1) dado por la expresión:

)1()()1(1

)1()()1(

++++=+

kkPk

kkPkL

T ϕϕϕ

( 5.30 )

• Calcular los nuevos parámetros estimados dados por:

)1()1()(ˆ)1(ˆ +++=+ kekLkk θθ ( 5.31 )

• Actualizar la matriz de covarianza.

)())1()1(()1( kPkkLIkP T ++−=+ ϕ ( 5.32 )


180

• Actualizar el vector de medidas )2( +kϕ

• Hacer k=k+1 y volver al paso 2.

5.4.2.3 Método de variable instrumental

Si únicamente se desea conseguir los parámetros del sistema y no los de las

perturbaciones cuando éstas están correladas con ϕ(k), se puede utilizar este método. Consiste

en sustituir el vector ϕ(k) por otro W(k) que es incorrelado con e(k). Dicho vector es de la

forma:

)...,,...,( )()2()1()()2()1()( ndkdkdknkkkkT uuuhhhW −−−−−−−−− −−−= ( 5.33 )

donde

)()()()(ˆˆ kauxk

Tkk Wyh θ== ( 5.34 )

es la salida de un modelo auxiliar de parámetros )(ˆ

kauxθ , sin perturbaciones. La

estructura del algoritmo es igual a la de mínimos cuadrados recursivos. Los parámetros suelen

filtrarse don un filtro paso bajo. La elección de los parámetros iniciales presenta algunos

problemas, por lo que se suele inicializar con los parámetros estimados por mínimos

cuadrados.

5.4.2.4 Método de la máxima verosimilitud

Este método se basa en maximizar la probabilidad de las medidas obtenidas en los

parámetros ai y bi y es fuertemente no lineal en los ci. Por ello se requiere muchos más cálculos

que los métodos anteriores, siendo por ello, de aplicación práctica limitada.

5.4.3 CONSIDERACIONES DEL ALGORITMO DE IDENTIFICACIÓN

En todos los métodos citados se supone que los parámetros del sistema son invariantes

con el tiempo, y con memoria infinita. Sin embargo si los parámetros del sistema varían

lentamente, bien por derivas o por que el sistema es no lineal, es conveniente reducir la

memoria del identificador con objetivo de que éste pueda seguir las variaciones del sistema,

ponderando las medidas de forma que tengan más peso las últimas sobre las más antiguas.


181

5.4.3.1 Factor de olvido

Mediante este método, la memoria finita se consigue sustituyendo P(k) por P(k)/c.

Para c=1 se tiene el algoritmo de mínimos cuadrados normal, mientras que para c<1 el

algoritmo olvida las medidas más antiguas. Para c=0.99 la memoria es de 100 pasos, siendo el

rango normal un valor de c entre 0.98 y 1.

La elección de c es un compromiso entre una gran eliminación del ruido o un mejor

seguimiento de la variación de los parámetros.

La función de costo que se minimiza por mínimos cuadrados:

∑=

−=k

m

kmk ecJ

1

)(2 ( 5.35 )

5.4.3.2 Suma de una matriz positiva

Este método (random walk), consiste en sumar una matriz (R) positiva a la matriz de

covarianza P(k), que pasa a ser de la forma:

RPLIP kkT

kk +−= +++ )()1()1()1( )( ϕ ( 5.36 )

Con ello se asegura que la matriz de covarianza permanezca limitada a un valor superior a R.

5.4.3.3 Problemas y soluciones que presenta el factor de olvido

Estos métodos pueden llegar a presentar problemas de cálculo ya que si el punto de

funcionamiento se mantiene estable, la excitación es pobre y el producto 0)()( →kkP ϕ con lo

que la matriz de covarianza se reduce a P(k+1)=P(k)/c. Con un factor de olvido menor que la

unidad, P(k) puede hacerse muy grande, con lo que es muy sensible a cualquier cambio.

Algunas posibles soluciones a estos problemas son:

• Utilizando un factor de olvido variable, que responde a la siguiente

expresión:

okk

Tk S

keLc

2

)1()1()1(

)1()1(1

+−−= +++ ϕ ( 5.37 )


182

Cuando el error tiende a cero, c(k) tiende a uno, por lo que se evita el

crecimiento de P(k). El parámetro So debe buscarse a priori (So está relacionado con la

suma de los errores2).

En la fase inicial interesa que el factor de olvido sea pequeño, ya que los valores

de los parámetros son más inciertos, consiguiéndose mediante:

)1()()1( ofo cckcckc −+=+ ( 5.38 )

donde

1)0( 1 << cyco ( 5.39 )

siendo el límite de c(k+1) cuando k tiende a infinito igual a cf .

No se eliminan todos los problemas de cálculo, pero disminuye la posibilidad

de aparición.

Hacer c(k)=1 cuando la matriz P(k) excede de un cierto valor

• Utilizar una estructura con dos factores de olvido:

2)(0y 1)(0 donde

)(

)())1()1(()1(

)1()()1()(

)()1()(

)1(

21

1

2

1

<<<<

++−=+

+++

+=+

kckc

kc

kPkkLIkP

kkPkkc

kckkP

kL

T

T

ϕ

ϕϕ

ϕ

( 5.40 )

obteniéndose los mejores resultados para ganancia constante P(k)=P(0). Una posible

solución es fijar el cociente c1(k)/c2(k) entre 0.81 y 1.


183

5.5 IMPLEMENTACIÓN DEL MÉTODO DEL GRADIENTE

5.5.1 Introducción

El método de control adaptativo con modelo de referencia responde a la estructura del

diagrama de bloques de la figura 5.3.

En primer lugar se escogerá un sistema cuyo comportamiento que se adapte a las

exigencias impuestas a nuestra planta, como modelo de referencia. La planta seguirá las

variaciones del sistema de referencia consiguiéndose así el funcionamiento deseado.

El controlador ajustable que atacará a la planta seguirá siendo el control en modo

deslizamiento diseñado en el tema anterior, las constantes del cual serán modificadas por un

mecanismo de adaptación en función del error y su derivada en cada momento. Para ello se

utilizará el método del gradiente.

El mecanismo de ajuste de parámetros utilizando por este método puede ser

implementado mediante la conocida regla del MIT. Para ello se utiliza la función de costo,

am yyedteJ −== ∫ ; 2

1 2 ( 5.41 )

y la ley de adaptación

ˆ

ˆ

ˆ

p

y

p

)-y(y

p

e aam

∂∂=

∂∂=

∂∂

( 5.42 )

luego

p

yeKp

a

ˆ

ˆ

∂∂⋅⋅=! ( 5.43 )

5.5.2 Función de transferencia del sistema

En el caso del convertidor, se partirá de la función de transferencia en lazo abierto

calculada en la ecuación (3.132)

'2

'

)(

)( 2

DSD'RC

DRSL

su

sVo

⋅+⋅⋅⋅⋅−⋅= ( 5.44 )


184

de la que se obtiene el modelo de la planta.

uDRuLVDVDRC oo ⋅′⋅−⋅=⋅′⋅+⋅′⋅⋅ 22 !! ( 5.45 )

La ley de control que se desea implementar corresponde a un control proporcional:

( )oref VVKu −⋅= 2 ( 5.46 )

oref VKVKu !!! ⋅⋅= − 22 ( 5.47 )

donde K2 es la ganancia proporcional y Vref la salida deseada

Sustituyendo en la ecuación de la planta

( ) ( )( ) ( ) refref

oo

VKDRVKL

VDKRDVKLDRC

⋅⋅′⋅−⋅⋅=

=⋅′⋅⋅−′⋅+⋅⋅+′⋅⋅2

22

222

2!(5.48)

cuya función de transferencia es,

[ ] [ ][ ] [ ] refo V

DKRDSKLDRC

KDRSKLV

2 222

22

2

′⋅⋅−′⋅+⋅⋅+′⋅⋅⋅′⋅−⋅⋅= ( 5.49 )

5.5.3 Modelo de referencia

Se desea que el sistema reaccione como mínimo igual de rápido que en el caso del

control difuso. Se puede observar la evolución temporal de la tensión de salida del convertidor

en la figura 4.38, en donde se puede comprobar los valores de

msTsmsTr 7.154.0 ≅≅ ( 5.50 )

Fig 5.8.- Respuesta deseada del sistema


185

Como modelo de referencia se escogerá una función de primer orden que reaccione

ligeramente más rápido que la respuesta deseada.

Tomando un sistema de referencia con ganáncia unitaria del tipo:

aS

asY

+=)( ( 5.51 )

el tiempo de subida será

407454.0

2.22.22.2 ===⇒=msTr

aa

Tr ( 5.52 )

con lo que se escogerá una función de transferencia para el modelo de referencia

refm VS

Y 4500

4500

+= ( 5.53 )

Fig 5.9.- Comparativa de la salida deseada con la del modelo de referencia escogida

5.5.4 Calculo de la función ∆∆∆∆K2

Combinando las ecuaciones (5.49) y (5.53) y calculando la derivada parcial de

ome VYY −= , con respecto a K2 se tiene,

[ ] [ ] ( )orefe

VVDKRDSKLDRC

DRSL

K

Y−

′⋅⋅−′⋅+⋅⋅+′⋅⋅′⋅−⋅=

∂∂

2

22

2

2 2( 5.54 )

Esta ecuación no se podrá utilizar ya que no se conoce el valor del parámetro K2, pero

en el caso óptimo


186

[ ] [ ] aSDKRDSKLDRC +=′⋅⋅−′⋅+⋅⋅+′⋅⋅ 2222 ( 5.55 )

de donde se obtiene la ecuación diferencial del controlador proporcional

( ) erefo YVVaS

a

t

K ⋅

+⋅=

∂∂

− γ2( 5.56 )

5.5.5 Simulación del circuito

En las figuras se observa la implementación del modelo del control adaptativo con

modelo de referencia, y los bloques implementados

Y m -Vo

Fig 5.10.- Control adaptativo por modelo de referencia

Fig 5.11.- Mecanismo de adaptación

0 .05

t1

i

24

Vre f

Vo-Vre f

Vo

error1

T o Workspace7

K3

T o Workspace6

K2

T o Workspace5

D1

T o Workspace3

Vo

T o Workspace2

i

T o Workspace1

t

T o Workspace

Sum 1

Sum

D

I

Vo

P lanta

45 00

s+450 0

M ode lo d e

Referencia

Vo

Y m

AK2

M ecan ism o de

Ada ptacion

K3

K2

D

I

error

AK2

D

K2

K3

Con tro l

Clock


5.5.5.1

E

valores

A

pero el

Tomand

mayores

R

control

sigue te

187

Fig 5.12.- Controlador ajustable

Respuesta del sistema

n la figura se representa la evolución de la respuesta del sistema para diferentes

del parámetro γ.

medida que esta magnitud disminuye, el tiempo de establecimiento también lo hace,

valor del rizado en estado estacionario es prácticamente igual en todos los casos.

o un valor de γ=-0.005 se obtiene un rizado (∆Vo≅ 18mV) inferior al 1‰. Para valores

el sistema se hace inestable.

ealmente, en las simulaciones no se llega al régimen de estado estacionario, ya que el

va disminuyendo el error, pero de forma muy lenta, por lo que se puede decir que se

niendo un error remanente en régimen estacionario y que se llega al mismo para t≅ 2ms.

Fig 5.13.- Respuesta temporal del convertidor

2

K2

1

D

Sum5

Sum2Product

z

1

Muestra ant.

p*p

s +2*e*ps+p*p2

Fi ltro

C.Sliding

A/D

3

AK2

2

error

1

I


188

5.6 CONTROL ADAPTATIVO CON ELIMINACIÓN DEL ERROR ESTACIONARIO

5.6.1 Diseño del controlador

Para eliminar el error en estado estacionario se volverá a introducir el factor K3 en el

control en modo deslizamiento.

En este caso se utilizará un controlador difuso, cuya misión será dejar actuar al control

actual mientras el error sea grande, y cuando los decrementos del error sean pequeños, se

anulará su efecto y se habilitará la variación de K3, eliminando así el error en estado

estacionario.

Se variará el controlador difuso añadiendo como entradas ∆K2 y ∆K3, correspondientes

al valor obtenido con el método del gradiente y el incremento de K3 se fijará en 0.05. Estas

entradas no se fuzzificarán

Las salidas del control serán una combinación lineal de las entradas. Así pues, los

valores de las entradas error e inc_error, indicarán que salida se debe habilitar, y en caso

contrario permanecerán a cero. Cuando las salidas K2 y K3 estén habilitadas, valdrán lo mismo

que las entradas ∆K2 y ∆K3, respectivamente.

La entrada error se modificará ligeramente ya que en este caso la información sobre la

amplitud del error no es necesaria. Las Variable Lingüísticas quedarán:

Fig 5.14.- Fuzzificación de las

Las reglas del control serán las siguientes

1. If (error is PO) and (inc_error i

2. If (error is NE) and (inc_error i

3. If (error is CE) then (K2 is CER

4. If (error is PO) and (inc_error i

5. If (error is NE) and (inc_error i

entradas error e inc_error

:

s N) then (K2 is AK2)(K3 is CERO) (1)

s P) then (K2 is AK2)(K3 is CERO) (1)

O) (1)

s Z) then (K2 is CERO)(K3 is MAS-AK3) (1)

s Z) then (K2 is CERO)(K3 is MENOS-AK3)


6. If (error is CE) and (inc_error is Z) then (K2 is CERO)(K3 is CERO) (1)

y representadas gráficamente

Fig 5.15.- Representación gráficas del conjunto de reglas

5.6.2 Simulación del control

5.6.2.1 Implementación del control

5.6

1

189

Fig 5.16.- Implementación del bloque de Control modificado con el factor K3

.2.2 Respuesta del sistema

3

K3

2

K2

1

D

Sum6

Sum5

Sum4

Sum2

Saturation3

SaturationS=i-K2*error-K3

ProductMux

Mux

z

1

Muestra ant.1

z

1

Muestra ant.

z

1

Muestra

anterior

p*p

s +2*e*ps+p*p2

Filtro

Demux

Demux

C.Sliding

0.05

AK3

A/D2

3

AK2

2

error

I


190

En este caso, la introlducción de K3, mantiene el valor del tiempo de subida, pero

provoca un aumento del tiempo de establecimiento )3( msTs ≅ .

Fig 5.17.- Respuesta del sistema

5.6.2.3 Respuesta del sistema en estado estacionario

El nuevo control consigue disminuir el error en estado estacionario hasta 10mV,

manteniendo la amplitud del rizado y la frecuencia de conmutación sigue siendo de 65KHz.

Variando ligeramente las FdP de la variable de entrada error se consigue eliminar

totalmente el error en estado estacionario, pero el tiempo de establecimiento aumenta hasta los

6ms, por lo que se ha considerado que el error obtenido es aceptable.

Fig 5.18.- Respuesta del sistema en estado estacionario


191

5.6.2.4 Respuesta ante perturbaciones de la tensión de alimentación

Una perturbación del 25% en la tensión de alimentación provoca unos sobrepicos en la

tensión de alimentación de 0.1V que desaparecen muy rápidamente en 1ms. Como estos

incrementos son muy pequeños, el factor K2 no varía y es el factor K3 quien anula el efecto de

esta perturbación.



192

5.6.2.5 Respuesta del sistema ante perturbaciones de la carga

La introducción de una perturbación en la carga produce unas variaciones en la tensión

de salida que son eliminadas por el control en 1ms. En el caso de la perturbación del 50% los

picos son de 0.12V y son eliminados mediante la variación del factor K3.



193



194

5.6.2.6 Respuesta del sistema ante variaciones de la señal de referencia

En la figura se puede comprobar como la salida es capaz de seguir una variación de la

tensión de referencia entre 24 y 30V. El sistema minimiza el error muy rápidamente, aunque el

sobrepico de subida es muy elevado.

El hecho de que el sobrepico sea tan elevado hace que el error respecto al sistema de

referencia sea lo suficientemente grande como para hacer variar el factor K2, y al desaparecer

la perturbación no se produce un rebasamiento tan elevado con lo que dicho factor no varía.

Este hecho provoca que el valor del factor K2 vaya incrementándose paulatinamente,

con lo que podría sacar al sistema de la zona de funcionamiento en régimen permanente. Para

evitar la inestabilización del sistema bastará con insertar un limitador que mantenga su valor

dentro del rango permitido.

Fig 5.22.- Respuesta del sistema ante una variación de la tensión de referencia


195

5.6.3 Función de transferencia del modelo con pérdidas

Tomando la función de transferencia en lazo abierto (3.144) que al igual que en el caso

ideal es de primer orden:

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )rcDRrcRSrcRrcDRC

DrcrcRrlDRRSLrcDRCrcDCrcRR rcR

su

sU

+′⋅⋅++++′⋅⋅

′−++′−−−′+′+ +=2

)(2

2222 )2(

)(

)(

( 5.57

)

y siguiendo un razonamiento análogo a los cálculos del modelo real, se podrá utilizar el

mismo control en donde el incremento de la variable K2 correponderá a la función

( ) erefo YVVaS

a

t

K ⋅

+⋅=

∂∂

− γ2( 5.58 )

5.6.4 Simulación del control utilizando el modelo con pérdidas

5.6.4.1 Respuesta del sistema

La tensión de salida no tiene sobrepico y la estabilización del sistema es mucho más

lenta que en el caso ideal Ts=8ms.

Fig 5.23.- Respuesta del sistema controlado mediante el método del gradiente


196

5.6.4.2 Respuesta del sistema en estado estacionario

La frecuencia de conmutación en estado estacionario es de unos 68KHz. La señal se

estabiliza en una tensión de 23.99V y el rizado es de unos 50mV

Fig 5.24.- Respuesta del sistema en estado estacionario

5.6.4.3 Respuesta ante perturbaciones de la tensión de alimentación

El sobrepico producido por la perturbación es de 0.16V, valor ligeramente superior al

del modelo ideal.

La variable K3 se encarga de eliminar dicho error, que tras una pequeña oscilación se

estabiliza en 5ms


197

Fig 5.25.- Respuesta ante perturbaciones del 25% en la tensión de alimentación


198

5.6.4.4 Respuesta ante perturbaciones de la carga

En el caso más desfavorable, perturbación del 50% en la carga, se producen sobrepicos

en la salida de 0.22V, que debido a la definición del control también serán eliminados

únicamente por la variable K3. La salida vuelve a su punto de funcionamiento con una pequeña

oscilación que se estabiliza en 5ms.

Fig 5.26.- Respuesta ante una perturbación del 20% en la carga


199

Fig 5.27.- Respuesta ante perturbaciones de un 50% en la carga


200

5.6.4.5 Respuesta ante variaciones de la tensión de referencia

El control adaptativo por modelo de referencia diseñado intenta minimizar el error de la

respuesta del sistema respecto a la salida del modelo de referencia. Para conseguir la respuesta

óptima en un control adaptativo se debe aplicar una entrada persistentemente excitadora, lo

que permite ajustar el valor del factor K2 para que el sistema reaccione de forma óptima.

El hecho de variar la tensión de referencia mediante una señal cuadrada que varía entre

24 y 30V, representa la aplicación de una señal persistentemente excitadora, y se puede

comprobar como la salida del convertidor sigue cada vez mejor las variaciones de la salida del

sistema de referencia.

Al ser un sistema de fase no mínima no puede seguir perfectamente a la salida del

sistema de referencia pero los resultados obtenidos son aceptables.

Fig 5.28.- Respuesta del sistema ante variaciones de la señal de referencia


201

5.7 IMPLEMENTACIÓN DEL MÉTODO DE LYAPUNOV

5.7.1 Introducción

Un control basado en la regla de MIT no garantiza la estabilidad del sistema en lazo

cerrado. Por ello se buscará otro método de diseño que asegure la estabilidad, tal como el

método de Lyapunov.

Se utilizará el mismo sistema con modelo de referencia que en el caso del control

basado en la regla del gradiente, variando únicamente el Mecanismo de Adaptación, que

adecuará el valor de K2 utilizando el método de Lyapunov..

La principal desventaja de este método es que no es sistemático, dado que hay que

encontrar la función de Lyapunov V adecuada en cada caso.

5.7.2 Cálculo de la función de Lyapunov

Tomando como modelo de la planta

ubVadt

dVo

o ⋅+⋅−= ( 5.59 )

y el modelo de referencia será

0>⋅+⋅−= mrefmmmm

aVbVadt

dV ( 5.60 )

El control proporcional que se desea implementar, responde a la ecuación

( )oref VVKu −⋅= 2 ( 5.61 )

y definiendo el error como

mo VVe −= ( 5.62 )

Para minimizar el error, se derivará la ecuación diferencial del error, obteniendo

refmomm VbKbVaaKbeadt

de ⋅−⋅+⋅−+⋅+⋅−= )()( 22 ( 5.63 )

Introduciendo una función cuadrática del tipo:


202

0)(1

)(1

2

1),( 2

22

22

2 >

−⋅+−+⋅+= γ

γγbbKb

baaKb

beKeV mm ( 5.64 )

Esta función es cero cuando e es cero. Para que se considere una función de Lyapunov,

la derivada dV/dt debe ser negativa.

( ) ( )

( ) ( )

⋅⋅+−+

⋅⋅−−++−

=−+−++=

⋅ eVdt

dKbbKeV

dt

dKaabKea

dt

dKbbK

dt

dKaabK

dt

dee

dt

dV

refmomm

mm

γγ

γγ

γγ2

22

22

22

22

11

11

( 5.65 )

Si los parámetros son actualizados como

( )refo

o

ref

VVedt

dK

eVdt

dK

eVdt

dK

−⋅⋅−=

⋅⋅−=

⋅⋅−=γ

γ

γ2

2

2

( 5.66 )

se obtiene

2eadt

dVm ⋅−= ( 5.67 )

La derivada de V respecto al tiempo es semidefinida negativa pero no definida

negativa. Esto implica que )0()( VtV ≤ y entonces e y K2, deben ser acotadas. Esto implica

que mo VeV += también está acotado. Y ya que

( )refmommmm VbKbVaaKbeaeadt

deea

dt

Vd ⋅−⋅+⋅−+⋅−⋅−⋅⋅−=⋅⋅−= )()(22 222

2

Ya que Vref, e y Vo estan acotadas, V!! también lo estará; esto indica que dV/dt es

uniformemente continua y el error tenderá a cero.


5.7.3 Simulación del control

Manteniendo la misma estructura de bloques del control por modelo de referencia

utilizado en el control por el método del gradiente y el mismo controlador difuso, se ajustarán

los bloques Mecanismo de adaptación y Control, a las ecuaciones obtenidas por el control

mediante el método de Lyapunov.

5.7.3.1 Implementación del control

Fig 5.29.- Implementación del control

3

K3

2

K2

1

D

Sum6

Sum5

Sum4

Sum2

Saturation3

SaturationS=i-K2*error-K3

Product

z

1

Muestra ant.1

z

1

Muestra ant.

z

1

Muestra

anterior

p*p

s +2*e*ps+p*p2

Filtro1

p*p

s +2*e*ps+p*p2

Filtro

C.Sliding

A/D3

A/D2

Mux

Demux

3

AK2

2

error

1

I

203

Fig 5.30.- Implementacion del mecanismo de adaptación

1

AK2e

Vo-Vref

0.0005

Gamma

3

Vref

2

Ym

1

Vo


204

5.7.3.2 Respuesta del sistema

La respuesta del sistema llega al régimen permanente de forma suave y sin sobrepico en

unos 6ms.

Fig 5.31.- Respuesta del sistema cotrolado por el método de Lyapunov

5.7.3.3 Respuesta en régimen estacionario

La frecuencia de conmutación del transistor es de unos 70KHz, y el rizado de la señal

de salida de 67mV.

Fig 5.32.- Ampliación de la respuesta en estado estacionario


205

5.7.3.4 Respuesta ante una perturbación de la tensión de alimentación

La introducción de perturbaciones en la Vg produce picos de 0.15V en la tensión de

salida que se eliminan mediante en 6ms

Fig 5.33.- Respuesta del sistema ante una perturbación de la Vg


206

5.7.3.5 Respuesta ante una perturbación de carga

El efecto de la introducción de una perturbación de la carga de 0.12V en la del 20% y

de 0.21V en la del 50%. La salida llega al estado estacionario en unos 6ms.



207



208

5.7.3.6 Respuesta ante una variación de la tensión de referencia

La variación de la señal de referencia del sistema provoca una variación de la tensión

de salida, que intentará seguir las variaciones de la referencia.

El hecho de producir las variaciones mediante una señal cuadrada representa la

introducción al sistema adaptativo de una entrada persistentemente excitadora ya que actua

sobre todos los polos del sistema.

El control irá adecuando la salida a las variaciones de forma que cada vez se sigue a la

señal de referencia con más exactitud. Este efecto es conocido como adaptación.

No obstante, nunca se conseguirá que la respuesta del sistema sea igual a la respuesta

del sistema de referencia de primer orden, ya que el convertidor Boost es un sistema de fase no

mínima, y aunque se puede conseguir que reaccione aproximadamente como un sistema de

fase mínima, no se conseguirá un seguimiento totalmente exacto.

Fig 5.36.- Respuesta ante una variación de la tensión de referencia


209

5.8 CONCLUSIONES


tr

msts

msVm

V∆Vo

mVF

KHts

msVm

V∆V

o

mV

ts

msVm

V∆V

o

mV

ts

msVm

V∆V

o

mV

Gradi. ⇑ 1 8 23.99 50 68 6 24 45 6 24 40 6 30 70⇓ 6 23.99 68 6 23.99 60 6 24 65

Lyapu ⇑ 1 6 24 67 70 6 24 42 6 24 36 5 30 50⇓ 6 24 42 6 24 40 5 24 42

• La finalidad del control adaptativo por modelo de referencia es conseguir que la

planta que se desea controlar tenga una respuesta igual a la del sistema de

referencia escogido.

• La utilización de un algoritmo adaptativo permite ajustar en cada momento la

variación idónea para el factor proporcional, según el valor del error y el

incremento del error en ese instante.

• El algoritmo de control ha sido diseñado para que la tensión de salida elimine el

error respecto a la salida del modelo de referencia y siga las variaciones en la salida

del mismo.

• La introducción continuada de una excitación persistentemente excitadora permite

que el factor proporcional vaya ajustándose a las variaciones, mejorando

paulatinamente el seguimiento de dichas variaciones.

6. CONCLUSIONES


A lo largo del proyecto se han desarrollado diversas estrategias de control para el

convertidor Boost, en las que paulatinamente se iban subsanando las deficiencias que

presentaba cada control.

El diseño de un control en modo deslizamiento ha proporcionado robustez al sistema,

minimizando el efecto de las perturbaciones que pueden introducirse en el sistema, pero la

superficie de deslizamiento escogida ( eKixS ⋅−= 2)( ) conlleva un error en estado

estacionario.

La modificación de la superficie con una segunda constante ( 32)( KeKixS −⋅−= )

permite eliminar dicho error en estado estacionario, pero un valor constante no permite

eliminar dicho error cuando se varia el punto de funcionamiento.

La introducción de un control digital con lógica difusa, junto con la facilidad de diseño

y su gran versatilidad, permite modificar los valores de ambos factores de tal forma que estos

se irán ajustando según las necesidades en cada momento.

Dichas variaciones se habían decidido de forma empírica mediante diferentes ensayos.

Finalmente se han implementado dos algoritmos adaptativos (Gradiente y Lyapunov) que se

encargan de ajustar el valor de los factores de forma automática.

Tal y como se deseaba, se ha conseguido dotar al convertidor de una respuesta más

rápida y de una mayor robustez frente a perturbaciones, por lo que se puede considerar que se

ha logrado el objetivo del proyecto. Aunque los resultados obtenidos son muy buenos, la

idoneidad del control diseñado, la definirá las exigencias impuestas por la aplicación que se

deba alimentar.

Es importante remarcar, que a pesar que esta ha sido una introducción a la lógica difusa

con una aplicación muy concreta, la facilidad conceptual y de diseño, le dota de grandes

posibilidades en el diseño de controles

7. BIBLIOGRAFÍA


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Apuntes asignatura Ingenieria de Control ILuis MartínezIngeniería en Automática y Electrónica Industrial, 1999

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Control Adaptativo y RobustoFrancisco Rodríguez Rubio y Manuel Jesús López SánchezSecretariado de Publicaciones de la Universidad de Sevilla1996 Primera Edición

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