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ESTRUCTURAS ALGEBRAICASTEORIA DE GRUPOS

Alberto Martın Aguilar

Mayo 2012

1Orientado para alumnos de 1o Grado en Matematicas

Indice general

1. Grupos 31.1. Definicion y Propiedades elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3. Grupos Cıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4. Teorema de Lagrange. Consecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5. Grupos abelianos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2. Homomorfismos 102.1. Homomorfismo de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2. Subgrupos Normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3. Grupo Cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4. Teoremas de Isomorfıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.5. Clase de Conjugacion. Ecuacion de Clases . . . . . . . . . . . . . . . . 152.6. Grupo de los automorfismos de un grupo cıclico . . . . . . . . . . . . . 162.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3. Ejemplos y clasificacion de algunos grupos 193.1. Grupo de Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2. Grupo Diedrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3. Clasificacion de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4. Teoremas de Sylow 284.1. Producto Directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.2. Producto Semidirecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.3. Acciones sobre Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.4. Teoremas de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.5. Aplicacion del Teorema de Sylow. Apendice . . . . . . . . . . . . . . . 344.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

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Capıtulo 1

Grupos

1.1. Definicion y Propiedades elementales

Definicion 1.1.1 Sea G un conjunto, G 6= ∅ . Sea ∗ una operacion binaria. Decimosque G es un grupo repecto a la operacion ∗, y se denota por (G, ∗) si se verifican lassiguientes condiciones:

A1) ∀ x, y, z ∈ G (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z) Prop. Asociativa

A2) ∃ e ∈ G | e ∗ x = x ∗ e = x ∀x ∈ G El. neutro

A3) ∀ x ∈ G, ∃ y ∈ G | x ∗ y = y ∗ x = e El. inverso

Estos son los llamados Axiomas de Grupo.

Nota 1.1.2 Diremos que G es un grupo abeliano (conmutativo) si ∀ x, y ∈ G x ∗ y= y ∗ x . Es decir, si la operacion binaria ∗ es conmutativa.

Ejemplos

1. Gln(R) = { Matrices n x n | |A| 6= 0 } con respecto al producto forman ungrupo abeliano si n < 2.

2. (Q∗, ∗), (R, +), (C, +)

3. Cn = {z ∈ C | zn = 1}. Sabemos que C es algebraicamente cerrado, luego elnumero de elementos de Cn = n.

4. Q ={±1,±i,±j,±k} el Grupo de los Cuaternios.

5. (Z2,+)× (Z2,+) Grupo de Klein.

6. Aut(G) Grupo de los automorfismos de un grupo G.

7. Grupo de los subconjuntos de un conjunto de n elementos Bn. |B| = 2n

Teorema 1.1.3 Si G es un grupo con una operacion binaria ∗, entonces se cumplenlas leyes de cancelacion por la izquierda (derecha) en G, es decir, ∀a, b, c ∈ G si a ∗ b= a ∗ c ( b ∗ a = c ∗ a ), entonces b = c.

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Demostracion

Supongamos que a ∗ b = a ∗ c. Por el 3o axioma, ∃ a−1 ∈ G . Luego:

a−1 ∗ (a ∗ b) = a−1 ∗ (a ∗ c) Prop. Asociativa

(a−1 ∗ a) ∗ b = (a−1 ∗ a) ∗ c =⇒ b = c

De forma analoga se comprueba la ley de cancelacion por la derecha.

Teorema 1.1.4 Sea G un grupo con operacion ∗. Sean a y b elementos cualesquierade G, entonces las ecuaciones a ∗ x = b e y ∗ a = b tienen soluciones unicas.

Demostracion

Consideremos la ecuacion a ∗ x = b . Por los axiomas de grupo, podemos decir queuna solucion es x = a−1 ∗ b. Veamos que es unica. Sean x1, x2 ∈ G | a ∗ x1 = b ya ∗ x2 = b Esto implica que a ∗ x1 = a ∗ x2 y por las leyes de cancelacion, x1 = x2.

Se hace de igual forma para la otra ecuacion.

1.2. Subgrupos

Definicion 1.2.1 Sea (G, ∗) un grupo y sea H ⊆ G, H 6= ∅. Decimos que H es unsubgrupo de G, y lo denotamos por H < G si:

i) ∀ a, b ∈ H ⇒ a ∗ b ∈ H

ii) e ∈ H, donde e es el elemento neutro de G.

iii) Si h ∈ H, entonces h−1 ∈ H

Proposicion 1.2.2 Sea (G, ∗) un grupo y sea H ⊆ G,H 6= ∅ . H es un subgrupo deG si y solo si ∀x, y ∈ G⇒ x−1 ∗ y ∈ H.

Demostracion

⇒ Trivial⇐i) Sea x ∈ H. Tomando y = x ; e = x−1 ∗ x ∈ H

ii) Sea x ∈ H. Tomando y = e ; x−1 = x−1 ∗ e ∈ H

iii) Sean x, y ∈ H. Segun lo probado, x−1, y ∈ H ⇒ (x−1)−1 ∗ y = x ∗ y ∈ H

Ejemplos

1. (Q,+) < (R,+) < (C,+)

2. (Q∗, ∗) < (R∗, ∗) < (C∗, ∗)

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Definicion 1.2.3 Sea G un grupo. Se define el centro de un grupo G y se denota porZ(G) al conjunto:

Z(G) = {a ∈ G | a ∗ x = x ∗ a ∀x ∈ G}

Definicion 1.2.4 Si G es un grupo, entonces G es el subgrupo impropio de G y {e} esel subgrupo trivial de G. Todos los demas subgrupos seran llamados subgrupos propiosde G.

Ejercicio: Sea G un grupo. Comprobar que Z(G) es un subgrupo de G.

Definicion 1.2.5 Sea X un conjunto. Se define el subgrupo generado por X y sedenota por < X > a:

< X >=⋂{H < G | X ⊂ H}

< X >= {xε1i1 ....xεrir| εj = ±1 ; xij ∈ X}

Definicion 1.2.6 Se define el orden de un grupo, y se nota por |G| como el numerode elementos que contiene.

1.3. Grupos Cıclicos

Definicion 1.3.1 Sea G un grupo y sea a ∈ G, entonces H = {an | n ∈ Z} es unsubgrupo de G generado por a y se denota por H = < a >. Ademas, si G = < a >para un cierto a ∈ G, decimos que G es cıclico.

Ejemplos

1. (Z,+) es un grupo cıclico infinito.

2. (Z∗7, ∗) es un grupo cıclico generado por 5

Proposicion 1.3.2 Todo grupo cıclico es abeliano.

Demostracion

Sea G = < a >. Sean b, c ∈ G. Entonces ∃ r, s ∈ Z | b = ar y c = as. Portanto, b ∗ c = ar ∗ as = ar+s = as+r = as ∗ ar = b ∗ c ∀ b, c ∈ G.

Definicion 1.3.3 Sea G un grupo y sea a ∈ G. Decimos que a tiene orden n (finito)y se denota por ord(a) = n , n ∈ N si an = e. Si no existe tal numero, diremos queel orden de a es 0.

Teorema 1.3.4 Todo subgrupo de un grupo cıclico es cıclico

Demostracion

Sea G =< a > y sea H < G. Si H = {e}, entonces H es un subgrupo cıclico. Su-pongamos que H = {an} para algun n ∈ Z+. Sea m ∈ Z+ minimal, tal que am ∈ H.Podemos afirmar que H esta generado por c = am , esto es, H = < am >=< c > .Tenemos que demostrar que todo d ∈ H es una potencia de c. Como c ∈ H y H ≤ G,entonces c = an para algun n ∈ Z. Por el algoritmo de la division, n = mq + r para0 ≤ r < m.

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an = amq+r = (am)qar

Sabemos que an ∈ H, am ∈ H. Luego (am)−q ∈H y an ∈ H. Como H es un subgrupode G, ar = (am)−qan ∈ H. Lo cual es una contradiccion (m era minimal), r = 0 yd = an = amq = cq.

Corolario 1.3.5 Si a es un generador de un grupo cıclico G de orden n, entoncesotros generadores de G son los elementos de la forma ar , donde r y n son primosrelativos.

Proposicion 1.3.6 Sea G = < a > un grupo cıclico.

i) Todo subgrupo H de G es cıclico.

ii) Si G es de orden n > 0, entonces todo subgrupo H de G es cıclico de orden undivisor de n.

iii) Ademas, para cada m divisor de n, hay uno y solo uno subgrupo de orden m.

1.4. Teorema de Lagrange. Consecuencias

Teorema de Lagrange 1.4.1 Sea G un grupo finito de orden n, esto es |G| = n. SiH < G, entonces el orden de H es un divisor del orden de G.

Demostracion

Sea G un grupo. |G| = n. Sea G la union de conjuntos disjuntos tales que todosellos tienen el mismo numero de elementos. Para cada g ∈ G, consideramos gH ={gh | h ∈ H}. Sea la aplicacion:

ϕ : H −→ gH biyectiva.

h 7−→ gh

Entonces card(gH) = card(H) ∀g ∈ G. Por tanto

G =⋃x∈G

xH ⇒ |G| =∑x∈G|xH| = |G/H| ∗ |H|

Corolario 1.4.2 Todo grupo de orden primo es cıclico.

Demostracion

Sea G un grupo de orden p, p primo. Sea a ∈ G distinto del elemento neutro. Sea H= < a >, |H| = m . Por el Ta. de Lagrange, |H| | |G| y como p es primo y m > 2,m = p y por tanto, G es cıclico.

Definicion 1.4.3 Sea G un grupo y H < G. Se define el ındice de G sobre H y lo sedenota por [G : H], como el no de subconjuntos distintos de gH.

Observacion: Sea G un grupo. Sea a ∈ G. Ord(a) es un divisor del orden de G.

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Ejemplo de aplicacion 1.4.4 Prueba que todo grupo de orden 4 es abeliano y en-cuentra cuantos hay salvo isomorfismos , y descrıbelos.

Solucion: Sea G un grupo de orden 4. Por el Ta. de Lagrange, todo elemento deG es un divisor de 4. Descartando que G sea cıclico, encontramos que todo elementodistinto del neutro tiene orden 2. Luego G es abeliano. Sea a ∈ G, a 6= e y sea H =< a > el subgrupo generado por a. Dado que H es un subgrupo propio, existe b ∈ G talque b /∈ H. Claramente G = H ∪ Hb = {e, a, b, ab}, con ba = ab. Podemos comprobarcon ayuda de una tabla, que G es el grupo de Klein.

1.5. Grupos abelianos Finitos

Definicion 1.5.1 Sea G un grupo, |G| = n. Definimos el exponente de G, y lo deno-tamos por exp(G), como exp(G) = m.c.m {ord(a) | a ∈ G}.

Teorema 1.5.2 Sea G un grupo finito de exponente n, entonces G contiene un ele-mento ( y por lo tanto, un subgrupo cıclico) de orden n.

Demostracion

Por el Teorema de la Factorizacion, podemos expresar n = pα11 ...pαkk como producto

de potencias de primos. Para cada 1 6 i 6 k sea vi = npαi−1i . Existe ai ∈ G tal que

anii 6= e. Sea ahora bi = anpi−αi

i . Tenemos entonces que ord(bi) = pαi, y de aqui, b =b1...bk tiene orden n.

Proposicion 1.5.3 Sea F un cuerpo. Sea G < F, |G| <∞. Entonces G es cıclico.

Demostracion

Como G es finito, sea n = exp(G). Por el Teorema anterior, G contiene un sub-grupo cıclico C de orden n. Por otro lado, todo elemento de G satisface la ecuacionxn = e. De donde, |G| ≤ n = |C|. Esto implica que G = C, y por tanto, es cıclico.

Proposicion 1.5.4 Sea G un grupo finito de exponente 2. Entonces G ∼= Bn ∼= Cn2

Teorema 1.5.5 Sea A un grupo abeliano finito. Para cada primo p que divide a |A|,consideramos Sp, que denota todos los elementos de A de orden una potencia de p(incluyendo el 0), entonces cada Sp es un subgrupo de A y A es su suma directa.

Demostracion

La comprobacion de que Sp es un subgrupo de A es trivial.Sea x ∈ A, distinto del elem. neutro. Sea ord(x) = n, donde por el Ta. de Lagrange,n | |A|. Supongamos, que n lo podemos expresar de la forma n =pα1

1 ...pαkk , dondecada pi son distintos y αi ≥ 1. Escribimos, para cada i (1 ≤ i ≤ r), qi = n/pαii .Obtenemos que el maximo comun divisor de todos los qi es 1 y por la igualdad deBezout, existen k1,k2...kr ∈ Z tales que k1q1 + .... + krqr = 1 Esto nos da que x=(k1q1+....+krqr)x = k1q1x+....+krqrx. Cada qix tiene orden un divisor de pαii . Ası xpuede ser expresado como suma de elementos con ordenes divisores de pα1

1 , pα22 , ..., pαrr

respectivamente. Por tanto, x ∈< Sp1 , Sp2 , ..., Spr >≤ A. Ası < Sp :′ p | |A| >= A

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Finalmente, probaremos que A es la suma directa de los Sp. Esto se dara si paracada q| |A|, Sq∩ < Sp : p | |A| y p 6= q >=< 0 >. Pero esto es facil de comprobar yaque cualquier elemento de Sp tiene orden una potencia de q mientras que cualquierelemento de < Sp : p | |A| y p 6= q > tiene orden un primo relativo con q. Luego elunico elemento que pertenece a la interseccion de ellos es el elemento neutro.

Teorema 1.5.6 Sea Sp un grupo abeliano finito. Entonces Sp es la suma directa degrupos cıclicos (de orden potencia de un primo).

Demostracion

Sea s un elemento de orden pα maximal en Sp y sea T un subgrupo de Sp que sa-tisfaga que < s > ∩ T = < 0 >. Entonces < s, T >=< s > ⊕ T. Por tanto: i)< s > y T generan < s, T >; ii) < s > y T son normales en < s, T > ; iii) < s > ∩T = < 0 >. Si < s > ⊕ T < Sp, podemos encontrar un elemento x ∈ Sp tal quex /∈< s > ⊕T . Ya que pαx = 0, pαx ∈< s > ⊕T . Entonces existe β ∈ Z+ demodo que pβx ∈< s > ⊕T pero pβ−1x /∈< s > ⊕T . Llamamos y = pβ−1x. Ahorapy ∈< s > ⊕ T. Por consiguiente, py = ls + t (l ∈ Z, t ∈T). Entonces 0 = pαy= pα−1ls + pα−1t . Ası pα−1ls ∈< s > ⊕ T = < 0 >. Esto nos permite decir quep | l, pk = l , y por lo tanto, p(y − ks) = py − ls = t ∈ T . Sin embargo, y-ks /∈ T .Ası < T, y − ks >>T. Consecuentemente, < T, y − ks > ∩ < s > >< 0 >. Estoes, para algunos m,x ∈ Z y v ∈ T tenemos que 0 6= ms = v + n(y − ks). Comop - n, tenemos que m.c.d(n,p) = 1. Ademas, ny = ms - v + nks ∈< s > ⊕ T ypy ∈< s > ⊕T. En consecuencia serıa una contradiccion si y ∈< s > ⊕T. Por tanto,obtenemos finalmente que < s > ⊕ T = Sp. Podemos utilizar un argumento similarpara completar la demostracion del teorema.

Observaciones:

1. Si A es un grupo de orden potencia de un primo, no se puede descomponer comosuma directa de dos o mas grupos no triviales.

2. Ya que cada suma finita directa de los ciclos es un grupo abeliano finito, hemoscaracterizado los grupos abelianos finitos con la mayor precision como sumadirecta de grupos cıclicos. Con el proposito de efectuar una clasificacion de estosgrupos tenemos que explicar como distinguirlos. Esto se deduce de la cuestion:Dado un grupo abeliano A, ¿se puede descomponer como una unica suma directade grupos de orden potencia de un primo p? La respuesta inmediata es no.; A= < s > ⊕ < t >=< s > ⊕ < u >, donde < s >,< t >,< u > son cıclicos nopodemos decir que < t >=< u >. Veremos un ejemplo mas adelante.

Teorema Fundamental de los Grupos Abelianos Finitos 1.5.7 Sea A un gru-po abeliano finito. Entonces para cualquiera dos descomposiciones de A en suma di-recta de grupos cıclicos de orden un potencia de un primo, contiene el mismo numerode sumandos de cada orden.

Demostracion

Sea una descomposicion de A en una suma directa de grupos de orden potencia deun primo dada. Para cada i definimos Bi como la suma directa de todos los ciclosde orden pi en esa descomposicion. Entonces A =B1 ⊕ B2 ⊕ ... ⊕ Bs. y para cadaj∈ Z+, pjA = pjB1⊕ pjB2⊕ ...pj ⊕Bs = pjBj+1⊕ ...⊕ pjBs. (Es claro que pjA es un

subgrupo de A) . Ahora consideramos el grupo factor pjApi+1A . Este grupo es isomorfo

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a pjBj+1 ⊕ pjBj+2

pj+1Bj+2⊕ ... ⊕ pjBs

pj+1Bs, una suma directa de p-ciclos. Entonces el numero

de sumandos en la suma directa de ciclos es bj+1 + bj+2+ ... +bs donde donde bt es elnumero de sumandos cıclicos en Bt. En consecuencia, en numero total de sumandos

cıclicos en pjApj+1A es igual al numero de sumandos cıclicos en A, que tiene de orden al

menos pj+1. Ası, el numero de ciclos de cada orden pα en una descomposicion directade A en ciclos potencia de p depende solo de A.

1.6. Ejercicios

1 Sea G un grupo. Probar que el elemento neutro y los inversos son unicos.

2 Sea G un conjunto no vacıo dotado de un producto asociativo ab, a,b ∈ G. De-muestra que G es un grupo si y solo si para cualesquiera a, b ∈ G, las ecuaciones ax= b y ya= b tienen solucion y esta es unica. ¿Que podemos decir ademas si G es unconjunto finito?

3 Sea A un anillo. Prueba que el conjunto de sus elementos inversibles Gr(A), esun grupo.

4 Sea G un grupo con elemento neutro e. Si todo elemento a ∈ G verifica que a2 = e,entonces G es abeliano.

5 Prueba que si am = e, entonces ord(a) es un divisor de m.

6 Prueba que ord(bab−1) = ord(a)

7 Sea G un grupo y sean a,b ∈ G. Si ab=ba y ord(a), ord(b) son primos relativos,entonces ord(ab) = ord(a)ord(b)

8 Prueba que en la tabla de multiplicacion de un grupo finito cada elemento del grupoaparece una y una sola vez en cada fila y cada columna.

9 Sea G un grupo. Sea a ∈ G tal que ord(a) = n. Prueba que el ord(a−1)= n.

10 Muestrese que si H y K son subgrupos de un grupo abeliano G, entonces {hk |h ∈ H, k ∈ K} es un subgrupo de G.

11 Encontrar todos los subgrupos de C42.

12 Determina el retıculo de los subgrupos de C8, C4 × C2, C2 × C2 × C2, D4 y Q.

13 Sea G un grupo. Sean {Hi}i∈I con Hi < G. Probar que⋂i∈I Hi < G.

14 Encuentra un grupo G que contenga a un subconjunto S tal que S sea un subgruporespecto a una operacion diferente de G, pero no sea un subgrupo bajo la operacionen G.

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Capıtulo 2

Homomorfismos

2.1. Homomorfismo de Grupos

Definicion 2.1.1 Sean (G,�) y (G’,∗) dos grupos. Decimos que la aplicacionϕ : G −→ G′ es un homomorfismo si se cumple que :

ϕ(x � y) = ϕ(x) ∗ ϕ(y) ∀x, y ∈ G.

Para abreviar notacion, escribiremos la operacion respecto de ambos grupos poryuxtaposicion.

Ejercicio: Demostrar que:

1. ϕ(e) = e′

2. ϕ(x−1) = ϕ(x)−1

Donde e y e’ denotan los elem. neutros de G y G’ respectivamente.

Proposicion 2.1.2 Sea ϕ : G −→ G′ un homomorfismo de grupos. Entonces :

1. Im(ϕ) = {ϕ(x) | x ∈ G} < G′

2. Ker (ϕ) = {x ∈ G | ϕ(x) = e′} < G

Demostracion

1) Veamos que si ϕ(x), ϕ(y) ∈ G′ ⇒ ϕ(xy−1) ∈ Im(ϕ) .

ϕ(x)ϕ(y)−1 = ϕ(x)ϕ(y−1) = ϕ(xy−1) ∈ Im(ϕ)

Luego Im(ϕ) < G

2) Veamos que si x,y ∈ Ker(ϕ) ⇒ x−1y ∈ Ker(ϕ), es decir, ϕ(x−1y) = e′. Seanx,y ∈ Ker(ϕ)⇒ ϕ(x) = e′ ; ϕ(y) = e′.

ϕ(x−1y) = ϕ(x−1)ϕ(y) = ϕ(x)−1ϕ(y) = e−1e = e′.

Luego Ker(ϕ) < G′.

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Definicion 2.1.3 Sea ϕ : G −→ G′ un homomorfismo de grupos. Entonces:

1. Si ϕ es inyectiva, se dira que ϕ es un monomorfismo.

2. Si ϕ es sobreyectiva, se dira que ϕ es un epimorfismo.

3. Si ϕ es biyectiva, se dira que ϕ es un isomorfismo y que G y G’ son isomorfos.

4. Si G = G’, se dira que ϕ es un endomorfismo.

5. Si ϕ : G −→ G es biyectiva, se dira que es un automorfismo.

Ejemplos:

Sean G y G’ dos grupos.

1. ϕ : G −→ G′

x 7−→ e

Este homomorfismo es el conocido como el homomorfismo trivial.

2. ϕ : G −→ G

x 7−→ x

Conocido como el automorfismo identidad.

Ejercicio: Sea G un grupo. Comprobar que para cada b ∈ G, la aplicacion:

θb : G −→ G

x 7−→ bxb−1

es un automorfismo de grupos. Tambien llamado el automorfismo interno de G.

2.2. Subgrupos Normales

Definicion 2.2.1 Sea G un grupo y sea N < G. Diremos que N es un subgruponormal de G y lo notaremos por N / G si :

∀g ∈ G,∀x ∈ N ⇒ gxg−1 ∈ N

Proposicion 2.2.2 Si ϕ : G −→ G′ es un homomorfismo, entonces Ker(ϕ) / G.

Demostracion

Por la Proposicion 2.1.2, sabemos que Ker(ϕ) <G. Supongamos ahora que n ∈Ker(ϕ) y sea g ∈ G. Entonces ϕ(g−1ng) = ϕ(g−1)ϕ(n)ϕ(g) = ϕ(g−1)e′ϕ(g) = e′.Por tanto, para cada g ∈ G, tenemos que g−1Ker(ϕ)g ⊆ Ker(ϕ).

Ejemplos: Sea G un grupo.

1. Si G es abeliano, entonces todos sus subgrupos son normales.

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2. Sea H< G tal que [G : H] = 2. Dado g /∈ H ⇒ G = H ∪ Hg = H ∪ gH conHg ∩H = 0 ( H ∩ gH = 0), entonces H / G.

Definicion 2.2.3 Sea G un grupo y sean N / G y H <G. Se define el menor conjuntode G que contiene a N y H como al conjunto:

N∨H = NH = {xy | ∀x ∈ N, ∀y ∈ H}

Lema 2.2.4 Sea G un grupo y sean N / G y H <G. Entonces H ∨N < G.

Demostracion

Sean x1, x2 ∈ H, y1, y2 ∈ H. Veamos que (x1y1)(x2y2)−1 ∈ NH.x1y1(x2y2)−1 = x1y1y

−12 x−1

2 = x1yx−12 (y−1y) = x1(yx−1

2 y−1)y = (x1x)y ∈ NHdonde y = y1y

−12 ∈ H.

Definicion 2.2.5 Un grupo es simple si no tiene subgrupos normales propios notriviales.

2.3. Grupo Cociente

Definicion 2.3.1 Sea G un grupo y sean x, y ∈ G. Definimos la relacion de equiva-lencia:

x ∼ y ⇔ xH = yH(⇔ x−1y ∈ H).

Para algun x ∈ G, definimos x = xH = {xh | h ∈ H}

Ejercicio: Comprobar que la relacion es de equivalencia.

Definicion 2.3.2 Sea G un grupo y sea N / G. Consideremos el conjunto G/N ={gN : g | G}. Sea la operacion:

Ψ : G/N ×G/N −→ G/N(g1N, g2N) 7−→ (g1g2)N

Veamos si con esta operacion, podemos dotar al conjunto G/N de estructura de grupo.En primer lugar, veamos que la operacion esta bien definida y comprobemos despuespor la Proposicion 1.2.2 que es un grupo.

Sean x1, x2, y1, y2 ∈ G : x1N = x2N e y1N = y2N . Entonces x2 ∈ x1N ey2 ∈ y1N ⇒ ∃ z1, z2 ∈ N tales que x2 = x1z1 e y2 = y1z2. Por tanto, x2y2N =x1z1y1z2N = x1y1z1z2N = xyN . La comprobacion ahora de que posee estructura degrupo serıa trivial.

Ademas sabemos que ord(G/N) = [G : N] =ord(G)

ord(N)

Ejercicio:

Sea G un grupo y N / G. Sea la aplicacion:

π : G −→ G/Ng 7−→ gN

Comprobar que π es un homorfismo con Ker(π) = N.

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2.4. Teoremas de Isomorfıa

1o Teorema de Isomorfıa 2.4.1 Sean G y G’ dos grupos y sea ϕ : G −→ G′ unhomomorfismo. Entonces:

G/Ker(ϕ) ∼= Im(ϕ)

Demostracion

Definimos la aplicacion: Para simplicar la notacion, K = Ker(ϕ)

ϕ : G/Ker(ϕ) −→ Im(ϕ)aK(ϕ) 7−→ ϕ(a)

1. Veamos que es un homomorfismo:

ϕ((aK)(bK)) = ϕ((ab)K) = ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) = ϕ(aK)ϕ(bK)

2. Claramente, ϕ es sobreyectiva.

3. Veamos que es inyectiva ⇐⇒ Ker(ϕ) = {eK}

Sea e’ = ϕ(aK) = ϕ(a)⇒ a ∈ K ⇒ e−1a ∈ K ⇐⇒ aK = eK = K

2o Teorema de Isomorfıa 2.4.2 Sea G un grupo. Sea N / G, H < G. Entonces:

1. N / NH

2. H ∩N /H

3. NHN∼= H

H∩N

Demostracion

1. Por la definicion de NH, sabemos que N⊆ NH. Sea h ∈ H,n ∈ N, y g ∈ G.Entonces ghng−1 = (ghg−1)(gng−1) ∈ HN , luego N / NH.

2. Consideremos la aplicacion:

ϑ : H −→ NH/Nh 7−→ hN

Veamos que es un homomorfismo con Ker(ϑ) = H ∩N

ϑ(gh) = ghN = (gN)(hN) = ϑ(g)ϑ(h) ∀g, h ∈ H

Finalmente , obtenemos que Ker(ϑ) = {h ∈ H | hN = N} = N ∩ H. Portanto, por el 1o Teorema de Isomorfıa, se tiene que:

NH

N∼=

H

Ker(ϑ)=⇒ NH

N∼=

H

H ∩N

12

3o Teorema de Isomorfıa 2.4.3 Sea G un grupo, N / G, K / G tales que N ⊆ K.Entonces:

1. K/N / G/N

2.G/K

N/K∼=G

N

Demostracion

Sea la aplicacion:

φ : G −→ G/K

N/K

a 7−→ aK(N/K)

φ(ab) = [(ab)K](N/K) = [(aK)(bK)](N/K) = [(aK)(N/K)][(bK)((N/K)] = φ(a)φ(b)

Por tanto, φ es un homomorfismo. El Ker(φ) = {x ∈ G | φ(x) = N/K}. Peroeste conjunto, es exactamente N, por tanto, por el 1o Teorema de Isomorfıa:

G/K

N/K∼=G

N

Notacion:

1. [Ker(ϕ);G] = {H ≤ G | Ker(ϕ) ⊂ H}

2. [{e′}, Im(ϕ)] = {T ≤ G′ | T ⊂ Im(ϕ)}

Teorema de la Correspondencia: 2.4.4 Sean G y G’ dos grupos y la aplicacionϕ : G −→ G′ un homomorfismo de grupos. Definimos:

1. ϕ∗(H) = {ϕ(h) | h ∈ H} H ∈ [Ker(ϕ), G]

2. ϕ∗(T ) = {x ∈ G | ϕ(x) ∈ T} T ∈ [{e′}, Im(ϕ)]

[Ker(ϕ), G]ϕ∗−→ [{e′}, Im(ϕ)]

ϕ∗

−→ [Ker(ϕ), G]

Entonces:

1. ϕ∗(ϕ∗(H)) = H ∀ H∈ [Ker(ϕ), G]

2. ϕ∗(ϕ∗(T )) = T ∀ T ∈ [{e′}, Im(ϕ)]

Demostracion

Por la definicion, sabemos que dichas aplicaciones estan bien definidas. Vemos lasigualdades por una doble contencion:

1.⊇Sea h ∈ H ⇒ ϕ(h) ∈ ϕ∗(H)⇐⇒ h ∈ ϕ∗(ϕ∗(H))

⊆Sea x ∈ ϕ∗(ϕ∗(H)) ⇐⇒ ϕ(x) ∈ ϕ∗(H) ⇐⇒ ∃h ∈ H tal que ϕ(x) = ϕ(h) ⇐⇒ϕ(x)ϕ(h)−1 = e′ ϕ(xh−1) = e′ ⇐⇒ xh−1 ∈ Ker(ϕ) ⊂ H ⇒ xh−1 = h′ ∈ Hx = hh′ ∈ H

13

2.⊇Sea y ∈ ϕ∗(ϕ∗(T ))⇒ ϕ(x) = y donde x ∈ ϕ∗(T )⇐⇒ ϕ(x) ∈ T ⇒ y ∈ T .

⊆Ya que T ⊂ Im(ϕ), dado y ∈ T , y ∈ Im(ϕ), y = ϕ(x), para algun x ∈ G.

T 3 y = ϕ(x)⇒ x ∈ ϕ∗(T )⇒ y = ϕ(x) ∈ ϕ∗(ϕ∗(T )).

Corolario 2.4.5 Sea G un grupo y N / G. Consideramos la aplicacion:

π : G −→ G/Na 7−→ aN

es un epimorfismo de grupos con Ker(π) = N . Entonces los subgrupos del grupocociente, son de la forma H/N, donde H ≤ G, N ⊆ H.

[N,G] −→π∗π∗ [{π(e)}, G/N ]

2.5. Clase de Conjugacion. Ecuacion de Clases

Definicion 2.5.1 Sea G un grupo finito. Definimos la relacion:

x ∼ y ⇔ ∃ a ∈ G tal que y=axa−1

Dejamos como ejercicio la comprobacion de que la relacion es de equivalencia, tambienconocida como la relacion de conjugacion. Dado x ∈ G, denotamos por Cx a la clase deconjugacion de x, esto es, Cx = {axa−1 | a ∈ G}. Como es relacion de equivalencia,forman una particion en G tal que:

Para algunos Cx, Cy ⇒{Cx = Cy ⇔ y = axa−1 para un cierto a ∈ G.Cx ∩ Cy = ∅

G =

n⋃j=1

Cxj Cxj ∩ Cxk = ∅ ∀j 6= k

Ecuacion de clases

|G| =n∑j=1

card(Cxk) =

n∑j=1

|Cxj |+n∑

k=r+1

|Cxk |. Sabemos que x ∈ Cx.Ademas, Cx = {x} ⇔

x ∈ Z(G). Por tanto : |G| = |Z(G)|+n∑

k=r+1

|Cxk |

Definicion 2.5.2 Fijamos x ∈ G. Definimos el normalizador de x, y lo denotamospor N(x), al conjunto:

N(x) = {a ∈ G | axa−1 = x}

Ejercicio: Comprobar que N(x) < G

14

Lema 2.5.3 Sea G un grupo. Dado a ∈ G. Entonces |Cx| = [G : N(x)] =|G||N(x)|

Demostracion

Hay que demostrar que Cx y {aN(x) | a ∈ G} son equipotentes. Sea la aplicacion:

ϕ : {aN(x) | a ∈ G} −→ CxaN 7−→ axa−1

Para cualquier x, y ∈ G, podemos ver que x−1Hx = y−1Hy ⇔ yx−1 = H ⇔ xy−1 ∈N(x)⇔ N(x)x = N(x)y.

Corolario 2.5.4 Sea G un grupo de orden pn donde p es primo y n >1, entoncesp | |Z(G)|.

Demostracion

Si |G| = p (n=1) ⇒ G es cıclico ⇒ G es abeliano ⇒ Z(G) = G.

En general,por la ecuacion de clases,|(Cxk)| = [G,N(x)] = |G||N(x)| = pn

psk =⇒ p | |G||N(x)|

Corolario 2.5.5 Todo grupo de orden p2 es abeliano (p primo).

Demostracion

Por el corolario anterior, Z(G) no es trivial.

|Z(G)| ={pp2 ⇔ Z(G) = G⇒ G es abeliano.

Sea pues |Z(G)| = p⇒ Z(G)/G =⇒ G/Z(G) el grupo cociente. | GZ(G) = [G : Z(G)] =

|G||Z(G)| = p, que implica que G/Z(G) es un grupo cıclico.

∃ a ∈ G | G/Z(G) = { Z(G), aZ(G),...., ap−1Z(G)} cuya union es disjunta. Entonces:G = Z(G) ∪ aZ(G)... ∪ ap−1Z(G). Para algunos i j, y para t, r ∈ Z(G), tenemos quex = air, y = ajt. Pero entonces, xy = airajt = aiajrt = ajaitr = ajtair = yx ypor tanto, G es abeliano, es decir, Z(G) = G. Pero |Z(G)| = |G| > p, lo que es unacontradiccion.

2.6. Grupo de los automorfismos de un grupo cıclico

Proposicion 2.6.1 Sea G = < a > un grupo cıclico de orden n. Sea ϕ ∈ Aut(G).¿Cuales son las posibles imagenes de a mediante ϕ? ϕ(a) = ak ¿Cuales son los posiblesvalores de k? G = < a > ⇒ ord(a) = n = ord(ϕ(a)) |G| = n m.c.d(k,n) = 1

Ejemplos:

1. Aut(C5) C5 =< a > ord(a) = 5. Como 5 es primo, los primos relativoscon 5 son 1,2,3,4, es decir, |Aut(C5)| = 4

Sea G = Aut(C5). Las posibilidades para G son C4 o C2 × C2. Sea la apli-cacion:

15

ϕ : C5 −→ C5

a 7−→ a2

Entonces Aut(C5) ∼= C4

2. Aut(C7) C7 =< a > ord(a) = 7. Como 7 es primo, los primos relativoscon 5 son 1,2,3,4,5,6, es decir, |Aut(C7)| = 6

Sea G = Aut(C7). Las posibilidades para G son C6 o D3. Sea la aplicacion:

ϕ : C7 −→ C7

a 7−→ a3


3. Aut(C6) C6 =< a > ord(a) = 6. Los primos relativos con 6 son 1,5, esdecir, |Aut(C6)| = 2

Sea G = Aut(C6). Sea la aplicacion:

ϕ : C6 −→ C6

a 7−→ a5


4. Aut(C12) C12 =< a > ord(a) = 12. Los primos relativos con 12 son1,5,7,11 es decir, |Aut(C12)| = 4

Sea G = Aut(C12). Las posibilidades para G son C4 o C2 × C2. Sea la apli-cacion:

ϕ : C12 −→ C12

a 7−→ a5

Entonces Aut(C12) ∼= C2 × C2

Proposicion 2.6.2 Sea (A, +, ∗) un anillo. Sea Gr(A) el grupo de los elem. inver-sibles de A. Sea (A,+) un grupo aditivo de A. Consideremos la aplicacion:

θ : Gr(A) −→ Aut(A,+)a 7−→ θa

donde θa = ax (x ∈ A). Entonces θ es un monomorfismo de grupos.

Demostracion

θ(a+ b) = θa+b = (a+ b)x = ax+ bx = θa + θb = θ(a) + θ(b).

Sea a ∈ Ker(θ) ⇒ θ(a) = 0 ⇒ ax = 0 ⇔ a = 0 Luego es inyectiva, y θ es unmonomorfismo de grupos.

16

Proposicion 2.6.3 ¿Cuando podemos afirmar que τ : Gr(A) −→ Aut(A,+) es unisomorfismo de anillos?

Solucion

Supongamos que el anillo (A,+, ∗), el grupo aditivo (A,+) es cıclico finito y queesta generado por 1 (unidad de A). (A,+) ∼= (Zn,+)Sea f ∈ Aut(A,+). f queda determinado por la imagen de 1. f(1) = k1, donde k esprimo relativo con n, mcd(k,n) = 1. Luego Aut(A,+) ∼= Gr(A)

Repasando los ejemplos anteriores:

1. Aut(Z5,+) ∼= Gr(Z5, x, ∗) ∼= C4

2. Aut(Z6,+) ∼= Gr(Z6, x, ∗) ∼= C2

3. Aut(Z6,+) ∼= Gr(Z7, x, ∗) ∼= C6

4. Aut(Z12,+) ∼= Gr(Z12, x, ∗) ∼= C2 × C2

En general, Aut(Zp,+) donde p es primo, Zp ∼= Cp−1

2.7. Ejercicios

1 Sea ϕ : G −→ G un automorfismo. Comprobar que cada a ∈ G, ord(a) = n si ysolo si ord(ϕ(a)) = n

2 Sea G un grupo. Probar que si H es un subgrupo de G y si G no tiene otrossubgrupos isomorfos a H, entonces H es un subgrupo normal de G.

3 Sea ϕ un homomorfismo de grupos. Demostrar que ϕ(e) = e′ y ϕ(x−1) = ϕ(x)−1.

4 Sea G un grupo y sea N/ G. Sea la aplicacion:

π : G −→ G/Ng 7−→ gN

Comprobar que π es un homomorfismo con Ker(π) = N .

5 Sea G un grupo y sea x ∈ G. Probar que N(x) < G.

6 Sean p1, p2, p3 tres numeros primos distintos. Consideremos la aplicacion:

f : Z −→ Zp1 × Zp2 × Zp1x 7−→ (x, x, x)

Demostrar que f es un homomorfismo de grupos sobreyectivo. ¿Cual es el nucleo def?

17

Capıtulo 3

Ejemplos y clasificacion dealgunos grupos

3.1. Grupo de Permutaciones

Definicion 3.1.1 Una permutacion de un conjunto A es un aplicacion biyectiva deA en A.

Proposicion 3.1.2 Sea X un conjunto y sea B(X)={Aplicaciones biyectivas de X }.Entonces (B(X),◦) tiene estructura de grupo.

Demostracion

1. Asociativa: Trivial, ya que la composicion de aplicaciones es asociativa.

2. Elemento neutro: La aplicacion identidad.

3. Elemento inverso: Como la aplicacion es biyectiva, sabemos que existe inversa.Si a ∈ B(X)⇒ ∃ a−1 ∈ B(X) tal que aa−1 = a−1a = e

Cuando X es un conjunto finito, X {1, 2....n}. Normalmente llamaremos al conjuntoB(X) = Sn y ademas sabemos que |Sn| = n!

Notacion Sea Sn el grupo de las aplicaciones biyectivas de un conjunto X de nelementos, y sea σ ∈ Sn. Una permutacion la vamos a denotar:

σ =

(1 2 3 .... nσ1 σ2 σ3 ..... σn

)donde σk = σ(k)

Ejemplo:

Sea A ={1, 2, 3, 4, 5} y las permutaciones:

σ =

(1 2 3 4 54 2 5 3 1

)ρ =

(1 2 3 4 53 4 5 2 1

)

18

Entonces:

ρσ =

(1 2 3 4 52 4 1 5 3

)Tambien podemos denotar las permutaciones con notacion ciclica ρσ = (1, 2, 5, 3) ydecir que tiene ciclo de longitud 4. En general, la permutacion τ = (x1, x2, ...., xn) esun ciclo de longitud n. Esto nos conduce a la siguiente definicion.

Definicion 3.1.3 Una permutacion τ de un conjunto A es un ciclo de longitud n siexisten a1, a2, ...an ∈ A tales que

τ(a1) = a2 τ(a2) = a3 .... τ(an−1) = an τ(an) = a1

y τ(x) = x para cada x ∈ A tal que x /∈ {a1, a2, ...an}

Definicion 3.1.4 Un ciclo de longitud 2 es una transposicion.

Teorema de Cayley-Hamilton 3.1.5 Todo grupo finito G de orden n es isomorfoa un subgrupo de Sn.

Demostracion

Sea G = {x1, x2, ..., xn} y consideremos las aplicaciones:

ϑ : G −→ Biyec(G) ψa : G −→ Ga 7−→ ψa b 7−→ ab

1. Veamos que es inyectiva

ψa(b) = ψa(c)⇒ ab = ac⇒ b = c

2. Veamos que es sobreyectiva

Sea b ∈ G ¿ ⇒ ∃x ∈ G | ψa(x) = b ? =⇒ x = a−1b.

Por tanto es biyectiva

3. ¿ ψab(x) = ψa ◦ ψb(x) ?

ψab = abx= a(bx) = ψa(bx) = ψa(x) ◦ ψb(x)

4. Veamos que ϑ es inyectiva

Sea a ∈ Ker(ϑ) ⇔ ψa = e ⇔ ∀b ∈ G,ψa(b) = b ⇔ ab = b ⇔ abb−1 =bb−1 ⇔ a = e ∀b ∈ G

Definicion 3.1.6 Sea X ={1, 2, ...n} un conjunto y sea σ ∈ Sn (Sn es el grupo depermutaciones de X). Dado x ∈ G, se define la orbita de x como el conjunto:

σ(x) = {x, σ(x), σ2(x), ..., σk(x)}

Ejemplo: Sea X ={1, 2, 3, 4, 5} y sea la permutacion:

µ =

(1 2 3 4 55 4 1 2 3

)µ(1) = {1, 5, 3} ; µ(4) = {2, 4}

19

Teorema 3.1.7 Toda permutacion σ de Sn se puede expresar como composicion (pro-ducto) de permutaciones cıclicas disjuntas.

Demostracion

Supongamos, sin perdida de generalidad, que A= {1, 2, 3, ..., n}. Consideremos loselementos 1, σ(1), σ2(1), σ3(1), ... Como A es finito. sea r el mınimo que cumpleσr(1) = 1, porque si σr(1) = σs(1) con 0 < s < r, tendrıamos que σr−s(1) = 1, conr− s < r, que serıa una contradiccion. Por tanto, sea τ1 = (1, σ(1), σ2(1), ...σr−1(1)).Sea i el primer elemento de A que no aparece en la notacion cıclica de τ1. Repitiendoel argumento anterior, obtenemos un ciclo τ2 = (i, σ(i), σ2(i), ..., σf (1)).Obtenemos que τ1 y τ2 son disjuntos, ya que si tuvieran algun elemento en comunserıan la misma permutacion. Siguiendo este procedimiento, podemos expresar σ comoσ = τ1τ2...τm.

Corolario 3.1.8 El conjunto de las permutaciones cıclicas es un conjunto generadorde Sn

Teorema 3.1.9 Toda permutacion cıclica se puede expresar como una composicionde transposiciones.

Ejemplos:

1. Sea τ ∈ S6

τ =

(1 2 3 4 5 66 4 1 5 2 3

)Entonces τ = (1, 6, 3)(2, 4, 5) = (1, 6)(6, 3)(2, 4)(4, 5)

2. Sea ρ ∈ S9

τ =

(1 2 3 4 5 6 7 8 93 7 5 9 1 6 2 4 8

)Entonces ρ = (1, 3, 5)(2, 7)(4, 9, 8) = (1, 3)(3, 5)(2, 7)(4, 9)(9, 8)

Definicion 3.1.10 Una permutacion de un conjunto finito es par o impar de acuerdocon que pueda expresarse como el producto de un numero para de transposiciones ocomo producto de un numero impar de transposiciones respectivamente.

Definicion 3.1.11 El subgrupo de Sn que consta de las permutaciones pares de nelementos es el grupo alternante An de n elementos.

3.2. Grupo Diedrico

Definicion 3.2.1 Si n > 2, el grupo diedrico Dn es un grupo de orden 2n presentadode la siguiente forma: Dn = {1, a, a2, ..., an−1, b, ba, ..., ban−1}, |a| = n, |b| = 2 yademas, aba = b. De esta manera, quedan determinados todos los elementos de Dn.Esta ultima ecuacion implica que akbak = b ∀k ∈ Z, y por tanto, akb = ba−k = ban−k

y |bak| = 2 ∀k ∈ Z. En particular, ab=ban−1.

20

Ejemplos:

1. El grupo D3 es isomorfo a S3

2. El grupo D2 es isomorfo al Grupo de Klein, ya que es abeliano ( ba = a−1b = ab,ya que |a| = 2)

Proposicion 3.2.2 Sea G un grupo de orden 2p, donde p es primo, p > 2. EntoncesG ∼= C2p o G ∼= Dp.

Demostracion

Por el Ta de Lagrage, para algun x ∈G, ord(x) = 1,2,p o 2p.

1. Si ∀x ∈ G x2 = e⇒ G ∼= Cn2 ⇒ |G| = 2n 6= 2p. Serıa una contradiccion.

2. Si ∃ a ∈ G | ord(a) = 2p⇒ G ∼= C2p

3. Si ∃ a ∈ G | ord(a) = p. Sea H = < a >= {e, a, a2, ...ap−1}[G : H] = |G|

|H| = 2⇒ ∃b ∈ G \H | G = H ∪Hb =⇒ Hb2 = H

⇒ b2 ∈ H{

1)b2 = e2)b2 = ak k = 1, ..., p− 1⇒ G es ciclico⇔ ord(a) = 2p

Sup. que ord(b) 6= 2p, entonces ord(b) = p ⇒ p = 2r+1e = bp = b2r+1 = b2rb = (b2)rb = akrb ⇒ b = a−kr ∈ H Contradiccion. Portanto, ord(b) = 2p. Falta por determinar ba = ?

Si ba =

{ab −→ G ∼= C2p

ap−1b −→ G ∼= Dp

Sup. por el contrario que ba =akb k > 1 k < p− 1⇒ mcd(k, p) = 1Por la igualdad de Bezout, 1 = kr + sp r, s ∈ Z. ba = akb⇒ a = bakb =⇒ ar =bakrb = bab =⇒ ak = ar =⇒ ak

2

= ark = a =⇒ ak2−1 =⇒ p | (k2 − 1) =⇒

p | ((k + 1)(k − 1))⇒ p | (k + 1) o p | (k − 1).Pero k+1 < p y p es primo y k − 1 6= 0. Luego es una contradiccion si ba =akb k > 1 k < p− 1.

3.3. Clasificacion de grupos

En este apartado clasificaremos grupos segun su orden,y veremos que no hay massalvo isomorfismo.

Proposicion 3.3.1 Los unicos grupos de orden 6 salvo isomorfismo son C6 y D3.

Demostracion

Sea G un grupo tal que |G| = 6. Por el Ta de Lagrange, los posibles ordenes desus elementos son 1,2,3 y 6.

1. ∃ a ∈ G | ord(a) = 6⇒ G ∼= C6

2. @ a ∈ G | ord(a) = 6

21

a) @ a ∈ G | ord(a) = 3 ∀x ∈ G x2 = e =⇒ |G| = 2n 6= 6 Contradiccion

b) ∃ a ∈ G | ord(a) = 3Sea H = < a >= {e, a, a2} Como [G : H]= 2 ⇒ ∃ b ∈ G\H | G = H ∪Hbcon H∩Hb = ∅ =⇒ G =< a, b > Para completar la tabla de multiplicacionde G, necesitamos saber cuanto es b2 =?? , ba =??.

1) Si Hb2 = Hb ⇒ b2 = xb ⇒ x = b ∈ H Contradiccion. Luego Hb2 =H ⇒ b2 ∈ H = {e, a, a2}.

b2 =

b2 = eb2 = ab2 = a2

⇒ Si b2 = ak k = 1, 2⇒ G ∼= C6

Sup que ord(b) 6= 6 −→ ord(b) = 3 e = b3 = b2b = akb =⇒ b =(ak)−1 ∈ H Contradiccion. Por tanto, b2 = e

2) Falta por determinar ba = ??

ba =

{ab =⇒ G ∼= C2 x C3

∼= C6

a2b =⇒ G ∼= D3

Proposicion 3.3.2 Los unicos grupos de orden 8 salvo isomorfismo son C8 , D4,C4 × C2, C2 × C2 × C2 y Q.

Demostracion


1. ∃ a ∈ G | ord(a) = 8⇒ G ∼= C8

2. @ a ∈ G | ord(a) = 8

a) @ a ∈ G | ord(a) = 4 ∀x ∈ G x2 = e =⇒ G ∼= C2 × C2 × C2

b) ∃ a ∈ G | ord(a) = 4

Sea H = < a >= {e, a, a2, a3} Como [G : H]= 2 ⇒ ∃ b ∈ G \ H |G = H ∪Hb con H ∩Hb = ∅ =⇒ G =< a, b > Para completar la tabla demultiplicacion de G, necesitamos saber cuanto es b2 =?? , ba =??.

1) Si Hb2 = Hb ⇒ b2 = xb ⇒ x = b ∈ H Contradiccion. Luego Hb2 =H ⇒ b2 ∈ H = {e, a, a2, a3}

b2 =

b2 = eb2 = a o b2 = a3

b2 = a2

a′ Sup. que b2 = a ; ord(a)=4 ; ord(b)=2.Falta por determinar ba =??

ba =

ab =⇒ G es abeliano =⇒ G ∼= C4 × C2

a3b =⇒ G ∼= D4

a2b =⇒

Si ba = a2b⇒ a = ba2b ; a2 = ba4b = b2 = 3⇒ a2 = e Contrad.

22

b′ Sup. que b2 = a o b2 = a3 ⇒ ord(b) = 8⇓

b4 = a2 = e⇒ ord(b) > 4⇒ ord(b) = 8

En ambos casos, G ∼= C8.

c′ Sup. b2 = a2

ba =

ab⇒ G es abeliano⇒ G ∼= C4 x C2

a3b⇒ ba = b3 ⇒ a = b2 = a2 Contrad.a2b =⇒ G ∼= Q


Demostracion


1. ∃ a ∈ G | ord(a) = 10⇒ G ∼= C10

2. @ a ∈ G | ord(a) = 10

a) ∃ a ∈ G | ord(a) = 2 ∀x ∈ G x2 = e =⇒ |G| = 2n 6= 10 Contradiccion

b) ∃ a ∈ G | ord(a) = 5Sea H = < a >= {e, a, a2, a3, a4} Como [G : H]= 2 ⇒ ∃ b ∈ G \H | G =H∪Hb con H∩Hb = ∅ =⇒ G =< a, b >= {e, a, a2, a3, a4, b, ab, a2b, a3b, a4b}Para completar la tabla de multiplicacion de G, necesitamos saber cuantoes b2 =?? , ba =??.

1) Si Hb2 = Hb ⇒ b2 = xb ⇒ x = b ∈ H Contrad. Luego Hb2 = H ⇒b2 ∈ H = {e, a, a2, a3, a4}

b2 =

b2 = eb2 = ab2 = a2

b2 = a3

b2 = a4

⇒ Si b2 = ak k = 1, 2, 3, 4

Sup que ord(b) 6= 10 −→ ord(b) = 5 e = b5 = b4b = a2kb =⇒b = (a2k)−1 ∈ H Contradiccion. Por tanto, b2 = e


ba =

ab =⇒ G ∼= C2 x C5

∼= C10

a4b =⇒ G ∼= D5

a2b =⇒ V eamos que lleva a una contrad.a3b =⇒ V eamos que lleva a una contrad.

Sup. ba=a2b ⇒ a = ba2b ⇒ a3 = (ba2b)3 = ba6b = bab = b(ba2b)b =a2 =⇒ a = e Contradiccion.De la misma forma obtenemos que ba = a3b es una contradiccion.

23


Demostracion


1. ∃ a ∈ G | ord(a) = 14⇒ G ∼= C14

2. @ a ∈ G | ord(a) = 14

a) ∃ a ∈ G | ord(a) = 2 ∀x ∈ G x2 = e =⇒ |G| = 2n 6= 14 Contradiccion

b) ∃ a ∈ G | ord(a) = 7Sea H = < a >= {e, a, a2, a3, a4, a5, a6}. Como [G : H]= 2⇒ ∃ b ∈ G\H |G = H ∪Hb con H ∩Hb = ∅ =⇒ G =< a, b >={e, a, a2, a3, a4, a5, a6, b, ab, a2b, a3b, a4b, a5b, a6b}. Para completar la tablade multiplicacion de G, necesitamos saber cuanto es b2 =?? , ba =??.

1) Si Hb2 = Hb ⇒ b2 = xb ⇒ x = b ∈ H Contrad. Luego Hb2 = H ⇒b2 ∈ H = {e, a, a2, a3, a4}

b2 =

b2 = eb2 = ab2 = a2

b2 = a3

b2 = a4

b2 = a5

b2 = a6

⇒ Si b2 = ak k = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Sup que ord(b) 6= 14 −→ ord(b) = 7 e = b7 = b6b = a3kb =⇒b = (a3k)−1 ∈ H Contradiccion. Por tanto, b2 = e.


ba =

ab =⇒ G ∼= C2 x C7∼= C14

a6b =⇒ G ∼= D7

a2b =⇒ V eamos que lleva a una contrad.a3b =⇒ V eamos que lleva a una contrad.a4b =⇒ V eamos que lleva a una contrad.a5b =⇒ V eamos que lleva a una contrad.

Sup. ba=a4b ⇒ a = ba4b ⇒ a2 = (ba4b)2 = ba8b = bab = b(ba4b)b =a2 =⇒ a = e Contradiccion.Por un procedimiento analogo se demuestra que los otros llevan a unacontradiccion.

Ejercicio: Determinar los grupos abelianos cuyos ordenes sean un producto de po-tencias de exponentes de numeros primos.

Solucion

24

Usaremos notacion aditiva. Sea G un grupo, |G| = 24 = 23 ∗ 3 Sea a = 8 y b =3 m.c.d(8,3) = 1. Entonces Z = 8Z+ 3Z En particular, 1 = 8x + 3y = 8(2) + 3(-5)

Seaa ∈ G{G es abeliano|G| = 24

a = (8 ∗ 2) + (3 ∗ 5)(−1)a = a1 + a2

Entonces 3a1 = 0 (Ta de Lagrange). De la misma forma, 8a2 = 0. Entonces ord(a2)divide a 8

Sean G(2) = {a ∈ G | 23a = 0}; G(3) = {a ∈ G | 3a = 0} Hemos visto queG = G(2) + G(3). Por tanto, G(2) y G(3) son subgrupos de G. Sea x ∈ G(2)∩G(3).Entonces ord(x) = 8 y ord(x) = 3, es decir, ord(x) = 1⇔ x = 0. Luego G = G(2)⊕G(3)

|G(2)| divisor de 8 y |G(3)| divisor de 3 . Por tanto, |G(2)| = 8 y |G(3)| = 3, yaque sino fuera ası el producto no serıa 24.

Pregunta: ¿H ×K ∼= H × L implica K = L ? Veamos con un ejemplo que no:

Sea Z2 × Z2 = {(0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1)}

Sean H = {(0, 0), (1, 0)} ∼= Z2, K = {(0, 0), (0, 1)} ∼= Z2 y L = {(0, 0), (1, 1)} ∼= Z2.

Entonces A = H ⊕K y A = H ⊕ L, con K 6= L.

25

3.4. Ejercicios

1 Encuentra la tabla de multiplicacion de D4, el grupo de simetrıas de un cuadrado.

2 Di el orden y el inverso de los elementos de D4

3

τ =

(1 2 3 4 5 6 7 8 93 7 5 9 1 6 2 4 8

)ϕ =

(1 2 3 4 5 6 7 8 94 3 9 1 8 7 5 2 6

)Hallar τ−1, τϕ, ϕ−1τ y expresar el resultado con notacion cıclica.

4 Prueba que toda permutacion puede ser escrita como producto de transposiciones,no necesariamente disjuntas

5

ϕ =

(1 2 3 4 52 5 3 4 1

)Hallar la orbita de ϕ en x = 2.

6 Dar otro ejemplo de grupos que verifiquen que H ×K ∼= H × L y K 6= L

7 Determinar los grupos abelianos de orden 36

8 ¿Por que C8 � C4 × C2?

9 Calcula el centro de D4

26

Capıtulo 4

Teoremas de Sylow

4.1. Producto Directo

Definicion 4.1.1 Sea G un grupo. Decimos que G es un p-grupo si todo elemento deG tiene orden potencia de un primo p.

Definicion 4.1.2 Sea G un grupo, x ∈ G. Llamamos centralizador de x, y lo deno-tamos por Cent(x) al conjunto:

Cent(x) = {g ∈ G | xg = gx}

Ejercicio: Demostrar que ∀x ∈ G;Cent(x) / G

Definicion 4.1.3

1. Sea H un subconjunto de un grupo G. El subconjunto g−1Hg = {g−1hg | h ∈ H}es llamado el conjugado de H por g en G. Lo denotamos por g−1Hg = Hg.

2. Si H, K son subconjunto de un grupo G. Decimos que K es conjugado por H siexiste un elemento g de G tal que Hg = K o equivalente, si Kg−1

= H.

Definicion 4.1.4 Sean G1, G2, ...Gn grupos y sea G = G1 × G2 × ... × Gn elproducto cartesiano de los conjuntos Gi(1 ≤ i ≤ n). Se define el producto directo delos grupos Gi(1 ≤ i ≤ n) con la operacion ∗ tal que (g1, g2, ..., gn) ∗ (h1, h2, ..., hn) =(g1h1, g2h2, ..., gnhn), que se puede comprobar que es un grupo.

Teorema 4.1.5 El grupo G contiene subgrupos Hi(1 ≤ i ≤ n) tales que:

1. Para cada i, Hi∼= Gi.

2. Para cada i, Hi/ G.

3. G =< H1, H2, ...,Hn >

4. Para cada i, Hi∩ < H1, H2, ...,Hi−1, Hi+1, ...,Hn >=< e >

Demostracion

Definimos Hi = {(e, e, ..., e, hi, e, ...., e) | hi ∈ Gi} Es trivial comprobar que es unsubgrupo.

27

1. La aplicacion (e, e, ..., hi, e, ..., e) 7−→ hi es claramente un isomorfimo. LuegoHi∼= Gi.

2. La igualdad (g1, g2, ..., gi, ..., gi−1, gn)−1(e, e, ..., e, hi, e, ..., e, e)(g1, g2, ..., gi, ..., gn)= (e, ..., e, g−1

i higi, e, ..., e) muestra que Hi / G.

3. La igualdad (g1, g2, ..., gn) = (g1, e, e...)(e, g2, e...)(e, e, g3, e...)...(e, ..., gn) mues-tra que G = < H1, H2, ...,Hn >.

4. Se deja como ejercicio.

Notacion:

1. Cuando cada Gi de la definicion sea abeliano y cuando usemos + para la opera-cion binaria, entonces sustituiremos ∗ por ⊕. Por tanto, G sera la suma directade los Gi y G = G1 ⊕G2 ⊕ ...⊕Gn.

2. En la primera definicion, el grupo G fue formado mediante los grupos Gi, que noeran subgrupos de G, solo eran isomorfos a subgrupos Hi contenidos en G. Poresta razon, G es tambien llamado el producto directo externo. Por el contrario,si G satisface las condiciones i),ii),iii) del Teorema 4.1.5, decimos que G es elproducto directo interno de los Hi.

Teorema 4.1.6 Sea G1, G2 dos grupos (no necesariamente abelianos) y sean N1 /G1

y N2 / G2. Entonces:

G1 ×G2

N1 ×N2

∼=G1

N1× G2

N2

Demostracion

Sea la aplicacion:

ϕ : G1 ×G2 −→G1

N1× G2

N2(a1, a2) 7−→ (a1N1, a2N2)

Esta aplicacion es un epimorfismo con Ker (ϕ) = N1 × N2. Por el 1o Teorema de

Isomorfıa, obtenemos queG1 ×G2

N1 ×N2

∼=G1

N1× G2

N2

4.2. Producto Semidirecto

Proposicion 4.2.1 Sean H y K dos grupos cualesquiera. Sea la aplicacion:

φ : K −→ Aut(H)k 7−→ φk(h) = hk = khk−1

es un homomorfismo de grupos. Entonces H oφ K = (H ×K,φ) es un grupo.

Demostracion

En primer lugar, demostraremos que la aplicacion es un homomorfismo. y despuescomprobaremos los axiomas de grupo.

φk(ab) = (ab)k = kabk−1 = (kak−1)(kbk−1) = φk(a)φk(b). Por tanto, es un ho-momorfismo. Comprobemos ahora que (H ×K,φ) tiene estructura de grupo.

28

1. Prop. Asociativa

((h1k1) ∗φ (h2k2)) ∗φ (h3k3) = (h1hk12 , k1k2) ∗φ (h3k3) = (h1h

k12 h

k1k23 , k1k2k3)

(h1k1) ∗φ ((h2k2) ∗φ (h3k3)) = (h1k1) ∗φ (h2hk23 , k2k3) = (h1(h2h

k23 )k1 , k1k2k3).

Pero sabemos que h1hk12 h

k1k23 = h1h

k12 (hk23 )k1 = h1(h2h

k23 )k1

2. Sea eH el elem. neutro de H y sea eK el elem. neutro de K, entonces (eH , ek) ∈H ×K.

(h,k) ∗φ(eHeK) = (heKH , eKk) = (eH , k) = (h, k)(eH , eK) ∗φ (h, k) = (eHh

eK , eKk) = (hek , k) = (h, k).

Es decir, el elemento neutro es (eH , eK)

3. El. inverso

Sea (h, k) ∈ G⇒ ((h−1)k−1

, k−1) existe ya que H y K son grupos.

(h, k) ∗φ ((h−1)k−1

, k−1) = (h(h−1)k−1k

, kk−1) = (hh−1, ek) = (eH , eK)

Por la derecha se demuestra de forma analoga.

Por tanto, H oφ K = (H ×K,φ) es un grupo.

Teorema 4.2.1 Sean K, L y H grupos. Sean las aplicaciones:

Θ : K −→ L ϕ : L −→ Aut(H)

homomorfismos de grupos. φ = ϕ ◦Θ φ : K −→ Aut(H)Entonces existe un homomorfismo θ : H oφ K −→ H oϕ Ldefinido por θ(h, k) = (h,Θk).

Demostracion

La clave de la demostracion es la siguiente:

hk = φk(h) = ϕΘk(h) = hΘk

Veamos que: θ((h1, k1) ∗φ (h2k2)) = θ(h1, k1) ∗φ θ(h2, k2)

θ((h1, k1)∗φ(h2k2)) = θ(h1hΘk2 , k1k2) = (h1h

Θk12 ,Θ(k1k2)) = (h1h

Θk12 , (Θ(k1))(Θ(k2))) =

(h1,Θ(k1)) ∗ϕ (h2,Θ(k2)) = θ(h1, k1) ∗ϕ θ(h2, k2)

4.3. Acciones sobre Grupos

Definicion 4.3.1 Sea G un grupo y sea X un conjunto. Se define la accion de G enX como una aplicacion ∗ : G × X −→ X tal que:

1. ∗(e, x) = x ∀x ∈ X, con e ∈ G el elemento neutro de G.

2. ∗(g1g2, x) = ∗(g1, ∗(g2, x))∀x ∈ X, g1, g1 ∈ G.

29

Nota: Normalmente, la accion de G sobre X se denotara por yuxtaposicion.

Consecuencias

Sea G x X −→ X una accion de G sobre X. Consideremos la aplicacion:

ϕ : G −→ Biy(X)a 7−→ ϕa : X −→ X

x 7−→ ax

¿Es ϕa : X −→ X biyectiva ? Podemos comprobar que ∀a ∈ G la aplicacion

ϕa : X −→ Xx 7−→ a.x

Posee inversa

ϕa−1 : X −→ Xx 7−→ a−1.x

Luego es biyectiva.

Ejemplos

1. Sea G un grupo y consideremos X = G como conjunto.

G x G −→ G(a, x) 7−→ a.x = ax

2. Sea G un grupo y consideremos X = G como conjunto.

G x G −→ G(a, x) 7−→ a.x = axa−1

3. Sea G un grupo y sea H≤ G. Consideremos el conjunto: X = aHa−1 y la apli-cacion:

G x X −→ X(a,T) 7−→ aTa−1

Definicion 4.3.2 Dado x ∈ X. Se define la orbita de X (respecto de la accion dada)como el conjunto:

Orb(x) = G ∗ x = {ax | a ∈ G}

Definicion 4.3.3 Se define el estabilizador de un elemento x ∈ X, y se denota porEst(x), como el conjunto:

Est(x)= {a ∈ G | ax = x}

Ejercicio: Est(x) ≤ G

Proposicion 4.3.4 Sea la accion de G sobre X y sea x ∈ X. Entonces:

30

|Orb(x)| = [G : Est(x)] =|G|

|Est(x)|

Demostracion

Sea la aplicacion:

G −→ Orb(x)a 7−→ ax

ax = bx ⇐⇒ a−1bx = a⇐⇒ a−1b ∈ Est(x)⇐⇒ aEst(x) = bEst(x)Luego el no de clases es el no de elementos de la orbita.

4.4. Teoremas de Sylow

Primer Teorema de Sylow 4.4.1 Sea G un grupo de orden pαs, donde p es primoy no divide a s, α ≥ 1. Entonces para cada β, 0 ≤ β ≤ α, G contiene un subgrupo deorden pβ.

Demostracion

1. Consideremos el caso en que G sea un grupo cıclico.|G| = pαs, si 0 ≤ β ≤⇒ pβ divide al |G| =⇒ ∃!S ≤ G tal que |S| = pβ

2. Supongamos que G no es un grupo abeliano finito. Demostraremos el resultadopor induccion sobre el orden de G. Por la ecuacion de clases:

|G| = |Z(G)|+r∑

k=1

|Ck| =l∑

k=1

|Ck|+r∑

j=l+1

|Cj ||Ck| = 1; |Cj | > 1

a) Supogamos que ∃ l + 1 ≤ j ≤ r | p no divide a |Cj |.

|Ci| = [G : Cent(g)] =|G|

|Cent(g)|=

pαs

|Cent(g)|⇐⇒ pα divide a |Cent(g)|

donde Ci es la clase de conjugacion de un cierto elemento g.

|Cent(g)| = pαt, donde t es un cierto divisor de s. Sabemos que |Cent(g)| <|G|, ya que G no es abeliano.

Si |Cent(g)| = |G| ⇔ g ∈ Z(G) ⇔ Ci = {g} |Ci| = 1. Por tanto,|Cent(g)| = pαt donde t < s. Ahora podemos utilizar la hipotesis de induc-cion, y por tanto:

|Cent(g)| < |G| ⇒ Cent(g) contiene un subgrupo de orden pα.

b) Supongamos que p divide a |Cj | ∀j ∈ {l + 1, l + 2, ..., r}

Por la ecuacion de clases;

|G| = |Z(G)|+r∑

k=1

|Ck| =l∑

k=1

|Ck|+r∑

j=l+1

|Cj | =⇒ p divide a |Z(G)|

31

Hemos visto antes que Z(G) contiene un subgrupo de orden p. Sea Y estesubgrupo de orden p, Y ≤ Z(G) ⇒ Y / G. Como Y ∈ Z(G), entoncesgY g−1 = Y . Consideramos el grupo cociente G/Y. Para considerar el co-ciente, hay que ver que Y es un subgrupo normal y que su orden es menorque el de G.

|G/Y | = [G : Y ] =|G||Y |

=pαs

p= pα−1s

Definicion 4.4.2 Sea S ≤ G |S| = pα S se llama p-subgrupo de Sylow.

Si llamamos np al numero de p-subgrupos de Sylow de G, entonces se cumple que:

1. np es un divisor de s

2. np ≡ 1 (mod p)

Definicion 4.4.3 Sea G un grupo y sean X ⊆ G, Y ⊆ G. Diremos que Y es unconjugado de X si ∃ a ∈ G | Y = aXa−1 = Xa.

Ejercicio: Comprobar que la relacion es de equivalencia.

Lema 4.4.4 Sea |G| = pαs. Sea P un p-subgrupo de Sylow de G. Sea a ∈ G tal que

1. ord(a) = pβ β ≤ α

2. P a = P

Entonces a ∈ P .

Demostracion

aPa−1 = P ⇔ a ∈ Nor(P ) . P . Sea la aplicacion:

π : Nor(P ) −→ Nor(P )/Pb 7−→ b

a ∈ Nor(P )

P⇐⇒ ord(< a >) = pλ λ ≤ β

π−1(< a >) ≤ Nor(P ) P ⊆ π−1(< a >) ≤ Nor(P ) =⇒ a ∈ P

Segundo Teorema de Sylow 4.4.5 Sea G un grupo finito, |G| = pαs donde p esprimo, α ≥ 1 y p no divide a s. Sea P p-subgrupo de Sylow de G ⇔ |P | = pα.

Entonces todo p-subgrupo Q de Sylow de G es conjugado con P. Q = P a = aPa−1

para algun a ∈ G.

Demostracion

Sea P un p-subgrupo de Sylow y sea K = {P = P0, P1, ..., Pr} que denota el conjuntode todos los conjugados distintos de P en G. Claramente cada uno es un p-subgrupo deSylow. Podemos decir que la relacion Pi ∼ Pj ⇔ P ai = Pj para algun a ∈ P. Sea {P}su clase de equivalencia. Entonces el numero de conjugados de P es |P : P ∩NG(Pk)|que es potencia de p. Podemos ver que el numero de conjugados P1, ..., P r se dividenen clases cada una multiplo de p elementos. Por tanto, el numero de conjugados deP en G es de la forma 1 + mp.

32

Supongamos por reduccion al absurdo, que existe Q p-subgrupo de Sylow que no esconjugado a P. Entonces |X| = rp y por tanto, 1 + mp = rp. Lo cual, es una contra-diccion, ya que 1 = rp-mp = p(r-m) y r-m 6= 0 y p no divide a 1.

Proposicion 4.4.6 Sea G un grupo y sea P un p-subgrupo de Sylow. Si np = 1, en-tonces P / G.

Demostracion

Si np = 1, entonces existe un unico conjugado con P, y como P es un conjugadoconsigo mismo, entonces P es un subgrupo normal de G.

Ejemplo: Un grupo G tal que |G|= 42 no es simple. 42 = 7·3·2

1. p = 7 42 = 7 · 6 m.c.d(7,6) = 1

2. p = 3 42 = 3 · 14 m.c.d(3,14) = 1

3. p = 2 42 = 21 · 2 m.c.d(2,21) = 1

Por el 1o Teorema de Sylow, sabemos que hay al menos un subgrupo de orden 7, otrode orden 3 y otro de orden 2. Si consideramos p = 7 ¿Cuantos 7-subgrupos de Sylowpuede poseer G?

n7 es un divisor de 6n7 ≡ 1 (mod 7)

Por tanto, n7 = 1 y G no es simple. Podrıamos haber hecho el mismo razonamientocon p = 2 o p=3 y haber comprobado si hay algun p-subgrupo.

Ejemplo: Un grupo G tal que |G| = 56 no es simple. 56 = 23 ∗ 7

1. p = 7 56 = 8·7 m.c.d(8,7) = 1

2. p = 2 56 = 28 · 2 m.c.d(28,2) = 2 Por el 1o Teorema de Sylow, sabemosque hay al menos un subgrupo de orden 7 y otro de orden 2. Consideremos p = 7

n7 es un divisor de 8n7 ≡ 1 (mod 7)

Luego, n7 = 1 y G no es simple.

4.5. Aplicacion del Teorema de Sylow. Apendice

Proposicion 4.5.1 Sea G un grupo de orden |G| = pαs, donde p es primo y nodivide a s. Sea H un subgrupo de G tal que |H| = pβ donde β ≤ α. Entonces Hesta contenido en un p-subgrupo de Sylow de G.

Demostracion

Sea X = {P ≤ G | P es un p-subgrupo de Sylow de G }. Hemos probado que|X| ≡ 1 (mod p) y |X| | s. Consideremos la accion del grupo H sombre H (porconjugacion)

33

HxX −→ X(h,p) 7−→ hPh−1 h ∈ H.

X = C1 ∪ C2 ∪ .... ∪ Cm donde {Ci} son las distintas clases de conjugacion del p-subgrupo Pi de Sylow.|Ci| = [H;Est(Pi)] = pαi donde αi ≥ 0. ¿Cuando |Ci| = 1? ⇔ ¿Est(Pi) = H? Seapi ∈ Ci = {phi | h ∈ H}. Entonces |Ci| = 1 ⇔ Ci = {pi} ⇔ phi = pi ∀h ∈ H ⇒ h ∈Pi ⇒ H ⊆ Pi.Sup, por reduccion al absurdo, |Cj | > 1 ∀j = 1, 2, ...m

m p | |Cj | ∀j = 1, 2, ...m =⇒ p | |X|.

Y por tanto, una contradiccion, ya que X ≡ 1 (mod p).

Teorema 4.5.2 Cualquier grupo de orden 12 es isomorfo a:

Z12, (Z2)2 × Z3, A4, D6 o al producto semidirecto no trivial Z3 o Z4

Demostracion

Sea |G| = 12 = 22 ∗ 3 Aplicando el Ta de Sylow, obtenemos que :

n2 | 3 y n2 ≡ 1 (mod 2) n3 | 4 y n3 ≡ 1 (mod 3).

Queremos que n2 = 1 o n3 = 1. Supongamos que n3 6= 1, entonces n3 = 4 Un3-subgrupo de Sylow tiene orden 3, luego hay dos 3-subgrupo diferentes con inter-seccion el elemento neutro. Cada uno de los cuatro 3-subgrupo de Sylow tiene doselementos de orden 3 que no esta en ningun otro 3-subgrupo de Sylow. Lo cual, elnumero de elementos de G de orden 3 son 8 ( 2∗4 = 8). Por tanto, hay 4 elementosde G que no tienen orden 3.

El 2-subgrupo de Sylow tiene orden 4 y no contiene elementos de orden 3, y portanto, solo existe un unico 2-subgrupo de Sylow, es decir, n2 = 1 si n3 6= 1.Sea P un 2-subgrupo de Sylow y Q un 3-subgrupo de Sylow de G, entonces P o Qes normal en G = PQ ( si P ∩ Q = {e} y tienen ”tamanos apropiados”). EntoncesP ∼= Z4 o P ∼= (Z2)2 y Q ∼= Z3 por tanto, G es alguno de los siguientes productossemidirecto:

Z4 o Z3, (Z2)2 o Z3, Z3 o Z4, Z3 o (Z2)2

Ya que los subgrupos de Sylow son abelianos, el producto semidirecto es abeliano .Determinaremos todos los productos semidirecto, salvo isomorfismo, calculando todaslos posibles formas de actuar Z4 y (Z2)2 bajo un automorfismo en Z3 y todas lasposibles formas de actuar Z3 bajo un automorfismo sobre Z4 y (Z2)2.En primer lugar, necesitamos conocer el automorfismo de grupos de los siguientesgrupos:

Aut(Z4) ∼= (Z4)×, Aut((Z2)2) ∼= GL2(Z2), Aut(Z3) ∼= (Z3)x

Separaremos los casos dependiendo de si n2 = 1 o n3 = 1. En primer lugar, supon-dremos n2 = 1. Entonce el 2-subgrupo de Sylow es normal y el 3-subgrupo de Sylowactuando sobre el. Consideremos en primer lugar,

Z4 o Z3, (Z2)2 o Z3

34

En el primer producto semidirecto, el homomorfismo Z3 −→ (Z4)x es trivial, ya queel dominio tiene orden 3 y el codominio tiene orden 2, nuego el primer producto se-midirecto tiene que ser el trivial: el producto directo de Z4 × Z3 es cıclico de orden12(esta generado por (1,1).En el segundo producto semidirecto, queremos saber todos los homomorfismos deZ3 −→ GL2(Z2). El homomorfismo trivial nos lleva al producto directo (Z2)2 ×Z3.¿Que sabemos del homomorfismo trivial Z3 −→ GL2(Z2)?. Dentro de GL2(Z2)hay un subgrupo de orden 3:{ (

1 00 1

)(0 11 1

)(1 11 0

) }Un homomorfismo no trivial ϕ : Z3 → GL2(Z2) esta determinado mandando 1 mod 3a una de las dos matrices A de orden 3. Las dos matrices de orden 3 en GL2(Z2) soninversas una de otra ,y la precomposicion uno de estos homomorfismos Z3 −→ GL2(Z2

con la negacion en Z3 se convierte en el otro homomorfismo, ya que convierte el va-lor en 1 mod 3 en el inverso de lo que era en un principio. Sin embargo, los doshomomorfismos no triviales Z3 −→ GL2(Z2) son la misma formacion que un auto-morfismo de Z3 y en consecuencia, es isomorfo al producto semidirecto. Por lo quehay un isomorfismo con el producto semidirecto no trivial (Z2)2 o Z3, ademas de elproducto trivial (Z2)2 × Z3.Concretamente, el producto semidirecto no trivial (Z2)2 o Z3 es isomorfo a A4, yaque mostramos que solo hay un grupo no abeliano de orden 12 con n2 = 1 y A4 seajusta a esto,

Ahora, haremos el caso de n2 6= 1, por lo tanto n2 = 3 y n3 = 1. Encontraremosdos grupos isomorfos, ambos no abelianos. Nuestro grupo es el producto semidirecto:

Z3 o Z4, Z3 o (Z2)2

Ya que n2 = 1, el grupo no es abeliano, luego el producto semidirecto tampoco esabeliano. Buscamos homomorfismos no triviales Z4 −→ Aut(Z3) = (Z3)x y (Z2)2 −→(Z3)x. Hay solo un homomorfismo no trivial Z4 −→ (Z3)x (1 mod 4 tiene que ir a-1 mod 3 , y todos los elementos quedan determinados), que de hecho es c mod 4−→ (−1)c, por lo que tenemos un producto semidirecto no trivial Z3 oZ4. Explicita-mente, el operacion del grupo es (a,b)(c,d) = (a+(−1)bc, b+ d).

Tenemos 3 homomorfismos no triviales de (Z2)2 −→ (Z3)x, (Z2)2 tiene dos gene-radores, (1,0) y (0,1) y un homomorfismo no trivial (Z2)2 −→ (Z3)x que manda losgenereradores a ± 1, sin mandar ambos al 1. Usando las matrices de orden 2 × 2sobre Z2 para mover vectores no nulos en (Z2)2, el tercer homomorfismo no trivial(Z2)2 −→ (Z3)x puede ser transformado entre si bajo la composicion de uno de elloscon un automorfismo de (Z2)2. Sin embargo, el tres productos semidirecto no trivialZ3 o (Z2)2 son isomorfos, de esta manera todos los grupos no abelianos de orden 12con n3 = 1 y 2-subgrupos de Sylow isomorfos sobre (Z2)2 son isomorfos. Concreta-mente, uno de estos grupos es D6.

Si nos encontramos con un grupo de orden 12, podemos decidir cual de los 5 gru-pos es isomorfo diciendo si es abeliano o no, y en el caso de que no sea abeliano, siel 2-subgrupo de Sylow es normal (en este caso es isomorfo a A4 o si el 3-subgrupode Sylow es normal junto con 2-subgrupo de Sylow que son cıclicos o no son cıclicos(producto semidirecto no trivial Z3 o Z4 en el primer caso, D6 en el segundo caso)

35

Otra manera de distinguir los tres grupos no abelianos de orden 12 es contando elnumero de elementos de orden 2: D6 tiene 7 elementos de orden 2, A4 tiene 3 ele-mentos de orden 2 y Z3 o Z4 tiene un elemento de orden 2.

4.6. Ejercicios

1 Demostrar que si |G| = 48, entonces G no es simple.

2 Demostar que ∀x ∈ G;Cent(x) / G.

3 Demostrar que Est(x) ≤ G.

4 Sea G un grupo y sean X ⊆ G, Y ⊆ G. Diremos que Y es un conjugado de X si∃a ∈ G | Y = aXa−1. Comprobar que la relacion es de equivalencia.

36

Bibliografıa

[1] Antonio Fernandez, Apuntes de clase

[2] R.B.J.T. Allenby, Rings, Fields and GroupsSecond Edition (1993)

[3] John B. Fraleigh, A First Course in Abstract AlgebraFourth Edition(1989)

[4] W. Keith Nicholson, Introduction to Abstract AlgebraSecond Edition(1999)

[5] Keith Conrad, Groups or order 12

37

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