Estructuras de Acero estructural I

UNIVERSIDAD DE LAS PALMAS DE GRAN CANARIA ESTRUCTURAS III Departamento de Construccin Arquitectnica Examen Convocatoria Ordinaria. 25 de enero de 2013

Prof. Oswaldo Moreno Ira 1

1. La figura representa una marquesina de rigidez infinita de longitud 8 m cuyo peso

es de 35 kN/m.

1.1. Calcular los esfuerzos que actan en cada cable sabiendo que todos ellos

son de igual seccin y material.

(Puntuacin 2 pts.)

1.2. Qu dimetro han de tener los cables para que uno de ellos plastifique y

el otro alcance la resistencia de clculo? fs=500 N/mm y s=115. (Puntuacin 1 pt.)

2 m 4 m

L=8 m

2 m

3060 30 60

2. La viga triangulada de la figura est formada por perfiles HEB 100 (Clase 1 para

todas las solicitaciones), todos ellos de longitud L=300 m, salvo las barras e y h. El

valor de Pd es de 65 kN. Se pide, en el tramo b de la viga:

2.1. Obtener la solicitacin de clculo sabiendo que las uniones de las barras

estn articuladas y que se desprecia el posible pandeo lateral de la viga.

(Puntuacin 1 pt.)

2.2. Comprobar la resistencia de la seccin.

(Puntuacin 05 pts.)

2.3. Comprobar la resistencia de la barra.

(Puntuacin 15 pts.)

a

2Pdb

e

f

i

j d

c

h

g

k3030

2Pd

2Pd

30

75 60

1

2



3. En la viga de la figura formada por un IPE 200 (Clase 1) colocada con el alma en

vertical, se pide:

3.1. Representar grficamente la frmula del rea a cortante de perfiles en I o

H cargados paralelamente al alma.

(Puntuacin 05 pts.)

3.2. Comprobar a ELU de resistencia de la seccin a esfuerzo cortante.

(Puntuacin 05 pts.)

3.3. Comprobar a ELU de resistencia de la seccin a momento flector.

(Puntuacin 15 pts.)

3.4. Calcular la flecha en el punto del vano A-B donde el momento es mximo.

(Puntuacin 15 pts.)

L1=2 m L2=6 m

qd=30 kN/m

B CA

NOTAS:

En todos los ejercicios se desprecia el peso de los elementos estructurales.

En todos los ejercicios el acero utilizado ser S 275.

El coeficiente de imperfeccin elstico del ejercicio 2 ser =049.

El coeficiente medio de ponderacin del ejercicio 3 ser m=14.

Para aprobar esta convocatoria es necesaria la contestacin de todos los apartados sin

excepcin, resolviendo al menos una parte de los mismos. En cada uno de ellos se

indica la puntuacin, sin perjuicio de una valoracin global del ejercicio.

La duracin del examen ser de tres horas.

h b tw tf r d A

mm mm mm mm mm mm mm

HEB 100 100 100 6'0 10'0 12 56'0 2.603'6

IPE 200 200 100 5'6 8'5 12 159'0 2.848'4

Geometra

Perfil

Iy Wy Wpl,y iy Iz Wz Wpl,z iz

mm4 mm mm mm mm

4 mm mm mm

HEB 100 4.495.451 89.909 104.213 41'6 1.672.721 33.454 51.422 25'3

IPE 200 19.431.683 194.317 220.639 82'6 1.423.683 28.474 44.612 22'4

Perfil

Valores mecnicos



1.1. Si aislamos la marquesina y teniendo en cuenta las condiciones de simetra de

fuerzas y geometra, el sistema se equilibra de la siguiente forma

2 m 4 m 2 m

3060 30 60

N 1 N 2 N 4N 3

A B DC

G

L=8 m

siendo

G el peso de la marquesina en kN/m

N1 el esfuerzo que acta en el cable 1




A punto de anclaje del cable 1 en la marquesina

B punto de anclaje del cable 2 en la marquesina

C punto de anclaje del cable 3 en la marquesina

D punto de anclaje del cable 4 en la marquesina

Planteando las ecuaciones de equilibrio esttico, observamos que disponemos de

tres ecuaciones y cuatro incgnitas, por lo que el sistema es claramente

hiperesttico de grado uno.

Esta situacin equivale a considerar nicamente el equilibrio de fuerzas en la

direccin y (perpendicular gravitatoria al eje x) ya que la sumatoria de fuerzas en la

direccin x (directriz de la marquesina) es la que permite deducir la igualdad de

fuerzas entre N1 y N4 y entre N2 y N3.

= 0Fy LGNN3 21 =+ [ ]1



Por otro lado, el equilibrio de momentos no aporta ecuacin alguna que permita

resolver el sistema. Obsrvese que si tomamos equilibrio de momentos en el centro

de la marquesina las incgnitas se simplifican y si lo tomamos, por ejemplo en el

punto A, la ecuacin obtenida es idntica que la del equilibrio de fuerzas en la

direccin y

= 0M A,z LGNN3 21 =+

Disponemos por lo tanto de una ecuacin algebraicamente insuficiente para calcular

los esfuerzos 1N y 2N .

Teniendo en cuenta la compatibilidad de las deformaciones de las barras, el sistema

puede tomar la siguiente configuracin

B'

B

A'

A

donde se puede establecer la relacin

'BB'AA = [ ]2

Gracias a esta proporcionalidad se puede establecer la relacin entre los

incrementos de longitud de las barras, sabiendo que en el cable 1 dicho incremento

se deduce del grfico



A

A'

1

'

dado que 30' =

30cos'AA1 =

13

2'AA =

En el cable 2 ser

B

B'

'2

dado que 60' =

60cos'BB2 =

22'BB =

Sustituyendo en la ecuacin [ ]2 obtenemos

21 23

2 =

21 3 =



Sobre esta ltima expresin aplicamos la ley de Hooke

EA

lN3

EA

lN 2211=

2211 lN3lN =

si adems aadimos la condicin de proporcionalidad entre las longitudes de los

cables, sabiendo que

30senl60senl 21 =

21 ll3 =

la ecuacin se simplifica en funcin de los esfuerzos

1211 l3N3lN =

21 N3N =

Ecuacin que sustituyendo en [ ]1 , permite deducir las dos incgnitas requeridas

LGNN33 22 =+

331

280

331

835

331

LGN2

+=

+

=

+=

331

840

331

8353

331

LG3N1

+=

+

=

+=

Los resultados de los esfuerzos en los cables son

kN57'135N1 =

kN19'45N2 =



1.2. Contando con que se ha impuesto la condicin de que la seccin de los dos cables

sean iguales, para que uno de los dos trabaje en la zona plstica de la deformacin

deberemos dimensionar aqul que est sometido a la menor solicitacin.

Suponiendo de clculo los valores obtenidos, la tensin ser

A

Nf 2

s

s=

22

s

s N4f

pi =

mm50'1150014'3

15'119'454

f

N4

s

s2=

==

pi

El dimetro que han de tener los cables a partir de los estndares

normalizados 6, 10, 12, 16, 20, 25..., para que uno de ellos plastifique y el otro

alcance la resistencia de clculo ser

mm12=



2.1. Teniendo en cuenta las condiciones de simetra de fuerzas y geometra, la reaccin

en los apoyos ser

kN195653P3R dd ===

Estos valores de carga actuando en los nudos nos permitir definir las fuerzas de

clculo que actan en cada una de las barras. Para ello analizaremos el equilibrio

en cada nudo, resultando

a

2Pdb

e

f

i

j d

c

h

g

k3030

2Pd

2Pd

30

75 60

1

2

Nudo 1 Nudo 2

a

i

Rd

a

b

e

2Pd

El axil que acta en la barra b es de compresin, de valor

( ) kN58'2423265N Ed,c =+=

Dado que la barra est sometida a compresin, consideraremos el rea de la

seccin bruta.



2.2. La comprobacin de una seccin clase 1 solicitada a compresin se har a partir de

la resistencia plstica

0M

yydRd,plEd,c

fAfANN

==

Como tensin del lmite elstico fy y dado que el perfil HEB 100 tiene un espesor

nominal inferior a 16 mm, tomaremos de la Tabla 4.1 CTE SE-A fy=275 N/mm

kN90'68105.1

102756'603.2N

3

Rd,pl =

=

por lo que cumple ya que

kN90'681NkN58'242N Rd,plEd,c =



Una vez obtenida la compresin crtica deduciremos la esbeltez reducida

cr

y

N

fA=

2'036'121'212.385

2756'603.2>=

=

Segn dato del enunciado, el coeficiente de imperfeccin elstica es =049, por lo tanto se podr determinar el coeficiente a partir de la expresin

( ) ( )[ ]2kk 2'015'0 ++=

( )[ ] 71'136'12'036'149'015'0 2 =++=

y finalmente el coeficiente de reduccin por pandeo

( )2k21

+=

36'036'171'171'1

1

22=

+=

Por lo que

1M

y

ydRd,bEd,c

fAfANN

==

kN62'24705'1

102756'603.236'0N

3

Rd.b =

=

La barra cumple, ya que

kN62'247NkN58'242N Rd,bEd,c =



3.1. La representacin grfica del rea a cortante de la seccin, deducida de la frmula

relativa a perfiles en I o H cargados paralelamente al alma, ser

A 2 b tf (tw+2 r) tf

-

-

+

+

=

= A-2 b t f +(tw+2 r) tf

b

tf

tf

b (r+tw+r)

(r+tw+r)

12 tf

12 tf

tw

rr

3.2. Para determinar las solicitaciones deberemos obtener primeramente las reacciones

en los apoyos a partir del equilibrio esttico de la viga

= 0Fy ( ) d21CB qLLRR +=+ ( ) 3062RR CB +=+ 240RR CB =+

= 0M C,z ( )

2

2

21dB

L2

LLqR

+=

( )

62

6230R

2

B

+=

Las reacciones en los apoyos sern por tanto

kN160RB =

kN80RC =



La ley de esfuerzos cortantes en cada tramo de la barra ser

Barra AB

( ) xqxV dAB =

( ) 00300V AB == ( ) kN602302V AB ==

Barra BC

( ) ( ) xq2VRxV dABBBC +=

( ) kN100030601600V BC == ( ) kN80630601606V BC ==

El cortante ser nulo en

( ) ( ) 0xq2VRxV dABBBC =+=

( )3

10

30

60160

q

2VRx

d

ABB=

=

+=

m33'33

10x ==

B CA

x=3'33 m

100 kN

-60 kN-80 kN

La resistencia de la seccin a esfuerzo cortante ser la plstica de la seccin bruta

3

fAV

yd

VRd,pl =



siendo, para perfiles en I o H cargados paralelamente al alma

( ) fwfV tr2ttb2AA ++= ( ) 2V mm400.15'81226'55'810024'848.2A =++=

kN70'21110305'1

275400.1V 3Rd,pl ==

La seccin cumple al ELU de esfuerzo cortante ya que

kN70'211VkN100V Rd,plEd =



B CA

x=3'33 m

-60 kN m

106'67 kN m

La resistencia de la seccin a flexin en clase 1 ser la plstica de la seccin bruta

0M

yplydplRd,pl

fWfWM

==

Dado que el perfil no tiene espesores de chapa superiores a 16 mm tomaremos

como lmite elstico fy=275 N/mm.

mkN79'571005'1

275639.220M 6Rd,pl ==

La barra no cumple a ELU de resistencia a momento flector, ya que el mximo

momento flector en valor absoluto que se produce en la barra es mayor que la

resistencia plstica

mkN79'57MmkN105M Rd,plEd =>=

Adems, ni siquiera podemos considerar la comprobacin a partir del clculo de

solicitaciones plstico, ya que, en el clculo elstico, los momentos positivo y

negativo obtenidos son mayores que la resistencia plstica de la seccin.

3.4.- La respuesta estructural para las comprobaciones de los estados lmite de servicio

se obtendr a partir de un anlisis global elstico de la estructura.

La ecuacin diferencial aproximada de la lnea elstica, utilizando valores

caractersticos o de servicio, ser

( ) ( ) ( ) 2dBCBCBCm x2

qx0V0MxM''yIE +==



Integrando dos veces la lnea elstica se obtiene

( ) ( ) Cx6

qx

2

0Vx0M'yIE 3d2BCBCm ++=

( ) ( )KxCx

24

qx

6

0Vx

2

0MyIE 4d3BC2BCm +++=

Las condiciones de contorno permitirn obtener los valores de las constantes de

integracin.

Para x=0

( ) 00y =

( ) ( ) ( ) 0K0C024

q0

6

0V0

2

0M0y dBCBC =+++=

0K =

Para x=L2

( ) 0Ly 2 =

( ) ( ) ( ) 0LCL24

qL

6

0VL

2

0MLy 2

42

d32

BC22

BC2 =++=

( ) ( ) 32

d22

BC2

BC L24

qL

6

0VL

2

0MC +=

siendo

m6L2 =

32 624

306

6

1006

2

60C +

=

2mkN150C =



Por lo que la ecuacin de la lnea elstica ser

( ) ( )++= 4d3BC2BCm x

24

qx

6

0Vx

2

0MyIE

( ) ( )xL

24

qL

6

0VL

2

0M 32

d23

BC2

BC

++

( ) ( )

++= 4d3BC2BC

m

x24

qx

6

0Vx

2

0M

IE

1y

( ) ( )

+ xL

6

0VL

2

0M 33

BC22

BC

El valor mximo de flecha se producir donde la derivada de la lnea elstica sea

y(x)=0. En el caso de este ejercicio se est pidiendo que se calcule en el punto de

la barra donde el momento sea mximo1, es decir, x=10/3 m

( )

+

=

2

310

3

10

2

60

4'1683.431.19000.210

1y

12

43

103

10150

3

10

24

30

3

10

6

100

+

( ) mm8'64y3

10=

1 El punto de la barra donde el momento es mximo es en realidad un punto muy

prximo al de la flecha mxima, que tiene la ventaja de que es ms sencillo de

calcular manualmente. En todo caso, el punto de flecha mxima sera

( ) ( ) 0Cx0Mx2

0Vx

6

q'y BC

2BC3d=+++=

030x12x10x'y 23 =++=

m14'3x =

y la flecha mxima

( ) mm2'6514'3y =

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