VECTORES EN R2

1. NOMBRE DEL EJE TEMÁTICO: GEOMETRÍA VECTORIAL 2. COMPETENCIA: Aplicar las nociones de vector a través de su descripción geométrica y

algebraica. 3. INDICADORES DE LOGRO: Interpreta los elementos que determina un vector. Aplica las

nociones de magnitud y dirección en un segmento de recta en un plano. Diferencia las cantidades vectoriales de las escalares. Realiza operaciones con vectores combinando métodos geométricos y algebraicos. Interpreta gráficamente un enunciado vectorial dado en lenguaje natural. Traduce correctamente la información que suministra un gráfico con vectores.

4. RED DE CONCEPTOS: Vectores en R2, elementos, ubicación en el plano cartesiano, operaciones en geometría y en álgebra con vectores, aplicaciones.

5. CONCEPTOS PREVIOS: Geometría plana (ángulos y triángulos), Geometría analítica (plano cartesiano y rectas), razones trigonométricas y solución triangular aplicando teoremas del seno y del coseno.

6. OBJETIVOS DIDÁCTICOS (Le permitirán al estudiante lograr las competencias) a. PROCEDIMENTALES

Reconocimiento de cantidades vectoriales

Diferenciación de cantidades escalares de cantidades vectoriales

Representación de cantidades vectoriales mediante el algebra

El cálculo de la magnitud o norma de un vector.

Reconocimiento de vectores equivalentes

Representación de desplazamientos y fuerzas en el plano coordenado bidimensional.

Determinación en un par ordenado que representa un vector, su norma, dirección y sentido.

Representación vectorial de un desplazamiento o de una fuerza

Trazar vectores gráficamente a escala adecuada

Determinación de la equipolencia de un vector mediante trabajo algebraico de pares ordenados

Como sumar cantidades vectoriales gráficamente y analíticamente

Como restar cantidades vectoriales gráficamente y analíticamente

Como multiplicar vectores por cantidades escalares

Como dividir cantidades vectoriales por cantidades escalares

Traduce cantidades vectoriales descritas verbalmente

Representación en el plano de cantidades vectoriales descritas verbalmente.

b. ACTITUDINAL

Capacidad para analizar el desplazarse en su entorno

Familiarización con fuerzas en estructuras y planos

Formulación de inquietudes vectoriales que van más allá de los conceptos tratados en el aula

Demuestra interés por la aplicabilidad de las cantidades vectoriales a situaciones reales.

Enriquece el aprendizaje del grupo con sus aportes en el desarrollo de la clase.

Realización de todas las actividades vectoriales del TI programadas

Participa activamente en el desarrollo de las clases con análisis y razonamientos objetivos

Aporta soluciones a problemas propuestos en clase

Reconocimientos de la ubicación geodésica de su entorno

Capacidad para describir y operar con un plano XY y con un plano XZ

DESCRIPCIÓN ALGEBRAICA DE VECTORES

Un vector plano, algebraicamente definido es un par ordenado de números reales ,

los valores x y y se denominan componentes del vector.

Existe una correspondencia uno a uno entre los vectores en el plano y los puntos

(x,y) en el plano. El vector que aparece en la figura 9 tiene como representación de posición el

segmento rectilíneo que se dirige desde el origen hasta el punto (4, -1). La representación

del vector cuyo punto inicial es (h, k), tiene como punto terminal el punto:

,

Ahora comprobaremos lo anterior de manera algebraica (ver figura 1). Sea el vector v

y A el punto de coordenadas (-2.5, 2.5) de origen de un vector u (equipolente del

vector v), el vector v tiene como

coordenadas del punto terminal:

x – (– 2.5) = 3.51

y – (2.5) = 3

y = 5.5

Lo anterior nos permite determinar el

equipolente o equivalente de un

vector con coordenadas de origen y

terminación diferentes al origen de

coordenadas, en otras palabras

trasladar un vector libre al origen de

un plano coordenado.

Una suma vectorial desde el punto de vista analítico se refleja en el siguiente ejemplo:

Sumaremos los vectores u y v , las componentes del vector suma de estos

dos vectores serán iguales a la suma de las componentes respectivas de los vectores.

u + v = w = w

Ahora podemos establecer una relación entre la representación geométrica y la

representación algebraica (analítica) de un vector. Si un vector v se representa en el

plano cartesiano con un punto inicial P(x1, y1) y un punto terminal Q(x2, y2), entonces el

vector v se expresa como:

Figura 1

v = donde (x2 – x1) = a (y2 – y1) = b (ver figura 2.)

El proceso hasta aquí detallado es el mismo empleado para determinar la distancia entre

dos puntos dadas sus coordenadas, la componente “a” no es más que la longitud o

medida en la dirección del eje x, es simplemente la diferencia entre las “x” de dos puntos

(en este caso, del punto terminal y el inicial del vector; la componente “b” es la diferencia

entre las “y” de los mismos dos puntos. Así, el vector se convierte en la hipotenusa de un

triángulo rectángulo.

EJEMPLO 3. Determinemos y grafiquemos

el vector k con punto inicial en (-3,2) y su

punto terminal en (1,5).

Solución: el vector que se busca es k = (1-

(-3), (5-2)) = (4,3), su gráfico es: (figura 3)

EJEMPLO 4:

Encontrar el punto terminal y trazar el vector

h = (4,1), con punto inicial en (2,3).

Solución: sea (x, y) el punto terminal del

vector h, entonces:

(x – 2, y – 3) = (4,1), de donde x - 2 = 4, y

– 3 = 1, luego x = 6, y = 4.

Figura 2

Figura 3

El punto terminal del vector es (6,4) (ver figura 4)

EJEMPLO 5. La figura 5 muestra el vector m con punto inicial en: (0,0), (2,2),

(-2,-1), (1,-1)

EJERCICIO 3

Según lo descrito en el párrafo anterior determine las coordenadas del punto final o inicial

según el caso y grafique

1. u punto inicial (-5, 2)

2. u punto inicial (2, -1)

3. u punto inicial (5/2, -7/2)

4. u punto final (-6, 6)

Figura 5

Figura 4

5. u punto final (-0.75, -3)

6. u punto final (1, 1)

MAGNITUD O NORMA DE UN VECTOR

Se debe tener claramente definido que magnitud, longitud o norma de un vector son

equivalentes, así, para determinar la norma de un vector u es lo mismo que

calcular la distancia entre dos puntos: la distancia entre el punto final y el inicial. Se

denota como ||u|| para diferenciarla del valor absoluto que puede dar pie a confusiones,

claro que el contexto del problema lo dirá, de cualquier forma se calcula como:

En el caso de que se requiera calcular la norma de un vector libre con punto inicial en el

punto y punto final en el punto , la magnitud está definida por:

EJEMPLO 6: Determine la magnitud de los vectores:

p =

z =

u, Punto inicial (-7, 0), punto final (-2,5)

v, Punto inicial (10,5), punto final (5,-2)

De cualquier manera la solución de los problemas en contexto requiere de una grafica

geométrica que permita visualizar correctamente el problema y luego si, aplicar los

conocimientos geométricos y/o trigonométricos que permitan soluciones más exactas.

OPERACIONES ALGEBRAICAS CON VECTORES

Es posible entonces realizar las operaciones con vectores de suma y resta, y

multiplicación por un escalar, combinando luego con su parte geométrica:

SUMA Y DIFERENCIA DE VECTORES, si u⟨ , ⟩ y v⟨ , ⟩

o SUMA u+v ⟨ , ⟩

o DIFERENCIA u-v ⟨ , ⟩

o MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR cv ⟨ ,c ⟩, c

Figura 15: h + k

EJEMPLO 7:

Si h ⟨ , ⟩; k ⟨ , ⟩ y m ⟨ , ⟩

Realizar las operaciones siguientes: a) h+k, b) h-k, c) k-h, d) h+m, e) h-m, f) m+k, g) (h+k)-m. Solución: h + k = (4 + 2, 1 + 3) = (6, 4). Observemos en la figura 6 el resultado geométrico, la resultante puede ser trazada en cualquier lugar en R2, teniendo en cuenta que la

diferencia entre sus puntos inicial y final produzca las componentes 46 11 ba he aquí la grafica de algunas de las respuestas graficas a los problemas planteados:

Ahora, si se quiere realizar la operación

geométricamente, acercamos los vectores que se

suman (sus puntos iníciales o terminales), para

formar el triángulo o el paralelogramo y así

conocer el vector resultante de la operación (figura

15: h + k)

Es importante recordar que el vector cero se

denota como 0 = (0,0), en las operaciones (suma,

resta) este vector desempeña el mismo papel que

el cero en los números reales.

OPERACIONES DE SUMA Y DIFERENCIA MEDIANTE LOS COMPONENTES

RECTANGULARES

Todo vector puede descomponerse en una componente horizontal y una componente

vertical, en la figura 7 se observan los vectores u⟨ , ⟩, v⟨ , ⟩, w⟨ , ⟩ z⟨ , ⟩

con sus componentes en la dirección x y en la dirección y

Es una estrategia útil cuando se busca por ejemplo buscar el equilibrio de un cuerpo o de

una partícula sometida a varias fuerzas, se busca mediante la suma de algebraica una

componente en dirección del eje x una componente en la dirección del eje y.

Por conveniencia se establece una dirección positiva de las componentes así:

Suma de las componentes de u, v, w y z tenemos:

Suma de las componentes de u, v, w y z tenemos:

De acuerdo a lo anterior la suma de los vectores anteriores dará como resultado la

operación de la figura 17

Figura 7

La resultante es y su ángulo con respecto al

eje x positivo se puede observar en la figura 8 donde se ilustra el método del

paralelogramo.

PROPIEDADES DE LOS VECTORES

Un vector en R2 o vector bidimensional es un par ordenado de números reales

Un vector en R3 es una tríada ordenada de números reales

Los números reales se llaman componentes de

DIRECCIÓN DE UN VECTOR

Está definida por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene, lo que equivale a decir: la dirección de un vector v es , ángulo positivo mínimo en posición normal entre el

eje positivo de x y el vector v. Las relaciones trigonométricas básicas del triángulo rectángulo permiten desde una dirección y norma conocidas en un vector, calcular sus componentes rectangulares del mismo como apreciaremos en la figura 9.

Sea u un vector cuyo punto inicial tiene coordenadas (2,4) y su punto final tiene

coordenadas (13/2,13/2) y es equipolente a un vector v en el origen y cuya magnitud ||v||

y cuya dirección es , tenemos:

Figura 8

La dirección del vector es por lo tanto:

7. ESTRATEGIAS DE APRENDIZAJE: ¿Qué es lo que debe hacer el estudiante para aprender la temática que se va a estudiar?

1. Desarrollar los ejercicios resueltos que le permitan confrontar la aplicabilidad y

veracidad de los conceptos, propiedades y operaciones realizadas. 2. Desarrollar los ejercicios propuestos realizando un inventario de ideas que no

le son claras y/o que lo confundan. 3. Realizar las consultas planteadas por el docente. 4. Participación activa en clases magistrales mediante cuestionamientos y salidas

al tablero. 5. Remitirse a la bibliografía propuesta. 6. Realizar esquemas y dibujos que representen las situaciones planteadas en

clase o en los ejercicios propuestos. 7. Relacionar los conceptos de la geometría analítica con la geometría vectorial.

8. ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS. ¿Qué actividades y metodologías utiliza el

maestro para que el estudiante aprenda con coherencia con las estrategias de aprendizaje utilizadas?

1. Desarrollar actividades a desarrollar en medio virtual (geogebra) 2. Orientar la identificación de características de localización en sistemas de

representación cartesiana y representación geográfica. 3. Exponer los algoritmos para resolver y formular problemas empleando modelos

geométricos. 4. Demostrar que las aplicaciones trigonométricas son necesarias para resolver

problemas en contexto. 5. Presentar variedad de problemas reales 6. Proponer actividades evaluables fuera del aula de clase como el

posicionamiento espacial empleando brújula.

Figura 9

7. Planear cronológicamente el desarrollo del eje temático 8. Estimular la argumentación con el empleo del lenguaje vectorial 9. Promover el trabajo en equipo 10. Validar en todas las actividades a realizar por el estudiante la relación vectorial

con el programa académico del estudiante.

9. BIBLIOGRAFÍA 1. ABDÓN MONTENEGRO, Ignacio. Evaluemos competencias matemáticas.

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