Capitulo xi “análisis de estructuras indeterminadas por el método de las flexibilidades”
Estructuras Estaticamente Indeterminadas...JVG
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VIGAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS, LLAMADAS TAMBIÉN
HIPERESTÁTICAS
______________________________________________________________________
Introducción a a! "!tructura! "!t#tica$"nt" ind"t"r$inada!, $%todo!
a&ro'i$ado! d" an#i!i!(
)( GENERALIDADES
Cuando una estructura tiene más reacciones externa o fuerzas internas que las que
pueden determinarse con las ecuaciones de la estática, la estructura es estáticamente
indeterminada o hiperestática o continua producirá fuerzas cortantes, momentos
flexionantes y deflexiones en las otras partes de la estructura. En otras palabras, cargas
aplicadas a una columna afectan a las vigas, a las losas, a otras columnas y viceversa.
Casi todas las estructuras de concreto reforzado son hiperestáticas. Las losas de
concreto, las vigas de apoyo, así como parte de las columnas pueden colarse al mismo
tiempo. Las barras de refuerzo se extienden de elemento a elemento estructural así como
de claro a claro. Cuando se tienen untas de construcci!n, las barras de refuerzo se dean
sobresalir del concreto para poder ser empalmadas a las barras del concreto para colarse
posteriormente. "demás, el concreto vieo se limpia de manera que el nuevo se adhiera
a #l tanto como sea posible. El resultado de todo esto es que las estructuras de concreto
reforzado son generalmente monolíticas o continuas y por ello estáticamente
indeterminadas.
$al vez la %nica manera de construir una estructura de concreto reforzado estáticamente
determinada sea a base de elementos prefabricados en una planta y ensamblados en el
lugar de la obra. &in embargo, aun estructuras como #stas tienen cierta continuidad ensus nudos.
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*( ESTR+CT+RAS CNTIN+AS
En la medida en que se incrementan los claros de las estructuras simples, sus momentos
flexionantes aumentan rápidamente. &i el peso de una estructura por unidad de longitud
permanece constante, independientemente del claro, el momento por carga muerta
variará en proporci!n con el cuadrado de la longitud del mismo ' M =wl2
8 (. &in
embargo, esta proporci!n no es correcta, debido a que el peso de las estructuras debe
aumentar a medida que los claros son más grandes, con el fin de que sean lo
suficientemente fuertes y resistan el incremento de los momentos flexionantes) por
tanto, el momento por carga muerta crece más rápidamente que el cuadrado del claro.
Puente de arco sobre el rio Colorado, Utah Ruta 95
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En ciertos casos es posible tener una viga con ambos extremos empotrados, en lugar de
una viga simplemente apoyada. En la fig. *+.* se comparan los momentos flexionantes
desarrollados en una viga simplemente apoyada con carga uniforme, con los de una viga
doblemente empotrada con carga tambi#n uniforme.
El momento flexionante máximo en la viga doblemente empotrada es s!lo dos tercios
del que se presenta en la viga simplemente apoyada. or lo general, es difícil empotrar o
fiar por completo los extremos de una viga, sobre todo en el caso de un puente.
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El momento flexionante máximo en el caso de una viga continua es casi -/ menor que
cuando se tienen las vigas simples. 0esafortunadamente, no existe un correspondiente
-/ de reducci!n en el costo total de la estructura. El factor real de reducci!n de costo
probablemente sea de 1 o / del caso total, debido a que conceptos tales como
cimentaci!n, conexiones y sistemas de piso, no se reducen en forma importante al
reducirse los momentos.
En la explicaci!n anterior se vio que los momentos desarrollados en vigas se reducen
bastante por la continuidad en la estructura. Esta disminuci!n se produce en lugares
donde las vigas están rígidamente unidas entre sí, o bien, donde las vigas se conectan en
forma rígida a las columnas de una estructura. Existe continuidad de acci!n en la
resistencia a una carga aplicada en cualquier parte de una estructura continua, debido aque su acci!n es resistida por el efecto combinado de todos los elementos del sistema.
- VENTA.AS DE LAS ESTR+CT+RAS HIPERESTATICAS(
"l comparar las estructuras hiperestáticas con las isostáticas, la primera consideraci!n
deberá corresponder al costo. &in embargo, es imposible ustificar econ!micamente la
selecci!n de uno u otro tipo de estructura sin ciertas reservas.
A/orro d" $at"ria"!(Ma0or"! 1actor"! d" !"2uridad(
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Ma0or ri2id"3 0 $"nor"! d"1"'ion"!(
E!tructura! $#! atracti4a!(Ada&ta5iidad a $onta6" "n 4oadi3o(
7 DESVENTA.AS DE LAS ESTR+CT+RAS HIPERESTATICAS(
2n análisis comparativo de las estructuras estáticamente determinadas, respecto de las
estáticamente indeterminadas, pone de relieve que estas %ltimas poseen ciertas
desventaas que las hacen poco prácticas en muchas aplicaciones. Estas desventaas se
explican detalladamente en los párrafos siguientes.
A!"nta$i"nto d" o! a&o0o!(
A&arición d" otro! "!1u"r3o!(
Di1icutad d" an#i!i! 0 di!"8o(
In4"r!ión d" a! 1u"r3a!(
9 ANALISIS APR:IMAD DE ESTR+CT+RAS HIPERESTATICAS(
Los procedimientos tienen muchas aplicaciones prácticas, como las siguientes3
*. ara la estimaci!n de costos de dise4os alternativos, los análisis aproximados en
ocasiones son de mucha utilidad.1. ara dise4ar miembros de una estructura estáticamente indeterminada, es
necesario hacer una estimaci!n de sus tama4os antes de proceder a analizarla por
medio de un m#todo 5exacto6.. "ctualmente se cuenta con computadoras que pueden efectuar análisis 5exactos6
y dise4os de estructuras sumamente indeterminadas en forma rápida y
econ!mica.-. Los análisis aproximados son muy %tiles para comprobar en forma somera las
soluciones 5exactas6 de la computadora 'lo que es de gran importancia(.7. 2n análisis 5exacto6 puede ser muy caro, sobre todo si se efect%an estimaciones
y dise4os preliminares. '&e supone que para tal situaci!n se dispone de un
m#todo aproximado aceptable y capaz de proporcionar una soluci!n aplicable(.8. 2na ventaa adicional de los m#todos aproximados es que permiten al
proyectista 5sentir6 el comportamiento de la estructura bao varias condiciones
de carga. Este recurso probablemente no se desarrollará a partir de soluciones
elaboradas por computadoras.
; ARMAD+RAS CN DS DIAGNALES EN CADA TABLER(
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Dia2ona"! con &oca ri2id"3(
La armadura e la fig. *+. tiene dos diagonales en cada tablero. &i una de estas
diagonales se eliminase de cada uno de los seis tableros, la armadura se volvería
isostática. La estructura es hiperestática de sexto grado.
&i las diagonales son relativamente largas y esbeltas, como las formadas por un par de
perfiles angulares, podrán soportar tensiones razonablemente grandes, pero cargas de
compresi!n insignificantes. En este caso es l!gico suponer que la fuerza cortante en
cada tablero es soportada totalmente por la diagonal que estaría en tensi!n con ese tipo
de cortante. &e supone que la otra diagonal no toma ninguna fuerza.
Dia2ona"! con ri2id"3 con!id"ra5"(
En algunas armaduras se construyen con rigidez suficiente para resistir cargas de
compresi!n. En el caso de tableros con dos diagonales, pueden considerarse que la
fuerza cortante es resistida por ambas. La divisi!n del efecto de tal fuerza hace que una
diagonal est# sometida a tensi!n y la otra a compresi!n. La aproximaci!n acostumbrada
consiste en suponer que cada diagonal toma 7+/ de la fuerza cortante. &in embargo, es posible suponer otra forma de distribuci!n de la fuerza cortante, por eemplo un tercio
para la diagonal a compresi!n y dos tercios para la diagonal a tensi!n.
Las fuerzas calculadas para la armadura de la fig. *+.- se basan en una divisi!n
equitativa de la fuerza cortante en cada tablero.
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< ANALISIS DE ESTRC+T+RAS IND+STRIALES(
En cuanto a las cargas de gravedad, estas armaduras se analizan como si estuvieran
simplemente apoyadas sobre muros en vez de estar unidas rígidamente a las columnas,
pero en lo que respecta a cargas laterales, las columnas y las armaduras deben analizarse
como una unidad. En edificios de oficinas de altura moderada, los muros y tabiques
internos ofrecen considerablemente resistencia al efecto del viento, proporcionando en
muchos casos la resistencia suficiente, las estructuras industriales deben ser analizadas y
dise4adas para resistir cargas de viento, ya que no contienen muros interiores que
ayuden a resistir tales cargas. "demás, en estas construcciones puede haber gr%as
viaeras cuyo funcionamiento provocará cargas laterales adicionales que necesitan
tomarse en cuenta en el dise4o. La estructura industrial de la fig. *+.7 se analiza para
una carga de viento de *7 9:;m distribuida a lo largo de su altura. En presencia decargas debidas a gr%as, estás se manearán exactamente de la misma manera.
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Cuando una columna se encuentra rígidamente unida a la cimentaci!n, no puede haber
giros en la base. &i la armadura apoyada sobre los remates de las columnas es muy
rígida y está firmemente unida a ella, una tangente a una columna es su unta con la
armadura, permanecerá vertical. 2na columna empotrada en sus dos extremos, se
deformaría seg%n una curva en & por la acci!n de cargas laterales 'fig. *+.<(.
En un punto intermedio entre la base de la columna y la parte inferior de la armadura 'o
la cartela(, el momento flexionante se anula porque cambia de un valor que produce
tensi!n en un lado de la columna, a otro que la produce en el otro lado. El punto de
momento nulo se llama inflexi!n 'o punto de contraflexi!n(. &i cada columna contiene
un punto de inflexi!n, se tendrán dos de las tres hip!tesis necesarias 'se dispondrá de
dos ecuaciones de suma de momentos, ' ∑M =0 (.
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&e supone a veces que los puntos de inflexi!n se encuentran entre *; y = de la altura,
entre la base de la columna y la base de la armadura, o bien, de la cartela en caso de se
emplee #sta.
En la fig. *+.> se analiza la estructura con base en las siguientes hip!tesis se supone que
el plano de inflexi!n se encuentra a *; de la altura de la columna, esto es, a *.>+ m de
arriba de su base y que la fuerza cortante total en el plano de inflexi!n, es de ?+ 9:, se
reparte de manera equitativa entre las dos columnas.
ara calcular la reacci!n vertical en la columna de la derecha, se toman momentos de
las fuerzas situadas arriba del plano de inflexi!n, con respecto al punto de inflexi!n en
la columna izquierda. 0e la condici!n ∑V =0 o se logra la reacci!n vertical en la
columna izquierda. &i el viento sopla de izquierda a derecha, la columna de la derecha
'la que se encuentra a sotavento( está sometida a compresi!n, en tanto que la de la
izquierda 'la que se halla a barlovento(, está sueta a tensi!n.
El momento flexionante en la base de cada columna se determina tomando momentos
respecto a la base de las fuerzas aplicadas a la columna en y abao del punto de
inflexi!n.
or ultimo, las fuerzas en la armadura se calculan mediante la estática. "l evaluar las
fuerzas en los elementos de esta armadura que est#n conectados a una columna, deben
tomarse en cuenta todas las fuerzas que act%en sobre esta %ltima, pues las columnas sehallan suetas tato a fuerza axial como a momento flexionante.
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"l pasar el corte *@* en la armadura, por equilibrio de momentos con respecto al nudo
U 0 se determina la fuerza en L
0 L
1 se determina la fuerza U 0U
1 . 0e manera
similar, al pasar el corte 1@1 por la armadura, por equilibrio de momentos con respecto a
U 6 se calcula la fuerza L
5 L
6 y por momentos con respecto a L5 , las fuerzas
U 5U
6 . Las fuerzas resultantes se pueden determinar mediante el m#todo de los
nudos.
∑M izq P. L=O 0e las fuerzas de inflexi!n.
(15 ) (6 ) (3 )−14.4V R=0
V R=18.75
KN↑0=¿
Auerza axial en la columna derecha por
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∑V =O ,
V L=18.75 KN↓0=¿ Auerza axial en la columna BD2BE0"
&uponiendo que la fuerza cortante horizontal total por encima del plano de inflexi!n,
igual a ?+ 9:, se reparte igualmente entre ambas columnas 'a raz!n de -7 9: en cada
una(.
H L=45+(15 ) (1.8 )072 KN←
H R=45←
Los momentos de reacci!n en cada columna se calculan por equilibrio de momentos de
las fuerzas que act%an sobre la misma, entre su base y el punto de inflexi!n, con
respecto a la base.
M L=(45 ) (1.8)+(15) (1.8) (0.9)=105.3 KN .m↺
M R=(45) (1.8)=81 KN .m↺
Auerza en L0 L
1
∑M UO=0
(45
) (6
)−
(15
) (6
) (3
)−2.4
L0 L1 F +
L0 L
1=0
Auerza en U 0U
1 3
∑M L1 F +
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2.4U 0U
1+(18.75) (2.4 )+(15) (6 ) (0.6)−( 45) (3.6)=0
U 0U
1=−26.25 KN
= ARRISTRAMIENT LATERAL EN P+ENTES(
Las armaduras de puentes se refuerzan o arriostran transversalmente por medio de
sistemas de contraventeo o arriostramiento en los planos de las cuerdas superior e
inferior, y tambi#n en planos verticales o inclinados. El contraventeo transversal une las
armaduras principales, haciendo que toda la estructura act%e como un entramado rígido.
&irve para evitar vibraciones excesivas y resistir las cargas laterales producidas por
viento, sismo, cabeceo de locomotoras y por el efecto de fuerza centrifuga de transito deautom!viles en puentes con los sistemas de arriostramiento que se usarían en los planos
de las cuerdas superior e inferior.
" menudo se emplea un sistema de arriostramiento en el plano de los portales extremos,
semeante al mostrado en las figuras *+.? y *+.*+. Este tipo de refuerzo recibe el
nombre de contraventeo de p!rtico.
Fig 10.9 (a) armadura lateral superior.
(b) Planta. Armadura lateral inferior.
2n portal de puente tiene por obeto proporcionar la reacci!n de extremo al sistema
transversal superior, y transmitirla hasta los apoyos. La disposici!n de los contraventeos
o riostras en los portales es muy semeante a la de la estructura de tipo industrial, y es posible analizar dichos p!rticos exactamente como si así lo fueran.
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Los portales para puentes como trabes de alma llena pueden ser de los tipos que se
muestran en la fig. *+.**, donde la viga horizontal está rígidamente conectada a las
columnas 'en realidad a las trabes laterales(. Garcos semeantes son parte fundamental
de las estructuras de acero para edificios, y tambi#n pueden analizarse con las mismas
hip!tesis empleadas para edificaciones industriales. En la fig. *+.** 'a( se analiza un
portal con las bases de sus columnas empotradas. En la fig. *+.** 'b( se muestra el
análisis de un portal con las bases de sus columnas articuladas. En cada caso se
muestran la configuraci!n deformada, las reacciones y los diagramas de momentos
flexionante.
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> VIGAS CNTIN+AS(
Con frecuencia es práctico aislar una secci!n de un edificio y analizar esa parte de la
estructura. or eemplo, uno o más claros de vigas pueden aislarse como cuerpo libre y
hacer hip!tesis sobre los momentos en esos claros. ara facilitar tal análisis, se muestran
en la fig. *+.*1 los diagramas de momentos flexionantes para diferentes vigas cargadas
uniformemente.
"l analizar esta figura resulta obvia que el tipo de apoyo tiene un efecto considerable en
la magnitud de los momentos. or eemplo, la viga simple con cargas uniforme de la fig.
*+.*1 'a( tiene un momento máximo de wl 2
8 , en tanto que la viga doblemente
empotrada con carga uniforme tendrá uno de wl 2
12 . ara una viga continua cargada
uniformemente se podría estimar un momento máximo con un valor intermedio entre
los dos anteriores, digamos wl 2
10 , y utilizar este valor para el dimensionamiento
preliminar de la viga.
En las expresiones para los momentos positivos, H es la carga de dise4o en tanto que
ln es el claro libre para calcular los momentos positivos y el promedio de claros
adyacentes para calcular los momentos negativos. Estos valores de determinaron para
miembros con claros aproximadamente iguales 'el mayor de los dos claros adyacentes
no excede al menor en más de 1+/( y para casos en los que la relaci!n de la carga viva
uniforme de servicio con la carga muerta uniforme, tambi#n de servicio, no es mayor
que tres. Estos coeficientes no son aplicables a elementos de concreto pre reforzado. &i
estas condiciones limitantes no se cumplen deberá usarse un m#todo más preciso de
análisis.
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ara el dise4o de una viga o de una losa continua, los coeficientes de momentos
proporcionan dos conuntos de diagramas de momento flexionante para cada claro de la
estructura. 2n diagrama resulta de colocar las cargas vivas de manera que produzcan un
momento máximo positivo en el claro, en tanto que el otro resulta de colocar las cargas
vivas de manera que produzcan un momento máximo negativo en los apoyos. &in
embargo, no es posible producir momentos máximos negativos en ambos extremos de
un claro, simultáneamente. &e necesita una posici!n de las cargas vivas para producir un
momento máximo negativo en un extremo del claro y otra posici!n para producir un
momento máximo negativo en el otro extremo.
Co"1ici"nt"! d" ACI
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Gomento positivo
Claros extremos
&i el extremo discontinuo no esta rígido
1
11wl
2
n
&i el extremo discontinuo es monolítico con el apoyo
1
14wl
2
n
Claros interiores
1
16wl
2
n
Gomento negativo en la cara exterior del primer apoyo interior
0os claros
1
9wl
2
n
Gas de dos claros
1
16wl
2
n
Gomento negativo en otras caras de apoyos interiores1
11wl
2
n
Gomento negativo en caras de todo apoyo para 'a(losas
con claros que no excedan de m y 'b( vigas y trabes donde
la relaci!n de la suma de las rigideces de las columnas con la
1
12
wl 2
n
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rigidez de la viga exceda de ocho en cada extremo del claro
Cuando el soporte es una viga de fachada o una trabe1
24wl
2
n
Cuando el soporte es una columna
1
16wl
2
n
Auerza cortante en elemento extremos, en la cara del
primer apoyo interior
1.5wln
2
fuerza cortante en las caras de todos los demás apoyosw ln
2
&in embargo, la suposici!n de que ambos ocurren al mismo tiempo se encuentra del
lado de la seguridad, porque el diagrama resultante tendrá valores críticos mayores que
los producidos al considerar por separado las condiciones de carga.
Los coeficientes del "CB dan puntos máximos para una envolvente de momentos para
cada claro de una estructura continua. En la fig. *+.* se muestran envolventes típicas
para una losa continua construida monolíticamente con sus apoyos externos que son en
este caso trabes de fachada.
En algunas ocasiones el proyectista aislará una parte de sus estructuras que no soloincluya las vigas sino tambi#n las columnas de los pisos superiores e inferiores, como se
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muestra en la fig. *+.*-. Este procedimiento, llamado m#todo del marco equivalente, es
s!lo aplicable a cargas de gravedad. Los tama4os de los elementos se estiman y se hace
un análisis usando un m#todo apropiado 5exacto6 tal como el de distribuci!n de
momentos de Cross que se describe en los capítulos *- y *7.
)? ANALISIS DE ESTR+CT+RAS DE EDI@ICIS PR CARGAS
VERTICALES
2n m#todo aproximado para analizar estructuras de edificios considerando cargasverticales, consiste en suponer que en las trabes existen puntos de inflexi!n localizadosaproximadamente a *;*+ de la longitud, desde cada extremo, y que además es nula lafuerza axial en dichas trabes '1(.
Los supuestos anteriores tienen el efecto de crear una viga simplemente apoyada entrelos puntos de inflexi!n, pudiendo determinarse por estática los momentos positivos enla viga. En las trabes aparecen momentos puede calcularse considerando que la parte dela viga hasta el punto de inflexi!n funciona como voladizo.
La fuerza cortante en el extremo de cada traba contribuye a las fuerzas axiales en lascolumnas. "nal!gicamente, los momentos flexionantes negativos de las trabes son
transmitidos a las columnas. En el caso de columnas intermedias, los momentosflexionantes sobre las trabes de cada lado se oponen entre sí y pueden cancelarse.
En las columnas exteriores hay momentos flexionantes %nicamente en un lado, producidos por las trabes unidas a ellas, y deben considerarse en el dise4o.
En la fig. *+.*7, la viga "I de la estructura de edificio se analiza suponiendo puntos deinflexi!n en puntos localizados a *;*+ de la longitud, y apoyos empotrados en losextremos de las vigas.
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ara hacer estimaciones razonables sobre la posici!n delos puntos de inflexi!n, puede
ser muy conveniente esbozar la curva elástica aproximada de la estructura.
Como ilustraci!n se dibua a escala en la fig. *+.*8'a( una viga continua y en la fig.
*+.*8 'b( se esboza su curva elástica para las cargas mostradas. 0e tal esbozo puede
estimarse la posici!n aproximada de los puntos de inflexi!n. or %ltimo, en la parte 'c(
de la fig. se aísla la parte de la viga comprendida entre los puntos de inflexi!n del claro
central) esa parte de la viga se comporta como si estuviera simplemente apoyada.
&ería %til que el lector viera d!nde se presentan los puntos de inflexi!n en unas cuantas
vigas estáticamente indeterminadas. Esto lo ayudaría en la estimaci!n de las posiciones
de tales puntos en estructuras más complicadas. En la fig. *+.*< se muestran los
diagramas de momentos de varías vigas. Los puntos de inflexi!n ocurren obviamente
donde los momentos camban de signo.
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))
ANALISIS DE ESTR+CT+RAS DE EDI@ICIS PARA CARGAS LATERALES
Las estructuras de edificios están suetas tanto a cargas laterales como a cargas
verticales. La necesidad de considerar cuidadosamente estas fuerzas aumenta con la
altura del edificio. :o s!lo debe tener suficiente resistencia lateral para impedir el
colapso, sino tambi#n la suficiente resistencia a la deformaci!n, para evitar alteracionesinaceptables en sus diferentes partes.
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Jtro concepto importante es la provisi!n de suficiente rigidez lateral para dar a los
ocupantes una sensaci!n de seguridad, lo cual no podría ocurrir en edificios altos donde
se produesen desplazamientos laterales notables debido a intensas fuerzas de viento.
&uelen presentarse casos reales de personas que ocupan los pisos de mayores alturas y
quienes son aqueadas por mareo en días con vientos muy fuertes.
Las cargas laterales se pueden tomar por medio de arriostramiento en K o de otro tipo,
por medio de muros de cortante o por conexiones resistentes a momento. En este
capitulo s!lo se considerará este %ltimo procedimiento.
Los edificios construidos por marcos rígidos son sumamente hiperestáticos, y su análisis
mediante los m#todos 5exactos6 comunes es muy laborioso, por lo que se utilizan
mucho los m#todos aproximados. El grado total de indeterminaci!n estática de unedificio 'tanto interna como externa( se puede tener considerando que consta de p!rticos
independientes. En la fig. *+.*? se ve c!mo se descompone en un conunto de p!rticos,
un nivel de la estructura rígida mostrada en la fig. *+.*>.Cada portal estáticamente
indeterminado de tercer grado y el grado total de indeterminaci!n de un edificio es igual
a tres veces el n%mero de portales que constituyen la estructura.
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En lo que sigue se analiza la estructura de un edificio mostrada en la fig. *+.*> mediante
los m#todos aproximados, comparándose los resultados así obtenidos con los de uno de
los m#todos 5exactos6 que se aplican en cada capítulo posterior. &e seleccionaron las
dimensiones y las cargas de manera que ilustren convenientemente los m#todos
aplicados y que los cálculos sean sencillos. Existen ? trabes en la estructura, lo cual da
un grado total de hiperestaticidad igual a 1<, por lo que se necesitará un total de 1<
hip!tesis para poder tener una soluci!n aproximada.
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&e debe tener presente que en la actualidad, con la existencia y disponibilidad de accesode las calculadoras digitales, es factible realizar análisis 5exactos6 en un tiempo
considerablemente menor que el requerido por los m#todos aproximados 'sin el uso de
tales calculadoras(. Los valores más precisos obtenidos permiten el empleo de
elementos estructurales de menores dimensiones, por lo que el uso de la calculadora
ahorra tanto tiempo en la realizaci!n de los cálculos, como en los materiales. Es posible
analizar en unos cuantos minutos estructuras 'tales como edificios altos( estáticamente
indeterminadas con cientos o aun miles de redundantes, mediante el m#todo de losdesplazamientos. Los resultados para esas estructuras sumamente indeterminadas son
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bastante mas precisos y pueden además, obtenerse en forma mas econ!mica que los
suministrados por los análisis aproximados.
Los dos m#todos considerados aquí son el portal y el de voladizo. "mbos se emplearon
con #xito en tantos dise4os de edificios, que llegaron a convertirse en el procedimientoestándar de dise4o de los ingenieros antes del empleo de las computadoras modernas.
En ninguno de ellos se toman en cuenta las propiedades elásticas de los elementos
estructurales. Estas omisiones pueden ser muy serias en marcos asim#tricos y en
edificios muy altos. " fin de ilustrar la seriedad del problema se expondrán los cambios
que experimentan las dimensiones en un edificio muy alto.
En tales edificaciones probablemente no hay grandes cambios en el tama4o de las vigas
desde el piso más alto hasta el más bao. ara las mismas cargas y claros los cambios
dimensionales se deberían a los momentos flexionantes causados por el viento en los
pisos inferiores. &in embargo, la variaci!n en el tama4o de las columnas entre los
niveles extremos puede ser considerable. El resultado es que los tama4os relativos de
columnas y vigas en los pisos superiores, son completamente diferentes a los de esos
elementos en los pisos inferiores. &i no se considera este hecho, se originarán graves
errores en el análisis.
$anto en el m#todo del portal como en el de voladizo se supone que las cargas
producidas por el viento son resistidas totalmente por la estructura o marco principal del
edificio, sin que los pisos y los muros contribuyan a la rigidez total. &e supone, además,
que son insignificantes los cambios de longitud en trabes y columnas. &in embargo, no
lo son en el caso de edificios elevados y esbeltos, cuya altura sea unas cinco veces la
dimensi!n horizontal mínima.
&i la altura del edificio es por lo menos cinco veces mayor que su mínima dimensi!nlateral, generalmente se considera que debería usarse un m#todo más exacto que el del
portal o el de voladizo. Existen varios excelentes m#todos aproximados, los cuales
emplean las propiedades elásticas de las estructuras y que dan valores muy cercanos a
los que se tienen con los m#todos 5exactos6. Entre ellos están3 el m#todo del factor '(,
el m#todo de itmer '-( de los porcentaes 9 y el m#todo de &purr '7(. &i se deseara
emplear un m#todo 5exacto6 manual, podría recomendarse en m#todo de la distribuci!n
de momentos o m#todo de Cross que se estudiará en los capítulos *- y *7.
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M%todo d" &orta(
El m#todo aproximado más com%n para analizar las estructuras de edificios suetos a
cargas laterales es el del portal. 0ebido a su sencillez, probablemente se ha empleado
más que cualquier otro procedimiento aproximado para determinar las fuerzas internas producidas por carga de viento en estructuras de edificios. &e dice que este m#todo, que
fue expuesto por vez primera por "lbert &mith en la publicaci!n denominada Mournal of
the estern &ociety of Engineers 'abril, *?*7(, es satisfactorio para edificios hasta de 17
pisos '8(.
0eben formularse por lo menos tres hip!tesis por cada marco o por casa trabe. En este
m#todo, la estructura se considera dividida en p!rticos o marcos independientes 'fig.
*+.*?( y se establecen los tres supuestos siguientes3
*. Las columnas se deforman de manera que en su punto medio se forma un punto
de inflexi!n como se muestra en la fig. *+.** 'a(.1. Las trabes se deforman de modo que en su punto medio se forma un punto de
inflexi!n.. Las fuerzas cortantes horizontales en cada nivel están distribuidas
arbitrariamente entre las columnas. 2na distribuci!n que se emplea
com%nmente 'ilustrada aquí( consiste en suponer que la fuerza cortante sereparte entre las columnas seg%n la siguiente relaci!n3 una parte para las
columnas exteriores y dos para las interiores. En la fig. *+.*? puede verse la
raz!n de suponer esta relaci!n. Cada columna interior forma parte de los
marcos, en tanto que una columna exterior sirve s!lo para uno. Jtra distribuci!n
com%n consiste en suponer que la fuerza cortante N tomada por cada columna
es proporcional al área de piso que soporta. La distribuci!n de cortante realizada
mediante ambos procedimientos sería la misma para un edificio con claros deigual tama4o, pero en un con claros desiguales, los resultados diferirían de los
del m#todo del área de piso, dando probablemente resultados más reales.
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En esta estructura existen 1< redundantes) para determinar sus valores se ha formado
una hip!tesis relacionada con la posici!n del punto de inflexi!n en cada una de las 1*columnas y trabes. &e establecen, además, tres supuestos en cada nivel respecto a la
distribuci!n de cortante en cada marco, o sea, que el n%mero de hip!tesis para cortante
es menor en una unidad al n%mero de columnas de cada nivel. ara la estructura se
formulan ? hip!tesis de cortante, dando así un total de + con s!lo 1< redundantes. &e
han establecido entonces más hip!tesis que las necesarias, pero esto es congruente con
la soluci!n 'es decir, si s!lo se usaran 1< y los valores restantes se obtuvieran por
estática, los resultados serían id#nticos(.
An#i!i! d" a "!tructura
La estructura se analiza en la fig. *+.1+ con base en las hip!tesis anteriores. Las flechas
mostradas en la figura dan el sentido de la fuerza cortante en las trabes y de la fuerza
axial en las columnas.
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El lector puede visualizar las condiciones de esfuerzo en la estructura s!lo con suponer
que el empue del viento es de izquierda a derecha, y produce así tensi!n en las
columnas exteriores de la izquierda y compresi!n en las columnas exteriores de la
derecha. En resumen, los cálculos se realizaron como sigue.
)( Cortant" "n a! cou$na!
&e determinaron primero las fuerzas cortantes en cada columna para los diversos
niveles. La fuerza cortante total en el nivel más alto vale 8<+7 9:. Como existen dos
columnas exteriores y dos interiores, se puede escribir la siguiente expresi!n3
x+2 x+2 x+ x=6705 KN
x=11.25 KN
2 x=22.50 KN
La fuerza cortante en la columna &0 vale **.17 9:) en OP es de 11.7 9:, etc.
"simismo se determinaron las fuerzas cortantes para las columnas de los niveles
primero y segundo, donde las cortantes totales tienen valores de <.7 y 1+1.7 9:,
respectivamente.
*( Mo$"nto! "n a! cou$na!
&e supone que las columnas tienen puntos de inflexi!n en sus puntos medios, de ahí que
el momento flexionante, en sus partes superior e inferior, es igual al producto de la
fuerza cortante en la columna por la mitad de la altura.
-( Mo$"nto! 0 cortant"! "n tra5"!
En cualquier nudo de la estructura, la suma de los momentos flexionantes en las trabes
es igual a la suma de los momentos en las columnas, los cuales han sido determinados
previamente. Comenzando en la esquina superior izquierda del marco total, y
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avanzando de izquierda a derecha, por suma o resta de los momentos, seg%n el caso, los
momentos flexionantes en las trabes se determinaron en el siguiente orden3 0P, PL, L,
CO, O9, etc. &e concluye que con los puntos de inflexi!n en el centro de cada trabe, la
fuerza cortante en #stas es igual al momento flexi!nate correspondiente, dividido entre
la mitad de la longitud de la trabe.
7( @u"r3a a'ia "n a! cou$na!
La fuerza axial en las columnas se puede determinar directamente a partir de las fuerzas
cortantes en las trabes. Comenzando en la esquina superior izquierda, la fuerza axial en
la columna C0 es num#ricamente igual a la diferencia entre las fuerzas cortantes en lastrabes 0P y PL, que es cero en este caso. '&i los marcos tienen el mismo ancho, las
fuerzas cortantes en la trabe de un nivel serán iguales, y la fuerza axial en las columnas
interiores será nula, ya que s!lo se consideran las cargas laterales(.
E $%todo d" 4oadi3o
Jtro m#todo sencillo para analizar estructuras de edificios suetos a fuerzas laterales, es
el de voladizo, presentado por vez primera por ".C ilson en el Engineering ecord de
septiembre del *?+>. &e dice que este m#todo es algo mas adecuado para edificios altos
y de relativamente poca anchura, que el del portal, pudi#ndose utilizar en forma
satisfactoria para edificios con no más de 17 a 7 pisos '<(. &in embargo, no es tan
popular como el m#todo del portal.
El m#todo de ilson emplea las hip!tesis del m#todo del portal relativas a las
posiciones de los puntos de inflexi!n en columnas y trabes) sin embargo, la tercera
hip!tesis es algo diferente. En vez de suponer que la fuerza cortante en un nivel
particular se reparte entre las columnas conforme a una cierta relaci!n, se considera que
la fuerza axial en cada columna es proporcional a su distancia al centro de la gravedad
de todas las columnas en ese nivel. &i se supone que las columnas en cada nivel tienen
la misma área transversal 'como se supondrá en todos los problemas relativos a este
m#todo en este capitulo(, entonces sus fuerzas variarán en proporci!n a sus distancias al
centro de la gravedad. Las cargas de viento tienden a volcar el edificio, comprimiendo
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las columnas que se encuentran a sotavento y tensando las que están a barlovento.
Cuando mayor sea la distancia de una columna al centro de gravedad de todo el grupo,
tanto mayor será su fuerza axial.
La nueva hip!tesis equivale a formular un numero de supuestos para fuerza axial igual
al numero de columnas en cada nivel, menos uno. :uevamente, la estructura contiene
1< redundantes y + hip!tesis '1* para la posici!n de los puntos de inflexi!n en trabes y
columnas(, pero las suposiciones sobrantes son congruentes con la soluci!n.
An#i!i! d" a "!tructura
En la fig. *+.1* se muestra el análisis, mediante el m#todo del voladizo, de la estructura
analizada anteriormente por el procedimiento del portal. En resumen, los cálculos se
efectuarán como sigue3
)( @u"r3a a'ia "n cou$na
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Considerando primero el nivel más alto, se toman momentos con respecto al punto de
inflexi!n de la columna C0, de las fuerzas que se encuentran sobre el plano de inflexi!n
en las columnas de ese nivel. &eg%n la tercera hip!tesis, la fuerza axial en OP será s!lo
*; de la de C0, siendo de tensi!n en OP y C0, en tanto que en 9L y J es de
compresi!n. La siguiente expresi!n se escribe, con respecto a la fig. *+.11, para
determinar los valores de las fuerzas axiales en las columnas del piso más alto.
(67.5 ) (3 )+(1S ) (6 )−(1S) (12 )−(3 S ) (18 )=0
S=3.375 KN
3S=10.125 KN
La fuerza axial en C0 vale *+.*17 9: y en OP vale .<7 9:, etc. &e efectuarán
cálculos semeantes para cada nivel, determinándose de esta manera las fuerzas axiales
en las columnas.
*( Cortant" "n tra5"!
El siguiente paso consiste en determinar la fuerza cortante en las trabes a partir de las
fuerzas axiales en las columnas. Estas fuerzas cortantes se determinan comenzando en
la esquina superior izquierda, recorriendo el nivel más alto, y sumando o restando las
fuerzas axiales en las columnas, seg%n su signo. Este procedimiento es semeante al
m#todo de los nudos empleados para calcular las fuerzas en los elementos de una
armadura.
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-( Mo$"nto! "n cou$na! 0 tra5"! 0 cortant" "n cou$na!
Los pasos finales se pueden resumir rápidamente. Los momentos flexionantes en las
trabes, como antes, son iguales al producto de las fuerzas cortantes en ellas, por la mitad
de su longitud. Los momentos flexionantes en las columnas se logran comenzando en laesquina superior izquierda, recorriendo sucesivamente cada nivel, y sumando o restando
los momentos en trabes y en columnas, obtenidos previamente. La fuerza cortante en las
columnas es igual al momento flexionante en #stas divido entre la mitad de la altura de
una columna.
La tabla *+.1 compara los momentos en los miembros de este marco determinados con
los dos m#todos aproximados y con el m#todo de distribuci!n de momentos descrito en
los capítulos *- y *7. Jbs#rvese que para varios miembros los resultados aproximados
difieren bastante de los resultados obtenidos con el m#todo 5exacto6. Conforme se vaya
adquiriendo experiencia en el análisis de estructuras indeterminadas por medio de
m#todos 5exactos6, se verá que los puntos de inflexi!n no se presentan exactamente en
los puntos medios de los miembros. 2sando una posici!n meorada para tales puntos, se
tendrán meores resultados en el análisis. El m#todo de IoHman '>( establece la
posici!n de los puntos de inflexi!n en las columnas y en las trabes de acuerdo con un
conunto especificado de reglas que dependen del n%mero de pisos del edificio. "demás,
las fuerzas cortante se dividen entre las columnas de cada nivel, de acuerdo con un
conunto de reglas basadas tanto en los momentos de inercia de las columnas como en
los anchos de los vanos o cruías. La aplicaci!n del m#todo de IoHman proporciona
resultados mucho meores que los obtenidos por los m#todos del portal y del voladizo.
Ta5a )?(* MMENTS EN LS ELEMENTS DEL MARC
E"$"nto
Mo$"nto
D"
&orta
Mo$"nto
D"
4oadi3o
Mo$"nto d"
Cro!!
E"$"nto
Mo$"nto
D"
&orta
Mo$"nto d"
4oadi3o
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"I *8>.<7 *7*.><7 18>.87 B M <.7+ 7-.<7 1?.-I" *8>.<7 *7*.><7 *<*.-7 M B <.7+ 7<.<7 1>.?7IC *+*.17 ?*.*17 >.< M A 1<+.++ 1-.++ *><.87IA 1<+.++ 1-.++ 177.*7 M 9 1+1.7 1*1.817 *8-.<CI *+*.17 ?*.*17 *1-.1 M : 1<+.++ 1-.++ 1*<.7
C0 .<7 +.<7 *.7 9 M 1+1.7 1*1.817 *?+.7
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CO *7.++ *1*.7+ *<.< 9 O *7.++ *81.++ **1.+70C .<7 +.<7 ->.8+ 9 L 8<.7 <+.><7 -7.?+0P .<7 +.<7 ->.8+ 9 J *7.++ *1*.7+ *17.77EA <.7+ 7-.<7 +1.- L 9 8<.7 <+.><7 <7.8AE <.7+ 7-.<7 1>.?7 L P .<7 -+.7 7.*
AI 1<+.++ 1-.++ 1*<.7 L .<7 +.<7 -+.7AO 1+1.7 1*1.817 *8-.<+ G : *8>.<7 *7*.><7 18>.87AM 1<+.++ 1-.++ *><.87 : G *8>.<7 *7*.><7 *<*.-7OA 1+1.7 1*1.817 *?+.7 : M 1+1.7 1-.++ 177.*7
OC *7.++ *1*.7+ *17.77 : J *+*.17 ?*.*17 >.<OP 8<.7 <+.><7 -7.? J : *+*.17 ?*.*17 *1-.1O9 *7.++ *81.++ **1.+7 J 9 *7.++ *1*.7 *<.<PO 8<.7 <+.><7 <7.8 J .<7 +.<7 *.7P0 .<7 +.<7 -+.7 J .<7 <.<7 ->.8
PL .<7 -+.7 7.* L .<7 +.<7 ->.8
)* ANALISIS DE LA ARMAD+RA VIERENDEEL
2na 5armadura6 frecuentemente empleada en Europa y ocasionalmente en Estados
2nidos, es la desarrollada por G. Nierendeel en *>?8. Este tipo de estructura, ilustrado
en la fig. *+.1 no es realmente una armadura com%n y exige el empleo de los nudos
resistentes a momento flexi!nate. Las cargas están soportadas mediante la resistencia a
la flexi!n de sus elementos cortos y fuertes. "unque su análisis y dise4o son muy
difíciles, se trata de una estructura bastante eficiente.
Estas estructuras son sumamente hiperestáticas se pueden analizar en forma aproximada
con el m#todo del portal o del voladizo, ya descritos en la secci!n precedente. La fig.
*+.1- muestra los resultados logrados al aplicar el m#todo del portal a una armadura
Nierendeel. 'En este caso sim#trico el m#todo del voladizo daría los mismos
resultados(. ara seguir los cálculos, al lector puede facilitársele mirar la estructura de
lado, porque la fuerza cortante considerada es vertical, en tanto que las estructuras antes
analizadas era horizontal.
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2n análisis 5exacto6 de esta armadura realizado con el programa para computadora
adunto a este texto 'v#ase el capitulo 1+(, da los valores mostrados en la fig. *+.17.
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En este programa se supuso que los elementos tienen áreas transversales y momentos de
inercia constantes. uesto que los puntos de inflexi!n no se encuentran exactamente a la
mitad de los elementos, los momentos flexionantes en sus extremos varían hasta cierto
punto, y ambos momentos se indican en la figura. "unque los resultados obtenidosmediante el m#todo del portal parecen muy razonables para esta armadura particular,
podrían haberse meorado austando ligeramente las posiciones supuestas para los
puntos de inflexi!n.
En muchas estructuras Nierendeel, sobre todo las de varios pisos, los elementos
horizontales inferiores pueden ser mucho más grandes y rígidos que los demás
elementos horizontales. ara tener meores resultados con los m#todos del portal o del
voladizo, se debe tener en cuenta la falta de uniformidad de las dimensiones,
suponiendo que la mayor parte de la fuerza cortante es tomada por los elementos más
rígidos.
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P
a b
A B
Fig. 1. Viga apoyada-empotrada.
P
VA VB
MB
ANALISIS DE VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS
CASS PRBLEMAS
*.*. 0EAB:BCBQ:.
&e denomina de esta manera a una barra sueta a carga lateral) perpendicular a su eelongitudinal, en la que el n%mero de reacciones en los soportes superan al n%mero de
ecuaciones disponibles del equilibrio estático, esto es3 el n%mero de inc!gnitas es mayor
que3
+
+
+
=∑
=∑
=∑
M
F
F
!
La figura *, muestra una viga de este tipo con un extremo simple 5"6 y el otroempotrado 5I6 bao una carga puntual .
" continuaci!n se muestra la viga indicando las reacciones en los soportes. En el
soporte 5"6 existe s!lo reacci!n vertical puesto que el rodillo no impide el
desplazamiento horizontal. En el empotramiento en 5I6 hay dos reacciones dado que
este soporte no permite ni desplazamientos ni rotaciones.
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P Pw
L1 L2 L3
A B C D
Fig. 2. Viga continua
P Pw
MA
VA VB VC VD
uesto que existen tres reacciones desconocidas) las fuerzas cortantes N" y NI y el
momento flexionante GI y s!lo se dispone de dos ecuaciones de equilibrio) G y
Ay, la viga es estáticamente indeterminada o hiperestática pues no es posible conocer
las tres reacciones con solo dos ecuaciones. 'Pay más inc!gnitas que ecuaciones(.
Jtro tipo de viga hiperestática es aquella que tiene más de dos soportes, y que se
denomina Niga Continua, como la que se muestra en la figura 1.
Este caso corresponde a una barra mucho más complea de analizar puesto que ahora
existen cinco reacciones externas de soporte) las fuerzas cortantes verticales y el
momento flexionante en el empotramiento ubicado en 5"6.
ara la soluci!n de estas vigas se requieren ecuaciones adicionales a las del equilibrio
estático, un camino a seguir consiste en hacer el análisis de las deformaciones angulares
o rotaciones de los nodos cuando las barras se flexionan 'pandean(, bao el efecto de lascargas aplicadas. Este análisis se plantea más adelante.
*.1. B:0E$EGB:"CBQ: E&$"$BC".
&e define como el n%mero de acciones redundantes o exceso de reacciones internas y
externas, que no es posible determinar por medio del equilibrio estático. &e puede decir
que es la diferencia entre el n%mero de inc!gnitas y ecuaciones disponibles de equilibrio
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Eje original no deformadoP
Cura e!"#tica de de$ormaci%n&angente
Fig. 3. Viga de$ormada por 'e(i%n
estático. or eemplo la viga de la figura * tiene tres reacciones desconocidas y solo se
dispone de dos ecuaciones de equilibrio, la viga es indeterminada en grado *3
:%mero de inc!gnitas F :B F
Ecuaciones de equilibrio F EE F 1
Orado de indeterminaci!n F OB F :B R EE F R 1 F *
Niga de la figura 13
:B F eacciones verticales y momento en el empotramiento F 7
EE F Equil. vertical y suma de momentos F 1
OB F 7 R 1 F
En ambos casos los OB representan el n%mero de ecuaciones adicionales para su
soluci!n.
*.. &JL2CBJ: 0E NBO"& PBEE&$"$BC"&.
&e analizan vigas estáticamente indetermindas con obeto de conocer las reacciones
externas e internas en los soportes, así como las deformaciones angulares y lineales que
ocuren a trav#s de su longitud cuando se les somete a carga axterna. Las deformaciones
angulares son las rotaciones o pendientes que se miden mediante una tangente trazada a
la curva elástica '0iagrama de deformaci!n( y las lineales son los desplazamientos
verticales que se miden entre el ee original de la viga y el ee cuando la barra se
flexiona. La figura muestra esta condici!n.
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)** +g,m
1 2Fig.
F Carga aplicada.
F otaci!n o pendiente.
F 0eformaci!n lineal o flecha.
*..*. GE$J0J 0E L" 0JILE B:$EO"CBQ:.
Es uno de tantos m#todos que se basan en el análisis de las deformaciones, en particular
la de los soportes. El m#todo consiste en integrar sucesivamente una ecuaci!n
denominada 5Ecuaci!n 0iferencial de la Elástica6 dada por la expresi!n3
x M dx
yd
EI =
*
*
E F G!dulo elástico del material del que está hecha la viga.
B F Gomento de inercia de la secci!n transversal respecto al ee neutro.
Gx F Ecuaci!n de momentos a lo largo de toda la barra.
"l integrar sucesivamente la ecuaci!n de momentos, aparecen constantes que seránecesarios definir. Estas constantes se determinan en funci!n de las condiciones de
frontera, que generalmente las definen los tipos de apoyo o la simetría de la carga.
ecordemos que un apoyo simple tiene pendiente pero no tiene flecha y un apoyo
empotrado no tiene ni pendiente ni flecha. En un punto cualquiera de la viga, la
pendiente es la misma analizando las cargas y momentos a la izquierda o a la derecha
del punto.
Pro5"$a )(
0etermine los momentos flexionantes y las reacciones verticales en la viga de la figura
-(. $omar EB constante. El apoyo * es simple el 1 es empotramiento.
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) * * + g , m
(V1
V2
M2Criterio de #igno#
/
Ecuaciones de momento. &e traza el diagrama de cuerpo libre indicando las reacciones
desconocidas y la carga aplicada. Enseguida se plantea la ecuaci!n de momentos y se le
integra sucesivamente.
80250 21 ≤xxxVMx
212
2
250xxVdx
dEI y
Bntegrando3
)CxxV
dx
EIdy1
3
250
2 1
321
)CxC
xxV
EIY 212
250
6 21
431
Cálculo de las constantes. La ecuaci!n *( proporciona la pendiente 'dy;dx( en cualquier
punto de la viga. El apoyo 1( está empotrado y no tiene pendiente por lo que
sustituyendo x F > e igualando a cero se tiene3
1
321
3
8250
2
80 C
)()(V
11 326666642 V.,C
La ecuaci!n 1( proporciona la flecha S en cualquier punto de la viga. El apoyo *( es
simple y no tiene flecha, sustituyendo x F + e igualando a cero, se tiene3 C1 F +
En la misma ecuaci!n 1( la flecha es cero en x F > y sustituyendo C* logramos obtener
una ecuaci!n en funci!n de la reacci!n N* la que al resolverse nos da su valor.
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)** +g,m
.m
2500
1 2
Fig. 5)
832666664212
8250
6
80 1
431 )V.,(
)()(V
N* F *7++.++ Tg
or equilibrio de fuerzas verticales se obtiene la reacci!n N1.
N* U N1 @ 7++'>( F +
N1 F 17++.++ Tg
Conocidas las reacciones verticales, el momento G1 puede calcularse sumando
momentos en el nodo *( o en el 1( o sustituyendo x F > en la ecuaci!n de momentos.
G* F G1 U 7++'>(- @ 17++'>( F +
G1 F -+++.++ Tg.m
Pro5"$a *(
Jbtenga los momentos y reacciones verticales para la viga de la figura 7(. $race
tambi#n los diagramas de fuerza cortante y de momento flexionante. &i la secci!n
transversal es compacta rectangular de *7x17 cm, calcule la flecha al centro del claro
para un m!dulo elástico de 17+,+++.++ cm-.
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(
X1
M1 M2
V1 V2Criterio de #igno#
/
Ecuaciones de momento. &e traza el diagrama de cuerpo libre indicando las reacciones
desconocidas y la carga aplicada. Enseguida se plantea la ecuaci!n de momentos y se le
integra sucesivamente.
)xMxVMx 15011
)x)x(MxVMx 21955800 111111
Bntegrando la ecuacion *(.
112
2
MxVdx
EIdy
)CxMxVdxEIdy 3
2 11
21
)CxCxMxV
EIY 426
21
21
31
En las ecuaciones ( y -(, la pendiente 'dy;dx( y la felcha 'S( son cero en el apoyo *,
esto es cuando x F +. ara esta condici!n C* y C1 son cero.
C* F C1 F +
Bntegrando la ecuaci!n 1(.
)x(MxVdx
EIdy5800 11112
1
2
)C
)x(
xM
xV
dx
EIdy
52
5800
2 3
21
11
211
1
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.m.m
**
**
1***
1***1***
Fuer0a Cortante
Momento F!ector
)CxC)x(xMxV
EIY 66
5800
26 413
31
211
311
En las ecuaciones ( y 7( la pendiente es la misma cuando x F x* F 7. "l comparar estas
ecuaciones resulta C F +
En las ecuaciones -( y 8( la flecha es la misma cuando x F x* F 7. "l comparar estas
ecuaciones resulta C- F +
&e requieren ahora 1 ecuaciones de equilibrio. Estas ecuaciones se obtienen para x* F *+
en 7( y 8(, ya que en este apoyo la pendiente y la flecha son cero.
En 7( cuando x* F *+, 'dy;dx* F +(3
*
9)?=??)?
*
)??
*
)
*
)
M V
7+N* @ *+G R *+,+++.++ F + @@@@@@@@ <(
En 8( cuando x* F *+, 'S F +(3
0106
5)-10(800
2
10M
6
1043
321
31
=CC)()(V
*88.888 N* @ 7+ G* @ *8,888.888 F + @@@@@@@ >(
esolviendo las ecuaciones <( y >(.
N* F -++ Tg
G* F *+++ Tg.m
0iagramas de cortante y de momento.
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12** +g,m
L
A B
12** +g,m
MA MB
VA VB
Alecha al centro del claro. &e obtiene en la ecuaci!mn -( para x F 7.++ m.
)CxCxMxV
EIY 426
21
21
31
EI
.,
Y
66616664
E F 17+,+++.++ Tg;cm1
43
255311912
2515cm.,
)(I =
cm.).,(.,
)(.,Y 8530255311900000250
1066616664 6=
Pro5"$a -(
La viga de la figura 8( tiene ambos extremos empotrados y recibe una carga
uniformemente variable de *1++ Tg;m. 0etermine los momentos y las reacciones
verticales en los empotramientos. $omar EB constante.
Bnc!gnitas y ecuaci!n de momentos.
Fig.
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La altura 'y( de la carga triangular a la distancia 'x( se obtiene por triangulos
semeantes.
L
x wy
La resultante del triángulo ubicado en la longitud 'x( y de altura 'y( es su área 'yx;1( y
se ubica a 'x;( que es su centro de gravedad de derecha a izquierda. La ecuaci!n de
momentos es entonces3
Lx
xx
XVM Ax ≤
0M32L
wx
A
A
3
M6
L
x wXVM Ax
&e escribe la ecuaci!n diferencial y se integra sucesivamente.
A
3
2
2
M
6L
wx XV
dx
ydEIA
)(.EcCxL
xV
dx
dyEI A1M
24
wx
2 1A
42
En esta ecuaci!n cuando x F +, la pendiente dy;dx es cero y por tanto la constante C* F
+.
)(.EcCxL
xVEIY A 22
M120wx
6 2
2A53
En esta ecuaci!n cuando K F +, la flecha S F + y por tanto la constante C1 F +.
En las ecuaciones '*( y '1( cuando x F L, la pendiente y la flecha son cero. 0e aquí
resultan dos ecuaciones con dos inc!gnitas.
dy;dx F +. En la ecuaci!n *.
x F L
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12** +g,m
21*.**1*
*4* 2)2*
)(.EcLMLV
AA 30
24
wL
2
32
=
S F +. En ecuaci!n 1.
K F L
)(.EcLLVA 402
M
120
wL
6
2A
43
=
La soluci!n de las ecuaciones '( y '-( dan los siguientes resultados3
m.kg.,)(L w
MA 00440130
61200
30
22
=
.kg.,)()( wL
va 00080120
612003
20
3=
La reacci!n vertical en I se obtiene por equilibrio de fuerzas.
.kg.,)()( wL wL
VB 00520220
612007
20
7
20
3wL
2=
El momento en I se obtiene por suma de momentos en " o en I.
020
7wl
30
wL
3
2
2
2
=
= BA MLL wL
M
m.kg.,)( wL
MB 00160220
61200
20
22
=
Pro5"$a 7(
La viga de la figura <( tiene ambos extremos empotrados y recibe una carga
uniformemente distribuida de *1++ Tg;m. 0etermine los momentos y las reacciones
verticales en los empotramientos. $omar EB constante.
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3** +g,m
A BFig. 5
3** +g,m
MA MB
VBVA(
61
Bnc!gnitas y ecuaciones de momento.
)(.EcxxVM Ax 150M- A ≤
Bntegrando sucesivamente3
A2
2
M-xVdx
ydEIA
).(.EcCxxV
dx
dyEI A 2M2
1A
2
)(.EcCxCxxV
YEI A 32
M
6 21
2 A
3
En las Ec. '1( y '( la pendiente 5dy;dx6 y la flecha 5y6, son cero por estar el apoyo
empotrado y por tanto, las constantes C* y C1 son cero.
)(.Ecxx(xVM Ax 4105M2
)5-(x
)5300 1A
1
111 ≤
Bntegrando3
)(.EcCxxV
dx
dyEI A 5M6
)5-x(300
2 31A
31
21
1
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)(.EcCxCxxV
YEI A 62
M
24
)5-x(300
6 413
21A
41
31
En las ecuaciones '1( y '7( la pendiente tiene el mismo valor cuando
5x F x* F 76, por tanto, al igualar estas ecuaciones, resulta C F +.
En las ecuaciones '( y '8( la flecha tiene el mismo valor cuando
5x F x* F 76, por tanto al igualar estas ecuaciones, resulta C- F +.
En la Ec. '7( la pendiente 5dy;dx6 es cero cuando x* F *+, sustituyendo este valor
resulta la siguiente ecuaci!n3
AA M
()(V10
6
)5-10300
2
100
32
)7(Ec.0002506M1050 A =.,VA
En la Ec. '8( la flecha es cero cuando x* F *+3
2
10M
24
)5-10(300
6
10
0
2A
43 )()(VA
)8(Ec.0508127M50666166 A =.,V. A
"l resolver las ecuaciones '<( y '>(, resulta3
G" F <>*.17 Tg.m
N" F 1>*.17 Tg
NI F*,1*>.<7 Tg &e obtiene por equilibrio vertical.
GIF*,<*>.<7 Tg.m
Nerificaci!n de los momentos con f!rmula3
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3** +g,m
541.2)
241.2) 1214.5)
1514.5)
241.2)
1214.5)
.*2)
541.2)
2)
5).4
1514.5)
●1 2
** kg/m
Fig. 4
●
** kg/m
61
(
y
V1 V2
M2
m.kg.)()(L w
MA 25781192
103005
192
5 22
=
m.kg.)()(L w
MB 751718192
1030011
192
11 22
=
Pro5"$a 9(
0eterminar los momentos y trazar los diagramas de fuerza cortante y de momento
flexionante para la viga de la figura >(.
eacciones desconocidas y ecuaciones de momento.
La altura 'y( del triángulo de base 'x( se obtiene por triángulos semeantes
'y F*++x( y su resultante es su área ' F yx;1( aplicada a 1; de la base 'x( a partir del
extremo izquierdo o *; del extremo derecho 'x;(.
)..Ecxx
xVxyx
xVMx
1406
100
32
3
11 ≤
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6
100 3
12
2 xxV
dx
ydEI
Bntegrando sucesivamente3
)..EcCxxV
dx
dyEI2
24
100
2 1
421
)..EcCxCxxV
EIY 3120
100
6 21
531
En la Ec. (, cuando x F +, la flecha 'S( es cero, y por tanto C1 F +.
Ecuaci!n de momentos a la distancia x*3 ara esta distancia debe tomarse la resultante
total de la carga triangular ya que queda ubicada a la izquierda del punto donde se está
cortando, es decir3 ' F -++'-(;1 F >++ Tg( y se aplica al centroide, esto es a ' 1; de -
F >; F 1.888(.
846662800 1111 ≤x).x(xVMx
).x(xVdx
ydEI 6662800 1112
2
Bntegrando sucesivamente3
)..EcC).x(xV
dx
dyEI4
2
6662800
2 3
21
211
).EcCxC
).x(xV
YEI 56
6662800
6 43
31
311
Comparando las ecuaciones 1( y -( en x F x* F -, la pendiente es la misma3
2
66624800
24
4100 2
3
4
1
).(C
)(C
)..Ec.CC 655535531
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Comparando las Ec. ( y 7( en xFx* F -, la flecha es la misma3
6
666248004
120
41004
3
43
5
1
).(CC
)(C
&ustituyendo Ec. 8(3
04943013163338535553554 433 .CC.).C(
C- F >>-.?> En Ec. -( cuando x* F >, la pendiente es cero 'dy;dx* F +(3
02
66628800
2
83
221= C
).()(V
13 327806237711 V.,C
En Ec. 7( cuando x* F >, la flecha es cero 'S F +(3
093838843278062377118
6
66628800
6
81
331
= .)V.,().()(V
N* F -1+.++ Tg.
or equilibrio vertical3
.kg..)(
V 00380004202
44002 =
or suma de momentos en el nodo *(3
m.kg.)()()(
M 6690683803
42
2
44002 =
=
Nerificaci!n con f!rmula3
m.kg.)()(L w
M 66906480
840017
480
17 22
2 =
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** +g,m
2* 34*
7*.
.** .**
2*
34*
411.)2
7*.
13.3
Fuer0a Cortante
Momento F!e(ionanteunto donde la fuerza cortante es cero.
024
400420 =
xxVx
K F 1.>?>1<7 m
La ecuaci!n de momentos es3
4024
400420
3
≤xx
xM x
K F 1.>?>1<7 m
G F >**.71 Tg.m
K F -.++ m
G F 8*.- Tg.m
$EJEG"& 0E J$$J GJP.
Es un m#todo semigráfico ideado por Christian Jtto Gohr '*>7@*?*>( y que
representa una alternativa importante para calcular pendientes y flechas en puntos
específicos de una viga. El procedimiento se conoce tambi#n como G#todo del "rea de
Gomentos y consiste en establecer de manera independiente la variaci!n de la pendiente
y de la flecha en los puntos extremos de un intervalo cualquiera, generalmente definido
por los apoyos. En este intervalo intervienen las áreas de los diagramas de momentos y
el momento de tales áreas. Es recomendable utilizar las áreas de los diagramas de
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8AB
Vi
&an
Cam
MDiagrama de momento# cua!9uiera..
g. 7;. Viga #imp!e con carga cua!9uiera.
momentos por partes ya que estos facilitan el cálculo del área así como de su centro de
gravedad. El m#todo consta de dos teoremas, a saber3rimer $eorema de Gohr. 5La
variaci!n o incremento de la pendiente 'V"I( entre las tangentes trazadas a la elástica en
dos puntos cualquiera " y I es igual al producto *;EB por el área del diagrama de
momentos flectores entre estos dos puntos6. En la figura ?( se indica esta condici!n.
0onde3
W"I F Cambio de pendiente entre las tangentes a la curva elásica.
""I F "rea del diagrama de momentos entre " y I.
EI
Aθ ABAB
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P
L
A B
Viga con carga cua!9uiera.
M Diagrama de momento# cua!9uiera y centro de graedad re#pecto a! punto B.
Fig. 1*;. Viga #imp!e con carga cua!9uiera.
<BA
●cg
(
EB F igidez a la flexi!n.
&egundo $eorema de Gohr. 5La desviaci!n de un punto cualquiera I respecto de la
tangente trazada a la elástica en otro punto cualquiera ", en direcci!n perpendicular al
ee inicial de la viga, es igual al producto de *;EB por el momento respecto de I del áreade la porci!n del diagrama de momentos entre los puntos " y I6. La figura *+( muestra
esdta condici!n.
0onde3
XI"F 0esplazamiento vertical en I trazado perpendicularmente al ee original
de la viga hasta intersectar con la tangente por ".
"I" F "rea del diagrama de momentos entre los puntos I y ".
K F cg F Centro de gravedad del diagrama de momentos medidos desde I.
Pro5"$a ;(
EI
XAδ BABA =
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.,m
A B
Fig. 11;. Viga apoyada-empotrada.
.,m
MB
VA VB
.,m
MB/
2** 2** MB, MB,
1**
1**
MB
.** .**
((
L
cg●
(
A ML,=n / 1;
6 L,=n / 2;
n grado de !a cura
M
●cg M
2L,3 L,3
2
LMA =
Calcular el momento en el empotramiento para la viga de la figura **(. 0eterminar
tambi#n las reacciones verticales.
Bncognitas en la viga.
0iagrama de momentos por partes. &e obtienen dos vigas equivalentes simplemente
apoyadas) una con la carga de >++ Tg;m y la otra con GI.
El obetivo es obtener el momento GI y puesto que la viga está empotrada en I la
pendiente es cero y una tangente por ese punto es horizontal y entonces en el punto " el
desplazamiento vertical es tambien cero. La ecuaci!n que se requiere se obtiene
sumando momentos en " para las áreas de los diagramas de momento, es decir es el
producto de las áreas y el centro de gravedad de cada una medido desde ". Las áreas
arriba del ee 5x6 se toman positivas.
&e recuerdan las áreas y centroides de algunas figuras geom#tricas.
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.,m3**
14** 3***
.,m
MB/
2** 2** MB, MB,
MB
.**
((
3.** 3.**
Mm"x.
[ ] [ ] [ ] 042
6504
3
6144004
2
614400=
BA
M.
)()(MΣ
GI F 8++.++ Tg.m
eacciones verticales.
06360036800 =BA V)(MΣ
NI F +++.++ Tg.
N" F >++'8( R +++ F *>++.++ Tg.
Jtra forma de resolver el problema. Considerense los diagramas de momentos reales
para cada viga simple.
El área total del diagrama de la carga uniforme es 1GL;. El momento máximo paraesta carga es HL1;> F 8++ Tg.m.
[ ] [ ] 042
63
3
636002=
BA
M)(MΣ
GI F 8++.++ Tg.m
Pro5"$a <(
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3.** 3.**
yB >*
>1...
<m"(.
3**
3**
A B
Calcular la pendiente en el extremo " y la flecha al centro del claro de la viga del
problema anterior, Aig. *1(. $omar EB constante.
$razar una tangente a la curva elástica por el punto " y una vertical por I.
El desplazamiento 5SI6 se obtiene sumando momentos en 5I6 para las áreas de los
diagramas de momentos.
00600212
2
636003
3
636002.,)(
)()(EIYB =
La pendiente en 5"6 se obtiene dividiendo 5SI6 entre la longitud.
EI
.,
EI
.,φA
006003
6
0060021=
El valor de la flecha al centro del claro 5Xmáx.6 se obtiene relacionando geom#tricamente
los desplazamientos indicados en la figura anterior.
Xmáx. F So @ S*
0onde 5So6 se obtiene por triángulos semeantes y 5S*6 se obtiene sumando momentos
para las áreas situadas a la izquierda del centro del claro.
36
oB YY=
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3.** 3.**
yB >* >1
...<m"(.
3**
14**
A B
M
L
A ML,3
Cg 3L,
EI
.,
EI
),(Yo
0080010
6
600213=
Cg F Centro de gravedad de derecha a izquierda.
0040053
3
2
31800
4
33
3
33600501336001 .,
)()()(.)(EIY =
EI
.,Y
0040051 =
EI
..
EI
.,
EI
.,δ .Máx
0040050040050080010=