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Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ciencia Departamento de Matemática y Ciencia de la Computación Estudio de 08 conceptos matemáticos de la unidad Nº 4 de 1º año Medio: “Variaciones Proporcionales” Alumno : Ricardo Carrasco Delgado. Carrera : Lic. en Educ. Mat. y Comp. Código : 4500. Asignatura : Metodología de la Ens. II. Código : 1827. Profesor : Hernán González Guajardo. Fecha : 14 de Septiembre de 2007.
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Universidad de Santiago de Chile
Facultad de Ciencia
Departamento de Matemática y Ciencia de la Computación
Estudio de 08 conceptos matemáticos de la unidad Nº 4 de
1º año Medio: “Variaciones Proporcionales”
Alumno : Ricardo Carrasco Delgado.
Carrera : Lic. en Educ. Mat. y Comp.
Código : 4500.
Asignatura : Metodología de la Ens. II.
Código : 1827.
Profesor : Hernán González Guajardo.
Fecha : 14 de Septiembre de 2007.
Índice
Página
• Introducción…………………………………………………………………….. 3
• Algo de Historia……..…………………………………………………………. 4
• Concepto Nº 1 Constante de proporcionalidad.................................................... 8
• Concepto Nº 2 Proporcionalidad compuesta....................................................... 18
• Concepto Nº 3 Razón........................................................................................... 26
• Concepto Nº 4 Registro de una variación proporcional………………..…....…. 34
• Concepto Nº 5 Variable continúa.......................................................................... 44
• Concepto Nº 6 Variable discreta........................................................................... 50
• Concepto Nº 7 Variación proporcional directa..................................................... 57
• Concepto Nº 8 Variación proporcional inversa................................................... 66
• Bibliografía............................................................................................................ 75
• Anexo................................................................................................................... 76
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Introducción
En este material se muestran los principales conceptos involucrados en la Unidad Nº 4
“Variaciones Proporcionales” de Primer Año Medio, Formación general, Ministerio de
Educación, República de Chile, segunda edición 2004.
El objetivo, es que sea un documento de consulta tanto para estudiantes como para profesores, es
por esta razón que se han reemplazado los nombres técnicos por expresiones más cercanas al
vocabulario de los alumnos.
Los conceptos están ordenados alfabéticamente y cada uno de ellos presenta distintos instantes,
tales como, la definición, las condiciones necesarias, las analogías y diferencias, entre otras.
Además, junto al nombre de cada concepto, se indica la unidad a la que pertenece.
Los Aprendizajes Esperados asociados a cada concepto están detallados con una nota al pie (en
la parte superior de la definición del concepto). Del mismo modo, para las competencias
asociadas a las actividades (ejercicios) planteadas.
Al final de este documento se presentan, en forma anexa, la Clave con las respuestas correctas de
los ítemes de cada concepto.
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Un poco de Historia
“Luca Pacioli, La Divina Proportione”
Luca Pacioli fue uno de los hombres más grandes del renacimiento, se le conoce como el padre
de la contabilidad. Los manuscritos e ideas de este hombre cambiaron la forma de trabajar del
mundo en su tiempo y continúan afectando actualmente a la vida moderna.
Luca Pacioli nació probablemente en 1445, en Sansepulcro, Toscaza. Su familia era pobre, y el
futuro de Pacioli parecía muy poco prometedor. Pacioli ingresó a un monasterio franciscano en
Sansepulcro y se convirtió en aprendiz de los negocios locales.
Sin embargo, pronto abandonó su aprendizaje porque, desde joven, Pacioli tenía un gran amor
por las matemáticas y se dedicó a trabajar como erudito en esa ciencia. Pacioli fue amigo del
Artista Piero Della Francesca, uno de los primeros grandes escritores de perspectiva. Francesca y
Pacioli viajaron por los Apeninos, donde Francesca permitió el acceso de Pacioli a la biblioteca
de Frederico, con aprobación de Urbino. La colección de cuatro mil libros ayudó a que Pacioli
aumentara su conocimiento sobre matemáticas.
Piero Della Francesca también introdujo a Pacioli con Leone Battista Alberti, quien se convirtió
en el nuevo mentor de Pacioli. Alberti llevó a Pacioli a Venecia y le consiguió ser profesor
particular de los tres hijos del comerciante millonario Antonio de Reimpose. Durante este
tiempo, en 1470 a la edad de veinticinco años, Pacioli produjo su primer manuscrito. El libro
trata sobre álgebra y fue dedicado a los jóvenes de su época.
Asimismo, Leone Battista Alberti, presentó a Pacioli con el Papa Paulo II, quien lo animó a
convertirse en monje y dedicar su vida a Dios. Después de que Alberti murió en 1472, Pacioli
hizo caso a la sugerencia del Papa Paulo II, y tomó los votos menores como franciscano.
En 1475, Pacioli se inició como profesor en la Universidad de Perugia, donde permanecería por
seis años. Fue el primer conferencista en sostener un debate en la Universidad sobre
matemáticas. En sus conferencias, Pacioli destacó la importancia de aplicar la teoría al uso
práctico y este énfasis lo convirtió en único entre sus semejantes.
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Durante su permanencia en la Universidad de Perugia, Pacioli escribió su segundo manuscrito,
dedicado a "la juventud de Perugia". Después de 1481, Pacioli viajó a través de Italia y por
algunos lugares fuera de ella, hasta que en 1486 fue llamado por los Franciscanos nuevamente a
la Universidad de Perugia. Durante este tiempo, Pacioli comenzó a usar el título de "Magister",
Gran Maestro, equivalente a un profesor de tiempo completo en los tiempos modernos.
1494, es la única fecha durante la vida de Pacioli que está absolutamente segura, durante este
año, a los cuarenta y nueve años de edad, Pacioli publicó su famoso libro Summa de aritmética,
geometría, proporción y proporcionalidad (recopilación del conocimiento sobre aritmética,
geometría, proporción y proporcionalidad). Pacioli escribió el Summa en una tentativa de
restaurar el pobre estado de la enseñanza de las matemáticas en su tiempo. Una sección en el
libro hizo a Pacioli famoso. La sección es: Particularis de Computis et Scripturis, un tratado en
contabilidad. Pacioli es el primero en describir la partida doble contable, también conocida como
el Método Veneciano.
El Summa hizo de Pacioli una celebridad y le aseguró un lugar en la historia como "El Padre de
la Contabilidad". El Summa fue el trabajo sobre matemáticas posiblemente más leído en toda
Italia, y uno de los primeros libros impresos en la prensa de Gutenberg. El importante manuscrito
de Pacioli lo hizo famoso inmediatamente y fue invitado a Milán para que enseñara matemáticas
en la corte del Duque Lodovico Maria Sforzo. Uno de sus alumnos sería Leonardo Da Vinci.
Durante los siete años que pasaron juntos Pacioli y Da Vinci, se ayudarían a crear dos obras
maestras que soportarían la prueba del tiempo. Da Vinci ilustró el subsecuente manuscrito de
Pacioli, De Divina Proportione ("De la Proporción Divina"), segundo en importancia. Pacioli
enseñó perspectiva y proporcionalidad a Da Vinci y este conocimiento permitió que Da Vinci
creara una de sus obras maestras más grandes, el mural en la pared norte del templo de Santa
María de Gracia Dominica. Este mural es la pintura más famosa del siglo XV, conocido como
"la cena pasada".
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Luca Pacioli y Leonardo Da Vinci.
La geometría que Pacioli enseñó a Da Vinci se muestra en muchos de los trabajos posteriores de
Da Vinci, quien menciona a Pacioli en sus notas muchas veces. En los años que duró el lazo
entre ellos, Pacioli siguió enseñando y escribiendo. En 1509, publicó De Divina Proportione así
como un trabajo sobre Euclides en Venecia y en ese mismo año, Pacioli dio una conferencia
importante sobre "la proporción y la proporcionalidad", la cual acentuó el lazo de la proporción a
la religión, la medicina, la ley, la configuración, la gramática, la impresión, la escultura, la
música y a todas las artes liberales.
En 1510, Pacioli fue designado Director del monasterio franciscano en Sansepulcro. En 1514, el
Papa Leo III llamó a Pacioli al Papado en Roma para hacerse profesor allí, y los historiadores no
están seguros sobre lo qué sucedió entonces a Pacioli aunque sí están seguros que no fue
profesor en Roma. Pacioli murió en el monasterio en Sansepulcro, probablemente el 19 de junio
de 1517.
La biografía de Pacioli, nos hace entender y concebir que la proporcionalidad fuera tratada desde
el siglo XV; sin embargo, antes de Cristo los egipcios, griegos y romanos ya se planteaban
ciertos elementos que tienen relación con este tema. Los Egipcios descubrieron la proporción
áurea por análisis y observación, buscando medidas que les permitiera dividir la tierra de manera
exacta; a partir del hombre, utilizando la mano, el brazo, hasta encontrar que él medía lo mismo
de alto que de ancho con los brazos extendidos; encontraron que el ombligo establecía el punto
de división en su altura y esta misma se lograba de manera exacta, refutando sobre la bases de un
cuadrado, una diagonal trazada de la mitad de la base a una de sus aristas. La proporción áurea,
paso de Egipto a Grecia y de allí a Roma. Las más bellas esculturas y construcciones
arquitectónicas están basadas en dichos cánones.
Platón decía: es imposible combinar bien dos cosas sin una tercera, hace falta una relación entre
ellas que los ensamble, la mejor conexión para esta relación es el todo. La suma de las partes
como todo, es la más perfecta relación de proporción. Vitruvio acepta el mismo principio pero
dice, la simetría consiste en el acuerdo de medidas entre los diversos elementos de la obra y estos
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con el conjunto, ideó una fórmula matemática, para la división del espacio dentro de un dibujo,
conocida como la sección áurea, y se basaba en una proporción dada entre los lados mas largos y
los más cortos de un rectángulo. Dicha simetría está regida por un módulo o canon común: que
es el número φ.
El número designado con la letra griega φ = 1.61803... llamado número de oro y que es la inicial
del nombre del escultor griego Fidias que lo tuvo presente en sus obras. Los antiguos griegos
adoptaron la Proporción Divina como medida sagrada y proporción estética en arte y
arquitectura. Los griegos buscaron la guía divina en el oráculo de Del-PHI, cuyo símbolo fue
una serpiente enrollada alrededor de un huevo. En el arte, φ esta considerada como la
proporción más estética. Pero pocos artistas o arquitectos modernos usan la Proporción Aúrea
en sus diseños.
Bibliografía http://www.geocities.com/ResearchTriangle/Thinktank/4492/noticias/la_proporcion_aurea.htm
http://www.hicoa.com.mx/luca.htm
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Concepto N0 1 “Constante de proporcionalidad (k)”
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Constante de proporcionalidad (k)
¿Qué es una constante de proporcionalidad?
La constante de proporcionalidad (k) es un número real que está asociado a una variación
proporcional entre dos variables.
Abre bien tus ojos
¿Qué condición (es) debe cumplir un objeto matemático para ser considerado
una constante de proporcionalidad?
CN1: Debe ser un número real asociado a una variación proporcional directa o inversa.
CN2: Si la variación es directa entonces este debe ser el cuociente entre cualquier par de
valores correspondientes de la variable o en caso de que sea una variación inversa
entonces este debe ser el producto entre cualquier par de valores correspondientes de la
variable.
(CN: Condiciones Necesarias.)
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Aproximación al lenguaje cotidiano. Según el diccionario enciclopédico, Editorial Océano, edición 2000, tenemos:
CONSTANTE:
Como algo que no varia.
Persona que no se cansa rápidamente del trabajo o de las dificultades.
Perdurable o que no cambia.
Firme o perseverante.
Variable matemática o de cualquier otra ciencia que tiene un valor fijo en un determinado
proceso, cálculo, etc.
Además:
PROPORCIONALIDAD:
Igualdad entre dos razones.
Conformidad o proporción de unas partes con el todo o de elementos relacionados
entre sí.
En nuestro diccionario matemático, la constante de proporcionalidad (k) es un número
real que está asociado a una variación proporcional entre dos variables.
Aprendizaje esperado: Relacionan la constante de proporcionalidad directa con un cuociente constante.
Relacionan la constante de proporcionalidad inversa con un producto constante.
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Ejemplos 1.- Para los siguientes datos tabulados correspondientes a una proporción directa, la constante
de proporción es 0,5:
Distancia (Km) 20 40 60 80 100
Tiempo (Min) 40 80 120 160 200
Tenemos que:
• Cumple con la CN1 pues 0,5 es un número real que se asocia a una variación
proporcional directa.
• Cumple con la CN2 pues al ser una proporción directa 0,5 es el cuociente de
cualquier par de valores correspondientes que tomen las variables involucradas,
es decir:
5,0200100
16080
12060
8040
4020
=====
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2.- Para los siguientes datos tabulados correspondientes a una proporción inversa, la constante de
proporción es 45:
Cantidad de obreros 2 3 5 9 10
Tiempo de construcción
(días)
22,5
15
9
5
4,5
Tenemos que:
• Cumple con la CN1 pues 45 es un número real que se asocia a una variación
proporcional inversa.
• Cumple con la CN2 pues al ser una proporción inversa 45 es el producto de
cualquier par de valores correspondientes que tomen las variables involucradas,
es decir:
455,41059951535,222 =⋅=⋅=⋅=⋅=⋅
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3.- Observar la siguiente figura:
5,0....126
105
42
=====base
altura Es la constante de proporcionalidad
Tenemos que:
• Cumple con la CN1 pues 0,5 es un número real que se asocia a una variación
proporcional directa.
• Cumple con la CN2 pues al ser una proporción directa 0,5 es el cuociente de
cualquier par de valores correspondientes que tomen las variables involucradas.
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Atención con esto: 1. Para los siguientes datos tabulados correspondientes a una variación proporcional directa,
tenemos lo siguiente:
Variable X 4 8 16 24 48 Variable Y 2 4 8 7 24
Tenemos que:
• Si cumple con la CN1 pues existe un número real que se asocia a una variación
proporcional directa.
• No cumple con la CN2 pues si suponemos que es una proporción directa no es
valido que el cuociente de cualquier par de valores correspondientes que tomen
las variables involucradas sea igual a los demás.
21530
612
48
24
==== PERO 2....42,37
24≠=
2. Para los siguientes datos tabulados correspondientes a una variación proporcional
inversa, la constante de proporción es 12:
Variable X 12 8 16 8 48 Variable Y 4 6 3 5 1
Tenemos que:
• Si cumple con la CN1 pues existe un número real que se asocia a una variación
proporcional inversa.
• No cumple con la CN2 pues si suponemos que es una proporción inversa no es
valido que el producto de cualquier par de valores correspondientes que tomen
las variables involucradas sea igual a los demás.
4814831668412 =×=×=×=× PERO 484085 ≠=×
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Pon a prueba lo aprendido. 1.- ¿Qué condición falta para que el número real 0,5 sea la constante de proporcionalidad de una
proporción directa?
a) Que corresponda al cuociente entre las variables de la proporción.
(Respuesta correcta)
b) Que corresponda a la suma entre las variables de la proporción.
(No cumple con la definición de proporcionalidad directa)
c) Que corresponda al producto entre las variables de la proporción.
(No cumple con la definición de proporcionalidad directa)
d) Que corresponda a la resta entre las variables de la proporción.
(No cumple con la definición de proporcionalidad directa)
e) No le falta ninguna condición.
(No reconoce la definición de proporcionalidad directa)
(Competencia conceptual: De una lista de condiciones reconocer cuáles de ellas corresponden
a la condición necesaria de el concepto)
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2.- ¿Cuál (es) de la (s) tabla (s) de variaciones inversas está correctamente relacionada (s) con la
constante de proporcionalidad que se propone?
I) k = 10
Variable A 40 10 5 4
Variable B 0,5 2 4 6
II) k = 30
Variable C 15 20 10 6
Variable D 2 1,5 3 5
III) k = 12
Variable E 24 12 3 20
Variable F 0,25 0,5 2 0,3
a) Solo I (No cumple con la definición de proporcionalidad inversa)
b) Solo II (Respuesta correcta)
c) I y III (No cumplen ambas con la definición de proporcionalidad inversa)
d) II y III (Una de ellas no cumple con la definición de proporcionalidad inversa)
e) Todas (Dos de ellas no cumplen con la definición)
(Competencia conceptual: Verificar, de entre una lista de entes, aquellas que cumplen con la
condición dada)
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3.- La variación proporcional graficada corresponde a _________ y su constante de
proporcionalidad es______:
a) Directa y k = 1 (Respuesta correcta)
b) Directa y k = 4 (No cumple con la constante de proporcionalidad)
c) Inversa y k = 1 (No cumple con el tipo de variación proporcional)
d) Inversa y k = 2 (No cumple con ninguna de las condiciones)
e) Es un gráfico sin relación con alguna variación proporcional (No reconoce las
definiciones)
(Competencia conceptual: Determinar características del concepto expresado de manera diferente)
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Concepto N0 2: “Proporcionalidad compuesta”
Proporción compuesta
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Esto es lo que tú ya sabes. Una variación entre dos magnitudes es una variación proporcional directa si los cocientes
correspondientes son valores constantes.
Una variación entre dos magnitudes es una variación proporcional inversa si los
productos correspondientes son valores constantes.
¿Qué es una proporción compuesta?
Una proporción compuesta es una proporción donde las variables que se relacionan son 3
o más y que toman valores reales distintos de cero. En la combinación de las variables debe estar
presente la variación proporcional directa y/o la variación proporcional inversa.
Abre bien tus ojos
¿Qué condición (es) debe cumplir un objeto matemático para ser considerado
una proporción compuesta?
CN1: Debe estar formada por números reales distintos de cero.
CN2: Debe estar formada por una variación proporcional directa y/o una variación
proporcional inversa.
CN3: La combinación de las variaciones debe estar sujeta a lo siguiente:
Sean x , z e y variables, entonces:
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O
O
(CN condiciones necesarias)
Aproximación al lenguaje cotidiano. Según el diccionario enciclopédico, Editorial Océano, edición 2000, tenemos:
Compuesta:
Formado por varias partes.
Proporción compuesta:
Botánica, Plantas herbáceas que se distinguen por sus hojas simples y sencillas.
Dícese de los tiempos de un verbo que se conjugan con el participio pasado precedido de
un auxiliar.
En nuestro diccionario matemático, una proporción compuesta es una proporción donde
las variables que se relacionan son 3 o más y que toman valores reales distintos de cero. En
la combinación de las variables debe estar presente la variación proporcional directa y/o la
variación proporcional inversa.
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Aprendizaje esperado:
Relacionan la constante de proporcionalidad directa con un cuociente constante.
Relacionan la constante de proporcionalidad inversa con un producto constante.
Ejemplo 1.- Sea la siguiente tabla correspondiente a: “15 obreros trabajando 6 horas diarias, tardan 30
días en realizar un trabajo. Si el mismo trabajo lo hicieran 10 obreros, empleando 8 horas diarias
demorarían 33,75 días”.
Obreros (X) Horas diarias (Y) Días (Z)
15 6 30
10 8 33,75
Corresponde a una proporción compuesta
Tenemos que:
• Cumple con la CN1 pues está formada por números reales distintos de cero.
• Cumple con la CN2 pues está formada por proporciones directas y/o inversas,
ósea:
- Obreros y horas diarias son variables de una proporción inversa
- Horas diarias de trabajo y días trabajados son variables de una proporción inversa
• Cumple con la CN3 pues:
Primer caso Segundo caso 15 306
Primer caso: 15 obreros, 6 horas, 30 días ⋅⋅ 10 75,338 ⋅⋅
2700 = 2700
Segundo caso: 10 obreros, 8 horas, 33,75 días
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2.- Sea la siguiente tabla correspondiente a: “4 chicos en una acampada de 10 días han gastado
en comida 25000 pesos. En las mismas condiciones 6 chicos durante una acampada de 15 días
gastarán 56250 pesos”.
Chicos (Y) Días (Z) Pesos (X)
4 10 2500
6 15 56250
Corresponde a una proporción compuesta
Tenemos que:
• Cumple con la CN1 pues está formada por números reales distintos de cero
• Cumple con la CN2 pues está formada por proporciones directas y/o inversas,
osea:
- Chicos y pesos son variables de una proporción directa
- Días y pesos son variables de una proporción directa
• Cumple con la CN3 pues: Primer caso Segundo caso
10425000
⋅ 15656250
⋅
625 = 625
Primer caso: 4 chicos, 10 días, 25000 pesos
Segundo caso: 6 chicos, 15 días, 56250 pesos
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Atención con esto: 1.- Sea la siguiente tabla correspondiente a: “5 niños salieron de campamento con 7 niñas
durante 10 días. En las mismas condiciones 4 niños salieron de campamento con 10 niñas
durante 15 días”
Niños (X) Niñas (Y) Días del campamento (Z)
5 7 10
4 10 15
Tenemos que:
• Si cumple con la CN1 pues esta formada por números distintos de cero.
• No cumple con la CN2 pues no existe alguna relación de variación proporcional
entre cualquier par de variables involucrada (niños, niñas o días de campamento).
• No cumple con la CN3 pues no se cumple ninguno de los casos:
Sean x , z e y variables, entonces:
Caso 1. 1510
4107
5×
≠×
Caso 2. 10
1547105 ×
≠×
Caso 3. 151045 ×≠×
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Pon a prueba lo aprendido. 1.- Sean las variables a, b y c en una proporción compuesta, deben pertenecer al grupo numérico:
a) { }0−Ν (No cumple con definición)
b) (No cumple con definición) { }0−Ζ
c) (No incluye al número cero) ℜd) (No cumple con definición) Ζ
e) (Respuesta correcta) { }0−ℜ
(Competencia conceptual: De una lista de CNs reconocer cuáles de ellas corresponden al
concepto.)
2.- “Una proporción compuesta es una proporción donde las variables que se relacionan son 3 o
más y que toman valores reales distintos de cero. En la combinación de las variables debe estar
presente la variación proporcional directa y/o la variación proporcional inversa.”. Con respecto a
la proporción compuesta, esta frase corresponde a:
a) La condición necesaria (Confunde la definición con las condiciones)
b) Una característica (No identifica la definición)
c) La definición (Respuesta correcta)
d) Una acepción (Confunde la definición con un significado)
e) La condición (No identifica la definición)
(Competencia conceptual: Reconocer la definición del concepto de proporción compuesta)
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3.- Sea la siguiente tabla correspondiente a:
“20 jóvenes fueron a un festival con 12 amigas durante 4 días. En las mismas condiciones 4
jóvenes fueron a un festival con 13 niñas durante 7 días”
Jóvenes (X) Amigas (Y) Días del festival (Z)
20 12 4
4 13 7
Este es un no ejemplo de proporción compuesta por:
I) Que no está formada por números reales distintos de cero
II) Que no existe alguna relación de variación proporcional entre
cualquier par de variables involucrada
III) Que no está formada por una proporción directa
a) Solo I (No reconoce los números reales distintos de cero)
b) Solo III (No reconoce la proporcionalidad directa)
c) II y III (Una de las alternativas no cumple con la definición de variación compuesta)
d) Solo II (Respuesta Correcta)
e) I y II (Una de las alternativas no cumple con la definición de variación compuesta)
(Competencia conceptual: Reconocer la definición del concepto y relacionarlo con un
determinado problema)
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Concepto N0 3: “Razón”
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Razón
¿Qué es una Razón?
Es la comparación entre dos magnitudes reales distintas de cero expresadas en la misma
unidad mediante un cuociente llamado valor de la razón, la primera magnitud (numerador) es
llamada antecedente y la segunda (denominador) consecuente.
Si a y b son magnitudes distintas de cero y expresadas en la misma unidad entonces la razón se
escribe:
O también ba : ba
donde “a” es el antecedente y “b” el
consecuente. Y se lee: “a es a b”
kba
= , donde “k” es el valor de la razón. Qk ∈
Abre bien tus ojos
¿Qué condición (es) debe cumplir una comparación de magnitudes para ser considerada una razón?
CN1: Debe estar formada por números reales distintos de cero.
CN2: Las magnitudes deben estar expresadas en la misma unidad.
CN3: La comparación de las magnitudes es a través de su cuociente.
(CN: condiciones necesarias).
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Aproximación al lenguaje cotidiano. Según el diccionario enciclopédico, Editorial Océano, edición 2000, tenemos:
Facultad de pensar y juzgar que distingue al hombre de los anímales.
Es la facultad o capacidad humana que permite buscar la verdad y resolver problemas,
aprender una lengua y ejercerla, juzgar y actuar según principios.
Del latín "ratio", término con el que Cicerón tradujo el griego "logos" (que significaba,
entre otras cosas, tanto "cálculo" como "discurso", significados que adoptará también
"ratio")
En nuestro diccionario matemático, una razón es la comparación entre dos magnitudes
reales distintas de cero expresadas en la misma unidad mediante un cuociente llamado
valor de la razón, la primera magnitud (numerador) es llamada antecedente y la segunda
(denominador) consecuente.
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¿Qué características tienen las razones?
Al invertir la razón dc
se obtiene su razón inversa cd
. El producto entre ambas razones
es 1.
En toda serie de razones iguales (comparación de 2 o más series) la suma de los antecedentes es a la suma de los consecuentes como un antecedente cualquiera es a su consecuente.
hg
fe
dc
ba
===
dc
hfdbgeca
=++++++
Analogías y diferencias
La razón es muy similar a la llamada tasa que corresponde a la comparación de dos
magnitudes con distintas unidades de medida.
Por ejemplo: sesenta kilómetros por hora es un tipo de tasa unitaria, que es la
comparación de dos unidades de medida.
La razón se puede representar como una fracción o una división
Aprendizaje esperado
Relacionan razones internas y razones inversas con proporcionalidades (No se encuentra
así de literal en los planes y programas).
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Ejemplo
1.- Las edades de dos hermanos son 9 y 12 años, entonces la razón entre la edad del menor
y del mayor es:
43
129
= O también 4:3Tenemos que:
• Cumple con la CN1 pues está formada por números reales distintos de cero.
• Cumple con la CN2 pues las magnitudes son en la misma unidad de medida, en este caso
es la unidad edad.
• Cumple con la CN3 pues la comparación es 43 que es el cuociente de las edades.
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2.- Se hace una encuesta sobre las preferencias de diversión de los jóvenes de un colegio: 90
estudiantes prefieren escuchar música y 30 estudiantes prefieren hacer deportes.
La razón entre estudiantes que prefieren deportes y estudiantes que prefieren música es:
31
9030
= o también 3:1
Esto quiere decir que por cada un estudiante que prefiere los deportes hay tres que prefieren
escuchar música
Tenemos que:
• Cumple con la CN1 pues está formada por números reales distintos de cero.
• Cumple con la CN2 pues las magnitudes son en la misma unidad de medida, en este caso
es la unidad cantidad de estudiantes.
• Cumple con la CN3 pues la comparación es 31 que es el cuociente de las cantidades de
estudiantes.
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Atención con esto: 1.- Un camión que distribuye frutas a la vega tiene en su inventario: 50 cajones de manzanas y
70 cajones de naranjas.
Por lo tanto: 75
7050
=
Tenemos que:
• Cumple con la CN1 pues está formada por números reales distintos de cero.
• No cumple con la CN2 pues las magnitudes que se comparan no son de la misma unidad
de medida, pues una es cantidad de manzanas y la otra es cantidad de naranjas
• Cumple con la CN3 La comparación de las magnitudes debe ser mediante un cuociente
en este caso 5/7.
Pon a prueba lo aprendido
1.- Para que 32 sea el valor de una razón deber ser:
a) El producto de dos magnitudes de la misma unidad de medida
(No reconoce la definición del concepto)
b) El cuociente de dos magnitudes de la misma unidad de medida
(Respuesta correcta)
c) El cuociente de dos magnitudes
(No reconoce la definición del concepto)
d) El producto de dos magnitudes
(No reconoce la definición del concepto)
e) Un número real
(No reconoce la definición del concepto)
(Competencia conceptual: De una lista de CNs reconocer cuales de ellas corresponden al
concepto)
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2.- En una carrera Julio recorrió 10 Km. y Mauricio recorrió 12 Km. Esto quiere decir que:
a) Por cada 1Km. recorrido por Mauricio, Julio recorrió 1,2 Km.
(Confunde la razón entre Mauricio y Julio)
b) Por cada 1000 metros recorridos por Julio, Mauricio recorrió 120 metros
(No reconoce la unidad de medida)
c) Por cada 1 Km. recorrido por Julio, Mauricio recorrió 1,2 Km.
(Respuesta correcta)
d) Por cada 100 metros recorridos por Julio, Mauricio recorrió 1200 metros
(No reconoce la unidad de medida)
e) Por cada 1 metro recorrido por Julio, Mauricio recorrió 12 metros
(No reconoce la unidad de medida)
(Competencia conceptual: Reconocer el concepto y aplicarlo a situaciones de la vida
cotidiana)
3.- La siguiente definición: “Es la comparación entre dos magnitudes expresadas en la misma
unidad mediante un cuociente llamado valor de la razón, la primera magnitud es llamada
antecedente y la segunda consecuente” correspondería a la definición de razón si:
a) La comparación de las magnitudes fuera mediante un producto
(No reconoce la definición de razón)
b) La primera magnitud es llamada consecuente y la segunda antecedente
(No reconoce la definición de razón)
c) La comparación fuera entre 2 o más magnitudes
(No reconoce la definición de razón)
d) Las magnitudes fueran números reales distintos de cero
(Respuesta correcta)
e) El antecedente fuera mayor que el consecuente
(No reconoce la definición de razón)
(Competencia conceptual: Corregir una definición erróneamente expresada del concepto)
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Concepto N0 4: “Registro de una Variación Proporcional”
Estudio de 08 conceptos matemáticos de la unidad 4 de Primero medio: “Variación proporcional” – Ricardo Andrés Carrasco Delgado. Página 34 de 77
Registro de una Variación Proporcional
¿Qué es un registro de una variación proporcional? Es una tabla, gráfico o expresión algebraica que provee información objetiva de los resultados
obtenidos en una variación proporcional.
Abre bien tus ojos
¿Qué condición (es) debe cumplir un objeto matemático para ser considerado
un registro de una variación proporcional? CN1: Debe ser una tabla, gráfico o expresión algebraica que provea de información objetiva. CN2: La información debe ser referente a una variación proporcional.
(CN: condiciones necesarias).
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Aproximación al lenguaje cotidiano. Según el diccionario enciclopédico, Editorial Océano, edición 2000, tenemos:
Registro:
Pieza que en un reloj u otra máquina sirve para disponer o modificar su movimiento.
Matrícula o padrón.
En el mundo de las bases de datos, es cada una de las fichas que componen una tabla.
Término que generalmente tiene que ver con las actividades de los seres humanos; de
modo que su empleo comunica una connotación de acontecimientos reales.
En nuestro diccionario matemático, un registro de una variación proporcional, es una
tabla, gráfico o expresión algebraica que provee información objetiva de los resultados
obtenidos en una variación proporcional.
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¿Qué características tienen los registros de una variación proporcional?
El hecho de que entreguen información objetiva sirve para tomar cualquier tipo de
decisión, ya sea a un nivel de hogar como también en una empresa multinacional.
Si la información de una variación proporcional esta registrada en tablas, gráficos o
expresiones algebraicas esta información se puede transformar en cualquiera de los otros
dos tipos de registro. Por ejemplo:
Variable X 1 4 6 8 Variable Y 20 80 120 160
La información de la variación proporcional esta registrada en una tabla, la cual la podemos
transformar en un gráfico como el siguiente:
Y viceversa
Aprendizaje esperado
Resuelven problemas de proporcionalidad directa; los representan utilizando diversos
registros (tabla de valores, gráfico y expresión algebraica).
Resuelven problemas de proporcionalidad inversa; los representan utilizando diversos
registros (tabla de valores, gráfico y expresión algebraica).
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Ejemplo 1.- Dados los siguientes datos: Variables 1 vez 2 veces 3 veces 4 veces 5 veces 6 veces 7 veces
Socio $1200 $ 2400 $ 3600 $ 4800 $ 6000 $ 7200 $ 8400 No socio $ 2200 $ 4400 $ 6600 $ 8800 $ 11000 $ 13200 $ 15400
Es el registro de una variación proporcional correspondiente al siguiente planteo:
“Los socios de un cine reciben un boletín especial con las películas que se exhibirán y solo deben
cancelar $ 1200 por la entrada a ver la película, mientras que los que no son socios deben
cancelar $ 2200 por película”
Tenemos que:
• Cumple con la CN1 pues es una tabla que provee información objetiva en este
caso referente a la situación planteada.
• Cumple con la CN2 pues la información de la tabla corresponde a una variación
proporcional directa entre las variables socio y no socio.
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2.-
PUNTO A F G B H I C J D K E
Cantidad de niños
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Valor cuota ($)
4000 3636 3333 3076 2857 2666 2500 2352 2222 2105 2000
Es el registro de una variación proporcional correspondiente al siguiente planteo:
“En la junta de vecinos de Ciudad Alegría se arrendó un bus que cobra $40000 por llevar a los
niños al zoológico metropolitano, el chofer dice que el trato es por un máximo de 20 niños. En la
junta de vecinos saben que ya hay 10 inscritos”
Tenemos que:
• Cumple con la CN1 pues es una tabla que provee información objetiva en este
caso referente a la situación planteada.
• Cumple con la CN2 pues la información del gráfico y la tabla corresponden a una
variación proporcional inversa entre las variables cantidad de niños y valor cuota
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Atención con esto: 1.- Día de la semana
LUNES MARTES MIÉRCOLES JUEVES VIERNES SABADO DOMINGO
Manzanas (Kilos)
1000 1450 2000 1200 750 4000 3865
Naranjas (Kilos
1000 1500 450 3890 500 2689 5000
Es el registro correspondiente al siguiente planteo:
“Un camión distribuye a la vega manzanas y naranjas durante una semana. El domingo luego de
su último pedido contabilizó que había entregado 14256 kilos de manzana y 15029 kilos de
naranjas”
Tenemos que:
• Cumple con la CN1 pues es una tabla que provee información objetiva en este
caso referente a la situación planteada.
• No cumple con la CN2 pues la información de la tabla no corresponden a una
variación proporcional ya que es solo el registros de distribución diaria de
manzanas y naranjas.
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Pon a prueba lo aprendido
1.- La información que provea un registro de variación proporcional debe ser:
a) Subjetiva
b) Necesaria
c) Cuantitativa
d) Objetiva
e) Cualitativa
(Competencia conceptual: De una lista de CNs reconocer cuales de ellas corresponden al
concepto.)
2.- “En un almacén, el almacenero tiene espíritu matemático y le gusta ordenar los precios en
tablas. Vende el kilo de azúcar a $350 y quiere hacer una tabla que le indique el precio de alguna
cantidad de azúcar hasta 8 kilos”
El (los) registro (s) de la variación proporcional anterior que corresponde (n) es (son):
I)
Azucar
(Kilo)
1 2 3 4 5 6 6,5 7 7,5 8
Precio
(pesos)
350 700 1050 1400 1750 2100 2275 2450 2625 2800
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II)
Azucar
(Kilo)
1 2 3 5 6,5 7 8
Precio
(pesos)
350 700 150 1750 2100 2450 2800
III)
Precio
Kilos
a) Solo I
b) Solo II
c) I y III
d) II y III
e) I y II
(Competencia conceptual: Verificar, entre una lista de entes, aquellos que son ejemplo del
concepto)
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3.- “Es una tabla, gráfico o expresión algebraica que provee información objetivas de los
resultados obtenidos en una proporción directa”.
Correspondería a la definición de registro de una variación proporcional si:
a) Solo fueran gráficos
b) La información estuviera por escrita
c) La información fuera de los resultados de una variación inversa
d) El gráfico fuera una recta
e) La información fuera de los resultados de una variación proporcional
(Competencia conceptual: Corregir una definición erróneamente expresada del concepto)
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Concepto N0 5: “Variable Continua”
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Variable Continua
Esto es lo que tú ya sabes.
Variable: Es todo aquello que puede asumir diferentes valores, desde el punto
de vista cuantitativo o cualitativo. Debe ser susceptible de medición.
¿Qué es una Variable Continua?
Es aquella variable que puede tomar valores numéricos reales pertenecientes a un determinado intervalo.
Abre bien tus ojos
¿Qué condición (es) debe cumplir un objeto matemático para ser considerado una variable continua?
CNs y CN: Ser una variable que tome valores numéricos reales pertenecientes a un intervalo
(CNs: condición suficiente CN: condiciones necesarias).
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Aproximación al lenguaje cotidiano. Según el diccionario enciclopédico, Editorial Océano, edición 2000, tenemos:
Que se extiende sin interrupción.
Perseverante en seguir algo.
Dícese de la corriente eléctrica que circula siempre en una dirección.
Dícese de cualquier magnitud física o entidad matemática susceptible de
aumentar o disminuir por adición o sustracción de cantidades muy pequeñas.
En nuestro diccionario matemático, una variable continua es aquella variable que
puede tomar valores numéricos reales pertenecientes a un determinado intervalo.
¿Qué características tienen las variables continuas?
Una variable continua tiene la propiedad de que entre 2 cualesquiera valores observables
(potencialmente), hay otro valor observable (potencialmente).
Analogías y diferencias
Un atributo esencial de una variable continua es que, a diferencia de lo que ocurre
con una variable discreta, nunca se la puede medir exactamente. Con una variable
continua debe haber inevitablemente un error de medida.
Un importante principio sobre variables continuas es que siempre se registran en
forma discreta, quedando la magnitud de la distancia entre valores registrables
adyacentes determinada por la precisión de la medición.
Aprendizaje esperado
Identifican las variables involucradas en un gráfico.
Estudio de 08 conceptos matemáticos de la unidad 4 de Primero medio: “Variación proporcional” – Ricardo Andrés Carrasco Delgado. Página 46 de 77
Ejemplo 1.- Es una variable continua: la longitud en metros de una cuerda
Tenemos que:
• Cumple con la CN pues la longitud en metros de una cuerda es
una variable que puede tomar valores reales en metros ya que pueden haber 13,65 metros
de cuerda, y también pueden haber 13 o 14 metros de cuerda.
2.- Es una variable continua: los litros de agua en un estanque
Tenemos que:
• Cumple con la CN pues los litros de agua en un estanque
es una variable que puede tomar valores reales en litros
ya que pueden haber 117,975 litros de agua, y también
pueden haber 117 o 118 litros de agua.
Atención con esto:
1.- La cantidad de espectadores que asiste al Estadio
a un concierto
Tenemos que:
• No cumple con la CN pues la cantidad de espectadores que asiste al Estadio Nacional a
un concierto es una variable que no puede tomar valores reales ya que no pueden asistir
4217,35 personas, pero si pueden asistir 42117 o 4218 personas.
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Pon a prueba lo aprendido
1.- Sea la variable “F” para que sea una variable continua debe cumplir con la (s) siguiente (s)
condición (s):
I) Ser una variable que tome valores numéricos reales pertenecientes a un intervalo
II) Ser una variable que tome valores enteros
III) Ser una variable que tome valores naturales pertenecientes a un intervalo
a) Solo I (Respuesta correcta)
b) II y III (No reconoce la definición de variable continua)
c) Solo II (No reconoce la definición de variable continua)
d) Solo III (No reconoce la definición de variable continua)
e) I y III (Solo se cumple una condición)
(Competencia conceptual: De una lista de CNs reconocer cuáles de ellas corresponden al
concepto).
2.- Una diferencia entre variable continua y discreta es que la variable continúa:
I) Nunca se puede medir con exactitud
II) Solo toma valores enteros
III) Es un elemento del registro de variación proporcional
a) Solo I (Respuesta correcta)
b) I y III (No reconoce completamente la definición de los conceptos)
c) Solo II (No reconoce los conceptos)
d) I, II y III (No reconoce completamente la definición de los conceptos)
e) II y III (No reconoce los conceptos)
(Competencia conceptual: Reconoce analogías y diferencias entre dos conceptos dados)
Estudio de 08 conceptos matemáticos de la unidad 4 de Primero medio: “Variación proporcional” – Ricardo Andrés Carrasco Delgado. Página 48 de 77
3.- “Cantidad de pastillas en un frasco de remedios”, no es un ejemplo de variable continua pues:
a) La cantidad de pastillas en un frasco de remedios es una variable que solo puede
tomar valores numéricos enteros pertenecientes a un intervalo
(Respuesta correcta)
b) La cantidad de pastillas en un frasco de remedios no es una variable
(No reconoce la condición necesaria del concepto)
c) La cantidad de pastillas en un frasco de remedios no puede tomar valores negativos
(No reconoce la definición de variable continua)
d) El intervalo tiene que ser mayor que cero
(No reconoce la definición de variable continua)
e) La cantidad de pastillas es constante
(No reconoce la definición de variable continua)
(Competencia conceptual: Identificar las expresiones que no corresponden a un ejemplo del
concepto)
Estudio de 08 conceptos matemáticos de la unidad 4 de Primero medio: “Variación proporcional” – Ricardo Andrés Carrasco Delgado. Página 49 de 77
Concepto N0 6: “Variable Discreta”
Estudio de 08 conceptos matemáticos de la unidad 4 de Primero medio: “Variación proporcional” – Ricardo Andrés Carrasco Delgado. Página 50 de 77
Variable Discreta
Esto es lo que tú ya sabes.
Variable: Es todo aquello que puede asumir diferentes valores, desde el punto
de vista cuantitativo o cualitativo. Debe ser susceptible de medición.
¿Qué es una Variable Discreta?
Es aquella variable que puede tomar solamente valores numéricos enteros pertenecientes a un
determinado intervalo.
Abre bien tus ojos
¿Qué condición (es) debe cumplir un objeto matemático para ser considerado
una variable discreta?
CNs y CN: Ser una variable que tome valores numéricos enteros pertenecientes a un determinado intervalo.
(CNs: condición suficiente; CN: condiciones necesarias).
Estudio de 08 conceptos matemáticos de la unidad 4 de Primero medio: “Variación proporcional” – Ricardo Andrés Carrasco Delgado. Página 51 de 77
Aproximación al lenguaje cotidiano. Según el diccionario enciclopédico, Editorial Océano, edición 2000, tenemos:
Dotado de discreción.
Tratamiento de algunos magistrados y oficiales.
Conjunto formado por individuos contables.
Moderado, no exagerado en ningún sentido.
En algunas órdenes religiosas, persona que asiste al superior como consejero.
En nuestro diccionario matemático, una variable discreta, es aquella variable que puede tomar
solamente valores numéricos enteros pertenecientes a un determinado intervalo.
¿Qué características tienen las variables continuas?
Una variable discreta tiene la propiedad de que entre 2 cualesquiera valores observables
(potencialmente), no existe otro valor observable (potencialmente).
Analogías y diferencias
Un atributo esencial de una variable discreta es que, a diferencia de lo que ocurre con una
variable continua, siempre se la puede medir exactamente. Con una variable discreta no
existe un error de medida.
Se asemeja a una variable continua pues esta siempre se registra en forma discreta.
Aprendizaje esperado
Identifican las variables involucradas en un gráfico.
Estudio de 08 conceptos matemáticos de la unidad 4 de Primero medio: “Variación proporcional” – Ricardo Andrés Carrasco Delgado. Página 52 de 77
Ejemplo 1.- Es una variable discreta: Número de personas invitadas a una fiesta
Tenemos que:
• Cumple con la CN pues la cantidad de personas que asiste a un a fiesta es una variable
que solo puede tomar valores naturales (subconjunto de los enteros) ya que no pueden
asistir a una fiesta 15,6 personas, si pueden asistir 15 o 16 personas.
2.- Es una variable discreta: Cantidad de cuadernos que vende un
supermercado al día
Tenemos que:
• Cumple con la CN pues la cantidad de cuadernos que vende un supermercado al día es
una variable que solo puede tomar valores naturales (subconjunto de los enteros) ya que
no se puede vender 1005,73 cuadernos, si pueden vender 1005 o 1006 cuadernos.
Estudio de 08 conceptos matemáticos de la unidad 4 de Primero medio: “Variación proporcional” – Ricardo Andrés Carrasco Delgado. Página 53 de 77
Atención con esto: 1.- “La temperatura en grados Celsius en un día de verano”
Tenemos que:
• No cumple con la CN pues la temperatura en grados Celsius en un día de verano es una
variable que puede tomar valores reales (súper conjunto de los enteros)ya que se puede
medir la temperatura 26,6 grados Celsius, como también –15 grados Celsius.
2.- “La distancia en kilómetros recorrida por un auto en una carrera”
Tenemos que:
• No cumple con la CN pues la distancia en kilómetros
recorrida por un auto en una carrera es una variable que
puede tomar valores reales positivos ya que se puede recorrer 326,5 kilómetros, como
también –326 kilómetros.
Estudio de 08 conceptos matemáticos de la unidad 4 de Primero medio: “Variación proporcional” – Ricardo Andrés Carrasco Delgado. Página 54 de 77
Pon a prueba lo aprendido
1.- Sea la variable “D”, para que sea una variable discreta debe cumplir con la (s) siguiente (s)
condición (es):
a) Ser una variable que tome valores numéricos pertenecientes a un intervalo
(No define el tipo de número que puede tomar la variable)
b) Ser una variable que tome valores numéricos enteros pertenecientes a un intervalo
(Respuesta correcta)
c) Ser una variable que pueda variar en cantidades muy pequeñas (menores que uno)
(No reconoce la definición de variable discreta)
d) Ser una variable que tome solo valores naturales
(No corresponde a la definición)
e) Estar definida en un intervalo
(No reconoce la definición de variable discreta)
(Competencia conceptual: De una lista de CNs reconocer cuáles de ellas corresponden al
concepto)
2.- “Altura en metros de un árbol”, no es un ejemplo de variable discreta pues:
a) La altura en metros de un árbol se puede medir en centímetros
(Respuesta correcta)
b) La altura en metros de un árbol puede tomar valores reales positivos
(No es capaz de reconocer la definición en el ejemplo matemático)
c) La altura en metros de un árbol es constante
(No reconoce la definición de variable discreta)
d) La altura en metros de un árbol no es una variable
(No reconoce la definición de variable discreta)
e) La altura en metros de un árbol no puede tomar valores negativos
(No reconoce la definición de variable discreta)
Estudio de 08 conceptos matemáticos de la unidad 4 de Primero medio: “Variación proporcional” – Ricardo Andrés Carrasco Delgado. Página 55 de 77
(Competencia conceptual: Identificar las expresiones que no corresponden a un
ejemplo del concepto)
3.- Una diferencia entre variable continua y discreta es que la variable discreta:
I) Se puede medir con exactitud
II) Solo toma valores positivos
III) Es un elemento del registro de variación proporcional
a) Solo I (Respuesta correcta)
b) Solo II (No reconoce analogías y diferencias entre variables)
c) I y III (No reconoce del todo la analogía y diferencia del concepto)
d) II y III (No reconoce analogías y diferencias entre variables)
e) I, II y III (No reconoce analogías y diferencias entre variables)
(Competencia conceptual: Reconocer analogías y diferencias entre dos conceptos)
Estudio de 08 conceptos matemáticos de la unidad 4 de Primero medio: “Variación proporcional” – Ricardo Andrés Carrasco Delgado. Página 56 de 77
Concepto N0 7: “Variación Proporcional directa”
Estudio de 08 conceptos matemáticos de la unidad 4 de Primero medio: “Variación proporcional” – Ricardo Andrés Carrasco Delgado. Página 57 de 77
Variación Proporcional Directa.
Esto es lo que tú ya sabes.
Proporción: es una igualdad entre razones.
Razón: es el cociente entre dos magnitudes homogéneas.
¿Qué es una Variación Proporcional Directa?
Una variación entre dos magnitudes es una variación proporcional directa si los cocientes
correspondientes son valores constantes.
Abre bien tus ojos
¿Qué condición (es) debe cumplir un objeto matemático para ser considerada
una variación directamente proporcional?
CN1: Una variación entre dos magnitudes.
CN2: El cociente entre los pares de valores correspondientes es constante.
(CN: condiciones necesarias).
Estudio de 08 conceptos matemáticos de la unidad 4 de Primero medio: “Variación proporcional” – Ricardo Andrés Carrasco Delgado. Página 58 de 77
Aproximación al lenguaje cotidiano. Según el diccionario enciclopédico, Editorial Océano, edición 2000, tenemos:
Variación:
Modificación, cambio o transformación
Variedad, diversidad
Imitación o recreación melódica de un mismo tema o estructura musical
Proporcionalidad:
Igualdad entre razones.
Directa:
Adj. Derecho o en línea recta.
Dícese de lo que va de una parte a otra sin detenerse en los puntos intermedios.
En boxeo, golpe que acompaña con el peso de todo el cuerpo y una leve rotación del
hombro.
En nuestro diccionario matemático, una variación entre dos magnitudes es una variación
proporcional directa si los cocientes correspondientes son valores constantes.
Estudio de 08 conceptos matemáticos de la unidad 4 de Primero medio: “Variación proporcional” – Ricardo Andrés Carrasco Delgado. Página 59 de 77
¿Qué características tiene la Variación Proporcional Directa?
Al observar los valores que toman las variables en una variación directa y estos llevarlos a una
gráfica se aprecia que estos corresponden siempre a una línea recta que pasa por el origen de
un sistema cartesiano.
A B C D Variable X 1 4 6 8 Variable Y 20 80 120 160
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando un aumento en una de ellas determina
un aumento proporcional de la otra magnitud.
Aprendizaje esperado:
Resuelven problemas de proporcionalidad directa; los representan utilizando diversos registros (tabla de valores, gráfico y expresión algebraica).
Analizan y comparan gráficos de variación proporcional directa
Estudio de 08 conceptos matemáticos de la unidad 4 de Primero medio: “Variación proporcional” – Ricardo Andrés Carrasco Delgado. Página 60 de 77
Ejemplo 1.- Sea la variación proporcional directa donde se tiene que:
23
46
=
Es una proporción directa y se lee: “6 es a 4 como 3 es a 2” Tenemos que:
• Cumple con la CN1: Ya que hay una variación entre dos magnitudes. • Cumple con la CN2: El cociente entre los pares de valores es constante pues:
5,123
46
==
Estudio de 08 conceptos matemáticos de la unidad 4 de Primero medio: “Variación proporcional” – Ricardo Andrés Carrasco Delgado. Página 61 de 77
2.- Por 500 fotocopias me cobran $ 15.000. ¿Cuánto deberé pagar por 100 fotocopias? Analizar
que si baja la cantidad de fotocopias, obviamente bajará la cantidad a cancelar. En estos casos
estamos hablando de una variación proporcional directa.
Solución: x
10015000
500= ⇒
000.3000.500.1500
==
xx
Por las 100 fotocopias se pagará $ 3.000. Revisemos el siguiente cuadro para entender mejor lo
que significa la constante (en este caso llamaremos la constante k).
a: número de
fotocopias b: dinero a
cancelar a/b k
100 $ 3.000 100/ 3.000 3,0
200 $ 6.000 200/ 6.000 3,0
300 $ 9.000 300/9.000 3,0
400 $ 12000 400/12.000 3,0
500 $ 15.000 500/15.000 3,0
Tenemos que:
• Cumple con la CN1: Una variación entre dos magnitudes.
Las 2 magnitudes presentes son: el número de fotocopias y el dinero a cancelar.
• Cumple con la CN2: El cociente entre los pares de valores es constante
Pues: 3,0000.15
500000.12
400000.9
300000.6
200000.3
100=====
Estudio de 08 conceptos matemáticos de la unidad 4 de Primero medio: “Variación proporcional” – Ricardo Andrés Carrasco Delgado. Página 62 de 77
3.- Si un sobre vale $30, entonces 2 sobres valen $ 60 y 5 sobres valen $ 150. Gráficamente lo
podemos representar así:
$
Nº de sobres
Representa la grafica de una variación proporcional directa. Tenemos que:
• Cumple con la CN1: Una variación entre dos magnitudes.
Las 2 magnitudes presentes son: el número de sobres y el dinero a cancelar.
• Cumple con la CN2: El cociente entre los pares de valores es constante
Pues: 30,02107
1806
1505
1204
903
602
301
=======
Estudio de 08 conceptos matemáticos de la unidad 4 de Primero medio: “Variación proporcional” – Ricardo Andrés Carrasco Delgado. Página 63 de 77
Atención con esto: 1.- Sea la variación proporcional directa donde se tiene que:
65
43
=
Tenemos que:
• Cumple con la CN1, Una variación entre dos magnitudes.
• NO cumple con la CN2, pues el cociente entre los pares de valores no es
constante.
75.043
= Y 38.0
65
=
Pon a prueba lo aprendido.
1.- Dada la siguiente proporción: 97
05
= (considerando las condiciones planteadas
anteriormente), la (s) condición (es) que no cumple para no ser llamada “variación proporcional
directa” es (son):
a) Condición 1 (Reconoce solo una condición necesaria)
b) Condición 2 (Reconoce solo una condición necesaria)
c) Condición 1 y 2 (Respuesta correcta)
d) Cumple 1 y 2 (No reconoce la definición del concepto)
e) Cumple 1 (No reconoce la definición del concepto)
(Competencia conceptual: Dado un no ejemplo de el concepto, reconocer cuál o cuáles CNs
no se cumplen)
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2.- “En una proporción, si el producto de los extremos es igual al producto de los medios, entonces es una proporción directa”. Esta frase corresponde a:
a) La definición de proporción
(No reconoce el concepto)
b) Una propiedad de las proporciones directas
(No reconoce la definición de variación proporcional directa)
c) La definición de variación proporcional directa
(Respuesta correcta)
d) Una condición de proporción
(No reconoce el concepto)
e) Una condición de proporción directa
(No reconoce la definición de variación proporcional directa)
(Competencia conceptual. Distinguir entre propiedades matemáticas y CNs del concepto) 3.- Sean los números a, b, c y d, en una variación proporcional directa deben pertenecer al grupo numérico:
a) { }0−Ν (No reconoce la condición necesaria 1)
b) (No reconoce la condición necesaria 1) { }0−Ζ
c) (No reconoce la condición necesaria 1) ℜd) (No reconoce la condición necesaria 1) Ζ
e) (Respuesta correcta) { }0−ℜ
(Competencia conceptual: De una lista de CNs reconocer cuáles de ellas corresponden al concepto)
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Concepto N0 8: “Variación Proporcional Inversa”
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Variación Proporcional Inversa.
Esto es lo que tú ya sabes.
Proporción: es una igualdad entre razones.
Razón: es el cociente entre dos magnitudes homogéneas.
¿Qué es una Variación Proporcional Inversa?
Una variación entre dos magnitudes es una variación proporcional inversa si los productos
correspondientes son valores constantes.
Abre bien tus ojos
¿Qué condición (es) debe cumplir un objeto matemático para ser considerada
una variación inversamente proporcional?
CN1: Una variación entre dos magnitudes.
CN2: El producto entre los pares de valores correspondientes es constante.
(CN: condiciones necesarias).
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Aproximación al lenguaje cotidiano. Según el diccionario enciclopédico, Editorial Océano, edición 2000, tenemos:
Variación:
Modificación, cambio o transformación
Variedad, diversidad
Imitación o recreación melódica de un mismo tema o estructura musical
Proporcionalidad:
Igualdad entre razones.
Inversas:
Alterado, trastornado Que cambia la disposición, el orden o la dirección de algo
En nuestro diccionario matemático, una variación entre dos magnitudes es una variación
proporcional inversa si los productos correspondientes son valores constantes.
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¿Qué características tiene la Variación Proporcional Inversa? Sea la tabulación de las variables en proporción inversa:
Variable X 1 2 3 6 12 Variable Y 12 6 4 2 1
Si dichos valores se grafican se obtiene:
Al graficar los valores que se obtienen de variables en proporción inversa siempre resulta
gráficamente una hipérbola.
Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando un aumento en una de ellas determina
una disminución proporcional de la otra magnitud.
Aprendizaje esperado:
Resuelven problemas de proporcionalidad inversa; los representan utilizando diversos
registros (tabla de valores, gráfico y expresión algebraica).
Relacionan la constante de proporcionalidad inversa con un producto constante.
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Ejemplo 1.- Lo siguiente expresa una variación proporcional inversa:
“Un vehículo toma 2,5 horas en recorrer una distancia a una velocidad promedio de 48 millas
por hora. Entonces tomará 2 horas recorrer la misma distancia a una velocidad de 60 millas por
hora
Observar que la relación entre velocidad y tiempo es inversamente proporcional. Esto es, a
mayor velocidad menor el tiempo. Por tanto,
La información se estable de la manera siguiente:
Distancia (millas) 48 60
Tiempo (hrs) 2,5 2
La proporción inversa correspondiente es:
5,22
6048
=
Tenemos que:
• Cumple con la CN1 pues la distancia y el tiempo son números reales.
• Cumple con la CN2 pues:
8,05,2
26048
== o también 1202605,248 =⋅=⋅
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2.- Lo siguiente expresa una variación proporcional inversa:
“Se ha conseguido un bus de 40 asientos para un séptimo básico. El bus tiene un costo total para
el curso. Si van los 30 alumnos de 7º básico, cada uno deberá cancelar $1.800. si participan 25
alumnos, cada uno deberá pagar $2.160”.
Observar que la relación entre Nº de alumnos y cuota es inversamente proporcional. Esto es, a
mayor cantidad de alumnos menor es cuota. Por tanto,
La información se estable de la manera siguiente:
:
Nº de alumnos Cuota
30 1.800
25 2.160
La proporción inversa correspondiente es:
800.1160.2
2530
=
Tenemos que:
• Cumple con la CN1 pues la distancia y el tiempo son números reales.
• Cumple con la CN2 pues:
2,1800.1160.2
2530
== o también 000.54216025180030 =⋅=⋅
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Atención con esto: 1. Para los siguientes datos tabulados correspondientes a una proporción inversa, tenemos lo
siguiente:
Variable X 4 8 2 0,5 24 Variable Y 2 1 4 16 0,3
Tenemos que:
• Cumple con la CN1 Una variación entre dos magnitudes variable X y variable Y. • No cumple con la CN2 pues:
85,016421824 =⋅=⋅=⋅=⋅ PERO 2,73,024 =⋅
Pon a prueba lo aprendido 1.- “La razón del primer número de cada par es igual a la razón del segundo número de cada par
o el producto de cada par es igual al producto del otro”, ¿Qué condición falta para exista una
variación proporcional inversa? a) Que este formada por número
(No reconoce las condiciones necesarias de variación proporcional inversa)
b) Que este formada por números reales distintos de cero
(Respuesta correcta)
c) Que este formada por números reales
(No reconoce las condiciones necesarias de variación proporcional inversa)
d) Que este formada por números racionales e irracionales
(No reconoce las condiciones necesarias de variación proporcional inversa)
e) Que este formada por números naturales distintos de cero
(No reconoce las condiciones necesarias de variación proporcional inversa)
(Competencia conceptual: De una lista de condiciones reconocer cuáles de ellas corresponden
a la condición necesaria del concepto)
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2.-
Variable X 1 16 2 -32 -64
Variable Y 8 0,5 4 -0,25 0,125
¿Por qué los datos tabulados no son un ejemplo de variación proporcional inversa?
a) Porque las variables toman valores negativos
(Cumple con una de las condiciones necesarias del concepto)
b) Porque el producto entre los valores que toman las variables no son iguales
(Respuesta correcta)
c) Porque los valores que toman las variables no son números reales
(No reconoce los números reales)
d) Porque forman una variación directa
(No reconoce la definición)
e) Porque la razón entre los valores de las variables son iguales
(Cumple con una de las condiciones necesarias del concepto)
(Competencia conceptual: Identificar las expresiones que no corresponden a un ejemplo del
concepto)
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3.- ¿Qué valores deben tomar A y B para que la tabla forme una variación proporcional inversa?
A 2 18
6 90 B
a) 15 y 5 (No cumple con la condición necesaria dos)
b) 30 y 10 (Respuesta correcta)
c) 7,5 y 2,5 (No cumple con la condición necesaria dos)
d) 3 y 1 (No cumple con la condición necesaria dos)
e) 3 y 10 (No cumple con la condición necesaria dos)
(Competencia conceptual: Reconocer las aplicaciones conceptuales como una estrategia para
ganar en propiedades e interpretaciones)
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Bibliografía
http://www.rmm.cl/index_sub.php?id_contenido=2553&id_seccion=1655&id_portal=266&PHPSESSID=007ec33e15d6567b35c227b4b2e1e54c
http://158.170.77.100/depmat/login/index.php
http://www.eneayudas.cl/propentrada.htm
http://www.educarchile.cl
http://albertof.galeon.com/mural.htm#Un%20paseo%20por%20la%20historia%20de%20
las%20proporciones%20y%20la
http://www.edufuturo.com/educacion.php?c=2883
“Matemática, educación media I” , Santillana
Diccionario enciclopédico, Editorial Océano, edición 2000
Apuntes de la clase de Metodología II.
Estudio de 08 conceptos matemáticos de la unidad 4 de Primero medio: “Variación proporcional” – Ricardo Andrés Carrasco Delgado. Página 75 de 77
Anexo
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PAUTA DE CORRECCIÓN ITEMES
ITEMES CONCEPTO ITEM Nº 1 ITEM N° 2 ITEM ° 3
Constante de proporcionalidad
Alternativa correcta: a
Alternativa correcta: b
Alternativa correcta: a
Proporción compuesta
Alternativa correcta: e
Alternativa correcta: c
Alternativa correcta: d
Variación proporcional
directa
Alternativa correcta: c
Alternativa correcta: b
Alternativa correcta: e
Variación proporcional
inversa
Alternativa correcta: b
Alternativa correcta: b
Alternativa correcta: b
Razón
Alternativa correcta: b
Alternativa correcta: c
Alternativa correcta: d
Variable continua
Alternativa correcta: a
Alternativa correcta: a
Alternativa correcta: a
Variable discreta
Alternativa correcta: b Alternativa correcta: b Alternativa correcta: a
Variación proporcional
Alternativa correcta: c Alternativa correcta: a Alternativa correcta: e
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