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Tesis de Grado

Estudio de la producción deEstudio de la producción demúltiples bosones de Higgs.múltiples bosones de Higgs.

Caracterización de los límites deCaracterización de los límites dealtas y bajas energíasaltas y bajas energías

Der, Manuel

2017

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Der, Manuel. (2017). Estudio de la producción de múltiples bosones de Higgs. Caracterizaciónde los límites de altas y bajas energías. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Universidadde Buenos Aires. https://hdl.handle.net/20.500.12110/seminario_nFIS000013_Der

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Der, Manuel. "Estudio de la producción de múltiples bosones de Higgs. Caracterización de loslímites de altas y bajas energías". Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Universidad deBuenos Aires. 2017. https://hdl.handle.net/20.500.12110/seminario_nFIS000013_Der

https://bibliotecadigital.exactas.uba.arhttps://bibliotecadigital.exactas.uba.arhttps://hdl.handle.net/20.500.12110/seminario_nFIS000013_Derhttps://hdl.handle.net/20.500.12110/seminario_nFIS000013_Dermailto:bibliotecadigital.exactas.uba.ar

UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES

Estudio de la Producción de Múltiples

bosones de Higgs.

Caracterización de los Ĺımites de Altas

y Bajas Enerǵıas.

Manuel Der

Tesis de Licenciatura en Ciencias F́ısicas

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

Universidad de Buenos Aires

6 de marzo de 2017

http://www.uba.ar/

Especificaciones

� TEMA: F́ısica de Part́ıculas Elementales.

� ALUMNO: Manuel Der.

� LU Nro. 338/12.

� LUGAR DE TRABAJO: International Center for Advanced Studies - ICAS-UNSAM.

� DIRECTOR DEL TRABAJO: Dr. Daniel de Florian.

� FECHA DE INICIACIÓN: Septiembre 2016.

� FECHA DE FINALIZACIÓN: Marzo 2017.

� FECHA DE EXAMEN:

� INFORME FINAL APROBADO POR:

Autor: Jurado:

Director: Jurado:

Profesor de Tesis de Licenciatura: Jurado:

i

“Un viaje de mil millas comienza con el primer paso.”

Lao-Tse.

UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES

Resumen

Departamento de F́ısica

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

Manuel Der

En el presente trabajo se realiza un análisis de los procesos de producción de uno y

dos bosones de Higgs en relación a las predicciones del Modelo Estándar de la f́ısica de

part́ıculas. Se lleva a cabo un estudio detallado de la fusión de gluones, haciendo hincapié

en el comportamiento de las distintas topoloǵıas que intervienen en el proceso, y en los

métodos de cómputo adecuados en cada caso. Se analizan distintas herramientas teóricas

que podŕıan resultar de suma utilidad para extender el cálculo a órdenes mayores, y se

estudian en detalle los ĺımites de altas y bajas enerǵıas y la relación con una posible

interpolación de la región intermedia frente a la amplitud exacta para el proceso.

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Agradecimientos

Se termina una etapa. La infinita y compleja red de causas y efectos que me trae hoy

a este punto se desvanece ante mis manos intentando desentramarla. Es ciertamente

un todo que excede ampliamente al conjunto de sus partes. En este sentido, cualquier

intento de expresar en palabras las vicisitudes de este camino corre el riesgo de resultar

insuficiente, al igual que estaciones puntuales pretendiendo encarnar el recorrido de un

tren, extenso y continuo.

Sin embargo, una cosa es segura. Pasar por este lugar no es el resultado de una casua-

lidad, aśı como tampoco es el producto de mi propia voluntad. Una primera mirada

puede revelar un camino de dificultades, convicción, constancia, esfuerzo y dedicación.

Un camino con un norte claro, confianza y un plan para transitarlo, sin cuya contribu-

ción todo lo demás resultaŕıa seguramente inútil o carente de sentido. Este es un camino

donde cada d́ıa es tan importante como el último, donde recibirse es un d́ıa más.

Es aqúı donde resulta preciso recordar, reconocer y agradecer a los demás protagonistas

de los logros de todos los d́ıas, a quienes supieron acompañarme y apoyarme ofreciendo

su tiempo y su vida, y haciendo posible transitar este camino.

Primero quiero agradecer profundamente a Daniel, quien me abrió las puertas del ICAS

y no dudó en guiarme a lo largo del trabajo de tesis. Su aporte fue fundamental para la

realización de este informe.

Luego, quiero agradecer a los demás miembros del grupo y afines: Ignacio, Nerina, Ya-

mila, Javier, Roger, Fiorella y Mariel, siempre disponibles para ayudarme y esclarecer

dudas o discutir cuestiones trascendentales para el trabajo.

De entre todos los aportes que recib́ı, hubo personas que nunca dudaron de mı́ y me

apoyaron y acompañaron siempre que fue necesario, poniendo todo de śı en momentos

clave, y sin esperar nada a cambio. Creo que la confianza y la determinación son im-

prescindibles para alcanzar cualquier meta, y por eso quiero agradecer especialmente a

Agust́ın Somacal, a Agust́ın Garćıa, a Lautaro Estienne, a Dionisio Rinaldi, a Maite

Ŕıos y a sus respectivas familias, que me recibieron en sus casas siempre de la mejor

manera y me alentaron a transitar por este camino.

Quiero agradecer también a mis amigos más allegados. A los de la facultad, en particular

a Facundo, Pilar, Mariano, Nicolás, Ramiro, Ignacio, Daniela y Tomás, sin los cuales

se me hubiera hecho muy dif́ıcil seguir algunas materias, rendir finales y sobrellevar

determinadas situaciones. A la banda de Handball UBA, amigos a quienes durante estos

años frecuenté más que a nadie y con los que compart́ı un equipo, viajes, torneos,

iv

pasiones, y quienes me conocen y me han brindado su apoyo y confianza en las situaciones

más extremas. Quiero agradecer finalmente a mis amigos del Nacional, por los momentos,

por las reflexiones, por su apoyo, por su confianza y por los comentarios francos y

desinteresados en situaciones clave, que son muchas veces los más importantes.

Sin dudas uno de los reconocimientos más relevantes es para mi familia, sin quienes

nunca hubiera llegado hasta aqúı. Duly Rey, Alejandro Der, Guadalupe Echevarŕıa,

Joaqúın Der, Paloma Der, Mercedes Mart́ınez, Mercedes Vega y Paula Binder. Ellos

fueron fundamentales, me dieron acceso a una buena educación, a un hogar y sin dudas

hicieron posible gran parte de mis estudios universitarios.

Para finalizar, tal vez el agradecimiento más importante que me toca dar hoy es para

Paulina. Ella me acompañó durante todo este camino y supo apoyarme de un modo

invaluable en los momentos de mayor dificultad, de forma sincera y desinteresada. De

igual manera quiero agradecer a Silvina, Gustavo y Arturo, todos ellos me ayudaron en

lo que estuvo a su alcance y fueron important́ısimos para dar este paso.

No resta más que decir, excepto que el texto comienza anunciando el final de una etapa.

Lo que realmente se termina es el primer paso, el viaje recién empieza.

Índice general

Especificaciones I

Resumen III

Agradecimientos IV

1. Introducción 1

2. QCD Perturbativa 4

2.1. Electrodinámica Cuántica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2. Cromodinámica Cuántica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3. Teoŕıa de Perturbaciones:Diagramas de Feynman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3.1. Cálculo de la amplitud de scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4. Libertad Asintótica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.5. Factorizaciones de Corto y Largo Alcance . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3. El Bosón de Higgs del Modelo Estándar 16

3.1. El Modelo Estándar sin el bosón de Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2. Ruptura Espontánea de las Simetŕıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.3. Mecanismo de Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.3.1. Mecanismo de Higgs Abeliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3.2. El Bosón de Higgs del Modelo Estándar:El Modelo de Weinberg-Salam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.4. La F́ısica del bosón de Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.5. Comprobación Experimental del Modelo Estándar . . . . . . . . . . . . . 29

3.5.1. Medición del bosón de Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4. Producción del Bosón de Higgs 33

4.1. Fusión de Gluones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2. Teorema de Bajas Enerǵıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.2.1. Lagrangiano Efectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.3. Detalle del Comportamiento a Bajas EnerǵıasDesarrollo en serie para m grande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.3.1. Cálculo y Ĺımite Convencional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

vi

Contenidos vii

4.3.2. Reducción de Passarino-Veltman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.3.3. Integración de una expresión simplificada . . . . . . . . . . . . . . 47

4.4. Ĺımite de Altas EnerǵıasAproximación de Masas Pequeñas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.5. Resultados Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5. Producción Múltiple de Bosones de Higgs 54

5.1. Producción de Pares de Bosones de Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.2. Expresión de las funciones Gauge1 y Gauge2 en términos de integralesde 3 y 4 puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.3. Ĺımite de Bajas Enerǵıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.3.1. Cálculo de las aproximaciones para las funciones C de 3 puntos . . 62C(p1, p2): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63C(p1, p3): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65C(p2, p3): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66C(p3, p4): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.3.2. Cálculo de las aproximaciones para las funciones D de 4 puntos . . 68D(p1, p2, p3): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69D(p2, p1, p3): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71D(p1, p3, p2): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.3.3. Cómputo de la contribución de Gauge1� y Gauge2� en el ĺımitem→∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.4. Comparación con la Sección Eficaz Exacta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.5. Resultados Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

6. Conclusiones 81

A. Enerǵıas Altas: Orden 10 en τ 83

Bibliograf́ıa 85

Caṕıtulo 1

Introducción

Los estudios acerca de la composición de la materia y el comportamiento de sus cons-

tituyentes elementales son tema central de la f́ısica de altas enerǵıas. De acuerdo a la

concepción moderna, existen en la naturaleza 4 tipos de interacciones fundamentales:

la fuerte, la débil, la electromagnética y la gravitatoria. Cada una de ellas con diferen-

tes relevancias y alcances según el tipo de materia, el rango de enerǵıas y las escalas

consideradas. En relación a la f́ısica de part́ıculas, ésta se ocupa del estudio de procesos

microscópicos entre part́ıculas subatómicas, que se analizan en el marco de velocidades

relativistas (es decir, a muy alta enerǵıa). Estas caracteŕısticas hacen que sea particu-

larmente necesario un formalismo cuántico y relativista para describir la dinámica de

las part́ıculas elementales.

Durante la segunda mitad del siglo XX, el desarrollo de las teoŕıas cuánticas de cam-

pos ofreció una sólida base para estudiar fenómenos f́ısicos a altas enerǵıas y realizar

predicciones certeras que permitieran describir y conocer mejor la naturaleza del mun-

do microscópico. En este marco, en la década de 1970 se formalizó y unificó una serie

teoŕıas que se ocuparon de modelar las interacciones fundamentales conocidas y lograron

describir satisfactoriamente la dinámica de las part́ıculas que componen la materia: el

Modelo Estándar (SM , por Standard Model). Esta teoŕıa explica, a partir del principio

general de invariancia local de la f́ısica ante transformaciones internas de un sistema,

compatibles simetŕıas de la naturaleza, el surgimiento de las interacciones fuerte, débil

y electromagnética, protagonistas en los procesos ordinarios de la f́ısica de altas enerǵıas

frente a la interacción gravitatoria, cuyo efecto resulta despreciable a estas escalas[1].

El Modelo Estándar ha sido desde entonces una teoŕıa altamente exitosa en relación a

la descripción de las interacciones electrodébil y fuerte entre las part́ıculas elementales,

y a la predicción de los valores medios t́ıpicos para los observables estudiados en las

colisiones. El modelo, técnicamente una teoŕıa de gauge, concibe estas fuerzas entre

1

Introducción 2

quarks y leptones a partir del intercambio de part́ıculas bosónicas espećıficas relacionadas

con simetŕıas de la naturaleza: el fotón, para el electromagnetismo, los bosones W+,W−

y Z para la interacción débil, y 8 gluones para la interacción fuerte. Adicionalmente, el

modelo postula la existencia de una part́ıcula sin carga eléctrica y de spin 0, el Bosón

de Higgs, necesario para proveer de masas a los fermiones y a los bosones W+,W− y Z

de manera consistente con las simetŕıas de la teoŕıa.

Recientemente, el Large Hadron Collider (LHC) ha detectado una part́ıcula compatible

con el Bosón de Higgs predicho por el Modelo Estándar [2, 3]. Este descubrimiento ha

puesto el foco en la determinación de las propiedades de esta nueva part́ıcula, y en el

análisis de su probable influencia en regiones inexploradas de la f́ısica de altas enerǵıas.

La existencia de cuestiones problemáticas aún no resueltas, como la formulación de una

versión cuántica de la interacción gravitatoria, el problema de la jerarqúıa de la masa

de los fermiones o la existencia de una descripción satisfactoria de la naturaleza de la

materia oscura, entre otras, sumada a la intriga acerca de la part́ıcula encontrada, y si

ésta es efectivamente el Bosón de Higgs predicho por la teoŕıa, vuelven sumamente im-

portante disponer de un conocimiento preciso de las predicciones del SM. Esto implica,

entre otras cosas, la posibilidad de realizar cálculos teóricos con la máxima precisión

posible y, en particular, dado el fino margen con el que resulta factible apreciarlos ex-

perimentalmente, la determinación más precisa posible de los acoplamientos del Bosón

de Higgs con las distintas part́ıculas del Modelo Estándar, y su autoacoplamiento, que

permite el acceso directo a los parámetros del potencial de ruptura espontánea de la

simetŕıa.

Por otro lado, dado que tanto la búsqueda de nueva f́ısica como la contrastación de

las predicciones del SM se lleva a cabo en colisionadores hadrónicos, la teoŕıa para las

interacciones fuertes o Cromodinámica Cuántica (QCD), que describe las interacciones

entre quarks y gluones, es la herramienta central para el cómputo de cualquiera de los

procesos y el entendimiento y caracterización de las señales medidas en los experimen-

tos. Además de la comprensión lograda sobre el sector electrodébil del SM, durante la

última década se ha conseguido un gran avance en el desarrollo de cálculos perturba-

tivos en QCD. En este marco han podido realizarse importantes automatizaciones en

los cómputos a segundo orden en la constante de acoplamiento αs (NLO, por Next To

Leading Order) que corrigen hasta en un 100 % el resultado a Leading Order (LO), e

incluso correcciones a NNLO (por Next To Next To Leading Order), que alcanzan, para

algunos procesos, el 20 % [4, 5].

En este trabajo se presentará entonces un estudio de los procesos relevantes en la pro-

ducción de uno y múltiples bosones de Higgs, haciendo hincapié tanto en el cómputo de

la amplitud de scattering como en la sección eficaz partónica a LO, y en el análisis de

Introducción 3

las distintas topoloǵıas que intervienen en la fusión de gluones (proceso predominante

para la producción de bosones de Higgs en colisiones hadrónicas). En este marco, se

analizarán distintas herramientas teóricas que podŕıan resultar de suma utilidad para

extender el cálculo a órdenes más altos, y se estudiarán en detalle los ĺımites de altas y

bajas enerǵıas y la relación de una posible interpolación de la región intermedia frente

a la amplitud exacta para el proceso. Además, se realizará una comparación y confir-

mación numérica de los resultados obtenidos, corroborando de este modo los supuestos

teóricos tomados en cuenta para realizar las aproximaciones.

La presente Tesis se encuentra organizada de la siguiente manera: En el caṕıtulo 2 se

presenta un resumen de los conceptos relevantes de QCD perturbativa. Luego, en el

caṕıtulo 3, resumiremos la f́ısica del bosón de Higgs del Modelo Estándar, explicando la

razón de su surgimiento y posibles limitaciones. Además, se presentará un breve repaso

de los últimos descubrimientos del LHC relacionados con el trabajo. En el caṕıtulo

4 se discutirán las particularidades del proceso de producción del bosón de Higgs en

colisionadores hadrónicos, se presentará un cálculo a LO de la sección eficaz partónica

de un bosón de Higgs por fusión de gluones, y se introducirá el Teorema de Bajas

Enerǵıas. Posteriormente, en el caṕıtulo 5 se comentará la relevancia del estudio de la

producción múltiple de bosones de Higgs y se analizará el proceso de producción de

pares de bosones, estudiando en detalle y por distintos métodos las regiones extremas de

bajas y altas enerǵıas para el resultado obtenido. De ser factible, se relacionarán sendas

dependencias por medio de interpolación, en vistas de aproximar el resultado exacto en

todo su espectro y extender este mecanismo a órdenes siguientes.

Caṕıtulo 2

QCD Perturbativa

Durante la segunda parte del siglo XX, dado el éxito de la generalización de la elec-

trodinámica a través de un formalismo cuántico-relativista, se desarrolló una teoŕıa si-

milar, formulada en términos de simetŕıas e invariancias ante transformaciones de un

determinado grupo, que describe satisfactoriamente la interacción fuerte en los proce-

sos hadrónicos. A lo largo de este caṕıtulo se realizará una revisión de los conceptos y

herramientas fundamentales de la Cromodinámica Cuántica (QCD) que serán necesa-

rios a lo largo del trabajo. En particular, se hará hincapié en la región del modelo que

admite desarrollos perturbativos en potencias de la constante de acoplamiento fuerte.

Se explicarán en detalle los fenómenos de libertad asintótica, la factorización de corto y

largo alcance y los oŕıgenes de las divergencias relevantes en el cómputo de la amplitud

de dispersión o scattering en los procesos hadrónicos.

2.1. Electrodinámica Cuántica

En 1927, previa formalización del electromagnetismo clásico y consenso acerca de su

carácter relativista, Paul Dirac desarrolló las bases de una teoŕıa cuántica para describir

las interacciones electromagnéticas, consiguiendo de este modo un modelo cuántico y

relativista altamente exitoso, enormemente útil para estudiar procesos de la f́ısica de

part́ıculas a altas enerǵıas. La electrodinámica cuántica (QED) se construye a partir de

la imposición de una simetŕıa de gauge ante transformaciones locales del grupo U(1),

donde la corriente eléctrica resulta ser la corriente de Noether conservada, asociada a

dicha simetŕıa. Este desarrollo implica la existencia de un Campo de Gauge portador de

la interacción, el fotón, una part́ıcula no masiva de esṕın 1 que se acopla a part́ıculas

con carga eléctrica [6, 7].

4

QCD Perturbativa 5

En relación a la confirmación experimental, la sección eficaz es el mejor observable para

contrastar las predicciones del modelo, pues en el proceso de dispersión o scattering se

encuentra escondida la verdadera interacción que describe la teoŕıa. En cuanto a QED,

el cálculo de la sección eficaz se lleva a cabo a través de un desarrollo perturbativo en

términos de potencias de αEM , con αEM ' 1137 la constante de estructura fina, quecaracteriza el acoplamiento entre el campo electromagnético y las part́ıculas cargadas.

En particular, cada término del desarrollo se puede representar gráficamente en distintos

y prácticos diagramas de Feynman, que caracterizan y ordenan los procesos, y ofrecen

un mecanismo sistemático para el cómputo de la amplitud de scattering.

Por otro lado, los cálculos de las contribuciones de algunos procesos abordados según

este marco, en particular en el caso de enerǵıas altas, pueden resultar divergentes, dando

esto lugar a la existencia de métodos para aislar y eliminar las divergencias que intro-

duce la teoŕıa, que no representan observables f́ısicos. En este sentido, a finales de la

década de 1940, Tomonaga, Schwinger, Feynman y Dyson desarrollaron las bases de la

renormalización perturbativa. A partir de este trabajo cobró una importancia fundamen-

tal el carácter renormalizable de las teoŕıas de gauge [8]. Por otra parte, y en relación

a las divergencias de la teoŕıa, durante la década de 1970 surgió también el método

de regularización dimensional [9, 10], que aprovecha el número de dimensiones de la

teoŕıa como parámetro regulador, y permite el cómputo de integrales divergentes, ex-

presando su resultado para D dimensiones en forma genérica, y luego tomando el ĺımite

correspondiente para las dimensiones del problema particular.

Todas estas razones, sumadas a la exactitud de las predicciones realizadas, dieron a la

QED un éxito y una solidez que la transformaron en un referente para las teoŕıas de

campos subsiguientes, en particular, las destinadas a modelar las otras fuerzas relevantes

a escalas microscópicas, como la interacción débil o la fuerte. En este sentido, durante

1954, Yang y Mills desarrollaron una generalización de las teoŕıas de gauge, para si-

metŕıas asociadas a grupos no abelianos [11] y, sobre esta base, en 1973, David Politzer

[12], Frank Wilzek y David Gross [13] propusieron la Cromodinámica Cuántica, una

teoŕıa cuántica de campos destinada a modelar la interacción fuerte entre part́ıculas con

carga de color, la carga de Noether asociada a la simetŕıa ante transformaciones del

grupo SU(3).

2.2. Cromodinámica Cuántica

Según la teoŕıa de Politzer, Wilzek y Gross, cada una de las part́ıculas que interactúa

fuertemente lleva una carga asociada, denominada “color”, que puede ser de 3 tipos:

Rojo (R), Verde (G), o Azul (B). Dicha carga es la magnitud conservada (a través del

QCD Perturbativa 6

teorema de Noether) asociada a la simetŕıa SU(3). Al ser una teoŕıa de gauge, con

muchas de las particularidades de QED, incluye campos portadores de la interacción,

en este caso 8 gluones, campos de gauge no masivos de esṕın 1, que dada la naturaleza

no abeliana del grupo SU(3) presentan carga de color y por lo tanto pueden acoplarse

entre ellos.

Además, los campos de materia correspondiente que presentan carga de color son los

quarks, fermiones de esṕın 12 con carga de color. Ellos se dividen en 3 familias de 2

part́ıculas cada una, asociadas a la parte de sabor de la función de onda, de manera

que se reconocen los quarks: up, down, charm, strange, bottom y top. Se considera que

los hadrones conocidos y en su momento modelados como elementales son estructuras

compuestas de quarks y gluones, lo que les da a estos últimos el nombre de partones. Los

hadrones, asimismo, al igual que toda estructura medianamente estable en la naturaleza,

no presentan carga de color debido al fenómeno conocido como confinamiento, que aún

no ha sido comprendido por completo.

Finalmente, el lagrangiano correspondiente a la interacción fuerte que resume las ca-

racteŕısticas de QCD resulta [7]

LQCD = ψi(iγµ∂µ −m)ψi + gSGaµψiγµtaijψj −

1

4GaµνG

aµν (2.1)

donde los espinores ψi son los campos asociados a los quarks, con ı́ndice i = 1, 2, 3 referido

al color de los mismos, taij son las 8 matrices de 3 × 3 generadoras de la representaciónfundamental de SU(3), con a = 1, 2, ..., 8 y Gaµ el campo de gluones. Además, γ

µ son

las matrices de Dirac, gS es la constante de acoplamiento fuerte, y Gaµν es el tensor de

campo gluónico definido como

Gaµν = ∂µGaν − ∂νGaµ + gSfabcGbµGcν (2.2)

en donde fabc son las constantes de estructura de SU(3). Las reglas de Feynman pueden

deducirse directamente de este lagrangiano según se muestra en [14].

Asimismo, los antiquarks presentan cargas de color opuestas (R, G, B) por su carácter

de antipart́ıculas, y los gluones portan tanto carga de color como carga de anticolor, y,

de acuerdo con la representación de Gell-Mann de los generadores de SU(3), pueden ser

expresados como

QCD Perturbativa 7

g1 =(RG+GR)/√

2 g2 = i(RG−GR)/√

2

g3 =(RB +BR)/√

2 g4 = i(RB −BR)/√

2

g5 =(GB +BG)/√

2 g6 = i(GB −BG)/√

2

g7 =(RR+GG)/√

2 g8 = (RR+GG− 2BB)/√

6

(2.3)

o de manera equivalente con cualquier combinación de los mismos que genere el mismo

octete.

2.3. Teoŕıa de Perturbaciones:

Diagramas de Feynman

Si se asume que las interacciones de la naturaleza pueden ser entendidas a partir de

desarrollos que converjan a la solución de las ecuaciones de Euler-Lagrange para el

lagrangiano del SM , entonces se vuelve interesante estudiar las representaciones de cada

término y cómo realizar el cómputo para obtener las contribuciones de la representación

a cada orden. En este sentido, el mecanismo se encuentra ampliamente sistematizado por

el método de los Diagramas de Feynman, que consiste en la construcción de estructuras

pictóricas de los términos del lagrangiano, que simbolizan los términos del desarrollo

perturbativo a cada orden, y donde cada diagrama representa una contribución precisa

a la amplitud de scattering. La misma, a su vez, puede ser obtenida a partir de las

Reglas de Feynman.

2.3.1. Cálculo de la amplitud de scattering

Si se quiere computar la sección eficaz para un proceso entre part́ıculas elementales, se

la puede vincular a la relación entre el flujo de part́ıculas y el número de estados finales

del proceso, por medio de [6]

dσ̂ =| M |2F

dQ (2.4)

donde F representa el flujo de part́ıculas incidente, y dQ el número de estados finales

del proceso, donde se incluye la hipótesis de la conservación de Enerǵıa-Momento del

sistema. Finalmente, M es la amplitud de transición del proceso. De esta forma, tantoF como dQ resultan ser parámetros invariantes de Lorentz, y la verdadera información

sobre la dinámica reside en la amplitud M. Intuitivamente se puede pensar la fórmula(2.4) como el número efectivo de part́ıculas que termina en un estado final espećıfico

QCD Perturbativa 8

| f〉 por el proceso en cuestión, normalizado por el flujo de part́ıculas incidente. En estesentido,M representa la amplitud de transición entre el estado inicial y el final, es decir

M = 〈i | S | f〉 (2.5)

donde S es el operador de scattering.

Si la teoŕıa admite un desarrollo en órdenes perturbativos, entonces podemos escribir a

S en la representación o picture de interacción como una serie perturbativa en potencias

del lagrangiano de interacción asociado al proceso:

S =

∞∑n=0

in

n!

∫ n∏j=1

d4xjT

n∏j=1

Lint(xj)

≡ ∞∑n=0

S(n) (2.6)

donde T [ ] representa el producto temporalmente ordenado de los operadores.

Esto indica entonces que formalmente un Diagrama de Feynman es una representación

gráfica de un término de la expansión de Wick del producto T-ordenado de cada término

de Lint. Además, por esta razón Sn ∼ αn, donde α es la constante de acoplamiento de

la interacción estudiada. Entonces,

M = 〈i | S(0) | f〉+ 〈i | S(1) | f〉+ 〈i | S(2) | f〉+ 〈i | S(3) | f〉+O(α4)

M =M(0) +M(1) +M(2) +M(3) +O(α4)(2.7)

En función de las interacciones se definen las propiedades de las estructuras de Feynman

de la siguiente manera [6]:

Las lineas de los diagramas representan los distintos campos del modelo. Las sólidas

son para los fermiones, las onduladas para el fotón, las enruladas para los gluones

y las discont́ınuas para el bosón de Higgs.

Las ĺıneas internas o propagadores empiezan y terminan en el diagrama, y se in-

terpretan como part́ıculas virtuales, off shell que no pueden ser observadas.

Las ĺıneas externas representan part́ıculas observables e indican los estados iniciales

o finales del proceso. A nivel global se conservan por supuesto el momento y la

enerǵıa.

Los vértices entre los campos simbolizan los acoplamientos, es aqúı donde entran en

juego las interacciones. Cada vértice aporta un factor proporcional a la constante

de acoplamiento de la teoŕıa.

QCD Perturbativa 9

Figura 2.1: Se presentan los propagadores para los campos gluónico, fermiónico y delcampo de Higgs en el gauge de Lorentz, respectivamente.

Una vez hechas estas consideraciones, las reglas de Feynman permiten asociar

expresiones matemáticas a las estructuras pictóricas mencionadas, las cuales en-

carnan los términos del desarrollo (2.6).

A continuación se detallan las principales caracteŕısticas matemáticas de las estructuras

de los diagramas:

A las ĺıneas externas se les asocia un vector de polarización o spinor correspondiente

al campo representado. Si la part́ıcula tiene carga de color, se detalla también esta

información en un vector.

Los propagadores quedan determinados por los términos cuadráticos en los cam-

pos del Lagrangiano, y constituyen una función de Green asociada a la ecuación de

Euler-Lagrange correspondiente. Lo podemos interpretar como el efecto asociado

al campo en cuestión en la coordenada x del espacio-tiempo dada una pertur-

bación unitaria en la coordenada x′. En la figura 2.1 se presentan en detalle los

propagadores fundamentales a utilizar durante el trabajo, y su respectivo operador

asociado en el gauge de Lorentz.

Los demás términos en el Lagrangiano, es decir los conformados por 3 o más

campos, se asocian a los vértices de interacción. Los factores que según las reglas

de Feynman están representados por estos vértices, son los que acompañan al

término que contiene la interacción entre los campos involucrados en el mismo.

En la figura 2.2, se pueden ver los vértices correspondientes al lagrangiano de

QCD. Para tener una noción de todos los vértices a considerar para procesos de

interacción fuerte, por ejemplo los que tienen en cuenta los campos Ghosts, o las

demás consideraciones originadas de la cuantización de un campo de Yang-Mills,

consultar [7].

QCD Perturbativa 10

Figura 2.2: Aqúı se muestran los vértices esenciales a tener en cuenta para el cómputode procesos de QCD.

2.4. Libertad Asintótica

Si bien la electrodinámica cuántica funciona como prototipo para las demás teoŕıas

cuánticas de campos, es importante destacar que las caracteŕısticas generales, y en par-

ticular la convergencia, en relación a los desarrollos perturbativos que se utilizan para

los cómputos de las amplitudes de scattering, dependen de la magnitud de cada aco-

plamiento, que es un parámetro t́ıpico de la interacción. En el caso de QED, dicho

acoplamiento está dado por la constante α de estructura fina, donde

α ' 1137� 1 (2.8)

Esta situación produce una buena convergencia para un desarrollo en potencias de α,

esencial para el cálculo perturbativo.

Ahora bien, en el caso de QCD, se presentan distintos factores importantes a tener en

cuenta. Por ejemplo, continuando con el análisis anterior, si se intentara determinar la

interacción fuerte de manera experimental a través del estudio de algún proceso partóni-

co, como por ejemplo el scattering de quarks, entonces el proceso de estudio, que de

manera esquemática se piensa a Leading Order (observar figura 2.3), se veŕıa afecta-

do por correcciones de órdenes mayores en la constante de acoplamiento αs = g2s/4π,

QCD Perturbativa 11

Figura 2.3: Diagrama de Feynman para el scattering de quarks a LO en QCD.

Figura 2.4: Diagramas de Feynman para correcciones a NLO al scattering de quarksen QCD.

que gráficamente se ven reflejadas en diagramas con bucles o loops que incluyen mayor

cantidad de interacciones en el proceso.

Esta situación indica presuntamente que la contribución de estos diagramas con loops

será una corrección a la sección eficaz computada a LO, aunque este hecho descansa

sobre la hipótesis de que la constante αs es pequeña. En la figura 2.4 se muestra una

representación gráfica de las contribuciones mencionadas.

En general, al intentar calcular los correspondientes elementos de matriz para los dia-

gramas con loops utilizando las reglas de Feynman, se puede ver rápidamente que los

resultados son divergentes. Esto se debe a que hay momentos en los diagramas con loops

(como p en la figura 2.4) que no se encuentran determinados por ninguna ley de conser-

vación, con lo cual resulta preciso integrarlos y recorrer todos sus posibles valores, con

|p| tomando cualquier valor entre cero e infinito, para recuperar la contribución de estatopoloǵıa al proceso.

En el caso del loop fermiónico de la figura 2.4, por ejemplo, habrá en su cómputo una

integral [6] de la forma

QCD Perturbativa 12

∫d4p

(2π)4Tr

{γµi(/p+m)

p2 −m2γν

i(/p− /q +m)(p+ q)2 −m2

}(2.9)

En este sentido, la integral (2.9) pareciera tener un comportamiento cuadrático para

valores grandes de | p | según∫| p | d | p |. No obstante, por más que śı existe un

comportamiento divergente, el mismo es sólo logaŕıtmico, dadas las cancelaciones que

ocurren entre los términos del integrando [6].

La forma de superar este obstáculo es entonces reconocer que la constante que aparece

en el lagrangiano, y por consiguiente en las reglas de Feynman, no representa la fuerza de

acoplamiento que se mide experimentalmente, sino que es un acoplamiento “desnudo”,

no observable y divergente. Estas divergencias se cancelan de este modo con las prove-

nientes de las contribuciones de los diagramas con loops, obteniéndose al combinarlas

un acoplamiento finito αs, que dependerá entonces de la escala Q2 del proceso. En este

caso, por ejemplo, Q2 = −q2. Intuitivamente, analizando de nuevo el caso de QED, estemecanismo permite entender por ejemplo a la carga eléctrica como resultante de la

magnitud desnuda más un apantallamiento t́ıpico producto de la polarización del vaćıo,

y es esto lo que se registra experimentalmente.

Al realizar los cálculos en QED, resulta útil entonces pensar en un acoplamiento efec-

tivo asociado a una carga eléctrica experimental que se observa a distancias grandes

(o enerǵıas pequeñas). De este modo, se recupera α = α eff(Q2 = 0) ' 1/137 y los

cómputos realizados en este ĺımite vuelven válido el desarrollo perturbativo aludido al

comienzo. No obstante, para QCD αs(Q2 → 0) resulta divergente, por lo que la “carga

experimental” debe ser definida en una escala arbitraria, Q2 = µ2, denominada escala

de renormalización. Según [14], el valor de αs(Q2) en términos de αs(µ

2) es

αS(Q2) =

αS(µ2)

1 + αS(µ2)β0ln(Q2/µ2)(2.10)

con β0 = (33 − 2Nf )/12π, siendo Nf el número de sabores de quarks de la teoŕıa. Seve entonces que αs(Q

2) tiende a 0 cuando Q2 →∞. Este comportamiento indica que lainteracción fuerte “desaparece” para enerǵıas muy grandes, y es conocido como libertad

asintótica, pues el acoplamiento se vuelve débil en este rango, permitiendo entonces

realizar desarrollos perturbativos en potencias de αs que corrijan progresivamente el

comportamiento del término de orden 0. Por el contrario, para distancias grandes o

enerǵıas pequeñas, el valor de αs crece, llegando a ser de orden 1 para distancias cercanas

a 1 fermi [6, 7]. En la figura 2.5 se muestran datos recientes referidos a un resumen de las

mediciones inportantes de αs, donde, como se puede observar, se evidencia el fenómeno

de libertad asintótica [15].

QCD Perturbativa 13

Figura 2.5: Se muestran resultados experimentales para la dependencia de la constanteαs con la escala de enerǵıa. La interacción fuerte se hace pequeña a enerǵıas grandes.

2.5. Factorizaciones de Corto y Largo Alcance

Como se puede ver, a causa de este comportamiento particular de la constante αs y la

estructura de la interacción a enerǵıas bajas, muchas caracteŕısticas de QCD a gran-

des distancias, como el confinamiento de quarks y gluones, tienen una naturaleza no

perturbativa, y como tales no se pueden recuperar ni inferir de un desarrollo acotado

en potencias de αs. Esto da lugar a una región de Corto Alcance, en la que el cálculo

perturbativo permite caracterizar las relaciones e interacciones y entender los procesos

entre los constituyentes de los hadrones, y da lugar a otra de Largo Alcance, en la que

los comportamientos no perturbativos serán recuperados a partir del ajuste experimen-

tal [16]. Los cómputos relativos a ambas regiones pueden ser combinados para estudiar

un proceso hadrónico en particular gracias a los Teoremas de Factorización.

Estos residen sobre la base de que en cualquier interacción fuerte a altas enerǵıas, los pro-

cesos de formación de los hadrones iniciales y hadronización final ocurren mucho antes

y mucho después de la interacción, pudiendo entonces despreciarse su efecto durante

la misma. Por otra parte, dada la naturaleza relativista de la colisión, y la dilatación

QCD Perturbativa 14

temporal propia del proceso en el sistema centro de masa, podemos pensar que la dis-

tribución de partones en cada hadrón es la misma a lo largo de la colisión, y que los

partones del mismo hadrón no tienen tiempo para interactuar entre ellos. El proceso a

considerar es entonces entre pares de partones en cada uno de los hadrones de la colisión

respectivamente. Además, si los mismos sufren un choque altamente energético, con dis-

tancias caracteŕısticas por debajo del fermi, podemos entender y realizar los cómputos

para el proceso a partir de desarrollos perturbativos.

Matemáticamente, la factorización de la sección eficaz hadrónica dσH(S), con S el cua-

drado de la enerǵıa medida desde el centro de masa, se plantea como la convolución

de la sección eficaz partónica dσ̂(ξi, S), calculada perturbativamente, con las funciones

de distribución partónicas (PDFs) fiA(ξi), que describen la probabilidad de encontrar

un partón i dentro del hadrón A con una fracción de momento ξi. Por lo tanto, la sec-

ción eficaz se consigue sumando sobre todos los partones e integrando sobre todas las

fracciones de momento posibles:

dσHAB(S) =∑ij

∫dx1dx2fiA(x1)dσ̂ij(ŝ)fjB(x2) (2.11)

donde ŝ = x1x2S es la enerǵıa del centro de masa partónico. Las PDFs fiA(x1) y fjB(x2)

son ajustadas a partir de datos experimentales y no pueden ser recuperadas a partir

de desarrollos perturbativos. Sin embargo, son independientes del proceso considerado,

con lo que pueden estimarse de manera general teniendo en cuenta algunos detalles y

fuentes de error presentes a causa de los métodos utilizados durante el proceso [17]. A

continuación, como puede observarse en la figura 2.6, se muestran las relaciones para

las funciones de distribución partónicas dentro del protón para una escala de enerǵıa

Q2 = 10GeV 2 según la distribución MSTW, con correcciones hasta NLO [18]. El hecho de

que la magnitud graficada sea xf(x,Q2), lo que apantalla en la figura las contribuciones

para x pequeño, sumado a que la distribución para el gluón se encuentra dividida por

10, nos transmite que el LHC es, al menos en una buena medida, un colisionador de

gluones. Este es un factor de importancia, la abundancia relativa de gluones indica que

en general podemos esperar que predominen canales gluónicos, en los casos y procesos

que lo permitan.

QCD Perturbativa 15

Figura 2.6: Funciones de distribución partónicas del protón para Q2 = 10GeV 2, segúnla distribución MSTW. En el eje vertical se encuentra graficado xf(x). La distribución

correspondiente a los gluones se encuentra dividida por 10.

Caṕıtulo 3

El Bosón de Higgs del Modelo

Estándar

Originalmente, el Mecanismo de Higgs se propuso como una forma para posibiltar que

una teoŕıa invariante de gauge, como las introducidas anteriormente, admitiera la incor-

poración de bosones de gauge masivos sin necesidad de resignar las simetŕıas de la teoŕıa.

En su versión más simple, el bosón de Higgs es el responsable de la masa de los bosones

Z y W de la interacción débil, y de la masa de los fermiones. Su reciente descubrimiento

supuso un hito en la f́ısica de part́ıculas. Tanto que su atención está puesta ahora en la

determinación experimental de sus propiedades, y en la disponibilidad de predicciones

precisas que permitan contrastar la teoŕıa y brindar pistas para la búsqueda de nueva

f́ısica.

En este sentido, en el presente caṕıtulo se resumirán los aspectos esenciales de la f́ısica

del bosón de Higgs, desde su propuesta hasta su relación con la masa de los bosones

vectoriales y con la simetŕıa del Modelo Estándar. En primer lugar, se presentará una

descripción del Modelo preexistente, haciendo énfasis en las complicaciones de incluir en

la teoŕıa propiedades no despreciables y con verificación experimental previa. Luego se

abordará el mecanismo de ruptura espontánea de simetŕıa o mecanismo de Higgs, y sus

posibles limitaciones. Se focalizará la atención en las caracteŕısticas de este nuevo campo,

y se concluirá con un repaso de los últimos descubrimientos del LHC y las motivaciones

a partir del Run 2. Más detalles sobre el Modelo Estándar pueden encontrarse en [6, 7]

16

Mecanismo de Higgs 17

3.1. El Modelo Estándar sin el bosón de Higgs

El Modelo Estándar es una teoŕıa que describe la dinámica de las part́ıculas elementales

y sus interacciones a partir de un formalismo cuántico-relativista con ciertas simetŕıas

que resultan en la conservación de distintas cargas fundamentales: la carga de color, el

isosṕın débil y la hipercarga. Esto es el resultado de dos teoŕıas de gauge unificadas:

la Cromodinámica Cuántica y la Teoŕıa Electrodébil. Esta teoŕıa resulta perturbativa

en una región de enerǵıas relativamente altas y además es renormalizable (como se ha

explicado en 2.4 y se puede ver en detalle en [7, 14]).

En particular QCD, que es la teoŕıa que describe la interacción fuerte entre quarks y

gluones, se corresponde con la formulación de un lagrangiano con simetŕıa ante trans-

formaciones locales SU(3)C , siendo esta caracteŕıstica la que predice una dinámica en

la que el color es una magnitud conservada [12, 13, 19].

Por otro lado,la teoŕıa electrodébil de Glashow - Weiberg - Salam (GWS) [20–22] des-

cribe las interacciones electromagnética y débil entre quarks y leptones. Es una teoŕıa de

Yang-Mills [11] basada en la simetŕıa ante transformaciones del grupo SU(2)L × U(1)Yque resulta, como se ha mencionado, en la conservación del isosṕın débil I y de la

hipercarga Y . La L, de left, indica el carácter “asimétrico” de la interacción débil: las

corrientes cargadas de Yang-Mills involucran solamente fermiones left. La carga electro-

magnética Q, magnitud conservada en QED, se relaciona con la hipercarga Y y con la

componente 3 del isosṕın, I3, como

Q =Y

2+ I3 (3.1)

A partir de estas consideraciones, el Lagrangiano del Modelo Estándar resulta [23]

LSM =−1

4Gµνa G

aµν −

1

4Wµνa W

aµν −

1

4BµνBµν

+ LiiDµγµLi + eRiiDµγ

µeRi +QiiDµγµQi + uRiiDµγ

µuRi + dRiiDµγµdRi

(3.2)

Aqúı, Li son los campos asocaidos a las tres familias de leptones left-handed i = 1, 2, 3.

Son dobletes de isosṕın débil y singletes de color. Además, los campos eRi corresponden

a las 3 familias de leptones right-handed, i = 1, 2, 3. Son singletes de isosṕın débil y

singletes de color. Los Qi son los campos asociados a las tres familias de quarks left-

handed, i = 1, 2, 3. Son dobletes de isosṕın débil y tripletes de color. Los campos uRi

y dRi corresponden a tres familias de quarks right-handed, i = 1, 2, 3 up y down res-

pectivamente. Son singletes de isosṕın débil y tripletes de color. Todos los campos de

materia del SM son fermiones de spin 12 , y γµ son las matrices de Dirac. En la tabla 3.1

Mecanismo de Higgs 18

Figura 3.1: En esta tabla se muestran las propiedades más importantes de las part́ıcu-las asociadas a los campos de materia del Modelo Estándar.

se pueden encontrar varias propiedades relevantes de los campos de materia. Para más

información se puede consultar [23].

Además, siguiendo con el lagrangiano (3.2), Gaµν , Waµν y Bµν son los tensores de los

campos de interacción, dados por

Gaµν =∂µGaν − ∂νGaµ + gsfabcGbµGcν

W aµν =∂µWaν − ∂νW aµ + g2�abcW bµW cν

Bµν =∂µBν − ∂νBµ

(3.3)

donde gs, g2 y g1 son las constantes de acoplamiento de SU(3)C , SU(2)L y U(1)Y

respectivamente. Se encuentran presentes en las derivadas covariantes Dµ en (3.3) y son

proporcionales a los acoplamientos que involucran campos de gauge.

Estos campos de gauge no son más que los generadores de la simetŕıa que resulta en la

conservación de las corrientes asociadas a las interacciones fundamentales, representados

por bosones de esṕın 1 que median las interacciones. Respectivamente, Bµ es el generador

de U(1)Y y los tres Waµ corresponden a los generadores de SU(2)L, con a = 1, 2, 3.

Finalmente, Gaµ son los ocho campos asociados a la interacción fuerte, y corresponden a

los ocho generadores de SU(3)C , a = 1, 2, ..., 8.

Mecanismo de Higgs 19

3.2. Ruptura Espontánea de las Simetŕıas

Teniendo en cuenta la formulación de la teoŕıa según (3.3) y (3.2), es posible observar

que no se incluyen términos de masa para los bosones de gauge ni para los campos

fermiónicos. En el caso de QCD, los bosones de gauge deben ser no masivos, y tanto

los quarks, por un lado, como los leptones, por el otro, podŕıan incluir términos de

masa −mqψψ, lo cual mantiene la invariancia del lagrangiano ante transformaciones deSU(3)C .

En el caso de la interacción débil, por otro lado, que los bosones W y Z no tengan térmi-

nos cuadráticos en (3.3) presenta un problema grave. Por un lado, experimentalmente se

ha determinado una masa no despreciable de 80 y 91 GeV para los bosones W y Z res-

pectivamente [15, 24], aunque la inclusión de términos de masa de la forma 12mVWµWµ

violaŕıa la invariancia local del lagrangiano ante transformaciones de SU(2)L × U(1)Y ,que es lo que garantiza la conservación de la corriente electrodébil.

Además, en relación a la masa de los fermiones, la adición de un término −mfψψrompe la simetŕıa de isosṕın, pues mezcla la parte left y right de la función de onda,

y los fermiones left-handed son dobletes de SU(2)L, mientras que los right-handed son

singletes.

La situación entonces indica claramente que se debe optar por conservar las simetŕıas

y la invariancia local de gauge a costa de no poder incluir en el formalismo las masas

de los fermiones y de los bosones vectoriales, o bien por incorporar dichos términos al

lagrangiano (3.3) y resignar las simetŕıas que garantizan la conservación de las cargas

asociadas a la interacción correspondiente.

El Mecanismo de Higgs, formulado en este marco, consiste entonces en considerar una

posible interacción con un nuevo campo de carácter escalar que permita incorporar, a

partir de sus acoplamientos, términos de masa para los bosones de gauge, sin necesidad

de violar la invariancia local. Durante la década de 1960, motivados por esta posibilidad,

Higgs, Brout, Englert, Guralnik, Hagen y Kibble desarrollaron el mecanismo que lleva

su nombre [25–28].

3.3. Mecanismo de Higgs

La cuestión central que el Mecanismo de Higgs propone es una manera de incluir en

el lagrangiano del Modelo Estándar términos de masa para los bosones W y Z, que

no pueden ser despreciados, teniendo en cuenta que MW = 80 GeV y MZ = 91 GeV, y

Mecanismo de Higgs 20

salvando la invariancia ante SU(2)L local, que garantiza la conservación de la carga de

isosṕın débil de la teoŕıa.

Para tener una noción sencilla del asunto, se presentará a continuación un breve resumen

del mecanismo de Higgs. En primer lugar se mencionará su idea y funcionamiento para

teoŕıas abelianas, y más adelante se extenderá al Modelo Estándar en general. Para

finalizar, se discutirán los acoplamientos del bosón de Higgs a las demás part́ıculas del

modelo, y la posibilidad de incluir también términos de masa para los fermiones sin

abandonar la simetŕıa de gauge de la teoŕıa electrodébil.

3.3.1. Mecanismo de Higgs Abeliano

Para entender el origen del problema se considerará un mecanismo sencillo para una

teoŕıa de gauge U(1) con un solo campo de gauge, el fotón [29]. El lagrangiano de esta

teoŕıa es, entonces,

L = −14FµνF

µν (3.4)

con

Fµν = ∂νAµ − ∂µAν (3.5)

el tensor de Maxwell.

Si ahora se exige invariancia de este lagrangiano ante transformaciones locales de U(1),

tales como: Aµ −→ Aµ−∂µη(x) para η genérico, se puede ver fácilmente que la conside-ración de un término de masa de la forma 12m

2AµAµ rompeŕıa tal invariancia. El hecho

de que el fotón no tenga masa, entonces, es importante para conservar la simetŕıa de

gauge.

Si, en cambio, consideráramos además la acción de otro campo, un campo escalar com-

plejo φ tal que

φ =1√2

(φ1 + iφ2) (3.6)

habŕıa que tener en cuenta también su potencial en el lagrangiano, de manera que

L = −14FµνF

µν+ | Dµφ |2 −V (φ) (3.7)

donde

Dµ =∂µ − ieAµ

V (φ) =µ2 | φ |2 +λ(| φ |2)2(3.8)

Mecanismo de Higgs 21

Figura 3.2: Se presentan las posibilidades para el potencial de Higgs:a. Equilibrio estable en φ = 0.

b. Equilibrio estable desplazado, ruptura de la simetŕıa.

con V (φ) el potencial renormalizable más general posible invariante ante el grupo U(1).

Se puede ver fácilmente que este lagrangiano śı es invariante ante una rotación φ −→eiθφ, y lo mismo sucede si la rotación es local:

Aµ(x) −→ Aµ(x)− ∂µη(x)

φ(x) −→ e−ieη(x)φ(x)(3.9)

A partir de este punto, asumiendo λ > 0, hay dos posibilidades para la teoŕıa propuesta.

Si µ2 > 0, entonces el potencial tiene la forma de la figura 3.2.a y hay un mı́nimo que

corresponde a un equilibrio estable, en φ = 0, el estado de vaćıo. En este sentido, se

ha preservado la simetŕıa del lagrangiano. De este modo, la teoŕıa propuesta resulta ser

una versión escalar de la electrodinámica cuántica, con un fotón no masivo y un campo

escalar cargado φ con masa µ.

Si, por el contrario, µ2 < 0, el potencial V (φ) resulta

V (φ) = − | µ |2| φ |2 +λ(| φ |2)2 (3.10)

que corresponde a un potencial V en forma de sombrero mexicano, tal como puede verse

en la figura 3.2.b. En esta situación, como se puede observar, el mı́nimo de potencial no

corresponde a φ = 0, sino que el campo tiene un valor de expectación de vaćıo

〈φ〉 =√−µ

2

2λ(3.11)

Mecanismo de Higgs 22

que corresponde al equilibrio estable del potencial, al rededor del que funcionan los

métodos de cálculo perturbativo. Ahora bien, dado que el lagrangiano depende sólo del

módulo de φ, la dirección en la que se recupera el valor mı́nimo de V es arbitraria, y

suele elegirse sobre la parte real de φ por convención. Entonces

φ ≡ 1√2eiχv (v +H) (3.12)

con χ y H campos reales sin valor de expectación de vaćıo (VEV).

Finalmente, si reemplazamos la expresión (3.12) en (3.7), será fácil encontrar que existen

ahora interacciones con H y χ, todos campos con equilibrio estable en 0, en torno a los

que el formalismo de teoŕıa de perturbaciones funcionaŕıa correctamente.

L =− 14FµνF

µν − evAµ∂µχ+e2v2

2AµA

µ

+1

2(∂µH∂

µH + 2µ2H2) +1

2∂µχ∂

µχ

+ ( Términos(H,χ))

(3.13)

Este lagrangiano describe entonces una teoŕıa con un fotón de masa MA = ev, un campo

escalar H con masa mH = −2µ2 > 0, y un campo escalar sin masa χ. No obstante, aúnes posible simplificar más las consideraciones sobre la misma, pues el campo χ puede ser

absorvido por una transformación de gauge sobre el campo electromagnético:

A′µ = Aµ −1

ev∂µχ. (3.14)

De este modo, el campo χ, comúnmente denominado bosón de Goldstone [25–28, 30],

desaparece de la teoŕıa, siendo reabsorbido por una transformación de simetŕıa sobre

el campo de gauge, al tiempo que este último adquiere masa. La elección 3.14 recibe

comúnmente el nombre de gauge unitario.

Se tiene entonces, finalmente, una teoŕıa con un fotón masivo y un campo escalar H,

El Bosón de Higgs. De esta forma, resumiendo los puntos clave del mecanismo, se ha

visto cómo la adición de un campo escalar complejo a la teoŕıa, seguida de una ruptura

espontánea de la simetŕıa del lagrangiano conseguida al considerar un equilibrio estable

desplazado del 0 para el nuevo potencial, y entonces un VEV distinto de 0 para el

campo φ, resulta en la desaparición de un bosón de Goldstone, y su transformación en

la componente longitudinal de la polarización de un bosón de gauge masivo.

Mecanismo de Higgs 23

Resulta útil también observar lo que ocurre con los grados de libertad de la teoŕıa. Al

comienzo, hab́ıa un campo de gauge no masivo (2 grados de libertad) y un campo escalar

complejo φ (2 grados de libertad adicionales). Luego de la ruptura espontánea de la

simetŕıa, la teoŕıa tiene finalmente un fotón masivo (lo que implica 3 grados de libertad,

considerando esta vez la polarización longitudinal más los 2 grados de de libertad previos

asociados a la polarización transversal) y un campo escalar real H (con 1 grado de

libertad). Es decir, la misma cantidad de grados de libertad que al comienzo.

3.3.2. El Bosón de Higgs del Modelo Estándar:

El Modelo de Weinberg-Salam

Inspirado en las caracteŕısticas del mecanismo descripto en el caso de una teoŕıa abeliana,

se ha desarrollado el Mecanismo de Higgs para recuperar las masas de los bosones de

la interacción débil. En este sentido, el Modelo de Weinberg-Salam presenta una teoŕıa

invariante ante SU(2)L × U(1)Y con 3 bosones de SU(2) masivos, W iµ, y un bosón degauge de U(1), Bµ [22, 31, 32].

Para comenzar, entonces, construimos el término cinético del lagrangiano

LC = −1

4W iµνW

µνi − 14BµνB

µν (3.15)

donde

W iµν = ∂νWiµ − ∂µW iν + g�ijkW jµW kν

Bµν = ∂νBµ − ∂µBν(3.16)

A continuación, se acopla el doblete complejo

Φ =1√2

(φ1 + iφ2

H + iφ0

)(3.17)

con su correspondiente potencial, el más general invariante ante SU(2)

V (Φ) = µ2 | Φ†Φ | +λ(| Φ†Φ |)2 (3.18)

con λ > 0. Además, nos situamos en la región en la que µ2 < 0, con lo cual el estado de

mı́nima enerǵıa vuelve a encontrarse desplazado, y el campo Φ tiene un VEV distinto de

0. Al igual que en el caso anterior, el mı́nimo no es único, y el punto particular no está

Mecanismo de Higgs 24

determinado por el potencial, ya que el mismo depende de Φ†Φ = 12(φ21 +φ

22 +H

2 +φ20).

Por esta razón, resulta útil tomar

〈Φ〉 = 1√2

(0

v

)(3.19)

Con esta elección, la hipercarga del doblete resulta ser YΦ = 1, y con respecto a la carga

electromagnética, Q = T3 +Y2 , el campo resulta neutro

Q〈Φ〉 = 0 (3.20)

con lo cual el electromagnetismo no se ve afectado por esta elección de la VEV. Por

otro lado, resta el detalle principal, relacionado con la masa de los bosones Z y W de la

interacción débil. En este sentido, la contribución del doblete al lagrangiano es

LΦ = (DµΦ)†(DµΦ)− V (Φ) (3.21)

con

Dµ = ∂µ + ig

2τ ·Wµ + i

g′

2Bµ. (3.22)

Nuevamente, bajo la elección del gauge unitario1, el campo Φ resulta

Φ =1√2

(0

v +H

)(3.23)

término que, al considerar la parte cinética en el lagrangiano, devuelve las masas de los

bosones de gauge

1

2

(0 v

)(1

2gτ ·Wµ +

1

2g′Bµ)

2

(0

v

)(3.24)

1Cabe destacar que de no ser elegido el gauge unitario tanto para el mecanismo como para los cálculos,tendremos que considerar 3 bosones de Goldstone w = (w±, z) con masas MW y MZ en el gauge deFeynman.

Mecanismo de Higgs 25

De esta manera, podemos redefinir los campos de gauge en virtud de conseguir términos

bilineales en el lagrangiano, M2WW+µ W

µ+, 12M2ZZµZ

µ y 12M2AAµA

µ respectivamente, con

W±µ =1√2

(W 1µ ∓ iW 2µ)

Zµ =−g′Bµ + gW 3µ√

g2 + g′2

Aµ =gBµ + g

′W 3µ√g2 + g′2

(3.25)

donde las constantes de acoplamiento satisfacen las relaciones usuales,

e = gsin(θW )

e = g′cos(θW )(3.26)

y las masas, por lo tanto

M2W =1

4g2v2

M2Z =1

4(g2 + g′2)v2

mγ = 0

(3.27)

Si contamos nuevamente los grados de libertad, veremos que previo a la ruptura es-

pontánea de la simetŕıa, teńıamos un campo Φ doblete escalar complejo con 4 grados de

libertad, tres campos de gauge no masivos Wi generadores de SU(2), es decir, 6 grados

de libertad, y un campo de gauge no masivo B, representante de U(1), con 2 grados de

libertad más. Finalmente, luego de la ruptura, la teoŕıa tiene un campo escalar real H,

1 grado de libertad, tres campos masivos W± y Z, con 9 grados de libertad, y un campo

electromagnético no masivo A, con 2 grados de libertad, lo que da un total de 12 antes

y después de la ruptura. Es decir que, como se puede observar a partir del mecanismo

descripto, nuevamente los grados de libertad escalares sin masa han sido absorvidos para

dar a los bosones W y Z sus componentes longitudinales. Por otra parte, si consideramos

las contribuciones del campo H al término de (3.24) resultan evidentes los acoplamientos

que vinculan al bosón de Higgs con los bosones vectoriales, proporcionales a sus masas

al cuadrado, y los vértices correspondientes en cada caso, como se puede observar en la

figura 3.3.

Para terminar, es importante destacar que el mecanismo de Higgs no sólo sirve para

proveer de masas a los bosones W y Z, sino que también se acopla generando términos

de este tipo para los campos fermiónicos. Si consideramos, por ejemplo, el acoplamiento

Mecanismo de Higgs 26

de Yukawa del bosón de Higgs con los fermiones, resulta

Lf = −λdQLΦdR + h.c., (3.28)

donde QL es un doblete de SU(2)

QL =

(u

d

)L

(3.29)

En esta situación, la elección 3.23 nos da el acoplamiento efectivo

λd1√2

(uL, dL

)( 0v +H

)dR + h.c. (3.30)

lo que puede entenderse como una redefinición de la masa del quark down si la identifi-

camos con el acoplamiento λd con el bosón de Higgs

λd =md√

2

v. (3.31)

Asimismo, la masa del quark up puede ser recuperada utilizando Φc ≡ −iτ2Φ∗, undoblete de SU(2) para el que es posible construir la contribución

λuQLΦcuR + h.c. (3.32)

que genera un término de masa para el quark up. Del mismo modo se pueden incluir

términos que generan las masas de todos los leptones cargados. En este sentido, las

masas de los demás campos de materia pueden pensarse como una consecuencia directa

del acoplamiento con el bosón de Higgs, que resulta proporcional a la misma. En la figura

3.3 se pueden ver los vértices correspondientes a los acoplamientos del bosón de Higgs

con part́ıculas del Modelo Estándar, junto con los factores de vértice caracteŕısticos, que

provienen de los términos de interacción del lagrangiano.

Finalmente, en el caso de multifamilias de part́ıculas, los acoplamientos de Yukawa λd

y λu se convierten en matrices de Nf ×Nf , donde Nf es el número de familias. De estemodo, al ser las matrices de masa proporcionales a las de Yukawa, las interacciones del

bosón de Higgs con los autoestados de masa de los fermiones son diagonales en sabor,

con lo que Higgs no media interacciones de sabor, ni mezcla sabores, respectivamente.

Resumiendo, se ha mostrado que el Mecanismo de Higgs posibilita la inclusión de

términos de masa para los bosones W± y Z de la interacción débil, preservando la si-

metŕıa de gauge SU(2)L×U(1)Y , a partir de una ruptura espontánea de la simetŕıa del

Mecanismo de Higgs 27

lagrangiano, que se encuentra escondida. Con respecto a las simetŕıas del electromag-

netismo, ante U(1)Q, y de color, ante SU(3)C , éstas permanecen intactas a lo largo del

mecanismo.

Para mayor información y detalles acerca del modelo de Weinberg-Salam, o para la

deducción detallada de los términos de masa de los leptones, consultar [6, 7, 25, 29].

3.4. La F́ısica del bosón de Higgs

En esta sección se presentarán las caracteŕısticas más relevantes del bosón de Higgs

predicho por el Modelo Estándar, en relación al potencial propuesto durante la ruptura

espontánea de las simetŕıas, su masa, y luego sus acoplamientos con los demás campos

del modelo.

En primer lugar, de la parte del lagrangiano correspondiente al sector de Higgs surge el

término 12(∂µΦ)2, que proviene de la derivada covariante | Dµ |2 de (3.21). Además, el

término de masa para el bosón se obtiene del potencial V (Φ), como

V ≡ µ2

2

(0, v +H

)( 0v +H

)+λ

4

∣∣∣∣∣ ( 0, v +H )(

0

v +H

)∣∣∣∣∣2

(3.33)

y esto, sumado al valor (3.19), implica

V = −12λv2(v +H)2 +

1

4λ(v +H)4 (3.34)

En consecuencia, podemos estudiar la masa y los autoacoplamientos del bosón aislando

el sector de Higgs del lagrangiano del SM, según

LH =1

2(∂µH)(∂

µH)− V

=1

2(∂µH)

2 − λv2H2 − λvH3 − λ4H4

(3.35)

En este sentido, y como se ha visto en la sección 2.3, el término de LH proporcional

a H2 puede entenderse como término de masa, y los proporcionales a H3 y H4 como

términos de autointeracción. Los acoplamientos que surgen de estas consideraciones son,

Mecanismo de Higgs 28

Figura 3.3: Se presentan las reglas de Feynman y los factores de vértice asociados albosón de Higgs, recuperadas del LAgrangiano del SM [33].

entonces

M2H = 2λv2 ≡ −2µ2

gHHH ∼ λv ∼M2Hv

gHHHH ∼ λ ∼M2Hv2

(3.36)

Los diagramas y las reglas de Feynman asociados a este lagrangiano y al sector completo

de Higgs del Modelo Estándar pueden observarse en la figura 3.3. En particular, las

imágenes 3.3.d y 3.3.e muestran las configuraciones de los autoacoplamientos.

En relación al valor v que caracteriza la expectación de vaćıo del doblete Φ, el mismo no

se encuentra aún determinado, aunque puede inferirse a a partir de la constante de Fermi

GF , que se mide estudiando el decaimiento µ −→ eνeνµ, representado en la figura 3.4.Si se desprecia el momento de W , dado que en el sistema centro de masa corresponde a

la masa mµ, y este valor es pequeño comparado a MW (como ya se ha discutido en el

Mecanismo de Higgs 29

Figura 3.4: Se muestra el diagrama de Feynman correspondiente al decaimiento delmuón, proceso que se usa para la determinarción de el valor v de expectación de vaćıo

del campo Φ [29].

apartado 3.3) , resulta, teniendo en cuenta (3.27)

GF√2≡ g

2

8M2W=

1

2v2(3.37)

de manera que

v2 =1√

2GF' (246 GeV)2 (3.38)

3.5. Comprobación Experimental del Modelo Estándar

Si bien existen dudas acerca del mecanismo de ruptura de simetŕıa electrodébil, y aún

se presentan problemáticas y planteos que cuestionan el mecanismo de Higgs [34, 35],

sumados a formulaciones que intentan incluir por ejemplo explicaciones del valor para v,

o de los parámetros relacionados con la masa de los fermiones, que no surgen del modelo,

el SM con la inclusión del bosón de Higgs ha sido una teoŕıa altamente predictiva, y ha

tenido sus últimas confirmaciones de la mano del descubrimiento experimental del bosón

de Higgs en el Run1 del LHC, situación bisagra en el mundo de la f́ısica de part́ıculas.

3.5.1. Medición del bosón de Higgs

Dado que la masa del bosón de Higgs es un parámetro libre de la teoŕıa, a la vez que

constituye un factor altamente presente en las implicaciones de la ruptura espontánea,

la determinación de su masa resultaba esencial para la validación del modelo. Hubo, en

las últimas décadas, muchos trabajos destinados a estimar ĺımites y poner cotas a la

masa del bosón, con lo que la búsqueda se enfocaba sobre part́ıculas sin carga eléctrica,

pares y de esṕın 0, y con distintas posibilidades para su masa reflejadas en los procesos

Mecanismo de Higgs 30

Figura 3.5: Determinación de la masa del bosón de Higgs según [37].

y experimentos que se usaban para su estudio (se estimaba, por ejemplo, que dados los

canales de decaimiento estudiados, MH deb́ıa ser mayor a 58 GeV [29, 36]).

En este marco, el LHC construido en el CERN tiene como propósito verificar la validez

y los ĺımites del SM mediante la exploración del TeV, una escala de enerǵıa nueva, y se

ocupó, como primera medida, de la búsqueda del bosón.

En el año 2012, las colaboraciones ATLAS y CMS del LHC observaron un exceso de

eventos cerca de MH ∼ 125 GeV, en los canales H −→ ZZ∗ −→ 4l y H −→ γγ.Estos excesos fueron confirmados por el canal H∗ −→ lνlν, más sensible pero de menorresolución [2, 3]. Hasta el momento no hay más que coincidencias entre el bosón de Higgs

predicho por el Modelo Estándar y el registrado por el LHC.

La medición más precisa del bosón se ha llevado a cabo en 2015, con los datos de ATLAS

y CMS en los canales H −→ ZZ∗ −→ 4l y H −→ γγ, recolectados con enerǵıas, en elsistema centro de masa, de 7 y 8 TeV. El valor obtenido corresponde a MH = 125, 09±0, 21(est.)±0, 11(sist.) GeV [37]. En la figura 3.5 se muestran los datos referentes a estamedición. Los resultados combinados para cada canal son consistentes a 1σ, mientras

que las cuatro mediciones individuales lo hacen a 2σ. Además, como se observa en la

figura 3.6.b el acoplamiento del bosón a campos de gauge con masa es lineal con la masa

al cuadrado, y para los fermiones masivos resulta razonablemente proporcional a ésta

[38], lo que indica que las mediciones en general no presentan diferencias significativas

con lo predicho por el Modelo Estándar. Como además es evidente, la recolección de

datos mejorará la estad́ıstica sobre los observables del bosón, lo que se traducirá en una

disminución de la incerteza en este sentido, y en un ajuste más restrictivo de los datos

observados en relación con la validez del Modelo.

Mecanismo de Higgs 31

Figura 3.6: Comparaciones realizadas en relación a la compatibilidad entre teoŕıa yexperimento en el sector de Higgs.

a. Determinación de los parámetros µ correspondientes a cada canal en el que intervieneel bosón. Valores en torno a 1.

b. Relación entre la masa de fermiones y bosones de gauge en relación al acoplamientocon el bosón de Higgs. Se evidencia proporcionalidad.

A su vez, uno de los parámetros útiles para caracterizar al bosón de Higgs es el signal

strengh µ, definido como el cociente entre la cantidad de eventos medidos y los esperados

por las predicciones del Modelo Estándar. En este sentido, mientras más cercano sea el

valor de µ a 1, mayor será la adecuación del modelo a la medición propiamente dicha.

En la figura 3.6.a se observan los datos recolectados para los µ de cada canal, que como

puede observarse se solapan con 1 en la mayoŕıa de los casos.

En relación con esto último, las similitudes con la part́ıcula predicha resultan asombrosas,

con lo que podemos, a priori, relacionarla y tomarla directamente como el bosón de Higgs

tal como fue propuesto en 1964.

Sobre la base de estas caracteŕısticas, y la existencia de cuestiones aún sin resolver en

relación con el modelo (como se ha planteado ya en la introducción), se entiende que

las evidencias de nueva f́ısica que sirvan para darle una respuesta a estos interrogantes

surgirán de consideraciones Más Allá del Modelo Estándar, o BSM (por Beyond the

Standard Model).

Dado que los observables predichos por el Modelo Estándar han tenido en general una

amplia confirmación experimental, sumado esto a que no se han registrado resonancias

Mecanismo de Higgs 32

sorpresivas no contempladas en el Modelo, la evidencia de nueva f́ısica puede ser estu-

diada principalmente a partir de pequeñas desviaciones en los observables medidos, que

excedan las descripciones del SM y hagan necesario un formalismo más abarcativo.

Es en este marco que la disponibilidad de predicciones teóricas precisas constituye un

factor fundamental y necesario para la contrastación de los datos experimentales. En

nuestro caso, nos centraremos en las caracteŕısticas particulares de la producción de un

bosón de Higgs, donde los avances realizados permiten recuperar los desarrollos a NLO

exacto [39], y a NNNLO en el ĺımite de bajas enerǵıas [40].

Además, se hará hincapié en las consideraciones que permitan extender el estudio al pro-

ceso de producción de pares, dado que es el análisis de este mecanismo el que permitirá

acceder finalmente a la naturaleza del triple acoplamiento, ya mencionado previamente.

En a los avances logrados sobre el proceso aludido, los estudios a la fecha indican que

puede ser estimado no sin dificultades a NLO en forma exacta [41] y a NNLO en el ĺımite

de masas grandes [42, 43].

Caṕıtulo 4

Producción del Bosón de Higgs

Una vez discutidas las caracteŕısticas del bosón de Higgs y dada la importancia de

su estudio para la f́ısica de altas enerǵıas, es interesante considerar los procesos de

producción del bosón en colisiones hadrónicas, que son las que ocurren durante los

experimentos del LHC. En este sentido, nos centraremos en los choques protón-protón

y protón-antiprotón, que, a nivel fundamental involucran de manera predominante a

los bosones W±, Z y a los fermiones pesados (los quarks top y bottom, este último en

menor medida, según se puede ver en [24]).

Figura 4.1: Representación de los distintos procesos relevantes para la producción delbosón de Higgs en colisionadores hadrónicos según la expresión (4.1).

33

Producción del Bosón de Higgs 34

Figura 4.2: Seciones eficaces para la contribución a la producción del bosón de Higgsa partir de los distintos procesos de (4.1) [37].

a. Cálculos para una enerǵıa en el sistema centro de masa de 7 TeV.a. Cálculos para una enerǵıa en el sistema centro de masa de 14 TeV.

En este tipo de colisiones, los procesos predominantes para la producción del bosón de

Higgs son

qq −→ V +H

qq −→ V ∗V ∗ −→ qq +H

gg −→ H

gg, qq −→ QQ+H

(4.1)

donde q representa a un quark genérico, Q representa a los quarks pesados, y V a los

bosones vectoriales W± y Z. Los diagramas de Feynman asociados a estos procesos (a

LO) se pueden ver en la figura 4.1, mientras que la figura 4.2 muestra las predicciones

del Modelo Estándar para las secciones eficaces de producción del bosón de Higgs, en

función de su masa. Éstas se encuentran discriminadas según el proceso considerado,

teniendo en cuenta la expresión (4.1). En particular, los gráficos muestran resultados

para colisiones pp con enerǵıas√s de 7 y 14 TeV en el sistema centro de masa, según

las especificaciones del LHC. Como se puede ver, para MH < 1000 GeV predomina el

proceso de fusión de gluones, y dado que el valor de MH ha sido determinado [37] en

MH = (125, 09± 0, 21(stat.)± 0, 11(syst.)) GeV (4.2)

éste resulta claramente predominante en la producción del bosón, siendo aproximada-

mente un orden de magnitud mayor que la contribución siguiente en esta región. Esto

convierte al proceso gg → H en el mecanismo de producción primario del bosón de Higgsen el LHC. Y la situación puede ser tal vez relacionada, teniendo en cuenta la figura 2.6,

con la gran abundancia de gluones en el protón.

Producción del Bosón de Higgs 35

Figura 4.3: Diagrama de Feynman correspondiente al proceso de fusión de gluones aLO

Asimismo, teniendo en cuenta los teoremas de factorización aludidos en el apartado 2.5,

la sección eficaz partónica se relaciona con la colisión pp mediante la convolución con

las PDFs. Vemos, de este modo, cómo resulta evidente la importancia de cálculos de

precisión que caractericen la sección eficaz del bosón de Higgs, y en particular la fusión

de gluones, no sólo para la contrastación del Modelo Estándar, sino también para el

estudio de la f́ısica BSM en general.

En este sentido, el estudio del proceso gg → H permite también abordar la produc-ción múltiple, de gran importancia pues encierra información sobre la naturaleza de los

acoplamientos HHH y HHHH, que no han sido medidos aún.

4.1. Fusión de Gluones

A partir del interés hacia los procesos de producción del bosón de Higgs en colisiones

hadrónicas, y en particular sobre el estudio de la fusión de gluones, en este apartado

se detallarán los procedimientos para el cálculo de la sección eficaz partónica según el

proceso gg → H, cuyo diagrama de Feynman se puede observar a LO en la figura 4.3.Como se puede ver, el mismo contiene un loop fermiónico, que puede ser recorrido por

cualquiera de los quarks del modelo. También, según las reglas de Feynman 2.3, debemos

considerar el diagrama correspondiente con las patas externas gluónicas cruzadas. Dado

que el proceso es simétrico ante el intercambio de los momentos de los bosones, esta

amplitud resulta igual a la del diagrama presentado en la figura, con lo cual [29]

Mgg→H =M(a) +M(b) =M(a) +M(cross)

Mgg→H ≡ 2×M(a)(4.3)

De este modo, y de acuerdo con las reglas de Feynman 2.3, escribimos en (4.6) la amplitud

correspondiente para el proceso, teniendo en cuenta que p y q son los momentos de los

gluones incidentes, y pH el momento del bosón de Higgs saliente. Además, todos los

Producción del Bosón de Higgs 36

campos externos se encuentran en su capa de masa (es decir, on shell), con lo cual

p2 = q2 = 0, pues los gluones son no masivos, y p2H = M2H .

En relación a los campos gluónicos, éstos tienen también polarizaciones transversales

�aµ(p) y �bν(q), que por esta razón resultan perpendiculares a p y q respectivamente, es

decir

p · �a(p) = 0

q · �b(q) = 0(4.4)

Por otra parte, el hecho de que haya que considerar un loop de un fermión masivo deja

un momento libre, el cual debe ser integrado para calcular la amplitudM. Esto producedivergencias [7] que deben ser solucionadas a lo largo del cómputo, en virtud de hallar

el observable finito que se corresponde con la magnitud f́ısica registrada. El método

empleado para tal fin es la Regularización Dimensional, que extiende el cálculo de la

integral a D dimensiones complejas arbitrarias en las que el resultado es finito, para

luego tomar el ĺımite D → 4, que corresponde a las dimensiones f́ısicas del cómputo. Eneste sentido, se realiza la siguiente sustitución

d4k

(2π)4−→ d

Dk

(2π)D(4.5)

que va acompañada de una extensión de los momentos aludidos p, q y pH a D dimensio-

nes, aśı como también de todas las las magnitudes tensoriales co y contra-variantes que

aparecen en el cálculo. Cabe aclarar que esta manipulación no altera la descripción f́ısica

del proceso, sino que se trata solamente de una herramienta de cálculo para deshacernos

de la divergencia de la integral en d4k.

Finalmente, tomadas estas consideraciones, expresamos el elemento M de la matriz descattering

iMgg→H = −(−igs)2Tr(tatb)(−imv

)

∫dnk

(2π)nTµν

D(i)3�µ(p)�ν(q) (4.6)

donde gs es la constante de la interacción fuerte, m es la masa del campo fermiónico en

el loop, y k es el momento del quark. En relación a D, este denominador se correspondecon los propagadores del quark dentro del loop, de forma que

D = (k2 −m2)[(k + p)2 −m2][(k − q)2 −m2] (4.7)

Como se puede ver en [7], para realizar la integral es conveniente expresar el denominador

en forma de potencias de un solo término, lo que se puede conseguir por medio de la

Parametrización de Feynman. El método consiste en transformar un denominador con

Producción del Bosón de Higgs 37

factores en una integral con un solo factor, a partir de la relación

1

ABC= 2

∫ 10dx

∫ 1−x0

dy

[Ax+By + C(1− x− y)]3(4.8)

Esta herramienta facilita mucho el cómputo pues nos permite expresar el denominador

en función de términos cuadráticos en el momento k, y las integrales de expresiones de

la forma ∫dDk

(2π)DF (k)

(k2 −∆)n(4.9)

se pueden conocer fácilmente [7]. De este modo, si tomamos A = [(k + p)2 − m2],B = [(k − q)2 − m2], y C = [k2 − m2], y teniendo en cuenta que p2 = q2 = 0, eldenominador de (4.8) resulta

Ax+By + C(1− x− y) = k2 −m2 + 2k · (px− qy) (4.10)

y por lo tanto,1

D−→ 2

∫dxdy

1

[k2 −m2 + 2k · (px− qy)]3(4.11)

Aqúı, en virtud de conseguir una expresión como (4.9), se puede completar cuadrados

en (4.11) y realizar el cambio de variables k′ = k + px − qy, que elimina los términoslineales en el momento, no cambia la medida de integración, y permite obtener D como

1

D= 2

∫dxdy

1

[k′2 −m2 +M2Hxy]3(4.12)

donde para obtener el término de MH se han usado las consideraciones acerca de los

campos externos, que se encuetran on shell, lo que implica p2H = M2H para el bosón de

Higgs, y también se ha tenido en cuenta la conservación del cuadrimomento, con lo cual

(p+ q)2 = p2H = M2H =⇒ 2p · q = M2H . (4.13)

Por otra parte, en relación al numerador Tµν de la expresión (4.6), el mismo se obtiene

recorriendo el loop a partir de las reglas de Feynman, como

Tµν = Tr[(/k +m)γµ(/k + /p+m)(/k − /q +m)γν ] (4.14)

donde /p = pδγδ, para p un cuadri-momento genérico, y γ las matrices de Dirac.

Producción del Bosón de Higgs 38

Esta traza se puede resolver teniendo en cuenta las propiedades de la traza de un pro-

ducto de γ’s y su relación con la métrica de Lorentz, ηµν [6], según

Tr(γµγν) = 4ηµν

Tr(γµγνγργσ) = 4(ηµνηρσ − ηµρηνσ + ηµσηνρ)(4.15)

sumadas a que la traza de un número impar de γ’s es 0.

De esta forma, y considerando también las relaciones cinemáticas de los cuadri-momentos

junto con la expresión (4.4), que nos permite descartar los términos proporcionales a pµ

y a qν , resulta que

Tµν = 4m

[gµν(m2 − k2 −

M2H2

) + 4kµkν + pνqµ]

(4.16)

Para ser coherentes con el denominador, se debe realizar el cambio k′ = k+px−qy en elmomento y descartar los términos lineales en k′, que integran 0 por razones de simetŕıa.

Además, sabemos [7]∫dDk′

k′µk′ν

(k′2 − C)m=

1

Dgµν

∫dDk′

k′2

(k′2 − C)m(4.17)

Con lo cual, es posible entonces expresar la amplitud para el proceso como

iMgg→H =−2g2sm

2

vδab

∫dDk′

(2π)D

∫{gµν

[m2 + k′2(

4

D− 1) +M2H(xy −

1

2)

]+ pνqµ(1− 4xy)

}2dxdy

(k′2 −m2 +M2Hxy)3�µ(p)�ν(q)

(4.18)

Hasta aqúı hemos operado hasta transformar la ecuación (4.6) en (4.18). La virtud de

esta transformación consiste en la sencillez que adquieren las integrales en dDk′ una vez

que se han expresado los integrandos como en (4.9). Por otro lado, cabe destacar que si

bien en un principio la amplitud (4.18) pareciera ser divergente para D ≤ 4 dadas lascontribuciones del término cuadrático en k′ (que es proporcional a

∫dDk′

|k′|4 con | k′ |→ ∞),

aqúı este último aparece acompañado del factor ( 4D − 1), que se hace 0 cuando D → 4,garantizando de esa manera la convergencia de la ecuación (4.18).

Producción del Bosón de Higgs 39

Luego de esta aclaración es conveniente aplicar las conocidas fórmulas de regularización

dimensional [7]:

∫dDk

(2π)D1

(k2 −∆)n=

(−1)ni(4π)D/2

Γ(n− D2 )Γ(n)

(1

∆

)n−D2

∫dDk

(2π)Dk2

(k2 −∆)n=

(−1)n−1i(4π)D/2

D

2