LISTA DE EJERCICIOS PARA ETS DE PROBABILIDAD(IE, ICA, e ISISA)

PROBABILIDAD CONDICIONAL

1. Dados P (A) = 0.4, P (B | A) = 0.3 y P (Bc | Ac) = 0.2, determine:

a) P (Ac).

b) P (B | Ac).

c) P (B).

d) P (A ∩B).

e) P (A | B).

2. Se tiene una urna verde con 3 fichas negras y una roja y otra urna azulque contiene 2 fichas rojas y 2 negras. Se tira un dado con la condicionde que si el numero resultante es divisible por tres se elige la urna verdey en cualquier otro caso se elige la urna azul. De la urna elegida se sacauna ficha al azar.

a) Si la ficha es negra.¿Cual es la probabilidad de que haya sido extraıdade la urna verde?.

b) Si la ficha es roja.¿Cual es la probabilidad de que haya sido extraıdade la urna azul?.

3. En cierta facultad el 4 % de los hombres y el 1 % de las mujeres tienenmas de 6 pies de altura, ademas el 60 % de los estudiantes son mujeres.Ahora bien si se selecciona al azar un estudiante y es mas alto que 6 pies.

a) ¿Cual es la probabilidad de que el estudiante sea mujer?.

b) ¿Cual es la probabilidad de que el estudiante sea hombre?.

4. De los artıculos producidos diariamente por cierta fabrica, 70 % provienede la lınea A y 30 % de la lınea B. El porcentaje de defectuosos de la lıneaA es de 5 %, mientras que el porcentaje de defectuosos de la lınea B es de10 %. Se escoje un artıculo al azar de la produccion diaria, calcular:

a) ¿La probabilidad de que sea defectuoso?.

b) Si el artıculo es defectuoso, ¿Cual es la probabilidad de que provengade la linea A?.

5. En una urna hay cinco fichas de color blanco y cuatro de color negro.Sacamos dos fichas, una a una, sin regresarlas.

a) ¿Cual es la probabilidad de que ambas fichas sean de color blanco?.

b) ¿Cual es la probabilidad de que la primera sea de color negro y lasegunda de color blanco?.

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6. ¿Un examen de opcion multiple esta compuesto de 10 preguntas, con cua-tro respuestas posibles cada una, de las cuales solamente una es correcta.Supongase que uno de los estudiantes que realizan el examen contesta laspreguntas al azar .

a) ¿Cual es la probabilidad de que conteste correctamente al menos ochopreguntas?.

b) ¿Cual es la probabilidad de que conteste correctamente exactamenteseis?.

7. Suponer que se tienen tres urnas de apariencia externa identica y quecontienen fichas de colores. La urna A contiene una negra, dos rojas y tresverdes; la urna B contiene dos negras, una roja y una verde; la urna Ccontiene cuatro negras, cinco rojas y tres verdes. Las fichas se revuelvenen las urnas y estas ultimas se revuelven entre sı. Despues, se seleccionauna de las urnas al azar y se extraen dos fichas. Si se extrajeron una negray una verde.

a) ¿Cual es la probabilidad de que se hayan extraido de la urna B?.

DISTRIBUCIONES DISCRETAS

1. Supongase que en una loterıa se venden 10 mil boletos de un peso cadauno. El ganador recibira un premio cuyo valor es de 500 pesos. Si alguiencompra boleto.

a) ¿Cual es su Esperanza?.

2. Un equipo electronico contiene seis transistores, dos de los cuales son de-fectuosos. Se seleccionan tres transistores al azar se sacan del equipo y seinspeccionan. Sea X el numero de transistores defectuosos observados ,donde X = 0, 1, 2.

a) ¿Cual es la distribucion de probabilidad de X?.

3. En una gran companıa, 20 % de los empleados son miembros de algun clubdeportivo. En una muestra aleatoria de 30 empleados,

a) ¿Cual es la probabilidad de que tres, cuatro o cinco pertenezcan a unclub de deportes?.

4. Supongase que la probabilidad de que una partıcula emitida por un materi-al radiactivo penetre en cierto campo es de 0.01. Si se emiten 10 partıculas,

a) ¿Cual es la probabilidad de que solo una de ellas penetre en el cam-po?.

5. Un informe reciente declara que 70 % de los habitantes de cuba ha reducidobastante el uso de energıa electrica para disfrutar de descuentos en lastarifas. Si se selecciona al azar cinco residentes de la Habana, encuentrela probabilidad de que:

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a) ¿Los cinco califiquen para tarifas mas favorables?.

b) ¿Al menos cuatro califiquen para tarifas mas favorables?.

6. La probabilidad de que un enfermo se recupere de un padecimiento gastricoes de 0.8. Suponga que 20 personas han contraıdo dicho padecimiento.

a) ¿Cual es la probabilidad de que sobrevivan exactamente 14?.

b) ¿Cual es la probabilidad de que sobrevivan al menos 10?.

c) ¿Cual es la probabilidad de que sobreviva un maximo de 16?.

7. Supongase que 0.005 % de la poblacion de un paıs muere debido a ciertotipo de accidente cada ano y que una companıa de seguros tiene entre susclientes 10 mil que estan asegurados contra este tipo de accidente.

a) ¿Cual es la probabilidad de que la companıa deba pagar mas de trespolizas en un ano dado?.

8. Si la probabilidad de que una persona sufra una reaccion nociva debido auna inyeccion de cierto suero es de 0.001.

a) ¿Cual es la probabilidad de que entre mil personas, dos o mas sufranesa reaccion?.

9. La probabilidad de que un raton inoculado con un suero contraiga laenfermedad es de 0.2. Mediante el uso de una aproximacion por Poisson.

a) ¿Cual es la probabilidad de que un maximo de tres ratones entre 30contraigan la enfermedad?.

10. Si 2.5 % de los conductores de automoviles que pasan por una caseta decobro tienen el cambio exacto.

a) ¿Cual es la probabilidad de que una muestra tomada al azar de 250automoviles que pasan por la caseta, cinco tengan el cambio exacto?.

DISTRIBUCIONES CONTINUAS

1. ¿Que valor debe tener la constante k para que

f(x) ={kx si 0 ≤ x ≤ 20 de otra forma.

sea una funcion de densidad?.

2. Sea X variable aleatoria con funcion de densidad

f(x) ={k(x− 1) si 1 ≤ x ≤ 2,0 de otra forma.

a) Hallar el valor de k.

b) Trazar la grafica de f(x).

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c) Determinar el valor esperado de la variable aleatoria X, y localiceloen la grafica del enciso b.

d) Calcule P (X ≥ 1).

3. Suponiendo que X es normal con media µ = 0.8 y variancia σ2 = 4,determine las siguientes probabilidades:

a) P (X ≤ 2.44).

b) P (X ≤ -1.66).

c) P (X ≤ 1.923).

d) P (X ≥ 1).

e) P (X ≥ -2.9).

f ) P (2 ≤ X ≤ 10).

4. Suponga que la temperatura (◦C) esta distribuida normalmente con es-peranza 50(◦C) y variancia σ2 = 4,

a) ¿Cual es la probabilidad de que la temperatura T este entre 48(◦C)y 53(◦C)?.

5. Si la longitud de roscado de un perno tiene una distribucion normal conmedia µ = 0.6 pgl. y desviacion estandar σ = 0.1 pgl. Si se selecciona unperno al azar.

a) ¿Cual es la probabilidad de que la longitud de roscado sea por lomenos de 0.59 pgl?.

b) ¿Cual es la probabilidad de que la longitud de roscado este dentro deuna desviacion estandar?.

c) Si P (X ≥ c) = 0.9726 ¿Encuentre el valor de c, y defina a la v.a X?.

6. Suponga que el tiempo de respuesta X en cierta terminal de computadoratiene una distribucion exponencial con tiempo de respuesta esperado iguala 7 segundos.

a) ¿Cual es la probabilidad de que el tiempo de respuesta sea a lo sumo10 segundos?.

b) ¿Cual es la probabilidad de que el tiempo de respuesta este entre 5y 10 segundos?.

7. El tiempo entre la entrada de correos electronicos en una computadoratiene una distribucion exponencial con una media de dos horas.

a) ¿Cual es la probabilidad de que no se reciba un correo electronicodurante un periodo de dos horas?.

8. El tiempo entre las llamadas telefonicas a una ferreterıa tiene una dis-tribucion exponencial con un tiempo promedio entre las llamadas de 15minutos.

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a) ¿Cual es la probabilidad de que no haya llamadas en un intervalo de30 minutos?.

DISTRIBUCIONES CONJUNTAS

1. Suponga que la funcion de densidad conjunta para dos variables aleatoriascontinuas x y y, esta dada por:

f(x, y) ={cx si 0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 1;0 de otra forma.

a) ¿Calcule el valor de la constante c?

b) ¿Hallar la funcion de densidad marginal para la variable aleatoria X?

c) ¿Hallar el valor esperado de la variable aleatoria X?

2. Una gasolinerıa cuenta tanto con islas de autoservicio como de serviciocompleto. En cada isla, hay una sola bomba de gasolina sin plomo regularcon dos mangueras. Sea X el numero de mangueras utilizadas en la isla deautoservicio y en un tiempo particular y sea Y el numero de manguerasen uso en la isla de servicio completo en ese tiempo. La funcion de prob-abilidad conjunta de X y Y aparece en la tabla adjunta:

y

p(x, y) 0 1 20 0.10 0.04 0.02

x 1 0.08 0.20 0.062 0.06 0.14 0.30

a) ¿Calcule P (X ≤ 1 y Y ≤ 1)?

b) Describa el evento (X 6= 0 y Y 6= 0).¿Calcule su probabilidad?.

c) ¿Calcule la funcion de probabilidad marginal de X y Y ?. Utilizandopx(x). ¿Cual es P (X ≤ 1)?

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