E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos Resumen y ejemplos Tema...

E.T.S. Minas: Métodos MatemáticosResumen y ejemplos

Tema 4: Métodos iterativos para sistemas de ecuacionesFrancisco Palacios

Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de ManresaUniversidad Politécnica de Cataluña

Octubre 2008, Versión 1.3

Contenido

1. Método iterativo para sistemas lineales

2. Método de Jacobi y de Gauss-Seidel

3. Normas vectoriales y matriciales

4. Convergencia del método iterativo lineal

5. Método de Newton-Raphson para sistemas no lineales

1 Método iterativo para sistemas lineales

1.1 Notaciones

En este tema, usamos letra negrita para matrices y vectores.• Sistema de n ecuaciones con n incógnitas⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2...

......

...an1x1 + an2x2 + · · ·+ annxn = bn

• Forma matricialAx = b⎛⎜⎜⎜⎝

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

.... . .

...an1 an2 · · · ann

⎞⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎝x1x2...xn

⎞⎟⎟⎟⎠ =

⎛⎜⎜⎜⎝b1b2...bn

⎞⎟⎟⎟⎠• Métodos directos

½GaussCramer

=⇒ despejan x1, x2, . . . , xn.

1

Resumen Tema 4: Métodos iterativos para sistemas de ecuaciones. 2

• Método iterativo =⇒ a partir de una aproximación inicial x(0), generauna sucesión de vectores que tiende a la solución α del sistema

x(0) =

⎛⎜⎝ x(0)1...

x(0)n

⎞⎟⎠ ,x(1) =⎛⎜⎝ x

(1)1...

x(1)n

⎞⎟⎠ , . . . ,x(j) =⎛⎜⎝ x

(j)1...

x(j)n

⎞⎟⎠ j→∞−→ α =

⎛⎜⎝ α1...αn

⎞⎟⎠ .Nota. Observa que usamos superíndices para indicar el número de iteracióny subíndices para indicar la componente del vector, así x(7)3 es la terceracomponente del vector x(7) obtenido en la fase 7.

Ejemplo 1.1 Método de Jacobi.

Consideramos el sistema de ecuaciones lineales⎧⎨⎩10x1 + x2 + x3 = 12x1 + 5x2 + x3 = 7x1 + x2 + 20x3 = 1

Despejamos x1 en la primera ecuación, x2 en la segunda y x3 en la tercera⎧⎨⎩x1 = 1.2− 0.1x2 − 0.1x3x2 = 1.4− 0.2x1 − 0.2x3x3 = 0.05− 0.05x1 − 0.05x2

y establecemos la fórmula de recurrencia⎧⎪⎨⎪⎩x(j+1)1 = 1.2− 0.1x(j)2 − 0.1x

(j)3

x(j+1)2 = 1.4− 0.2x(j)1 − 0.2x

(j)3

x(j+1)3 = 0.05− 0.05x(j)1 − 0.05x

(j)2

matricialmente, resulta⎛⎜⎝ x(j+1)1

x(j+1)2

x(j+1)3

⎞⎟⎠ =

⎛⎝ 0 −0.1 −0.1−0.2 0 −0.2−0.05 −0.05 0

⎞⎠⎛⎜⎝ x

(j)1

x(j)2

x(j)3

⎞⎟⎠+⎛⎝ 1.2

1.40.05

⎞⎠ .Si partimos del vector

x(0) =

⎛⎝ 000

⎞⎠ ,obtenemos

x(1) =

⎛⎝ 0 −0.1 −0.1−0.2 0 −0.2−0.05 −0.05 0

⎞⎠⎛⎝ 000

⎞⎠+⎛⎝ 1.2

1.40.05

⎞⎠ =

⎛⎝ 1.21.40.05

⎞⎠ ,


x(2) =

⎛⎝ 0 −0.1 −0.1−0.2 0 −0.2−0.05 −0.05 0

⎞⎠⎛⎝ 1.21.40.05

⎞⎠+⎛⎝ 1.2

1.40.05

⎞⎠ =

⎛⎝ 1. 0551. 15−0.0 8

⎞⎠ ,x(3) =

⎛⎝ 0 −0.1 −0.1−0.2 0 −0.2−0.05 −0.05 0

⎞⎠⎛⎝ 1. 0551. 15−0.0 8

⎞⎠+⎛⎝ 1.2

1.40.05

⎞⎠ =

⎛⎝ 1. 0931. 205−0.0 6025

⎞⎠ ,x(4) =

⎛⎝ 0 −0.1 −0.1−0.2 0 −0.2−0.05 −0.05 0

⎞⎠⎛⎝ 1. 0931. 205−.0 6025

⎞⎠+⎛⎝ 1.2

1.40.05

⎞⎠ =

⎛⎝ 1. 08552 51. 19345−0.0 649

⎞⎠ ,x(5) =

⎛⎝ 1. 08714 51. 19587 5−0.0 63948 75

⎞⎠ , x(6) =

⎛⎝ 1. 08680 7381. 19536 075−0.0 64151

⎞⎠ ,x(7) =

⎛⎝ 1. 08687 9031. 19546 872−0.06 41084 0

⎞⎠ , x(8) =

⎛⎝ 1. 08686 3971. 19544 587−0.06 411738

⎞⎠ .Vemos que los sucesivos vectores convergen a un vector que, con 4 decimales,sería

α =

⎛⎝ 1.08691.1954−0.0641

⎞⎠ ,la solución del sistema, con 8 decimales, obtenida con la orden linsolve deMaple es

α =

⎛⎝ 1. 08686 661. 19544 984−0.06 41158 2

⎞⎠ .Observa que el método iterativo descrito puede escribirse en la forma

x(j+1) =Mx(j) + c,

donde

M =

⎛⎝ 0 −0.1 −0.1−0.2 0 −0.2−0.05 −0.05 0

⎞⎠ , c =

⎛⎝ 1.21.40.05

⎞⎠ . ¤

1.2 Método iterativo lineal

ObjetivoPartimos de un sistema de n ecuaciones con n incógnitas

Ax = b

con solución α.


Queremos construir una expresión de punto fijo equivalente

x =Mx+ c

para construir una fórmula de recurrencia

x(j+1) =Mx(j) + c

que, a partir de un vector inicial x(0), de lugar a una sucesión de vectoresconvergente a la solución

x(0),x(1), . . . ,x(j), . . .j→∞−→ α

convergente a la solución del sistema inicial.Construcción del método

1. Tomamos N matriz cuadrada de orden n fácilmente invertible.

2. Expresamos A = N−P.

Entonces, resulta el sistema equivalente

x =Mx+ c

con ⎧⎨⎩P = N−A,M = N−1P,c = N−1b.

Demostración. Partimos deAx = b,

sustituimos A = N−P(N−P)x = b,

resultaNx−Px = b,Nx = Px+ b,x = N−1 (Px+ b) ,x = N−1P| {z }

M

x+ N−1b| {z } .c

¤

Método iterativo (correspondiente a la matriz N)½x(0) = vector inicial,x(j+1)=Mx(j)+c.

Donde ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩N = matriz que define el método,P = N−A,M = N−1P,c = N−1b.


Ejemplo 1.2 Dado el sistema⎧⎨⎩x1 + 2x2 + 30x3 = 12x1 + 10x2 + x3 = 220x1 + x2 + x3 = 3

(a) Plantea el método iterativo definido por la matriz

N =

⎛⎝ 0 0 300 10 020 0 0

⎞⎠ .(b) Aproxima la solución con 4 decimales a partir de x(0) = ~0.

Empezamos expresando el sistema en forma matricial.⎛⎝ 1 2 302 10 120 1 1

⎞⎠| {z }

A

⎛⎝ x1x2x3

⎞⎠ =

⎛⎝ 123

⎞⎠| {z }

.

b

(a) Planteamiento del método.

• Calculamos P

P = N−A =

⎛⎝ 0 0 300 10 020 0 0

⎞⎠−⎛⎝ 1 2 30

2 10 120 1 1

⎞⎠ =

⎛⎝ −1 −2 0−2 0 −10 −1 −1

⎞⎠ .• Calculamos N−1 usando el método de Gauss-Jordan, empezamos con(N|I3)⎛⎝ 0 0 30

0 10 020 0 0

¯¯ 1 0 00 1 00 0 1

⎞⎠ Cambio 1a y 3a=⇒

⎛⎝ 20 0 00 10 00 0 30

¯¯ 0 0 10 1 01 0 0

⎞⎠dividiendo la primera fila por 20, la segunda por 10 y la tercera por 30,resulta ⎛⎝ 1 0 0

0 1 00 0 1

¯¯ 0 0 1/20

0 1/10 01/30 0 0

⎞⎠ =¡I3|N−1

¢.

Obtenemos

N−1 =

⎛⎝ 0 0 0.0 50 0. 1 0

0.033333 0 0

⎞⎠ .• Calculamos M.

M =N−1P =

⎛⎝ 0 0 0.0 50 0. 1 0

0.033333 0 0

⎞⎠⎛⎝ −1 −2 0−2 0 −10 −1 −1

⎞⎠ ,


M =

⎛⎝ 0 −0.0 5 −0.0 5−0. 2 0 −0. 1

−0.0 33333 −0.0 66666 0

⎞⎠ .• Calculamos c.

c = N−1b =

⎛⎝ 0 0 0.0 50 0. 1 0

0.033333 0 0

⎞⎠⎛⎝ 123

⎞⎠ =

⎛⎝ 0. 150. 2

0.0 33333

⎞⎠ .• Fórmula de recurrencia.⎛⎜⎝ x

(j+1)1

x(j+1)2

x(j+1)3

⎞⎟⎠ =

⎛⎝ 0 −0.0 5 −0.0 5−0. 2 0 −0. 1

−0.0 33333 −0.0 66666 0

⎞⎠⎛⎜⎝ x

(j)1

x(j)2

x(j)3

⎞⎟⎠+⎛⎝ 0. 15

0. 20.0 33333

⎞⎠ .(b) Iteraciones.

Partimos del vector

x(0) =

⎛⎝ 000

⎞⎠ ,obtenemos

x(1) =

⎛⎝ 0. 150. 2

0.0 33333

⎞⎠ ,

x(2) =

⎛⎝ 0 −0.0 5 −0.0 5−0. 2 0 −0. 1

−0.0 33333 −0.0 66666 0

⎞⎠⎛⎝ 0. 150. 2

0.0 33333

⎞⎠+⎛⎝ 0. 15

0. 20.0 33333

⎞⎠=

⎛⎝ 0.13833 30.16666 70.015000

⎞⎠ ,

x(3) =

⎛⎝ 0 −0.0 5 −0.0 5−0. 2 0 −0. 1

−0.0 33333 −0.0 66666 0

⎞⎠⎛⎝ 0. 13833 30. 16666 70.015000

⎞⎠+⎛⎝ 0. 15

0. 20.0 33333

⎞⎠=

⎛⎝ 0.14091 70.17083 30.017610

⎞⎠ ,

x(4) =

⎛⎝ 0 −0.0 5 −0.0 5−0. 2 0 −0. 1

−0.0 33333 −0.0 66666 0

⎞⎠⎛⎝ 0. 14091 70. 17083 30.017610

⎞⎠+⎛⎝ 0. 15

0. 20.0 33333

⎞⎠=

⎛⎝ 0.14057 80.17005 60.017247

⎞⎠ ,


x(5) =

⎛⎝ 0 −0.0 5 −0.0 5−0. 2 0 −0. 1

−0.0 33333 −0.0 66666 0

⎞⎠⎛⎝ 0. 14057 80. 17005 60.017247

⎞⎠+⎛⎝ 0. 15

0. 20.0 33333

⎞⎠=

⎛⎝ 0.14063 50.1701600.017310

⎞⎠ ,

x(6) =

⎛⎝ 0 −0.0 5 −0.0 5−0. 2 0 −0. 1

−0.0 33333 −0.0 66666 0

⎞⎠⎛⎝ 0.14063 50.1701600.017310

⎞⎠+⎛⎝ 0. 15

0. 20.0 33333

⎞⎠=

⎛⎝ 0.14062 70.17014 20.017301

⎞⎠ .El vector de error estimado es

e(6) = x(6) − x(5) =

⎛⎝ −0.00000 8−0.0000 18−0.00000 9

⎞⎠ .Tomamos como solución

α =

⎛⎝ 0.14060.17010.0173

⎞⎠ .La solución del sistema, con 8 decimales, calculada con la orden linsolve deMaple, es

α =

⎛⎝ 0.14062 7650.17014 4190.0173027 8

⎞⎠ .El vector de error es

e(6) = α− x(6)=

⎛⎝ 0.6 5× 10−60. 219× 10−50.178× 10−5

⎞⎠ . ¤

2 Método de Jacobi y de Gauss-Seidel

Dada una matriz cuadrada A, definimos:

• LA matriz con la parte subdiagonal de A (low).• DA matriz con la parte diagonal de A (diagonal).• UA matriz con la parte sobrediagonal de A (upper).


Se cumpleA = LA+DA+UA.

Si A es de orden 3,

A =

⎛⎝ a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

⎞⎠ ,resulta

LA=

⎛⎝ 0 0 0a21 0 0a31 a32 0

⎞⎠ , DA=

⎛⎝ a11 0 00 a22 00 0 a33

⎞⎠ , UA=

⎛⎝ 0 a12 a130 0 a230 0 0

⎞⎠ .•Método de Jacobi. Tomamos N = DA.•Método de Gauss-Seidel. Tomamos N = LA+DA.

Ejemplo 2.1 Consideramos el sistema de ecuaciones lineales⎧⎨⎩10x1 − x2 − x3 = 12−x1 + 10x2 − x3 = 1−x1 − x2 + 10x3 = −61

(a) Formula el método de Jacobi.(b) Haz 4 iteraciones a partir del vector inicial x(0) = ~0.(c) Calcula el vector de error estimado e(4)= x(4) − x(3).(d) Calcula la solución del sistema y el vector de error e(4)= α− x(4).

(a) Construcción del método.

• Forma matricial del sistema.⎛⎝ 10 −1 −1−1 10 −1−1 −1 10

⎞⎠| {z }

A

⎛⎝ x1x2x3

⎞⎠ =

⎛⎝ 121−61

⎞⎠| {z }

b

.

• Matriz que define el método iterativo.

N = DA =

⎛⎝ 10 0 00 10 00 0 10

⎞⎠ .• Matriz P.

P = N−A =

⎛⎝ 10 0 00 10 00 0 10

⎞⎠−⎛⎝ 10 −1 −1−1 10 −1−1 −1 10

⎞⎠ =

⎛⎝ 0 1 11 0 11 1 0

⎞⎠ .


• Inversa de N.

N−1 =

⎛⎝ 0.1 0 00 0.1 00 0 0.1

⎞⎠ .• MatricesM y c.

M = N−1P =

⎛⎝ 0.1 0 00 0.1 00 0 0.1

⎞⎠⎛⎝ 0 1 11 0 11 1 0

⎞⎠ =

⎛⎝ 0 0. 1 0.10.1 0 0.10.1 0.1 0

⎞⎠ ,c = N−1b =

⎛⎝ 0.1 0 00 0.1 00 0 0.1

⎞⎠⎛⎝ 121−61

⎞⎠ =

⎛⎝ 1. 20. 1−6. 1

⎞⎠ .• Método iterativo.⎛⎜⎝ x

(j+1)1

x(j+1)2

x(j+1)3

⎞⎟⎠ =

⎛⎝ 0 0. 1 0.10.1 0 0.10.1 0.1 0

⎞⎠⎛⎜⎝ x

(j)1

x(j)2

x(j)3

⎞⎟⎠+⎛⎝ 1. 2

0. 1−6. 1

⎞⎠(b) Cálculo de las iteraciones.

Partimos del vector

x(0) =

⎛⎝ 000

⎞⎠ ,obtenemos

x(1) =

⎛⎝ 0 0. 1 0.10.1 0 0.10.1 0.1 0

⎞⎠⎛⎝ 000

⎞⎠+⎛⎝ 1. 2

0. 1−6. 1

⎞⎠ =

⎛⎝ 1. 20. 1−6. 1

⎞⎠ ,x(2) =

⎛⎝ 0 0. 1 0.10.1 0 0.10.1 0.1 0

⎞⎠⎛⎝ 1. 20. 1−6. 1

⎞⎠+⎛⎝ 1. 2

0. 1−6. 1

⎞⎠ =

⎛⎝ 0. 6−0. 39−5. 97

⎞⎠ ,x(3) =

⎛⎝ 0 0. 1 0.10.1 0 0.10.1 0.1 0

⎞⎠⎛⎝ 0. 6−0. 39−5. 97

⎞⎠+⎛⎝ 1. 2

0. 1−6. 1

⎞⎠ =

⎛⎝ 0. 564−0. 437−6. 079

⎞⎠ ,x(4) =

⎛⎝ 0 0. 1 0.10.1 0 0.10.1 0.1 0

⎞⎠⎛⎝ 0. 564−0. 437−6. 079

⎞⎠+⎛⎝ 1. 2

0. 1−6. 1

⎞⎠ =

⎛⎝ 0. 5484−0. 4515−6. 0873

⎞⎠ .(c) Error estimado.

e(4)= x(4) − x(3) =

⎛⎝ 0. 5484−0. 4515−6. 0873

⎞⎠−⎛⎝ 0. 564−0. 437−6. 079

⎞⎠ =

⎛⎝ −0.0 156−0.0 145−0.00 83

⎞⎠ .


(d) Resolvemos el sistema por Cramer

∆ =

¯¯ 10 −1 −1−1 10 −1−1 −1 10

¯¯ = 968, ∆1 =

¯¯ 12 −1 −11 10 −1−61 −1 10

¯¯ = 528,

∆2 =

¯¯ 10 12 −1−1 1 −1−1 −61 10

¯¯ = −440, ∆3 =

¯¯ 10 −1 12−1 10 1−1 −1 −61

¯¯ = −5896.

La solución del sistema es

α =

⎛⎝ 528/968−440/968−5896/968

⎞⎠ ,si redondeamos la solución exacta con 6 decimales, resulta

α =

⎛⎝ 0. 54545 5−0. 45454 5−6. 090909

⎞⎠ .El vector de error es

e(4)= α− x(4) =

⎛⎝ 0. 54545 5−0. 45454 5−6. 090909

⎞⎠−⎛⎝ 0. 5484−0. 4515−6. 0873

⎞⎠ =

⎛⎝ −0.00 2945−0.00 3045−0.00 3609

⎞⎠ . ¤

Ejemplo 2.2 Consideramos el sistema de ecuaciones lineales⎧⎨⎩10x1 − x2 − x3 = 12−x1 + 10x2 − x3 = 1−x1 − x2 + 10x3 = −61

(a) Formula el método de Gauss-Seidel.(b) Haz 4 iteraciones a partir del vector inicial x(0) = ~0.(c) Calcula el vector de error estimado e(4)= x(4) − x(3).(d) Calcula el vector de error e(4)= α− x(4).

(a) Construcción del método.

• Matriz que define el método iterativo.

N = LA +DA =

⎛⎝ 10 0 0−1 10 0−1 −1 10

⎞⎠ .• Matriz P.

P = N−A =

⎛⎝ 10 0 0−1 10 0−1 −1 10

⎞⎠−⎛⎝ 10 −1 −1−1 10 −1−1 −1 10

⎞⎠ =

⎛⎝ 0 1 10 0 10 0 0

⎞⎠ .


• Inversa de N

N−1 =

⎛⎝ 110 0 01100

110 0

111000

1100

110

⎞⎠ =

⎛⎝ 0. 1 0 00.0 1 0. 1 00.0 11 0.0 1 0. 1

⎞⎠ .• MatricesM y c.

M = N−1P =

⎛⎝ 0. 1 0 00.0 1 0. 1 00.0 11 0.0 1 0. 1

⎞⎠⎛⎝ 0 1 10 0 10 0 0

⎞⎠ =

⎛⎝ 0 0. 1 0. 10 0.0 1 0. 110 0.0 11 0.0 21

⎞⎠ ,

c = N−1b =

⎛⎝ 0. 1 0 00.0 1 0. 1 00.0 11 0.0 1 0. 1

⎞⎠⎛⎝ 121−61

⎞⎠ =

⎛⎝ 1. 20. 22−5. 958

⎞⎠ .• Método iterativo⎛⎜⎝ x

(j+1)1

x(j+1)2

x(j+1)3

⎞⎟⎠ =

⎛⎝ 0 0. 1 0. 10 0.0 1 0. 110 0.0 11 0.0 21

⎞⎠⎛⎜⎝ x

(j)1

x(j)2

x(j)3

⎞⎟⎠+⎛⎝ 1. 2

0. 22−5. 958

⎞⎠ .(b) Cálculo de las iteraciones.

• Partimos del vector

x(0) =

⎛⎝ 000

⎞⎠ ,obtenemos

x(1) =

⎛⎝ 0 0. 1 0. 10 0.0 1 0. 110 0.0 11 0.0 21

⎞⎠⎛⎝ 000

⎞⎠+⎛⎝ 1. 2

0. 22−5. 958

⎞⎠ =

⎛⎝ 1. 20. 22−5. 958

⎞⎠ ,

x(2) =

⎛⎝ 0 0. 1 0. 10 0.0 1 0. 110 0.0 11 0.0 21

⎞⎠⎛⎝ 1. 20. 22−5. 958

⎞⎠+⎛⎝ 1. 2

0. 22−5. 958

⎞⎠ =

⎛⎝ 0. 6262−0. 43318−6. 0807

⎞⎠ ,x(3) =

⎛⎝ 0 0. 1 0. 10 0.0 1 0. 110 0.0 11 0.0 21

⎞⎠⎛⎝ 0. 6262−0. 43318−6. 0807

⎞⎠+⎛⎝ 1. 2

0. 22−5. 958

⎞⎠ =

⎛⎝ 0. 54861 2−0. 45320 9−6. 09046

⎞⎠ ,x(4) =

⎛⎝ 0 0. 1 0. 10 0.0 1 0. 110 0.0 11 0.0 21

⎞⎠⎛⎝ 0. 54861 2−0. 45320 9−6. 09046

⎞⎠+⎛⎝ 1. 2

0. 22−5. 958

⎞⎠ =

⎛⎝ 0. 54563 3−0. 45448 3−6. 09088

⎞⎠ .


(c) Error estimado

e(4)= x(4)−x(3) =

⎛⎝ 0. 54563 3−0. 45448 3−6. 09088

⎞⎠−⎛⎝ 0. 54861 2−0. 45320 9−6. 09046

⎞⎠ =

⎛⎝ −0.00 2979−0.00 1274−0.000 42

⎞⎠ .(d) El vector de error es

e(4)= α− x(4) =

⎛⎝ 0. 54545 5−0. 45454 5−6. 090909

⎞⎠−⎛⎝ 0. 54563 3−0. 45448 3−6. 09088

⎞⎠ =

⎛⎝ −0.000 178−0.0000 62−0.0000 29

⎞⎠ . ¤

3 Normas vectoriales y matriciales

3.1 Norma vectorial

Una norma sobre Rn es una aplicación x → kxk que hace corresponder unnúmero real no negativo a cada vector x. Dados x,y ∈ Rn, λ ∈ R, laspropiedades que definen las normas son las siguientes.

1. kxk > 0.

2. kxk = 0 si y sólo si x = ~0.

3. kλxk = |λ| kxk .

4. kx+ yk ≤ kxk+ kyk .

3.2 Algunas normas vectoriales

Sea el vector

x =

⎛⎜⎜⎜⎝x1x2...xn

⎞⎟⎟⎟⎠ .• Norma 1

kxk1 = |x1|+ |x2|+ · · ·+ |xn| .• Norma 2 (norma euclídea)

kxk2 =qx21 + x

22 + · · ·+ x2n.

• Norma de infinito

kxk∞ = max {|x1| , |x2| , . . . , |xn|} = maxi|xi| .

Podemos entender que cada norma nos proporciona una manera de medir lalongitud de los vectores. En el resto del tema, nosotros utilizaremos kxk∞ .


Ejemplo 3.1 Dado el vector

x =

⎛⎜⎜⎝103−2

⎞⎟⎟⎠ ,calcula kxk1, kxk2 y kxk∞ .

kxk1 = |1|+ |0|+ |3|+ |−2| = 6,

kxk2 =√1 + 9 + 4 =

√14,

kxk∞ = {|1| , |0| , |3| , |−2|} = 3. ¤

3.3 Sucesión vectorial convergente

Consideremos el sistema de n ecuaciones con n incógnitas

Ax = b,

con solución

α =

⎛⎜⎜⎜⎝α1α2...αn

⎞⎟⎟⎟⎠ ,y sea

¡x(j)

¢una sucesión de vectores

x(0) =

⎛⎜⎝ x(0)1...

x(0)n

⎞⎟⎠ ,x(1) =⎛⎜⎝ x

(1)1...

x(1)n

⎞⎟⎠ , . . . ,x(j) =⎛⎜⎝ x

(j)1...

x(j)n

⎞⎟⎠ .La sucesión de errores es

e(0) = α− x(0), e(1) = α− x(1), . . . , e(j) = α− x(j).

Definición La sucesión¡x(j)

¢converge a α si, para alguna norma1, se

cumplelimj→∞

°°α− x(j)°° = 0.Con la norma de infinito, resulta

limj→∞

³maxi

¯αi − x(j)i

¯´= 0.

1Puede demostrarse que si se cumple para una norma, entonces se cumple para todas.


Ejemplo 3.2 Norma de errores.

Supongamos la solución

α =

⎛⎝ 123

⎞⎠ .Si la primera aproximación es

x(1) =

⎛⎝ 0.92.13.2

⎞⎠ ,obtenemos

e(1) = α− x(1) =

⎛⎝ 123

⎞⎠−⎛⎝ 0.92.13.2

⎞⎠ =

⎛⎝ 0. 1−0. 1−0. 2

⎞⎠ ,°°e(1)°°∞ = max{0.1, 0.1, 0.2} = 0.2.

Supongamos que la segunda aproximación es

x(2) =

⎛⎝ 0.992.013.02

⎞⎠ ,entonces

e(2) = α− x(2) =

⎛⎝ 123

⎞⎠−⎛⎝ 0.992.013.02

⎞⎠ =

⎛⎝ 0. 01−0. 01−0. 02

⎞⎠ ,°°e(2)°°∞ = max{0.01, 0.01, 0.02} = 0.02 ¤

3.4 Norma matricial compatible

3.4.1 Norma de infinito de una matriz

Consideremos una matriz de p filas y n columnas

M =

⎛⎜⎜⎜⎝m11 m12 · · · m1n

m21 m22 · · · m2n...

.... . .

...mp1 mp2 · · · mpn

⎞⎟⎟⎟⎠ ,la norma de infinito de la matriz es el número

kMk∞ = maxi=1..p

{|mi1|+ |mi2|+ · · ·+ |min|} .

Con mayor claridad, para calcular kMk∞ , procedemos como sigue.


1. Calculamos las sumas de valores absolutos de las filas

s1 = |m11|+ |m12|+ · · ·+ |m1n| ,s2 = |m21|+ |m22|+ · · ·+ |m2n| ,

... =...

......

sp = |mp1|+ |mp2|+ · · ·+ |mpn| .

2. Calculamos el máximo de los valores si

kMk∞ = maxi{s1, s2, . . . , sp}.

Ejemplo 3.3 Calcula kMk∞ para la matriz

M =

⎛⎝ 1 −1 21 0 23 −1 −1

⎞⎠ .Calculamos las sumas de filas

fila 1 s1 = |1|+ |−1|+ |2| = 4,fila 2 s2 = |1|+ |0|+ |2| = 3,fila 3 s3 = |3|+ |−1|+ |−1| = 5.

entonceskMk∞ = max{4, 3, 5} = 5. ¤

3.4.2 Propiedades de k k∞Sean M y N matrices reales, λ ∈ R y supongamos que, en cada caso, lasmatrices tienen las dimensiones adecuadas para que las operaciones puedanrealizarse.

1. kMk∞ > 0.

2. kMk∞ = 0 si y sólo siM es una matriz nula.

3. kλMk∞ = |λ| kMk∞ .

4. kM+Nk∞ ≤ kMk∞ + kNk∞ .

5. kMNk∞ ≤ kMk∞ kNk∞ .

Las propiedades 1-4, son las mismas que las de las normas vectoriales. Lapropiedad 5, es aplicable cuando x es un vector columna, entonces

kMxk∞ ≤ kMk∞ kxk∞ .


Ejemplo 3.4 Dada la matriz M y el vector x

M =

⎛⎝ 1 −1 21 0 23 −1 −1

⎞⎠ , x =

⎛⎝ 111

⎞⎠ ,verifica que se cumple la propiedad

kMxk∞ ≤ kMk∞ kxk∞ .

Calculamos kMk∞ y kxk∞

kMk∞ = max{4, 3, 5} = 5,kxk∞ = max{1, 1, 1} = 1.

El vectorMx es

Mx =

⎛⎝ 1 −1 21 0 23 −1 −1

⎞⎠⎛⎝ 111

⎞⎠ =

⎛⎝ 231

⎞⎠ ,obtenemos

kMxk∞ =

°°°°°°⎛⎝ 231

⎞⎠°°°°°°∞

= 3.

Vemos que se cumple

kMxk∞ = 3kMk∞ kxk∞ = 5

¾⇒ kMxk∞ ≤ kMk∞ kxk∞ . ¤

4 Convergencia del método iterativo

4.1 Teorema de convergencia

Teorema 4.1 Sea

• Ax = b sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas.

• α =

⎛⎜⎜⎜⎝α1α2...αn

⎞⎟⎟⎟⎠ solución del sistema.

• N matriz cuadrada de orden n (fácilmente invertible).

• P = N−A.

• M = N−1P.


• c = N−1b.

• x(j+1)=Mx(j)+c.

Entonces,

1. La solución α cumpleα =Mα+ c.

2. El error e(j) = α− x(j) verifica

e(j+1) =Me(j).

3. La norma del error°°e(j)°°∞ =

°°α− x(j)°°∞, cumple°°e(j+1)°°∞ ≤ kMk∞ °°e(j)°°∞ .4. Si e(0) = α− x(0) es el error inicial, tenemos°°e(j)°°∞ ≤ (kMk∞ )j °°e(0)°°∞ .5. Si kMk∞ < 1, la sucesión de vectores x(0),x(1), . . . ,x(j), generadospor el método iterativo

x(j+1)=Mx(j)+c,

converge a la solución α para cualquier vector inicial x(0).

Demostración.(1)

Aα = b,

(N−P)α = b,Nα−Pα = b,Nα = Pα+ b,

α = N−1 (Pα+ b) ,

α = N−1P| {z }M

α+ N−1b| {z } .c

(2)

e(j+1) = α− x(j+1)

= (Mα+ c)−³Mx(j)+c

´= Mα−Mx(j)=M

³α− x(j)

´=Me(j).


(3) Por la propiedad 5 de la norma de infinito°°e(j+1)°°∞ =°°°Me(j)

°°°∞≤ kMk∞

°°e(j)°°∞ .(4) Aplicamos reiteradamente la propiedad (3)°°e(1)°°∞ ≤ kMk∞ °°e(0)°°∞ ,°°e(2)°°∞ ≤ kMk∞ °°e(1)°°∞ ≤ (kMk∞)2 °°e(0)°°∞ ,°°e(3)°°∞ ≤ kMk∞ °°e(2)°°∞ ≤ (kMk∞)3 °°e(0)°°∞ ,y, en general, °°e(j)°°∞ ≤ (kMk∞ )j °°e(0)°°∞ .(5) Tenemos, °°e(j)°°∞ ≤ (kMk∞ )j °°e(0)°°∞ ,si kMk∞ < 1, entonces

(kMk∞ )j (j→∞)−→ 0,

por lo tanto°°α− x(j)°°∞ = °°e(j)°°∞ ≤ (kMk∞ )j °°e(0)°°∞ (j→∞)−→ 0. ¤

4.2 Cotas prácticas de error

Consideremos el error estimado

e(j) = x(j)−x(j−1),

las cotas prácticas de error, nos permiten acotar el error

e(j) = α− x(j)

a partir del error estimado.

Proposición 4.1 El error estimado cumple°°e(j+1)°°∞ ≤ kMk∞ °°e(j)°°∞ .

Demostración.

e(j+1) = x(j+1) − x(j)

=³Mx(j)+c

´−³Mx(j−1)+c

´= Mx(j) −Mx(j−1)=M

³x(j) − x(j−1)

´=Me(j). ¤


Teorema 4.2 (cota de un paso) Si kMk∞ < 1, se cumple la siguienterelación entre el error e(j) y el error estimado e(j)

°°e(j)°°∞ ≤ kMk∞1− kMk∞

°°e(j)°°∞ .Demostración.°°e(j)°°∞ =

°°α− x(j)°°∞ =°°α− x(j+1) + x(j+1) − x(j)°°∞

≤°°α− x(j+1)°°∞ + °°x(j+1) − x(j)°°∞ = °°e(j+1)°°∞ + °°e(j+1)°°∞

≤ kMk∞°°e(j)°°∞ + kMk∞ °°e(j)°°∞ .

Obtenemos °°e(j)°°∞ − kMk∞ °°e(j)°°∞ ≤ kMk∞ °°e(j)°°∞ ,(1− kMk∞)

°°e(j)°°∞ ≤ kMk∞ °°e(j)°°∞ .Si kMk∞ < 1, el factor (1− kMk∞) es positivo, por lo tanto

°°e(j)°°∞ ≤ kMk∞°°e(j)°°∞

1− kMk∞. ¤

Teorema 4.3 (cota de j pasos) Si kMk∞ < 1, se cumple la siguienterelación entre el error e(j) y el error estimado inicial e(1) = x(1)−x(0)

°°e(j)°°∞ ≤ (kMk∞)j

1− kMk∞

°°e(1)°°∞ .Demostración. Según hemos visto en el Teorema 4.1, se cumple°°e(j)°°∞ ≤ (kMk∞)(j−1) °°e(1)°°∞ . (1)

Si aplicamos la acotación en un paso a°°e(1)°°∞ , resulta°°e(1)°°∞ ≤ kMk∞

1− kMk∞

°°e(1)°°∞ , (2)

combinando (1) y (2), obtenemos

°°e(j)°°∞ ≤ (kMk∞)j

1− kMk∞

°°e(1)°°∞ . ¤


Ejemplo 4.1 Consideramos el sistema de ecuaciones½20x1 − x2 = 18x1 + 20x2 = 41

(a) Formula matricialmente el sistema y calcula la solución exacta.(b) Formula el método de Jacobi.(c) Estudia la convergencia.(d) Haz 4 iteraciones a partir del vector inicial x(0)= ~0, calcula una cota deerror para e(4).(e) Verifica los resultados del apartado anterior.(e) Calcula el número de iteraciones necesario para aproximar la solucióncon 8 decimales exactos a partir de x(0)= ~0.

(a) µ20 −11 20

¶µx1x2

¶=

µ1841

¶,

∆ =

¯20 −11 20

¯= 401, ∆1 =

¯18 −141 20

¯= 401, ∆2 =

¯20 181 41

¯= 802.

x1 =∆1∆= 1, x2 =

∆2∆= 2,

α =

µ12

¶.

(b) Matriz del método de Jacobi

N =

µ20 00 20

¶.

CalculamosM y c

P = N−A =

µ20 00 20

¶−µ20 −11 20

¶=

µ0 1−1 0

¶,

N−1=

µ1/20 00 1/20

¶=

µ0.0 5 00 0.0 5

¶,

M = N−1P =

µ0.0 5 00 0.0 5

¶µ0 1−1 0

¶=

µ0 0.05

−0.05 0

¶,

c = N−1b =

µ0.0 5 00 0.0 5

¶µ1841

¶=

µ0. 92. 05

¶.

Fórmula de recurrenciaÃx(j+1)1

x(j+1)2

!=

µ0 0.05

−0.05 0

¶Ãx(j)1

x(j)2

!+

µ0. 92. 05

¶.


(c) Tenemos

kMk∞ = max{|0.05| , |−0.05|} = 0.05 < 1,

por lo tanto, la sucesión de aproximaciones¡x(j)

¢convergen a α para cual-

quier vector inicial x(0).

(d) Cálculo de las iteraciones

x(0) =

µ00

¶,

x(1) =

µ0 0.05

−0.05 0

¶µ00

¶+

µ0. 92. 05

¶=

µ0. 92. 05

¶,

x(2) =

µ0 0.05

−0.05 0

¶µ0. 92. 05

¶+

µ0. 92. 05

¶=

µ1. 00252. 005

¶,

x(3) =

µ0 0.05

−0.05 0

¶µ1. 00252. 005

¶+

µ0. 92. 05

¶=

µ1. 000251. 99987 5

¶,

x(4) =

µ0 0.05

−0.05 0

¶µ1. 000251. 99987 5

¶+

µ0. 92. 05

¶=

µ0. 99999 3751. 99998 75

¶.

Cota de error. Según el Teorema 4.3, se cumple

°°e(j)°°∞ ≤ (kMk∞)j

1− kMk∞

°°e(1)°°∞ .La norma del error estimado inicial es°°e(1)°°∞ =

°°x(1) − x(0)°°∞ = °°°°µ 0. 92. 05

¶°°°°∞= 2.05,

por lo tanto

°°e(4)°°∞ ≤ (0.05)4

1− 0.05 2.05 = 0.1 34868 42× 10−4. (3)

esto es, cuando aproximamos la solución del sistema mediante x(4), podemosasegurar 4 decimales exactos en todas las componentes.(e) El error exacto es

°°e(4)°°∞ =°°α− x(4)°°∞ =

°°°°µ 12

¶−µ0. 99999 3751. 99998 75

¶°°°°∞=

°°°°µ 0.06 25× 10−40.125× 10−4

¶°°°°∞°°e(4)°°∞ = 0.125× 10−4.

Vemos que el error real es inferior a la cota de error calculada en (3).


(f) Para acabar, veamos cuantas iteraciones necesitaríamos para obtener 8decimales exactos en todas las componentes. Partimos de la fórmula de erroren j pasos °°e(j)°°∞ ≤ (kMk∞)

j

1− kMk∞

°°e(1)°°∞que, en este caso particular, es

°°e(j)°°∞ ≤ (0.05)j0.952.05,

y exigimos °°e(j)°°∞ ≤ (0.05)j0.952.05 < 0.5× 10−8.

Obtenemos(0.05)j

0.952.05 ≤ 0.5× 10−8,

(0.05)j ≤¡0.5× 10−8

¢(0.95)

2.05,

j ln (0.05) ≤ lnÃ¡0.5× 10−8

¢(0.95)

2.05

!,

j ≥ln

Ã¡0.5× 10−8

¢(0.95)

2.05

!ln (0.05)

= 6. 6371.

Por lo tanto, necesitamos 7 iteraciones. ¤

5 Método de Newton-Raphson para sistemas nolineales

5.1 Ejemplo inicial

Consideremos el sistema de ecuaciones½x2 + y2 = 1,y = x2.

La ecuación x2+y2 = 1 da lugar a la circunferencia de centro origen y radio1 en el plano xy, la ecuación y = x2 da lugar a una parábola


210-1-2

2

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

A partir del gráfico, está claro que el sistema tiene dos soluciones. Pararesolver el sistema algebraicamente, sustituimos y = x2 en x2 + y2 = 1 yresulta la ecuación bicuadrada

x2 + x4 = 1,

con el cambio x2 = t, est2 + t− 1 = 0.

Resolvemos la ecuación de 2o grado,

t = −12+1

2

√5, t = −1

2− 12

√5.

Como t debe ser no negativa, de estas dos soluciones, sólo es aceptable elvalor positivo; a partir de él, resultan las soluciones

x =

r−12+1

2

√5, y = −1

2+1

2

√5.

x = −r−12+1

2

√5, y = −1

2+1

2

√5.

Calculamos aproximaciones decimales

x = 0. 78615 138, y = 0. 61803 399,

x = −0. 78615 138, y = 0. 61803 399.

El objetivo de esta sección es formular un método iterativo que nos permitaaproximar la solución de sistemas no lineales como el del ejemplo.


5.2 Definiciones

5.2.1 Función vectorial de variable vectorial

Una función vectorial de variable vectorial es una función F : Rn → Rm⎛⎜⎜⎜⎝x1x2...xn

⎞⎟⎟⎟⎠ F−→

⎛⎜⎜⎜⎝f1(x1, . . . , xn)f2(x1, . . . , xn)

...fm(x1, . . . , xn)

⎞⎟⎟⎟⎠ ,las funciones fi : Rn → R, son campos escalares

f1(x1, . . . , xn), f2(x1, . . . , xn), . . . , fm(x1, . . . , xn),

y se denominan funciones componentes.

Ejemplo 5.1 Dada la función

F

⎛⎝ x1x2x3

⎞⎠ =

⎛⎝ x1 − x2x21 − x2x1x3

⎞⎠ .(a) Identifica las funciones componentes.(b) Calcula

F

⎛⎝ 214

⎞⎠ .(c) Calcula los vectores x que cumplen

F (x) =

⎛⎝ 005

⎞⎠ .(a) Las funciones componentes son

f1 (x1, x2, x3) = x1 − x2,f2 (x1, x2, x3) = x21 − x2,f3 (x1, x2, x3) = x1 x3.

(b) Tenemos

F

⎛⎝ 214

⎞⎠ =

⎛⎝ 2− 14− 12× 4

⎞⎠ =

⎛⎝ 138

⎞⎠ .(c) La ecuación vectorial

F (x) =

⎛⎝ 005

⎞⎠ ,


da lugar al sistema no lineal ⎧⎨⎩x1 − x2 = 0,x21 − x2 = 0,x1 x3 = 5.

De la 1a ecuación, resultax1 = x2,

sustituimos en la segunda y obtenemos

x21 − x1 = 0.

Esta ecuación tiene dos soluciones

x1 = 0, x1 = 1.

Si x1 = 0, la tercera ecuación x1 x3 = 1, no tiene solución; en le caso x1 = 1,resulta

x =

⎛⎝ 115

⎞⎠ . ¤

5.2.2 Matriz Jacobiana

Dada una función vectorial

F

⎛⎜⎜⎜⎝x1x2...xn

⎞⎟⎟⎟⎠ =

⎛⎜⎜⎜⎝f1(x1, . . . , xn)f2(x1, . . . , xn)

...fm(x1, . . . , xn)

⎞⎟⎟⎟⎠ ,la matriz jacobiana de F es la matriz que tiene en la fila i las derivadasparciales de la función componente fi, esto es

JF =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

∂f1∂x1

∂f1∂x2

· · · ∂f1∂xn

∂f2∂x1

∂f2∂x2

· · · ∂f2∂xn

......

. . ....

∂fm∂x1

∂fm∂x2

· · · ∂fm∂xn

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠.

Ejemplo 5.2 Calcula la matriz jacobiana de la función

F

⎛⎝ x1x2x3

⎞⎠ =

⎛⎝ x1 − x2x21 − x2x1x3

⎞⎠ .


La funciones componentes son

f1 (x1, x2, x3) = x1 − x2f2 (x1, x2, x3) = x21 − x2f3 (x1, x2, x3) = x1 x3

calculamos las derivadas parciales

∂f1∂x1

= 1,∂f1∂x2

= −1, ∂f1∂x3

= 0,

∂f2∂x1

= 2x1,∂f2∂x2

= −1, ∂f2∂x3

= 0,

∂f3∂x1

= x3,∂f3∂x2

= 0,∂f3∂x3

= x1.

Resulta la matriz jacobiana

JF (x) =

⎛⎝ 1 −1 02x1 −1 0x3 0 x1

⎞⎠ . ¤

5.3 Método de Newton-Raphson multidimensional

Dada una ecuación de la forma

F (x) = 0

con solución α, el método de Newton-Raphson multidimensional consiste engenerar una sucesión de aproximaciones

x(j+1) = x(j) − J−1F¡x(j)

¢F (x(j)),

partiendo de un vector inicial x(0) próximo a la solución α.

Ejemplo 5.3 Aproxima las soluciones del sistema½x2 + y2 = 1,y = x2.

con 6 decimales exactos.

A partir de la representación gráfica


210-1-2

2

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

observamos que tenemos dos soluciones, tomamos la estimación

α 'µ0.80.6

¶para la solución con x > 0. El sistema de ecuaciones se puede escribir enforma vectorial

F (x) = 0

con

F

µxy

¶=

µx2 + y2 − 1y − x2

¶.

la matriz jacobiana es de F es

JF =

µ2x 2y−2x 1

¶,

la inversa de una matriz cuadrada de orden 2 esµa11 a12a21 a22

¶−1=

1¯a11 a12a21 a22

¯ µ a22 −a12−a21 a11

¶,

en nuestro caso

J−1F =1

2x+ 4xy

µ1 −2y2x 2x

¶.

Calculamos las iteraciones a partir del vector inicial

x(0) =

µ0.80.6

¶.

• Primera iteración

F (x(0)) = F

µ0.80.6

¶=

µ0−.0 4

¶,


J−1F (x(0)) = J−1F

µ0.80.6

¶=

µ. 28409 091 −. 34090 909. 45454 545 . 45454 545

¶,

x(1) =

µ0.80.6

¶−µ. 28409 091 −. 34090 909. 45454 545 . 45454 545

¶µ0−.0 4

¶=

µ0. 78636 3640. 61818 182

¶.

e(1) = x(1) − x(0) =µ0. 78636 3640. 61818 182

¶−µ0.80.6

¶=

µ−.0 13636 36.0 18181 82

¶.

• Segunda iteración

F (x(1)) = F

µ0. 78636 3640. 61818 182

¶=

µ5. 16537× 10−4−1. 85954 3× 10−4

¶,

J−1F (x(1)) = J−1F

µ0. 78636 3640. 61818 182

¶=

µ. 28431 787 −. 35152 028. 44715 447 . 44715 447

¶,

x(2) =

µ0. 78636 3640. 61818 182

¶−µ. 28431 787 −. 35152 028. 44715 447 . 44715 447

¶µ5. 16537× 10−4−1. 85954 3× 10−4

¶=

µ. 78615 141. 61803 4

¶.

e(2) = x(2)−x(1) =µ. 78615 141. 61803 4

¶−µ0. 78636 3640. 61818 182

¶=

µ−.000 21223−.000 14782

¶.

• Tercera iteración

F (x(2)) = F

µ. 78615 141. 61803 4

¶=

µ6. 5× 10−8−3. 94× 10−8

¶,

J−1F (x(2)) = J−1F

µ. 78615 141. 61803 4

¶=

µ. 28443 223 −. 35157 757. 44721 359 . 44721 359

¶,

x(3) =

µ. 78615 141. 61803 4

¶−µ. 28443 223 −. 35157 757. 44721 359 . 44721 359

¶µ6. 5× 10−8−3. 94× 10−8

¶=

µ. 78615 138. 61803 399

¶.

e(3) = x(3)−x(2) =µ. 78615 138. 61803 399

¶−µ. 78615 141. 61803 4

¶=

µ−3.0× 10−8−1.0× 10−8

¶. ¤


5.4 Método de Newton-Raphson modificado

El cálculo de J−1F¡x(j)

¢puede ser complicado, una versión simplificada del

método es la siguiente

x(j+1) = x(j) − J−1F¡x(0)

¢F (x(j)).

Partiendo de un vector inicial x(0) próximo a la solución α.Observamos que en todas las iteraciones se usa el mismo jacobiano

JF

³x(0)

´Si las derivadas parciales son continuas, el determinante jacobiano

dethJF

³x(0)

´itoma un valor grande y la estimación inicial x(0) está próxima a la soluciónα, entonces la matriz inversa J−1F

¡x(j)

¢varía poco y el método simplificado

da buenos resultados.

Ejemplo 5.4 Aproxima las soluciones del sistema½x2 + y2 = 1,y = x2.

con 5 decimales exactos, usando el método de Newton-Raphson modificado.Toma como vector inicial

x(0) =

µ0.80.6

¶.

Función vectorial

F

µxy

¶=

µx2 + y2 − 1y − x2

¶,

matriz jacobiana

JF =

µ2x 2y−2x 1

¶,

matriz jacobiana en x(0)

JF (x(0)) =

µ1.6 1.2−1.6 1

¶,

determinante de la matriz jacobiana

dethJF (x

(0))i=

¯1.6 1.2−1.6 1

¯= 3. 52,


inversa de una matriz jacobiana

J−1F =1

3. 52

µ1 −1.21.6 1.6

¶=

µ. 28409 091 −. 34090 909. 45454 545 . 45454 545

¶.

• Primera iteración

F (x(0)) = F

µ0.80.6

¶=

µ0−.0 4

¶,

x(1) =

µ0.80.6

¶−µ. 28409 091 −. 34090 909. 45454 545 . 45454 545

¶µ0−.0 4

¶=

µ0. 78636 3640. 61818 182

¶,

e(1) = x(1) − x(0) =µ0. 78636 3640. 61818 182

¶−µ0.80.6

¶=

µ−.0 13636 36.0 18181 82

¶.

• Segunda iteración

F (x(1)) = F

µ0. 78636 3640. 61818 182

¶=

µ5. 16537× 10−4−1. 85954 3× 10−4

¶,

x(2) =

µ0. 78636 3640. 61818 182

¶−µ. 28409 091 −. 34090 909. 45454 545 . 45454 545

¶µ5. 16537× 10−4−1. 85954 3× 10−4

¶=

µ. 78615 35. 61803 156

¶,

e(2) = x(2)−x(1) =µ. 78615 35. 61803 156

¶−µ0. 78636 3640. 61818 182

¶=

µ−.000 21014−.000 15026

¶.

• Tercera iteración

F (x(2)) = F

µ. 78615 35. 61803 156

¶=

µ3. 34718 28× 10−7−5. 76556 23× 10−6

¶,

x(3) =

µ. 78615 35. 61803 156

¶−µ. 28409 091 −. 34090 909. 45454 545 . 45454 545

¶µ3. 34718 28× 10−7−5. 76556 23× 10−6

¶=

µ. 78615 144. 61803 403

¶,

e(3) = x(3)−x(2) =µ. 78615 144. 61803 403

¶−µ. 78615 35. 61803 156

¶=

µ−.00000 206.00000 247

¶. ¤

E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos Resumen y ejemplos Tema...

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