ETS Variable Compleja

Lista de ejercicios para el ETS de VariableCompleja y Transformada de F y Z

Yoram Astudillo Baza ∗, Mohamed Badaoui ∗

Instituto Politecnico Nacional

I. Representa los siguientes numeros complejos en la forma Polar:

1. (−√

3 + i)9

2. (−√

3− i)−5

3.1 + i

1 +√

3i

II. Escriba los siguientes numeros complejos en la forma a+ ib donde a y b son numeros reales.

4. (12

+√

32i)3

5. i12 + i25 − 7i111

6. (3 + 4i)12(1 + i)−12

III. Encuentre la parte real e imaginaria de los siguientes numeros complejos:

7. (1 + i)30

8. (cos( π12

) + sen( π12

))170

9.−i

(1 + i)5

IV. Pruebe que

10.

(1 + i tan(θ)

1− i tan(θ)

)n=

1 + i tan(nθ)

1− i tan(nθ)

donde n es un entero natural.

V. Describa el conjunto de puntos del plano complejo que satiface cada una de las siguientesecuaciones:

11. | z − 4 |= 3

12. | z − 1 | + | z + 1 |= 4

13. | z − 3 |=| z − 5 |

∗Academıa de Matematicas del Departamento de Ingenierıa Electrica

VI. Si | z |≤ 1

2, pruebe que:

14. 47≤ 1|z2+z+1| ≤ 4

VII. Resuelva la siguientes ecuaciones:

15. z5 = −30

16. (z + 2)3 = 3i

17. z2 − 2(1 + i)z + i = 0

VIII. Encuentre la imagen f [S] bajo la inversion f(z) =1

zen cada uno de los siguientes casos:

18. S = z : 0 <| z |≤ 119. S =

z : 0 <| z |≤ 3, π

3≤ Arg(z) ≤ 2π

3

IX. Justifique que los siguientes limites no existen:

20. limz→0

z

z

21. limz→0

z

| z |

22. limz→0

Re(z)

| z |2

X. Determine u(x, y) y v(x, y) tales que f(z) = u+ vi

23. f(z) = 2z2 − 3iz

24. (z) = z +1

z

25. f(z) =1− z1 + z

26. f(z) = e3iz

27. f(z) = cos (z)

28. f(z) = z2e2z

XI. Son analıticas las siguientes funciones?

29. z2

30. ez2

31. z Re(z)

32. | z |33. senh (4z)

34. cos (z)

XII. Supongamos que f(z) y f(z) son analıticas en una region Ω.

35. Pruebe que f(z) es constante en Ω

1

1Academıa de Matematicas del Departamento de Ingenierıa Electrica

2

XIII. Clasifique las singularidades de las siguinetes funciones:

36.1

z sen(z)

37. e

z

sen(z)

38.z

z4 − 1− sen(2z)

z4

XIV. Determine la exapansion en Serie de Laurent de

f(z) =z

(z − 1)(2− z)

valida para

39. | z |< 1

40. 1 <| z |< 2

41. | z |> 2

42. | z − 1 |> 1

43. 0 <| z − 2 |< 1

XV. Evaluar

44.

∮C

dz

z − 2− ialrededor de cualquier contorno C que contenga al punto z = 2 + i

45.

∮C

1 + 2z

z2 + 3izdz donde C es el circulo dado por | z + 3i |= 2

46.

∮C

2z

(z − 1)(z + 2)(z + i)dz donde C es un contorno que incluye los puntos

z = 1, z = −2 y z = −i

47.

∮C

z4

(z − 1)3dz donde C es un contorno que encierra al punto z = 1

XVI. Obtenga la expansion en Serie de Fourier de la siguientes funciones periodicas con periodo 2π.

48. f(t) =| t |, (−π < t < π)

49. f(t) = cos( t2), (−π < t < π)

50.

f(t) =

π2 si −π < t < 0;(t− π)2 si 0 < t < π.

Utilice el resultado de la Serie de Fourier para probar que:

51.∞∑n=1

1

n2=

1

6π2

52.∞∑n=1

(−1)n+1

n2=

1

12π2

2


3

53.

f(t) =

5 sen (t) si 0 < t < π;0 si π < t < 2π.

54.

f(t) =

0 si −π < t < −1

2π;

2 cos (t) si −12π < t < 1

2π;

0 si 12π < t < π.

XVII. Encuentre la tranformada Z de las siguientes sucesiones:

55. cos(kπ)56. sen(kωT ) ω, T constantes

XVIII. Encuentre

57. Z −1

[z

z2 + 1

]58. Z −1

[2z

2z2 + z − 1

]XIX. Utilizando el metodo de la transformada Z resuelva la siguiente ecuacion en diferencias:

59. yk+2 − 5yk+1 + 6yk = (12)k sujeta a y0 = y1 = 0.

60. yk+2 − 2yk+1 + yk = 0 sujeta a y0 = 0, y1 = 1.

61. 2yk+2 − 3yk+1 − 2yk = 6k + 1 sujeta a y0 = 1, y1 = 2.

62. yk+2 − 4yk = 3k − 5 sujeta a y0 = y1 = 0.

XX. Encuentre la transformada de Fourier F de las siguientes funciones:

63.t

9 + t2

64. 6H(t)te−2t

65. t [H(t+ 1)−H(t− 1)]

66. 4H(t− 2)e−3t cos(t− 2)

XXI. Encontrar la transformada inversa de Fourier F−1 de las siguientes funciones:

67.1

1 + iw2

68.1

(1 + iw)(2 + iw)

69.1

(4 + w2)(9 + w2)

70.1 + iw

6− w2 + 5iw

XXII. Utilizando el metodo de la transformada de Fourier Resuelva

71. y′(t)− 4y(t) = H(t)e−4t

72. y′′(t) + 6y′(t) + 5y(t) = δ(t− 3) donde δ es la funcion delta de Dirac.

3


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