La primera reunión a la que asis-

tí para integrarme como escritor a

la publicación Ciencia Compartida

aún la recuerdo bien.Sobre todo

porque no sabía qué responder cuando me

preguntaron sobre qué tema quería escribir,

y también por la emoción que representa

participar en una revista. Al término de la re-

unión me dispuse a regresar a mi hogar, así

que ingresé a la estación Zócalo del metro.

Llegandoa Taxqueña abordé el tren ligero y

en una estación (no recuerdo cuál) se subie-

ron dos mujeres,una de ellas era mayor de

edad, la otrauna niña. Me faltaban un par de

estaciones para llegar a mi destino cuando

comenzó una plática entre ellas. La pequeña

dijo: “no me gustan las matemáticas,odio al

que las inventó”; ante esto, en mis labios se

dibujó una pequeña sonrisa, ya que en algún

momento a mí tampoco me gustaban las ma-

temáticas. Es cierto que existen cosas muy

complicadas en esa disciplina, pero también

hay cosas muy bellas.Esta es mi motivación

para hablar sobre el número áureo.

¡Cuántos números!Muchas cosas de la vida diaria están relacio-

nadas con números, por ejemplo, el dinero

que tenemos, los años transcurridos, la dis-

tancia entre dos lugares, etcétera.Todo esto

lo calcula el ser humano desde la antigüe-

dad. Un conjunto utilizado para realizar estos

conteos es el de los números naturales, cuya

representación está dada por el símbolo .

Para algunos matemáticos, en este conjun-

to está incluido el cero y para otros no; yo

considero a los naturales de la siguiente ma-

nera ={0,1,2,3,…}. La principal razón es

que los mayas fueron la primera civilización

en utilizar el cero (lo sé, suena muy patriota,

pero estoy orgulloso de esa cultura).

En un principio todo funcionó de maravilla

con , es decir, esos números bastaban

para desarrollar las operaciones matemá-

ticas de aquel entonces. No obstante, al

paso del tiempo se requirió resolver ecua-

ciones del tipo x+1=0; con base en lo que

has visto en tus cursos de álgebra, podrás

darte cuenta que esta ecuación tiene por so-

lución x=-1. En cierta época histórica, esto

era realmente una cosa impensable:¿cómo

se podrían tener cantidad negativas, sobre

todo considerando que los griegos estable-

cían una relación sumamente estrecha entre

los números y la geometría? En otras pa-

labras, los segmentos de longitud negativa

no tenían lugar en el pensamiento huma-

no. Sin embargo, conforme la matemática

se fue desarrollando, se dio paso a los nú-

meros enteros, los cuales se representan

por y consideran los siguientes números

: ={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}.

De manera semejante surgieron los

números racionales, por ejemplo, para re-

solver la ecuación 2x=3, cuya solución es

=2/3. La representación de estos números

es y en forma general son de la forma p/

q,p,q∈Z,q≠0. Por su parte, los números

irracionales son los que no tienen la forma

de los racionales;los ejemplos más típicos

de estos números son (3.14159265…), 2

(1.41421356), (2.71828182…), etcétera y

su representación como conjunto está dada

porI.Si tomamos a todos los conjuntos de

números que hemos mencionado hasta el

momento y los ponemos juntos tenemos

al conjunto delos números reales, cuya re-

presentación es ; finalmente, existen los

imaginarios o complejos, que se representan

por medio de .

Euclides, ese célebre griegoEl más grande compilador de las mate-

máticas en el mundo antiguo es, sin duda,

Euclides. Su obra de mayor trascendencia es

Los Elementos, que escribió en el año 300

a. C. Aunque este libro es en su mayoría de

carácter geométrico, también encontramos-

demostraciones que no utilizan la geometría

como herramienta principal; el ejemplo más

claro es la demostración de que hay una infi-

nidad de números primos.

Jarquín, A. (2011). φ (fi): un número de proporciones divinas [Versión electrónica], Ciencia Compartida, 3, 19-25. Recuperado el (día) de (mes) de (año), de (dirección electrónica).

En Los Elementosse encuentran algu-

nos enunciados relacionados con el tema

de las proporciones, y la proposición 30 del

libro VIplantea un problema que en términos

modernos diría algo así: determinar dos seg-

mentos de tamaño a y b (el segmento a debe

ser mayor que el b) que cumplan que el co-

ciente a/b sea exactamente igual al cociente a+b/a, es decir, que a/b=

a+b/a; los números que

cumplen esta condición dan lugar a lo que se

conoce comoproporción divina o proporción

áurea(véase Punto Extra 1). Para llegar a ese

resultado, hagamos algunos cálculos sencillos.

Supongamos que el segmento a(el más gran-

de) mide una cantidad cualquiera, digamos

x;también supongamos que el segmento b(el

más pequeño) mide exactamente 1. Ahora

bien, sabemos que se debe cumplir la siguiente

igualdad:

x=1+x 1 x

Y como cualquier número dividido entre 1

da el mismo número nos queda:

x=1+x x

Un poco de álgebra elemental nos servirá

para transformar la igualdad anterior de la

siguiente forma:

(x)(x)=1+x

x2=1

Y finalmente llegamos a lo siguiente:

x2-x-1=

Ahora bien, la igualdad que acabamos de

obtener es un caso particular de lo que se

conoce como ecuaciones de segundo grado.

Desde la secundaria, nuestros maestros de

matemáticas nos enseñaron que ese tipo de

ecuaciones se resuelven utilizando algo que

se llama fórmula general (en mis tiempos le

decían “la chicharronera”, porque hasta el se-

ñor que vendía los chicharrones se la tenía

que saber), la cual nos dice lo siguiente:

x= -b±√b2-4ac

2a

Al momento de hacer los cálculos, esta

fórmula arroja dos resultados distintos; no-

sotros sólo vamos a considerar uno de ellos.

Luego de hacer las cuentas (véase Punto

Extra2) vemos que el resultado es

x=1+ 5)=1.618033…

2

Esta cantidad, que se denota con la letra

griega φ (fi), pertenece al conjunto de los

números irracionales y se le conoce como

número áureo o número dorado.Con fre-

cuencia también se le conoce como propor-

ción áurea, pero en realidad esto es algo im-

preciso; en todo caso, el número φ -junto con

el 1-forman una proporción áurea.

Otro libro de gran importanciaen el tema

de las proporciones es el Timeo, de Platón.

En este libro, además, se realiza una dis-

cusión acerca del origen de la matemática

como ciencia y se describen los cinco sóli-

dos regulares, que posteriormente serian es-

tudiados bajo la lupa de la proporción divina

por Luca Pacioli.

Pacioli: revelando la divinidad de φLuca Paciolinació en 1445 en Borgo, San Se-

polcro que a finales del siglo XV perteneció

a la república de Florencia. Algunas de las

obras de Pacioli son: De Divina Proportione,

Suma de Arithmetica Geometria Proportio-

ni et Proportionalita y De Viribusquantitatis.

Es importante mencionar que sólo las dos

primeras obras se imprimieron cuando Luca

estaba con vida.

En 1496 Pacioliva a Milán después de recibir

una invitación de Ludovico Sforza para ense-

ñar matemáticas. Ahí conoce a Leonardo Da

Vinci, quien también se encuentra al servicio

del duque. Pronto Leonardo y Luca entablan

una gran amistad, y cuando Pacioli termina De

Divina Proportione en 1498, Da Vinci la ilustra

con sesenta dibujos de cuerpos regulares.

En esa obra Luca afirma que nadie se

había interesado tanto por las propiedades

que posee la proporción mencionada en Los

elementos de Euclides. También es Pacio-

li quien le asigna el nombre de “proporción

divina”, esto gracias a una serie de compa-

raciones que hace con respecto a Dios, las

cuales se enumeran a continuación:

1.- Es única, al igual que Dios.

2.-Así como existe Padre, hijo y espíritu

santo, la proporción tiene una trinidad, pues

siempre está entre tres términos.

3.-Dios no puede entenderse; la proporción

divina siempre esta expresada mediante una

cantidad irracional.

En matemáticas, se le llama razón

al cociente entre dos cantidades; dicho

de otra forma, si tenemos dos números

a y b, con b distinto de cero, una razón

entre ellos queda expresada por a/b.

Por otro lado, llamamos proporción a

la igualdad entre dos razones. Enton-

ces, si tenemos cuatro números a, b, c

y d, con b y d distintos de cero, una pro-

porción entre ellos se cumple si a/b=c/d.

4.-Nunca cambia y está en todas partes, al

igual que Dios.

Se dice que Leonardo Da Vinci fue quien le

otorgó el nombre de “sección aurea”, aunque

también hay quien dice que la procedencia

de este nombre es incierta y la sitúan en

Alemania en la primera mitad del siglo XIX.

A partir del capítulo siete de DeDivina

Proportione,Luca menciona una serie de

“efectos”, es decir, propiedades que tiene la

proporción divina.El número de efectos es-

tárelacionado-nuevamente- con la religión,

ya que los doce apóstoles y Dios forman

un grupo de trece entes, el mismo número

de efectos que Pacioli enuncia, aunque hay

que aclarar que éste dice que existen más

efectos, pero por lo antes señalado sobre los

apóstoles prefiere que la lista sea de trece.

Efectos importantesEl efecto con mayor belleza es,según Pacioli,

el número nueve: “si en el circulo se forma el

pentágono equilátero y en sus dos ángulos

más próximos se trazan dos líneas rectas

desde los extremos de sus lados, éstas, ne-

cesariamente, se dividirán entre sí según

nuestra proporción…”.Este efecto es impor-

tante para la construcción del cuerpo llamado

dodecaedro (un sólido regular de doce caras)

y se ilustra con claridad en la figura 1.

El undécimo efecto reza: “si se divide el

lado de un hexágono equilátero según nues-

tra divina proporción, su parte mayor será

siempre, necesariamente el lado del decá-

gono circunscrito por al mismo circulo que el

hexágono”.

El decimotercer efecto enseña a construir

un triangulo según la proporción divina, el cual

es ocupado para la creación del pentágono. A

su vez, como ya se mencionó, el pentágono

es fundamental para crear el dodecaedro.

De esta manera, se debe considerar a

Luca Pacioli el autor intelectual de la divina

proporción y del descubrimiento de sus múl-

tiples efectos, claro, sin restarles meritos a

hombres como Euclides, quienes de cierta

manera ya manejaban este número y, quizá,

algunas de sus propiedades.

FIGURA 1: Si dividimos el número mayor entre el menor el resultado es igual a 1.6190476…Esta propiedad se cumple en cualquier pentágono…¡sorprendente!

¡Qué bonitos conejos!En el año 1175 nació Leonardo de Pisa, me-

jor conocido como Fibonacci. Es considerado

el más grande matemático de la edad media

por haber introducido los números arábi-

gos a la matemática de la época. Sus obras

más destacadas son LiberAbaci, la práctica

Geometriae y el LiberQuadratorum. En el

LiberAbaci, escrito en 1202, Fibonacci plan-

tea un problema sobre la reproducción de

conejos. Se trata de calcular el número de

conejos nacidos a partir de una pareja dada

que cada mes produce una pareja nueva, y

ésta, después de un mes, se reproduce, y

así sucesivamente. Realizando los cálculos

correspondientes se tiene una secuencia de

números, a saber; 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,

34…, dicha sucesión es conocida hoy en día

como sucesión de Fibonacci.

Aparentemente la secuencia de Fibonacci

y la proporción divina no tienennada que ver.

Pero si tomas cualquier término de la serie y lo

divides entre el término anterior verás que ¡el

resultado se parece a φ, es decir, a 1.618033!

Por ejemplo, si dividimos 34 entre 21 nos da

1.6190476, que se acerca mucho a φ.

Matemáticas, arte y arquitecturaEn párrafos anteriores ya se dijo que Da Vinci

y Luca Pacioli fueron grandes amigos, e in-

cluso que Leonardo ilustró la obra De Divina

Proportione. Lo que no se ha mencionado es

que, en la mayoría de las obras de Da Vinci,

la divina proporción jugó un rol muy impor-

tante. Algunas pinturas sobresalientes con

Para utilizar la fórmula general para las ecuacio-

nes de segundo grado, que como recordaremos

es:

x=-b±√b2-4ac

2a

tenemos que identificar cuáles son los valores

de a, b y c, los cuales dependen directamente

de la ecuación con la que estemos trabajando.

Para el caso que nos ocupa –el de la propor-

ción áurea- cuya ecuación es x2-x-1=0, tenemos

quea=1,b=-1 y c=-1 Sustituimos esos valores en

la fórmula y nos queda lo siguiente:

x= -(-1)±√(-1)2-4(1)(-1) 2(1)

=1±√1+4

2

=1±√5

2

Como se puede ver, antes de la raíz cuadrada

tenemos un signo “±”, lo cual quiere decir que

tenemos que considerar los dos casos, es decir,

hacer un cálculo con el signo “+” y otro cálculo

con el signo “-“. Dado que estamos hablando de

longitudes de segmentos, éstas solo pueden ser

positivas, así que sólo consideramos el primer

caso, lo que nos da como resultado el número

áureo φ.

respecto a la proporción divina son el hombre

de Vitrubio y la Mona Lisa. De hecho, el rostro

de la Mona Lisa está enmarcado por un rec-

tángulo áureo, el cual se construiremos más

adelante. De igual forma, artistas como Mi-

guel Ángel, Dalí y Rafael usaron la proporción

áurea en sus obras. Con respecto a la arqui-

tectura, encontramos que la proporción divina

se hace presente en el Partenón, el templo

de Ceres, la tumba rupestre de Mira, etcétera.

Cómo crear un rectángulo dorado…sin usar pinturaPara finalizar este texto sobre el número

áureoconstruiremos un rectángulo cuyos

lados satisfacen la proporción divina.Para

ello, primero dibujamos un cuadrado (A) y

marcamos el punto medio de uno de sus la-

dos. Posteriormente unimos ese punto con

uno de los vértices del lado opuesto (B) y –

usando el compás- llevamos esa distancia al

lado inicial (C); de esta manera obtenemos

el lado mayor del rectángulo (D).Así, si –por

ejemplo- el lado del cuadrado es 2, enton-

ces el lado mayor del rectángulo es 1+ 5 y la

proporción entre sus lados es 1+ 5/2,es decir,

la proporción divina.

Espero que esta sencilla construcción nos

haga coincidir en que el número dorado en

realidad es divino, no por las comparaciones

que realizo Pacioli con Dios, sino por la be-

lleza que encierra matemáticamente. Ojalá

que estas líneas les ayuden a mirar lo bonito

de las matemáticas,para que no se queden

sólo con las malas experiencias que han te-

nido con esta disciplina.