Evaluación de las reglas de combinación ante dos componentes sísmicos horizontales y vertical

EVALUACIÓN DE LAS REGLAS DE COMBINACIÓN ANTES DOS COMPONENTES SÍSMICOS HORIZONTALES Y VERTICAL

Julio J. Hernández1 Oscar A. López2

1. Investigador Asociado, IMME, Facultad de Ingeniería, Universidad Central de Venezuela; correo-e: [email protected]

2. IMME, Facultad de Ingeniería, Universidad Central de Venezuela; correo-e: [email protected]

RESUMEN

Se evalúan las respuestas , dadas por diversas reglas normativas de combinación a sismos multicomponentes, para el caso cuando una componente sísmica principal es vertical y las componentes horizontales principales pueden tener cualquier dirección. Las acciones sísmicas se expresan mediante espectros normativos de pseudoaceleraciones. Las reglas examinadas son la de la RCSC, la del 30%, la del 40% y una de las reglas del IBC.

La respuesta crítica , la máxima obtenida para todos los ángulos de incidencia de las componentes sísmicas, se obtiene mediante la regla CQC3. Las cotas superior e inferior de la

relación se presentan en función de la intensidad espectral entre las componentes principales horizontales y de las respuestas a una componente sísmica actuando según cada

eje estructural. Se desarrollan expresiones analíticas para los valores extremos de , dada una determinada intensidad espectral.

Palabras clave: reglas de combinación, sismos multicomponentes, normas sísmicas, respuesta crítica, CQC3, componente sísmica vertical.

EVALUATION OF COMBINATION RULES WITH TWO HORIZONTAL AND ONE VERTICAL SEISMIC COMPONENTS

ABSTRACT

Responses , given by several multicomponent combination rules used in seismic codes, are evaluated for the case when one principal seismic component is vertical and two horizontal principal components can act along any direction. Seismic motions are described by code pseudoacceleration spectra. The SRSS-, 30%-, 40%- and one of the IBC- rules are examined.

Critical response , the largest one for all possible incident angles of the seismic components, is obtained by means of the CQC3-rule. The upper and lower bounds of ratio

are presented as a function of the spectral intensity ratio of the horizontal principal components and of the responses to one seismic component acting along each structural axis.

Analytical expressions are developed for the extreme bounds of the ratio , given a fixed spectral intensity ratio.

Key words: combination rules, multicomponent ground motions, seismic codes, critical response, CQC3, vertical seismic component.

INTRODUCCIÓN

Las normas de diseño sismorresistente, tanto la venezolana [COVENIN, 2001] como las extranjeras, por ejemplo el 1997 UBC [ICBO, 1997], el 2000 IBC [ICC, 2000] y el Eurocódigo-8 [CEN, 1998], requieren la consideración de la acción simultánea de las tres componentes sísmicas de movimiento de traslación del terreno. En el marco del método de análisis espectral las respuestas máximas probables suelen calcularse según diversas reglas de combinación a sismos multicomponentes, tales como la regla de la Raíz Cuadrada de la Suma de Cuadrados (RCSC), o las reglas del 30% y del 40%.

Las reglas RCSC y del 30% son estipuladas por COVENIN y el Eurocódigo-8, mientras que en el 1997-UBC y el 2000-IBC estas reglas se aplican a las 2 componentes horizontales y el efecto de la componente vertical se incorpora aparte mediante un término lineal en las combinaciones de diseño. Estas normas suponen que una componente sísmica principal es vertical y que las dos componentes horizontales tienen intensidades similares; además la práctica de diseño normalmente considera que los tres componentes actúan a lo largo de los ejes estructurales. Sin embargo, aún manteniéndonos dentro del método de análisis espectral, es posible refinar la estimación de las respuestas máximas probables para una probabilidad de excedencia establecida.

Podemos tomar en cuenta el hecho de que las dos componentes horizontales principales tienen distintas intensidades y que pueden incidir con cualquier ángulo respecto a los ejes estructurales, (Figura 1), e incluso la posibilidad de que una componente principal no sea exactamente vertical (Figura 1(a)). Con este objetivo han sido desarrolladas algunas reglas de combinación; la regla denominada CQC3 ("Complete Quadratic Combination with 3 components") infiere la respuesta crítica como la mayor respuesta considerando todos los posibles ángulos de incidencia de las componentes horizontales, teniendo éstas espectros proporcionales de intensidades diferentes, y bajo el supuesto que una componente principal sea vertical (Figura 1(b)) [Smeby y Der Kiureghian, 1985; Menun y Der Kiureghian, 1998; López y Torres, 1997]. En el caso de que se considere la posibilidad de desviación de una componente principal respecto del eje vertical puede aplicarse una reciente generalización de este criterio, la regla GCQC3 ("Generalized Complete Quadratic Combination with 3 components") [López y Hernández, 2001 a; Hernández y López, 2002 a], la cual suministra la respuesta máxima para todas las direcciones posibles de las componentes cuasi-vertical y cuasi-horizontales.

Figura 1. Direcciones principales (1, 2, 3) del movimiento sísmico y direcciones (X, Y, Z) de los ejes estructurales; (a) Caso general; (b) Caso de una dirección principal

vertical y dos direcciones principales horizontales

En un trabajo anterior se evaluaron varias reglas de combinación de las componentes sísmicas comparándolas con la respuesta crítica dada por la regla CQC3, en el supuesto de que los efectos de la componente vertical en la respuesta estructural estudiada sean despreciables [López et al., 2001; López y Hernández, 2001 b]. Para el caso más general en que la respuesta estructural a una componente sísmica vertical no es nula, este artículo se propone comparar los resultados de aplicar los criterios normativos de combinación mencionados al comienzo, con respecto a la respuesta crítica dada por la regla CQC3. Considerando la acción simultánea de las tres componentes sísmicas, se logra así evaluar los efectos peculiares de la direccionalidad de las componentes sísmicas horizontales principales y su distinta intensidad, respecto a la usual omisión de este fenómeno. Se amplía así el programa de estudio de los efectos de la direccionalidad de las componentes sísmicas, llevado a cabo a través del conjunto de referencias citadas. Estos resultados se presentan también en un par de artículos conexos [Hernández y López, 2002 b; Hernández y López, 2003], en los cuales se incluyen además los resultados correspondientes a la consideración de que la componente principal 3 pueda sufrir una desviación del eje vertical. Igualmente estos últimos resultados se presentarán en español en un trabajo paralelo a éste.

2. MOVIMIENTOS SÍSMICOS

El movimiento sísmico de traslación se puede describir a lo largo de tres ejes principales 1, 2 y 3, (Figura 1), cuyas aceleraciones no están correlacionadas [Penzien y Watabe, 1975]. Llamamos 1 a la dirección de la mayor componente cuasi-horizontal, 2 a la dirección de la menor componente cuasi-horizontal y 3 a la dirección de la componente cuasi-vertical (la más cercana al eje vertical). En muchos casos la desviación (ψ ) entre esta componente y el eje vertical es despreciable, y por tanto en este trabajo se toma ψ = 0°. Sin embargo, en ocasiones ψ puede tomar valores significativos, posibilidad que se considera en la referencia Hernαndez y Lσpez, 2003. En el caso que nos ocupa basta considerar el αngulo θ para precisar la posiciσn de las componentes sνsmicas principales (Figura 1(b)).

Figura 2. Intensidad espectral suavizada, γ2, entre las componentes sísmicas horizontales menor y mayor

Para la aplicación del método de análisis espectral cada componente k se describe mediante un espectro de pseudoaceleraciones. Simplificadamente, suponemos que los

espectros de las componentes horizontales son proporcionales entre sí, tomando a como el espectro correspondiente a la componente 2, donde T es el periodo de vibración y

es el espectro de la componente 1. Denominamos intensidad espectral al parámetro

. El error en las respuestas, proveniente de suponer espectros proporcionales, suele ser pequeño dado que dichas respuestas están principalmente contenidas en un modo dominante. Esta simplificación tiene la ventaja de permitir la realización de evaluaciones paramétricas, que es el objetivo principal de este trabajo. Para la componente vertical empleamos el

espectro .

Podemos utilizar valores razonables de la intensidad espectral entre las componentes sísmicas horizontales a partir de un reciente estudio estadístico [López y Hernández, 2002; López et al., 2002]. En la Figura 2 se observan los valores medios suavizados obtenidos para

los casos de sismos cercanos y lejanos; en general los valores de oscilan entre 0.5 y 0.8 aproximadamente.

3. RESPUESTA CRÍTICA ANTE DOS COMPONENTES SÍSMICAS HORIZONTALES Y UNA VERTICAL

Consideramos una respuesta estructural que pueda expresarse como combinación lineal de los desplazamientos generalizados de un sistema elástico de m grados de libertad. Llamamos r

al valor máximo probable de la respuesta. Particularmente definimos a y como las respuestas máximas probables a una única componente sísmica de espectro aplicada

sucesivamente según los ejes X y Y, respectivamente. Y denominamos a la respuesta

máxima probable ante la aplicación de la componente sísmica de espectro .

Las respuestas , y las calculamos con la regla CQC ("Complete Quadratic Combination") [Chopra, 2001]:

, , (1a-c)

El término cruzado de las respuestas y se define como:

(2)

En las expresiones (1) y (2) es la respuesta máxima probable del modo de vibración i,

ante la componente sísmica de espectro aplicada según la dirección k (k = X, Y) y es

la correspondiente respuesta ante la componente sísmica de dirección y espectro ,

tomadas todas con su respectivo signo algebraico; es el coeficiente de correlación modal entre los modos i y j.

Admitiendo que los espectros de las componentes principales horizontales guardan la

relación de proporcionalidad , la respuesta máxima probable ante las tres componentes conjuntas puede ponerse en función del ángulo de incidencia θ usando la regla CQC3 [Smeby y Der Kiureghian, 1985; Menun y Der Kiureghian, 1998; López y Torres, 1997]:

(3)

La respuesta crítica, definida como el máximo valor de r considerando todos los valores posibles de θ , y el correspondiente αngulo crνtico para el cual ocurre, vienen dados por [Anastassiadis et al., 1998; Lσpez et al., 2000]:

(4a)

(4b)

4. REGLAS DE COMBINACIÓN NORMATIVAS PARA DISEÑO CON TRES COMPONENTES SÍSMICAS

Se examinan aquí las siguientes reglas de combinación a sismos multicomponentes: la regla de la Raíz Cuadrada de la Suma de Cuadrados (RCSC), la regla del 30%, la regla del 40% y una de las reglas especificadas en el UBC 1997 y el IBC 2000, la cual designamos como regla IBC#1. Las dos primeras se prescriben en el Eurocódigo 8, COVENIN 2001 y en otras normas. La regla del 40% se recomienda para el análisis de plantas nucleares [ASCE, 1986] y de puentes [Nutt, 1996]. En [Hernández y López, 2003] se estudia también otra regla (IBC#2) especificada en el UBC 1997 y el IBC 2000. Conviene destacar que en todas las reglas de combinación de las normativas actuales se omite la consideración de la relación de intensidad

espectral, , entre las componentes sísmicas horizontales.

El valor de la respuesta combinada calculada utilizando cualquiera de estas reglas de

combinación la llamaremos "respuesta estimada" y la designaremos con ; ella depende de las respuestas máximas probables ante una única componente sísmica actuando a lo largo de

los ejes estructurales, , y , dadas por las expresiones (1a), (1b) y (1c),

respectivamente. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que , y con la finalidad de normalizar las expresiones definimos las siguientes razones de respuesta:

; (5)

4.1 Regla de la RCSC

La aplicación de esta regla equivale a suponer que las respuestas a cada componente sísmica en la dirección de los ejes estructurales son estadísticamente independientes, y que ambas componentes horizontales tienen la misma intensidad espectral:

(6)

4.2 Regla del 30%

Esta regla es una aproximación lineal que supone componentes sísmicas horizontales de igual intensidad y no correlacionadas entre sí [Rosenblueth y Contreras, 1977]:

(7)

4.3 Regla del 40%

Esta regla igualmente supone componentes sísmicas horizontales de igual intensidad no correlacionadas. Pretende ser conservadora para la mayoría de los casos [Newmark, 1975]:

(8)

4.4 Regla IBC#1

Una de las reglas prescritas en el IBC combina las respuestas a las dos componentes horizontales mediante la regla de la RCSC, y añade al resultado (tras multiplicarlo por cierto coeficiente de redundancia estructural ρ ) la contribuciσn de la componente vertical, la cual es

estimada en , donde es la respuesta a carga permanente, y es la aceleración espectral horizontal para periodos cortos. Esto equivale a adoptar como espectro para la

componente vertical a 2/3 del espectro de las componentes horizontales, , y tomar luego 30% de su valor como contribución simultánea de la componente vertical:

. Por consiguiente, la respuesta combinada (tomando ) se puede escribir como:

(9)

5. COMPARACIÓN ENTRE LAS RESPUESTAS ESTIMADAS Y LA CRÍTICA

Comparamos la respuesta estimada, , obtenida con cada una de las reglas de combinación normativas (expresiones (6) -( 9)) con la respuesta crítica calculada con la regla

CQC3 (expresión (4)). Realizamos evaluaciones para los valores extremos aproximados de ,

0.5 y 0.8 (Figura 2), y para el valor intermedio . Presentamos los valores máximo y

mínimo de la relación , la cual corresponde a los valores mínimo y máximo de la

respuesta crítica , respectivamente. Estos valores, y se determinan con la

expresión (4) para los casos y respectivamente, los cuales corresponden a las situaciones extremas de correlación nula y correlación perfecta entre las respuestas rx y ry [López et al., 2000]:

(10a,b)

Observemos que las respuestas estimadas (expresiones (6) -( 9)) tienen la forma

, donde f representa una relación funcional genérica. Por tanto, para valores

prefijados de β y tenemos:

(11a)

(11b)

donde y representan relaciones funcionales. Si ahora consideramos toda la variación

posible de los parámetros β y , manteniendo constante , obtenemos las cotas inferior y

superior del cociente correspondientes a cada :

(12)

Es decir, la cota superior es una relación funcional S que depende de , mientras que la cota inferior I es independiente de este parámetro. La función S y la constante I

evidentemente están relacionadas con la función f que define , es decir son particulares de

cada criterio de combinación. En lo que sigue hablaremos de subestimación de cuando la

respuesta estimada sea menor que aquella, y de sobreestimación cuando sea mayor.

Nótese que los casos particulares que se obtengan de la expresión (12) serán válidos para cualquier sistema estructural y cualesquiera formas espectrales (con espectros horizontales

proporcionales). Las razones de respuesta β y engloban las propiedades de cualquier

respuesta, las intensidades relativas de los espectros horizontales se incorporan en , mientras que la intensidad relativa entre la componente vertical y las horizontales está incluida

en .

Cuando diremos que la respuesta estimada subestima la respuesta crítica, y

cuando diremos que la sobreestima.

5.1 Regla de la RCSC

En la regla de la RCSC, (expresión (6)) es igual a (expresión (10b)). Por tanto

, y esta regla siempre sobreestima la respuesta crítica (Figura 3(a)). En las

Figuras 3(b), 3(c) y 3(d) se presentan las variaciones de la relación en función de β ,

para valores de comprendidos entre 0 y 10, y para los casos de igual 0.5, 0.65 y 0.8.

Los mayores valores de ocurren para valores pequeños de y para el menor

valor de . Para valores grandes de la respuesta calculada con la RCSC tiende a la

respuesta crítica . Mediante manipulación algebraica de la expresión (12), usando las

funciones f, y derivadas de la expresión (6), obtenemos las siguientes cotas inferior y

superior de la relación para el conjunto de valores posibles de β y y un valor fijo de :

; (13)

Para esta regla las cotas superior e inferior son iguales a las correspondientes al caso de respuesta vertical nula [López et al., 2001; López y Hernández, 2001 b], ya que éste es el

caso más desfavorable. La máxima sobreestimación encontrada es 26.5% para ;

mientras que para las mayores sobreestimaciones son 18.6% y 10.4%, respectivamente.

Figura 3. Cotas de para la regla de la RCSC: (a) para todo ; ( b)

para = 0.5; (c) para = 0.65; (d) para = 0.8

5.2 Regla del 30%

Al aplicar la regla del 30% resultan subestimaciones o sobreestimaciones de dependiendo

de los valores de los parámetros β, y . La Figura 4 muestra las variaciones de y

en función de β , para valores de entre 0 y 10, y igual a 0.5, 0.65 y 0.8.

El cociente puede aumentar o disminuir por efecto de la respuesta a la componente

vertical ( >0) respecto del caso con dicha respuesta nula detallada en [López et al.,

2001; López y Hernández, 2001 b]. En general los valores de tienden a crecer al

pasar de 0 a ~0.3; disminuyen con de ~0.3 a 1; vuelven a crecer para de 1 a ~3,

para tender a 1 con valores grandes de . Mediante manipulación algebraica de la

expresión (12), usando las funciones f, y derivadas de la expresión (7), obtenemos las

siguientes cotas inferior y superior de la relación para el conjunto de valores posibles de β y y

un valor determinado de :

; (14)

Figura 4. Cotas de para la regla del 30%: (a) para todo γ 2 ; ( b)

para = 0.5; (c) para = 0.65; (d) para = 0.8.

La cota inferior es igual a la del caso de respuesta vertical nula [López et al., 2001; López y Hernández, 2001 b] mientras que la cota superior es una función cercana a la de ese caso

. Las subestimaciones no pasan de 8.1%, mientras que las

sobreestimaciones alcanzan hasta un 20.1% cuando , un 14.1% para , y un

10.9% para .

5.3 Regla del 40%

Aplicando la regla del 40% siempre resultan sobreestimaciones de , salvo pocos casos

con subestimaciones escasas. La Figura 5 muestra las variaciones de y en

función de β , para valores de entre 0 y 10, y igual a 0.5, 0.65 y 0.8. El cociente

puede aumentar o disminuir por efecto de la respuesta a la componente vertical

respecto del caso con dicha respuesta nula detallada en [López et al., 2001; López y

Hernández, 2001 b]. Los valores de tienden a crecer al pasar de 0 a ~0.4;

disminuyen con de ~0.4 a 1; vuelven a crecer para de 1 a ~2, para tender a 1

con valores grandes de .

Mediante manipulación algebraica de la expresión (12), usando las funciones f, y derivadas de la expresión (8), obtenemos las siguientes cotas inferior y superior de la relación

para el conjunto de valores posibles de β y y un valor prefijado de :

; (15).

Figura 5. Cotas de para la regla del 40%: (a) para todo ; ( b)

para = 0.5; (c) para = 0.65; (d) para = 0.8

La cota inferior es igual a la del caso de respuesta vertical nula [López et al., 2001; López y Hernández, 2001 b], mientras que la cota superior es una función cercana a la de ese caso

. Las subestimaciones nunca sobrepasan el 1%, mientras que las

sobreestimaciones pueden ir desde un 31.5% cuando , un 24% para , hasta

un 18.7% para .

5.4 Regla IBC#1

Los resultados presentados en la Figura 6 indican que la regla IBC#1 sobreestima la

respuesta crítica para pequeños , pero conduce a grandes subestimaciones para valores

grandes del mismo. La sobreestimación aumenta al variar de 0 a ~0.3, para disminuir luego

con mayores valores de . Para =1 la mayor subestimación es solo de 8.1%, pero se

incrementa en gran medida para valores grandes de .

Figura 6. Cotas de para la regla IBC#1 : (a) para todo ; ( b)

para = 0.5; (c) para = 0.65; (d) para = 0.8

Mediante manipulación algebraica de la expresión (12), usando las funciones f, y derivadas de la expresión (9), obtenemos las siguientes cotas inferior y superior de la relación

para el conjunto de valores posibles de β y y un valor prefijado de :

; (16)

La tan pequeña cota inferior está gobernada por el término de la expresión (9); la cota superior se aproxima linealmente pues la expresión exacta es muy compleja. Las subestimaciones pueden llegar a valer tanto como 70%, mientras que las sobreestimaciones

pueden llegar hasta un máximo de 30% cuando , un 22.3% para , y 14.4%

para . Es de interés observar que para valores grandes de esta regla subestima la respuesta crítica en todas las situaciones. Estas situaciones de subestimación se compensan parcialmente mediante las combinaciones de diseño normativas, gracias a la adición de las correspondientes solicitaciones gravitacionales a cada solicitación sísmica, conduciendo a una menor subestimación de las solicitaciones combinadas que de una solicitación sísmica aislada.

6. EJEMPLO

A continuación ilustramos las comparaciones de las reglas de combinación sísmicas mediante un caso sencillo pero de características reales. Sea una plataforma de un piso formada por una losa rectangular de lados 8.00 m y 5.00 m y espesor 0.17 m, apoyada en cuatro vigas que a su vez apoyan en cuatro columnas de 4 m de altura (Figura 7). La sección de las vigas es de 0.40 m de ancho por 0.65 m de altura, y la de las columnas es de 0.60 m por lado. El material de los elementos estructurales es concreto armado con f'c = 27.5 MPa. La plataforma se diseña para soportar equipos con una carga distribuida de 5.64 kN/m2 en el área de la losa y una carga concentrada de 480 kN en el centro de la misma.

Conviene anotar que en un modelo de un piso puede evaluarse el comportamiento de prácticamente cualquier tipo de respuesta, respecto al problema que nos ocupa. Lo que interesa evaluar es la sensibilidad a la componente vertical del sismo y a las direcciones de incidencia de las componentes sísmicas. Ella depende de la razón de las respuestas a la

componente vertical y a la componente horizontal mayor, , y de la correlación entre las

respuestas a cada par de componentes horizontales, . Estos parámetros pueden tomar el mismo rango de valores en edificaciones de un piso y de varios pisos. En consecuencia, los resultados que se muestren con un sistema de un piso son semejantes a los que se obtendrían con sistemas de varios pisos.

Figura 7. Planta de plataforma de un piso

Consideramos la estructura sometida a un sismo cercano con tres componentes, dos horizontales que pueden obrar según cualquier dirección en su plano y una vertical (Figura

1(b)). Definimos el espectro en términos de pseudoaceleración (Figura 8(a)) para la aceleración, velocidad y desplazamientos picos del terreno iguales a 0.5 g, 61 cm/seg y 45.7 cm respectivamente, percentil de 84.1 % y coeficiente de amortiguamiento de 5 %. La

componente sísmica 1 está caracterizada por el espectro y la componente 2 por

donde la tomamos de la línea de campo cercano de la Figura 2. Igualmente

utilizamos un espectro típico de campo cercano (Figura 8(b)) para caracterizar a la componente vertical .

Figura 8. Espectros de pseudoaceleración para campo cercano: (a) de la componente mayor horizontal 1; (b) de la componente vertical 3=Z

TABLA 1. Modos significativos y sus valores básicos

Modo

(i)

(seg)

Valores espectrales Masas participativas

(%)

Intensidad

espectral X Y Z

1 0.2874 1.355 0.701 1.200 0 84.58 0

2 0.2632 1.355 0.701 1.200 0 0 62.99

3 0.2276 1.355 0.701 1.200 94.92 0 0

6 0.0834 0.981 0.797 1.046 0 15.37 0

7 0.0713 0.871 0.788 0.934 5.07 0 0

9 0.0551 0.726 0.776 0.783 0 0 6.36

10 0.0312 0.500 0.751 0.561 0 0 10.86

21 0.0095 0.500 0.724 0.550 0 0 19.52

El sistema estructural se modeló tomando 9 nodos desplazables de una malla de elementos de losa de 4 m x 2.5 m (Figura 7), para un total de 27 grados de libertad, con elementos finitos planos para la losa y elementos lineales para las vigas y columnas. En la Tabla 1 se exponen los periodos propios significativos con sus respectivas masas participativas a cada

componente sísmica y los valores espectrales ante los espectros y .

Como respuestas r a estudiar escogemos: a) la fuerza axial de la columna inferior izquierda de la Figura 7 (tomada positiva para compresión); b) la fuerza cortante de dirección X en la misma columna; c) el momento flector según el eje X en el tope de la misma columna; d) la fuerza cortante de dirección Z en un extremo de la viga inferior de dirección X; y e) el momento flector según el eje Y de la misma viga.

En la Tabla 2 se presentan las respuestas de los modos de vibración i ante cada

componente sísmica horizontal (k = X, Y) de espectro , y las respuestas de los modos i

ante la componente vertical de espectro .

TABLA 2. Valores de las respuestas modales espectrales

RESPUESTA Direc. comp. sísm.

M O D O S D E V I B R A C I Ó N

1 2 3 6 7 9 10 21

Fuerza axial en columna (kN)

0 0 111.33 0 3.97 0 0.12 0.10

175.64 0 0 24.81 0 0 0 0.20

0 178.02 0 0 0 11.73 14.36 25.28

Fuerza cortante X en columna (kN)

0 0 302.93 0 10.41 0 0 0

5.74 0 0 1.11 0 0 0 0

0 101.90 0 0 0 6.77 0.19 0.19

Momento flector X en tope de columna (mkN)

0 0 4.64 0 0.18 0 0.09 0.004

437.53 0 0 57.49 0 0 0 0

0 120.78 0 0 0 2.91 11.29 0.94

Fuerza cortante vertical en viga (kN)

0 0 100.67 0 3.46 0 0 0

7.60 0 0 2.19 0 0 0 0

0 129.21 0 0 0 11.27 0.03 0.31

Momento flector Y en extremo de viga (mkN)

0 0 402.39 0 13.83 0 0 0

13.68 0 0 3.56 0 0 0 0

0 195.32 0 0 0 18.34 0.06 0.51

A partir de los valores modales de la Tabla 2, en primer lugar calculamos las respuestas máximas probables dadas por la expresión (1) y el término cruzado de la expresión (2), ante las componentes sísmicas actuando por separado. Los valores de las respuestas y la raíz cuadrada del término cruzado (que tiene la misma unidad de las respuestas) se muestran en la

Tabla 3, junto con las razones de respuesta (expresión (5); cuando , debemos usar

y ). Luego calculamos las respuestas críticas , de acuerdo con la regla

CQC3 (expresión (4a) ), las cuales se presentan junto con sus ángulos críticos asociados

(expresión (4b) ). Para su aplicación utilizamos , correspondiente a los modos de mayor participación.

TABLA 3. Respuestas máximas probables

RESPUESTA Componentes separadas Razones de respuesta

Valores críticos. Componentes simultáneas

β


111.42 177.49 110.38 182.59 0.628 1.029 64.04º 271.96


303.17 5.85 32.96 102.14 0.019 0.337 0.68º 319.95


4.64 441.55 35.56 121.43 0.011 0.275 89.63º 457.96


100.75 7.92 21.94 129.72 0.079 1.288 2.73º 164.38


402.70 14.15 58.78 196.21 0.035 0.487 1.22º 448.11

Los valores de la Tabla 2 se calcularon mediante el programa de computación SAP2000 [Computers and Structures, 1999]. Para obtener los términos cruzados, y a partir de ellos la respuesta crítica (Tabla 3), se requiere de un cálculo suplementario que no es provisto por el

programa. Conviene anotar que si en lugar de utilizar el valor constante calculáramos

la respuesta crítica "exacta" considerando los espectros exactos ( variable) [Anastassiadis et al., 1998; López y Torres, 1997] obtendríamos resultados semejantes. Por ejemplo para el

caso de la fuerza axial en la columna ese cálculo conduce a para un ángulo

crítico . Como se puede comprobar, estos dos valores son muy cercanos a los dados por la regla CQC3 en la Tabla 3.

Observemos que la fuerza axial en la columna es bastante sensible a la dirección de las componentes sísmicas horizontales, estando el ángulo crítico en una posición intermedia entre

los ejes X y Y; ésto se debe a que las respuestas y tienen valores semejantes y el término

cruzado es relativamente grande. Por el contrario para las otras respuestas estudiadas es predominante la acción en una dirección principal, y en consecuencia el ángulo crítico casi coincide con los ejes X o Y. En cuanto a la importancia de la respuesta a la componente

vertical hemos obtenido una gama de valores que van desde 0.275 a 1.288, configurando una variedad de casos, desde ser poco influyente a ser dominante.

Calculamos ahora los valores de para cada regla normativa, aplicando las expresiones (6)

a (9) con los valores de , y . Se presentan en la Tabla 4 junto con el cociente , el cual nos indica el grado de precisión de la estimación de cada regla de combinación. Podemos

comprobar que los valores obtenidos de están comprendidos entre los valores de

y establecidos en la Sección 5, interpolando adecuadamente en las Figuras (3),(4),(5),(6). Notemos que para las respuestas estudiadas: a) la regla de la RCSC da resultados casi exactos; b) la regla del 30% deriva en pequeñas subestimaciones o algo

mayores sobreestimaciones, las cuales se producen cuando es cercano a 0.3, tal como se observó en la Figura 4; c) la regla del 40 % es siempre conservadora; y d) la regla del IBC#1

es conservadora para valores pequeños de , pero puede conducir a subestimaciones

importantes cuando es superior a 1. En todo caso, en esta estructura la particular correlación entre las respuestas a las componentes sísmicas conduce a que las estimaciones de las reglas estén más cerca de sus valores mínimos posibles que de los máximos posibles.

TABLA 4. Respuestas estimadas y su relación con la respuesta crítica.

RESPUESTA R E G L A N O R M A T I V A

SRSS 30% 40% IBC#1


277.95 1.020 269.26 0.990 298.15 1.096 264.34 0.972


319.96 1.000 335.56 1.049 346.36 1.083 333.87 1.044


457.97 1.000 479.37 1.047 491.98 1.074 478.00 1.044


164.44 1.000 162.32 0.987 173.19 1.054 139.98 0.852


448.19 1.000 465.81 1.039 486.85 1.086 461.82 1.031

7. CONCLUSIONES

Se evaluaron varias reglas normativas utilizadas para combinar las respuestas a tres componentes sísmicas, dentro del marco del método de análisis espectral. Se consideró el caso usual de que una componente principal es vertical, mientras que las dos componentes horizontales principales se supuso que pueden tener cualquier orientación en el plano. Se tomó

en cuenta la posible diferencia de intensidad espectral entre las dos componentes horizontales principales.

Las respuestas estimadas por las reglas normativas se compararon con la respuesta

crítica calculada más exactamente mediante la regla CQC3, la cual provee la máxima

respuesta para todos los ángulos de incidencia posibles y una intensidad espectral dada. Se

estudiaron las cotas máxima y mínima de la relación considerando todos los valores posibles de la relación entre las respuestas a componentes horizontales ortogonales, para los diferentes casos de intensidad espectral y los diversos grados de respuesta a la componente

vertical ( ). Los resultados presentados son válidos para cualquier sistema estructural y cualesquiera espectros de respuesta.

Se desarrollaron expresiones analíticas para los extremos superior e inferior de la relación

, para cada regla normativa estudiada, válidas para toda la variación posible de grados

de respuesta a la componente vertical, pero particularizadas a una intensidad espectral fija. Por otro lado, se presentaron gráficamente resultados que muestran la variación del cociente

en función de la relación β entre las respuestas a componentes horizontales ortogonales

y del grado de respuesta a la componente vertical para diversas intensidades espectrales

representativas.

Para valores de la intensidad espectral comprendidos entre 0.5 y 0.8, encontramos que las respuestas estimadas por la regla de la RCSC están entre 1 y 1.26 veces la respuesta crítica, las estimadas por la regla del 30% entre 0.92 y 1.20, las estimadas por la regla del 40% entre 0.99 y 1.32 y las estimadas por la regla IBC#1 entre 0.30 y 1.30 veces dicha respuesta.

Con respecto a la ausencia de respuesta a la componente vertical, el efecto de su presencia

en la relación es el de: a) disminuirla para la regla de la RCSC; b) aumentarla o disminuirla para las reglas del 30% y del 40%; c) aumentarla ligeramente para la regla IBC#1

cuando dicha respuesta es pequeña, pero disminuirla enormemente cuando la misma es significativa.

Nótese que las reglas de la RCSC y del 40% son conservadoras, la regla del 30 % está en una situación intermedia entre conservadora y liberal, mientras que la regla IBC#1 puede ser extraordinariamente poco conservadora. Las situaciones de subestimación de esta regla resultan algo compensadas mediante las combinaciones de diseño normativas, debido a la adición de las solicitaciones gravitacionales a las solicitaciones sísmicas; una evaluación del grado de precisión de las solicitaciones combinadas requiere estudios adicionales.

El análisis de un ejemplo con una estructura sencilla corroboró los resultados teóricos respecto al rango de estimaciones, con cierta cercanía a los valores mínimos debido a la particular correlación entre las respuestas a las componentes sísmicas separadas.

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9. RECONOCIMIENTO

Los autores manifiestan su agradecimiento al financiamiento parcial otorgado por el Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Tecnológicas, CONICIT, Venezuela, bajo el Proyecto Nº S1-2000000606.

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