Evaluación de Una Sumatoria
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7/26/2019 Evaluacin de Una Sumatoria
1/7
SUMATORIAS
1) Desarrolla las siguientes sumatorias:
.- Escriba en forma abierta cada una de las sumas que se indican
2) Escribe en forma de sumatoria:
-
7/26/2019 Evaluacin de Una Sumatoria
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3) Desarrolla las siguientes sumatorias:
4) Calcula las siguientes sumatorias:
5) Calcula las siguientes sumatorias:
6) Aplica la propiedad telescpica:
-
7/26/2019 Evaluacin de Una Sumatoria
3/7
Evaluacin de una sumatoria
Determinar la sumatoria
=
4
1
23
k
kk )(
Solucin:
En este caso
)( 32 = kka
k. Para evaluar la sumatoria, solo se sustituye, consecutivamente,
k
por losenteros 1,2,3 y 4 y se suman los trminos resultantes
=
4
1
23
k
kk )(
=
+ )( 3112 )( 322 2 +
)( 3332
+
)( 3442
=
16042 +++ )(=1
Teoremas
Teorema 1 de la suma de una constante
=
=n
k
ncc1
E!emplo 1.
=
==+++=4
1
287477777
k
Ejemplo 2.
=
=10
1
10
k
Teorema 2
=
+=n
mk
cmnc )( 1
E!emplo:
( ) 4!6!138!8
3
==+==k
( )=
==+=20
10
1111020
k
-
7/26/2019 Evaluacin de Una Sumatoria
4/7
E"aluar
++
=+=
3
0
0
10
2
1
2
k
k
k 11
21
++
12
22
++
13
23
+
3
162
3
411 =+++=
"eorema 3 ,4 y # considere $ue:
naaaa ,.......,,
321
%% y adem&s
nbbbb ,.......,,
321
%.. son sucesionesin'initas, entonces, para todo n(mero entero positivo
"eorema 3 === +=+
n
kk
n
kk
n
kkk
baba111
)(
"eorema 4
===
=n
k
k
n
k
k
n
k
kk baba
111
)(
"eorema #
=
==
n
k
k
n
k
k acca11
para todo n(mero realEval(a la sumatoria
1)
=
1
72
k
k
=
Solucin
=
1
72
k
k
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )72742732722712 ++++
( ) ( ) ( ) ( ) ( )71078767472 ++++=
3113 ++++=
=
*sando propiedades se otiene
1.
=
1
72
k
k
=
= =
1
1
72
k k
k
72
62
=
330=
=
2. =
6
3 1
k k
k
=16
6
1
14
4
13
3
+
+
+
6
1
4
0
3
1
2
2
++
+
=
6
7
=
E!ercicios
1.
=
=2
1
3
i
2.
( )==
32
14
n
n
3.
( )=+=
4
1
12
k
k
-
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5/7
4.
==
1
2
k
k
#.
( )=
=4
1
21
k
kk
.
=
+
=
3
1
12
k k
-.
( )==
4
1
1
k
k
.
=
=+
4
1 1k k
k
/.
( ) ==
6
1
1
i
i
1.
=+=
2 22n nn
11.
=
=8
3k
n
12.
==
6
2
2
s s
13.==
6
0
10
k
k
14.
==
3
1
2
2
n
k
k
1#.
==
4
0
3
k
k
1.
=
=40
1
2
k
k
1-.
( )=
24
1
23
n
n
1.
==
34
k
0espuestas:1 2 3 4 # - /-# 2.44 24 ## 4 / --
60
163
1 11 12 13 14 1# 1 1- 1
-
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140
61 n6
10
2! 1,111111 2
23
k
k
81
121 22.14 #2 1.13#
Propiedad Telescpica
Si
{ }nn
a
es una sucesin, la suma de las di'erencias de sus trminos consecutivos est& dada por:
= ++ =N
Mk
Mnkk aaaa 11 )(
Propiedad $ue se conoce como propiedad telescpica)ota:a propiedad telescpica se aplica sore la di'erencia de dos trminos consecutivos de una sucesin,independiente del orden en $ue estos se restan.E!emplo
1.
( )11 +
=+ = nM
N
Mk
kk aaaa
2.( ) 432 23 +++= ++ =
pN
N
piii
aaaa
Ejercicios resueltos
1.
( )=
+48
1
1
k
kk
=
61714!1148 ===+
2.
=
+
=100
1 12
1
12
1
k kk
Se puede aplicar la propiedad telescpica5
S6 por$ue la sumatoria dada es sore la di'erencia de dos trminos consecutivos de la sucesin Si
12
1
=
kak
entonces
12
1
112
1
1 +=
+=+
kka
k)(
)
=
+
=100
1 12
1
12
1
k kk 201
200
201
11
11002
1
12
1==
+
E!ercicios
1.
=
=
+
13
1
1
k kk
2.
=
=20
4
1
3
1
k kk
3.
( )[ ]=+=
10
33
1
k
kk
4.
=
=
13
2 22
1
2
1
n nn
#.
=
+=
40
14 12
3
12
3
j jj
-
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7/7
.
( )=
+ =8
1
133
j
jj
0espuestas1 2 3 4 #
14
6
17
16
1.2
13
6
27
21/.
