Evolución de La Lógica

Gustavo Martnez Villalobos

EVOLUCIN DE LA LGICA: Pasado, Presente y Futuro

Introduccin

Es difcil saber cundo y dnde se inici el estudio de la lgica, no obstante que hay una gran cantidad de informacin sobre sus orgenes, en particular en Internet. Al tratar de ubicar un origen de la lgica, se llega a la conclusin de que (como en el caso de todas las ciencias), ste ocurre durante la aparicin del hombre primitivo. En efecto, siendo la Lgica una ciencia del razonamiento y de la inferencia es sensato pensar que con el surgimiento del primer hombre con capacidad de razonar y obtener deducciones o inferencias, erradas o no, en ese mismo momento apareci la semilla de la lgica. De hecho, se ha distinguido al hombre (o creemos distinguirlo) del resto de los animales por sus capacidades de razonamiento lgico, o capacidades del pensamiento - capacidades lgicas-, sto es, razonar, deducir o inferir tal cosa ha ocurrido porque el hombre mismo ha establecido (unilateralmente) que es precisamente l, quien tiene la capacidad de razonamiento ms alta del reino animal.

Aqu se presenta una cuestin de debate. La lgica ha sido inventada creada por el ser humano, o bien, ha sido descubierta por l?. Si tomamos una primera posicin, podramos decir que el ser humano poco a poco fue creando mecanismos para explicar el mundo que le rodeaba, incluyendo su futuro inmediato; esto significa que en esto el hombre buscaba tambin realizar predicciones y deducir las razones por las cuales las cosas ocurran de una y no de otra manera. Estas deducciones y predicciones no son entonces ms que explicaciones de eventos pasados, presentes y futuros. Hay que entender que el mundo que rodeaba al hombre primitivo comprenda tambin mitos y deidades creados por l mismo, de modo que el hombre buscaba explicaciones que incluan a mitos que l mismo haba creado. Es por ello que el


hombre requiri un sistema totalmente imparcial, para el anlisis de la verdad de un conjunto de proposiciones reales o imaginarias, el cual pueda realizar por lo menos las siguientes funciones vlidas:

1) Indicar si el conjunto es consistente. Es decir, no hay proposiciones que se contradicen unas a otras.

2) Realizar deducciones de otras proposiciones verdaderas a partir del conjunto de proposiciones.

3) Inferir proposiciones que en otro tiempo (normalmente el futuro) podrn ser verdaderas o falsas.

El sistema al que nos referimos es la LGICA. El hombre ha creado mucha lgicas, de forma que desde este punto de vista se puede decir que la lgica evoluciona, bien que la lgica ( lgicas creadas por l, evolucionan). Por otra parte, la LGICA es un sistema capaz de analizar cualquier conjunto de proposiciones para determinar si cumple con las funciones anteriores siendo capaz incluso de analizar si una lgica particular es adecuada para realizar se anlisis. Esto nos lleva a pensar que la LGICA debe ser nica ya que debe ser capaz de analizar cualquier otro sistema lgico (conocido no) y, en caso de que sea vlida su existencia, la LGICA ha existido siempre y el hombre, por lo tanto, no la inventa ni la crea, sino que descubre porciones de ella. Hay que sealar que GDEL propone algo similar, al plantear la METALGICA, como el sistema capaz de determinar propiedades de cualquier sistema lgico.

Nosotros en lo que sigue daremos una discusin de la evolucin de la lgica, es decir de la evolucin del ser humano hacia el descubrimiento de la LGICA. Para ello nos apoyaremos en informacin de centros e institutos de investigacin que consagran gran parte de su esfuerzo al estudio de la historia de las matemticas y por supuesto, al de la Lgica. Por otro lado, contar con direcciones sobre la evolucin de la lgica, tambin nos liga a las diversas reas de la lgica y de la lgica formal y a las principales aplicaciones en las Ciencias Computacionales. As mismo, consideramos que contar con esa informacin organizada, evocando en forma paralela a la historia y evolucin de la lgica, puede resultar de utilidad para quienes se adentran en esta rea.

En esta seccin presentamos la evolucin de la lgica, con base en la divisin de etapas que ha propuesto Henri Poincar y mostramos


informacin existente en Internet. Desde luego que se hace corriendo el riesgo de que alguno de estos enlaces desaparezcan en un momento dado, lo que obliga a que el documento se mantenga de tiempo en tiempo. El lector disculpar si uno o ms links no los encuentra en el momento de su lectura. Finalmente, dado que la lgica y las matemticas han estado relacionadas estrechamente, se presenta informacin acerca de ambas.

Historia de la Lgica en Internet

La Escuela de Matemticas y Ciencias Computacionales de la Universidad de St. Andrews en Escocia. cuenta con una coleccin de ms de 1.000 biografas y artculos histricos sobre matemticas. En particular, de la pgina Turmbull (o Mac Tutor) de la Universidad de St. Andrews, cuenta con diversos tpicos relacionados con la historia de las matemticas y desde luego con la lgica.

Henri Poincar, tambin presenta un anlisis interesante sobre la historia de la lgica. Poincar trata de conectar la lgica y las matemticas mediante aspectos derivados de sistemas de informacin Tecnolgica; muestra cmo sobre grandes pocas, el nfasis ha cambiado de rigor y formalidad a pragmatismos y creatividad. Poincar sugiere que en los ltimos aos ha habido una explosin creativa de aplicaciones poderosas de la lgica. Las cuatro grandes pocas de Poincar y para las cuales nosotros agregamos informacin que clarifique cada una, son:

PERIODO I : Nacimiento de la Matemticas y de la Lgica (600 a.c. - 300 a.c.)

Durante este perodo, los griegos establecieron las matemticas como proceso deductivo o de razonamiento lgico. A este perodo se le conoce tambin como el Perodo de los Matemticos Griegos Clsicos.

Del perodo de los matemticos Griegos Clsicos, uno de los ms conocidos fue PLATN, debido a sus famosos libros: "Los Dilogos" y la "Repblica", que siguen gustando a mucha gente hoy en da. Platn naci en Atenas en el ao de la Gran Plaga (aproximadamente en el ao 429 A. C.). En Los Dilogos, Platn describe un estado ideal y la forma


como los gobernantes ideales deberan ser educados, segn l, abarcando las siguientes reas: Aritmtica, Geometra Plana, Geometra Slida, Astronoma, Msica o Armona. Al parecer Platn gustaba mucho de la geometra, a tal grado que se dice que en la entrada de la academia haba un letrero que deca: "Ningn ignorante de Geometra entra aqu". Platn distingua entre crculos geomtricos e ideales, sealando que los primeros pueden ser trazados por el hombre ( algn dispositivo creado por l ) y por lo tanto, son imperfectos, mientras que los ideales no pueden ser trazados de ninguna manera, de forma tal que ni siquiera pueden ser vistos. De acuerdo con Platn, en los crculos ideales todas sus tangentes son tales que solo tocan un punto, mientras que en los crculos geomtricos no ocurre as.

El filsofo griego ms representativo de esta poca es, sin lugar a dudas, ARISTTELES, quien propuso el razonamiento deductivo a partir de los silogismos aristotlicos, los cuales son de la forma:

SI todos los HUMANOS son MORTALES AND Todos los GRIEGOS son HUMANOS

ENTONCES

Todos los GRIEGOS son MORTALES

Curiosamente Aristteles no era inicialmente un matemtico, sino ms bien un fsico y amante de la Anatoma. Su gran poder de observacin y capacidad deductiva lo llev, segn se cuenta, a tener rivalidad con su maestro PLATN , quien a su vez era un estudioso de PITGORAS de Samos (famoso por el teorema de Pitgoras) y discpulo de SCRATES. An cuando es comn referirse a Pitgoras como "de Samos", no se est muy seguro de que l haya nacido precisamente en Samos y hay quienes ubican su lugar de nacimiento en la costa de Asia menor.

PERODO II : Matemticas y Ciencia (1500 - 1800)

El vigor intelectual del renacimiento da pie a una nueva ciencia basada en las matemticas. De esta manera surge la geometra de coordenadas (llamada Geometra Analtica) de Ren Descartes (1596 - 1650 ) y el


Clculo Diferencial e Integral de Gottfried W. Von Leibinz. Descartes formulo cuatro reglas a las que se debe sujetar cualquier investigacin cinetifica:

* Solo puede admitirse como verdadero lo que es evidente y est demostrado.

* Es indispensable el dividir lo complejo en cuantas partes sea posible.

* Proceder de lo simple a lo complejo, de lo ms evidente a lo menos evidente.

* Investigar el objeto de estudio en todos sus detalles y pormenores.

PERODO III : Formalizacin de las Matemticas (1821 - 1940)

Durante el siglo XIX, las matemticas son rigorizadas, debido a la influencia de filsofos como Giuseppe Peano (1858-1932) y Hilbert, el primero fundador de la lgica simblica y el segundo creador de la escuela, cualquier enunciado verdadero debe poder ser deducido de los axiomas del sistema.

Peano realiza un anlisis del proceso demostrativo de la matemtica. Establece la formulacin axiomtica de la aritmtica a travs de sus famosos Axiomas de Peano, los cuales definen los nmeros naturales en trminos de la teora de conjuntos, surgiendo as, la Lgica Matemtica. Peano tambin crea el lenguaje internacional denominado interlinga tomando vocabulario del Ingles, Francs, alemn y Latn. An cuando Peano es el fundador de la Lgica Matemtica, es al alemn Gottlob Frege a quin se le considera el padre de la misma.

Nace en este perodo la lgica Booleana de George Boole (1815 - 1864). El entusiasmo por la Lgica Booleana, en la que slo se trabaja con dos valores: Falso y Verdadero (1 y 0). l introduce el lgebra de la lgica y formula las leyes del Clculo Proposicional.

Un avance importante se obtiene entonces con Augustus de Morgan (1806 - 1871), quien hace un anlisis de las leyes, smbolos y operaciones de la matemtica. Inventa la expresin "introduccin matemtica", expresa rigurosamente las leyes distributivas de la


generacin. Morgan obtiene las famosas leyes de Morgan usadas hasta el momento en los procesos de deduccin de la lgica moderna.

Surge el clculo de Secuentes de Gentzen, vigente hasta nuestros das y utilizado como mtodo de deduccin natural. Getnzen fue discpulo de eminentes matemticos como Courant, Landau e el propio Hilbert, para quin fungi como su asistente hasta 1934 en la Univeridad de Gottingen, en Alemania, y se cuenta que regres a trabajar con l de 1939 a 1943. El sistema de duduccin natural a Clculo de Secuentes ha sido objeto de estudio hasta nuestro das, por parte de los estudiosos de la demostracin automtica de teoremas en Inteligencia Artificial.

Sin embargo, en este perodo, los planteamientos de filsofos como Russell y Gdel plantean, de acuerdo con la lgica misma, limitaciones no slo a la lgica, sino a la ciencia en general: existen verdades que no pueden ser deducidas de todos los sistemas axiomticos (sistemas incompletos). Bertrand Russell realiz grandes contribuciones a la lgica formal, incluyendo su famosa paradoja de Russell, la cual es un golpe terrible a la teora de conjuntos clsica. En esta paradoja, Russell plantea la imposibilidad de evaluar expresiones para determinados conjuntos, al definir el conjunto de todos los conjuntos los cuales no son miembros de ellos mismos. Para tal conjunto, si ste existe, l sera un miembro de s mismo, si y slo si, l no es miembro de s mismo!!. En consecuencia, se tiene una contradiccin. Hasta la fecha se han hecho muchos intentos por resolver la paradoja de Russell, incluso l mismo incluye una solucin en su famosa teora de Tipos, donde la idea bsica es establecer tipos o clases (o bien objetos) los cuales pueden contener tipos o clases (u objetos) de jerarqua inferior y donde un tipo (clase u objeto) no se puede contener a s mismo. La teora de Tipos de Russell, hizo posible la creacin de lenguajes de especificacin modernos (surgidos a partir de los 1980s) y la metodologa de diseo y programacin conocida como orientada a Objetos, que surgi desde los 1970s con el lenguaje MODULA y que se hizo popular en los 1990s. Bertrand Russell escribi varias obras importantes. "The Principles" en 1903, donde introduce su famosa Teora de Tipos y en 1908 su artculo "Mathematical Logic as Besed on the Theory of Types". Adems, conjuntamente con Alfred North Whitehead, escribe en 1913 su obra monumental Principia Mathematica.


Kurt Gdel (1906 - 1978) expone sus teoremas de Incompletez y Completez, los cuales tratan propiedades de sistemas de enunciados consistentes y/o completos. Estos teoremas, an cuando son pocos conocidos para la gente comn y corriente, son de una gran trascendencia cientfica, ya que hace planteamientos que involucran no slo a la lgica sino a la ciencia en general. Por su relevancia, estos teoremas han sido comparados en importancia a los planteamientos de Einstein sobre Teora de la Relatividad y la Mecnica Estadstica. Esto trae un auge para la Lgica Formal, pero tambin sus primeros descalabros. Existen por lo tanto sociedades sobre Kurt Gdel, que se dedican a analizar su obra.

PERIODO IV : Revolucin Digital (1940 - 2005) Empieza con la invencin de la computadora digital, lo que conlleva al acceso universal o redes, conectadas a procesadores digitales poderosos y sistemas multimedia, entre otros. La informacin transforma la economa y la sociedad en general. Alan Mathison Turing (1912 - 1954), establece la relacin entre la lgica y la computacin electrnica. se plantea la famosa Mquina de Turing la cual es la base de la Teora de la Computacin actual. Turing es, por tanto, considerado el padre de la Teora de la Computacin. Tambin Turing plantea su famosa Prueba de Turing, la cual es muy conocida hoy en da en inteligencia Artificial. En esta prueba, Turing cuestiona si sera posible distinguir a una mquina de un ser humano cuando nos proporciona informacin sin que sepamos de antemano de quin se trata. Norbert Weiner (1894 - 1964), funda la ciencia de la ciberntica y establece el desarrollo de la lgica experimental, por su parte, Alfred Tarski (1902- 1983) establece la fundamentacin de la metodologa y la metamatemtica y desarrolla tambin un tratamiento semntico de la verdad. Finalmente Wang Hao (1921- ), quien fu un bigrafo y seguidor de Gdel, formula un algoritmo que permite deducir cundo una frmula del Clculo Proposicional es un teorema. En la escuela moderna de la computacin encontramos lgicos que han permitido avances importantes;


Hoare presenta un sistema axiomtico de los sistemas de programacin y Dijkstra un sistema de verificacin y deduccin de programas a partir de especificaciones. Los mtodos de Hoare actualmente han permitido la especificacin de sistemas distribuidos y concurrentes. Por otra parte, James Allen [Allen81], A. Pnuelli [Pnuelli78] y Mac Dermott77 [Dermott77], han hecho proposiciones sobre lgica Temporal y Modal que permiten el desarrollo de sistemas de planificacin, donde el manejo del tiempo es crucial. Actualmente los sistemas multiagentes utilizan sistemas formales basados en lgica modal y temporal de Allen, Pnuelli, Mac Dermott o alguna variacin de ellos.

PERODO V : Siguiente Revolucin Lgica (2005 - ? ) La revolucin digital proporciona los fundamentos econmicos y tecnolgicos para la transformacin de redes globales de computadoras en sistemas inteligentes, los cuales usan la lgica y los mtodos formales (basados en mtodos matemticos) para soportar nuestro trabajo, educacin y entretenimiento. Entre la informacin relacionada con las pocas II y III, podemos citar a John Harrison, quien presenta una historia de la lgica formal, este documento es en realidad parte de su paper "Formalized Mathematics". La pgina LogicAL (Logic,Philosophy, and Artificial Life Resources), tiene informacin interesante sobre la historia de la Lgica y su conexin con mtodos no-determinsticos, como Redes Neuronales, por ejemplo. La siguiente revolucin lgica ser la asimilacin prctica de las matemticas y la computacin dentro de la lgica. Se har nfasis en que las computadoras exploten la informacin inteligentemente, pasando de las bases de datos a las bases de conocimientos.


Conclusiones En este ensayo hemos mostrado la evolucin de la lgica, siguiendo la divisin de perodos propuesta por Henri Poincar. Se han mostrado, para cada perodo, los avances ms importantes, las aportaciones relevantes y biografas de los principales protagonistas. La lgica muestra un devenir histrico muy interesante, naciendo de la fuerte formalizacin de las matemticas de los griegos, que fue impactada, como muchas ciencias, por el pensamiento de la Edad Media, donde la religin se antepona a todo; pero el mpetu de la mente de los filsofos renacentistas ayud a retomar su desarrollo. No cabe duda que la lgica tiene impacto fundamental, como ciencia de las ciencias, en el pensamiento contemporneo, y que el nacimiento de la tecnologa computacional deba mucho al desarrollo del formalismo lgico de principios de siglo. Referencias Frausto, Juan. "Evolucin de la Lgica: Pasado, Presente y Futuro". http://w3.mor.itesm.mx/logical/log9808/evolucin.html. 12 de agosto de 1999. Poincare, Henri. "Logical Revolution.past,present and future". 17 de agosto de 1999. http://www.rbjones.com/rbjpub/www/colum/c00300.html. 17 de agosto 1999. Gran Enciclopedia de la Ciencia y de la Tecnologa. Varios volmenes, ediciones Ocano. Espaa. 1996 Poincare, Henri."the next logical revolution". 3 de noviembre de 1996. http://www.rbjones.com/rbjpub/logic/eng1002.html. 18 de agosto de 1999. [Allen81]JamesF.Allen,"an interval-basedrepresentation of temporalknowledge". proc.of the 7th IJCAI,1981.


[Dermott78]Drew Mc Dermott "planning and acting", cognitive Science(2), pages 71-109,1978 [Pnuelli77]A. Pnuelli,"the temporal logic of programs". In proc. 18th Ann IEEE Symp.On fundations of computer Science, pages 45-57,1997.

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