Examen
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Examen de An´ alisis Matem´ atico Realice los siguientes ejercicios en un tiempo de 2 horas (cap´ ıtulo 1 y 2 Bartle). 1. Sea f la funci´ on definida en R definida por f (x) := x 2 , y sean E = {x ∈ R : −1 ≤ x ≤ 0} y F = {x ∈ R :0 ≤ x ≤ 1}. a ) Demostrar que E ∩ F = {0} y que f (E ∩ F )= {0}, en tanto que f (E)= f (F )= {y ∈ R :0 ≤ y ≤ 1}. Por tanto, f (E ∩ F ) es un subconjunto propio de f (E) ∩ f (F ). ¿Qu´ e ocurre si el 0 se omite de E y F ? b ) Encontrar los conjuntos E \ F y f (E) \ f (F ) y demostrar que no se cumple que f (E \ F ) ⊆ f (E) \ f (F ). 2. Dar un ejemplo de dos funciones f y g de R en R tales que f = g, pero tales que f ◦ g = g ◦ f . 3. Sea S un subconjunto no vac´ ıo de R que est´ a acotado inferiormente. Demostrar que ´ ınf S = − sup {−s : s ∈ S }. 4. Sea S un conjunto no vac´ ıo acotado en R. a ) Sea a> 0 y sea aS := {as : s ∈ S }. Demostrar que ´ ınf (aS )= a ´ ınf S, sup (aS )= a sup S. (1) b ) Sea b< 0 y sea bS := {bs : s ∈ S }. Demostrar que ´ ınf (bS )= b sup S, sup (bS )= b ´ ınf S. (2) 5. Demostrar que si S n es enumerable para cada n ∈ N, entonces la uni´ on ∞ n=1 S n es enumerable. 1
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Examen de Analisis Matematico
Realice los siguientes ejercicios en un tiempo de 2 horas (capıtulo 1 y 2Bartle).
1. Sea f la funcion definida en R definida por f(x) := x2, y sean E ={x ∈ R : −1 ≤ x ≤ 0} y F = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1}.
a) Demostrar que E ∩F = {0} y que f(E ∩F ) = {0}, en tanto quef(E) = f(F ) = {y ∈ R : 0 ≤ y ≤ 1}. Por tanto, f(E ∩ F ) es unsubconjunto propio de f(E) ∩ f(F ). ¿Que ocurre si el 0 se omitede E y F?
b) Encontrar los conjuntos E \F y f(E) \ f(F ) y demostrar que nose cumple que f(E \ F ) ⊆ f(E) \ f(F ).
2. Dar un ejemplo de dos funciones f y g de R en R tales que f 6= g, perotales que f ◦ g = g ◦ f .
3. Sea S un subconjunto no vacıo de R que esta acotado inferiormente.Demostrar que ınf S = − sup {−s : s ∈ S}.
4. Sea S un conjunto no vacıo acotado en R.
a) Sea a > 0 y sea aS := {as : s ∈ S}. Demostrar que
ınf (aS) = a ınf S, sup (aS) = a supS. (1)
b) Sea b < 0 y sea bS := {bs : s ∈ S}. Demostrar que
ınf (bS) = b supS, sup (bS) = b ınf S. (2)
5. Demostrar que si Sn es enumerable para cada n ∈ N, entonces la union
∞⋃
n=1
Sn
es enumerable.
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