8/16/2019 Examen Calculo Vectorial

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1.- Resolver∂u

∂ r ;

 ∂u

∂ t    por 2 métodos

u= x2+ y

2  x=cosh r cost y=sinh r sin t 

Por regla de la cadena:

Usamos la siguiente formula:∂u

∂ r=

∂u

∂ x

∂ x

∂r+

∂ u

∂ y

∂ y

∂r

Entonces derivamos u  con respecto de  x  y  y

∂ u

∂ x=2 x ;

 ∂ u

∂ y=2 y

Derivamos ahora  x  y  y  respecto de r :

∂ x

∂ r=sinh r cost ;

 ∂ y

∂r=cosh r sin t 

ustituimos  x  y  y  !unto con las derivadas en la f"rmula original:

∂u

∂ r= (2 x ) (sinhr cost  )+(2 y ) (cosh r sin t )

∂u∂ r

= [2 (cosh r cos t ) ] (sinh r cost )+ [2 (sinh r sin t ) ] (cosh rsin t  )

∂u

∂ r=2cosh r sinh r cos

2t +2coshr sinh r sin

2t 

∂u

∂ r=2cosh r sinh r (cos2 t +sin2t  )

∂u

∂ r

=2cosh r sinh r

 #hora resolvemos para∂u

∂ t   y seguimos esta f"rmula:∂u

∂ t =

∂u

∂ x

∂ x

∂ t   +

∂ u

∂ y

∂ y

∂ t 

Pasamos directamente a derivar  x  y  y  respecto de t   puesto $ue ya

tenemos las dem%s derivadas:

8/16/2019 Examen Calculo Vectorial

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∂ x

∂ t =−coshr sin t ;

 ∂ y

∂ t  =sinh r cos t 

ustituimos x

 y y

 !unto con las derivadas en la f"rmula original:

∂u

∂ t = (2 x ) (−cosh r sin t )+(2 y ) (sinh r cost )

∂u

∂ t = [2 (cosh r cos t ) ] (−coshr sin t )+ [2(sinh r sin t ) ] (sinh r cost  )

∂u

∂ t =−2cosh

2r cost  sin t +2sinh

2r cost sin t 

∂u

∂ t =−2cos t sin t  (cosh2r−sinh2 r )

∂u

∂ t =−2cos t sin t 

Por sustituci"n:

ustituimos  x  y  y  en u  y derivamos con respecto de r

u= x2

+ y2

=(cosh r cos t )2

+(sinh r sin t )2

u=cosh2

r cos2

t +sinh2r sin

2t 

∂u

∂ r=2cosh r sinh r cos

2t +2coshr sinh r sin

2t 

∂u

∂ r=2cosh r sinh r (cos2 t +sin2t  )

∂u∂ r

=2cosh r sinh r

 #hora sustituimos  x  y  y  en u  y derivamos con respecto de t 

u= x2+ y

2=(cosh r cos t )2+(sinh r sin t )2

8/16/2019 Examen Calculo Vectorial

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u=cosh2

r cos2

t +sinh2r sin

2t 

∂u

∂ t =−2cosh

2r cost  sin t +2sinh

2r cost sin t 

∂u∂ t =−2cos t sin t  (cosh2r−sinh2 r )

∂u

∂ t =−2cos t sin t 

&.- Encontrar la derivada total (du= ∂ u∂ x dx+ ∂ u∂ y dy )  de u= ye x+ xe y

 x=cos t ; y=sin t 

Derivamos u  con respecto de  x  y  y

∂ u

∂ x= ye

 x+e

 y;

 ∂ u

∂ y=e

 x+ xe

 y

Derivamos ahora  x  y  y  respecto de t  :

dx

dt =−sin t ;

 dy

dt =cos t 

' sustituimos en la f"rmula:

du=( ye x+e y ) (−sin t  )+ (e x+ xe y) (cos t )

du=((sin t )ecos t +esin t ) (−sint )+(ecos t +( cost ) esint ) (cost )

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du=−sin2t e

cos t −sin t e

sin t +cos

2t e

sin t +cost e

cos t 

(.- )alcule:∂2u

∂ r2  de la funci"n u=3 xy−4 y

2

 con  x=2 s er

; y=r e−t 

a* Regla de la cadena

+* E,prese u  en términos de r  y s

a* Usamos la siguiente f"rmula:

∂u

∂ r=

∂u

∂ x

∂ x

∂r+

∂ u

∂ y

∂ y

∂r

Pero nos pide la segunda derivada entonces:

∂2

u∂ r

2= ∂

∂ r ( ∂u∂ x ∂ x∂ r + ∂u∂ y ∂ y∂ r )Primero empeamos derivando u  con respecto de  x  y  y

∂ u

∂ x=3 y ;

 ∂ u

∂ y=3 x−8 y

Derivamos ahora  x  y  y  respecto de r :

∂ x∂ r

=2s er ; ∂ y∂ r

=e−t 

ustituimos  x  y  y  !unto con las derivadas en la f"rmula original:

∂u

∂ r= (3 y ) (2s er )+(3 x−8 y ) ( e−t )

∂u

∂ r= [3( r e−t ) ] (2 s er )+[3 (2 s er )−8 (r e−t ) ] (e−t )

∂u

∂ r=6rs e

r−t +e

−t (6s er−8 r e−t )

∂u

∂ r=6rs e

r−t +6s e

r−t −8r e

−2 t 

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Derivamos u  con respecto de r  para o+tener la segunda derivada:

∂2u

∂ r2=

∂

∂ r(6 rs er−t +6 s er−t −8r e−2t )

∂2u

∂ r2=[ (6rs) (er−t )+(er−t ) (6 s ) ]+[ (6 s ) ( er−t ) ]−[0+( e−2 t ) (8) ]

∂2u

∂ r2=6rs e

r−t +6 s e

r−t +6s e

r−t −8 e

−2 t 

∂2u

∂ r2=6rs e

r−t +12s e

r−t −8e

−2 t 

+* sustituimos  x  y  y  en u  y derivamos con respecto de r

u=3 (2 s er ) (r e−t )−4 (r e−t )2

u=6 rs er−t −4 r

2e−2 t 

∂u

∂ r= [ (6rs ) (er−t )+(er−t ) (6 s ) ]−[0+( e−2 t ) (8r ) ]

∂u

∂ r=6

rs e

r−t +6

s e

r−t −8

r e

−2 t 

olvemos a derivar u  con respecto de r  para o+tener la segunda derivada:

∂2u

∂ r2=

∂

∂ r(6 rs er−t +6 s er−t −8r e−2t )

∂2u

∂ r2=[ (6rs) (er−t )+(er−t ) (6 s ) ]+[ (6 s ) ( er−t ) ]−[0+( e−2 t ) (8) ]

∂2u

∂ r2=6rs e

r−t +6 s e

r−t +6s e

r−t −8 e

−2 t 

∂2u

∂ r2=6rs e

r−t +12s e

r−t −8e

−2 t 

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/.- 0a ecuaci"n∂2

f 

∂ x2+

∂2

f 

∂ y2+

∂2

f 

∂ z2=0  es la ecuaci"n de 0aplace. Demuestre $ue

f  ( x , y )=ln √  x2+ y2  satisface la ecuaci"n de 0aplace.

)omo en la funci"n no est% la varia+le  z  en la ecuaci"n nos $ueda:

∂2

f 

∂ x2+

∂2

f 

∂ y2=0

Entonces derivamos parcialmente con respecto a  x  dos veces:

∂ f 

∂ x=(   1√  x2+ y2 )(

  2 x

2√  x2

+ y2 )=  x x2+ y2

∂2 f 

∂ x2=

( x2+ y2 ) (1 )−( x ) (2 x )( x2+ y2)

2  =

− x2+ y2

( x2+ y2 )2

 #hora derivamos parcialmente con respecto a  y  dos veces:

∂ f 

∂ y=(   1√  x2+ y2 )(

  2 y

2√  x2+ y2 )= y

 x2+ y

2

∂2

f 

∂ y2=

( x2+ y2) (1 )− ( y ) (2 y )

( x2+ y2 )2  =

 x2− y

2

( x2+ y2 )2

ustituimos las derivadas en la ecuaci"n de 0aplace.

− x2+ y

2

( x2+ y2 )2+

 x2− y

2

( x2+ y2 )2=0

− x2+ y

2+ x

2− y

2

( x2+ y2 )2  =

0

( x2+ y2 )2=0

f  ( x , y )=ln √  x2+ y

2

 satisface la ecuaci"n de 0aplace.

.- i  z= x2 y

2− y

3+3 x

4+5  encuentre:

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a*∂2 z

∂ x2   +*

∂2 z

∂ y2

a* Derivamos  z  con respecto de  x  dos veces:

∂ f 

∂ x=2 x y

2+12 x

3; ∂2 f 

∂ x2=2 y

2+36 x

2

+* Derivamos  z  con respecto de  y  dos veces:

∂ f 

∂ y=2 x

2 y−3 y

2; ∂

2f 

∂ y2=2 x

2+6 y