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examen resuelto matemáticas 1 bachillerato ciencias

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  • IPEP de Granada

    Dpto. de Matemticas

    MATEMTICAS I

    18 de junio de 2015 ALUMNA/0:__________________________________________________

    Toda pregunta debe estar suficientemente razonada y con claridad, sin faltas de ortografa. Elige 10 preguntas de entre las siguientes: (Cada pregunta vale 1 punto, en caso de tener varios apartados cada uno tiene el mismo valor)

    1) a) Calcula:

    +

    5415

    23:

    21 2

    y 1

    236

    38:

    923

    +

    b) Racionaliza y simplifica la fraccin 818

    2+

    2) a) Halla el valor de m para que el valor numrico del polinomio 123)( 2234 +++= xmmxxxxp valga 2 cuando 1=x

    b) Resuelve la inecuacin 08293

    +

    xx

    3) Representa las funciones: 22 += xy e ( )( ) 221 += xxy

    4) Calcula ( )sen y ( )2sen sabiendo que es un ngulo del segundo cuadrante y ( )31cos =

    5) Calcula el rea de un tringulo rectngulo sabiendo que uno de sus catetos es el doble que el otro y que la hipotenusa mide 10 cm. 6) Calcula la longitud de las diagonales de un rombo cuyos lados miden 6 cm y cuyos ngulos miden 600 y 1200.

    7) Resuelve el sistema

    =++

    =++

    =+

    24351231

    zyxzyxzyx

    8) Calcula la mediatriz del segmento AB , siendo ( )7,1A y ( )4,3 B 9) a) Halla la ecuacin de una circunferencia que es concntrica con la circunferencia de ecuacin

    014222 =+ yxyx y que pase por el punto ( )2,2P b) Calcula el punto de corte entre las rectas r: x+2y=0 s: y=2x-5

    10) a) Simplifica la siguiente expresin y calcula su valor para x=8 6 362

    3 22238 xxxxxxx ++

    b)Resuelve la ecuacin y comprueba las soluciones 244 =+ xx

  • 11) a) Calcula el siguiente lmite: ( )xxxx

    32lim

    b) Calcula fhg !! para xxxf 2)( 2 += 321)(+

    =xxxg 23)( 2 = xxh

    12) Calcula las derivadas de: xxxxf

    32)(

    2 += ( )15ln)( 23 = + xexg x

    13) Sea la funcin :f definida por 593)( 23 = xxxxf . Calcula sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento. Calcula sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) indicando si se trata de un mximo o de un mnimo. 14) Resuelve la ecuacin ( ) ( ) ( )2ln21ln22ln =+ xx , donde ln denota el logaritmo neperiano. 15) Una discoteca abre a las diez de la noche y cierra cuando se han marchado todos sus clientes. La expresin que representa el nmero de clientes en funcin del nmero de horas que lleva abierta, t ,es: N(t)=80t10t2 a) A qu hora el nmero de clientes es mximo? b) a qu hora cerrar la discoteca?

    SOLUCIONES

    1) a) Calcula:

    +

    5415

    23:

    21 2

    y 1

    236

    38:

    923

    +

    Solucin: Teniendo en cuenta el orden en que deben realizarse las operaciones, calculamos el valor del parntesis, la

    potencia, la divisin y por ltimo la suma 9111

    921

    184

    515

    49:

    21

    5415

    23:

    21 2

    =+=+=

    +=

    +

    Teniendo de nuevo en cuenta el orden de las operaciones y simplificando aquellas fracciones que no son irreducibles:

    1283

    121844

    1213

    326

    7263

    236

    38:

    923

    1

    =

    =+=+=

    +

    b) Racionaliza y simplifica la fraccin 818

    2+

    Solucin: Para racionalizar la fraccin dada 818

    2+

    , lo ms sencillo es sacar factores de los radicales, simplificar y

    despus racionalizar, es decir 52

    1022

    22522

    252

    22232

    8182

    ====+

    =+

    Otra forma de racionalizar esta fraccin es multiplicar su numerador y su denominador por el conjugado del

    denominador (la misma expresin radical con el signo opuesto en medio). En este caso 818 . Luego

    ( )( )( ) 5

    21022

    102426

    81882182

    8188188182

    8182

    ==

    =

    =

    +

    =

    + Como se observa en el tercer paso,

    lo que hemos hecho es sacar factores de los radicales y simplificar la expresin obtenida

  • 2) a) Halla el valor de m para que el valor numrico del polinomio 123)( 2234 +++= xmmxxxxp valga 2 cuando 1=x

    Solucin: Teniendo en cuenta que el valor numrico del polinomio 123)( 2234 +++= xmmxxxxp se calcula sustituyendo 1=x , puesto que nos dice que debe valer 2 tenemos

    ( ) ( ) ( ) ( ) 21212311112131)1( 222234 =+=+++=+++= mmmmmmp Obtenemos pues, la ecuacin de segundo grado 2122 =+ mm , es decir 0122 =++ mm Sabemos que las soluciones de una ecuacin de

    segundo grado de la forma 02 =++ cbxax vienen dadas por a

    acbbx2

    42 = luego en nuestro caso las

    soluciones de 0122 =++ mm son 1202

    2442

    1211422 2

    =

    =

    =

    =m luego esta ecuacin tiene

    una nica solucin m = 1

    b) Resuelve la inecuacin 08293

    +

    xx

    Solucin:

    3) Representa las funciones: 22 += xy e ( )( ) 221 += xxy Solucin: La funcin 22 += xy es una recta de pendiente 2 que corta al eje Y a altura 2. Con ello ya podemos representarla, o tambin hallando las coordenadas de dos puntos de esa recta. Corta al eje Y a altura 2. Adems teniendo en cuenta que la pendiente de una recta indica

    Otra forma es calcular varios de sus puntos y a partir de ah representarla.

  • Para representar la funcin ( )( ) 221 += xxy si desarrollamos la expresin 43222 22 +=++= xxxxxy vemos que es de la forma cbxaxxf ++= 2)( cuya representacin es una parbola con forma de U puesto que el

    coeficiente lder es positivo y cuyo vrtice tiene como abscisa ( ) 5'1

    23

    23

    2==

    =

    =abxv . Calculando puntos de esta

    parbola equidistantes del vrtice obtenemos Calculamos puntos de la parbola y a partir de ah la representamos:

    4) Calcula ( )sen y ( )2sen sabiendo que es un ngulo del segundo cuadrante y ( )31cos =

    Solucin: Como el ( )31cos = y sabemos que 1cos22 =+ sen sustituyendo este valor obtenemos

    131 22 =

    +sen 1912 =+sen

    98

    919

    9112 ===sen Haciendo la raz cuadrada, tomamos

    slo la solucin positiva, puesto que se nos dice que es del 2 cuadrante 322

    38

    98

    ===sen

    ( )924

    31

    3222cos22 =

    == sensen

    En resumen: 322

    =sen y ( )9242 =sen

    5) Calcula el rea de un tringulo rectngulo sabiendo que uno de sus catetos es el doble que el otro y que la hipotenusa mide 10 cm. Solucin: El rea del rectngulo se obtiene de multiplicar la base por la altura. Nos dicen que uno de sus catetos es el doble que el otro y que la hipotenusa mide 10 cm.

    Utilizamos el teorema de Pitgoras 222 bah += . Luego ( )222 210 aa += 222 54100 aaa =+=

    Despejando 25100 a= 25100 a= 202 =a 5220 ==a obtenemos que uno de los lados del solar

    rectangular es de 52=a cm y el otro de 542 =a cm. Luego el rea es ( ) 205222 22 ==== aaaA cm2.

  • 6) Calcula la longitud de las diagonales de un rombo cuyos lados miden 6 cm y cuyos ngulos miden 600 y 1200.

    Solucin:

    36332/332362/

    62/

    2360 ====== DDDDsen cm;

    ====== dddd 32/3262/

    62/

    2160cos 6 cm

    7) Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales

    =++

    =++

    =+

    24351231

    zyxzyxzyx

    Solucin: Si a la primera ecuacin del sistema

    =++

    =++

    =+

    24351231

    zyxzyxzyx

    le sumamos la segunda obtenemos 234 =+ yx

    De igual forma, si multiplicamos por 4 la primera ecuacin y la sumamos a la tercera ecuacin tenemos 679 =+ yx

    consiguiendo as un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas, que resolvemos

    =+

    =+

    679234

    yxyx

    Si multiplicamos la

    primera de estas ecuaciones por 7, la segunda por 3 y sumamos obtenemos 4=x sustituyendo dicho valor en

    234 =+ yx obtenemos ( ) 2344 =+ y 1623 +=y 6318

    ==y Sustituyendo ambos valores en

    1=+ zyx 164 =+ z z=+ 164 1=z . En definitiva, las soluciones del sistema son 4=x , 6=y , 1=z (se puede comprobar, sustituyendo en el sistema inicial que as es).

    8) Calcula la mediatriz del segmento AB , siendo ( )7,1A y ( )4,3 B

    Solucin: Como la pendiente de la recta que pasa por A y por B es 43

    =m La mediatriz, por ser una recta

    perpendicular tiene de pendiente 34

    =m La ecuacin de la mediatriz ser de la forma nxy +=34

    La mediatriz del segmento AB pasa por el punto medio de ( )7,1A y ( )4,3 B

    +

    247,

    231M

    211,

    22M

    211,1M Sustituyendo en la ecuacin obtenida anteriormente nxy +=

    34

    obtenemos

    n+=34

    211

    n=+34

    211

    625

    6833 =

    +=n La ecuacin de la mediatriz es

    625

    34

    = xy

  • 9) a) Halla la ecuacin de una circunferencia que es concntrica con la circunferencia de ecuacin

    014222 =+ yxyx y que pase por el punto ( )2,2P

    Solucin: La ecuacin de toda circunferencia concntrica con la circunferencia dada es de la forma

    04222 =++ Fyxyx , puesto que tienen el mismo centro. Como pasa por el punto ( )2,2P , dicho punto cumple la ecuacin de la circunferencia, es decir =++ 0242222 22 F =++ 08444 F 4=F La ecuacin de la circunferencia pedida es x2 + y2 2x 4y + 4 = 0

    b) Calcula el punto de corte entre las rectas r: x+2y=0 s: y=2x-5

    Solucin: El punto de corte de ambas rectas cumple ambas condiciones (cumple las ecuaciones de cada una de las rectas, siendo pues la solucin del sistema formado por ambas). Si resolvemos este sistema por sustitucin, sustituyendo el valor de y en la recta r por el valor que tiene en la recta s obtenemos

    ( ) 210501040522 ===+=+ xxxxxx Sustituyendo este valor en cualquiera de las dos (por ejemplo en s) obtenemos la segunda coordenada del punto 154522 ===y Luego ambas rectas se cortan en el punto ( )1,2 P

    10) a) Simplifica la siguiente expresin y calcula su valor para x=8 6 362

    3 22238 xxxxxxx ++

    Solucin:

    b)Resuelve la ecuacin y comprueba las soluciones 244 =+ xx

    Solucin: Las soluciones de 244 =+ xx se calculan aislando la raz cuadrada en uno de los trminos de la igualdad y

    elevando ambos trminos al cuadrado. Por tanto = xx 244 ( ) ( )22 244 xx = 2485764 xxx += 0580492 =+ xx Sabemos que las soluciones de una ecuacin de segundo grado de la forma

    02 =++ cbxax vienen dadas por a

    acbbx2

    42 = luego en nuestro caso las soluciones de 0580492 =+ xx

    son 2949

    28149

    22320240149

    12580144949 2

    =

    =

    =

    =x En definitiva, las soluciones de esta

    ecuacin son 29258

    2949

    1 ==+

    =x y 20240

    2949

    2 ==

    =x

    Tenemos que comprobar si stas son realmente soluciones de la ecuacin 244 =+ xx

    Para 291 =x obtenemos al sustituir 2434529252942929 =+=+=+ Luego x1 = 29 no es solucin.

    Para 202 =x obtenemos al sustituir 24420162042020 =+=+=+ Luego x2 = 20 s es solucin

  • 11) a) Calcula el siguiente lmite: ( )xxxx

    32lim

    Solucin:

    ( ) ( ) ( )( )

    23

    233

    33

    33

    3333

    limlimlim

    limlimlim

    22

    2

    22

    2

    222

    =

    =

    +

    =

    +

    =

    =+

    =

    +

    +==

    xx

    xxx

    xxxx

    xxxxxx

    xxxxxxxxxIndxxx

    xxx

    xxx

    b) Calcula fhg !! para xxxf 2)( 2 += 321)(+

    =xxxg 23)( 2 = xxh

    Solucin:

    ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) 124246

    312123321212321212123212123

    24432232)(

    234

    234

    234

    234234

    234222

    ++++

    =+++++

    =++=

    =++=+=+==

    xxxxxx

    xxxxxxxxxg

    xxxgxxgxxhgxfhgxfhg !!

    12) Calcula las derivadas de: xxxxf

    32)(

    2 += ( )15ln)( 23 = + xexg x

    Solucin: La derivadas de xxxxf

    32)(

    2 += se calcula teniendo en cuenta la derivada de un cociente.

    ( ) ( )( ) 3

    193

    96366

    332322)( 2

    2

    2

    22

    2

    2

    ==+

    =++

    =xx

    xxxxx

    xxxxxxf

    Para calcular la derivada de ( )15ln)( 23 = + xexg x tenemos en cuenta la derivada de un producto y la regla de la cadena.

    ( )15

    515ln3)( 2323

    += ++x

    exexg xx

    13) Sea la funcin :f definida por 593)( 23 = xxxxf . Calcula sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento. Calcula sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) indicando si se trata de un mximo o de un mnimo. Solucin: Para calcular los intervalos de crecimiento o decrecimiento estudiamos el signo de la derivada

    963)( 2 = xxxf , ya que donde la derivada sea positiva la funcin f es creciente y donde sea negativa la funcin f es decreciente.

    Para estudiar el signo de la derivada 963)( 2 = xxxf resolvemos la ecuacin = 0963 2 xx 0322 = xx Sabemos que las soluciones de una ecuacin de segundo grado de la forma 02 =++ cbxax vienen

    dadas por a

    acbbx2

    42 = luego en nuestro caso las soluciones de 0322 = xx son

  • ( ) ( )242

    2162

    21242

    1231422 2

    =

    =+

    =

    =x luego una de las soluciones es 326

    1 ==x y la otra

    solucin es 122

    2 =

    =x

    En definitiva f es creciente en ( ) ( )+ ,31, y f es decreciente en el intervalo ( )3,1 .

    Como la funcin en 12 =x pasa de creciente a decreciente, para este valor alcanza un mximo, cuya ordenada se calcula sustituyendo en ( ) ( ) ( ) ( ) 059315191311593)( 2323 =+=== fxxxxf Luego se obtiene un mximo en el punto de coordenadas ( )0,1

    Como la funcin en 31 =x pasa de decreciente a creciente, para este valor alcanza un mnimo, cuya ordenada se calcula sustituyendo en ( ) ( ) ( ) ( ) 3252727275393333593)( 2323 ==== fxxxxf Luego se obtiene un mnimo en el punto de coordenadas ( )32,3

    14) Resuelve la ecuacin ( ) ( ) ( )2ln21ln22ln =+ xx , donde ln denota el logaritmo neperiano. Solucin: Para resolver la ecuacin logartmica tenemos en cuenta las propiedades de los logaritmos. Como

    mAAm lnln = ( ) ( ) ( )2ln21ln22ln =+ xx ( ) ( ) ( )22 2ln1ln2ln =+ xx y tambin

    =BABA lnlnln

    ( )

    ( )22 2ln12ln =

    +

    xx

    Debido a que la funcin logaritmo es una funcin inyectiva tenemos que ( )

    ( )22 212

    =

    +

    xx

    ( ) ( ) ( ) 029448421242122 22222 =++=++=+=+ xxxxxxxxxx Obtenemos una ecuacin de segundo grado. Sabemos que las soluciones de una ecuacin de segundo grado de la forma 02 =++ cbxax vienen

    dadas por a

    acbbx2

    42 = luego en nuestro caso las soluciones de 0294 2 =+ xx son

    ( )879

    8499

    832819

    4224499 2

    =

    =

    =

    =x luego una de las soluciones es 2816

    1 ==x y la otra

    solucin es 41

    82

    2 ==x

    Tenemos que comprobar si ambas soluciones (de la ecuacin de segundo grado) son vlidas como solucin de la ecuacin logartmica. Para ello hay que recordar que el dominio de la funcin logartmica son los nmeros reales estrictamente positivos. En este la primera no da problemas, pero la segunda no puede ser solucin, puesto que no tiene sentido cuando la sustituimos (da uno de los logaritmos negativo). Por tanto slo 21 =x es solucin.

    15) Una discoteca abre a las diez de la noche y cierra cuando se han marchado todos sus clientes. La expresin que representa el nmero de clientes en funcin del nmero de horas que lleva abierta, t ,es: N(t)=80t10t2 a) A qu hora el nmero de clientes es mximo? b) a qu hora cerrar la discoteca?

  • Solucin: N(t)=80t10t2 ; N(t)=8020t ; N(t)=0 ;02080 = t t=80/20=4h ; t=4h N(4)=80.410.42=320160=160 personas.

    N(t)=20