SOLUCIONARIO PARA EL COMPONENTE DE RAZONAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO

¿Qué letra continua en la sucesión?

E, F, M, A, M, J, ……….

Observemos detenidamente la sucesión por algunos instantes y nos daremos

cuenta del siguiente patrón:

E F M A M J J A S O N D

E ,F, M, A, M, J…….. es solo un disfraz para las primeras letras de los meses del año de Enero a

Diciembre y si seguimos ese orden la letra que sigue es la “j” de julio.

Respuesta : j

En la siguiente analogía:

12 (3) 2120 (5) 4534 (x) 70

Hallar el valor de “x”

El algoritmo es muy sencillo y es el siguiente:

21 – 12 = 9 = 3 45 – 20 = 25 = 5

70 – 34 = 36 = 6

Hallar el término que ocupa el lugar 15 en la sucesión:

5, 8, 12, 17, 23,……………………………………………….

Observemos el siguiente patrón:15

5 8 12 17 23 ---------------------x+3 + 4 + 5 + 6 + 7………………………… + 16

1 1 1 1 1

Vamos hasta el número 16 porque la razón en esta sucesión es 1 como lo indican los

números en verde.

Ahora aplicaremos la formula de la suma ,S = n(n + 1)/2, para hacer el cálculo rápido.

luego operamos de esta forma: [n(n + 1)/2 ] –1 – 2 = [16(17)/2 ] - 3 = 8*17 – 3 = 136 - 3 = 133

Hemos aplicado la formula de la suma y le hemos restado 1 y 2 que son los números que

faltarían en una suma completa del 1 al 16( 1+ 2 + 3+…….. +16)

Luego le sumamos 133 al primer término y resultaría: 5 +133 = 138, que es la respuesta.

Si A ⊂ B, ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas?

I. A U (B – A) = B II. A ⋂ (B – A) = A⋂B A ⋂ (B – A) = A⋂B III. A – (A – B) = A {1,2} ⋂ {1,2,3,4} (v)IV. (A – B) U (B – A) = B – A V. A ⋂ B = A A – (A-B) = A (f)

A – (A – B) = ФAsumamos dos conjuntos:

(A – B) U (B – A) = B – A (v)A = {1,2} incluido en B = {1,2,3,4} Ф U (B – A) = B - A

Comprobando las proposiciones: A ⋂ B = A (v)

A U (B – A) = B; {1,2} U {1,2,3,4} = {1,2,3,4} (v) {1,2} ⋂ {1,2,3,4} = {1,2}

Respuesta: 4 proposiciones son verdaderas.

Las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo ABC

se diferencian en 9 cm. Si la altura BD mide 6cm. Determina la medida de AD y CD

B

C A

Desarrollando la formula de la altura:

p/h = h/q por lo tanto:

h2 = p*q, h = √p*q

Si h = 6 entonces hallo p y q:

36 = p*q (i)

q – p = 9 (ii)

q = 9 + p, reemplazando en (i)

36 = p*(9+p), p2 + 9p - 36p 12p -3

p = 3cmq = 9 + p = 9 + 3 = 12cm

La respuesta es entonces 3 y 12cm.

pD

ADBD

= BDCD

Donde:

AD = p, CD= q, BD = h

q

h = 6

Aplicando el teorema deEuclides relacionado con laaltura tenemos:

Siendo p y q las proyecciones de loscatetos sobre la hipotenusa y 9 sudiferencia -q > p-.

En la figura mostrada:

40º 60º

Un principio geométrico nos indica que lasuma de los ángulos internos de untriángulo es 180º por lo que operamosde la siguiente forma:

50º

xº

Determinar el valor de x.

50º

x º = 150º40º 60º

Sumando los ángulos que tenemos a la vista:

50º + 40º + 60º = 150º

Para 180º nos faltan 30º

Al formar dos triángulos uno externoy otro interno observamos que elángulo de 30º es dividido en dos de15º en el triángulo interior para queambas figuras cumplan con elprincipio geométrico.

Probamos que la respuesta es 150ºsumando los ángulos del triangulointerno:

15º + 15º + 150º = 180º

15º 15º

En el trapecio ABCD; BC//AD Hallar AD

Por tratarse de un trapecio isósceles se sabe quesus lados opuestos son iguales, en este casoambos lados miden 8 cm.

10 cm

8 cm

6 cm

B

A

C

D

α

10 cm

8 cm

6 cm

B

A

C

D

8 cm10 cm

8 cm

Aplicando Pitágoras:

82 + 62 = 64 + 36 = 10

Haciendo un simple trazo enel trapecio formamos la figurade un “deltoide”.

Este deltoide tiene dos ladoscontiguos iguales de 10 y 8 cm por loque el segmento que completa la basedel trapecio mide 8 cm.

“Un deltoide es un cuadrilátero noregular , cuyos lados contiguos soniguales dos a dos….”(Wikipedia)

α

Producto de esto la medida de AD esla siguiente:

AD = 8 cm + 6 cm = 14 cm

Calcular el perímetro del paralelogramo

ABCD si BC = 3x + y2 ; CD = x + y; AD = x + 2y2 ;

AB = 2x – y

Graficamos el paralelogramo:

A B

D C

2x – y

x + 2y23x + y2

x + y

Planteando un sistema de ecuaciones

AD= BC (I)

x + 2y2 = 3x + y2

y2 = 2x (I)

AB = CD (ii)

2x – y = x + y

x = 2y (ii)

Reemplazando (ii) en (i)

y2 = 4y2

y = 4

Hallando x :

x = 2*4 = 8

Reemplazando los valorespara hallar los lados delparalelogramo.

BC= 3*8 + 22 = 40CD= 8 + 4 = 12

BC = 40

CD = 12

AD = 40

AB = 12

P = 2(a + b)

P = 2( 40 + 12)

P = 2(52)

P = 104

¿Cuántas placas para automóvil de 5 símbolos se pueden hacer si cada placa empieza con 2 letras distintas (P, Q o R) y termina con cualquier digito significativo diferente?

Si dibujamos una placa de automóvil esta luciría de esta forma:

P Q 0 1 5

Este dibujo tiene la respuesta a nuestro problema, el 5 es un ejemplo de cualquier dígitosignificativo(no igual a 0) diferente que siempre irá en la última casilla por lo quetenemos 4 lugares libres para 2 letras y 2 números que irán permutando con los dígitosdel 1 al 9.

V m-n

m= 9!/(9 – 4)! = 9!/5! = 9x7x8x6x5!/5! = 9x7x8x6 = 3024

Respuesta: se pueden hacer 3024 placas.

Sean las relaciones R2 :

R1 = {(x, y) ε R2/x2 + y2 ≤ 16}

R2 = {(x, y) ε R2/ ∣x∣ + ∣y ∣≥ 4}

Hallar el área de la gráfica de R1 ⋂ R2

Para desarrollar este problema debemos graficar ambas funciones.

R1 la podemos escribir así x2 + y2 = 16

Tenemos una circunferencia que parte desde el origen y su radio es 4, aquí el proceso:

X = 0; y = 4 P0(0, 0)X = 4; y = 0 r = 4

R2 es una función de valor absoluto y tenemos 4 escenarios:

x,y ≥ 4; -x,y ≥ 4; x,-y ≥ 4; -x,-y ≥ 4

Estos escenarios implican puntos para la gráfica yasumiendo una ecuación estos serian :

∣x∣ + ∣y∣=4; P1(0,4), P2(0,-4), P3(4,0), P4(-4,0)

Graficando ambas funciones:

H = -42 + 42

= 32

Calculando el área gráfica que es la diferencia ente el área del circulo y el área del cuadrado

R1 ⋂ R2 = пr2 – l2 = 3.14*42 – ( 32 )2

= 50.24 – 32 = 18.24 m2

4

4-4

-4

r=4

0

Hallar el valor de “x” si:

xx-1 = 4 4

Igualando las bases:xx-1 = 41/4

xx-1 = 22/4

(xx-1)-1= (21/2)-1

x1-x = 1/21/2

x2(1-x) = 1/2

La última ecuación la podemos escribir :

x2(1-x) = 1/22(1-1/2)

Igualadas las bases procedemos de la siguiente forma:

2(1-x) = 1

x = 1/2

Benito se encuentra a una distancia de 40 metros de un edificio y observa la parte más altade él con un ángulo cuya tangente es 7/10. A qué distancia debe encontrarse Benito deledificio para que el nuevo ángulo de elevación tenga como tangente 1/3.

b a

A B

C

α

Tag(α1)= a/b = sen α1/cos α1= 7/10

40 m

Asumamos que Benito es α yque la línea tangente a sucabeza es la hipotenusa deltriangulo rectángulo que seforma desde un punto que estaa 40 m de un edificio.

α

En el problema nos dicen quehabría una nueva tangente de1/3(menor que 7/10) si Benitorealiza un desplazamiento dellugar, en la figura observamos queBenito se aleja a una distancia “x”.

A B

C

ab

x m

Aplicando la regla de 3:

40 7/10

X 1/3

Las líneas rojashorizontales nosindican que lascantidades tienen unarelación inversa esdecir a mayor distanciamenor tangente por loque en esta ocasión noharemos el clásicocruce de cantidades yoperamos de estaforma:

40*7/10 = x*1/3

x = 28*3 = 84 m

Tag(α2)= a/b = sen α2/cos α2= 1/3

α1 > α2

Si (a + b + c)2 = 289

Hallar la suma de las cifras de:

E = abbab + baaba + ccccc

Para resolver este ejercicio requerimos de conocimientos básicos de numeración.

Paso 1:

Sacando raíz cuadrada obtenemos: a + b + c = 17

Paso 2:

Descomponiendo en cifras obtenemos: abc = 10a + b + c = 10(1) + 7 + 0

Paso 3:

Reemplazando “E” con los valores: a = 1, b = 7, c = 0

E = 17717 + 71171 + 00000 = 1+7+7+1+7 + 7+1+1+7+1 + 0 = 23 + 17 + 0 = 40

En 100 litros de agua salada existen 910 gramos de sal ¿Cuántos litros de agua potable hay que añadir para que por cada 30 litros de mezcla existan 130 gramos de sal?

Paso 1: Planteando el problema:

100l 910gr (lo que hay)

30l 130gr (lo que habrá)

Paso2: Planteando la regla de 3:

xl 910gr

30l 130gr

La relación entre las cantidades es directa ya que tanto el agua como la sal disminuyen sus magnitudes, entonces cruzamos las cantidades como lo indican las líneas rojas.

Paso 3: Operando la regla de 3:

x*130 = 30*910

x = 30*910/130 = 30*7 = 210

Hay que añadir 210 – 100 = 110 litros de agua potable

En el siguiente gráfico semuestra la distribución defrecuencia sobre las edades deestudiantes de secundaria del1er año.

i Edad fi hi% Fi

1 15 6

2 16 5

3 17 5

4 18 4

fi es la frecuencia o númerode alumnos que tienen unadeterminada edad; ejemplo f3

indica que hay 5 alumnos de17 años, la sumatoria de lasfrecuencias nos da el total dealumnos.

i Edad fi hi% Fi

1 15 6 30% 6

2 16 5 25% 11

3 17 5 25% 16

4 18 4 20% 20

20 100%

hi% es la frecuencia relativa ynos indica el porcentaje deltotal de alumnos que hay enuna frecuencia; ejemplo h3

indica que en la frecuencia 3hay 5 alumnos querepresentan 5/20 del total o25%, la sumatoria defrecuencias relativas nos da el100%.

Fi% es la frecuencia absoluta ynos muestra la frecuenciaacumulativa o el número totalde alumnos que venimosregistrando hasta ese punto;ejemplo F3 nos muestra quela cantidad de alumnos hastala frecuencia número tres esde 16 (6 +5+5).

La respuesta es 16 y 25%.

Determinar F3 y h3%

Se efectúa el experimento aleatorio, que consiste en lanzar una moneda y luego un dado ¿Cuál es la probabilidad de salir sello y un número impar?

Usaremos la siguiente formula de la probabilidad:

P = Casos favorables/Casos posibles = h/n

Paso 1: Probabilidad de salir sello en el lanzamiento de una moneda:

c = cara, s = sello ; p1 = s/(s,c) = 1/2

Paso 2: Probabilidad de salir un número impar al lanzar un dado:

p2 =(1,2,3)/(1,2,3,4,5,6) = 3/6 = 1/2

Paso 3 : Como los eventos ocurren simultáneamente ambas probabilidades se multiplican:

p1 x p2 = 1/2 x 1/2 = 1/4

La probabilidad es 1/4.

Los amigos Juan, Carlos, Pedro y Percy se turnan de a dos para asistir a la clase deestadística. Si un día se visita el salón de clases ¿Cuál es la probabilidad que esté presentePercy?.

Usaremos la siguiente formula de la probabilidad:

P = Casos favorables/Casos posibles = h/n

En el aula vamos a encontrar a dos amigos y uno de ellos puede ser Percy o cualquiera delos otros tres.

p = (Percy, amigo)/(Percy, Juan, Carlos, Pedro) = 2/4 = 1/2

La probabilidad es 1/2.

Al lanzar dos dados de diferente color, la suma de sus caras superiores es 7. Hallar la probabilidadde que una de sus caras haya sido 3.

Usaremos la siguiente formula de la probabilidad:

P = Casos favorables/Casos posibles = h/n

Casos favorables:

Asumamos que en el primer lanzamiento el primer dado muestra la cara 3 y el segundo la cara 4, este es un caso favorable ya que la suma de las caras superiores es 7 y una de ellas es 3.

Con un poco de suerte en el segundo lanzamiento el primer dado muestra la cara 4 y el segundo la cara 3, este es un caso favorable ya que la suma de las caras superiores es 7 y una de ellas es 3.

Casos posibles:

Hay seis casos en los que las caras de los dados sumarán 7 y son: (1,6) (6,1) (2,5) (5,2) (3,4) (4,3)

Luego: p = [(3,4) (4,3)]/[(1,6) (6,1) (2,5) (5,2) (3,4) (4,3)] = 2/6 = 1/3

Observe la tabla y responda:

Hombres Mujeres

Juegan fútbol

80 50

No juegan fútbol

120 90

¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar juegue fútbol?

Paso 1: El número total de personas que juegan fútbol entre hombre y mujeres es 130 (80 + 50)

Paso 2: El número total de personas es 340(80 + 120 + 50 + 90)

Paso 3: Calculando la probabilidad

P = h/n = 130/340 = 13/34

La probabilidad es 13/34

En el siguiente gráfico de frecuencia, se muestra la estatura de los bebes nacidos en un hospital en un mes.

4

12

28

36

18

10

6

2

0

5

10

15

20

25

30

35

40

47 48 49 50 51 52 53 54

Nº de Bebes

Estatura(cm)

Determinar la frecuencia absoluta F4

F4 = ∑f4 = f1+f2+f3+f4 = 4 + 12 + 28 + 36 = 80