Teoría ElectromagnéticaExamen | jul 2013

1Un coaxial tal como indica el dibujo transporta por el cilindro interior una intensidad de corriente I y por el cascarón cilíndrico una corriente de igual valor pero de sentido opuesto. Entre cilindro y cascarón hay vacío así también en la zona exterior al coaxial.(a) Encuentre una relación entre a, b y c para que las densidades de corriente de cilindro y cascarón sean iguales en módulo(b) Encuentre expresiones para el campo magnético en toda zona del espacio según la dirección radial (c) Encuentre expresiones para el campo eléctrico en los conductores suponiendo que ambos tienen una conductividad σ.

2Una esfera de 9,0cm de diámetro de material dieléctrico de constante 3,5 se carga de tal forma que la misma se distribuye en capas según ρ=kr siendo k=0,14C/m. (a) ¿Qué carga contiene la esfera?(b) Halla y realiza el bosquejo del campo eléctrico de esta esfera en toda región del espacio (c) ¿Cuánta energía se uso para cargar la esfera?(d) ¿Con que fuerza es atraída la esfera a una carga puntual de 18µC ubicada 9,0cm de ella?

3Una espira se halla próxima de una corriente variable I(t)=100sen(314t)A que fluye en el alambre largo. a) Calcule la magnitud de la fem inducida en la espira. b) Siendo la resistencia de la espira de 1,20Ω, realiza un bosquejo gráfico de la corriente inducida en la espira al cabo de dos períodos. c) Para que frecuencia la corriente inducida máxima se equipara con la inductora.

Laplaciano y gradiente en coordenadas cilíndricas

∇2 f =

1ρ

∂∂ρ (ρ

∂ f∂ρ )+

1

ρ2

∂2 f

∂φ2 +

∂2 f

∂ z2

∇ f =(∂ f∂ρ ,

1ρ

∂ f∂φ ,

∂ f∂ z

)

Soluciones

1- Cilindro coaxial

a) Relación entre a, b y c para que las J sean iguales en módulo

J =IS Iint = Iext →

I

πa2=

I

π(c2−b2)→

π(c2−b2

)

πa2 =II

→(c2−b2)

a2 =1 ooo (c

2−b2

)=a2

b) Cálculo de B

• r < a por Ampere → B 2 π r = μ0 J S

B 2 π r=μ0I

π a2π r 2

→ B=μ0I r

2πa2e θ

• a < r < b → por Ampere → B 2 π r = μ0 I

B=μ0I

2π r 2e θ

• b < r < c → B 2 π r=μ0 I−I π r 2

π (c2−b2)→

B=μ0

I −I π r2

π (c2−b2

)

2π r

circula según +e ya que I es más grande

• r > c → B 2 π r = μ0(I – I) = 0, pues las corrientes son iguales en módulo ooo B = 0

c) Cálculo de E

J = αE → E=

Jα=

I

π a2

α i, en el cilindro interior

ECascarón=Jα=

I

π(c2−b2

)α i

2- Esfera maciza no conductora.

Datos: diámetro: 9,0 cm, KE = 3,5, ρ = k. r, k = 0,14 C/m

a) Cálculo de la carga

dq=ρdVol → Q=∮ρdVol → Q=∮ k r dVol

Vol Esfera=43

π r3→

dVoldr

=4π r 2→ dVol=4π r 2 dr

Q=∮ k r 4π r2 dr todo lo que es constante sale de la integral → Q=4π k∮0

R

r 3 dr

por tanto: Q=4π k∣r 4∣4 0

R

→ Q=π k R4 que numéricamente es: Q=π . 0,14. (4,5.10−2)

4

Q = 4,5.10 -5 C/m 3

b) Cálculo del campo eléctrico y bosquejo

ΦE=∣E∣. S .cos α siendo α el ángulo entre E y n (la normal a la superficie)

Como E y n son paralelos → α = 0º→cos 0º = 1 y queda |E|. S = |E| 4 π r2

Aplicando Gauss → ∣E∣. 4 .π r 2=

Qencε0

r < R → ∣E∣. 4 .π r 2=

π k r 4

ε0→ E=

k r 2

4ε0

r

r > R → ∣E∣. 4 .π r 2=

π k R4

ε0→ E=

k R4

4ε0r2 r

para r = R → E=k R2

4ε0

r

Bosquejo →

c) Cálculo de la energía de carga

U E=∫12∣E∣

2ε0 dVol → U E=∫

12∣k r2

4ε0

∣2

ε0 dVol = U E=∫12

k 2 r4

16 ε02 ε0 4 π r2 dr

k 2π

8ε0∫0

R

r6 dr =k 2 π8ε0

∣r 7

7∣

0

R

→k 2 π56ε0

R7

ci) Que numéricamente es: (0,14 )2π

56 . 8,85.10−12 (4,5. 10−2)

7= 4,63. 10-2 J

d) Cálculo de la fuerza con que es atraída la esfera a una carga puntual de 18mC ubicada 9,0cm de ella. Ojo! se debe usar el campo generado por la esfera. Es un error calcular como si fueran dos cargas puntuales

E=0,14 .4,5 .(10−2

)4

4 .8,85 . 10−12 .(9.10−2)

2 → FE=E .q = 1,986. 105 x 18. 10-6 = 3,57 N

3- Corriente del alambre: I(t) = 100 sen(314t) A, resistencia de la espira = 1,20Ω

B generado por el alambre → B=μ0 I

2π rϕ = B=

2.10−7 Ir

ϕ

determinar el flujo de B en la espira → ΦB=∮B.ds = ΦB=∮ (2.10−7 I

x) .ds =

ΦB=∮ (2.10−7 I

x) .b .dx .cos 180º = ΦB=−2.10−7 I . b.∮

r

r+a1xdx = cte . ln (

r+ar

)

ooo ΦB=−2.10−7 . I . b . ln (

r+ar

)

Cálculo de la fem → ε=−Nd ΦB

dtSe estima la espira constituida por una sola vuelta, entonces

N = 1 quedando ε=−dΦB

dt=

ε=−

d (−2.10−7 . 100 sen (314 t) . b . ln(r+a)

r)

dt=

ε=−[−314 .2.10−7 . 100cos(314 t). b . ln (r+ar

)]=

ε=[314 .2.10−7 . 100cos(314t) . b . ln (r+ar

)]V

I= εR

=

[314 .2.10−7 . 100cos(314t) . b . ln (r+ar

)]

1,20A

I= εR

=

[314 .2.10−7 . 100cos(314t) . b . ln (r+ar

)]

1,20A