Examenes Parciales de Cdi-II-2012 Solucionados
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8/14/2019 Examenes Parciales de Cdi-II-2012 Solucionados
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NOLAN JARA J
1
1) Una partcula se desplaza sobre la curva C:
rrrrrg 4,24,42
3
2)( 2
3con una
rapidez constante de 4m/seg. Si la partcula parte del reposo del punto (0,8,-4) Hallar el vector
velocidad y las componentes tangencial y normal de la aceleracin en el instante en que cruza a
la curva C2 descrita por:
rrrrh 1020,2,3
4
)(
.Desde que la partcula parte del reposo
cunto demora hasta cruzar C2?
Solucin:
C: , parte del reposo de (0, 8,-4) Hallar el vector y las componentes tangencial y normal del vector cuando se intercepta conC2: Dom ; ;
Derivamos ambos miembros con respecto a t.
Sea es decir
si y solo si: (a) (b) .(c)
Entonces
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(0) ;Donde
;
(0) (0) = Recorre de t = 0 hasta t = 2; 2) Sea C:
3
1
2 ln
0; 0; C R
xy
z x
x z
Si unapartcula se desplaza sobre la curva C con una rapidez de t en el tiempo t, en t = 0 lapartcula se encuentra en el punto (1, a, b) y adems la partcula se desplaza por debajo delplano z = 0.
i) Halle la funcin vectorial que describe la trayectoria de la partcula en funcin del tiempo t.ii) Halle la velocidad de la partcula en el tiempo t = 1 y la distancia que ha recorrido lapartcula desde t = 0 hasta t = 2.Solucin:
i) y =x
1; x = u > 0
* C: 10);ln2,1
,()( uuu
uuh
* Punto: P = )0(f
= (1, a, b) = )1(h
= (1, 1, 0)
u0= 1 ; t0= 0
11
)(2
,1
,1)(22
uuh
uuuh
uu
vv
dvv
S
u
v
u
v
111
1
11
2
)...(1
11
11
1
2
1
2 u
udv
vdv
vS
u
vuv
)...(2
0;2
)('22
t
SCCt
SttS
De () y (): 2u2+ t
2u2 = 0
u =4
1642 tt
C: )(tf
)
4
16ln(2,
16
4,
4
16 42
42
42 tt
tt
tt
-
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ii)
)1622
)(16
4(2),
)16(
16(8,
1622)(
4
3
42242
4
3
4
3
t
tt
tttt
t
tt
t
tttf
24,171,171172
1)1(
f
3) La ecuacin xlnz + y2zz
23 = 0, define implcitamente una funcin real de dos variables
z = f(x,y). Se pide:
a) Hallar la curva de nivel correspondiente a z = e , Graficarla.b) Hallar el vector gradiente de la funcin z = f(x,y) en el punto P(3,2,1).c) Hallar las ecuaciones del plano tangente y la recta normal a la superficie z=f(x,y) enel punto P.
d) Calcular el valor de Px
z2
2
e) Calcular el valor de Pyx
z
2
f) Estimar, mediante la diferencial, el incremento de la funcin, al pasar del punto (3,2)de su dominio, al punto (3.01, 1.99).Solucin.E(x,y,z) = xlnz + y
2zz
23
a) Hallar la curva de nivel correspondiente a z = e , Graficarla.:
Cx + y
2
e e2
3 = 0.Parbola hacia la izquierda.b) Hallar el vector gradiente de la funcin ),( yxfz en el punto P(3,2,1)
y
f
x
fyxz ,),(
Ahora debemos derivar implcitamente
zyz
x
z
z
Ex
E
x
z
2
ln
2
zyz
x
yz
z
E
y
E
y
z
2
2
2
Por lo que
zyz
x
yz
zyz
x
zyxz
2
2,
2
ln),(
22
5
4,0)2,3(z
Donde z(3,2)=1
-
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c) Hallar las ecuaciones del plano tangente y la recta normal a la superficie ),( yxz en el punto
P (3, 2,1).Para hallar la ecuacin el plano tangente y de la recta normal a la superficie en el punto P (3,2,1) necesitamos un vector paralelo a la normal.
1,,//
y
z
x
zN
De los datos obtenidos anteriormente
1,
5
4,01,,
x
z
y
zPara el punto (3, 2,1)
Adems 5,4,0//1,5
4,0
0)1,2,3(),,(.5,4,0: zyxPt 01354: zyPt
)5,4,0()1,2,3(: kPLn k;
d) Calcular el valor de2
2 )(
x
Pz
Para ello primero hallemos
22
22
2
2
2
2
ln
2
ln),(),(
zzyx
zz
xzy
z
x
z
xx
f
xx
yxf
x
yxz
Considerando z = z(x,y)
2
22
222
2
41ln.2.ln.
zzyx
zzzyzzzzyxzzz xxxx
.
De donde por los datos obtenidos
x = 3, y = 2, z = 1 , xz = 0
Operando se obtiene:2
2 )(
x
Pz
=0
e) Calcular el valor deyx
Pz
)(2
22
2
2
22
22
22),(),(
zzyxyz
xzy
z
xyz
xyf
xyxyxf
yxyxz
222
2222
2
4122.2
zzyx
zzzyzzzyxzzy xxx
De donde por los datos obtenidos: x = 3, y = 2, z =1 , xz =0
25
4)(2
yx
Pz
f)125
1
100
1,
100
1
5
4,0),)(2,3(
dydxzdz
-
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4) Sea f(x,y)= 2 2
1( ) ( ); ( , ) (0,0)
0; .........( , ) (0,0)
x y sen si x yx y
si x y
nsi0,0y0,0:
x
f
x
fCalcule
Es f continua en (0,0)? Justifique su respuesta.
Solucin.
1) Para que sea contina en (0,0): = f (0,0)=0Calculamos el lmite de
por coordenadas polares:
, , = = = 0(Por el Teorema del sndwich)
Entonces 2)
xsen
x
xxsen
x
fxf
x
fxxx
1lim
1
lim)0,0()0,(
lim0,0000
No Existe
y
seny
y
ysen
yfyf
yf
yyy1lim
1
lim)0,0(),0(lim0,0000
No Existe
5)
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2 2
2 2
arctan arctan ; si: 0Sea: ,
0 ; si: 0
0,0 0,0Calcular: ;
0,0
Solucin:
si
i
l mx
y xx y xy
f x y x y
xy
f f
x y y x
f
x
0
0 0 0
0
0 0 0
,0 0,0 ,0 0 lim lim 0
0,0 0, 0,0 0, 0 lim lim lim 0
0,0Entonces: 0 0,0 0
0,0 0 0,0 0
x x
y y y
y
x
f x f f x
x x x
f f y f f y
y y y y
ff
y
ff
x
0
2
0 0
0
0 0
2 2 2
0 0
0,0 ,0 0,0 ,00,0
lim lim
, ,0 ,,0 lim lim
arctan a
P
rctan arcta
lim lim
rimera Parte:
y y y y
x x
yy x
y y
f f x f f xf
x y x x x
f x y f x f x yf x
y y
y xx y x
x y
y
0
2
1
2
0
n
arctan
arctan
lim arctan .1 0.2
,00,0 lim lim
y
y
x x
y
xxy
y y
y
xxx y x x
y y
x
f xf
x y x
0 1
x
x
-
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0
2
0 0
Obs: La derivada parcial de en ( , ) con respecto a es:
, , ,
Segunda Parte
lim
.
0,0 0,0 0, 0,0 0, lim lim
:
xx a
x x x x
y y
f a b x
f x b f a bf a b
x a
f f f y f f
y x y x
0
0 0
2 2 2
0 0
0
, 0, ,0, lim lim
arctan arctan arctan
lim lim arctan
lim arctan
xx x
x x
x
y
y
f x y f y f x yf y
x x
y x xx y y
x y yyxx x x
yx
x
2
1
2
0 0
arctan
0. .12
0,0,0 lim lim 1
2 arctan ; si: 0,
Por lo tanto
:
y
y y
x
yy y y
x
y
f yf y
y x y y
yx y xyf x y
xx
y
; si: 0,0
2 arctan ; si: 0,
; si: 0,0
.
xy
xy x xyf x y
yy
x xy
6)
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3 3
Hallar la longitud del arco de la curva definida por la funcin vectorial:
cos , , cos2 desde el punto de 0 hast
La longitud del arco est determinado por:
'
En
:
a 2
Soluci
f t dt
f t t sen t t f
n
f
2 2
2 2
2
0
2 2
0 0
tonces:
' 3cos . , 3 .cos , 2 2
' 25 .cos
' 5 .cos
Reemplazando:
'
5 .cos
5 .cos
Analazando la Integral:
.cos .cos
f t t sen t sen t t sen t
f t sen t t
f t sen t t
f t dt
sen t t dt
sen t t dt
sen t t dt sen t t dt se
3 2 2
2 3 2
2 3 2 2
0 2 3 2
.cos .cos .cos
cos 2 cos 2 cos 2 cos 2
4 4 4 4
n t t dt sen t t dt sen t t dt
t t t t
2
0
2
1 1 1 1 1
4 2 2 2
2
Reemplazando en :
5 .cos
5 2
10
sen t t dt
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=x (a1) (a2)
=-y (b1) (b2)
11) La ecuacin de onda:
, donde a es una constante, describe el movimiento deuna onda, que puede ser una onda de sonido, una onda de luz o una onda que viaja a lo largo deuna cuerda vibrante. Si f y g son funciones de una sola variable dos veces derivable, compruebeque satisface la ecuacin de onda, la funcin.
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Solucin:
Para a: Calculamos la segunda derivada parcial respecto a x, tRespecto a t:
Volvemos a derivar respecto a t:
(1)Respecto a x: Volvemos a derivar respecto a x:
(2)Multiplicamos a (2) x a2:
Para b: Calculamos la segunda derivada parcial respecto a x, tRespecto a t:
Volvemos a derivar respecto a t:
. (1)Respecto a x:
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Volvemos a derivar respecto a x:
.. (2)
Multiplicamos a (2) x a2:
Para c: Calculamos la segunda derivada parcial respecto a x, tRespecto a t:
Volvemos a derivar respecto a t:
. (1)Respecto a x:
Volvemos a derivar respecto a x:
.. (2)Multiplicamos a (2) x a
2:
12) Supongamos que satisface la ecuacin de la Laplace. Probar que tambin lo satisfacesea Probaremos si
Por formula:
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Reemplazando Lo mismo para
, decimos entonces
Remplazando Sumamos
Por la ecuacin (I) tenemos Entonces
13)Reparametrizar la curva C:3 3
( ) (cos ;sen ;cos 2 )f t t t t con respecto a la longitud dearco medida desde el punto donde t = 0 en la direccin en que se incrementa t.
Considerar los valores de tubicados entre 0 y /2, ambos incluidos. Hallar k en s=5/4
Solucin.
Para un cierto valor t, la longitud de arco medida desde el 0 ser:
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2 2 2 2 2
0 0
4 2 4 2 2
0
2 2 2 2 2 2
0
2 2 2 15 22 5
0 0
( ) ( ) (3cos sen ) (3sen cos ) (2sen 2 )
9cos sen 9sen cos (4sen cos )
9cos sen (cos sen ) 16cos sen
25cos sen 5cos sen sen sen
t t
t
t
t t
s l t f r dr r r r r r dr
r r r r r r dr
r r r r r rdr
r rdr r rdr t t
s
De esta manera, podemos expresar la trayectoria en trminos de s, la longitud de arco,reemplazando tpor su expresin en trminos des:
3 1 3 1 12 2 25 5 5
3/2 3/22 2 45 5 5
( ) cos sen ,sen sen ,cos 2 sen
( ) 1 , ,1
f t s s s
g s s s s
1/2 1/2 1/2 1/22 2 4 2 2 45 5 5 5 5 5
1/2 1/22 25 5
25
3 2 3 2 3 3 ( ) 1 ( ), ( ), 1 , ,
2 5 2 5 5 5
1 3 2 1 3 2 ( ) ( ) 1 ( ), ( ),0
2 5 5 2 5 5
3 1 3 5 5 6 ( ) , ,0 ( ) ( ) .
25 25 4 2521
g s s s s s
g s s s
g s k s kss
14)Hallar la ecuacin de la recta Tangente y del plano Normal de la curva C que resulta dela interseccin de las superficies xy + z=0, x
2+ y
2+ z
2=9, en el punto P0 = (2, 1,-
2).
Solucin.
C:
)...(0
)...(9
iizxy
izyx Po= (2, 1,-2)
Z= - xy en (i) x + y + xy = 9 11
10
xy ; z = -x 1
1
10
x
C:
11
10
....11
10.................
ttz
ty
tx
Po= (2, 1,-2); t = 2
110
1
10
rtr
t
C: ()( rg 110
r
, )10
11,1r
rr ; Po= g(2) ; r = 2
13 4 1/2 4 5 3 1/22
1 1 ( ) 5(10 ) , ( 1) , ( 10)(11 10 )
2 2g r r r r r r r r
1
(2) 5, 4,38g
LT: P= (2, 1,-2)+h (5,-4,3); hR
-
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PN: (x-2, y-1, z+2) (5,-4,3)=05x-4y+3z=0
15) Un excursionista se encuentra en una montaa cuya superficie, en los alrededores del puntoP en que est situado el excursionista y en un sistema de coordenadas cartesianas elegido
convenientemente, puede ser descrita mediante la ecuacin: yxarctgx
yz
22
1ln . El
punto P, en el mapa que utiliza el excursionista referido al sistema de coordenadas elegido, tienepor coordenadas (0,1)a) A qu altura se encuentra ubicado el excursionista?Solucin.
1
( , ) ln ln 1 ln 2 ln 12 2
yz f x y arctg x y y x arctg x y
x
2Si P (0,1) x 0, y 1 Z 1n arctg (1)= 1n (1) arctg (1) /4
2
b) En qu direccin del punto P deber empezar a caminar si quiere iniciar una trayectoria
llana?Cunto vale la derivada direccional?
Solucin.
2 2
(0,1). 0 (0,1)
1 1 1 1, ,
1 11 1
1(0,1) ,
2
u
u
f u f u
f ff
x x x yx y x y
f
Para que inicie una trayectoria llana se debe seguir la direccion del vector tal que:
D f(0,1) 0
2, 11
5u
En qu direccin del punto P deber empezar a caminar si quiere descender lo ms
rpidamente posible?Cunto vale la derivada direccional?Solucin.
1, 21 5(0,1) , 1 (0,1)
2 25 u
f u f
Si desea descender lo ms rpido posible, debe seguir en direccin del vector
D f(0,1)
En qu direccin del punto P deber empezar a caminar si quiere ascender lo ms rpidamenteposible?Cunto vale la derivada direccional?Solucin.
1,21 5(0,1) ,1 (0,1)
2 25 u
f u f
Si desea ascender lo ms rpido posible, debe seguir en direccin del vector
D f(0,1)
c) Qu direcciones desde el punto P le supondran que si las toma ascendera por lamontaa?
Para que asciende por al montaa, se debe seguir la direccin del vector unitario u tal que:
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1
(0,1). 0 ,1 . cos , 0; cos ,2
1 1cos 0
2 2
12
u f u sen u sen
sen tg
D f(0,1) >0
As si ( arctg ( ), /2) se asciende por la montaa.
16)Sea f(x,y)=
)0,0(),(;2
)0,0(),(;22
yxsi
yxsiyx
xyee yx
Es f continua en (0,0)? (0,0)encontinuasson,);0,0(,y
f
x
fen
y
f
x
f
? Es f
diferenciable en (0,0)?Solucin.
f ( 0,0 ) = 2Sea
2
2 2, 0,0 0 0
0 0
0
, /
5lim ( , ) lim ( , ) lim( ) 2
2
en (0,0)
f no es diferenciable en (0,0)
(0,0) ( ,0) (0,0) 1lim lim 1
(0,0) (0, )lim
x x
x y x x
x
x x
y
S x y R y x
xxf x y f x x e e
x x
Entonces f no es continua
f f x f e
x x x
f f y
y
0
(0,0) 1lim 1
y
y
f e
y y
17) Ver si el punto )0,52,2(Q pertenece a la circunferencia de curvatura de la curva C3R descrita por x = f(t), en el punto f(0)= (1, 2, 0), si se sabe que f (0) = (0, 3, 0) y
que f (t) = 3tT(t) -)2(
32t R (t), donde R (t)=(t22, 2t,-2t) es un vector paralelo para cada
t al vector normal principal N (t).18) Viajamos por el plano partiendo del origen (0, 0). Y lo hacemos siguiendo la traza de la
curva g: [0, 1)
R (parametrizada por la funcin longitud de arco) que cumple con lascondiciones siguientes:
g(0) = (0, 0);
g (0) = (1, 0);
Su curvatura es (s) =1
1 spara cadas [0, 1).
Tras recorrer una unidad de longitud (en metros), abandonamos la curva para seguir laDireccin de la tangente a la curva en el punto de escape. Recorremos as otros 3 metros. Aqu distancia (en metros) del punto original (0, 0) nos encontraremos?
19) Sea C:
3 2 1
( ) 1, , ln 4
t t t
f t t e
y C1:1
( ) ,4 1, lng t t tt
. Hallar la
curvatura de la curva C en el punto de interseccin de estas curvas.
-
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20) Sea C una curva en R descrita por la funcin vectorial x = f(t), t > 0 si
1 1 1
( ) , ( ) 1, 1,1 1 2
tf t B t
t t t
para t > 0, y la torsin )(t en cada punto
f(t)C es positiva, determinar)(t
. A medida que t crece, la curva C se tuerce ms o
menos? Justifique su respuesta.
21) Dada la curva C: 3 3( ) (cos ;sen ;cos 2 )f t t t t Hallar el centro de la circunferencia decurvatura cuando t = /4 y el valor de la torsin cuando t = /4
Solucin.
Despejamos: cost y cos2t:
Reemplazando en la funcin obtendremos : Ahora se determina K(s):
=
-
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22) Dibuje la curva C: ( ) (1 cos )(cos , ); 0,2f t t t sent t
.
Y calcule su longitud.Solucin.
2
2 2
2
( ) (cos cos , cos ) ; 0,2
( ) ( 2 cos ,cos os )
( ) ( 2 ,cos os 2 )
( ) 2 2 2 2cos cos 2 2 2 cos 4 22 2
( ) 22
f t t t sent sent t t
f t sent sent t t c t sen t
f t sent sen t t c t
t tf t sentsen t t t t sen sen
tf t sen
2 2 2
00 0 0 0
( ) 2 2 2(2) 4 2cos2 2 2 2
8 0 1 8
C
C
t t t t L f t dt sen dt sen dt sen dt
L u
-
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23) Sea f(x,y)=ln 4 yx ;graficar las curvas de nivel de f , graficar f, analice lacontinuidad de f en su dominio.Solucin.
Dominio de f.
2
ln 4 4 0 4
0 4 0 < 4
Dom(f):(x,y) R / 0 < 4
z x y R x y x y
x y x y
x y
Rango de f.
ln4,ln3,ln 2,ln1 0z Curvas de Nivel.
ln 4 ln ; 1,2,3,4
4 4
1: 3 3
-
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Grafico de f:
24) Hallar la ecuacin del plano tangente al elipsoide x + 2y + z = 1, de tal modo que seaparalelo al plano xy + 2z = 0.Solucin.
x + 2y + z -1= 0SE(x,y,z) = x + 2y + z - 1
: 2 0 (1, 1,2)P
T PT P
P x y z N
P P N N
( , , ) 2 ,4 ,2 (1, 1,2);( , , )... de tangencia.
,2 , (1, 1,2)2
2
PTN E a b c a b c a b c punto
a r
ra b c b
c r
-
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2 2
22 2( , , ) , , 2 2 2 1 5 12 2 2
2
11
2 1 2 2( , , ) , ,
11 2 11 11
2 1 2 2: (1, 1,2). , , 0
11 2 11 11
11: 2 0 2 2 2 2 11 0
2
T
T
T
T
r r ra b c r r S P r r r
r
a b c P
P x y z
P x y z x y z
25) La ecuacin xlnz + xy + y2zyz212 = 0, define implcitamente una funcin real de dos
variables z = f(x,y). Se pide:a) Hallar el vector gradiente de la funcin z = f(x,y) en el punto P(2,3,1).Solucin.
( , ) ,z z
z x yx y
Ahora debemos derivar implcitamente
2
ln
2
E
z z yxE xx
y yzz z
2
2
2
2
Ez z yz xy
E xyy yz
z z
Por lo que
2
2 2
ln 2( , ) ,
2 2
z y z yz xz x y
x xy yz y yz
z z
3 7(2,3) ,5 5z
Donde z(2,3)=1
b) Hallar las ecuaciones del plano tangente y la recta normal a la superficie z =f(x,y) en el punto P.Solucin.
1,,//
x
z
y
zN
= 3 7 1
, , 1 3,7,55 5 5
// 3,7,5N
: 3,7,5 . ( , , ) (2,3,1) 0tP x y z
: 3 7 5 32 0t
P x y z
(2,3,1) (3,7,5)nL k k
-
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c) Calcular el valor de Px
z2
2
Para ello primero hallemos
2
2 2 22
2 2 2
2 2 2
( , ) ln ln; ( )
22
(2 ) ln ln 4 1...( )
(2 )
x x x x x
z x y z z y z z yzz z x
xx x x xx yz y z xy yz
z
yz y z x z z z yz z z yz yzz y za
yz y z x
De donde por los datos obtenidos
x=2, y=3, z=1 , xz =3
5
Operando
a se obtiene:
22 2 2
2
2 2
3 9 36 27 12 58(6 9 2) 3 1 ( 1) 3
( ) 5 5 5 5 5 5
(6 9 2) ( 1)
12 168 12 168
( ) 5 5 5 536
1(6 9 2)
z P
x
z P
x
d) Calcular el valor deyx
Pz
)(2
2 2
2
2 2
2 2 2 2
2 2 2
( , ) ( , ) ln
2
ln; ( )
2
(2 ) ln ln 2 4 2
(2 )
y y y x y
z x y z x y z z y
xx y y x y x yy yz
z
z z yzz z y
y yz y z x
yz y z x z z z z yz z z yz z yzz yz y z
yz y z x
De donde por los datos obtenidos: x=2, y=3, z=1 , yz =7
5
22
7 21 84 63( 1) 1 3 2 6
( ) 23 123 1465 5 5 5
5 5 5( 1)
z P
x y
2 146
5
zP
x y
26)Encontrar la longitud de la curva definida por :
-
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0 0
cos( ) , , 4
t tu senu
f t du du tu u
entre t=1 y t = t1 , sabiendo que 1( )f t es el punto
donde 1( )f t es paralelo al plano YZ (1 < t1 < 2).
Solucin.
2 2
1
1 1
cos 2 5( ) , , ( )
cos 2( ) , , es paralelo al plano YZ:x = 0
cos 50 ( ) 2 5 1
2 2
t sentf t f t
t t t t
t sentf t
t t t
tt t L f t dt dt
t t
27)Sea C: 3 2 1( ) 1, , ln4
t t tf t t e
y C1:
tt
t
tg ln,14,1
)( .
Hallar la torsin de la curva C en el punto de interseccin de estas curvas.
Solucin.
1
3
1
2 2
1
1
11 .................................................................( )
1 : 4 1.........................................................( )
1 1 1 1ln ln ; 0, 1
2 2
t
t at
C C e t b
t tt t
t t
1
22
1
...( )
1( ) en ( ) : 1 1 4( 1)
2
1( 1)( 3) 0 3; ; satisfacen ( b )
4
1 4,1, ln(4) (3)
c
ta c t t t
t t t t tambien
C C f
2
(f (3)xf (3)). (3)(3) ...(*)
f (3)xf (3)
f
-
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3
3
2
3
3
2 1 ( ) 1, , (3) 1, 1,
1 2
2 1 ( ) 0, , (3) 0,1,
8( 1)
3 1 1 74 (3) (3) , ,1 3,1,8 (3) (3)
8 8 8 8
4 ( ) 0, ,
( 1)
t
t
t
f t e ft
f t e ft
f x f f x f
f t et
2
1 (3) 0, 1,
16
1 1 1 (3) (3 . (3) ( )
8 2 16
1
4 216(*) (3)74 3774
8
f
f x f f
en
28)Sea f(x,y)=
)0,0(),.........(;0
)0,0(),();1
()(22
22
yxsi
yxsiyx
senyx
Es f continua en (0,0)? (0,0)encontinuasson,);0,0(,y
f
x
fen
y
f
x
f
? Es f
diferenciable en (0,0)? Justifique sus respuestas.Solucin.
-
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2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 12 ( ) cos( ); ( , ) (0,0)
( , )
0; ...............................................................; ( , ) (0,0)
1 1
2 ( ) cos( ); ( , ) (0,0)( , )
0; .
x
y
xxsen si x y
f x y x y x y x y
si si x y
y
ysen si x yf x y x y x y x y
si
2
( , ) (0,0) 0 02 2 2
02 2
..............................................................; ( , ) (0,0)
( , ) /
1 1lim ( , ) lim ( , ) lim 2 ( ) cos( )
2 2 2
1lim 2 ( ) c
2 2
x y x xx x
x
si x y
S x y R y x
xf x y f x x xsen
x x x
xxsen
x x
2 2
1 1 1os( ) 0 cos( )... existe
22 2
( , ) no es continua en (0,0)
log ( , ) no es continua en (0,0)x
y
xno
xx x
f x y
ana amente f x y
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
12 2
22 2
1( ) ( ); ( , ) (0,0)
0; .........( , ) (0,0)
1(0,0) ( , ) ( ) ( ); ,
1 1
(0,0) ( ) ( )
1( ) 0 ( , ) (0,0)
1( ) 0
x y sen si x yx y
si x y
f f h k h k sen h x k yh k
f hsen h ksen kh k h k
hsen cuando h k h k
ksen cuandoh k
( , ) (0,0)
f es diferenciable en (0,0).
h k
29)
es continua en
Sea Hallar A,B y C tal que sea continua en t = 0.Solucin:
-
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29
Por lo tanto (A,B,C)=( , , 1)30)Hallar los vectores
Solucin:
a1= ; dividimos numerador y denominador entre t2
=
Hacemos un Cambio de variable:t 1t
=z; 1- 1t2
dt ; Reemplazando en la integral:
=
Cambio de variable: t =
; dt
Reemplazando:
-
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Cambio de variable: =
; d
;
Reemplazando:
=
=
2=
= Integracin por partes: t dt dt v Reemplazando:
=
Cambio de variable:
;
,
Reemplazando:
= = Regresando a trminos de t
= =
=
= = Cambio de variable: ; ; = = = =
Por lo tanto
-
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=
=
Cambio de variable: t= ; dt ; ;
Cambio de variable: r = tg
Al operar las fracciones parciales tenemos: Igualando los trminos, y resolviendo las ecuaciones tenemos:
Reemplazando en la integral:
-
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=
= Cambio de variable: ; ; Reemplazando:
-
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-
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Reemplazando en la funcin obtendremos 33) Reparametrizar la curva C: con respecto a la longitud de arcomedida desde el punto donde t=0 en la direccin en que se incrementa t. Considerar los valoresde t ubicados entre 0 y /2, ambos incluidos. Hallar k(5/4) si existe.Solucin:
Despejamos: cost y cos2t: Reemplazando en la funcin obtendremos :
Ahora se determina K(s):
-
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=