Exercicios sobre Prismas - Continuacao - Gabarito

8/7/2019 Exercicios sobre Prismas - Continuacao - Gabarito

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GOVERNO DO ESTADO DO RIO DE JANEIROSECRETARIA DE ESTADO DE CINCIAS E TECNOLOGIA

FUNDAO DE APOIO ESCOLA TCNICA FAETECINSTITUTO SUPERIOR DE EDUCAO DO RIO DE JANEIROISERJ

APOSTILA DE MATEMTICA NVEL: ENSINO MDIO PROF: TELMA CASTRO SILVA

CURSO: INFORMTICA SRIE: 2 TURMA: 1209 DATA: ___/___/2011

ALUNO(A):________________________________________ N:_____

LISTA DE EXERCCIOS PRISMAS CONTINUAO

GABARITO

1. Calcule a diagonal de um cubo, sabendo que sua rea total mede 37,5cm2.

Soluo: Utilizando a frmula da rea total do cubo e as medidas informadas, temos:

cm35,23ad,Logo.cm5,225,6a60

375a5,37a6

5,37A

a6A 22

t

2t

.

2. Num cubo, a soma das medidas de todas as arestas 48cm. Calcule a medida da diagonal desse cubo.

Soluo: As medidas das doze arestas do cubo so iguais.

cm343ad

412

48a48a1248)arestas(

.

3. As dimenses de um paraleleppedo retngulo so inversamente proporcionais aos nmeros 6, 4 e 3.

Determine-as, sabendo que a rea total deste paraleleppedo 208cm2.

Soluo: Sendo k o coeficiente de proporcionalidade e a, b, c as dimenses, temos as relaes:

cm83

24cecm6

4

24b;cm4

6

24a,Logo

24)4).(6()16).(36(k)16).(36(13

)208).(36(k208

36

k13

208A36

k13

72

k6k4k32

12

k

18

k

24

k2

3

k.

4

k

3

k.

6

k

4

k.

6

k2)bcacab(2A

3

kce

4

kb;

6

kak

31

c

41

b

61

a

22

t

2222222

t

.

4. (FUVEST) No cubo de aresta 1, considere as arestas AC e BD e o ponto mdio, M,

de AC.

a) Determine o cosseno do ngulo DAB .

b) Determine o cosseno do ngulo DMB .

c) Qual dos ngulos, DAB ou DMB o maior? Justifique.


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2

Soluo: Identificando os segmentos indicados nas figuras, temos:

a) O segmento AB a diagonal da face do cubo, isto , do quadrado.

Logo, cm221ABd . A diagonal do cubo AD vale cm331BDD .

No tringulo retngulo ABD temos:3

6

3

3.

3

2

3

2

AD

AB)DABcos( .

b) O segmento MB hipotenusa do tringulo BAM: 2

3

4

92

4

12

2

1MB

22

. Os segmentos

MB e MD possuem a mesma medida. Aplicando a Lei dos Cossenos no tringulo BMD, temos:

9

7

9

2.

4

14

294

14)DMBcos(

)DMBcos(.2

9

4

181)DMBcos(

2

3.

2

32

2

3

2

3)1()DMBcos(MD.MB2MDMBDB

22

2222

.

c) Comparando: )DMBcos()DABcos(9

7

3

6

9

49;

9

54

9

7;

9

63

9

7;

3

6 . Como em ngulos agudos o

cosseno decrescente, o maior ngulo DMB .

5. (UFMG) Considere um reservatrio, em forma de paraleleppedo retngulo, cujas medidas so 8m de

comprimento, 5m de largura e 120cm de profundidade. Bombeia-se gua para dentro do reservatrio,

inicialmente vazio, a uma taxa de 2 litros por segundo. Quantos minutos so necessrios para se encher

completamente esse reservatrio?

Soluo: Representando as dimenses em decmetro e calculando o volume, temos:

litros48000dm48000)dm12).(dm50).(dm80(V 3 .

Com a taxa de 2litros/segundo essa quantidade ser bombeada em:

utosmin400segundos240002

48000x

x

litros48000

segundo1

litros2 .

6. (UFRGS) Considere o trapzio ABCD da figura a seguir, obtido pela interseo de um cubo de aresta 1 com

um plano que passa por dois vrtices opostos A e D de uma face e pelos pontos mdios B e C de arestas da

face no adjacente. Calcule a rea do trapzio.

Soluo: Para calcular a rea pedida necessrio encontrar os segmentosenvolvidos identificando os pontos auxiliares M, N e P. O trapzio issceles.

Logo os segmentos MN e BC possuem a mesma medida. Temos:

i) O tringulo BPC retngulo em P:2

2

4

2

2

1

2

1BC

22

.

ii) O segmento AD a diagonal da face e vale 22.1AD . Os segmentos AM

e ND possuem a mesma medida e valem4

2

2

2.

2

1

2

22.

2

1NDAM

.


3/5

3

iii) O segmento DC mede 2

5

4

5

2

11DC

2

2

. Com essa medida encontra-se o valor da altura h do

trapzio. No tringulo retngulo CND temos:4

23

16

18

16

2

4

5

4

2

2

522

NCh .

iv) A rea pedida

8

9

16

18

4

23.

4

23

4

23.

2

223

4

23.

2

222

h.

2

BCADA

.

7. (FUVEST) No slido S representado na figura, a base ABCD um retngulo de lados AB = 2L e AD = L; as

faces ABEF e DCEF so trapzios; as faces ADF e BCE so tringulos equilteros e o segmento EF tem

comprimento L. Determinar em funo de L, o volume S.

Soluo: A figura mostrada no representa um prisma, pois as bases

ADF e ECB no so paralelas. Desta forma seccionamos a figura por

dois planos paralelos e perpendiculares face ABCD. Com essa

construo o slido MNFPEQ um prisma com bases ENM e EPQ queso tringulo issceles. O segmento AM mede L/2, pois ABEF

trapzio issceles.

i) No tringulo AMF temos:2

3L

4

L3

2

LLFM

22

2

.

ii) No tringulo MHF temos:2

2L

4

L

4

L3

2

L

2

3Lh

2222

.

iii) Volume do prisma MNFPEQ:

4

2LL.

2

22L.L

)FE).(FNM(Ah.AV3

base

.

iv) Volume do slido AMDNF(pirmides): 12

2L

2

2L.

2

LL

3

1h.A.

3

1V

3

base

.

v) Volume total: V(prisma) + 2.V(pirmide):12

2L5

12

2L.2

4

2LV

333

.

8. (UFMG) Nesta figura esto representado o cubo ABCDEFGH e o prisma ACRPQO. Sabe-se que:

- P, Q e R so, respectivamente, os pontos mdios das arestas AE, CG e CD;

- O volume do prisma ACRPQO 24cm3.

Calcule o comprimento da aresta do cubo.

Soluo: A base ARC do prisma possui rea 4

a

2

a.2

a

A2

. A altura do

prisma o segmento CQ. Calculando o volume e calculando a aresta, temos:


4/5

4

cm34192a192a248

a

24V

8

a

2

a.

4

a)CQ).(ARC(Ah.AV

3333

32

base

.

9. (UERJ) A embalagem de papelo de um determinado chocolate, representada na figura abaixo, tem a forma

de um prisma pentagonal reto de altura igual a 5 cm. Em relao ao prisma, considere:

- cada um dos ngulos A, B, C e D da base superior mede 120;

- as arestas AB, BC e CD medem 10 cm cada.Considere, ainda, que o papelo do qual feita a embalagem custa R$10,00 por m 2 e que 73,13 . Naconfeco de uma dessas embalagens, o valor, em reais, gasto somente com o papelo aproximadamente

igual a:

(A) 0,50 (B) 0,95 (C) 1,50 (D) 1,85

Soluo: A Soma dos ngulos internos do pentgono vale180.(5-2) = 540. A figura decomposta em um trapzio isscelese um tringulo equiltero.

i)

352

3.10h

52

1.1060cos.10x

. Vem

2trapzio cm37535

2

1020A

10menorBase

20maiorBase

.

ii) rea do Tringulo equiltero: 222

TRI cm31004

3.20

4

3.lA .

iii) rea da Base do prisma:2

base cm31753753100A .

iv) rea Lateral: 23505).2020101010( cmAl

.

v) rea total:2

total

22lbtotal

m09555,0A

cm5,95573,2350cm)31(350A)3350350(AA.2A

.

Como cada metro quadrado custa 10 reais, o custo ser, em reais, de: 95,0955,01009555,0 .

10. (UERJ) Um arteso retirou de uma pedra com a forma inicial de um prisma triangular reto de base EBD, um

tetraedro regular VABC. Observe a figura. Considere os seguintes

dados:

- os vrtices A e V pertencem a duas faces laterais do prisma;

- m1BCBEBD .

Determine o volume inicial da pedra.

Soluo: A bases do prisma EDB e FGC so tringulos issceles. O

cosseno do ngulo x, interior ao tetraedro, calculado como

3

1

231

631

VP

apxcos , pois todas as faces do tetraedro so

tringulos equilteros.


5/5

5

Lembrando que:

i) aptema do tringulo equiltero:6

3Lap .

ii) altura do tringulo equiltero:2

3LhTL .

A altura DQ calculada como: senx.DB.DQsenxDB

DQ . De acordo com a relao fundamental da

trigonometria, temos:3

22

9

8

9

11senx

3

11xsen

3

1xcos

1xcosxsen 22

22

. Logo a altura do

tringulo vale3

22

3

22)1(senx.DBDQ

.

A rea do tringulo EBD(base do prisma) vale

32

622

23

22.1

2DQ).EB(Abase

.

O Volume do prisma original vale: 3base m

3

2)1.(

3

2)altura.(AV

.

Fonte:http://www.professorwaltertadeu.mat.br
http://www.professorwaltertadeu.mat.br/http://www.professorwaltertadeu.mat.br/http://www.professorwaltertadeu.mat.br/http://www.professorwaltertadeu.mat.br/

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